50 bài tập về Cung chứa góc, các bài toán về quỹ tích, dựng hình (có đáp án 2022) - Toán 9

(1)

Cung chứa góc và các bài toán về quỹ tích, dựng hình I. Lý thuyết

1. Quỹ tích cung chứa góc

- Với đoạn thẳng AB và góc ^{    }

(

⁰ ¹⁸⁰^

)

cho trước thì quỹ tích các điểm M thỏa mãn AMB=  là hai cung chứa góc dựng trên đoạn AB.

Chú ý:

- Hai cung chứa góc  nói trên ta gọi là hai cung tròn đối xứng nhau qua AB. Hai điểm A, B được coi là thuộc quỹ tích .

- Quỹ tích các điểm M nhìn đoạn thẳng AB cho trước dưới một góc vuông là đường tròn đường kính AB.

2. Cách vẽ cung chứa góc 

- Vẽ đường trung trung trực d của đoạn thẳng AB;

- Vẽ tia Ax tạo với AB một góc ;

- Vẽ đường thẳng Ay vuông góc với Ax. Gọi O là giao điểm của Ay với d;

- Vẽ cung AmB, tâm O, bán kính OA sao cho cung này nằm ở nửa mặt phẳng bờ AB không chứa tia Ax. Cung AmBđược vẽ như trên là một cung chứa góc . 3. Cách giải một bài toán quỹ tích

Muốn chứng minh quỹ tích (tập hợp) các điểm M thỏa mãn tính chất T là một hình H nào đó ta là như sau:

Phần thuận: Mọi điểm có tính chất T đều thuộc hình H.

(2)

Phần nghịch: Mọi điểm thuộc hình H đều có tính chất T.

Từ đó đi đến kết luận quỹ tích các điểm M có tính chất T là hình H.

II. Các dạng toán

Dạng 1: Quỹ tích là cung chứa góc  Phương pháp giải:

Bước 1: Tìm tọa độ cố định trong hình vẽ.

Bước 2: Nối điểm phải tìm với hai đầu đoạn thẳng cố định đó, xác định góc  không đổi.

Bước 3: Khẳng định quỹ tích điểm phải tìm là cung chứa góc dựng trên đoạn cố định.

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC, BC cố định, A= 50 . Gọi D là giao điểm của ba đường phân giác trong của tam giác. Tìm quỹ tích điểm D.

Lời giải:

Xét tam giác ABC ta có:

A+ + =B C 180(định lí tổng ba góc trong một tam giác)

B C 180 50

 + =  −  B C 130

 + =  Lại có:

D là giao điểm của ba đường phân giác trong của tam giác ABC nên BD là phân giác B .

(3)

DBC 1B

 =2

D là giao điểm của ba đường phân giác trong của tam gác ABC nên CD là phân giác C .

DCB 1C

 =2 Do đó:

1 1

DBC DCB B C

2 2

+ = +

( )

DBC DCB 1 B C

 + = 2 +

DBC DCB 1.130

 + = 2 

DBC DCB 65

 + = 

Xét tam giác BCD có:

BDC+DBC+DCB 180=  BDC 65 180

 +  =  BDC 180 65

 =  −  BDC 115

 = 

Do BC cố định nên quỹ tích điểm D là hai cung chứa góc 115dựng trên đoạn BC.

Ví dụ 2: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. C là một điểm di động trên đường tròn. Ở phía ngoài tam giác ABC vẽ tam giác BCD vuông cân tại C. Tìm quỹ tích điểm D.

Lời giải:

(4)

Phần thuận:

Ta có:

ACB là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn ACB 90

 = 

Lại có:

DCB (do tam giác BCD vuông cân tại C) Do đó: ACB DCB 180+ = 

A, C, D thẳng hàng.

ADB CDB 45

 = =  (do tam giác BCD vuông cân)

Vì AB cố định nên D nằm trên cung chứa góc 45dựng trên đoạn AB.

Dựng đường thẳng vuông góc với AB tại A, đường thẳng này giao với cung chứa góc 45dựng trên đoạn AB là I.

Nếu C  A D I Phần đảo:

Lấy điểm D’ bất kỳ trên cung chứa góc 45dựng trên đoạn Ab (D’ thuộc cung IB).

Nối AD’ cắt nửa đường tròn (O) tại C’. Ta đi chứng minh tam giác BCD’ vuông cân tại C’

Ta có:

AC B 90 = (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

(5)

nên BC D  = 90 (kề bù với góc AC B )

mà C D B 45  = do đó tam giác BC’D’ vuông cân tại C’.

Vậy quỹ tích điểm D là cung BI của cung chứa góc 45dựng trên đoạn AB.

Dạng 2: Chứng minh nhiều điểm cùng thuộc một đường tròn và bài toán dựng hình

Phương pháp giải: Chứng minh nhiều điểm cùng thuộc nửa mặt phẳng bờ là AB và cùng nhìn đoạn cố định AB dưới một góc không đổi.

Ví dụ 1: Từ điểm S nằm ở ngoài đường tròn (O) kẻ tiếp tuyến SA; SB với A, B là tiếp điểm và cát tuyến SCD với đường tròn. Gọi I là trung điểm của CD. Chứng minh 5 điểm A, I, O, B, S cùng thuộc một đường tròn.

Lời giải:

Vì SA là tiếp tuyến của đường tròn, A là tiếp điểm nên SA vuông góc với OA.

SAO 90

 = 

Vì SB là tiếp tuyến của đường tròn, B là tiếp điểm nên SB vuông góc với OB.

SBO 90

 = 

Vì I là trung điểm của CD nên OI vuông góc với CD (tính chất) SOI 90

 = 

Gọi trung điểm của SO là K.

(6)

Tam giác OAS vuông tại A với K là trung điểm của SO

OK KS AK 1SO

 = = = 2 (định lí đường trung tuyến ứng với cạnh huyền) (1) Tam giác OBS vuông tại B với K là trung điểm của SO

OK KS BK 1SO

 = = = 2 (định lý đường trung tuyến ứng với cạnh huyền) (2) Tam giác OIS vuông tại I có K là trung điểm của SO

OK KS IK 1SO

 = = = 2 (định lí đường trung tuyến ứng với cạnh huyền) (3)

Từ (1); (2); (3) 1

OK KS IK AK BK SO

 = = = = = 2 Hay 5 điểm A, B, S, I, O cách đều điểm K.

Vậy 5 điểm A, B, S, I, O cùng nằm trên một đường tròn (K) bán kính KS.

Ví dụ 2: Cho hình thang ABCD (AB // CD). Gọi O là giao điểm của hai đường chéo. Trên OA lấy điểm M sao cho OM = OB. Trên OB lấy N sao cho ON = OA.

Chứng minh: 4 điểm D, M, N, C thuộc cùng một đường tròn.

Lời giải:

Xét tam giác OAB và tam giác OMN có:

AOB chung

(7)

OA = ON OB = OM

Do đó AOB= NOM (c – g – c)

BAO MNO

 = (hai góc tương ứng) (1)

Mặt khác, do ABCD là hình thang nên AB // CD (giả thuyết)

BAO DCO

 = (hai góc so le trong) (2) Từ (1) và (2) MNO=DCO

Hai góc này cùng nhìn cạnh MD.

Do đó hai điểm N, C cùng nằm trên cung tròn dựng trên đoạn MD với góc DCO . Ví dụ 3: Dựng hình thang cân ABCD (AB // CD), biết CD = 3cm, AC = 4cm,

D= 70 .

Lời giải:

Cách dựng hình:

(8)

- Dựng đoạn CD = 3cm.

- Dựng góc CDx= 70 .

- Trên nửa mặt phẳng bờ CD chứa tia Dx dựng đường tròn tâm C bán kính 4cm cắt Dx tại A.

- Dựng dây Ay song song với CD.

- Trên nửa mặt phẳng bờ CD chứa điểm A, dựng cung tròn tâm D bán kính 4cm cắt Ay tại B.

- Nối B với C ta được hình thang ABCD cần dựng.

III. Bài tập vận dụng

Bài 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, BC cố định. Gọi I là giao điểm của ba đường phân giác trong. Tìm quỹ tích điểm I khi A thay đổi.

Bài 2: Dựng tam giác vuông ABC với cạnh huyền BC = 4,5cm, AB = 2cm.

Bài 3: Cho nửa đường tròn đường kính AB. Gọi M là điểm chính giữa cung AB.

Trên cung AM lấy điểm N. Trên tia đối của tia Am lấy điểm D sao cho MD = MB, trên tia đố tia NB lấy điểm E sao cho NA = NE, trên tia đối của tia MB lấy điểm C sao cho MC = MA. Chứng minh 5 điểm A, B, C, D, E cùng thuộc một đường tròn.

Bài 4: Dựng một cung chứa góc 55trên đoạn AB = 3cm

Bài 5: Cho I và O lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp tam giác ABC với A= 60 . Gọi H là trực tâm của tam giác ABC. Chứng minh các điểm B, C, O, H, I cùng thuộc một đường tròn.

Bài 6: Cho hình vuông ABCD. Trên cạnh BC lấy điểm E, trên tia đối của tia CD lấy điểm F sao cho CE = CF. Gọi M là giao điểm của hai đường thẳng DE và BF.

Tìm quỹ tích điểm M khi E di động trên BC.

Bài 7: Cho cung AB cố định tạo bởi các bán kính OA, OB vuông góc với nhau, điểm I chuyển động trên cung AB. Trên tia OI lấy điểm M sao cho OM bằng tổng các khoảng cách từ điểm I đến OA, OB, Tìm quỹ tích các điểm M.

Bài 8: Cho tam giác ABC vuông tại A, phân giác BF. Từ điểm I nằm giữa B và F vẽ đường thẳng song song với AC cắt AB, BC lần lượt tại M và N. Vẽ đường tròn ngoại tiếp tam giác BIN cắt Ai tại D. Hai đường thẳng DN và BF cắt nhau tại E.

Chứng minh:

(9)

a) Bốn điểm A, B, D, E cùng thuộc một đường tròn.

b) Năm điển A, B, C, D, E cùng thuộc một đường tròn. Từ đó suy ra BE vuông góc với CE.

Bài 9: Từ điểm M nằm bên ngoài đường tròn (O), kẻ cát tuyến MAB đi qua O và các tiếp tuyến MC, MD. Gọi K là giao điểm của AC và BD. Chứng minh 4 điểm B, C, M, K thuộc cùng một đường tròn.

Bài 10: Cho đường tròn đường kính AB cố định, M là một điểm chạy trên đường tròn. Trên tia đối của tia MA lấy điểm I sao cho MI = 2MB.

a) Chứng minh AIBkhông đổi.

b) Tìm tập hợp tất cả các điểm I nói trên.