THỬ THQG VÀ ĐỀ KIỂM TRA
Mục lục
Chương 1:Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác . . . 3
Chương 2:Tổ hợp - Xác suất . . . 70
Chương 3:Dãy số - cấp số cộng, cấp số nhân . . . 239
Chương 4:Giới hạn . . . 287
Chương 5:Đạo hàm . . . 337
Chương 1:Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác
NỘI DUNG CÂU HỎI Câu 1. Phương trình2 cosx−1 = 0 có tập nghiệm là
A.
n±π
3 +k2π, k ∈Z o
. B.
n±π
6 +k2π, k∈Z o
. C. nπ
3 +k2π, k ∈Z;π
6 + 12π, l∈Z o
. D.n
−π
3 +k2π, k∈Z;−π
6 + 12π, l∈Z o
. Lời giải.
2 cosx−1 = 0⇔cosx= 1
2 = cosπ 3 ⇔
x= π
3 +k2π x=−π
3 +k2π
(k∈Z).
Chọn đáp án A
Câu 2. Tổng các nghiệm thuộc khoảng(0; 3π)của phương trìnhsin 2x−2 cos 2x+2 sinx= 2 cosx+4 là
A. 3π. B. π. C. 2π. D. π
2. Lời giải.
2 sinxcosx−2 cosx−2 1−2 sin2x
+ 2 sinx−4 = 0
⇔2 cosx(sinx−1) + 4 sin2x+ 2 sinx−6 = 0
⇔2 cosx(sinx−1) + (sinx−1)(4 sinx+ 6) = 0
⇔(sinx−1)(2 cosx+ 4 sinx+ 6) = 0
⇔
"
sinx= 1
2 cosx+ 4 sinx=−6.
Phương trình2 cosx+ 4 sinx=−6 vô nghiệm vìa2+b2 = 20<36 =c2. sinx= 1 ⇔x= π
2 +k2π (k ∈Z).
Lại có x∈(0; 3π)⇒
0< π
2 +k2π <3π k ∈Z
⇔k ∈(0; 1)⇔x∈nπ 2;π
2 + 2πo . Tổng các nghiệm là π
2 +π
2 + 2π= 3π.
Chọn đáp án A
Câu 3. Tập giá trị của hàm số y= 2 sin2x+ 8 sinx+ 21 4 là A.
ï
−3 4;61
4 ò
. B.
ï11 4 ;61
4 ò
. C.
ï
−11 4 ;61
4 ò
. D.
ï3 4;61
4 ò
. Lời giải.
Ta có y= 2(sin2x+ 4 sinx+ 4)− 11
4 = 2(sinx+ 2)2− 11 4. Do đó
−1≤sinx≤1
⇔ 1≤sinx+ 2≤3
⇔ 1≤(sinx+ 2)2 ≤9
⇔ 2≤2(sinx+ 2)2 ≤18
⇔ −3
4 ≤2(sinx+ 2)2− 11 4 ≤ 61
4 .
Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 3 https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/
Vậy tập giá trị của hàm số là ï
−3 4;61
4 ò
.
Chọn đáp án A
Câu 4. Tổng các giá trị nguyênm để phương trình(2m+ 1) sinx−(m+ 2) cosx= 2m+ 3vô nghiệm là
A. 9. B. 11. C. 12. D. 10.
Lời giải.
Phương trình đã cho vô nghiệm khi
(2m+ 1)2+ (m+ 2)2 <(2m+ 3)2
⇔ m2−4m−4<0
⇔ 2−2√
2< m <2 + 2√ 2.
Do m nguyên nên m∈ {0; 1; 2; 3; 4}, suy ra tổng các giá trị nguyên của m là10.
Chọn đáp án D
Câu 5.
Cho hai điểm A, B thuộc đồ thị hàm số y = sinx trên đoạn [0;π], các điểm C, D thuộc trục Ox sao cho tứ giácABCD là hình chữ nhật và CD= 2π
3 . Độ dài đoạn thẳng BC bằng A.
√2
2 . B. 1
2. C. 1. D. √
2.
Lời giải.
Cách VìCD = 2π
3 ⇒OD = π
6 ⇒xD =xA = π
6 ⇒yA= 1 2. Ta có AD= 1
2 ⇒BC = 1 2.
Cách Gọi D(x1; 0), C(x2; 0)⇒x2−x1 = 2π 3 . Tọa độ A(x1; sinx1), B(x2; sinx2).
AB =CD ⇒sinx1 = sinx2 ⇒x1+x2 =π ⇒x2 = 5π 6 . Ta có C
Å5π 6 ; 0
ã , B
Å5π 6 ;1
2 ã
⇒BC = 1 2.
Chọn đáp án B
Câu 6. Trong bốn hàm số y = cos 2x, y = sinx, y = tan 2x, y = cot 4x có mấy hàm số tuần hoàn với chu kìπ?
A. 3. B. 2. C. 0. D. 1.
Lời giải.
Hàm số y= sin(ax+b), y = cos(ax+b) tuần hoàn với chu kỳ T = 2π
|a|. Hàm số y= tan(ax+b), y = cot(ax+b) tuần hoàn với chu kỳ T = π
|a|.
Do đó trong các hàm số đã cho, chỉ có hàm số y= cos 2xtuần hoàn chu kỳ π.
Chọn đáp án D
Câu 7. Phương trìnhsinx.cosπ
5 +cosx.sinπ 5 = 1
2 có nghiệm là:
A.
x= −π
30 +k2π x= 19π
30 +k2π
k ∈Z. B.
x= π
30+k2π x= −19π
30 +k2π
k ∈Z.
C.
x= π
6 +k2π x= 5π
6 +k2π
k ∈Z. D.
x= −π
30 +k2π x= −19π
30 +k2π
k ∈Z. Lời giải.
sinx.cosπ
5 +cosx.sinπ 5 = 1
2 ⇔sin x+ π
5
= 1 2
⇔
x+π
5 = π
6 +k2π x+π
5 = 5π
6 +k2π
⇔
x= −π
30 +k2π x= 19π
30 +k2π
k ∈Z.
Chọn đáp án A
Câu 8. Phương trìnhcosx= cosπ
3 có tất cả các nghiệm là:
A. x= 2π
3 +k2π(k ∈Z). B. x=±π
3 +kπ(k ∈Z).
C. x=±π
3 +k2π(k ∈Z). D.x= π
3 +k2π(k ∈Z).
Lời giải.
Phương trìnhcosx= cosπ
3 ⇔x=±π
3 +k2π(k ∈Z).
Chọn đáp án C
Câu 9. Tìm GTLN, GTNN của hàm số y= 3−2 cos23x.
A. miny = 1,maxy= 3. B. miny= 1,maxy= 5.
C. miny = 2,maxy= 3. D.miny=−1,maxy= 3.
Lời giải.
Phương pháp:
Tập giá trị của hàm số y= cosx là[−1; 1].
Cách giải:
Ta có
−1≤cos 3x≤1⇔0≤cos23x≤1⇔ −2≤ −2 cos23x≤0⇔1≤3−2 cos23x≤3⇔1≤y≤3.
Vậy miny= 1,maxy= 3.
Chọn đáp án A
Câu 10. Cho x, y ∈ 0;π
2
thỏa mãn cos 2x+ cos 2y+ 2 sin(x+y) = 2. Tìm GTNN của P = sin4x
y + cos4y x . A. minP = 3
π. B. minP = 2
π. C. minP = 5
π. D. minP = 2 3π. Lời giải.
Phương pháp:
Áp dụng bất đẳng thức: a2 x + b2
y ≥ (a+b)2
x+y ,(x, y, a, b >0), đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a x = b
y. Cách giải:
P = sin4x
y + cos4y
x ≥ sin2x+ cos2y2
x+y ≥ 1
x+y (1)
Ta có:
cos 2x+ cos 2y+ 2 sin(x+y) = 2 ⇔2 cos(x+y)·cos(x−y) + 2 sin(x+y) = 2
⇔cos(x+y)·cos(x−y) = 1−sin(x+y).
Mà1−sin(x+y)≥0,∀x, y; cos(x−y)>0,∀x, y ∈ 0;π
2
⇒cos(x+y)≥0.
⇒0< x+y≤ π
2 ⇒ 1
x+y ≥ 2
π (2)
Từ (1) và (2) suy ra P ≥ 2
π,∀x, y ∈ 0;π
2
.
Dấu ” = ” xảy ra khi và chỉ khi
sin2x
y = cos2y x sin2x+ cos2y= 1 x+y= π
2
⇒x=y= π 4.
Vậy Pmin = 2
π khi và chỉ khi x=y= π 4.
Chọn đáp án B
Câu 11. Tập xác định của hàm số y= tanx là:
A. R\ {0}. B. R\nπ
2 +kπ, k ∈Z o
. C. R. D.R\ {kπ, k ∈Z}.
Lời giải.
Điều kiện xác định: cosx6= 0⇔x6= π
2 +kπ, k ∈Z. Vậy tập xác định làR\nπ
2 +kπ, k ∈Z o
Chọn đáp án B
Câu 12. Nghiệm của phương trình cos x+π
4
=
√2 2 là A.
x=k2π x=−π
2 +kπ (k ∈Z). B.
x=kπ x=−π
2 +kπ(k∈Z).
C.
x=kπ x=−π
2 +k2π(k ∈Z). D.
x=k2π x=−π
2 +k2π (k∈Z).
Lời giải.
Phương trìnhcos
x+ π 4
=
√2
2 ⇔cos
x+π 4
= cos π
4
⇒
x=k2π x=−π
2 +k2π(k ∈Z)
Chọn đáp án D
Câu 13. Phương trình cos 2x+ 4 sinx+ 5 = 0có bao nhiêu nghiệm trên khoảng (0; 10π)?
A. 5. B. 4. C. 2. D. 3.
Lời giải.
PT đã cho⇔ −2 sin2x+ 4 sinx+ 6 = 0⇔
"
sinx=−1
sinx= 3(V N) ⇔x=−π
2 +k2π,(k ∈Z).
Theo đề: x∈(0; 10π)⇒0<−π
2 +k2π <10π⇔ 1
4 < k < 21 4 .
Vì k∈Z nên k ∈ {1; 2; 3; 4; 5}. Vậy PT đã cho có 5 nghiệm trên khoảng (0; 10π)
Chọn đáp án A
Câu 14. Tổng tất cả các giá trị nguyên của m để phương trình4 sinx+ (m−4) cosx−2m+ 5 = 0 có nghiệm là:
A. 5. B. 6. C. 10. D. 3.
Lời giải.
4 sinx+ (m−4) cosx−2m+ 5 = 0⇔4 sinx+ (m−4) cosx= 2m−5.
Phương trình có nghiệm khi 42+ (m−4)2−(2m−5)2 ≥0
⇔ −3m2+ 12m+ 7 ≥0⇔ 6−√ 57
3 ≤m≤ 6 +√ 57
3 . Vìm ∈Znên m∈ {0; 1; 2; 3; 4}.
Vậy tổng tất cả các giá trị nguyên của m để phương trình có nghiệm là 10
Chọn đáp án C
Câu 15. Giá trị nhỏ nhất m và giá trị lớn nhất M của hàm sốy= sinx+ 2 cosx+ 1 sinx+ cosx+ 2 là A. m =−1
2;M = 1. B. m = 1;M = 2. C. m=−2;M = 1. D. m=−1;M = 2.
Lời giải.
Ta có y= sinx+ 2 cosx+ 1
sinx+ cosx+ 2 ⇔(y−1) sinx+ (y−2) cosx= 1−2y(∗)
Phương trình(∗) có nghiệm ⇔(y−1)2+ (y−2)2 ≥(1−2y)2 ⇔y2+y−2≤0
⇔ −2≤y ≤1. Vậy m=−2;M = 1
Chọn đáp án C
Câu 16. Khi đặt t = tanx thì phương trình 2 sin2x+ 3 sinxcosx−2 cos2x= 1 trở thành phương trình nào sau đây?
A. 2t2−3t−1 = 0. B. 3t2−3t−1 = 0. C. 2t2+ 3t−3 = 0. D. t2+ 3t−3 = 0.
Lời giải.
Ta có:
2 sin2x+ 3 sinxcosx−2 cos2x= 1⇔2 sin2x+ 3 sinxcosx−2 cos2x= sin2x+ cos2x
⇔sin2x+ 3 sinxcosx−3 cos2x= 0.
Do cosx = 0 không thỏa mãn phương trình sin2x+ 3 sinxcosx−3 cos2x = 0 nên chia hai vế cho cos2x6= 0 ta đượctan2x+ 3 tanx−3 = 0.
Đặt tanx=t ta được phương trình t2+ 3t−3 = 0.
Chọn đáp án D
Câu 17. Giải phương trình
2 cosx
2 −1 sinx 2 + 2
= 0?
A. x=±2π
3 +k2π,(k ∈Z). B. x=±π
3 +k2π,(k∈Z).
C. x=±π
3 +k4π,(k ∈Z). D.x=±2π
3 +k4π,(k ∈Z).
Lời giải.
Ta có:
2 cosx
2 −1 sinx 2 + 2
= 0⇔
2 cosx
2 −1 = 0 (1) sinx
2 + 2 = 0 (2) . Giải (1): 2 cosx
2 −1 = 0⇔cosx 2 = 1
2 ⇔ x
2 =±π
3 +k2π ⇔x=±2π
3 +k4π,k ∈Z. Giải (2): sinx
2 + 2 = 0, phương trình vô nghiệm.
Vậy phương trình có họ nghiệm là x=±2π
3 +k4π,k ∈Z.
Chọn đáp án D
Câu 18. Tập xác định của hàm số y= sin 2x là
A. [0; 2]. B. [−2; 2]. C. R. D. [−1; 1].
Lời giải.
Hàm số y= sin 2x xác định trênR.
Chọn đáp án C
Câu 19. Cho phương trình (2 sinx−1)(√
3 tanx+ 2 sinx) = 3−4 cos2x Tổng tất cả các nghiệm thuộc đoạn[0; 20π] của phương trình bằng
A. 1150
3 π. B. 570
3 π. C. 880
3 π. D. 875
3 π.
Lời giải.
Điều kiện cosx6= 0 ⇔x6= π 2 +kπ.
(2 sinx−1)(√
3 tanx+ 2 sinx) = 3−4 cos2x
⇔ (2 sinx−1)·
√3 sinx+ 2 sinxcosx
cosx = 3−4 cos2x
⇔ (2 sinx−1)·(√
3 sinx+ sin 2x) + (4 cos3x−3 cosx) = 0
⇔ 2√
3 sin2x−√
3 sinx+ 2 sinxsin 2x−sin 2x+ cos 3x= 0
⇔ 2√
3 sin2x−√
3 sinx+ cosx−cos 3x−sin 2x+ cos 3x= 0
⇔ √
3 sinx(2 sinx−1)−cosx(2 sinx−1) = 0
⇔ (2 sinx−1)(√
3 sinx−cosx) = 0
⇔
"
2 sinx−1 = 0 (1)
√
3 sinx−cosx= 0 (2)
Giải (1): ⇔
x= π
6 +k2π x= 5π
6 +k2π
(k ∈Z).
Giải (2): ⇔tanx= 1
√3 ⇔x= π
6 + 2π(k ∈Z).
Do đó
x= π
6 +k2π x= 5π
6 + 2π
(k ∈Z).
Với x∈[0; 20π]ta có x∈ ßπ
6;π
6 +π;· · · ;π
6 + 19π;5π 6 ;5π
6 + 2π;· · · ;5π
6 + 18π
™ . Vậy tổng các nghiệm là
ßπ 6 +π
6 +π+· · ·+ π
6 + 19π+5π 6 + 5π
6 + 2π+· · ·+5π
6 + 18π
™
= 875 3 π.
Chọn đáp án D
Câu 20. Tổng tất cả các nghiệm của phương trình 3 cosx−1 = 0 trên đoạn [0; 4π] là A. 15π
2 . B. 6π. C. 17π
2 . D. 8π.
Lời giải.
Trường hợp 1: x= arccos1
3+k2π.
Ta có 06arccos1
3 +k2π 64π ⇔ − 1
2π arccos1
3 6k 6 1 2π
Å
4π−arccos1 3
ã
⇔06k61.
Khi đó các nghiệm làx= arccos Å1
3 ã
;x= arccos Å1
3 ã
+ 2π.
Trường hợp 2: x=−arccos1
3+k2π.
Ta có 06−arccos1
3 +k2π 64π ⇔ 1
2π arccos1
3 6k 6 1 2π
Å
4π+ arccos1 3
ã
⇔k∈ {1; 2}.
Khi đó các nghiệm làx=−arccos Å1
3 ã
+ 2π;x=−arccos Å1
3 ã
+ 4π.
Vậy tổng các nghiệm là 8π.
Chọn đáp án D Câu 21. Tìm tập xác định D của hàm số y= 1
sin
x− π 2
. A. D =R\ {(1 + 2k)π, k∈Z}. B. D =R\n
kπ
2, k ∈Z o
. C. D =R\n
(1 + 2k)π
2, k ∈Z o
. D.D =R\ {kπ, k∈Z}.
Lời giải.
Hàm số y= 1 sin
x−π 2
xác định khisin x−π
2
6= 0⇔x− π
2 6=kπ⇔x6= π
2 +kπ, k ∈Z. Vậy TXĐ của hàm số làD =R\n
(1 + 2k)π
2, k ∈Z o
.
Chọn đáp án C
Câu 22. Cho phương trình mcos2x−4 sinxcosx+m−2 = 0. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình có đúng một nghiệm thuộc
h 0;π
4 i
?
A. 2. B. 3. C. 1. D. 0.
Lời giải.
Ta có mcos2x−4 sinxcosx+m−2 = 0⇔m· 1 + cos 2x
2 −2 sin 2x+m−2 = 0
⇔mcos 2x−4 sin 2x+ 3m−4 = 0⇔m= 4 + 4 sin 2x 3 + cos 2x . Xétf(x) = 4 + 4 sin 2x
3 + cos 2x trên h
0;π 4 i
ta có f0(x) = 8 + 24 cos 2x+ 8 sin 2x (3 + cos 2x)2 Nhận xét f0(x)>0với mọi x∈h
0;π 4 i
nên để phương trình có nghiệm trên h
0;π 4 i
thì f(0)≤m≤fπ 4
⇔1≤m≤ 8 3. Vì m nguyên nên m= 1 và m= 2.
Khi đó phương trình mcos 2x−4 sin 2x+ 3m−4 = 0 có đúng một nghiệm trên h
0;π 4 i
.
Chọn đáp án A
Câu 23. Phương trình sin2x+√
3 sinxcosx= 1 có bao nhiêu nghiệm thuộc[0; 2π]?
A. 5. B. 3. C. 2. D. 4.
Lời giải.
Ta có phương trình đã cho
⇔ −cos2x+√
3 sinxcosx= 0
⇔
"
cosx= 0
−cosx+√
3 sinx= 0
⇔
x= π
2 +kπ x=−π
6 +lπ.
Vì x∈[0; 2π] nên ta có 0≤ π
2 +kπ ≤2π ⇔ −1
2 ≤k ≤ 3 2 ⇔
k = 0⇒x= π 2 k = 1⇒x= 3π
2 . 0≤ π
6 +lπ≤2π ⇔ −1
6 ≤m≤ 11 6 ⇔
l = 0⇒x= π 6 l = 1⇒x= 7π
6 . .
Vậy phương trình có bốn nghiệm thuộc[0; 2π].
Chọn đáp án D
Câu 24. Phương trình 2 sinx−√
2 = 0 có công thức nghiệm là A.
x= π
4 +k2π x=−π
4 +k2π
, k ∈Z. B.
x= π
4 +k2π x= 3π
4 +k2π
, k∈Z.
C.
x= π
4 +kπ x= 3π
4 +kπ
, k ∈Z. D.
x= 3π
4 +k2π x=−3π
4 +k2π
, k ∈Z. Lời giải.
Ta có: 2 sinx−√
2 = 0⇔sinx=
√2 2 ⇔
x= π
4 +k2π x= 3π
4 +k2π
, k∈Z.
Chọn đáp án B
Câu 25. Trong các phương trình sau, phương trình nào vô nghiệm?
A. tanx= 99. B. cos
2x− π 2
= 2π 3 .
C. cot 2018x= 2017. D.sin 2x=−3
4. Lời giải.
Vì cos
2x−π 2
≤1 và 2π
3 >1nên phương trình cos
2x−π 2
= 2π
3 vô nghiệm.
Chọn đáp án B
Câu 26. Số nghiệm của phương trình 2 sinx−√
3 = 0 trên đoạn [0; 2π] là
A. 3. B. 1. C. 4. D. 2.
Lời giải.
Ta có
2 sinx−√
3 = 0⇔sinx=
√3 2 ⇔
x= π
3 +k2π x= 2π
3 +k2π
(k ∈Z).
Vì x∈[0; 2π] nên phương trình đã cho có đúng 2 nghiệmx= π
3 và x= 2π 3 .
Chọn đáp án D
Câu 27. Cho hàm số f(x) = cos 2x−cosx+ 1. Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên R là A. minf(x) = −1
8. B. minf(x) =−1
4. C. minf(x) = 1
8. D. minf(x) = 1 4. Lời giải.
Ta có f(x) = 2 cos2x−cosx= 2 Å
cosx− 1
2cosx+ 1 16
ã
− 1 8 = 2
Å
cosx− 1 4
ã2
− 1 8 ≥ −1
8. Mặt khác, cosx= 1
4 luôn có nghiệm thực x nên minf(x) = −1 8.
Chọn đáp án A
Câu 28. Phương trìnhsinx−3 cosx= 0 có nghiệm dạngx= arccotm+kπ,k ∈Z thì giá trịm là bao nhiêu?
A. m =−3. B. m = 1
3. C. m= 3. D. m= 5.
Lời giải.
Với sinx= 0 thay vào phương trình suy ra cosx= 0, loại vì sin2x+ cos2x= 1 ∀x∈R. Do đósinx−3 cosx= 0⇔1−3 cotx= 0⇔cotx= 1
3 ⇔x= arccot1
3+kπ, k ∈Z. Vậy m= 1
3.
Chọn đáp án B
Câu 29. Tập xác định của hàm số y= cotx cosx−1 là A. R\
ßkπ
2 , k ∈Z
™
. B. R\
ßk
2 +kπ, k ∈Z
™ . C. R\ {kπ, k ∈Z}. D.R\ {k2π, k∈Z}.
Lời giải.
Hàm số xác định khi và chỉ khi
(sinx6= 0 cosx6= 1 ⇔
(x6=kπ x6=l2π
(k, l∈Z)⇔x6=kπ, k∈Z. Vậy, tập xác định của hàm số y= cotx
cosx−1 là R\ {kπ, k ∈Z}.
Chọn đáp án C
Câu 30. Tổng các nghiệm của phương trình sin Å5π
4 −6x ã
+ 15 sin π
4 + 2x
= 16 trên đoạn [−2019; 2019]bằng
A. 1282π
8 . B. 1285π
8 . C. 1283π
8 . D. 1284π
8 . Lời giải.
Ta có
sin Å5π
4 −6x ã
+ 15 sin π
4 + 2x
= 16
⇔ sin Å
2π− 3π 4 −6x
ã
+ 15 sin
2x+π 4
= 16
⇔ −sin Å
6x+ 3π 4
ã
+ 15 sin
2x+π 4
= 16
⇔ 4 sin3
2x+π 4
+ 12 sin
2x+π 4
−16 = 0⇔sin
2x+π 4
= 1
⇔ 2x+π 4 = π
2 +k2π ⇔x= π
8 +kπ,(k ∈Z).
Ta có −2019≤ π
8 +kπ≤2019⇔ −2019− π
8 ≤kπ ≤2019−π
8,(⇔ −642,8≤k ≤642,5).
Vì k∈Z nên k ={−642;−642;. . .; 641; 642}.
Xét tổng các nghiệm là T = π
8 −642π
+. . .+π 8 −π
+π 8 +π
8 +π
+. . .+π
8 + 642π T = 642π
8 + π 8
+π
8 = 1285π 8 .
Chọn đáp án B
Câu 31. Tập nghiệm của phương trình 2 cos 2x+ 1 = 0là A. S =nπ
3 +k2π,−π
3 +k2π, k∈Z o
. B. S =
ß2π
3 +k2π,−2π
3 +k2π, k∈Z
™ . C. S =
nπ
3 +kπ,−π
3 +kπ, k ∈Z o
. D.S =
nπ
6 +kπ,−π
6 +kπ, k ∈Z o
. Lời giải.
Có 2 cos 2x+ 1 = 0⇔cos2x=−1
2 ⇔2x=±2π
3 +k2π ⇔x=±π 3 +kπ.
Vậy tập nghiệm của phương trình là S=nπ
3 +kπ,−π
3 +kπ, k ∈Z o
.
Chọn đáp án C Câu 32. GọiM, mlần lượt là giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm sốy=
√3 sinx
cosx+ 1.TínhM·m.
A. 2. B. 0. C. −2. D. −1.
Lời giải.
Xét hàm số y=
√3 sinx
cosx+ 2(1) có tập xác định R (vì cosx+ 2>0, ∀x∈R).
Khi đó,(1) tương đương với ycosx+ 2y=√
3 sinx⇔ycosx−√
3 sinx=−2y (∗).
Phương trình(∗) có nghiệm xkhi y2+ 3 ≥4y2 ⇔y2 ≤1⇔ −1≤y ≤1.
Do đó: M = 1, m =−1. Vậy M ·m=−1.
Chọn đáp án D
Câu 33. Vớik vànlà hai số nguyên dương tùy ý thỏa mãn k≤n. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Pn = n!
(n−k)!. B. Pn = (n−k)!. C. Pn= n!
k!. D. Pn=n!.
Lời giải.
Số hoán vị của tập gồmn phần tử là Pn=n!.
Chọn đáp án D
Câu 34. Tập xác định D của hàm sốy = 2017 sinx là
A. D =R. B. D =R\ {kπ, k∈Z}.
C. D =R\ {0}. D.D =R\ {π
2 +kπ, k ∈Z}.
Lời giải.
Điều kiện
Chọn đáp án B
Câu 35. Tổng nghiệm âm lớn nhất và nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình sin
3x− π 4
bằng
A. π
9. B. π
6. C. −π
6. D. −π
9. Lời giải.
Ta có sin
3x− π 4
⇔
3x− π 4 = π
3 +k2π 3x− π
4 = 2π 3 +l2π
⇔
x= 7π
36 +k2π 3 x= 11π
36 +l2π 3
(k, l∈Z).
Trường hợp 1:x <0, xlớn nhất.
Chọn
k=−1;x=−17π 36 l=−1;x=−13π 36
⇒x=−13π
36 (nhận).
Trường hợp 2:x >0, xnhỏ nhất.
Chọn
k= 0;x= 7π 36 l= 0;x= 11π
36
⇒x= 7π
36 (nhận).
Vậy tổng cần tìm là: −13π 36 + 7π
36 =−π 6.
Chọn đáp án C
Câu 36. Cho phương trình cosx+ cosx
2 + 1 = 0. Nếu đặt t= cosx
2, ta được phương trình nào sau đây?
A. 2t2+t−1 = 0. B. −2t2+t+ 1 = 0. C. −2t2+t= 0. D. 2t2+t= 0.
Lời giải.
Ta cócosx+ cosx
2 + 1 = 0 ⇔2 cosx
2 −1 + cosx
2 + 1 = 0⇔2 cos x
2 + cosx
2 = 0. Đặt t = cosx 2, ta được phương trình 2t2+t = 0.
Chọn đáp án D
Câu 37. Tìm tất cả các giá trị thực của tham sốmđể phương trìnhcos 2x−(2m+1) cosx+m+1 = 0 có nghiệm trên khoảng
Åπ 2;3π
2 ã
?
A. −1≤m <0. B. −1< m <0. C. −1≤m≤0. D. −1≤m < 1 2. Lời giải.
Do x∈ Åπ
2;3π 2
ã
⇒cosx∈[−1; 0).
Ta có cos 2x−(2m+ 1) cosx+m+ 1 = 0⇔2 cos2x−(2m+ 1) cosx+m= 0
⇔(2 cosx−1)(cosx−m) = 0⇔
cosx= 1 loại cosx=m
. Vậy phương trình đã cho có nghiệm−1≤m <0.
Chọn đáp án A
Câu 38. Điều kiện để biểu thức P = tan(α+π
3) + cot(α− π
6) xác định là A. α6= π
6 +kπ, k ∈R. B. α 6= −π
3 + 2kπ, k ∈R. C. α6= π
6 + 2kπ, k ∈R. D.α 6= 2π
3 +kπ, k ∈R. Lời giải.
Biểu thức xác định khi
α+ π
3 6= π 2 +kπ α− π
6 6=kπ
⇔α 6= π
6 +kπ(k ∈R).
Chọn đáp án A
Câu 39. Trong các hàm số sau đây, hàm số nào là hàm số tuần hoàn?
A. y = sinx. B. y= x−1
x+ 2. C. y=x2. D. y=x3+ 2.
Lời giải.
Trong các đáp án đã cho chỉ có hàm số y= sinx là hàm số tuần hoàn (chu kỳ T = 2π).
Chọn đáp án A
Câu 40. Với giá trị nào của tham số m thì phương trình3 sinx+mcosx= 5 vô nghiệm?
A. m >4. B. |m| ≥4. C. m <−4. D. −4< m <4.
Lời giải.
Phương trình3 sinx+mcosx= 5 vô nghiệm khi và chỉ khi:
32+m2 <52 ⇔m2 <42 ⇔ −4< m <4.
Chọn đáp án D
Câu 41. Số nghiệm của phương trình cos2x+ cosx−2 = 0 trong đoạn [0; 2π]là
A. 2. B. 4. C. 3. D. 1.
Lời giải.
Ta có cos2x+ cosx−2 = 0⇔
"
cosx= 1
cosx=−2 vô nghiệm ⇔x=k2π.
x∈[0; 2π]⇒x= 0;x= 2π.
Chọn đáp án A
Câu 42. Giá trị nhỏ nhất của hàm số y= 4 sin4x+ cos2x+ 3 bằng A. 31
8 . B. 5. C. 4. D. 24
5 . Lời giải.
TXĐ: D=R.
Biến đổi y= 2 sin4x−sin2x+ 4. Đặt t= sin2x,0≤t≤1.
Xét hàm số f(t) = 2t4−t2+ 4 liên tục trên đoạn[0; 1].f0(t) = 8t3−2t= 2t(4t2−1) Trên khoảng(0; 1) phương trình f0(t) = 0 ⇔t = 1
2 Ta có: f(0) = 4, f
Å1 2
ã
= 31
8 , f(1) = 5.
Vậy min
t∈[0;1]f(t) = 31
8 tại t= 1
2 ⇒min
R
y= 31
8 khi sin2x= 1
2 ⇔cos 2x= 0⇔x= π 4 +kπ
2 .
Chọn đáp án A
Câu 43. Điều kiện xác định của hàm số y= tan 2xlà A. x6= π
4 +kπ. B. x6= π
2 +kπ. C. x6= π 8 +kπ
2 . D. x6= π 4 +kπ
2 . Lời giải.
Hàm số y= tan 2x= sin 2x
cos 2x xác định khi và chỉ khi:
cos 2x6= 0⇔2x6= π
2 +kπ⇔x6= π 4 +kπ
2 , k ∈Z.
Chọn đáp án D
Câu 44. Tìm nghiệm của phương trình sin 2x= 1 A. x= π
2 +k2π. B. x= π
4 +kπ. C. x= 3π
4 +k2π. D. x= kπ 2 . Lời giải.
Phương pháp
Sử dụng công thức giải phương trình lượng giác đặc biệt: sinf(x) = 1⇔f(x) = π
2 +k2π Cách giải:
sin 2x= 1 ⇔2x= π
2 +k2π ⇔x= π 4 +kπ.
Chọn đáp án D
Câu 45. Tập nghiệm của phương trình sin2 x
2 − π 4
tan2x−cos2 x
2 = 0 là.
A.
x=π+kπ x=−π
4 +kπ. B.
x=π+k2π x=−π
4 +kπ. C.
x=π+k2π x=−π
4 +k2π. D.
x=π+kπ x=−π
4 +k2π. Lời giải.
Điều kiện cosx6= 0 (∗).
Khi đó sin2x 2 − π
4
tan2x−cos2 x 2 = 0
⇔1 2
h
1−cos
x− π 2
i sin2x cos2x = 1
2(1 + cosx)
⇔(1−sinx) sin2x= (1 + cosx) cos2x
⇔(1−sinx) (1−cosx) (1 + cosx) = (1 + cosx) (1−sinx) (1 + sinx)
⇔(1−sinx) (1 + cosx) (sinx+ cosx) = 0
⇔
sinx= 1 cosx=−1 tanx=−1
⇔x= π
2 +k2π, x =π+k2π, x =−π
4 +k2π(k ∈Z).
Chọn đáp án B
Câu 46. Số điểm biểu diễn tập nghiệm của phương trình sin3x−3 sin2x+ 2 sinx= 0 trên đường tròn lượng giác là
A. 2. B. 1. C. 3. D. 5.
Lời giải.
sin3x−3 sin2x+ 2 sinx= 0⇔
sinx= 0 sinx= 1 sinx= 2
⇔
"
x= kπ x= k2π
(k∈Z).
Vậy có ba điểm biểu diễn.
Chọn đáp án C
Câu 47. Số nghiệm của phương trình sin 3x
1−cosx = 0 trên đoạn [0;π] là
A. 4. B. 2. C. 3. D. Vô số.
Lời giải.
1 ĐKXĐ: cosx6= 1.
2 Phương trình tương đương sin 3x= 0⇔3x= kπ⇔x= kπ
3 với (k∈Z).
3 Ta có 0≤x≤π⇔0≤ kπ
3 ≤π⇔0≤k≤3. Suy ra k = 0, k = 1, k = 2, k = 3. Do đó x= 0, x= π
3, x= 2π
3 , x=π.
So sánh điều kiện ta có x= π
3, x= 2π
3 , x=π.
Chọn đáp án C
Câu 48. Nghiệm của phương trình sin x+π
3
= 0 là A. x=−π
3 +kπ, k∈Z. B. x=−π
3 +k2π, k ∈Z. C. x= π
6 +k2π, k∈Z. D.x=kπ, k ∈Z. Lời giải.
Ta có
sin x+π
3
= 0⇔x+π
3 =kπ, k ∈Z⇔x=−π
3 +kπ, k ∈Z. Vậy phương trình đã cho có nghiệmx=−π
3 +kπ, k∈Z.
Chọn đáp án A
Câu 49. Trong các khẳng định sau khẳng định nào sai?
A. Hàm số y= cosx đồng biến trên tập xác định.
B. Hàm số y= cosx là hàm số tuần hoàn chu kì 2π.
C. Hàm số y= cosx có đồ thị là đường hình sin.
D. Hàm số y= cosx là hàm số chẵn.
Lời giải.
Theo tính chất của hàm số y= cosx, ta có
Tập xác định của hàm số y= cosx làD =R. Hàm số y= cosx là hàm số tuần hoàn chu kì 2π.
Hàm sốy= cosxđồng biến trên(−π+k2π;k2π)và nghịch biến trên(k2π;π+k2π)(vớik ∈Z).
Hàm số y= cosx là hàm số chẵn.
Hàm số y= cosx có đồ thị là đường cong hình sin.
Chọn đáp án A
Câu 50. Tập nghiệm của phương trình sin 2x+ cosx= 0 là A. S =
ß
−π
2 +kπ,−π
6 +k2π 3
k ∈Z
™
. B. S =
ß
−π
2 +k2π,π
2 + k2π 3
k∈Z
™ .
C. S = ßπ
2 +k2π, π 6 +kπ
3
k ∈Z
™
. D.S =
n
−π
2 +kπ,π
4 +k2π k ∈Z
o . Lời giải.
Ta có
sin 2x+ cosx= 0 ⇔cosx(2 sinx+ 1) = 0⇔
cosx= 0 sinx=−1
2
⇔
x= π
2 +lπ x=−π
6 +l2π x= 7π
6 +l2π
(l∈Z).
Biểu diễn các nghiệm này trên đường tròn lượng giác ta được tập nghiệm của phương trình đã cho làS =
ß
−π
2 +k2π, π
2 +k2π 3
k ∈Z
™ .
Chọn đáp án B
Câu 51. Tìm tập nghiệm S của phương trình sinx+√
3 cosx= 1.
A. S = n
−π
6 +k2π,π
2 +k2π k ∈Z
o
. B. S =
nπ
6 +k2π k ∈Z
o . C. S =n
−π
6 +kπ,π
2 +kπ k∈Z
o
. D.S =n
k2π, π
3 +k2π k ∈Z
o . Lời giải.
Ta có sinx+√
3 cosx= 1 ⇔ 1
2sinx+
√3
2 cosx= 1
2 ⇔sin x+ π
3
= 1 2 ⇔
x=−π
6 +k2π x= π
2 +k2π
(k∈Z).
Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là S= n
−π
6 +k2π, π
2 +k2π k∈Z
o .
Chọn đáp án A
Câu 52. Trong các hàm số sau, hàm nào là hàm số chẵn?
A. y = 1−sin2x. B. y= cos(x+ π
3). C. y=x|sinx|. D. y= sinx+ cosx.
Lời giải.
Nhận xét: Ta nhận thấy tập xác định của bốn hàm số đã cho đều làR nên ∀x∈R⇒ −x∈R. Xéty = 1−sin2x có y(−x) = 1−sin2(−x) = 1−sin2x=y(x).
Vậy hàm sốy = 1−sin2xlà hàm số chẵn.
Xéty = cos x+ π
3
cóy(−x) = cos
−x+π 3
⇒
(y(−x)6=y(x) y(−x)6=−y(x).
Nên hàm số y= cos x+π
3
không là hàm số chẵn, cũng không là hàm số lẻ.
Xéty =x|sinx|có y(−x) = (−x)|sin (−x)|=−x|−sinx|=−x|sinx|=−y(x).
Nê hàm sốy=x|sinx| là hàm số lẻ.
Xéty = sinx+ cosx cóy(−x) = sin (−x) + cos (−x) = −sinx+ cosx⇒
(y(−x)6=y(x) y(−x)6=−y(x).
Nên hàm số y= sinx+ cosx không là hàm số chẵn, cũng không là hàm số lẻ.
Chọn đáp án A
Câu 53. Có bao nhiêu nghiệm của phương trìnhsin2x−sinx= 0thỏa mãn điều kiện0< x < π?
A. 3. B. 1. C. 2. D. Không có x.
Lời giải.
Ta có
sin2x−sinx= 0
⇔
"
sinx= 0 sinx= 1
⇔
x=kπ x= π
2 +k2π.
Do 0< x < π⇒x= π 2 .
Chọn đáp án B
Câu 54. Trong khoảng (−π;π), phương trình sin6x+ 3 sin2xcosx+ cos6x= 1 có
A. 4 nghiệm. B. 1 nghiệm. C. 3 nghiệm. D. 2nghiệm.
Lời giải.
Ta có sin6x+ cos6x= sin2x+ cos2x3
−3 sin2xcos2x sin2x+ cos2x
= 1−3 sin2xcos2x.
Do đó phương trình tương đương với
3 sin2xcosx−3 sin2xcos2x= 0
⇔ sin2xcosx(1−cosx) = 0
⇔
"
cosx= 0 cosx=±1.
Vẽ đường tròn đơn vị ra, ta thấy phương trình có 3 nghiệm trên (−π;π), nên tập nghiệm là S = n−π
2; 0;π 2
o .
Chọn đáp án C
Câu 55. Tổng các nghiệm trong đoạn [0; 2π]của phương trình sin3x−cos3x= 1 bằng A. 5π
2 . B. 7π
2 . C. 2π. D. 3π
2 .
Lời giải.
Ta có sin3x−cos3x= 1 ⇔(sinx−cosx)(1 + sinxcosx) = 1. (1) Đặt t= sinx−cosx=√
2 sin x− π
4
,−√
2≤t ≤√ 2.
Có t2 = 1−2 sinxcosx⇒sinxcosx= 1
2(1−t2).
(1) trở thành t ï
1 + 1
2(1−t2) ò
= 1⇔t3−3t+ 2 = 0⇔(t−1) (t3+t−2) = 0.
⇔
"
t= 1
t=−2 (loại) ⇔√ 2 sin
x− π
4
= 1 ⇔sin
x−π 4
= 1
√2
⇔
x−π
4 = π
4 +k2π x−π
4 = 3π 4 +l2π
⇔
x= π
2 +k2π x=π+l2π
(k, l∈Z). Có x∈[0; 2π] nên ta có các nghiệmx=π;x= π
2.
Vậy tổng các nghiệm x∈[0; 2π] của phương trình đã cho là 3π 2 .
Chọn đáp án D
Câu 56. Hàm số y= 2 sinx+ 1
1−cosx xác định khi A. x6= π
2 +k2π. B. x6=kπ. C. x6=k2π. D. x6= π
2 +kπ.
Lời giải.
Hàm số xác định khi1−cosx6= 0 ⇔cosx6= 1 ⇔x6=k2π với k ∈Z.
Chọn đáp án C
Câu 57. Phương trình cosx−m= 0 vô nghiệm khim là
A. −1≤m≤1. B. m >1. C. m <−1. D.
"
m <−1 m >1
. Lời giải.
Phương trìnhcosx−m= 0⇔cosx=m.
Vì −1≤cosx≤1, ∀x nên phương trình trên vô nghiệm⇔
"
m >1 m <−1.
Chọn đáp án D
Câu 58. Tìm nghiệm của phương trìnhsin4x+ cos4x+ cos x− π
4
·sin
3x− π 4
−3 2 = 0.
A. x= π
3 +kπ, k∈Z. B. x= π
3 +k2π, k ∈Z. C. x= π
4 +k2π, k ∈Z. D.x= π
4 +kπ, k ∈Z. Lời giải.
Phương trình đã cho tương đương với Å
1− 1
2sin22x ã
+ 1 2
sin
4x− π 2
+ sin 2x
− 3 2 = 0
⇔ Å
1− 1
2sin22x ã
+ 1
2(sin 2x−cos 4x)− 3 2 = 0
⇔ Å
1− 1
2sin22x ã
+ Å1
2sin 2x− 1
2 + sin22x ã
−3 2 = 0
⇔ 1
2sin22x+1
2sin 2x−1 = 0
⇔
"
sin 2x= 1
sin 2x=−2(vô nghiệm)
⇔ 2x= π
2 +k2π ⇔x= π
4 +kπ, k ∈Z.
Chọn đáp án D
Câu 59. Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số chẵn?
A. y = tanx. B. y= sinx. C. y= cosx. D. y= cotx.
Lời giải.
Các hàm sốy = sinx,y = tanx,y = cotxlà các hàm số lẻ.
Hàm số y= cosx là hàm số chẵn.
Chọn đáp án C
Câu 60. Cho phương trìnhsin
2x−π 4
= sin Å
x+ 3π 4
ã
Tính tổng các nghiệm thuộc khoảng(0;π) của phương trình trên.
A. 7π
2 . B. π. C. 3π
2 . D. π
2. Lời giải.
sin
2x−π 4
= sin Å
x+3π 4
ã
⇔
2x− π
4 =x+3π
4 +k2π 2x− π
4 =π−x− 3π
4 +k2π
⇔
x=π+k2π x= π
6 +k2π 3
(k ∈Z).
– Xétx=π+k2π(k ∈Z).
Do 0< x < π ⇔0< π+k2π < π ⇔ −1
2 < k <0 vì k ∈Znên không có giá trị của k.
– Xétx= π
6 +k2π
3 (k ∈Z).
Do 0< x < π ⇔0< π
6 +k2π
3 < π ⇔ −1
4 < k < 5
4. Vì k ∈ Z nên k = 0, k = 1. Suya ra x= π
6 và x= 5π 6 .
Vậy tổng các nghiệm của phương trình đã cho trong khoảng (0;π) là π 6 + 5π
6 =π.
Chọn đáp án B
Câu 61. Giải phương trình8 cos 2x·sin 2x·cos 4x=−√ 2 A.
x= π 32+kπ
4 x= 3π
32 +kπ 4
(k∈Z). B.
x= π 8 +kπ
8 x= 3π
8 +kπ 8
(k ∈Z).
C.
x= π 32+kπ
4 x= 5π
32 +kπ 4
(k∈Z). D.
x= π 16 +kπ
8 x= 3π
16 +kπ 8
(k ∈Z).
Lời giải.
8 cos 2x·sin 2x·cos 4x=−√
2 ⇔ 4 sin 4x·cos 4x=−√
2⇔2 sin 8x=−√ 2
⇔ sin 8x= −√ 2
2 ⇔
8x=−π
4 +k2π 8x= 5π
4 +k2π
⇔
x=− π 32+kπ
4 x= 5π
32 +kπ 4
(k ∈Z).
Chọn đáp án B
Câu 62. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Hàm số y= cosx là hàm số lẻ. B. Hàm số y = tan 2x−sinx là hàm số lẻ.
C. Hàm số y= sinx là hàm số chẵn. D. Hàm sốy = tanx·sinx là hàm số lẻ.
Lời giải.
Xét hàm số y= tan 2x−sinx.
Tập xác định D =R\nπ 4 +kπ
2, k∈Z o
. Giả sử với x bất kỳ thuộcD suy ra −x∈D.
Màf(−x) = tan (−2x)−sin (−x) = −tan 2x+ sinx=−f(x).
Do đó hàm số y= tan 2x−sinx là hàm số lẻ.
Chọn đáp án B
Câu 63. Số giá trị nguyên m để phương trình√
4m−4·sinx·cosx+√
m−2·cos 2x=√
3m−9 có nghiệm là
A. 7. B. 6. C. 5. D. 4.
Lời giải.
Điều kiện
4m−4≥0 m−2≥0 3m−9≥0
⇔
m≥1 m≥2 m≥3
⇔m≥3 (∗).
Với điều kiện (∗) ta có
√4m−4·sinx·cosx+√
m−2·cos 2x=√
3m−9
⇔ √
m−1·sin 2x+√
m−2·cos 2x=√
3m−9 (1) Để phương trình(1) có nghiệm khi và chỉ khi
Ä√m−1ä2
+Ä√
m−2ä2
≥Ä√
3m−9ä2
⇔ m−1 +m−2≥3m−9⇔m≤6.
Chọn đáp án D
Câu 64. Số nghiệm x∈(0; 12π) thỏa mãn phương trình cos 2x+ cos2x−sin2x= 2 là
A. 10. B. 1. C. 12. D. 11.
Lời giải.
Ta có
cos 2x+ cos2x−sin2x= 2
⇔ 2 cos 2x= 2⇔cos 2x= 1
⇔ 2x=k2π ⇔x=kπ, k∈Z.
Để thỏa mãn bài toán khi 0< kπ < 12π ⇔ 0< k <12 mà k ∈ Z nên k = 1,2. . . ,11 suy ra có 11 nghiệmx∈(0; 12π).
Chọn đáp án D
Câu 65. Có bao nhiêu giá trị nguyênm để phương trình 4 sin
x+ π 3
·cos x− π
6
=m2+√
3 sin 2x−cos 2x.
có nghiệm?
A. 7. B. 1. C. 3. D. 5.
Lời giải.
Ta có
4 sin
x+π 3
·cos
x− π 6
=m2+√
3 sin 2x−cos 2x
⇔ 2 h
sin
2x+π 6
+ sinπ 2 i
=m2+√
3 sin 2x−cos 2x
⇔ √
3 sin 2x+ cos 2x+ 2 =m2+√
3 sin 2x−cos 2x
⇔ cos 2x= m2−2 2 . Để phương trình có nghiệm khi và chỉ khi
m2−2 2
≤1⇔
m2−2 2 ≥ −1 m2−2
2 ≤1
⇔
(m2 ≥0
m2 ≤4 ⇔ −2≤m≤2.
Do m∈Z suy ra m∈ {−2;−1; 0; 1; 2}. Vậy có 5 giá trị nguyên của m thỏa mãn.
Chọn đáp án D
Câu 66. Khẳng định nào sai trong các khẳng định sau?
A. y= cosx tuần hoàn với chu kì π. B. y = cosx nghịch biến trên khoảng (0;π).
C. y= cosx là hàm số chẵn. D.y = cosx có tập xác định làR. Lời giải.
Hàm số y= cosx là hàm số tuần hoàn với chu kì2π.
Chọn đáp án A
Câu 67. Số nghiệm thuộc đoạn [0; 2018π] của phương trìnhcos 2x−2 sinx+ 3 = 0 là
A. 2017. B. 1009. C. 1010. D. 2018.
Lời giải.
Ta có
cos 2x−2 sinx+ 3 = 0⇔1−2 sin2x−2 sinx+ 3 = 0
⇔sin2x+ sinx−2 = 0
⇔
"
sinx= 1
sinx=−2(loại)
⇔x= π
2 +k2π, k∈Z. Theo giả thiết x∈[0; 2018π]⇔06 π
2 +k2π62018π ⇔ −1
4 6k 6 4035 4 . Do k ∈Z nên k ∈ {0; 1;. . .; 1008}.
Vậy phương trình đã cho có 1009 nghiệm.
Chọn đáp án B
Câu 68. Diện tích của đa giác tạo bởi các điểm trên đường tròn lượng giác biểu diễn các nghiệm của phương trìnhcos2x+ 3 sinx·cosx= 1.
A. √
3. B. 3√
10
10 . C. 3√
10
5 . D. √
2.
Lời giải.
Phương trình đã cho viết lại như sau 3 sinx·cosx−sin2x= 0⇔
"
sinx= 0 tanx= 3
⇔
"
x=kπ x=α+mπ
k, m∈Z; tanα= 3.
Gọi A, B lần lượt là các điểm cuối biểu diễn cho họ nghiệm x=kπ, k ∈Z trên đường tròn lượng giác.
Gọi M, N lần lượt là các điểm cuối biểu diễn cho họ nghiệm x=α+mπ, m∈Z trên đường tròn lượng giác.
Tứ giácAM BN là hình chữ nhật, suy ra SAM BN = 4SAOM. Ta có ÷AOM = α và tanα = 3 nên cos2α = 1
10 hay sinα = 3
√10. Vậy
SAM BN = 4SAOM = 4· 1
2 ·1·1· 3
√10 = 3√ 10 5 .
x y
O A
B
M
N
Chọn đáp án C
Câu 69. Phương trình sinx = x
2019 có bao nhiêu nghiệm thực? (Đã sửa câu hỏi so với đề gốc sinx= 2019x)
A. 1288. B. 1287. C. 1290. D. 1289.
Lời giải.
Điều kiện phương trình có nghiệm: −1≤sinx≤1⇔ −1≤ x
2019 ≤1⇔ −2019≤x≤2019.
Ta có: sinx= x
2019 ⇔sinx− x
2019 = 0.
Xét hàm số f(x) = sinx− x
2019 trên [−2019; 2019].
f(−x) = sin(−x)− −x
2019 =−sinx+ x
2019 =−f(x)⇒f(x)là hàm số lẻ.
⇒ x0 là một nghiệm của phương trình f(x) = 0 thì −x0 là một nghiệm của phương trình f(x) = 0.
x= 0 là một nghiệm của phương trìnhf(x) = 0 f0(x) = cosx− 1
2019.
Cho f0(x) = 0 ⇔cosx= 1
2019 ⇔x=±arccos Å 1
2019 ã
+k2π, (k∈Z).
Xét trên(0; 2π] ta có bảng biến thiên:
x f0(x)
f(x)
0 arccos
Å 1 2019
ã
−arccos Å 1
2019 ã
+ 2π 2π
+ 0 − 0 +
0 0
≈0.99
≈0.99
≈ −1.00
≈ −1.00
≈ −0.003
≈ −0.003
⇒ phương trình f(x) = 0 có 1 nghiệm thuộc (0; 2π].
Xét trên(2π; 4π] ta có bảng biến thiên:
x f0(x)
f(x)
2π arccos
Å 1 2019
ã
+ 2π −arccos Å 1
2019 ã
+ 4π 4π
+ 0 − 0 +
≈ −0.003
≈ −0.003
≈0.99
≈0.99
≈ −1.00
≈ −1.00
≈ −0.006
≈ −0.006
⇒ phương trình f(x) = 0 có 2 nghiệm thuộc (2π; 4π].
Tương tự, phương trình f(x) = 0 có 2 nghiệm thuộc mỗi chu kỳ (4π; 6π],(6π; 8π], ..., (640π; 642π].
Xét trên(642π; 2019] ta có bảng biến thiên:
x f0(x)
f(x)
642π arccos
Å 1 2019
ã
+ 642π 2019
+ 0 −
≈ −0.99
≈ −0.99
≈0.00
≈0.00
≈ −0.13
≈ −0.13
⇒ phương trình f(x) = 0 có 2 nghiệm thuộc (642π; 2019].
⇒ phương trình f(x) = 0 có 643 nghiệm dương.
Hàm số f(x) là hàm số lẻ⇒ phương trình f(x) = 0 có 643 nghiệm âm.
⇒ Số nghiệm thực của phương trình f(x) = 0 là: 643 + 643 + 1 = 1287 (nghiệm).
Chọn đáp án B
Câu 70. Cho phương trình cos 4x−cos 2x+ 2 sin2x
cosx+ sinx = 0. Tính diện tích đa giác có các đỉnh là các điểm biểu diễn các nghiệm của phương trình trên đường tròn lượng giác.
A. √
2. B. 2√
2. C.
√2
2 . D.
√2 4 . Lời giải.
Điều kiện: cosx+ sinx6= 0⇔x6=−π
4 +kπ(k ∈Z).
Với điều kiện trên, phương trình đã cho tương đương cos 4x−cos 2x+ 2 sin2x= 0
⇔ 2 cos22x−1−cos 2x+ 1−cos 2x= 0
⇔ 2 cos22x−2 cos 2x= 0
⇔
"
cos 2x= 0 cos 2x= 1
⇔
2x= π 2 +lπ 2x=h2π
⇔
x= π
4 + lπ 2 x=hπ
(l, h∈Z).
x y
O
N P
Q M
A
B H
Điều kiện: x6=−π
4 +kπ(k ∈Z) được biểu diễn lên đường tròn lượng giác là khác các điểmM, N. Nghiệm x= π
4 + lπ
2 (l∈Z) được biểu diễn lên đường tròn lượng giác là các điểm M, P, N, Q.
Nghiệm x=hπ(h∈Z)được biểu diễn lên đường tròn lượng giác là các điểm A, B.
Khi đó nghiệm của phương trình được biểu diễn trên đường tròn là hình chữ nhật AP BQ.
Trong tam giácABP như hình vẽ - kẻ đường cao P H.
Diện tích tứ giác AP BQ làSAP BQ = 2S4ABP = 2· 1 2 ·2·
√2 2 =√
2.
Chọn đáp án A
Câu 71. Cho hai số thực thỏa mãn x2+y2 = 1. Đặt P = x2+ 6xy
1 + 2xy+ 2y2. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Giá trị nhỏ nhất của P là−3. B. Giá trị lớn nhất của P là 1.
C. P không có giá trị lớn nhất. D.P không có giá trị nhỏ nhất.
Lời giải.
Do x2+y2 = 1 nên tồn tại giá trịα sao cho
(x= sinα
y= cosα. Khi đó ta có P = sin2α+ 6 sinα·cosα
1 + 2 sinα·cosα+ 2 cos2α ⇔ P(1 + sin 2α+ 1 + cos 2α) = 1−cos 2α
2 + 3 sin 2α
⇔ (2P + 1) cos 2α+ (2P −6) sin 2α= 1−4P (∗) Từ phương trình(∗) ta có điều kiện tồn tại α là
(2P + 1)2+ (2P −6)2 ≥(1−4P)2 ⇔8P2+ 12P −36 = 0⇔ −3≤P ≤ 3 2. Suy ra minP =−3.
Chọn đáp án A
Câu 72. Tập xác định của hàm số y= 1
√sinx+ 1 là A. R\nπ
2 +k2π, k ∈Z o
. B. R\n
−π
2 +k2π, k∈Z o
. C. R\n
−π
2 +kπ, k ∈Z o
. D.R.
Lời giải.
Do sinx+ 1 ≥0, ∀x∈R nên hàm số xác định khi và chỉ khi sinx+ 16= 0⇔sinx6=−1⇔x6=−π
2 +k2π, k∈Z.
Chọn đáp án B
Câu 73. Nghiệm âm lớn nhất của phương trình
√3
sin2x = 3 cotx+√ 3 là A. −π
6. B. −5π
6 . C. −π
2. D. −2π
3 . Lời giải.
Điều kiện sinx6= 0.
√3
sin2x = 3 cotx+√ 3
⇔
Å 1 sin2x −1
ã
−√
3 cotx= 0
⇔ cotx(cotx−√ 3) = 0
⇔
"
cotx= 0 cotx=√
3
⇔
x= π
2 +kπ x= π
6 +kπ
,(k∈Z).
Do đó nghiệm âm lớn nhất của phương trình là max ß
−π 2;−5π
6
™
=−π 2.
Chọn đáp án C
Câu 74. Nghiệm của phương trình lượng giác cos2x−cosx = 0 thỏa mãn điều kiện 0 < x < π là
A. x= 0. B. x= 3π
4 . C. x= π
2. D. x=−π
2. Lời giải.
cos2x−cosx= 0⇔
"
cosx= 0 cosx= 1
⇔
x= π
2 +kπ x=k2π
,(k∈Z).
Do đó các nghiệm của phương trình trên khoảng(0;π) là x= π 2.
Chọn đáp án C
Câu 75. Tất cả các nghiệm của phương trình tanx= cotxlà A. x= π
4 +kπ
4, k ∈Z. B. x= π
4 +k2π, k ∈Z. C. x= π
4 +kπ, k∈Z. D.x= π
4 +kπ
2, k∈Z. Lời giải.
Điều kiện
(sinx6= 0
cosx6= 0 ⇔x6=kπ
2,(k ∈Z).
tanx= cotx⇔tanx= tanπ 2 −x
⇔x= π
2 −x+kπ ⇔x= π 4 +kπ
2,(k∈Z).
Đối chiếu điều kiện được các nghiệm của phương trình là x= π 4 +kπ
2,(k∈Z).
Chọn đáp án D
Câu 76. Số nghiệm của phương trình sin 5x+√
3 cos 5x= 2 sin 7x trên khoảng 0;π
2
là
A. 4. B. 1. C. 3. D. 2.
Lời giải.
sin 5x+√
3 cos 5x= 2 sin 7x ⇔sin(5x+ π
3) = sin 7x
⇔
5x+ π
3 = 7x+k2π 5x+ π
3 =π−7x+k2π
⇔
x= π
6 −k2π (1) x= π
18+kπ
6 (2).
Vì x∈ 0;π
2
, k∈Z nên
"
(1)⇒k = 0
(2)⇒k ∈ {0; 1; 2}.
Vậy số nghiệm của phương trình đã cho là 4.
Chọn đáp án A
Câu 77. Trong các phép biến đổi sau, phép biến đổi nào sai?
A. sinx= 1⇔x= π
2 +k2π, k∈Z . B. tanx= 1⇔x= π
4 +kπ, k∈Z . C. cosx= 1
2 ⇔
x= π
3 +k2π, k ∈Z x=−π
3 +k2π, k ∈Z
. D.sinx= 0⇔x=k2π, k ∈Z. Lời giải.
Ta có sinx= 0⇔x=kπ, k ∈Z, nên đáp án D sai.
Chọn đáp án D
Câu 78. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình 3 sin 2x−m2 + 5 = 0 có nghiệm?
A. 6. B. 2. C. 1. D. 7.
Lời giải.
Phương trình đã cho tương đương với phương trìnhsin 2x= m2 −5 3 Vì sin 2x∈[−1; 1] nên m2−5
3 ∈[−1; 1]⇔m2 ∈[2; 8]⇔
"
−2√
2≤m≤ −√
2⇒m=−2(m ∈Z)
√
2≤m ≤2√
2⇒m= 2(m∈Z) Vậy có hai giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Chọn đáp án B
Câu 79. Tính tổng các nghiệm trong đoạn [0; 30] của phương trình : tanx= tan 3x (1) A. 55π. B. 171π
2 . C. 45π. D. 190π
2 . Lời giải.
Điều kiện để phương trình (1) có nghĩa
(cosx6= 0 cos 3x6= 0 ⇔
x6= π
2 +kπ x6= π
6 +kπ 3
(∗)
Khi đó, phương trình(1) 3x=x+kπ⇔x= kπ 2 so sánh với điều kiện(∗) ⇒
"
x=k2π x=π+k2π
, x∈[0; 30]⇒k ={0;...; 4} ⇒x∈ {0;π; 2π;...; 9π}
Vậy, tổng các nghiệm trong đoạn [0; 30]của phương trình (1) là: 45π
Chọn đáp án C
Câu 80. Gọix0 là nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình3sin2x+ 2 sinxcosx−cos2x= 0. Chọn khẳng định đúng?
A. x0 ∈π 2;π
. B. x0 ∈
Å3π 2 ; 2π
ã
. C. x0 ∈ 0;π
2
. D. x0 ∈
Å π;3π
2 ã
. Lời giải.
Phương pháp:
Sử dụng phương pháp giải phương trình đẳng cấp bậc hai đối với sinx và cosx. Chia cả 2 vế của phương trình cho cos2x6= 0.
Cách giải:
Phương trình:3sin2x+ 2 sinxcosx−cos2x= 0 (∗)
+) cosx= 0⇒sin2x= 1 không phải là nghiệm của phương trình (∗) +) cosx6= 0. Ta có:
3sin2x+ 2 sinxcosx−cos2x= 0 ⇔3· sin2x
cos2x + 2· sinx
cosx −1 = 0
⇔3tan2x+ 2 tanx−1 = 0⇔
tanx=−1 tanx= 1
3
⇔
x=−π
4 +kπ, k ∈Z x= arctan1
3 +kπ, k ∈Z
Nghiệm nguyên dương nhỏ nhất của phương trình là x= arctan1 3 ∈
0;π 2
.
Chọn đáp án C
Câu 81. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình 4 cos3x −cos 2x + (m − 3) cosx−1 = 0 có đúng bốn nghiệm khác nhau thuộc khoảng
−π 2;π
2
?
A. 2. B. 3. C. 0. D. 1.
Lời giải.
4 cos3x−cos 2x+ (m−3) cosx−1 = 0
⇔ 4 cos3x−(2 cos2x−1) + (m−3) cosx−1 = 0
⇔ cosx(4 cos2x−2 cosx+m−3) = 0
⇔ cosx= 0hoặc4 cos2x−2 cosx+m−3 = 0 Phương trìnhcosx= 0 không có nghiệm thuộc khoảng
−π 2;π
2
.
Xét phương trình 4 cos2x−2 cosx+m−3 = 0 (1)
Đặt t= cosx, với x∈
−π 2;π
2
⇒t∈(0; 1).
Khi đó(1) trở thành 4t2−2t+m−3 = 0⇔4t2−2t−3 =−m.
Xét hàm số f(t) = 4t2−2t−3 với t ∈(0; 1).
t
f(t)
0 1
4 1
−3
−3
−13
−134 4
−1
−1
Từ bảng biến thiên ta thấy yêu cầu bài toán tương đương−13
4 <−m <−3⇔3< m < 13 4 .
Chọn đáp án C
Câu 82. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình 5 cosx−msinx = m+ 1 có nghiệm.
A. m ≤12. B. m ≤ −13. C. m≤24. D. m≥24.
Lời giải.
Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi:52+m2 ≥(m+ 1)2 ⇔m≤12.
Chọn đáp án A
Câu 83. Giải phương trìnhsinx+ cosx=√
2 sin 5x.
A.
x= π
18+kπ 2 x= π
9 +kπ 3
. B.
x= π
12+kπ 2 x= π
24+kπ 3
. C.
x= π
16 +kπ 2 x= π
8 +kπ 3
. D.
x= π
4 +kπ 2 x= π
6 +kπ 3 .
Câu 84. Phương trình sinx+ cosx= 1 có bao nhiêu nghiệm trên khoảng (0;π)?
A. 1. B. 0. C. 2. D. 3.
Lời giải.
Ta có: sinx+ cosx= 1⇔√ 2 sin
x+π
4
= 1 ⇔sin
x+π 4
= 1
√2
⇔
x+π
4 = π
4 +k2π x+π
4 = 3π
4 +k2π
⇔
x=k2π x= π
2 +k2π (k∈Z).
Suy ra, trên khoảng (0;π) phương trình có một nghiệm x= π 2
Chọn đáp án A
.
Câu 85. Giải phương trìnhsin 2x= cos4x
2 −sin4x 2. A.
x= π
6 +k2π 3 x= π
2 +k2π
(k ∈Z). B.
x= π
4 +kπ 2 x= π
2 +kπ
(k ∈Z).
C.
x= π
3 +kπ x= 3π
2 +k2π
(k ∈Z). D.
x= π
12+kπ 2 x= 3π
4 +kπ
(k ∈Z).
Lời giải.
sin 2x= cos4x
2 −sin4x
2 ⇔sin 2x= cosx⇔2 sinxcosx= cosx
⇔
cosx= 0 sinx= 1
2
⇔
x= π
2 +kπ x= π
6 +k2π x= 5π
6 +k2π
⇔
x= π
6 +k2π 3 x= π
2 +k2π
(k ∈Z).
Chọn đáp án A
Câu 86. Gọi S là tập hợp tất cả các nghiệm thuộc khoảng (0; 2018) của phương trình
√3(1−cos 2x) + sin 2x−4 cosx+ 8 = 4Ä√
3 + 1ä
sinx.Tính tổng tất cả các phần tử của S.
A. 103255π. B. 310408π
3 . C. 312341π
3 . D. 102827π.
Lời giải.
Ta có
√3(1−cos 2x) + sin 2x−4 cosx+ 8 = 4Ä√
3 + 1ä sinx
⇔√
3(1−cos 2x−4 sinx) + sin 2x−4 cosx+ 8−4 sinx= 0
⇔√
3 2 sin2x−4 sinx
+ 2 sinx·cosx−4 cosx−4 sinx+ 8 = 0
⇔2√
3 sinx·(sinx−2) + 2(sinx−2)·(cosx−2) = 0
⇔2(sinx−2)·Ä√
3 sinx+ cosx−2ä
= 0
⇔(sinx−2) Ç√
3
2 sinx+1
2cosx−1 å
= 0
⇔(sinx−2) h
sin
x+ π 6
−1 i
= 0
⇔sin x+π
6
= 1 (vì sinx−2<0,∀x∈R)
⇔x+π 6 = π
2 +k2π
⇔x= π
3 +k2π.
Xétx= π
3 +k2π ∈(0; 2018)⇒0< π
3 +k2π <2018⇔ −1
6 < k < 1009 π . Vì k∈Z nên k ∈ {0; 1; 2;. . .; 321}.
Tổng tất cả các nghiệm thuộc khoảng(0; 2018) là
S= π 3 +
π 3 + 2π
+
π
3 + 2·2π
+. . .+ π
3 + 321·2π
= 322· π
3 + (1 + 2 +. . .+ 321)·2π
= 322π
3 +321·(321 + 1)
2 ·2π
= 310408π
3 .
Chọn đáp án B
Câu 87. Phương trìnhsin 3x+ 2 cos 2x−2 sinx−1 = 0có bao nhiêu nghiệm thuộc Å
−7π 8 ; 0
ã :
A. 3 . B. 1 . C. 2 . D. 0.
Lời giải.
sin 3x+ 2 cos 2x−2 sinx−1 = 0
⇔ 3 sin3x−4 sinx+ 2−4 sin2x−2 sinx−1 = 0
⇔ −4 sin3x−4 sin2x+ sinx+ 1 = 0
⇔ (sinx+ 1)(1−4 sin2x) = 0
⇔
sinx=−1 sinx= 1
2 = sinπ 6 sinx=−1
2 = sin
−π 6
⇔
x=−π
2 +k2π x= π
6 +k2π x= 5π
6 +k2π x=−π
6 +k2π x= 7π
6 +k2π.
Với k = 0⇒x=−π
2,x=−π 6. Với k =−1⇒x=−5π
6 .
Vậy có tất cả 3 nghiệm thuộc khoảng Å
−7π 8 ; 0
ã .
Chọn đáp án A
Câu 88. Cho phương trình 2 1−3 sin2xcos2x
−sinxcosx
√2−2 sinx = 0 có x0 là nghiệm dương lớn nhất trên khoảng (0; 100π) và có dạng x0 =aπ+π
b (a, b∈Z). Tính tổngT =a+b.
A. T = 100. B. T = 101. C. T = 102. D. T = 103.
Lời giải.
Điều kiện x6= π
4 +k2π,x6= 3π
4 +k2π,k ∈Z. Phương trình tương đương với
3 sin22x+ sin 2x−4 = 0 ⇔x= π
4 +kπ, k ∈Z. Đối chiếu điều kiện suy ra x= 5π
4 +k2π, mà x∈(0; 100π). Nên nghiệm lớn nhất là x= 99π+π 4.
Chọn đáp án D
Câu 89. Tìm m để phương trình (cosx+ 1) (2 cos2x−1−mcosx)−msin2x = 0 có đúng hai nghiệm thuộc
ï 0;2π
3 ò
.
A. −1< m≤1. B. −1
2 < m≤1. C. 0< m≤ 1
2. D. −1< m≤ −1 2. Lời giải.
Phương trình tương đương với
(cosx+ 1) 2 cos2x−1−mcosx
−m(1−cosx)(1 + cosx) = 0
⇔ (cosx+ 1)(cos 2x−m) = 0 ⇔
"
cosx=−1 cos 2x=m.
Với cosx=−1⇔x=π+k2π, mà x∈ ï
0;2π 3
ò
⇒ Không thỏa mãn.
Do đó để phương trình đã cho có hai nghiệm thỏa mãn đề bài thì phương trình cos 2x=m phải có đúng hai nghiệm thuộc
ï 0;2π
3 ò
, tức làm∈ Å
−1;−1 2 ò
.
Chọn đáp án D
Câu 90. Hàm sốy = 3 sin(x+ 2018)−4 cos(x+ 2018) +mđạt giá trị nhỏ nhất bằng 0. Tìm giá trị của m.
A. m =−7. B. m = 5. C. m=−5. D. m= 7.
Lời giải.
Điều kiện để phương trình
3 sin(x+ 2018)−4 cos(x+ 2018) = y−m
có nghiệm là32+ 42 ≥(y−m)2 ≥0⇔ −5≤y−m≤5⇔m−5≤y≤m+ 5.
Do đóminy =m−5 = 0⇔m= 5.
Chọn đáp án B
Câu 91. Tìm tất cả các giá trị thực của tham sốm để phương trìnhsinx=mcó nghiệm thực.
A. m ≥0. B. −1≤m≤1. C. −1< m <1. D. m >0.
Lời giải.
Phương trìnhsinx=m có nghiệm thực khi−1≤m≤1.
Chọn đáp án B
Câu 92. Phương trình sin
2x− π 4
= sin Å
x+3π 4
ã
có tổng các nghiệm thuộc khoảng (0;π) bằng
A. 7π
2 . B. π. C. 3π
2 . D. π
4. Lời giải.
Ta có
2x− π 4
= sin Å
x+ 3π 4
ã
⇔
2x−π
4 =x+ 3π
4 +k2π, k∈Z 2x−π
4 = π
4 −x+l2π, l∈Z
⇔
x=π+k2π x= π
6 +l2π 3
,(k, l ∈Z).
Họ nghiệm x=π+k2π không có nghiệm nào thuộc khoảng (0;π).
x= π 6 +l2π
3 ∈(0;π)⇒0< π 6 +l2π
3 < π⇔l ∈ {0; 1}.
Vậy phương trình có hai nghiệm thuộc khoảng (0;π) là x = π
6 và x = 5π
6 . Từ đó suy ra tổng các nghiệm của phương trình thuộc khoảng(0;π)bằng π.
Chọn đáp án B
