BÀI 4. ĐƯỜNG TIỆM CẬN

BÀI 4. ĐƯỜNG TIỆM CẬN

I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT A. Tóm tắt lý thuyết : Định nghĩa 1:

Đường thẳng x = xo được gọi là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = f(x) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn

xlim f (x)xo₊

→ = + ;

xlim f (x)xo₊

→ = − ;

xlim f (x)xo₋

→ = + ;

xlim f (x)xo₋

→ = −

Định nghĩa 2:

Đường thẳng y = yo được gọi là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = f(x) nếu

xlim

→+f(x) = yo hoặc y

xlim

→−f(x) = yo

B. Ghi nhớ:

 Hàm số x b y a

x d c

= +

+ có 1 tiệm cận đứng d

x= −c (cho mẫu = 0) và 1 tiệm cận ngang y a

= c

 Hàm số có dạng:

1 1

1 2

1 2

...

n ...

m n

xm a x

y x b

a

b x

−

−

+ +

= + +

 Tiệm cận đứng:

 Ứng với mỗi nghiệm x₀ của mẫu (không trùng với nghiệm của tử) ta sẽ có một tiệm cận đứng là x=x0

 Nếu phương trình b₁xⁿ+b x₂ ⁿ⁻¹+ =... 0 (mẫu = 0) vô nghiệm thì đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng

 Tiệm cận ngang:

 Nếu mn (bậc tử > bậc mẫu) thì đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang

 Nếu mn (bậc tử < bậc mẫu) thì có tiệm cận ngang y=0

 Nếu m=n (bậc tử = bậc mẫu) thì có tiệm cận ngang ¹

1

y a

=b

II. VÍ DỤ MINH HỌA

Tìm tiệm cận đứng và tiệm cận ngang (nếu có) của các đồ thị hàm số sau đây:

Ví dụ 1: 2 3 8 y x

x

= −

− Giải:

• TCĐ: x=8 (vì 8− = → =x 0 x 8)

• TCN: y= −2 (vì 2 3 1 8 y x

x

−

= − )

Ví dụ 2:

2 2

5 1

2 2

x x

y x x

− − −

= + +

Giải:

• Đồ thị hàm số không có TCĐ (vì 2x²+ + =x 2 0 vô nghiệm)

• TCN: 5

y= −2 (vì

2

2 2

5 2

1

x x

y x x

−

− −

= + + , bậc tử = bậc mẫu)

Ví dụ 3: 3 2 5 y x

x

= +

− Giải:

• TCĐ: x=25

(vì x− = →5 0 x= → =5 x 25, không là nghiệm của tử)

• TCN: y= 3

(vì

1 2 1 2

. 3 1

2 5 y x

x

= +

−

, bậc tử = bậc mẫu)

Ví dụ 4: 2₂ 1 1 y x

x

= −

− Giải:

• TCĐ: x=1;x= −1

(vì x²− = → = 1 0 x 1, không là nghiệm của tử)

• TCN: y=0 (vì

1 2

2 1

1 y x

x

= −

− , bậc tử < bậc mẫu)

Ví dụ 5: 5 y 1 3

= x

− Giải:

• TCĐ: 1 x=3

(vì 1

1 3 0

x x 3

− = → = )

• TCN: y=0 (vì

0 1

5 1 3 y x

x

= − , bậc tử < bậc mẫu)

Ví dụ 6:

2 2 1

2 3 x x

y x

= + +

− Giải:

• TCĐ: 3 x= 2

(vì 3

2 3 0

x− = → =x 2, tử vô nghiệm)

• Đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang

(vì

2 1

2 1

2 3

x x

y x

= + +

− , bậc tử > bậc mẫu)

III. ĐỀ THI CÁC NĂM

Câu 1. ĐỀ MINH HỌA LẦN I - NĂM 2017. Cho hàm số y= f x( ) có lim ( ) 1

x f x

→+ = và lim ( ) 1

x f x

→− = − . Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng ? A. Đồ thị hàm số đã cho không có tiệm cận ngang.

B. Đồ thị hàm số đã cho có đúng một tiệm cận ngang.

C. Đồ thị hàm số đã cho có hai tiệm cận ngang là các đường thẳng y=1 và y= −1. D. Đồ thị hàm số đã cho có hai tiệm cận ngang là các đường thẳng x=1 và x= −1.

Hướng dẫn:

Dựa vào định nghĩa đường tiệm cận lim ( ) 1 1

x f x y

→+ =  = là tiệm cận ngang

lim ( ) 1 1

x f x y

→− = −  = − là tiệm cận ngang Chọn C

Câu 2. ĐỀ MINH HỌA LẦN III - NĂM 2017. Cho hàm số ^y= ^{f x( )} có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây. Hỏi đồ thị của hàm số đã cho có bao nhiêu đường tiệm cận ?

A. 1. B. 3. C. 2. D. 4.

Hướng dẫn:

Dựa vào BBT ta thấy:

2

lim 2

x

y x

→−+ = − → = − là tiệm cận đứng

0

lim 0

x ₋y x

→ = + → = là là tiệm cận đứng

lim 0 0

x y y

→+ = → = là là tiệm cận ngang

Vậy đồ thị của hàm số đã cho có 3 đường tiệm cận Chọn B

Câu 3. ĐỀ MINH HỌA LẦN II - NĂM 2017. Đường thẳng nào dưới đây là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số ^{2 1}

1 y x

x

= +

+ ?

A.x=1. B. y= −1. C. y=2. D. x= −1.

Hướng dẫn:

1 0 1

x+ = → = −x là tiệm cận đứng Chọn D

Câu 4. ĐỀ THI CHÍNH THỨC NĂM 2020 – MÃ ĐỀ 104. Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số 3

1

= − + y x

x

A. ¹

y=3. B. y=3. C. y= −1. D. y=1.

Hướng dẫn:

1 1 3 1x

y x

= −

+ → = −y 1 là tiệm cận ngang Chọn C

Câu 5. TỐT NGHIỆP THPT QUỐC GIA 2017 – ĐỀ 102. Tìm số tiệm cận của đồ thị hàm số

2 2

5 4

1

x x

y x

− +

= − .

A. 3. B. 1. C. 0. D. 2.

Hướng dẫn: “số tiệm cận” nghĩa là tìm cả tiệm cận đứng và tiệm cận ngang Cách 1:

Xét :

2 2

1 0 1

1 1

5 4 0

4; 1 x x

x x

x x

x x

 =

 − =

  = −  = −

 

− + 

   

là tiệm cận đứng

2 2

5 4

1 1

1

x x

y

x

− +

= − (bậc tử = bậc mẫu) → =y 1 là tiệm cận ngang Cách 2:

( )( )

( )( )

2 2

4 1

5 4 4

1 1 1 1

x x

x x x

y x x x x

− −

− + −

= = =

− − + +

TCĐ: ^x= −¹và TCN: y=1 Chọn D

Câu 6. ĐỀ MINH HỌA LẦN II - NĂM 2017. Tìm tất cả các tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

2 2

2 1 3

5 6

x x x

y x x

− − + +

= − + .

A. x= −3 và x= −2. B. x= −3. C. x=3 và x=2. D. x=3.

Hướng dẫn:

Xét

2

2

2

5 6 0 3

2 3

2 1 3 0

2 1 3 0

x x x

x x

x x x

x x x

 =

 − + = 

   =  =

 

− − + + 

 

  − − + + 

là tiệm cận đứng

Chọn D

Câu 7. ĐỀ THAM KHẢO NĂM 2018. Đồ thị của hàm số nào dưới đây có tiệm cận đứng ? A.

2 3 2

1

x x

y x

− +

= − B.

2

2 1

y x

= x

+ C. y= x²−1 D.

1 y x

= x +

Hướng dẫn:

Tiệm cận đứng là nghiệm của mẫu, không là nghiệm của tử

• Loại C

• Loại B vì x²+ =1 0 vô nghiệm

• A.

2 3 2

1

x x

y x

− +

= −

Cách 1: Xét ₂ ^{1 0 1} 1; 2

3 2 0

x x

x x

x x

− = =

 

 − +    

 (vô nghiệm) → không có tiệm cận đứng

Cách 2: ² 3 2

(

)(

)

1 1 2

x x

x x

y x

x x

− −

− +

= = = −

− − → loại

• D.

1 y x

= x

+ (Đây là hàm số dạng ax b y cx d

= +

+ nên luôn có 1 tiệm cận đứng d x= −c)

1 0 1

x+ = → = −x là TCĐ Chọn D

Câu 8. ĐỀ 101 – TỐT NGHIỆP THPT QUỐC GIA 2017. Tìm số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

2 2

3 4 16

x x

y x

− −

= − .

A. 2. B. 3. C. 1. D. 0.

Câu 9. ĐỀ 103 – TỐT NGHIỆP THPT QUỐC GIA 2017. Đồ thị của hàm số nào trong các hàm số dưới đây có tiệm cận đứng ?

A. 1

y x

= . B. ₂ ¹

y 1

x x

= + + . C. ₄¹ y 1

= x

+ . D. ₂¹ y 1

= x

+ .

Câu 10. ĐỀ 104 – TỐT NGHIỆP THPT QUỐC GIA 2017. Đồ thị của hàm số ₂ ² 4 y x

x

= −

− có bao nhiêu tiệm cận ?

A. 0. B. 3. C. 1. D. 2.

Câu 11. ĐỀ THI CHÍNH THỨC 2018 – Mã đề thi: 101. Số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

2

9 3 y x

x x

= + −

+ là

A. 3. B. ². C. 0. D. ¹.

Câu 12. ĐỀ THI CHÍNH THỨC 2018 – Mã đề thi: 102. Số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

2

4 2 x

x x

y là

A. 3. B. 0. C. ². D. ¹.

Câu 13. ĐỀ THI CHÍNH THỨC 2018 – Mã đề thi: 103. Số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

2 2

25 5 y x

x x

− −

= + là

A. 2. B. 0. C. 1. D. 3.

Câu 14. ĐỀ THI CHÍNH THỨC 2018 – Mã đề thi: 104. Số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

2

16 4 y x

x x

+ −

= + là

A. 0. B. 3. C. 2. D. 1.

Câu 15. ĐỀ THAM KHẢO 2019. Cho hàm số ^{y= f x}

( )

Tổng số tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho là

A. ⁴. B. ¹. C. 3. D. ².

Câu 16. ĐỀ THI CHÍNH THỨC 2019 – Mã Đề: 101. Cho hàm số ^{y= f x}

( )

Câu 17. ĐỀ THI CHÍNH THỨC 2019 – Mã Đề: 102. Cho hàm số có bảng biến thiên sau:

Tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là:

A. 3. B. 1. C. 2. D. 4.

Câu 18. ĐỀ THI CHÍNH THỨC 2019 – Mã Đề: 103. Cho hàm số ^{f x}

( )

Tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho là

A. 1_{. B.} 2_{. C.} 3. D. 4_.

Câu 19. ĐỀ THI CHÍNH THỨC 2019 – Mã Đề: 104. Cho hàm số ^{y= f x}

( )

Tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho là

A. 2. B. 1. C. 3. D. 4.

( ) y= f x

Câu 20. ĐỀ THI THAM KHẢO LẦN 1 NĂM 2020. Tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

2 2

5 4 1

1

x x

y x

− −

= − là

A. 0. B. 1. C. 2. D. 3

Câu 21. ĐỀ THI THAM KHẢO TỐT NGHIỆP– LẦN 2 – NĂM 2020. Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số ²

1 y x

x

= −

+ là

A. y= −2. B. y=1. C. x= −1. D. x=2.

Câu 22. ĐỀ THI CHÍNH THỨC NĂM 2020 – MÃ ĐỀ 101. Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số 4 1

1 y x

x

= +

− là

A. 1

y= 4. B. y=4. C. y=1. D. y= −1.

Câu 23. ĐỀ THI CHÍNH THỨC NĂM 2020 – MÃ ĐỀ 102. Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

A. . B. . C. . D. .

Câu 24. ĐỀ THI CHÍNH THỨC NĂM 2020 – MÃ ĐỀ 103. Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số 2 1

1 y x

x

= +

− 5 1

1 y x

x

= +

− 1

y= 1

y=5 y= −1 y=5

Câu 25. ĐỀ THI TỐT NGHIỆP THPT 2020 ĐỢT 2 - MÃ ĐỀ: 101. Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số ^{2 2}

1 y x

x

= +

− là

A. x=2. B. x= −2. C. x=1. D. x= −1.

Câu 26. ĐỀ THI TỐT NGHIỆP THPT 2020 ĐỢT 2 - MÃ ĐỀ: 102. Tiệm cận đứng của đồ thị hàm

số ¹

3 y x

x

= −

− là

A. x= −3. B. x= −1. C. x=1. D. x=3.

Câu 27. ĐỀ THI TỐT NGHIỆP THPT 2020 ĐỢT 2 - MÃ ĐỀ: 103. Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số ^{2 2}

1 y x

x

= −

+ là

A. x= −2. B. x=1. C. x= −1. D. x=2.

Câu 28. ĐỀ THI TỐT NGHIỆP THPT 2020 ĐỢT 2 - MÃ ĐỀ: 104. Tiệm cận đứng của đồ thị hàm

số ¹

3 y x

x

= +

+ là

A. x= −1. B. x=1. C. x= −3. D. x=3.

Câu 29. ĐỀ MINH HỌA 2021. Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số ^{2 4} 1 y x

x

= +

− là đường thẳng:

A. x=1. B. x= −1. C. x=2 D. x= −2.

Câu 30. ĐỀ THI TỐT NGHIỆP THPT QUỐC GIA NĂM 2021 – MÃ ĐỀ 101. Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số 2 1

1 y x

x

= −

− là đường thẳng có phương trình:

A. x=1. B. x= −1. C. x=2. D. 1

x= 2.

Câu 31. ĐỀ THI TN THPT QUỐC GIA – NĂM HỌC: 2020 – 2021 – MÃ ĐỀ 102. Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số ¹

2 y x

x

= +

− là đường thẳng có phương trình:

A. x= −1. B. x= −2. C. x=2. D. x=1.

Câu 32. ĐỀ THI TN THPT QUỐC GIA – NĂM HỌC: 2020 – 2021 – MÃ ĐỀ 103. Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số ^{2 1}

1 y x

x

= +

− là đường thẳng có phương trình

A. x=2. B. x=1. C. ¹

x= −2. D. −1.

Câu 33. ĐỀ THI TN THPT QUỐC GIA – NĂM HỌC: 2020 – 2021 – MÃ ĐỀ 104. Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số 1

2 y x

x

= −

+ là đường thẳng có phương trình:

A. x=2. B. x= −1. C. x= −2. D. x=1.

--- HẾT ---