Giải SBT Toán 9 Bài 1: Góc ở tâm. Số đo cung | Hay nhất Giải sách bài tập Toán lớp 9

(1)

Chương III. Góc với đường tròn Bài 1. Góc ở tâm. Số đo cung Bài 1 trang 99 SBT Toán lớp 9 tập 2:

a) Từ 1 giờ đến 3 giờ thì kim giờ quay được một góc ở tâm bằng bao nhiêu độ ? b) Từ 3 giờ đến 6 giờ thì kim giờ quay được một góc ở tâm bằng bao nhiêu độ ? Lời giải:

Trên đồng hồ có 12 chữ số, mỗi chữ số đó chia mặt đồng hồ thành 12 cung tròn bằng nhau. Mỗi cung tròn tương ứng với một góc ở tâm bằng 30°. Như vậy:

a) Từ 1 giờ đến 3 giờ thì kim giờ quay được một góc ở tâm bằng:



^{3 1 .30}^



ô ^^2.30ô ^⁶⁰ô

b) Từ 3 giờ đến 6 giờ thì kim giờ quay được một góc ở tâm bằng:



⁶^^{3 .30}



ô ^^3.30ô ^⁹⁰ô

Bài 2 trang 99 SBT Toán lớp 9 tập 2: Một đồng hồ chạy chậm 25 phút. Hỏi để chỉnh lại đúng giờ thì phải quay kim phút một góc ở tâm là bao nhiêu độ ?

Lời giải:

Một vòng quay của kim phút là 60 phút tương ứng với 360°. Như vậy mỗi phút tương ứng với 360 : 60^o 6^o. Đồng hồ chạy chậm 25 phút thì phải quay kim phút một góc ở tâm là:

o o

25.6 150 .

Bài 3 trang 99 SBT Toán lớp 9 tập 2: Hãy xếp một tờ giấy để cắt thành một hình ngôi sao năm cánh đều nhau. Muốn cắt chỉ bằng một nhát kéo thì phải gấp tờ giấy đó thành một hình có góc ở tâm bằng bao nhiêu độ ?

Lời giải:

(2)

Trước hết cần gấp đôi tờ giấy. Sau đó chọn điểm làm tâm rồi chia tờ giấy đã gấp ra 5 phần với 5 góc ở tâm bằng nhau, mỗi góc bằng 180 : 5 36^o  ^o.

Bài 4 trang 99 SBT Toán lớp 9 tập 2: Hai tiếp tuyến tại A, B của đường tròn (O; R) cắt nhau tại M. Biết OM = 2R. Tính số đo của góc ở tâm AOB ?

Lời giải:

Xét đường tròn (O) có:

Do MA là tiếp tuyến của (O) tại A

MA OA

  tại A OAM 90o

 

Do đó, tam giác MAO vuông tại A Xét tam giác MAO vuông tại A có:

OA R 1

cos AOM

OM 2R 2

  

AOM 60o

 

Mà 1

AOM AOB

 2 (do hai tiếp tuyến MA và MB giao nhau tại M)

o o

AOB 2AOM 2.60 120

    .

(3)

Bài 5 trang 99 SBT Toán lớp 9 tập 2: Cho đường tròn (O; R), đường kính AB .Gọi C là điểm chính giữa của cung AB. Vẽ dây CD dài bằng R. Tính góc ở tâm BOD. Có mấy đáp số ?

Lời giải:

Điểm D có 2 trường hợp nên có hai đáp số tương ứng:

+ Nếu D nằm giữa C và B

Ta có điểm C là điểm chính giữa của cung AB nên ta có:

sđBC = sđ AC = 90 ^o Ta lại có: CD = R (gt)

 OC = OD = CD = R

Do đó, tam giác OCD là tam giác đều COD 60o

 

Mà góc COD là góc ở tâm chắn cung nhỏ CD

sđCDCOD60^o

sđ BD = sđ BC - sđCD = 90ô 60ô = 30 ô

(4)

Mà cung nhỏ BD bị chắn bởi góc ở tâm BOD đ o

BOD s BD 30

  

+ Nếu D nằm giữa C và A ta có:

Ta có điểm C là điểm chính giữa của cung AB nên ta có:

sđBC = sđAC = 90 ^o Ta lại có: CD = R (gt)

 OC = OD = CD = R

Do đó, tam giác OCD là tam giác đều COD 60o

 

Mà góc COD là góc ở tâm chắn cung nhỏ CD

sđCDCOD60^o

sđ BD = sđ BC + sđCD = 90ô 60ô = 150 . ô Suy ra BODs Bđ D 150 ô.

Bài 6 trang 99 SBT Toán lớp 9 tập 2: Cho hai đường tròn (O; R) và (O’; R’) cắt nhau tại A, B. Hãy so sánh R và R’ trong các trường hợp sau:

a) Số đo cung nhỏ AB của (O; R) lớn hơn số đo cung nhỏ AB của (O’; R’).

b) Số đo cung lớn AB của (O; R) nhỏ hơn số đo cung lớn AB của (O’; R’).

c) Số đo hai cung nhỏ bằng nhau.

Lời giải:

(5)

a)

Trong (O; R) ta có:

Góc AOB là góc ở tâm chắn cung nhỏ AB nên ta có: AOB sđ AB Trong (O’; R’) ta có:

Góc AO’B là góc ở tâm chắn cung nhỏ AB nên ta có: AO'B sđ AB

Vì số đo cung nhỏ AB của (O; R) lướn hơn số đo cung nhỏ AB của (O’; R’) nên ta suy ra:

AOBAO'B (1)

Xét tam giác AOO’ và tam giác BOO’ có:

O’A = O’B = R’

OA = OB = R OO’ là cạnh chung

Do đó, tam giác AOO’ bằng tam giác BOO’ (cạnh – cạnh – cạnh) AOO' BOO' 1AOB

  2 (2) ; 1

AO'O BO'O AO'B

 2 (3)

Từ (1), (2), (3) ta suy ra: AOO'AO'O Xét tam giác AOO’ có: AOO'AO'O (cmt)

(6)

O'A OA

  (theo bất đẳng thức trong tam giác) R ' R

  . b)

Góc AO’B là góc ở tâm chắn cung nhỏ AB nên ta có: AO'B sđ AB Trong (O; R) số đo cung lớn AB cộng với số đo cung nhỏ AB bằng 360 ^o Mà số đo cung nhỏ AB của (O; R) nhỏ hơn số đo cung lớn AB của (O’; R’)

Do đó, số đo cung nhỏ AB của (O; R) lớn hơn số đo cung nhỏ AB của (O’; R’) nên theo chứng minh phần (a) ta có: R’ > R.

c)

Góc AO’B là góc ở tâm chắn cung nhỏ AB nên ta có: AO'B sđ AB Mà số đo hai cung nhỏ AB của (O; R) và (O’; R’) bằng nhau nên ta có:

AOBAO'B (1c)

Xét tam giác AOO’ và tam giác BOO’ có:

O’A = O’B = R’

OA = OB = R

(7)

OO’ là cạnh chung

Do đó, tam giác AOO’ bằng tam giác BOO’ (cạnh – cạnh – cạnh) AOO' BOO' 1AOB

  2 (2c) ; 1

AO'O BO'O AO'B

  2 (3c)

Từ (1c), (2c), (3c) ta suy ra: AOO'AO'O Do đó, tam giác AOO’ cân tại A

OA OA'

 

R R '

 

Bài 7 trang 99 SBT Toán lớp 9 tập 2: Cho hai đường tròn (O; R) và (O’; R’) vắt nhau tại A, B. Đường phân giác của góc OBO’ cắt các đường tròn (O), (O’) tương tự tại C, D.

Hãy so sánh các góc ở tâm BOC và BO’D.

Hướng dẫn. Sử dụng các tam giác cân OBC, O’BD.

Lời giải:

Xét đường tròn (O) có:

Tam giác OBC có:

OB = OC (cùng bằng bán kính đường tròn (O))

(8)

Do đó, tam giác OBC cân tại O 180o BOC OBC OCB

2

   

BOC 180o 2OBC

   (1)

Xét đường tròn (O’) Xét tam giác BO’D có:

O’B = O’D (cùng bằng bán kính đường tròn (O’)) Do đó, tam giác BO’D cân tại O’

180o BO'D O'BD O'DB

2

   

BO'D 180o 2O'BD

   (2)

Lại có: BC là phân giác của góc OBO’ nên OBCO'BD (3) Từ (1), (2) và (3) ta suy ra: BOCBO'D.

Bài 8 trang 100 SBT Toán lớp 9 tập 2: Trên một đường tròn, có cung AB bằng 140°, cung AD nhận B làm điểm chính giữa, cung CB nhận A làm điểm chính giữa. Tính số đo cung nhỏ CD và cung lớn CD.

Lời giải:

(9)

Vì B là điểm chính giữa của cung AD, A là điểm chính giữa của cung CB nên ABBDAC

Mà:

Góc AOB là góc ở tâm chắn cung nhỏ AB Góc BOD là góc ở tâm chắn cung nhỏ BD Góc AOC là góc ở tâm chắn cung nhỏ AC

AOB BOD AOC 140o

   

Kẻ đường kính AA’ và BB’

Ta có:

AOB AOB' 180  o (hai góc kề bù)

o o o o

AOB' 180 AOB 180 140 40

     

Ta lại có: B'ODBOD 180 ^o (hai góc kề bù)

o o o o

B'OD 180 BOD 180 140 40

     

(10)

Mà AOCAOB' B'OD DOC

o o o o

DOC AOC AOB B OD 140 40 40 60

       

Góc DOC là góc ở tâm chắn cung nhỏ CD nên số đo cung nhỏ CD bằng số đo góc DOC bằng 60°.

Do đó, số đo cung lớn CD là: 360° – 60° = 300° .

Bài 9 trang 100 SBT Toán lớp 9 tập 2: Cho C là một điểm nằm trên cung lớn AB của đường tròn (O). Điểm C chia cung lớn AB thành hai cung AC và CB. Chứng minh rằng cung lớn AB có: sđ AB = sđ AC + sđ CB .

Hướng dẫn. Xét ba trường hợp:

a) Tia OC nằm trong góc đối đỉnh của góc ở tâm AOB.

b) Tia OC trùng với tia đối của một cạnh của góc ở tâm AOB.

c) Tia OC nằm trong một góc kề bù với góc ở tâm AOB.

Lời giải:

a)

Kẻ đường kính CD

(11)

Ta có:

Vì OD nằm giữa OA và OB nên điểm D nằm trên cung nhỏ AB

sđ AD (nhỏ) + sđ BD (nhỏ) = sđ AB (nhỏ) (1)

Vì OA nằm giữa OC và OD nên điểm A nằm trên cung nửa đường tròn CD

sđ AD (nhỏ) + sđ AC (nhỏ) = 180 (2) ^o

Vì OB nằm giữa OC và OD nên điểm B nằm trên cung nửa đường tròn CD

sđ BD (nhỏ) + sđ BC (nhỏ) = 180 (3) ^o Từ (2) và (3) ta suy ra:

sđ AD (nhỏ) + sđ AC (nhỏ) + sđ BD (nhỏ) + sđ BC (nhỏ) = 360 (4) ^o Từ (1) và (4) ta suy ra:

sđ AC (nhỏ) + sđ BC (nhỏ) + sđ AB (nhỏ) = 360 ^o

sđ AC (nhỏ) + sđ BC (nhỏ) = 360 - sđ AB (nhỏ) ^o Mà: 360 - sđ AB (nhỏ) = sđ AB (lớn) ^o

 sđ AB (lớn) = sđ AC (nhỏ) + sđ BC (nhỏ) b)

(12)

Do tia OC trùng với tia đối của một cạnh của góc ở tâm AOB nên ta có:

AOB BOC AOC 180 o

AOB BOC AOC 360o

   

BOC AOC 360o AOB

   

Mà góc AOC là góc ở tâm chắn cung AC, góc BOC là góc ở tâm chắn cung nhỏ BC và góc AOB là góc ở tâm chắn cung nhỏ AB

sđ AC + sđ BC (nhỏ) = 360 - sđ AB (nhỏ) ^o Mà: 360 - sđ AB (nhỏ) = sđ AB (lớn) ^o

 sđ AB (lớn) = sđ AC + sđ BC (nhỏ) c)

(13)

Kẻ đường kính AE

Do tia OE trùng với tia đối của một cạnh của góc ở tâm AOB nên ta có:

AOB BOE AOE 180 o

AOB BOE AOE 360o

   

BOE AOE 360o AOB

   

Mà góc AOE là góc ở tâm chắn cung AE, góc BOE là góc ở tâm chắn cung nhỏ BE và góc AOB là góc ở tâm chắn cung nhỏ AB

sđ AE + sđ BE (nhỏ) = 360 - sđ AB (nhỏ) ^o Mà: 360 - sđ AB (nhỏ) = sđ AB (lớn) ^o

 sđ AB (lớn) = sđ AE + sđ BE (nhỏ) Mà BOEBOC COE nên ta có:

sđ BE (nhỏ) = sđCE (nhỏ) + sđ BC (nhỏ)

 sđ AB (lớn) = sđ AE + sđ CE (nhỏ) + sđ BC (nhỏ) Mà AOEAOC COE 180  ^o

(14)

AOE AOC COE 360o

   

AOE COE 360o AOC

   

 sđ AE + sđ CE (nhỏ) = 360 - sđ AC (nhỏ) ^o Mà sđ AC = 360 - sđ AC (nhỏ) ^o

 sđ AE + sđ CE (nhỏ) = sđ AC (lớn)

 sđ AB (lớn) = sđ AC (lớn) + sđ BC (nhỏ) Bài tập bổ sung

Bài 1.1 trang 100 SBT Toán lớp 9 tập 2: Cho hình bs.4. Biết cung DOA 120 ^o, OA vuông góc với OC, OB vuông góc với OD.

a) Đọc tên các góc ở tâm có số đo nhỏ hơn 180 . ^o

b) Cho biết số đo của mỗi góc ở tâm tìm được ở câu trên.

c) Cho biết tên của các cặp cung có số đo bằng nhau (nhỏ hơn 180 ). ^o d) So sánh hai cung nhỏ AB và BC.

(15)

Lời giải:

a)

Các góc ở tâm có số đo nhỏ hơn 180 là: ^o AOB, AOC, AOD, BOC, BOD, COD

b)

OA vuông góc với OC tại O AOC90^o OB vuông góc với OD tại O BOD90^o Ta có:

AOBBODAOD

o o o

AOB AOD BOD 120 90 30

     

AOCCODAOD

o o o

COD AOD AOC 120 90 30

     

AOBBOCAOC

o o o

BOC AOC AOB 90 30 60

     

c)

Các cung có số đo bằng nhau nhỏ hơn 180 là: ^o ABCD (hai cung nhỏ, do AOBCOD 30 ) ACBD (hai cung nhỏ, do AOCBOD 90 ) d)

(16)

sđABAOB 30 ^o sđBCBOC60^o

Suy ra: sđBC = 2 sđ AB .

Bài 1.2 trang 100 SBT Toán lớp 9 tập 2: Cho đường tròn tâm O đường kính AB. Các điểm C, D, E cùng thuộc một cung AB sao cho sđ BC =¹

6 sđ BA ; sđ BD =1

2 sđ BA ; sđ BE

=²

3 sđ BA .

a) Đọc tên các góc ở tâm có số đo không lớn hơn 180 . ^o b) Cho biết số đo của mỗi góc ở tâm tìm được ở câu trên.

c) Cho biết tên của các cặp cung có số đo bằng nhau (nhỏ hơn 180 ). ^o d) So sánh hai cung nhỏ AE và BC.

Lời giải:

a)

Các góc ở tâm có số đo không quá 180 là: ^o

(17)

AOB, AOC, AOD, AOE, BOC, BOD, BOE, COD, COE, DOE. b)

Ta có: AOB 180 ^o

sđAB 180 ^o Ta có: sđBC ¹

 6 AB = ¹.180^o 30^o

6 

BOCsđBC30^o Ta có: sđ BD =1

2 sđ BA = 1 ^o ^o .180 90

2 

BODsđBD90^o Ta có: sđBE ²

 3sđ BA =².180^o 120^o

3 

BOE= sđBE 120 ^o BOC COE BOE

o o o

COE BOE BOC 120 30 90

     

AOEBOEAOB

o o o

AOE AOB BOE 180 120 60

     

1 o

AOD BOD AOB 90

  2 

BOC COD BOD

o o o

COD BOD BOC 90 30 60

     

(18)

CODDOECOE

o o o

DOE COE COD 90 60 30

     

o o o o o

COABOC 180 AOC 180 BOC 180 30 150 c)

Các cung có số đo nhỏ hơn 180 bằng nhau: ^o

BCDE; AECD; ADBD; ADCE; CEBD

d)

sđAEAOE60^o sđBCBOC30^o

sđ AE 2 sđ BC