Đề thi chọn đội tuyển môn Toán dự thi HSGQG THPT chuyên Lam Sơn Thanh Hóa năm 2021 - 2022

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA KÌ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GỎI TỈNH TRƯỜNG THPT CHUYÊN LAM SƠN DỰ THI HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA

Môn thi: TOÁN Ngày thi: 19/8/2021

Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề

**************

Bài 1. (5,0 điểm)

Cho dãy số

 

an xác định bởi a₁4 và 3a_n1



a_n1



³5 với mọi n^*. a) Chứng minh a_n nguyên dương với mọi n^*.

b) Đặt ₂

1

1 . 1

n k n

k k k

u a

a a



 

 



^{Tính limun.}

Bài 2. (5,0 điểm)

Cho tam giác ABC nhọn có các đường cao AD BE CF, , . Gọi  _B, _C lần lượt là các đường tròn nội tiếp các tam giác BDF CDE, . Gọi M là tiếp điểm của _B với DF và N là tiếp điểm của _C với DE. Đường thẳng

MN cắt lại  _B, _C lần lượt tại P khác M và tại Q khác N. Chứng minh MPNQ. Bài 3. (5,0 điểm)

Tìm tất cả các hàm số f :^^, thỏa mãn:

       

¹

f x f xy  y f x f y  với mọi ,x y^. Bài 4. (5,0 điểm)

a) Cho m n, là các số nguyên dương thỏa mãn n m 1. Tìm tất cả các cặp



^{x y;}



nguyên dương thỏa mãn:

 

2 2

2 0.

x  m xyy  n

b) Chứng minh

2

2 4a b 1

a b

   

 

   không thể là số chính phương với mọi bộ số nguyên dương



^{a b;}



^.

---HẾT---

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Lời giải

a) Ta chứng minh bằng quy nạp a_n chia 3 dư 1 với mọi số nguyên n2.

Thật vậy, a₂ 40 chia 3 dư 1.

Giả sử a_k chia 3 dư 1 với mọi số nguyên k2.

Ta có: 3a_k1



a_k1



³5. Suy ra:



1



³

1

1 5

3 .

k k

a _ a ^  



Do a_k 1 mod 3

 

nên

 

 

3

1 1 5

1 mod 3 . 3

ak_  

 Do đó a_k1 chia 3 dư 1.

Vậy a_n chia 3 dư 1. Dẫn đến



a_n1



³5 chia hết cho 3. Từ đây suy ra a_n1 nguyên dương với mọi n^*. Suy ra điều phải chứng minh.

b) Ta có:

     

     

 

  

 

 

3 3

1 1

2 1

2 2

1 1

2 2

1

3 1 5 3 2 1 1

3 2 2 1

2 1

2 1

1

1 3 2 1 3 2

1 2

1 3 2

n n n n

n n n n

n n

n n

n n n n n n

n n n

n n n

a a a a

a a a a

a a

a a

a a a a a a

a a a

a a a

 



 



       

     

 

 

   

     

  

 

  

Mặt khác 3a_n1



a_n1



³ 5 3



a_n1 2

 

a_n2

 an2an1 . Suy ra:



1



2 3 2 2 3 1 3

1 2

2 1

n n n

n n n n

n n

a a a

a a a a

a a

   

      

 

Bài 1. (5,0 điểm)

Cho dãy số

 

an xác định bởi a₁4 và 3a_n1



a_n1



³5 với mọi n^*. a) Chứng minh a_n nguyên dương với mọi n^*.

b) Đặt ₂

1

1 . 1

n k n

k k k

u a

a a



 

 



^{Tính limun.}

Suy ra:

     

2

1 2

1 1 1

3 3

1 2 1 1

1 3 2 3 2 2 2 2.

n n

n n n

n n n n n n n

a a

a a a

a a a a a a a



  

   

   

      

Do đó: ₂

1 1 1 1

1 1 1 1 1

1 2 2 6 2.

n k n

k k k n n

u a

a a a a a

  

     

    



Vì

 

³

  

²

1

1 5 1 2

3 3 .

n n n

n n n

a a a

a _ a   a  

   

Vì a_n1 nên a_n1a_n, do

 

a_n là dãy số tăng.

Nếu

 

a_n có giới hạn hữu hạn thì lima_n L 1, cho n , ta được:

 

³

3L L1   5 L 1, vô lí.

Do đó lima_n   nên lim ¹.

n 6 u 

Lời giải

Gọi K L, lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp của  _B, _C. H O I

Q

P

N M

K L

D F

E A

B C

Bài 2. (5,0 điểm)

Cho tam giác ABC nhọn có các đường cao AD BE CF, , . Gọi  _B, _C lần lượt là các đường tròn nội tiếp các tam giác BDF CDE, . Gọi M là tiếp điểm của _B với DF và N là tiếp điểm của _C với DE. Đường thẳng MN cắt lại  _B, _C lần lượt tại P khác M và tại Q khác N. Chứng minh MPNQ.

Gọi H I, lần lượt là trung điểm của MP NQ, . Ta có: KH MP LI, NQ. Gọi O là hình chiếu của D trên MN.

Ta có các tam giác sau đồng dạng với nhau:

HM KM.

HKM OMD

OD MD

   

IN LN . ILN OND

OD ND

    KM LN . KMD LND

MD ND

   

Từ đây suy ra: HM IN .

HM IN MP NQ OD OD    Suy ra điều phải chứng minh.

Lời giải

…….Đang cập nhật…….

Lời giải

…….Đang cập nhật…….

Bài 3. (5,0 điểm)

Tìm tất cả các hàm số f :^ ^, thỏa mãn:

       

¹

f x f xy  y f x f y  với mọi ,x y^.

Bài 4. (5,0 điểm)

a) Cho m n, là các số nguyên dương thỏa mãn n m 1.

Tìm tất cả các cặp



^{x y;}



nguyên dương thỏa mãn: ^x2



^m2



^{xyy2 n 0.}

b) Chứng minh

2

2 4a b 1

a b

   

 

   không thể là số chính phương với mọi bộ số nguyên dương



^{a b;}



^.