Tài Liệu Ôn Thi Tốt Nghiệp THPT Môn Toán 2022

thuvienhoclieu

TÀI LIỆU ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2022

MÔN TOÁN

Chủ đề 1. MỘT SỐ VẤN ĐỀ CƠ BẢN VỀ ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH LỚP 11 I. Cấp số cộng, cấp số nhân

1. Cấp số cộng

a. Định nghĩa: (un) là cấp số cộng  un+1 = un + d, n  N* (d: công sai) b. Số hạng tổng quát: u_n   u¹ (n 1)d với n  2

c. Tính chất của các số hạng:

1 1

2

k k

k

u u

u  ^  ^

với k  2 4. Tổng n số hạng đầu tiên:

1

1 2

( )

... 2

n

n n

n u u S  u u  u  

=



2 1 ( 1)



2 n u  n d 2. Cấp số nhân

1. Định nghĩa: (un) là cấp số nhân  un+1 = un.q với n  N* (q: công bội) 2. Số hạng tổng quát: ^{un u q1. n1}, với n  2

3. Tính chất các số hạng: ^{uk2 uk1.uk1}, với k  2

4. Tổng n số hạng đầu tiên:

1 1

, 1

(1 )

, 1

1

n

n n

S nu q

u q

S q

q

 

 

  

 



Ví dụ 1. Tìm số hạng đầu và công sai của cấp số cộng, biết:

1 3 5

1 6

10 17 u u u u u

  

  

 Hướng dẫn giải. Ta có:

1 3 5

1 6

10 17 u u u u u

  

 

  



1 1

1

2 10 16

2 5 17 3

u d u

u d d

  

 

     



Ví dụ 2. Một CSC có số hạng thứ 54 và thứ 4 lần lượt là - 61 và 64. Tìm số hạng thứ 23.

Hướng dẫn giải. Ta có:u_n   u1



n 1



d

54 1

4 1

53 3

u u d

u u d

  

    .

Giải hệ phương trình, ta được: ^{1 23 1}

143 5 33

, 22

2 2 2

u  d  u  u d

Ví dụ 3. Tìm các số hạng của cấp số nhân ( )uⁿ có 5 số hạng, biết: u³ 3,u⁵ 27

Hướng dẫn giải. Ta có:

2

3 1

4

5 1

3 3

27 27

u u q

u u q

  

 

   

   ¹

1, 3

u 3 q  Vậy có hai dãy số:

1,1, 3, 9, 27

3 và

1, 1, 3, 9, 27

3  

II. Tổ hợp, xác suất và công thức Nhị thức Niutơn 1. Quy tắc đếm

1.1 Quy tắc cộng: Sử dụng khi công việc được hoàn thành bởi một trong các hành động riêng lẻ.

Ví dụ 1. Lớp 11A8 được chia thành 4 tổ. Tổ 1 có 9 học sinh, tổ 2 có 7 học sinh, tổ 3 có 8 học sinh và tổ 4 có 9 học sinh. Hỏi có bao nhiêu cách để chọn 1 học sinh của lớp 11 A8 tham gia vào đội Cờ đỏ của nhà trường. G iải : Tổ 1 có 9 cách chọn +…+ Tổ 4 có 9 = 33 cách chọn.

thuvienhoclieu.com Trang 1

thuvienhoclieu

Ví dụ 2. Giả sử đi từ Bồng Sơn đến Quy Nhơn có thể đi bằng 4 loại phương tiện: Ô tô, tàu hỏa, tàu thủy và máy bay. Biết mỗi ngày có 10 chuyến ô tô, 5 chuyến tàu hỏa, 2 chuyến tàu thủy và 1 chuyến máy bay đi từ Phù Mỹ đến Quy Nhơn. Hỏi có bao nhiêu cách lựa chọn đi từ Phù Mỹ đến Quy Nhơn trong một ngày.

G

iải : Đi bằng ô tô có 10 cách+…+1 cách đi bằng máy bay = 18 cách lựa chọn.

1.2 Quy tắc nhân: Sử dụng khi công việc được hoàn thành bởi các hành động liên tiếp nhau.

Ví dụ 1. Nam có 3 áo màu và hai quần kiểu khác nhau. Hỏi Nam có bao nhiêu cách chọn một bộ quần áo.

G

iải : Dùng quy tắc nhân, ta được 3.2 = 6 bộ quần áo.

Ví dụ 2. An muốn qua nhà Bình để cùng Bình đến chơi nhà Cường. Biết rằng từ nhà An đến nhà Bình có 4 con đường, từ nhà Bình đến nhà Cường có 6 con đường đi. Hỏi An có bao nhiêu cách chọn đường đi đến nhà Cường. G iải : Dùng quy tắc nhân, ta được 4.6 = 24 con đường.

Ví dụ 3. Có bao nhiêu số chẵn có 4 chữ số được tạo thành từ các chữ số 0,1,2,3,4,5,6 sao cho a) Các chữ số có thể giống nhau. b) Các chữ số khác nhau.

G iải :

a) Đặt chữ số cần tìm có dạng abcd.

Vì abcd chẵn nên ^d



^{0, 2, 4,6}



_{và a} là số đầu tiên nên không thể bằng 0.

Trường hợp 1. Nếu d = 0 thì d có 1 cách chọn, a có 6 cách chọn, b có 7 cách chọn, c có 7 cách chọn.

Theo quy tắc nhân có 1.6.7.7 = 294 cách.

Trường hợp 2. Nếu d0 thì d có 3 cách chọn, a có 6 cách chọn, b có 7 cách chọn, c có 7 cách chọn.

Theo quy tắc nhân có 3.6.7.7=882 cách. Vậy có 294+882=1176 cách.

b) Đặt chữ số cần tìm có dạng abcd.

Vì abcd chẵn nên ^d



^{0, 2, 4,6}



_{và a} là số đầu tiên nên không thể bằng 0.

Trường hợp 1. Nếu d = 0 thì d có 1 cách chọn, a có 6 cách chọn, b có 5 cách chọn, c có 4 cách chọn.

Theo quy tắc nhân có 1.6.5.4 = 120 cách.

Trường hợp 2. Nếu d0 thì d có 3 cách chọn, a có 5 cách chọn, b có 5 cách chọn, c có 4 cách chọn.

Theo quy tắc nhân có 3.5.5.4 = 300 cách. Vậy có 120+300=420 cách.

2. Hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp

2.1 Hoán vị: Sự sắp xếp thứ tự của n phần tử trong một tập hợp gồm n phần tử.

Công thức: Pnn^!n n



¹

 

n²

 

n^{3 ...3.2.1}



.

Ví dụ 1. Có bao nhiêu cách sắp xếp cho ba bạn An, Bình, Cường vào một bàn học sinh gồm ba chỗ.

G

iải : P³  3! 3.2.1 6 (Có thể dùng quy tắc nhân).

Ví dụ 2. Trong một cuộc thi thể thao có 4 đội tham gia A, B, C, D và có bốn giải nhất, nhì, ba và khuyến khích. Có bao nhiêu khả năng để 4 đội đoạt giải.

G

iải : P⁴  4! 4.3.2.1 24 (Có thể dùng quy tắc nhân).

2.2. Chỉnh hợp: Chọn k phần tử khác nhau (có thứ tự) từ n phần tử của tập hợp (k n ): ^{Ank }



^{n kn!}



^!_.

2.3. Tổ hợp: Chọn k phần tử (không thứ tự) từ n phần tử của tập hợp (k n ): ^{Cnk  k n k!}



^n!



^!_.

Ví dụ 1. Tổ một lớp 11A8 có 5 học sinh. Giáo viên chủ nhiệm chọn ra ba học sinh từ tổ 1 để quét lớp, lau bảng và xếp bàn ghế. Hỏi GVCN có bao nhiêu cách chọn (HDG. ^{A53 60}).

Ví dụ 2. Trong một trận chung kết bóng đá phải phân định thắng thua bằng loạt đá luân lưu 11m. HLV của mỗi đội cần phải trình với trọng tài một danh sách (sắp thứ tự) năm cầu thủ trong số 11 cầu thủ để đá luân lưu 5 quả 11m. Hỏi HLV mỗi đội có bao nhiêu cách chọn (HDG. ^{A115 55.440}).

Ví dụ 3. Trong một cuộc thi Maraton có 50 người tham gia nhưng chỉ có ba giải nhất, nhì, ba. Có bao nhiêu cách để chọn người đoạt giải nhất, giải nhì, giải ba (HDG. ^{A503 117.600}).

Ví dụ 4. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau được lập từ các số1,2,3,4,5,6,7,8,9(HDG.

5

9 15.120

A  )

Ví dụ 5. Có bao cách chọn 3 học sinh trong đội tuyển gồm 8 học sinh giỏi môn văn lớp 12 của trường để đi dự thi cấp tỉnh. Biết rằng cả 8 em này đều có năng lực như nhau (HDG. ^C8356).

thuvienhoclieu

Ví dụ 6. Trong mặt phẳng cho một tập hợp P gồm 7 điểm, trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng. Hỏi có bao nhiêu tam giác có 3 đỉnh đều thuộc P (HDG. ^{C73 35}).

Ví dụ 7. Trong một lớp học có 20 học sinh nam và 15 học sinh nữ. Thầy giáo chủ nhiệm cần chọn ra 4 học sinh nam và 3 học sinh nữ đi tham gia chiếu dịch “mùa hè xanh” của đoàn TNCS Hồ Chí Minh. Hỏi có bao nhiêu cách chọn (HDG. C C^{20 154 3} 4845.455 2204475 ).

3. Xác suất của biến cố

Xác suất của biến cố A được tính theo công thức

   

 

P A n A

n

 .

Trong đó: ^{n A}

 

là số phần tử của biến cố A; ⁿ

 

^ là số phần tử của không gian mẫu.

Ví dụ 1. Một hộp đựng 12 viên bi trong đó có 7 viên bi đỏ, 5 bi xanh. Lấy ngẫu nhiên mỗi lần 3 viên bi.

Tính xác suất để:

a) Lấy được cả 3 viên bi đều đỏ.

b) Lấy được ít nhất hai viên bi màu đỏ.

G

iải : Số phần tử của không gian mẫu là n

 

 C12³ 220.

a) XS của bc A là

   

 

^{22035 447}

P A n A

n  

 .

b) XS của bc B là    

  ^{140220 117}

P B n B

n  

 .

Ví dụ 2. Một khách sạn có 6 phòng đơn. Vào một buổi sáng có 10 khách đến thuê phòng cùng một lúc trong đó có 6 nam và 4 nữ. Người quản lý khách sạn chọn ngẫu nhiên 6 người. Tính XS để:

a) Có 4 khách nam và 2 khách nữ.

b) Có ít nhất 2 khách nữ.

G

iải : Số phần tử của không gian mẫu là n

 

 C10⁶ 210.

a) XS của bc A là

   

 

^{22090 73}

P A n A

n  

 .

b) Gọi B là biến cố có ít nhất 2 khách nữ. Có các khả năng xảy ra như sau:

+ Hai nữ, 4 nam: ^{C C42. .64} + Ba nữ, 3 nam: ^{C C43. .63} + Bốn nữ, 2 nam: ^{C C44. .62} Suy ra số phần tử của biến cố B là ^{C C42. 64}+^{C C43. 63}+^{C C44. 62}=185.

Vậy XS của bc B là

   

 

^{185210 3742}

P B n B

n  

 .

Ví dụ 3. Trong 100 vé xổ số kiến thiết có 1 vé trúng 100 nghìn đồng, 5 vé trúng 50 nghìn đồng và 10 vé trúng 10 nghìn đồng. Một người mua ngẫu nhiên 3 vé. Tính xác suất để:

a) Người mua trúng thưởng đúng 30 nghìn đồng.

b) Người mua trúng thưởng 200 nghìn đồng.

G

iải : Số phần tử của không gian mẫu là n

 

 C100³ .

   

 

3 10 3 100

) 2

2695 n A C

a P A

n C

  

    

 

1 2 1 5 3 100

. 1

) 156200

n B C C b P B

n C

  

 .

Ví dụ 4. Trong một hộp đựng 3 viên bi xanh, 4 viên bi đỏ và 5 viên bi vàng. Chọn ngẫu nhiên ra 3 viên bi.

Tính xác suất để 3 viên bi được chọn có cả 3 màu.

G

iải : Số phần tử của không gian mẫu là n

 

 C12³ 220.

   

 

12³

3.4.5 60 3 220 11 P A n A

n C

   

 .

Ví dụ 5. Có 30 tấm thẻ được đánh số từ 1 đến 30. Chọn ngẫu nhiên ra 10 tấm thẻ. Tính xác suất để có đúng 5 tấm thẻ mang số chia hết cho 3.

G

iải : Số phần tử của không gian mẫu là n

 

 C30¹⁰

và

   

 

5 5

10 20 3 12

n A C C. P A n  C

 .

thuvienhoclieu.com Trang 3

thuvienhoclieu

Ví dụ 6. Cho tập F



0,1, 2,3, 4,5, 6,7,8,9



. Lấy ngẫu nhiên ra 2 phần tử của F. Tính xác suất để 2 số lấy ra là chẵn và tổng của chúng nhỏ hơn 7 (HDG :

   

 

⁴⁵⁴

P A n A

n 

 )

Gọi A là biến cố 2 số lấy ra là chẵn và tổng của chúng nhỏ hơn 7.

Tập A bao gồm các pần tử:

       

0, 2 , 0, 4 , 0,6 , 2, 4 . Khi đó.

4. Nhị thức Newton

+ Với hai số thực a và b, ta có ^{( )}

0 1 1 1 1

0

... ⁿ .

n n n n n n n k n k k

n n n n n

k

a b C a C a b^- C ^- ab ^- C b C a ^- b

=

+ = + + + + =

å

+ Một số hạng tổng quát ở vị trí thứ k + 1 là ^{C a bnk n k k} . BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

Câu 1. Cho cấp số cộng

 

un

với u¹3 và u² 9. Công sai của cấp số cộng đã cho bằng

A. 6. B. 3 . C. 12 . D. 6.

Câu 2. Số cách chọn 2 học sinh từ 7 học sinh là

A. . B. . C. . D. .

Câu 3. Chọn ngẫu nhiên 2 số tự nhiên khác nhau từ 25 số nguyên dương đầu tiên. Xác suất để chọn được hai số có tổng là một số chẵn bằng

A. . B. . C. . D. .

Câu 4. Số cách chọn 2 học sinh từ 5 học sinh là

A. ⁵². B. ²⁵. C. ^C52. D. ^A52.

Câu 5. Cho cấp số cộng

 

un

với u¹2 và u² 8. Công sai của cấp số cộng đã cho bằng

A. 4 . B. 6. C. 10 . D. 6 .

Câu 6. Chọn ngẫu nhiên hai số khác nhau từ 27 số nguyên dương đầu tiên. Xác suất để chọn được hai số có tổng là một số chẵn là

A.

13

27 . B.

14

27 . C.

1

2 . D.

365 729 . Câu 7. Số cách chọn 2 học sinh từ 6 học sinh là

A. A⁶². B. C⁶². C. ²⁶. D. 6 .²

Câu 8. Cho cấp số cộng

 

un

với u¹ 2 và u² 6. Công sai của cấp số cộng đã cho bằng

A. 3 . B. 4_{. C. 8 . D.} 4_.

Câu 9. Chọn ngẫu nhiên hai số khác nhau từ 21 số nguyên dương đầu tiên. Xác suất để chọn được hai số có tổng là một số chẵn bằng

A.

11

21 . B.

221

441 . C.

10

21 . D.

1 2 . Câu 10. Số cách chọn 2 học sinh từ 8 học sinh là

A. . B. . C. . D. .

Câu 11. Cho cấp số cộng với và . Công sai của cấp số cộng đã cho bằng

A. . B. . C. . D. .

Câu 12. Chọn ngẫu nhiên hai số khác nhau từ 23 số nguyên dương đầu tiên. Xác suất để chọn được hai số có tổng là một số chẵn bằng

A. . B. . C. . D. .

Câu 13. Với ^k và n là hai số nguyên dương tùy ý thỏa mãn ^kn. Mệnh đề nào dưới đây đúng ?

27 A⁷² C₇² 7²

1 2

13 25

12 25

313 625

2

C8 8² A⁸² 2⁸

 

un u₁1 u₂ 4

5 ₄ 3 3

11 23

1 2

265 529

12 23

thuvienhoclieu

A. ^{Cnk  k n k!}



^n!



^!_{. B.} ^{Cnk n}_k^!_{!. C.} ^{Cnk }



^{n kn!}



^!_{. D.} ^!

 

^!

!

k n

k n k

C n

 

. Câu 14. Cho cấp số cộng

 

un

có số hạng đầu u¹2 và công sai ^{d 5}. Giá trị u⁴ bằng

A. 22. B. 17. C. 12. D. 250.

Câu 15. Có hai dãy ghế đối diện nhau, mỗi dãy có ba ghế. Xếp ngẫu nhiên 6 học sinh, gồm 3 nam và 3 nữ, ngồi vào hai dãy ghế đó sao cho mỗi ghế có đúng một học sinh ngồi. Xác suất để mỗi học sinh nam đều ngồi đối diện với một học sinh nữ bằng

A.

2

5 . B.

1

20 . C.

3

5 . D.

1 10 . Câu 16. Có bao nhiêu cách chọn hai học sinh từ một nhóm gồm 34 học sinh?

A. ²³⁴. B. ^A342 . C. 34 .² D. ^C342 .

Câu 17. Từ một hộp chứa ¹¹ quả cầu đỏ và ⁴ quả cầu màu xanh, lấy ngẫu nhiên đồng thời 3 quả cầu. Xác suất

để lấy được 3 quả cầu màu xanh bằng A.

4

455 . B.

24

455. C.

4

165 . D.

33 91. Câu 18. Hệ số của x⁵ trong khai triển nhị thức ^x



^2x1

 

^{6 3x1}



⁸ _bằng

A. 13368. B. 13368 . C. 13848. D. 13848 .

Câu 19. Ba bạn ^A, ^B, C mỗi bạn viết ngẫu nhiên lên bảng một số tự nhiên thuộc đoạn



^1;17



_{. Xác suất}

để ba

số được viết ra có tổng chia hết cho 3 bằng A.

1728

4913. B.

1079

4913. C.

23

68. D.

1637 4913. (Trích đề thi THPT Quốc gia năm 2018 – Câu 43 Mã đề 101)

G

iải : Không gian mẫu có số phần tử là ^1734913. Lấy một số tự nhiên từ ¹ đến 17 ta có các nhóm số sau:

+ Số chia hết cho 3 : có 5 số thuộc tập



3;6;9;12;15



. + Số chia cho 3 dư ¹: có 6 số thuộc tập



1;4;7;10;13;16



. + Số chia cho 3 dư ²: có 6 số thuộc tập



2;5;8;11;14;17



.

Ba bạn ^A, ^B, C mỗi bạn viết ngẫu nhiên lên bảng một số tự nhiên thuộc đoạn



^1;17



thỏa mãn ba số đó có tổng chia hết cho 3 thì các khả năng xảy ra như sau:

TH1: Ba số đều chia hết cho 3 có ^53125 cách; TH2: Ba số đều chia cho 3 dư ¹ có ^{63 216} cách.

TH3: Ba số đều chia cho 3 dư ² có 6³ 216 cách.

TH4: Một số chia hết cho 3 , một số chia cho 3 dư ¹, chia cho 3 dư ² có 5.6.6.3! 1080 cách.

Vậy xác suất cần tìm là

125 216 216 1080 4913

   1637

4913

. Chọn D.

Câu 20. Với n là số nguyên dương thỏa mãn ^{C1nCn2 55}, số hạng không chứa x trong khai triển của thức

3 2

2 ⁿ

x x

  

 

  bằng

A. 322560 . B. 3360 . C. 80640 . D. 13440 . G

iải : Điều kiện n2 và nZ.

Ta có ^{C1nCn2 55 n 10}. Với n10 ta có khai triển

10 3

2

x 2 x

  

 

  .

thuvienhoclieu.com Trang 5

c' b' h

a

c b

A

B H M C

α

O H

M

thuvienhoclieu Số hạng tổng quát của khai triển

 

3 10 30 5

10 2 10

. 2 2

k

k k k k k

C x C x

x

     , với 0 k 10. Số hạng không chứa x ứng với k thỏa 30 5 k 0  k 6.

Vậy số hạng không chứa x là ^{C10626 13440}. Chọn D.

Chủ đề 2. HÌNH HỌC KHÔNG GIAN I. Khối đa diện

1. Thể tích của khối hộp chữ nhật: V = abc (a, b, c là 3 kích thước) 2. Thể tích của khối lập phương cạnh a : V = a³

3. Thể tích của khối lăng trụ: V = B.h (B là diện tích của đáy, h là chiều cao) 4. Thể tích của khối chóp: V = B.h (B là diện tích của đáy, h là chiều cao)

Chú ý: Tỉ số thể tích

5. Kiến thức liên quan

* Tỉ số lượng giác của góc nhọn:

* Hệ thức lượng trong tam giác vuông: Cho vuông ở A

 Định lý Pitago: hay

 hay

 hay

 hay

* Hệ thức lượng trong tam giác thường  Định lý côsin:

 Định lý sin:

* Các công thức tính diện tích a. Công thức tính diện tích tam giác.





 , S = pr

 với (Công thức Hê-rông)

 Đặc biệt: vuông ở A: , đều cạnh a:

b. Diện tích hình vuông cạnh a: c. Diện tích hình chữ nhật:

d. Diện tích hình thoi: e. Diện tích hình thang:

1 3

S A B C S ABC

V SA SB SC

V^{. ' ' '}_. SA SB SC '. '. '



sin MH

 OM

  cos OH

 OM

  tan MH

 OH

  cot OH

 MH

 

ABC

2 2 2

BC  AB AC a² b²c²

2 . ; 2 .

BA BH BC CA CH CB b² a b c. ', ² a c. ' . .

AB AC  BC AH bc ah

2 2 2

1 1 1

AH  AB  AC 1₂ 1₂ 1₂ h b c

2 2 2 2 .cos a b c  bc A sin sin sin 2

a b c

A B  C  R

1 1 1

2 . ^a 2 ^b 2 ^c S  a h  bh  ch

1 1 1

sin sin sin

2 2 2

S  ab C  bc A ca B 4

S abc

 R

( )( )( )

S  p p a p b p c   2 a b c p  



ABC 1

2 .

S  AB AC ABC

2 3

4 S  a

S a 2 S a b.

1 .

S  2m n ¹

 

S  2h a b

thuvienhoclieu

* Một số tính chất đặc biệt thường sử dụng

 Đường chéo hình vuông cạnh a là

 Đường cao tam giác đều cạnh a là II. Góc và khoảng cách

1. Góc:

+ Góc giữa hai đường thẳng chéo nhau: Là góc giữa hai đường thẳng cùng đi qua 1 điểm và lần lượt song song với hai đường thẳng đó.

+ Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng: Là góc giữa đường thẳng đó với hình chiếu của nó trên mặt phẳng.

+ Góc giữa hai mặt phẳng

 

^ _và

 

^ _:

▪ Bước 1: Xác định giao tuyến ^ của hai mặt phẳng

 

^ _và

 

^

▪ Bước 2: Trên ^ lấy điểm O bất kỳ. Qua O vẽ tia Ox vuông góc với ^ trong

 

^ và vẽ tia Oy vuông góc với ^ trong

 

^ _.

Khi đó: Góc giữa hai mặt phẳng

 

^ _và

 

^ chính là góc giữa tia Ox và tia Oy hay xOy. 2. Khoảng cách:

+ Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng: Là khoảng cách từ điểm đó đến hình chiếu của nó trên mặt phẳng.

+ Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song: Là khoảng cách từ một điểm bất kỳ thuộc đường thẳng đến mặt phẳng.

+ Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song: Là khoảng cách từ một điểm bất kỳ thuộc mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.

+ Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:

▪ Cách 1: Xác định đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau. Khi đó, khoảng cách cần tìm chính là độ dài đoạn vuông góc chung đó.

▪ Cách 2: Dựng một mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng còn lại. Khi đó, khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau quy về khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song.

▪ Cách 3: Dựng hai mặt phẳng song song lần lượt chứa hai đường thẳng đó. Khi đó, khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau quy về khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song.

III. Khối nón, Khối trụ, Khối cầu

1. Khối nón: Cho khối nón có bán kính đáy r, độ dài đường sinh l và chiều cao h. Khi đó: ^{l2 r2h2.} + Diện tích xung quanh: ^Sxq ^rl;

+ Diện tích toàn phần:

2

Stp rlr + Thể tích:

1 2

V 3r h

2. Khối trụ: Cho khối trụ có bán kính đáy r, độ dài đường sinh l và chiều cao h. Khi đó: l h . + Diện tích xung quanh: ^Sxq ²^rl;

+ Diện tích toàn phần:

2 2 2

Stp  rl r + Thể tích: ^V ^{r h2}

3. Khối cầu: Cho khối cầu có bán kính R.

+ Diện tích mặt cầu: ^SMC ⁴^R2 + Thể tích khối cầu:

4 3

3 . VKC  R

Ví dụ 1. Tính thể tích khối chóp tứ giác đều S.ABCD có độ dài tất cả các cạnh bằng a.

thuvienhoclieu.com Trang 7 2

d a 3 2 h a

60⁰

D C

A B

S

H

A D

B C

S

60⁰ A

C

B S

H M

thuvienhoclieu G iải

Gọi H là tâm của hình vuông. Vì S ABCD. là hình chóp đều nên ^{SH }



^ABCD



Vì ABCD là hình vuông nên S^ABCD  AB² a²_(đvdt) Ta có SA²SC²  AB²BC²  AC² 2a²

SACvuông tại S, mà H là trung điểm của AC nên

2

2 2

AC a SH  

2 3

.

1 1 2 2

. . .

3 3 2 6

S ABCD ABCD

V SH S a a a

   

(đvtt)

Ví dụ 2. Tính thể tích khối chóp tam giác đều biết cạnh đáy bằng a và các cạnh bên hợp đáy góc 60⁰_. G

iải Gọi H là tâm của tam giác ABC, M là trung điểm của BC

.

S ABC là hình chóp đều nên ^{SH }



^ABC



ABC là tam giác đều nên AM BC

Trong tam giác vuông ACM

3 AM 2 a

 

1 3 2

2 . 4

SABC AM BC a

  

(đvdt)

Ta lại có AM BC SH, BC _nên SM BC ^



^{(SBC),(ABC)}



^



^{SM AM,}



^{SMA 600}_.

Do H là trọng tâm tam giác ABC _nên

1 3

3 6

HM  AM  a

Trong tam giác vuông SHM _, tan .tan 60⁰

2

SH a

SMH SH HM

 HM   

2 3

.

1 1 3

. 3

. . 24

3 3 2 4

S ABC ABC

V SH S a a a

   

(đvtt)

Ví dụ 3. Cho hình chóp S ABCD. _{có đáy}ABCD là hình chữ nhật, AB = a, BC = 2a. Hai mặt bên (SAB) và (SAD) vuông góc với đáy, cạnh SC hợp với đáy một góc 60⁰. Tính thể tích khối chóp S.ABCD.

G iải

Ta có:

 

   

   

 

(SAB) ABCD

SAD ABCD SA ABCD

SAB SAD SA

 

   

  

 Do đó, ^.

1 .

S ABCD 3 ABCD

V  SA S

Diện tích đáy ABCD _là: S_ABCD AB BC. 2a²

AC là hình chiếu của SC lên mp



^ABCD



_nên



^{(SC),(ABCD}



^



^{SC AC,}



^{SCA 600}

Ta có: AC AB²BC² a 5 SA AC .tanSCA a  5.tan 60⁰ a 15 Vậy thể tích khối chóp là:

3 .

2 15

S ABCD 3 V  a

(đvtt)

B

A

C S

H

a 60⁰

30⁰

A

B

C A'

B'

C'

60⁰ 30⁰

A D

B C

A'

B' C'

D'

thuvienhoclieu

Ví dụ 4. Cho hình chóp S ABC. _{có đáy} ABC là tam giác vuông tại A, AB a BC , 2a. Các cạnh bên 2

SA SB SC   a. Tính thể tích khối chóp S ABC. _. G iải Gọi H là hình chiếu của S trên mặt phẳng



^ABC



Ta có:SA SB SC  _nên HA HB HC  Do đó, H là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC Mà ABCvuông tại A nên H là trung điểm của BC.

SBC đều cạnh 2a

2 . 3 3

SH a 2 a

  

1 2 3

3 .

2 2

ABC

AC a  S  AB AC a

(đvdt).

Ví dụ 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AD; H là giao điểm của CN và DM. Biết SH vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SH

= a 3. Tính thể tích khối chóp S.CDNM theo a.

G iải Vì ^{SH }



^ABCD



_nên

 

.

D

2 3

1 .

3

1 .

3

1 5 5 3

3 38 24

S CDMN CDMN

ABC BCM AMN

V SH S

SH S S S

a a a



  

 

Ví dụ 6. Cho lăng trụ đứng ABC A B C. ' ' ' _{có đáy} ABClà tam giác vuông tại A với AC = a, ACB60⁰_, biết BC' hợp với



^{AA C C' '}



một góc 30⁰. Tính AC' và thể tích khối lăng trụ.

G iải

Ta cóABClà tam giác vuông tại A với AC = a,ACB60⁰  AB AC.tan 60^o a 3_.

Ta có: ABAC AB; AA AB(AA C C  )nên AC' là hình chiếu của BC' trên



^{AA C C' '}



_{. Vậy góc}

giữa BC’ và mặt phẳng



^{AA C C' '}



_{là góc} AC B' 30⁰ 3 tan 30^o AC AB a

  

' '

AC A vuông tại A’  AA' AC'²A C' '²  8a² 2 2a

ABC vuông tại A,

tan AB 3 3

ACB AB a

 AC   

1 2 3

2 . 2

ABC

S AB AC a

  

(đvdt) Vậy V_{ABC A B C}^{. ' ' '}  AA S'. _ABC a³ 6_(đvtt)

Ví dụ 7. Cho hình hộp đứng ABCD A B C D. ' ' ' '_{có đáy} ABCD là hình thoi cạnh a và BAD 60⁰_{, biết} AB' hợp với đáy



^ABCD



_{một góc 30}⁰.Tính thể tích của khối hộp ABCD A B C D. ' ' ' '_.

G iải Vì ABDđều cạnh a nên:

2

2 3

3 2

4 ^{ABCD ABD} 2

ABD

a S

S a

S 

  

thuvienhoclieu.com Trang 9

H

D C

A B

S

M N

60⁰ a 3

A C

B A'

C'

B'

thuvienhoclieu

ABB vuông tại B BB ABtan 30^o a 3

Vậy ^{. ' ' ' '}

3 3

. 2

ABCD ABCD A B C D

V S BB a

(đvtt)

Ví dụ 8. Cho lăng trụ tam giác ABC A B C. ' ' ' _{có đáy} ABC là tam giác đều cạnh a, biết cạnh bên là a 3 và hợp với đáy ABC _{một góc} 60⁰. Tính thể tích khối lăng trụ.

G iải

Ta có C H (ABC)CH là hình chiếu của CC' trên (ABC) Nên góc giữa CC’ và mp



^ABC



_{bằng 60}⁰

0 3

.sin 60 2 C H CC a

  

2 3

4 .

ABC

S  a

Vậy

3 3 3 .

ABC 8

V  S C H^  a

Ví dụ 6. Trong không gian cho tam giác vuông OIM vuông tại I,góc IOM bằng 30 độ cạnh IM=a.Khi quay tam giác OIM quanh cạnh góc vuông OI thì đường gấp khúc OMI tạo thành hình nón tròn xoay.

a)Tính diện tích xung quanh hình nón tròn xoay đó?

b)Tính thể tích khối nón tròn xoay được tạo bởi hình nón tròn xoay nói trên?

G iải a)Ta có ^Sxq ^rl

* Bán kính hình nón : r=IM=a

* Xét tam giác OIM vuông tại I ta có

0

sin 30 0 2

sin 30 1/ 2

IM IM a

OM a

OM    

.Vậy ^{Sxq . .2a a2a2}. b) Tacó

1 1 2

2 3

V  Bh r h

* Bán kính hình nón : r = IM = a * h=OM=a 3. Vậy

2 3

1 . . 3 3

3 3

V  a a a .

Ví dụ 7. Trong không gian cho h ình vuông ABCD cạnh a,gọi I,H lần lượt là trung điểm các cạnh AB và CD.Khi quay hình vuông đó quanh trục IH tạo thành hình trụ tròn xoay.

a)Tính diện tích xung quanh hình trụ tròn xoay đó?

b)Tính thể tích khối trụ tròn xoay nói trên?

Hướng dẫn giải.

a) Ta có ^Sxq ²^rl

: * Bán kính đáy : r = a/2; * Đường sinh : l = a.

Vậy

2 . . 2 xq 2

S   a aa . b) Thể tích

3 2 .( ) .2

2 4

a a

V r h a

(đvtt)

Ví dụ 8. Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh đều bằng a. Tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu đó?

Hướng dẫn giải. Gọi O,O’ lần lượt là tâm của hai tam giác ABC và A’B’C’.Ta có OO’ là trục của hai tam giác đáy.Suy ra tâm I của mặt cầu ngoại tiếp là trung điểm của OO’ với bán kính

2 2

2 2 3 21

3 2 6

a a a

R IA  AO OI         .

Diện tích mặt cầu

2 2

2 7 7

4 4

12 3

a a

S R   

   

  ; Thể tích khối cầu

3

4 3 7 21

3 54

V  R  a

.

thuvienhoclieu

Ví dụ 9. Cho hình chóp .S ABC có đáy là tam giác vuông đỉnh ^B, AB=a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA=a. Khoảng cách từ ^A đến mặt phẳng

(

^SBC

)

_.

Hướng dẫn giải. Trong tam giác SAB, kẻ AH vuông góc với SB tại H:^{AH SB} (1). Ta có

,

BCAB BCSA nên suy ra được ^{BC(SAB)BCAH} hay ^{AH BC} (2). Từ (1) và (2), ta có:

( ) ( ,( )) .

AH SBC d AH SBC AH Tam giác SAB vuông tại A, có AH là đường cao nên

2 2

2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 2 2

2 2 2

a a a

AH AH

AH  AS AB a a a     

.

Ví dụ 10. Cho hình chóp .S ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy và 2

SA= a. Tính góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng.

Hướng dẫn giải. Nhận thấy AC là hình chiếu của SC lên ^(ABCD)nên góc giữa đường thẳng ^SC và mặt phẳng đáy ^(ABCD) là ^SCA . Vì ABCD là hình vuông cạnh a nên độ dài đường chéo AC = a 2. Tam giác SAC vuông cân tại A nên ^SCA450.

IV. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

Câu 1. Thể tích của khối nón có chiều cao h và bán kính r là

A. B. C. D.

Câu 2. Thể tích khối lăng trụ có diện tích đáy và chiều cao là

A. B. C. D.

Câu 3. Cho hình chóp có vuông góc với mặt phẳng , SA2a, tam giác vuông tại

B, và . Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng

A. . B. . C. . D. .

Câu 4. Cho khối lăng trụ đứng có đáy là tam giác đều cạnh và . Thể tích của lăng trụ đã cho bằng

A. . B. . C. . D. .

Câu 5. Một cở sở sản xuất có hai bể nước hình trụ có chiều cao bằng nhau, bán kính đáy lần lượt bằng và . Chủ cơ sở dự định làm một bể nước mới, hình trụ, có cùng chiều cao và có thể tích bằng tổng thể tích của hai bể nước trên. Bán kính đáy của bể nước dự dịnh làm gần nhất với kết quả nào dưới đây?

A. B. C. D.

Câu 6. Cho hình trụ có chiều cao bằng . Cắt hình trụ đã cho bởi mặt phẳng song song với trục và cách trục một khoảng bằng 1, thiết diện thu được có diện tích bằng 30. Diện tích xung quanh của hình trụ bằng

A. . B. . C. . D. .

Câu 7. Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh , mặt bên là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Khoảng cách từ đến bằng

A. . B. . C. . D. .

Câu 8. Thể tích của khối nón có chiều cao h và bán kính đáy ^r là

A. ^{r h2} . B. ²^{r h2} . C.

1 2

3r h

. D.

4 2

3r h . Câu 9. Thể tích khối lăng trụ có diện tích đáy B và chiều cao h là

thuvienhoclieu.com Trang 11 1 2

3r h. ₂

.

r h

4 2

3r h. ₂

2r h.

B h

3 .Bh Bh.

4 .

3Bh 1

3Bh. .

S ABC SA



^ABC



_ABC

3

AB a BC a SC



^ABC



90^ 45^ 30^ 60^

. ' ' '

ABC A B C a ^{AA' 3a}

3 3

4

a 3 ³

2

a ³

4

a ³

2 a

1m 1, 2m

1,8 .m 1, 4 .m 2, 2 .m 1,6 .m

5 3

10 3 5 39 20 3 10 39

.

S ABCD a SAB

A



^SBD



21 14

a 21

7

a 2

2

a 21

28 a

thuvienhoclieu

A. 3Bh. B. Bh. C.

4 3Bh

. D.

1 3Bh

.

Câu 10. Một cơ sở sản xuất có hai bể nước hình trụ có chiều cao bằng nhau, bán kính đáy lần lượt bằng 1 m và ^{1, 4 m}. Chủ cơ sở dự định làm một bể nước mới hình trụ có cùng chiều cao và có thể tích bằng tổng thể tích của hai bể nước trên. Bán kính đáy của bể nước dự định làm gần nhất với kết quả nào dưới đây?

A. ^{1, 7 m}. B. ^{1,5 m}. C. ^{1,9 m}. D. ^{2, 4 m}. Câu 11. Cho khối chóp đứng ABC A B C.    có đáy là tam giác đều cạnh a _và AA 2a_. Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng

A.

3 3

3 a

. B.

3 3

6 a

. C. 3a³_{. D.}

3 3

2 a

.

Câu 12. Cho hình chóp .S ABC có SA vuông góc với mặt phẳng



^ABC



_{, SA2a}, tam giác ABC vuông tại ^B, AB a và BC 3a. Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng



^ABC



_bằng

A. ^90. B. ^30. C. ^60. D. ^45.

Câu 13. Cho hình trụ có chiều cao bằng 4 2 . Cắt hình trụ đã cho bởi mặt phẳng song song với trục và cách trục một khoảng bằng 2 , thiết diện thu được có diện tích bằng 16 . Diện tích xung quanh của hình trụ đã cho bằng

A. 24 2 . B. 8 2 . C. 12 2 . D. 16 2 .

Câu 14. Cho hình chóp .S ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Khoảng cách từ C đến



^SBD



_bằng

A.

21 28 a

. B.

21 14

a

. C.

2 2 a

. D.

21 7

a . Câu 15. Thể tích của khối nón có chiều cao h và bán kính đáy r _là

A. r h² . B.

4 2

3r h

. C. 2r h² . D.

1 2

3r h . Câu 16. Thể tích của khối lăng trụ có diện tích đáy B và chiều cao h là

A.

4 3Bh

. B. 3Bh. C.

1 3Bh

. D. Bh.

Câu 17. Cho hình chóp .S ABC có SA vuông góc với mặt phẳng



^ABC



_{.SA 2a}, tam giác ABCvuông cân tại ^B và AB a . Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng



^ABC



_bằng

A. 45. B. 60. C. 30. D. 90

Câu 18. Một cở sở sản xuất có hai bể nước hình trụ có chiều cao bằng nhau, bán kính đáy lần lượt bằng 1m và ^1,8m. Chủ cơ sở dự định làm một bể nước mới, hình trụ, có cùng chiều cao và có thể tích bằng tổng thể tích của hai bể nước trên. Bán kính đáy của bể nước dự dịnh làm gần nhất với kết quả nào dưới đây?

A. 2,8m. B. 2, 6m. C. 2,1m. D. 2,3m.

Câu 19. Cho khối lăng trụ đứng ABC A B C.    có đáy là tam giác đều cạnh 2a và AA 3 .a Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng

A. 2 3a³. B. 3a³. C. 6 3a³. D. 3 3a³.

Câu 20. Cho hình trụ có chiều cao bằng 3 2 . Cắt hình trụ bởi mặt phẳng song song với trục và cách trục một khoảng bằng ¹, thiết diện thu được có diện tích bằng 12 2 . Diện tích xung quanh của hình trụ bằng

A. 6 10. B. 6 34. C. 3 10 . D. 3 34 .

Câu 21. Cho hình chóp .S ABCD có đáy là hình vuông cạnh ^a, mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Khoảng cách từ ^D đến mặt phẳng



^SAC



_bằng

thuvienhoclieu A.

21 14 a

. B.

21 28 a

. C.

2 2 a

. D.

21 7 a

. Câu 22. Thể tích của khối lăng trụ có diện tích đáy và chiều cao là

A. . B. . C. . D. .

Câu 23. Thể tích khối nón có chiều cao và bán kính đáy là

A. . B. . C. . D. .

Câu 24. Cho hình chóp có vuông góc với mặt phẳng , , tam giác vuông cân tại và . Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng

A. . B. . C. . D. .

Câu 25. Một cơ sở sản xuất cố hai bể nước hình trụ có chiều cao bằng nhau, bán kính đáy lần lượt bằng và . Chủ cơ sở dự định làm một bể nước mới, hình trụ, có cùng chiều cao và có thể tích bằng tổng thể tích của hai bể trên. Bán kính đáy của bể nước dự định làm gần nhất với kết quả nào dưới đây?

A. . B. . C. . D. .

Câu 26. Cho khối lăng trụ đứng có đáy là tam giác đều cạnh và . Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng

A. . B. . C. . D. .

Câu 27. Cho hình trụ có chiều cao bằng . Cắt hình trụ đã cho bởi mặt phẳng song song với trục và cách trục một khoảng bằng 1, thiết diện thu được có diện tích bằng 18. Diện tích xung quanh của hình trụ đã cho bằng

A. . B. . C. . D. .

Câu 28. Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh , mặt bên là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Khoảng cách từ đến mặt phẳng bằng

A. . B. . C. . D. .

Câu 29. Một khối đồ chơi gồm hai khối trụ

   

H1 , H2 xếp chồng lên nhau, lần lượt có bán kính đáy và chiều cao tương ứng là r h r h¹, , ,^{1 2 2} thỏa mãn ^{2 1 2 1}

1 , 2

r 2r h  h

. Biết rằng thể tích của toàn bộ khối đồ chơi bằng ³⁰cm³, thể tích khối trụ

 

H1

bằng

A. 24cm³. B. 15cm³. C. 20cm³. D. 10cm³.

Câu 30. Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB a , BC2a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA a . Khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SB bằng

A.

6 2 a

. B.

2 3

a

. C. 2

a

. D. 3

a . Chủ đề 3. ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM (GIẢI TÍCH 12)

I. Sự đồng biến, nghịch biến:

Cho hàm số y= f(x) xác định trên khoảng (a;b).

+ f’(x) ≥ 0,  x (a;b)  f(x) đồng biến trên (a:b).

+ f’(x) ≤ 0,  x