SBT Toán 9 Bài 10: Ôn tập chương 1 | Hay nhất Giải sách bài tập Toán lớp 9

(1)

Bài 10: Ôn tập chương I

Bài tập

Bài 96 trang 21 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: Nếu x thỏa mãn điều kiện 3+ x =3 thì x nhận giá trị là:

A) 0 B) 6 C) 9 D) 36

Hãy chọn câu trả lời đúng

Lời giải:

Điều kiện: x 0

Ta có: 3+ x =3 ⇔ 3 + x = 9 ⇔ x = 6 ⇔ x = 36 Vậy chọn đáp án D.

Bài 97 trang 21 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: Biểu thức ³ ⁵ ³ ⁵

3 5 3 5

− +

+ + −

có giá trị là:

A) 3 B) 6 C) 5 D)− 5

Hãy chọn câu trả lời đúng

Lời giải:

3 5 3 5

− + +

+ −

( )( )

( )( ) ( )( )

( )( )

3 5 3 5 3 5 3 5

− − + +

= +

+ − − +

(2)

(

³ ⁵

)

²

(

³ ⁵

)

²

9 5 9 5

− +

= +

− −

(

³ ⁵

)

²

(

³ ⁵

)

²

4 4

− +

= +

3 5 3 5 3 5 3 5

2 2 2 2

− + − +

= + = +

3 5 3 5 6

2 2 3

− + +

= = = (vì 3 > 5 nên 3 - 5> 0 do đó 3− 5 = −3 5)

Chọn đáp án A

Bài 98 trang 22 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: Chứng minh các đẳng thức sau

a) 2+ 3 + 2− 3 = 6 b)

(

²⁻⁴ ⁵

)

² ⁻

(

²⁺⁴ ⁵

)

² ⁼⁸

Lời giải:

a) Ta thấy 2+ 3 + 2− 3không âm

Do đó thay vì chứng minh 2+ 3 + 2− 3 = 6 ta đi chứng minh:

(

²⁺ ³ ⁺ ²⁻ ³

)

² ⁼⁶

Ta có:

(

²⁺ ³ ⁺ ²⁻ ³

)

² ^{= +}² ³⁺^{2. 2}⁺ ^{3. 2}⁻ ³ ^{+ −}² ³

= 4 + ²

(

²⁺ ³

)(

²⁻ ³

)

=4+2 4 3− = + =4 2 6

(3)

Điều cần chứng minh b) Ta có VT =

( )

²

( )

²

( )

²

( )

²

4 4 4 4

2 5 2 5 2 5 2 5

− = −

− + − +

2 2 2 2

5 2 2 5

2 5 2 5

= − = −

− +

− + (vì 52 nên 2− 50 đó

2− 5 = 5−2)

( )

( )( ) ( )

( )( )

2. 2 5 2. 5 2

2 5 5 2 2 5 5 2

+ −

= −

+ − + −

(

⁵ ⁴²⁺

)(

^{2 5}⁵ ²

) (

⁵ ^{2 5}²

)(

⁻⁴⁵ ²

)

= −

− + − +

4 2 5 2 5 4 8

5 4 1 8

+ − +

= = =

− (điều phải chứng minh)

Bài 99 trang 22 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: Cho

4x2 4x 1

A 4x 2

− +

= − . Chứng

minh |A| = 0,5 với x ≠ 0,5.

Lời giải:

4x2 4x 1

A 4x 2

− +

= −

( )

^2x ² ^{2.2x.1 1}²

A 4x 2

− +

 = −

( )

2x 1 2

A 2 2x 1

 = −

−

( )

A 2x 1

2. 2x 1

 = −

−

(4)

Ta có:

( ) ( )

2x 1 2x 1 2x 1 1

A 0,5

2. 2x 1 2. 2x 1 2. 2x 1 2

− − −

= = = = =

− − −

 Điều phải chứng minh

Bài 100 trang 22 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: Rút gọn các biểu thức:

a)

(

²⁻ ³

)

² ⁺ ⁴⁻^{2 3}

b) 15 6 6− + 33 12 6−

c)

(

^{15 200}⁻^{3 450}⁺^{2 50 : 10}

)

Lời giải:

a)

(

²⁻ ³

)

² ⁺ ⁴⁻^{2 3}

( )

²

2 3 3 2. 3.1 1

= − + − +

( )

²

2 3 3 1

= − + −

2 3 3 1

= − + − (vì 2 > 3 nên 2 - 3> 0 nên 2− 3 = −2 3) 2 3 3 1 1

= − + − =

b) 15 6 6− + 33 12 6−

( )

²

( )

²

2 2

3 2.3. 6 6 3 2.3.2 6 2 6

= − + + − +

(

³ ⁶

) (

² ^{3 2 6}

)

²

= − + −

3 6 3 2 6

= − + −

=3− 6+2 6 − =3 6

(5)

(vì 3 > 6 nên 3 - 6 > 0 do đó 3− 6 = −3 6 vì 2 6 3 nên 3 2 6− 0 do đó 3 2 6− =2 6−3) c)

(

^{15 200}⁻^{3 450}⁺^{2 50 : 10}

)

15 200 : 10 3 450 : 10 2 50 : 10

= − +

15 200 :10 3 450 :10 2 50 :10

= − +

15 20 3 45 2 5

= − +

15. 4.5 3. 9.5 2 5

= − +

15. 4. 5 3.3. 5 2 5

= − +

30. 5 9 5 2 5

= − +

(

^{30 9} ²

)

⁵ ^{23 5}

= − + =

Bài 101 trang 22 Sách bài tập Toán 9 Tập 1:

a) Chứng minh: ^x⁻^{4 x}^{− =}⁴

(

^x^{− −}⁴ ²

)

²

b) Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức A = x+4 x− +4 x−4 x−4

Lời giải:

a) Xét VP =

(

^x^{− −}⁴ ²

) (

² ⁼ ^x⁻⁴

)

² ⁻^{2. x}⁻^4.2⁺²²

x 4 4 x 4 4 x 4 x 4

= − − − + = − − = VT

Điều phải chứng minh

b) Điều kiện: ^x ⁴ ⁰ ^x ⁴

x 4 x 4 0 x 4 4 x 4 4 0

−  

 

 

 

− −  − − − + 

 

 

(6)

( )

² ²

( )

²

x 4 x 4

x 4 2. x 4.2 2 0 x 4 2 0

 

 

 

 

− − − +  − − 

 

 

x 4

 

Từ câu a ta có: ^x⁻^{4 x}^{− =}⁴

(

^x^{− −}⁴ ²

)

²

Lại có: x+4 x− = − +4 x 4 4 x− +4 4

(

^x ⁴

)

² ^{2. x} ^4.2 ²²

= − + − +

(

^x ⁴ ²

)

²

= − +

A = x+4 x− +4 x−4 x−4

( ) (

²

)

²

A x 4 2 x 4 2

 = − − + − +

A x 4 2 x 4 2

 = − − + − +

Ta có: x− 4 0 với mọi x thỏa mãn điều kiện, do đó x− + 4 2 0 x 4 2 x 4 2

 − + = − +

Trường hợp 1: x− −  4 2 0 x−   −   4 2 x 4 4 x 8 Kết hợp với điều kiện ta có: 4 x 8 thì x− − 4 2 0

x 4 2 2 x 4

 − − = − − Khi đó A trở thành:

A = 2− x− +4 x− + =4 2 4

Trường hợp 2: x− −  4 2 0 x−   −   4 2 x 4 4 x 8 Kết hợp với điều kiện ta có: x8 thì x− − 4 2 0

(7)

x 4 2 x 4 2

 − − = − − Khi đó A trở thành:

A = x− − +4 2 x− + =4 2 2 x−4

Bài 102 trang 22 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: Tìm điều kiện xác định của các biểu thức sau:

A = x + x 1+ B = x+ +4 x 1−

a) Chứng minh A 1;B  5; b) Tìm x biết :

x + x 1+ = 1; x+ +4 x 1− = 2 Lời giải:

Biểu thức A = x + x 1+ A xác định ^x ⁰

x 1 0

 

  + 

x 0

x 0 x 1

 

  −  

Biểu thức B = x+ +4 x 1−

B xác định ^x ⁴ ⁰ ^x ⁴ x 1

x 1 0 x 1

+   −

 

 −     

a)

+) Với x0 ta có: x + 1 1  x 1+  1 mà x 0 với mọi x thỏa mãn điều kiện

Do đó: A = x + x 1 1+  (điều phải chứng minh)

+) Với x 1 ta có: x + 4 1 4 +  +  x 4 5 x+ 4 5 Và x 1− 0 với mọi x thảo mãn điều kiện

(8)

Do đó: B = x+ +4 x 1−  5 (điều phải chứng minh) b)

+) x+ x 1+ = 1

Với điều kiện x0 thì x + x 1 1+  (chứng minh ở câu a) Dấu “ = “ xảy ra khi ^x ⁰ x 0

x 1 1

 =  =

 + =

 Vậy x = 0

+) x+ +4 x 1− = 2

Ở câu a ta đã chứng minh x+ +4 x 1−  5với x 1 Do 52 nên không tồn tại x để x+ +4 x 1− = 2 Vậy không tồn tại giá trị của x thỏa mãn điều kiện.

Bài 103 trang 22 Sách bài tập Toán 9 Tập 1:

Chứng minh:

1 2 3

x x 1 x

2 4

 

− + = −  +

  với x > 0. Từ đó, cho biết biểu

thức 1

x− x+1 có giá trị lớn nhất là bao nhiêu? Giá trị đó đạt được khi x bằng bao nhiêu?

Lời giải:

Xét ^x⁻ ^x ^{+ =}¹

( )

^x ² ⁻^{2. x.}¹₂ ⁺^{ }^{ }_{ }¹₂ ² ⁻^{ }^{ }_{ }¹₂ ² ⁺¹

2 2

1 1 1 3

x 1 x

2 4 2 4

   

= −  − + = −  + (điều phải chứng minh) Ta có:

(9)

1

x− x +1 = 1 ₂

1 3

x 2 4

 −  +

 

 

Vì

1 2

x 0

2

 −  

 

  với mọi x

Do đó:

1 2 3 3

x 2 4 4

 −  + 

 

 

2

1 1 4

3 3

1 3

x 2 4 4

  =

 −  +

 

 

Hay 1

x− x+1 4

 3 Dấu “=” xảy ra

1 2 1 1 1

x 0 x 0 x x

2 2 2 4

 

 −  =  − =  =  =

 

Vậy 1

x− x+1 đạt giá trị lớn nhất là ⁴

3 khi x ¹

= 4

Bài 104 trang 23 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: Tìm số x nguyên để biểu thức ^x ¹

x 3 +

− nhận giá trị nguyên

Lời giải:

Điều kiện: ^x ⁰ x 9

 

 

Ta có: ^x ³ ⁴ 1 ⁴

x 3 x 3

= − + = +

− −

Để ^x ¹ x 3 +

− nguyên thì 4 1+ x 3

− nguyên hay 4 x 3

−

(10)

Do đó: ⁴

(

^x⁻³

)

^hay

(

^x ^{− }³

)

^Ư(4)

Ư(4) =



^{  }^{1; 2; 4}



x −3 -4 -2 -1 1 2 4

x -1 1 2 4 5 7

x (loại) 1 (tm) 4 (tm) 16 (tm) 25 (tm) 49 (tm) Vậy ^x ¹

x 3 +

−  khi x 



1;4;16;25;49}

Bài 105 trang 23 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: Chứng minh các đẳng thức (với a, b không âm và a ≠ b)

a) a b a b 2b 2 b

b a

2 a 2 b 2 a 2 b a b

+ −

− − =

− + − −

b)

2

a a b b a b

ab 1

a b

 + −  +  =

 +  − 

  

Lời giải:

a) Ta có:

VT = a b a b 2b

b a

2 a 2 b 2 a 2 b

+ − − −

− + −

= ²

(

^a^a⁺⁻ ^b^b

) (

⁻² ^a^a⁻⁺ ^b^b

)

⁺^a^2b⁻^b

( )( )

( )( ) ( )( )

a b a b a b a b 4b

2 a b a b 2 a b a b 2 a b a b

+ + − −

= − +

+ − + − + −

(11)

=²

(

^a^a⁺⁺^{2 ab}^b

)(

⁺^a^b⁻ ^b

) (

⁻² ^a^a⁺⁻^{2 ab}^b

)(

⁺^a^b⁻ ^b

) (

⁺² ^a ⁺ ^b^4b

)(

^a ⁻ ^b

)

( )( )

a 2 ab b a 2 ab b 4b

2 a b a b

+ + − + − +

= + −

(

^{4 ab}

)(

^4b

)

2 a b a b

= +

+ −

( )

( )( )

4 b a b

2 a b a b

= +

+ −

(

^a^{2 b} ^b

)

= − = VP

Điều phải chứng minh b) Xét VT =

2

a a b b a b

ab a b

a b

 + −  + 

 +  − 

  

( ) ( ) ( )

( )

3 3 2

2

a b a b

a b ab a b

 +  +

 

= + −  −

=

( )( ) ( )

( )( )

2

a b a ab b a b

a b ab . a b a b

 + − +  +

 − 

 +   − + 

   

( ) ( )

2

2 2

a b

a ab b ab .

a b a b

= − + − +

+ −

(12)

( )

(

¹

)

²

a 2 ab b .

a b

= − +

−

( )

2

a b . 1 1 VP

a b

= − = =

−

Điều phải chứng minh

Bài 106 trang 23 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: Cho biểu thức:

(

^a ^b

)

² ^{4 ab} a b b a

A a b ab

+ − +

= −

−

a) Tìm điều kiện để A có nghĩa

b) Khi A có nghĩa, chứng tỏ giá trị của A không phụ thuộc vào a.

Lời giải:

a) Để A có nghĩa thì

a 0

a 0 b 0

b 0 ab 0

a b a b 0

 

 

   

  

  

 − 



b)

(

^a ^b

)

² ^{4 ab} a b b a

A a b ab

+ − +

= −

−

( )

a. b a b a 2 ab b 4 ab

A a b ab

+ + − +

 = −

−

( )

ab a b a 2 ab b

A a b ab

− + +

 = −

−

(13)

( ) ( )

2

a b

A a b

a b

 = − − +

−

( ) ( )

A a b a b

 = − − +

A a b a b 2 b

 = − − − = −

Do đó khi A có nghĩa, A không phụ thuộc vào a.

Bài 107 trang 23 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: Cho biểu thức:

B =

3 3

2x 1 x 1 x

x x 1 1 x x x 1

 

 + −  + − 

 − + +  + 

   với x 0 và x 1 .

a) Rút gọn B b) Tìm x để B = 3

Lời giải:

a) B =

3 3

2x 1 x 1 x

x x 1 1 x x x 1

 

 + −  + − 

 − + +  + 

  

( ) ( )

³

3

1 x

2x 1 x

B x

x x 1 1 x

x 1

 +  + 

  

 = − − + +  + − 

( )( ) ( )

(

^x

)(

^x ¹

) (

¹ ^x

)(

^x ^x ¹

)

B 2x 1 x

1 x

x 1 x x 1 x 1 x x 1

 + −  + − + 

  

 = − −

 − + + − + +  + 

  

( )(

^{2x 1}

) (

^x

)(

^x

) ( )

B x x 1 x

x 1 x x 1 x 1 x x 1

 + − 

 

 = − − + −

 − + + − + + 

 

(14)

(

^{2x 1 x}

)(

^x

) ( )

B x x 1 x

x 1 x x 1

 + − + 

 

 = − + −

 − + + 

 

(

^x

)(

^x ¹

)( )

B x 2 x 1

x 1 x x 1 + +

 = − +

− + +

( )

²

B 1 . x 1

x 1

 = −

−

B x 1

 = − với x 0 và x 1 . b) Để B = 3 thì x − =1 3

x 3 1

 = + x 4

 =

x 16

 = (thỏa mãn) Vậy x = 16 thì B = 3

Bài 108 trang 23 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: Cho biểu thức:

x x 9 3 x 1 1

C :

9 x

3 x x 3 x x

 +   + 

= + + −    − −  với x > 0; x9. a) Rút gọn C

b) Tìm x sao cho C < -1.

Lời giải:

a) C ^x ^x ⁹ : ^{3 x} ¹ ¹

9 x

3 x x 3 x x

 +   + 

= + + −    − − 

(15)

( )

x x 9 3 x 1 1

C :

x 9

3 x x x 3 x

 

 +   + 

 = + − −    − − 

( )

(

^x

)(

^x ³

) (

^x

)(

⁹

)

^{3 x}

(

¹

) (

^x ³

)

C :

x 3 x 3 x 3 x 3 x x 3 x x 3

 − +   + − 

   

 = − −

 − + − +   − − 

   

(

^x

)(

^{3 x}

) (

^x

)(

⁹

)

^{3 x}

(

¹ ^x

)

³

C :

x 3 x 3 x 3 x 3 x x 3

 − +   + − + 

   

 = −

 − + − +   − 

   

(

^x ^{3 x}

)(

^x ⁹

) (

^{2 x} ⁴

)

C :

x 3 x 3 x x 3

− − − +

 = − + −

( )( ) ( )

( )

2 x 2

3 x 9

C :

x 3 x 3 x x 3

− − +

 = − + −

( )

( )( ) ( )

( )

3 x 3 x x 3

C .

x 3 x 3 2 x 2

− + −

 = + − +

( ) ( )

(

^3.

) (

^x ^{3 . x.}

) (

^x ³

)

C

x 3 . x 3 .2. x 2

− + −

 = + − +

(

^{3 x}

)

C

2 x 2

 = −

+ với x > 0; x9.

b) Để C < -1 thì

(

^{3 x}

)

¹

2 x 2

−  − +

3 x 1

2 x 4

 −  − +

(16)

3 x 1 0 2 x 4

 − +  +

3 x 2 x 4 2 x 4 2 x 4 0

− +

 + 

+ +

3 x 2 x 4 2 x 4 0

− + +

 

+ x 4 2 x 4 0

− +

 

+

Ta có ^x ⁴ 0 2 x 4

− + 

+  − x +4 và 2 x +4 trái dấu.

Ta có:

x 0 với mọi x thỏa mãn điều kiện 2 x 0

  2 x +  4 4 0 Vậy để ^x ⁴ 0

2 x 4

− + 

+ thì − x +4 < 0 x 4

 −  − x 4

 

x 16

 

Kết hợp với điều kiện đề bài ta có:

x 16

x 0 x 16 x 9

 

   

 

 Vậy x > 16 thì C < -1

Bài tập bổ sung

(17)

Bài I.1 trang 23 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: Không dùng bảng số hoặc máy tính, hãy so sánh ¹

3 − 2 với 5 1+ .

Lời giải:

Ta có:

( )

(

^1. ³

)(

²

)

1

3 2 3 2 3 2

= +

− − +

(

³ ³²

)(

⁺ ³² ²

)

³^{3 2}⁺ ² ³ ²

= = = +

+ − −

Đặt a = 3+ 2 ^^a² ⁼

(

³⁺ ²

)

² ^{= +}³ ^{2 6} ^{+ = +}² ⁵ ^{2 6}

Đặt b = ^{5 1}^{+ }^b² ⁼

(

^{5 1}⁺

)

² ^{= +}⁵ ^{2 5 1 6}^{+ = +}^{2 5}⁼^{5 1 2 5}^{+ +}

Ta đi so sánh 2 6 và 1 + 2 5 Ta có:

( )

^{2 6} ² ⁼²⁴^{= 21 + 3}

(

^{1 2 5}⁺

)

² ^{= +}^{1 4 5}⁺²⁰⁼^{21 4 5}⁺

Ta lại đi so sánh 3 và 4 5 Ta có: 3² =9

( )

^{4 5} ² ⁼⁸⁰

Vì 9 < 80 nên 3 < 4 5 do đó 21 + 3 < 21 + 4 5 hay 24 < 21 4 5+ Vì 24 < 21 + 4 5nên 2 6  +1 2 5

Vì 2 6  +1 2 5  +5 2 6  + +5 1 2 5

(18)

5 2 6 6 2 5

 +  + a² b²hay a < b Do đó: 3+ 2  5 1+ hay ¹ 5 1

3 2  +

−