Tập hợp điểm M thỏa mãn AM.BC0 là đường thẳng đi qua A và vuông góc với BC

Ths Lê Nho Duy – THPT Thuận Thành số 1

www.thptthuanthanh1.bacninh.edu.vn

MỘT SỐ BÀI TẬP VỀ TÌM TẬP HỢP ĐIỂM

LIÊN QUAN ĐẾN TÍCH VÔ HƯỚNG TRONG HÌNH PHẲNG

I. Kiến thức chuẩn bị (Học sinh tự ôn lại) 1. Kiến thức chương 1 về véc- tơ.

2. Định nghĩa, tính chất của tích vô hướng.

II. Kết quả cơ bản:

1. Kết quả 1: Cho điểm I và số thực R > 0. Tập hợp các điểm M trong mặt phẳng sao cho IM = R là đường tròn tam I bán kính R.

2. Kết quả 2: Cho ba điểm A,B,C. Tập hợp điểm M thỏa mãn AM.BC0 là đường thẳng đi qua A và vuông góc với BC.

III. Một số bài toán tổng quát

1. Bài toán 1: Cho hai điểm AB và số thực k. Tìm tập hợp điểm M thỏa mãn MA.MBk

Lời giải: Gọi I là trung điểm của AB khi đó

  

. 4

2 2

2

2 AB

k MI k IA MI k IB MI IA MI k

MB

MA           

- Nếu k <

4 AB2

 thì tập hợp M là tập rỗng.

- Nếu k =

4

 AB thì M trùng với I.

- Nếu k >

4

 AB thì tập hợp M là đường tròn tâm I bán kính

4 AB2

k R 

. 2. Bài toán 2: Cho 3 điểm A, B, C. Tìm tập hợp M thỏa mãn AM.BCk

Lời giải:Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A và M trên đường thẳng BC, khi đó H cố định.

Ta có

K BC HK k k BC HK k

BC HK k

BC

AM.   .   .     cố định. Vậy tập hợp M là đường thẳng vuông góc với đường thẳng BC tại K.

B C

A

M

H K

Ths Lê Nho Duy – THPT Thuận Thành số 1

www.thptthuanthanh1.bacninh.edu.vn

3. Bài toán 3: Cho 3 điểm A, B, C và các số thực x, y, z, k ( với x + y + z 0).

Tìm tập hợp M thỏa mãn xMA² yMB²zMC² k.

Lời giải: Gọi I là điểm xác định bởi xIA yIB zIC 0. Khi đó













x k zMC yMB

xMA² ²  ²    ²  ²  ² 

   

z y x

zIC yIB xIA MI k

k zIC yIB xIA MI z y

x  





 

















2 2 2 2

2 2 2

2 là hằng số

- Nếu















z y x

zIC yIB xIA

k thì tập hợp M là đường tròn tâm I bán kính

 

z y x

zIC yIB xIA R k









 

2 2 2

- Nếu















z y x

zIC yIB xIA

k khi đó M trùng với I

- Nếu

 

0

2 2 2

 









z y x

zIC yIB xIA

k tập hợp M là tập rỗng.

IV. Một số bài tập áp dụng

1. Bài tập 1: Cho đoạn thẳng AB có độ dài 2a. Tìm tập hợp điểm M thỏa mãn điều kiện a) MAMB3a²

b) MAAB2a²

c) MA² - 2MB² = 5a² Hướng dẫn giải:

a) Áp dụng kết quả của bài toán 1 ta có kết quả: Tập hợp M là đường tâm I và bán kính R = 2a với I là trung điểm AB.

b) Áp dụng kết quả bài toán số 2 với BC AB ta có kết quả:

Tập hợp M là đường thẳng vuông góc với đường thẳng AB tại điểm H với H thỏa mãn AH.AB2a² H thuộc tia AB và AH

= a hay H là trung điểm của đoạn AB.

A H B

M

Ths Lê Nho Duy – THPT Thuận Thành số 1

www.thptthuanthanh1.bacninh.edu.vn

c) Áp dụng kết quả bài toán 3 với z = 0 ta có kết quả quỹ tích là đường tròn tâm I bán kính R = a 3 với I là điểm thỏa mãn IA2IB0

Bài tập 2: Cho hình vuông ABCD có cạnh a. Tìm tập hợp M thỏa mãn a) MA.MBMA.MC0

b) ^{MA.MBMA.MC0}

c) MA²+MB²+MC²+MD² = 3a² Lời giải :

a) ^{MA.MBMA.MC 0MA}





Với I là trung điểm của BC. Áp dụng kết quả 2 ta có quỹ tích điểm M là đường tròn đường kính AI.

b) ^{MA.MBMA.MC 0MA.CB0}

Vậy tập hợp M là đường thẳng đi qua A và vuông góc với đường thẳng BC.

c) Với cách làm tương tự của bài toán 3 ta có tập hợp M là đường tròn tâm I với bán kính R = a.

Bài tập 3: Cho đoạn thẳng AB có độ dài a. Tìm tập hợp M thỏa mãn MA = 2MB Lời giải: Điều kiện của M mới nhìn không liên quan đến tích vô hướng nhưng nếu ta bình phương 2 vế ta sẽ được dạng của bài toán 3 khi đó M thỏa mãn MA² – 4 MB² = 0.

Áp dụng kết quả bài toán 3 ta có tập hợp M là đường tròn tâm I thỏa mãn ^IA4IB0 và bán kính R = a ₂⁷ .

M J

A B

Ths Lê Nho Duy – THPT Thuận Thành số 1

www.thptthuanthanh1.bacninh.edu.vn V. Một số bài tập tự luyện

Bài tập 1: Cho tam giác ABC đều cạnh a. Tìm tập hợp M thỏa mãn a) MA.MBMB.MC

b) MA.MBMA²

c) MA² MB² MC² 2a²

d) . 2

a2

MB MA 

Bài tập 2: Cho tam giác ABC vuông cân tại A có cạnh AB = a.

a) Tập hợp M thỏa mãn MA.MBa²là đường tròn có bán kính R bằng A. 2

3

a B.

2 5

a C.

2 7

a D.

2 a

b) Tập hợp M thỏa mãn MA.MBMA.MC a²là A. Đường tròn có bán kính R = a 2

B. Đường tròn có bán kính R = a

C. Là đường thẳng đi qua A vuông góc với BC D. Là đường thẳng đi qua B vuông góc với AC

c) Tập hợp M thỏa mãn MA² MB² MC² a²là đường tròn có bán kính R bằng A. 2

3

a B. a C. a 2 D.

2 a

Một vài chú ý:

- Các dạng toán trên có thể mở rộng cho hình học không gian ( Hình học 11) - Từ bài toán qũy tích có thể phát triển thêm bài toán cực trị hình học.

---Hết---