SBT Toán 9 Bài 2: Hàm số bậc nhất | Hay nhất Giải sách bài tập Toán lớp 9

(1)

Bài 2: Hàm số bậc nhất

Bài 6 trang 61 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số bậc nhất? Hãy xác định các hệ số a, b xét xem hàm số nào đồng biến? Hàm số nào nghịch biến?

a) y = 3 – 0,5x;

b) y = -1,5x;

c) y = 5 - 2x²;

d) y =

(

^{2 1 x}⁻

)

^{+ 1;}

e) y = ^{3 x}

(

⁻ ²

)

^;

f) y + 2 = x - 3 ;

Lời giải:

+ Hàm số a) y = 3 – 0,5x = - 0,5x + 3 là hàm số bậc nhất vì nó có dạng y = ax + b với a = -0,5; b = 3.

Hàm số y = 3 – 0,5x là hàm số nghịch biến vì a = -0,5.

+ Hàm số b) y = -1,5x = -1,5x + 0 là hàm số bậc nhất vì nó có dạng y = ax + b với a = -1,5; b = 0.

Hàm số y = -1,5x là hàm số nghịch biến vì a = -1,5.

+ Hàm số c) y = 5 – 2x² không là hàm số bậc nhất vì nó không có dạng y = ax + b.

+ Hàm số d) y =

(

^{2 1 x 1}⁻

)

⁺ là hàm số bậc nhất vì nó có dạng y = ax + b với a = 2 1− ; b = 1.

Hàm số y =

(

^{2 1 x 1}⁻

)

⁺ là hàm số đồng biến vì a = 2 1− > 0 .

+ Hàm số e) y = ^{3 x}

(

⁻ ²

)

⁼ ^3x⁻ ⁶ là hàm số bậc nhất vì nó có dạng y = ax + b với a = 3 ; b = - 6 .

Hàm số y = 3x− 6 là hàm số đồng biến vì a = 3 > 0 .

(2)

+ Hàm số f) y+ 2 = −x 3 = −y x 2− 3 là hàm số bậc nhất vì nó có dạng y = ax + b với a = 1; b = − 2− 3.

Hàm số y = x− 2− 3 là hàm số đồng biến vì a = 1 > 0 .

Bài 7 trang 62 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: Cho hàm số bậc nhất y = (m + 1)x + 5

a) Tìm giá trị của m để hàm số y là hàm số đồng biến b) Tìm giá trị của m để hàm số y là hàm số nghịch biến.

Lời giải:

Hàm số y = (m + 1)x + 5 có a = (m + 1) và b = 5 a) Hàm số đồng biến khi a = m + 1 > 0 ⇔ m > -1 Vậy với m > - 1 thì hàm số đồng biến.

b) Hàm số nghịch biến khi a = m + 1 < 0 ⇔ m < -1 Vậy với m < - 1 thì hàm số nghịch biến.

Bài 8 trang 62 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: Cho hàm số ^y^{= −}

(

³ ^{2 x 1}

)

⁺

a) Hàm số là hàm đồng biến hay nghịch biến trên ? Vì sao?

b) Tính các giá trị tương ứng của y khi x nhận các giá trị sau:

0; 1; 2 ; 3 + 2 ; 3 - 2

c) Tính các giá trị tương ứng của x khi y nhận các giá trị sau:

0; 1; 8; 2 + 2 ; 2 - 2

Lời giải:

a) Hàm số ^y^{= −}

(

³ ^{2 x 1}

)

⁺ là hàm số bậc nhất có a = 3− 2

(3)

Vì 3 - 20 nên hàm số đã cho đồng biến trên . b)

+ Với x = 0 thì y = f(0) =

(

³⁻ ^{2 .0 1 1}

)

^{+ =}

+ Với x = 1 thì y = f(1) =

(

³⁻ ^{2 .1 1 3}

)

^{+ = −} ²^{+ = −}^{1 4} ²

+ Với x = 2 thì y = f

( )

² ⁼

(

³⁻ ^{2 . 2}

)

^{+ =}^{1 3 2}^{− + =}^{2 1 3 2 1}⁻

+ Với x = 3 + 2 thì y = ^{f 3}

(

⁺ ²

) (

^{= −}³ ²

)(

³⁺ ²

)

^{+ = − + =}^{1 9} ^{2 1 8}

+ Với x = 3 - 2

thì y = ^{f 3}

(

⁻ ²

) (

^{= −}³ ²

)(

³⁻ ²

)

^{+ = −}^{1 9 3 2}⁻^{3 2} ^{+ + =}^{2 1 12}⁻^{6 2}

c)

+ Với y = 0 ^{ −}

(

³ ^{2 .x 1 0}

)

^{+ =}

(

³ ^{2 x}

)

¹

 − = −

( )

( )( )

²

( )

²

1. 3 2

1 3 2 3 2 3 2

x 3 2 3 2 3 2 3 2 9 2 7

− +

− − − − − − −

 = = = = =

− − + − −

+ Với y = 1 ^{ −}

(

³ ^{2 .x 1 1}

)

^{+ =}

(

³ ^{2 x}

)

⁰

 − =

x 0

 =

+ Với x = 8^{ −}

(

³ ^{2 .x 1 8}

)

^{+ =}

(

³ ^{2 x}

)

⁷

 − =

(4)

( )

( )( ) ( )

( ) ( ) ( )

2 2

7. 3 2 7. 3 2 7. 3 2 7. 3 2

x 7 3 2

9 2 7

3 2 3 2 3 2 3 2

+ + + +

 = = = = = = +

− − + − −

+ Với x = 2+ 2^{ −}

(

³ ^{2 .x 1 2}

)

^{+ = +} ²

(

³ ^{2 x}

)

¹ ²

 − = +

( ) ( )

( )( )

²

( )

²

1 2 . 3 2

1 2 3 2 3 2 2 3 2 3 2 2 5 4 2

x 3 2 3 2 3 2 3 2 7 7

+ +

+ + + + + + + +

 = = = = =

− − + −

+ Với x = 2− 2 ^{ −}

(

³ ^{2 .x 1 2}

)

^{+ = −} ²

(

³ ^{2 x}

)

¹ ²

 − = −

( ) ( )

( )( )

²

( )

²

1 2 . 3 2

1 2 3 2 3 2 2 3 2 3 2 2 1 2 2

x 3 2 3 2 3 2 3 2 7 7

− +

+ + − − + − − −

 = = = = =

− − + −

Bài 9 trang 62 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: Một hình chữ nhật có kích thước là 25cm và 40cm. Người ta tăng mỗi kích thước của hình chữ nhật thêm x cm. Gọi S và P theo thứ tự là diện tích và chu vi hình chữ nhật mới tính theo x.

a) Hỏi rằng các đại lượng S và P có phải là hàm số bậc nhất của x không? Vì sao?

b) Tính các giá trị tương ứng của P khi x nhận các giá trị (tính theo đơn vị cm) sau:

0; 1; 1,5; 2,5; 3,5

Lời giải:

Gọi hình chữ nhật ban đầu là: ABCD

Sau khi tăng kích thước của mỗi chiều, ta được hình chữ nhật AB’C’D’ có chiều dài AB’ = (40 + x) cm, chiều rộng B’C’ = (25 + x) cm.

(5)

a) Diện tích hình chữ nhật mới:

S = (40 + x)(25 + x) = 1000 + 25x + 40x + x²=1000 + 65x + x² (cm²) S không phải là hàm số bậc nhất đối với x vì có bậc của biến số x là bậc hai.

Chu vi hình chữ nhật mới:

P = 2.[(40 + x) + (25 + x)] = 2.(65 + 2x) = 4x + 130 (cm) P là hàm số bậc nhất đối với x có hệ số a = 4, hệ số b = 130.

b) Các giá trị tương ứng của P:

+ Với x = 0 thì P = 4.0 + 130 = 130cm + Với x = 1 thì P = 4.1 +130 = 134cm

+ Với x = 1,5 thì P = 4.1,5 + 130 = 6 + 130 = 136cm + Với x = 2,5 thì P = 4.2,5 + 130 = 10 + 130 = 140cm + Với x = 3,5 thì P = 4.3,5 + 130 = 14 + 130 = 144cm

Bài 10 trang 62 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: Chứng minh rằng hàm số bậc nhất y

= ax + b đồng biến khi a > 0 và nghịch biến khi a < 0 Lời giải:

Xét hàm số bậc nhất y = ax + b (a ≠ 0) trên tập số thực Với hai số x và ₁ x ₂ và x₁x₂, tương ứng ta có:

(6)

1 1

y =ax +b

2 2

y =ax +b

( ) ( ) ( )

1 2 1 2 1 2 1 2

y −y = ax +b − ax +b =ax −ax =a x −x (1) Ta có: x₁x₂ −x₁ x₂ 0

*Trường hợp a > 0:  −y1 y2 =a x

(

1−x2

)

0

1 2

y y

  do đó hàm số đồng biến.

*Trường hợp a < 0:  −y1 y2 =a x

(

1−x2

)

0

1 2

y y

  do đó hàm số nghịch biến.

Bài 11 trang 62 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: Với những giá trị nào của m thì các hàm số sau đây là hàm số bậc nhất?

a) 2

y m 3x

= − +3 b) S = ¹ t ³

m 2 − 4 +

Lời giải:

a) Để hàm số 2

y m 3x

= − +3 là hàm số bậc nhất thì

Để hàm số 2

y m 3x

= − + 3 là hàm số bậc nhất thì

m 3 0

m 3 0 m 3

m 3 0

Vậy m3thì hàm số đã cho là hàm số bậc nhất.

(7)

b) Để hàm số S = ¹ t ³ m 2 − 4

+ là hàm số bậc nhất thì

1 0

m 2 m 2 0

 

 +

 + 



m 2

  −

Vậy m −2 thì hàm số đã cho là hàm số bậc nhất.

Bài 12 trang 62 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: Tìm trên mặt phẳng tọa độ tất cả các điểm:

a) Có tung độ bằng 5;

b) Có hoành độ bằng 2;

c) Có tung độ bằng 0;

d) Có hoành độ bằng 0;

e) Có tung độ và hoành độ bằng nhau;

f) Có tung độ và hoành độ đối nhau.

Lời giải:

a) Các điểm trên mặt phẳng tọa độ có tung độ bằng 5 là các điểm M(x; 5). Vì hình chiếu vuông góc của các điểm M(x; 5) trên trục Oy là điểm H có tung độ bằng 5 nên tập hợp các điểm M(x; 5) là đường thẳng vuông góc với trục Oy tại điểm H có tung độ bằng 5. Nói cách khác, tập hợp các điểm M(x; 5) là đường thẳng song song với trục Ox và cắt trục tung tại điểm H có tung độ bằng 5. Đường thẳng đó là y = 5.

(8)

b) Các điểm trên mặt phẳng tọa độ có hoành độ bằng 2 là các điểm M(2; y). Vì hình chiếu vuông góc của các điểm M(2; y) trên trục Ox là điểm I có hoành độ bằng 2 nên tập hợp các điểm M(2; y) là đường thẳng vuông góc với trục Ox tại điểm I có hoành độ bằng 2. Nói cách khác, tập hợp các điểm M(2; x) là đường thẳng song song với trục Oy và cắt trục hoành tại điểm I có hoành độ bằng 2.

Đường thẳng đó là x = 2.

c) Các điểm trên mặt phẳng tọa độ có tung độ bằng 0 là các điểm M(x; 0). Vì hình chiếu vuông góc của các điểm M(x; 0) trên trục Oy là điểm O gốc tọa độ nên tập hợp các điểm M(0; y) là trục Ox.

d) Các điểm trên mặt phẳng tọa độ có hoành độ bằng 0 là các điểm M(0; y). Vì hình chiếu vuông góc của các điểm M(0; y) trên trục Ox là điểm O gốc tọa độ nên tập hợp các điểm M(0; y) là trục Oy.

e) Tập hợp các điểm trên mặt phẳng tọa độ có hoành độ bằng tung độ chính là tập hợp các điểm M(x; y) trong đó x = y. Vì x, y cùng dấu nên M(x; y) thuộc góc phần tư thứ nhất và thứ ba. Mặt khác |x| = |y| nên M(x; y) cách đều Ox và Oy.

Vậy tập hợp các điểm có hoành độ bằng tung độ là đường thẳng y = x.

(9)

f) Tập hợp các điểm trên mặt phẳng tọa độ có hoành độ và tung độ đối nhau chính là tập hợp các điểm M(x; y) trong đó -x = y. Vì x, y trái dấu nên M(x; y) thuộc góc phần tư thứ hai và thứ tư. Mặt khác |x| = |y| nên M(x; y) cách đều Ox và Oy.

Vậy tập hợp các điểm có hoành độ bằng tung độ là đường thẳng y = -x.

Bài 13 trang 63 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: Tìm khoảng cách giữa hai điểm trên mặt phẳng tọa độ, biết:

a) A(1; 1) B(5;4) b) M(-2; 2) N(3; 5) c) P

(

x ; y 1 1

)

Q

(

x ; y2 2

)

Lời giải:

a) Ta biểu diễn hai điểm A và B lên mặt phẳng tọa độ

(10)

Gọi C là giao điểm của hai đường thẳng y = 1 và x = 5. Khi đó C(5; 1) Ta có tam giác ABC vuông tại C

Có AC = 5 – 1 = 4 BC = 4 – 1 = 3.

Áp dụng định lý Py – ta – go cho tam giác vuông ABC ta có:

2 2 2

AC +BC =AB

2 2 2

4 3 AB

 + =

25= AB²

AB = 5.

b) Ta biểu diễn hai điểm M, N lên mặt phẳng tọa độ

Gọi E là giao của hai đường thẳng y = 2 và x = 3.

(11)

Khi đó E(3; 2) và tam giác MNE vuông tại E Ta có: ME = | 3 – (-2)| = 5

NE = 5 – 2 = 3

Xét tam giác MNE vuông tại E có:

2 2 2

EM +EN =MN (định lý Py – ta – go)

2 2 2

5 3 MN

 + = 25 9 MN2

 + = MN2 34

 =

MN 34

 =

c) Ta biểu diễn hai điểm P và Q trên mặt phẳng tọa độ.

Gọi E là giao điểm của hai đường thẳng y = y và x = ₂ x . Khi đó ₁ E x ; y

(

1 2

)

và tam giác PEQ vuông tại E.

Ta có: EP = y₁−y₂ EQ = x₂ −x₁

Áp dụng định lý Py – ta – go cho tam giác vuông EPQ ta có:

2 2 2

EP +EQ =PQ

(12)

2 2 2

1 2 2 1

y y x x PQ

 − + − =

(

y2 y1

) (

² x2 x1

)

² PQ²

 − + − =

(

2 1

) (

² 2 1

)

²

PQ y y x x

 = − + −

Bài tập bổ sung

Bài 2.1 trang 63 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: Trong các hàm số dưới đây, hàm số bậc nhất là:

A) y= −3 2x+x²

B) 4 2

y= x 3−5 +

C) ^y⁼ ³₂

(

^x ⁺⁵

)

D) 2x 5

y 3

= +

Hãy chọn đáp án đúng

Lời giải:

A) Không phải hàm số bậc nhất vì không có dạng y = ax + b (có x²) B) Không phải hàm số bậc nhất vì không có dạng y = ax + b ( 4

x+3 là phân thức) C) Không phải hàm số bậc nhất vì không có dạng y = ax + b (có x )

D) Là hàm số bậc nhất vì 2x 5 2 5

y x

3 3 3

= + = + có dạng y = ax + b.

Chọn đáp án D.

Bài 2 trang 63 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: Trong các hàm số bậc nhất dưới đây, hàm số đồng biến là:

(13)

A) y ^{5 3x} 7 2

= − +

B) 7 2x

y 5

3

= + −

C) 1 3 x

y 2 5

= − +

D) 3x 1

y 13 5

= − +

Lời giải:

A) y ^{5 3x} 7 ⁵ ³x 7 ³x ¹⁹

2 2 2 2 2

− −

= + = − + = +

Hàm số trên là hàm số nghịch biến vì a ³ 0 2

= − 

B) 7 2x 7 2 2 8

y 5 x 5 x

3 3 3 3 3

= + − = + − = −

Hàm số trên là hàm số đồng biến vì 2

a 0

= 3

C) 1 3 x 1 3 1 1 1

y x x

2 5 2 5 5 5 10

= − + = − − = − −

Hàm số trên là hàm số nghịch biến vì 1

a 0

5

= − 

D) 3x 1 3x 1 3x 64

y 13 13

5 5 5 5 5

+ −

= − = − − = +

Hàm số trên là hàm số nghịch biến vì 3

a 0

5

= −  Chọn đáp án B

(14)

Bài 3 trang 63 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: Trong các hàm số bậc nhất dưới đây, hàm số nghịch biến là:

A) 7 x

y 5 3

= − −

B) y 15 ^{3x 1} 2

= − −

C) 4x 5

y 1

3

= + −

D) 4x 1 2

y 3 5

= + −

Lời giải:

A) 7 x

y 5 3

= − − 7 x 1 8

5 x

3 3 3 3

= − + = +

Hàm số đã cho là hàm số đồng biến vì 1

a 0

= 3 B) y 15 ^{3x 1} 15 ^3x ¹ ³x ³¹

2 2 2 2 2

= − − = − + = − +

Hàm số đã cho là hàm số nghịch biến vì a ³ 0 2

= − 

C) 4x 5 4x 5 4 2

y 1 1 x

3 3 3 3 3

= + − = + − = +

a 0

= 3

D) 4x 1 2 4x 1 2 4 1

y x

3 5 3 3 5 5 15

= + − = + − = −

a 0

= 5

(15)

Chọn đáp án B

Bài 4 trang 63 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: Cho hàm số m 5

y m 5

= +

− x + 2010 a) Với điều kiện nào của m thì hàm số đã cho là hàm số bậc nhất.

b) Tìm các giá trị của m để hàm số đã cho là hàm số bậc nhất đồng biến trên . Lời giải:

a) Điều kiện xác định của hàm số đã cho là:

m xác định khi m ≥ 0

m − 5 ≠ 0 khi m ≥ 0 và m ≠ 5.

Vậy điều kiện để hàm số đã cho là hàm số bậc nhất là m ≥ 0 và m ≠ 5.

b) Đề hàm số đã cho đồng biến trên thì m 5 m 5 0

+ 

− Vì m + 5 > 0 với điều kiện m ≥ 0 và m ≠ 5.

Do đó, điều kiện để hàm số đã cho là hàm số bậc nhất đồng biến trên R là:

m - 5 > 0, suy ra m > 5 ⇔ m > 5.

Vậy m > 5 thì hàm số đã cho đồng biến trên .

(16)