SBT Toán 9 Bài 2: Căn bậc hai và hằng đẳng thức | Hay nhất Giải sách bài tập Toán lớp 9

(1)

Bài 2: Căn bậc hai và hằng đẳng thức A² = A Bài tập

Bài 12 trang 7 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: Tìm x để căn thức sau có nghĩa:

a) −2x+3 b) ²₂

x

c) ⁴

x +3 d) ₂ ⁵

x 6

− +

Lời giải:

a) Ta có: −2x+3có nghĩa khi:

-2x + 3 0 2x 3

 −  −

( ) ( )

x 3 : 2

  − − x 3

  2

Vậy 3

x  2 thì căn đã cho có nghĩa b) Ta có: ²₂

x có nghĩa khi 2₂ x 0 Vì 2 > 0 và x² 0 với mọi x nên 2₂

x 0 khi x²   0 x 0.

Vậy x  0 thì căn đã cho có nghĩa c) Ta có: ⁴

x+3có nghĩa khi 4 x 30

+

(2)

Vì 4 > 0 nên để 4 x 30

+ thì ^x ³ ⁰ x 3 0 x 3.

x 3 0 Vậy x  −3 thì căn đã cho có nghĩa

d) Ta có: x² ≥ 0 với mọi x nên x² + 6 > 0 với mọi x Mà -5 < 0

2

5

x 6

 −

+ < 0 với mọi x

Do đó không tồn tại giá trị nào của x để ₂ 5 x 6 0

−  +

Vậy không có giá trị nào của x để căn thức đã cho có nghĩa.

Bài 13 trang 7 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: Rút gọn rồi tính:

a) ⁵

( )

⁻² ⁴

b)⁻⁴

( )

⁻³ ⁶

c)

( )

⁻⁵ ⁸

d)²

( )

⁻⁵ ⁶ ⁺³

( )

⁻² ⁸

Lời giải:

a) ⁵

( )

⁻² ⁴ ⁼⁵

( ) ( )−2 2 2 =5.( )−2 2 =5.4=20

b) ⁻^4.

( )

⁻³ ⁶ ^{= −}^4.

( ) ( )−3 3 2 = −4.( )−3 3 = −4.27= −108

c)

( )

⁻⁵ ⁸ ⁼

( ( )−5 4)2 = ( )−5 4 = 54 = ( )52 2 =52 =25

d) ²

( )

⁻⁵ ⁶ ⁺³

( )

⁻² ⁸ ⁼²

( ) ( )−5 3 2 +3 ( ) ( )−2 4 2

(3)

( )

³

( )

⁴

2. 5 3. 2 2.125 3.16 298

= − + − = + = .

Bài 14 trang 7 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: Rút gọn các biểu thức sau:

a)

(

⁴⁺ ²

)

²

b)

(

³⁻ ³

)

²

c)

(

⁴⁻ ¹⁷

)

²

d) ^{2 3}⁺

(

²⁻ ³

)

²

Lời giải:

a)

(

⁴⁺ ²

)

² ^{= +}⁴ ² ^{= +}⁴ ²^{(vì 4}⁺ ²^⁰^{nên 4}⁺ ² ^{= +}⁴ ²⁾

b)

(

³⁻ ³

)

² ^{= −}³ ³ ^{= −}³ ³^{(vì 3}⁻ ³^⁰^{nên 3}⁻ ³ ^{= −}³ ³⁾

c)

(

⁴⁻ ¹⁷

)

^{= −}⁴ ¹⁷ ⁼ ¹⁷ ⁻⁴^{(vì 4}⁻ ¹⁷ ^⁰^nên

( )

4− 17 = − −4 17 = 17 −4).

d) ^{2 3}⁺

(

²⁻ ³

)

² ⁼^{2 3}^{+ −}² ³ ⁼^{2 3}^{+ −}² ³ ⁼ ³⁺²

(vì 2− 30nên 2− 3 = −2 3)

Bài 15 trang 7 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: Chứng minh:

a) ⁹⁺^{4 5}⁼

(

⁵⁺²

)

²

b) 9−4 5 − 5= −2 c)

(

⁴⁻ ⁷

)

² ⁼^{23 8 7}⁻

(4)

d) 23 8 7+ − 7 =4

Lời giải:

a) Ta có:

VP =

(

⁵ ⁺²

)

²⁼

( )

⁵ ² ⁺^{2. 5.2}⁺²² ^{= +}⁵ ^{4 5}^{+ = +}⁴ ⁹ ^{4 5}^{= VT}

Điều phải chứng minh

b) VT = 9−4 5 − =5 5−2.2. 5+ −4 5

( )

⁵ ² ^{2.2. 5} ²² ⁵

(

⁵ ²

)

² ⁵

= − + − = − −

5 2 5 5 2 5 2

= − − = − − = − = VP (do 5− 2 0 nên 5− =2 5−2)

 Điều phải chứng minh.

c) VT =

(

⁴⁻ ⁷

)

² ⁼⁴² ⁻^{2.4. 7} ⁺

( )

⁷ ² ⁼^{16 8 7}⁻ ^{+ =}⁷ ^{23 8 7}⁻ ^{= VP}

Điều phải chứng minh.

d) VT = 23 8 7+ − 7= 16+2.4. 7 + −7 7

( )

²

( )

²

42 2.4. 7 7 7 4 7 7

= + + − = + −

= 4+ 7 − 7 = +4 7− 7 =4 = VP

Điều phải chứng minh.

Bài 16 trang 7 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: Biểu thức sau đây xác định với giá trị nào của x?

a)

(

^{x 1 x}⁻

)(

⁻³

)

b) x² −4 c) ^x ²

x 3

− +

(5)

d) ² ^x 5 x

+

−

Lời giải:

a) Để

(

^{x 1 x}⁻

)(

⁻³

)

có nghĩa thì

(

^{x 1 x 3}⁻

)(

^{− }

)

⁰

* Trường hợp 1:

x 1 0 x 1

x 3 x 3 0 x 3

−  

 

  

 −   

 

x 1 0 x 1 x 3 0 x 3 x 1

−  

 

  

 −   

 

Vậy để căn có nghĩa thì x 3 hoặc x1.

b) ^x² ^{− =}⁴

(

^x⁻^{2 x}

)(

⁺²

)

Để

(

^x⁻^{2 x}

)(

⁺²

)

có nghĩa thì

(

^x⁻^{2 x}

)(

^{+ }²

)

⁰

x 2 0 x 2

x 2

x 2 0 x 2

−  

 

  

 +    −

 

x 2 0 x 2

x 2

x 2 0 x 2

−  

    −

 +    −

 

Vậy để căn có nghĩa thìx2hoặc x −2 c) Để ^x ²

x 3

−

+ có nghĩa thìx 2 x 3 0

−  +

(6)

x 2 0 x 2

x 2

x 3 0 x 3

−  

 

  

 +    −

 

x 2 0 x 2

x 3

x 3 0 x 3

−  

 

   −

 +    −

 

Vậy để căn có nghĩa thì x < -3 hoặc x2. d) Để ² ^x

5 x +

− có nghĩa thì 2 x 5 x 0

+ 

−

2 x 0 x 2 x 2

2 x 5

5 x 0 x 5 x 5

+   −  −

  

   −  

 −  −  −  

  

2 x 0 x 2 x 2

5 x 0 x 5 x 5

+   −  −

  

 −  −  −  

   (vô lí)

Vậy để căn có nghĩa thì −  2 x 5

Bài 17 trang 8 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: Tìm x, biết:

a) 9x² =2x 1+

b) x² +6x+ =9 3x 1− c) 1 4x− +4x²=5 d) x⁴ =7

Lời giải:

a) Ta có:

( )

²

9x2 = 3x = 2x + 1 ⇔ |3x| = 2x + 1

(7)

* Trường hợp 1: 3x ≥ 0 ⇔ x ≥ 0 ⇒ |3x| = 3x

 3x = 2x + 1 ⇔ 3x - 2x = 1 ⇔ x = 1 (thỏa mãn)

* Trường hợp 2: 3x < 0 ⇔ x < 0 ⇒ |3x| = -3x

-3x = 2x + 1 ⇔ -3x - 2x = 1 ⇔ -5x = 1 ⇔ x = 1 5

− (thỏa mãn)

Vậy tập nghiệm của phương trình là S = ¹;1 5

− 

 

 . b) x² +6x+ =9 3x 1−

(

^x ³

)

² ^{3x 1}

 + = −

⇔ |x + 3| = 3x - 1

* Trường hợp 1: x + 3 ≥ 0 ⇔ x ≥ -3 ⇒ |x + 3| = x + 3

 x + 3 = 3x - 1 ⇔ x - 3x = -1 - 3 ⇔ -2x = -4 ⇔ x = 2 (thỏa mãn)

* Trường hợp 2: x + 3 < 0 ⇔ x < -3 ⇒ |x + 3| = -x - 3

 -x - 3 = 3x - 1 ⇔ -x - 3x = -1 + 3 ⇔ -4x = 2 ⇔ x = 1 2

− (không thỏa mãn)

Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {2}

c) ^{1 4x}⁻ ⁺^4x² ^{= }⁵

(

^{1 2x}⁻

)

² ⁼⁵

|1 - 2x| = 5 (3)

* Trường hơp 1: 1 - 2x ≥ 0 ⇔ 2x ≤ 1 ⇔ x ≤ 1

2 ⇒ |1 - 2x| = 1 - 2x

1 - 2x = 5 ⇔ -2x = 5 - 1 ⇔ x = -2 (thỏa mãn)

* Trường hợp 2: 1 - 2x < 0 ⇔ 2x > 1 ⇔ x > ¹

2 ⇒ |1 - 2x| = 2x - 1

(8)

2x - 1 = 5 ⇔ 2x = 5 + 1 ⇔ x = 3 (thỏa mãn) Vậy phương trình đã cho có nghiệm S =



⁻^2;3



d) ^x⁴ ^{= }⁷

( )

^x² ² ⁼⁷

x2 7

 =

x2 7

 = (Vì x² 0 với mọi x)

x 7

 = hoặc x= − 7

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là S =



⁻ ^{7; 7}



Bài 18 trang 8 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: Phân tích thành nhân tử:

a) x² - 7 b) x² - 2 2 x + 2 c) x² + 2 13 x + 13 Lời giải:

a) Ta có: x² - 7 = x² -

( )

⁷ ²⁼

(

^x⁺ ⁷

)(

^x⁻ ⁷

)

b) Ta có: x² - 2 2 x + 2 = x² - 2.x. 2 +

( )

² ²⁼

(

^x⁻ ²

)

²

c) Ta có: x² + 2 13 x + 13 = x² + 2.x. 13 +

( )

¹³ ²⁼

(

^x⁺ ¹³

)

²

Bài 19 trang 8 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: Rút gọn các phân thức:

a)

x2 5

x 5

−

+ (với x  − 5) b)

2 2

x 2 2x 2 x 2

+ +

− (với x  2)

Lời giải:

(9)

a)

x2 5

x 5

−

+ =

( ) ( )( )

( )

2 2

x 5 x 5 x 5

x 5

x 5 x 5

− + −

= = −

+ + (với x − 5)

b)

2 2

x 2 2x 2 x 2

+ +

− =

( )

( ) ( )

( )( )

2 2

2

2 2

x 2. 2.x 2 x 2 x 2

x 2

x 2 x 2

x 2

+ + = + = +

+ − −

− (với

x  2)

Bài 20 trang 8 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: So sánh (không dùng bảng số hay máy tính bỏ túi):

a) 6 + 2 2 và 9 b) 2 + 3 và 3 c) 9 + 4 5 và 16 d) 11 - 3 và 2

Lời giải:

a) Ta có: 9 = 6 + 3

Để so sánh 6 + 2 2 và 9 ta đi so sánh 3 và 2 2 . Ta có

( )

^{2 2} ² ⁼⁸^và³²^{= 9}

Vì 8 < 9 nên 2 2 < 3

6 + 2 2 < 6 + 3 hay 6 + 2 2 < 9.

Vậy 6 + 2 2 < 9.

b) Ta có:

(

²⁺ ³

)

² ^{= +}² ^{2. 2. 3}^{+ = +}³ ⁵ ^{2 6}

(10)

32 =9

Để so sánh 2 + 3 và 3 ta đi so sánh 5 2 6+ và 9

Ta lại có: 9 = 5 + 4 nên để so sánh 5 2 6+ và 9 ta đi so sánh 4 và 2 6 Ta có:

( )

^{2 6} ² ⁼^4.6⁼²⁴

42 =16

Vì 16 < 24 nên 4 < 2 6

5 + 4 < 5 + 2 6

 9 < 5 2 6+

 3 < 2+ 3 Vậy 3 < 2+ 3. c) Ta có: 16 = 9 + 7

Để so sánh 9 + 4 5 và 16 ta so sánh 7 và 4 5 Ta có: 7² = 49

( )

^{4 5} ² ⁼^16.5⁼⁸⁰

Vì 49 < 80 nên 7 < 4 5

4 5 7

4 5 9 7 9

 +  + hay 4 5+ 9 16 Vậy 4 5 9 16+  .

d) Ta có:

(11)

(

¹¹⁻ ³

) ( )

² ⁼ ¹¹ ² ⁻^{2. 11. 3}⁺

( )

³ ²

11 2. 33 3 14 2 33

= − + = −

Ta lại có: 2² =4 Ta có 4 = 14 – 10

Để so sánh 11 - 3 và 2 ta so sánh 14 2 33− và 4 hay so sánh 10 và 2 33 Ta có: 10² =100

(

^{2 33}

)

² ⁼^{4.33 132}⁼

Vì 100 < 132 nên 10 < 2 33 14 10 14 2 33

 −  − hay 4 > 14−2 33 4 14 2 33 2 11 3

  −   −

Vậy 2 > 11− 3.

Bài 21 trang 8 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: Rút gọn các biểu thức:

a) 4−2 3 − 3 b) 11 6 2+ − +3 2 c) 9x² −2x với x < 0

d) x – 4 + 16 8x− +x² với x > 4

Lời giải:

a) 4−2 3 − 3= 3−2 3 1+ − 3

( )

³ ² ^{2 3 1} ³

(

^{3 1}

)

² ³

= − + − = − −

(12)

3 1 3 3 1 3 1

= − − = − − = −

(Vì 3 1 0−  nên 3 1− = 3 1− )

b) 11 6 2+ − +3 2= 9+2.3. 2+ − +2 3 2

= ³² ⁺^{2.3. 2} ⁺

( )

² ² ^{− +}³ ² ⁼

(

³⁺ ²

)

² ^{− +}³ ²

3 2 3 2 3 2 3 2 2 2

= + − + = + − + = (vì 3+ 20nên 3+ 2 = +3 2)

c) 9x² −2x=

( )

^3x ² ⁻^2x⁼ ^3x ⁻^2x^{= − −}^3x ^2x^{= −}^5x

(vì x < 0 nên 3x < 0  3x = −3x)

d) x – 4 + 16 8x− +x² =x− +4 4² −2.4.x+x²

=^x^{− +}⁴

(

^x⁻⁴

)

² = − + − = − + − =^x ⁴ ^x ⁴ ^x ⁴ ^x ⁴ ^2x−⁸ (Vì x > 4 nên x – 4 > 0  − = −x 4 x 4)

Bài 22 trang 8 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: Với n là số tự nhiên, chứng minh đẳng thức:

(

^{n 1}⁺

)

² ⁺ ⁿ² ⁼

(

^{n 1}⁺

)

²⁻ⁿ²

Viết đẳng thức trên khi n là 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7 Lời giải:

Xét VT =

(

^{n 1}⁺

)

² ⁺ ⁿ² ^{= + +}^{n 1} ⁿ

Vì n là số tự nhiên nên n  0 do đó: n 1+ = +n 1; n =n Khi đó VT = n + 1 + n = 2n + 1 (*)

(13)

Xét VP =

(

^{n 1}⁺

)

²⁻ⁿ² ⁼ⁿ²⁺^{2n 1 n}^{+ −} ² ⁼^{2n 1}⁺ ^(**)

Từ (*) và (**) ta có: VT = VP (điều phải chứng minh)

*) Với n = 1 ta có đẳng thức trên là:

(

^{1 1}⁺

)

² ⁺ ¹² ^{= +}

(

^{1 1}

)

² ⁻¹²

(

^{2 1}⁺

)

² ⁺ ²² ⁼

(

^{2 1}⁺

)

² ⁻²²

(

^{3 1}⁺

)

² ⁺ ³² ^{= +}

(

^{3 1}

)

² ⁻³²

(

^{4 1}⁺

)

² ⁺ ⁴² ⁼

(

^{4 1}⁺

)

² ⁻⁴²

(

^{5 1}⁺

)

² ⁺ ⁵² ^{= +}

(

^{5 1}

)

² ⁻⁵²

(

^{6 1}⁺

)

² ⁺ ⁶² ⁼

(

^{6 1}⁺

)

² ⁻⁶²

(

^{7 1}⁺

)

² ⁺ ⁷² ⁼

(

^{7 1}⁺

)

² ⁻⁷²

II. Bài tập bổ sung

Bài 2.1 trang 8 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: Đẳng thức nào đúng nếu x là số âm:

A) 9x² = 9x;

(14)

B) 9x² = 3x;

C) 9x² = -9x;

D) 9x² = -3x.

Hãy chọn đáp án đúng.

Lời giải:

Chọn đáp án D vì ^9x² ⁼

( )

^3x ² ⁼ ^3x mà x < 0 nên 3x = −3x.