LUYỆN THI THPT QUỐC GIA 2021
hoctoanonline.vn
ĐỀ THI THỬ THPT QG - TRƯỜNG THPT ĐẶNG THÚC HỨA - NGHỆ AN, NĂM 2021
Đề thi có 50 câu trắc nghiệm Thời gian: 90 phút (không kể phát đề)
Họ và tên thí sinh: Số báo danh:
Câu 1. Tập xác định của hàm số y = log3(x −1) là
A. [1; +∞). B. (−∞; +∞). C. (−∞; 1). D. (1; +∞).
Câu 2. Cho hàm số y =f(x) liên tục trên R và có bảng biến thiên như sau x
f0(x) f(x)
−∞ 2 4 +∞
+ 0 −
0 +
−∞
−∞
3 3
−2
−2
+∞ +∞
Hàm số đã cho đạt cực tiểu tại điểm
A. x = 3. B. x= 4. C. x=−2. D. x = 2.
Câu 3. Phần ảo của số phức z= 3 + 2i là
A. 2. B. 2i. C. −2i. D. −2.
Câu 4. Diện tích mặt cầu đường kính bằng 4a là
A. 16πa2. B. 32πa2. C. 8πa2. D. 64πa2. Câu 5. Cho hàm số y =f(x) có bảng biến thiên như sau
x f0(x) f(x)
−∞ −1 2 +∞
− 0 + 0 −
+∞ +∞
−2
−2
3 3
−∞
−∞
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau?
A. (−1; +∞). B. (−2; 3). C. (−∞; 2). D. (−1; 2).
Câu 6. Trong không gian Oxyz, cho điểm M(2; 1; 5). Hình chiếu của M lên trục Ox có tọa độ là
A. (0; 0; 5). B. (2; 0; 0). C. (0; 1; 5). D. (0; 1; 0).
Câu 7. Cho hàm số y =f(x) liên tục trên R và có bảng xét dấu như sau x
f0(x)
−∞ −2 1 3 +∞
− 0 + 0 + 0 −
Số điểm cực trị của hàm số đã cho là
A. 3. B. 2. C. 4. D. 1.
Câu 8. Thể tích khối tròn xoay sinh bởi hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = cosx, đường thẳng x= 0, x =
π 2
và trục Ox khi quay xung quanh trục hoành là A. V =
π
Z2 0
cosxdx. B. V =
π
Z2 0
cos
2xdx.
C. V =π
π
Z2 0
cosxdx. D. V =π
π
Z2 0
cos
2xdx. Câu 9. Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y =
2x −3 x −1
là A. y = 1. B. y =
3 2
. C. y = 2. D. y = 3.
Câu 10. Tập nghiệm của bất phương trình 3
x >27 là
A. (−∞;−3). B. (−∞;−3]. C. [3; +∞). D. (3; +∞).
Câu 11. Trong không gianOxyzmột véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) : 2x+3y−z+5 = 0 là
A.
#»n
3 = (3;−2;−1). B. n#»
2 = (2;−3;−1). C. n#»
4 = (−1; 3; 2). D. n#»
1 = (2; 3;−1).
Câu 12. Trong không gianOxyz, đường thẳngd: x −1
2
= y 3
= z+ 2
1
đi qua điểm nào sau đây?
A. Q(1; 0;−2). B. M(−1; 0; 2). C. N(2; 3; 1). D. P(1; 0; 2).
Câu 13. Vớia là số thực dương tùy ý vàa 6= 1, giá trị của loga2a3 bằng A.
3 2
. B. 5. C. 6. D.
2 3 .
Câu 14. Cho số phức z = 2 +i. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, điểm biểu diễn hình học số phức liên hợpz có tọa độ là
A. (−2; 1). B. (2;−1). C. (1; 2). D. (1;−2).
Câu 15. Thể tích của khối trụ tròn xoay có bán kính r và chiều cao h bằng A.
πr2h 3
. B. 3πr2h. C. πr2h. D. 2πr2h. Câu 16. Thể tích khối chóp có diện tích đáy B, chiều cao h là
A. Bh. B.
1 2
Bh. C.
1 3
Bh. D.
4 3
Bh. Câu 17. Cho cấp số cộng (un) với u
1 = 1, công said= 2. Số hạng thứ ba của cấp số cộng là
A. u3 = 4. B. u3 = 5. C. u3 = 7. D. u3 = 3.
Câu 18.
Hàm số nào dưới đây có đồ thị có dạng như hình vẽ bên?
A. y =x3−2x2+x. B. y =x4−2x2. C. y =x4−2x2−1. D. y =−x4+ 2x2.
x y
O
−1
−1
1
Câu 19. Họ nguyên hàm của hàm số f(x) =x3+ 3x2 là A. x4+x3+C. B.
x4 4
+ x3
3
+C. C. x4
4
+x3+C. D. 3x2+ 6x+C. Câu 20. Nghiệm của phương trình log3(x −3) = 3 là
A. x = 12. B. x= 24. C. x= 30. D. x = 6.
Câu 21. Số giao điểm của đồ thị hàm sốy =x3−3x+ 2 và đường thẳng y =x+ 2 là
A. 3. B. 0. C. 1. D. 2.
Câu 22. Số cách chọn hai học sinh từ một nhóm gồm 8 học sinh nam và 7 học sinh nữ là
A. C
1 7+ C
1
8. B. C
2
15. C. A
2
15. D. C
1 7C
1 8. Câu 23. Cho lăng trụ đứng ABC.A0B0C0 có AA0 = a√
6, đáy ABC là tam giác vuông cân tạiB và BC =BA=a. Góc giữa đường thẳng A0C và mặt phẳng đáy bằng
A. 45
◦
. B. 90
◦
. C. 60
◦
. D. 30
◦
.
Câu 24. Trong không gian Oxyz, phương trình mặt cầu (S) có tâm I(−3; 1; 2) và đi qua điểmA(−4;−1−0) là
A. (S) : (x −3)
2
+ (y+ 1)
2
+ (z+ 2)
2
= 9. B. (S) : (x+ 4)
2
+ (y+ 1)
2
+z2 = 9.
C. (S) : (x+ 3)
2
+ (y −1)
2
+ (z −2)
2
= 9. D. (S) : (x+ 3)
2
+ (y −1)
2
+ (z −2)
2
= 3.
Câu 25. Cho hình nón có bán kính đáy bằng 3, độ dài đường cao bằng 4. Diện tích xung quanh của hình nón bằng
A. 24π. B. 12π. C. 30π. D. 15π.
Câu 26. Choa,b là hai số thực dương tùy ý thỏa mãn 2 log3a+ 3 log3b= 1. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. a2b3 = 3. B. 3a2 =b3. C. a2 = 3b3. D. a2b3 = 1.
Câu 27. Gọiz
1,z
2 là các nghiệm phức của phương trình z2−2z+ 5 = 0. Giá trị của biểu thức (z1− z2)
2
bằng
A. −16. B. 4. C. −4. D. 16.
Câu 28. Cho hai số phức z
1 = 1−3i,z
2 = 3 + 2i. Số phức 2z
1+z
2 bằng
A. 4− i. B. 7 +i. C. 5−4i. D. 10 + 2i. Câu 29.
Cho hàm số bậc bốny =f(x) có đồ thị như hình bên. Số đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm sốy =
1 2f(x) + 1
là A. 2. B. 1. C. 3. D. 4.
x y
O
−1 1
1
−1
Câu 30. Giá trị lớn nhất của hàm sốf(x) =x3−3x+ 2 trên đoạn [−3; 3] bằng
A. 0. B. 20. C. −16. D. 4.
Câu 31. Cho số phứcz thỏa mãn (2 +i)z = 4−3i. Mô-đun của số phức z bằng
A. 2. B. 1. C.
√
5. D. 5.
Câu 32. Cho Z2
0
f(x) dx= 2 và Z2
0
g(x) dx = 3. Tích phân Z2
0
[2f(x)− g(x)] dx bằng
A. 5. B. 7. C. −1. D. 1.
Câu 33.
Cho hình nón có bán kính đáy bằng 3, chiều cao bằng 6. Một khối trụ có bán kính đáy thay đổi nội tiếp trong hình nón đã cho (như hình vẽ minh họa). Thể tích lớn nhất của khối trụ bằng
A. 10π. B. 6π. C. 8π. D. 4π.
S
O O0
Câu 34. Theo số liệu của Tổng cục thống kê, dân số Việt Nam tính đến hết tháng 6 năm 2020 khoảng 97,3 triệu người. Giả sử tỉ lệ gia tăng dân số hàng năm của Việt Nam trong giai đoạn 2020 đến 2050 ở mức không đổi 1,14%. Hỏi đến năm nào dân số Việt Nam đạt mức 120,5 triệu người?
A. 2039. B. 2042. C. 2043. D. 2037.
Câu 35. Cho tích phân Z3
1
xf(x) dx= 2. Tính tích phân Z2
0
x2fÄ√ x3+ 1
ä dx.
A. 3. B.
2 3
. C. 1. D.
4 3 . Câu 36.
Cho đồ thị hàm sốy =x3+ax2+bx+ccó đồ thị (C).
Biết rằng tiếp tuyến (d) của (C) tại điểm A có hoành độ x=−1 cắt (C) tại điểm B có hoành độ x = 2 (xem hình vẽ), diện tích hình phẳng giới hạn bởi (d) và (C) (phần gạch chéo) bằng
O x
−1 2
y
A. 25
4
. B.
13 2
. C.
27 4
. D.
11 2
.
Câu 37. Trong không gianOxyz, mặt phẳng đi qua điểm A(−1; 1; 2) và song song với hai đường thẳng ∆ :
x −1 2
= y+ 1
2
= z −3
1
và ∆
0
: x
1
= y −3
3
= z+ 1
1
có phương trình là A. x+y −4z+ 8 = 0. B. x − y+ 4z −6 = 0.
C. x+y+ 4z −8 = 0. D. x − y −4z+ 10 = 0.
Câu 38. Có 30 quả cầu được đánh số tự nhiên từ 1 đến 30. Lấy ngẫu nhiên đồng thời hai quả cầu rồi nhân các số trên hai quả cầu lại với nhau. Tính xác suất để số nhận được là số chia hết cho 10.
A. 48 145
. B.
8 29
. C.
16 29
. D.
16 145
.
Câu 39. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Mặt bên (SAD) là tam giác đều và (SAD) ⊥ (ABCD). Gọi M là trung điểm của cạnh đáy AB. Khoảng cách giữa hai đường thẳngSA và CM là
A. a√
3 3
. B.
a√ 2 3
. C.
a√ 5 4
. D.
a√ 3 4
. Câu 40. Cho phương trình log
2
2x −4 log2x+m −3 = 0. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn x1 > x2 >1?
A. 3. B. 4. C. 6. D. 5.
Câu 41. Số các giá trị nguyên của m thuộc khoảng (−2021; 2021) sao cho hàm số y = x3−3x2−3mx + 1 đồng biến trên khoảng (0; +∞) là
A. 2019. B. 2022. C. 2021. D. 2020.
Câu 42. Xét các số phứcz thoả mãn |z|= 4, biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn của số phứcw = (3−4i)z+ 5i là một đường tròn. Bán kính r của đường tròn đó là
A. 10. B. 20. C. 18. D. 25.
Câu 43. Cho hàm số y = f(x) liên tục trên R và có đạo hàm f0(x) thỏa mãn f0(x) = (1− x)(2 +x)g(x) + 2020, vớig(x)<0, ∀x ∈ R. Hàm sốy =f(1− x) + 2020x+ 2021 nghịch biến trong khoảng nào dưới đây?
A. (4; +∞). B. (1; +∞). C. (0; 3). D. (−∞; 3).
Câu 44. Cho hình trụ có bán kính đáy bằng 4. Biết rằng khi cắt hình trụ đã cho bởi một mặt phẳng qua trục, thiết diện thu được là một hình vuông. Diện tích toàn phần của hình trụ đã cho bằng
A. 100π. B. 64π. C. 80π. D. 96π.
Câu 45. Cho hình chópS.ABCcóSA ⊥(ABC), tam giác4ABCvuông tạiB,SA=BC = 3, AB=
√
7. Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho.
A. R =
√ 5 2
. B. R= 5. C. R=
√
5. D. R=
5 2 . Câu 46.
Cho hàm số y =f(x) bậc ba có đồ thị như hình vẽ. Số nghiệm của phương trình 2f(x+ 1−√
6x+ 3) = 1 là
A. 3. B. 4. C. 6. D. 5.
y
4
O x
−1 2
Câu 47. Trong không gianOxyz, cho ba điểmA(1; 2; 3),B(1; 2; 0) và M(−1; 3; 4). Gọi (d) là đường thẳng quaB vuông góc vớiAB đồng thời cách M một khoảng nhỏ nhất. Một véc tơ chỉ phương của (d) có dạng
u#»= (2;a;b). Tính tổng a+b .
A. 1. B. 2. C. −1. D. 2.
Câu 48. Cho hàm sốy =f(x) có đạo hàm liên tục trên khoảng (0; +∞) thỏa mãnxf0(x) = f(x) +x3lnx, ∀x >0 và f(1) =
3 4
. Tínhf(2)
A. 2 ln 2 + 1. B. 4 ln 2 + 1. C. 2 ln 2. D. 4 ln 2.
Câu 49. Cho hình lăng trụ tứ giác đềuABCD.A0B0C0D0 có đáy là hình vuông; khoảng cách và góc giữa hai đường thẳngACvà DC0 lần lượt bằng
3a√ 7 7
và φvới cosφ =
√ 2 4
. Thể tích khối lăng trụ đã cho bằng
A. 3a3. B. 9a3. C. 3
√
3a3. D.
√ 3a3.
Câu 50. Có bao nhiêu số nguyên x ∈ [−2021; 2021] để ứng với mỗi x có tối thiểu 64 số nguyêny thoả mãn log3
px4+y ≥log2(x+y)
A. 3990. B. 3992. C. 6988. D. 3989.
ĐÁP ÁN ĐỀ SỐ 1
1. D 2. B 3. A 4. A 5. D 6. B 7. B 8. D 9. C 10. D 11. D 12. A 13. A 14. B 15. C 16. C 17. B 18. B 19. C 20. C 21. A 22. B 23. C 24. C 25. D 26. A 27. A 28. C 29. D 30. B 31. C 32. D 33. C 34. A 35. D 36. C 37. A 38. B 39. D 40. A 41. D 42. B 43. A 44. D 45. D 46. B 47. C 48. D 49. B 50. A
ĐÁP ÁN CHI TIẾT
Câu 1. Hàm số xác định khi và chỉ khix −1>0 ⇔ x >1 nên tập xác định làD = (1; +∞).
Chọn đáp án D
Câu 2. Hàm số đạt cực tiểu tại x = 4.
Chọn đáp án B
Câu 3. Phần ảo của số phức z= 3 + 2i là 2.
Chọn đáp án A
Câu 4. Bán kính mặt cầu đã cho là R= 2a nên diện tích mặt cầu là S = 4πR2 = 4π ·4a2 = 16πa2.
Chọn đáp án A
Câu 5. Hàm số đồng biến trên khoảng (−1; 2).
Chọn đáp án D
Câu 6. Hình chiếu của điểm M trên Ox có tọa độ là (2; 0; 0).
Chọn đáp án B
Câu 7. Hàm số liên tục trênR và có đạo hàm đổi dấu 2 lần nên hàm số có 2 điểm cực trị.
Chọn đáp án B
Câu 8. Ta có V =π
π
Z2 0
cos
2xdx.
Chọn đáp án D
Câu 9. Tập xác định D =R\ {1}. Ta có
x→±∞lim y =x→±∞lim
2x −3 x −1
= 2. Vậy đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là y = 2.
Chọn đáp án C
Câu 10. Ta có 3
x >27⇔3
x >3
3 ⇔ x >3.
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là (3; +∞).
Chọn đáp án D
Câu 11. Một véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) : 2x+ 3y − z+ 5 = 0 là
#»n
1 = (2; 3;−1).
Chọn đáp án D
Câu 12. Đường thẳng d đi qua điểm Q(1; 0;−2).
Chọn đáp án A
Câu 13. Ta có loga2a3 = 3 2
logaa = 3 2 .
Chọn đáp án A
Câu 14. Ta có z = 2− i nên điểm biểu diễn của số phức z có tọa độ (2;−1).
Chọn đáp án B
Câu 15. Thể tích khối trụ là V =πr2h.
Chọn đáp án C
Câu 16. Thể tích khối chóp có diện tích đáy B, chiều cao h là V = 1 3
Bh.
Chọn đáp án C
Câu 17. Số hạng thứ ba của cấp số cộng u
3 =u
1+ 2d= 5.
Chọn đáp án B
Câu 18. Từ đồ thị ta thấy đồ thị có hình dạng của hàm số bậc 4 trùng phương y = ax4 +bx2 +c với hệ số a > 0 và đi qua điểm O(0; 0) nên c = 0. Do đó chỉ có hàm số y =x4−2x2 thỏa mãn.
Chọn đáp án B
Câu 19. Ta có Z
f(x) dx= Z
x3+ 3x2 dx =
x4 4
+x3+C.
Chọn đáp án C
Câu 20. Ta có log3(x −3) = 3⇔ x −3 = 3
3 ⇔ x= 30.
Chọn đáp án C
Câu 21. Xét phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số và đường thẳng đã cho x3−3x+ 2 =x+ 2⇔ x3−4x = 0⇔
ñx= 0 x=±2. Vậy đồ thị hàm số và đường thẳng đã cho cắt nhau tại 3 điểm phân biệt.
Chọn đáp án A
Câu 22. Số cách chọn 2 học sinh là C
2 15.
Chọn đáp án B
Câu 23.
Do AA0 ⊥ (ABC) nên AC là hình chiếu vuông góc của A0C trên mặt phẳng (ABC). Suy ra góc giữa A0C và (ABC) là góc A’0CA.
Tam giácABC vuông cân tại B nên AC=a√ 2.
Tam giácA0AC vuông tại A nên tanA’0CA =
AA0 AC =
a√ 6 a√
2
=
√
3ÑA’0CA = 60
◦.
Vậy (A0C,(ABC)) =A’0CA= 60
◦
.
A
B
C C0 A0
B0
Chọn đáp án C
Câu 24. Bán kính mặt cầu là R=IA =
√
1 + 4 + 4 = 3, phương trình mặt cầu (S) là (x+ 3)
2
+ (y −1)
2
+ (y −2)
2
= 9.
Chọn đáp án C
Câu 25.
Hình nón có độ dài đường sinh là
` =
√r2+h2 =
√
32+ 42 = 5. Vậy diện tích xung quanh của hình nón bằng
Sxq=πr` = 15π.
O S
A
r=3
h=4
Chọn đáp án D
Câu 26. Ta có 2 log3a + 3 log3b = 1 ⇔ log3a2 + log3b3 = 1 ⇔ log3 a2b3
= log33 ⇔ a2b3 = 3.
Chọn đáp án A
Câu 27. Phương trìnhz2−2z+ 5 = 0 luôn có hai nghiệm phứcz1,z2 thỏa mãn z1+z2 = 2, z1z
2 = 5. Do đó ta có
(z
1− z
2)
2
= (z
1+z
2)
2−4z
1z
2 =−16.
Chọn đáp án A
Câu 28. Ta có 2z
1+z
2 = 2(1−3i) + (3 + 2i) = 5−4i.
Chọn đáp án C
Câu 29. Đồ thị hàm số y = 1 2f(x) + 1
nhận đường thẳng x = x
0 làm tiệm cận đứng nếu y → ±∞khi x → x+
0 hoặc x → x−
0. Do lim
x→x01 = 1, ∀x0 ∈ R nên đồ thị hàm số y = 1 2f(x) + 1
nhận x = x0 làm tiệm cận đứng khi và chỉ khi x0 là nghiệm của phương trình 2f(x) + 1 = 0.
Từ đồ thị hàm số ta thấy phương trình 2f(x) + 1 = 0 ⇔ f(x) =
−1 2
có 4 nghiệm phân biệt. Do đó đồ thị hàm sốy = 1 2f(x) + 1 có 4 đường tiệm cận đứng.
x y
O
−1 1
1
−1
y =−1
2
Chọn đáp án D
Câu 30. Ta có f0(x) = 3x2−3, f0(x) = 0⇔
ñx =−1∈[−3; 3]
x = 1∈[−3; 3]. Mặt khác f(−3) =−16, f(−1) = 4, f(1) = 0, f(3) = 20 nên max
[−3;3]f(x) = 20.
Chọn đáp án B
Câu 31. Ta có (2 +i)z= 4−3i ⇔ z=
4−3i
2 +i = 1−2i nên |z| =
√
1 + 4 =
√ 5.
Chọn đáp án C
Câu 32. Ta có Z2
0
[2f(x)− g(x)] dx= 2 Z2 0
f(x) dx − Z2 0
g(x) dx = 4−3 = 1.
Chọn đáp án D
Câu 33.
Giả sử hình nón đỉnh S, có đường cao SO. Hình trụ có đáy là đường tròn tâm O và đường tròn tâm O0, trong đó đường tròn (O0) nằm trên mặt trụ. Gọi SA là một đường sinh của hình nón, SA và OA cắt các đường tròn đáy của hình trụ tạiA0 và A
1. Khi đó ta cóA0A1 là một đường sinh của hình trụ.
Gọir, h là bán kính đáy và chiều cao hình trụ (0< r <3). Khi đó áp dụng định lý Ta-lét cho tam giác SOA, ta có
r 3
= SO0
SO = 6− h
6
Ñ h= 6−2r.
S
O O0
A A0
A1
Thể tích của khối trụ làV
trụ=πr2(6−2r)≤
År+r+ 6−2r 3
ã3
π= 8π. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi r = 6−2r ⇔ r = 2.
Vậy thể tích lớn nhất của khối trụ là 8π khi r = 2.
Chọn đáp án C
Câu 34. Do giả thiết tỉ lệ tăng dân số hàng năm trong giai đoạn 2020 đến 2050 là không đổi nên dân số Việt Nam saunnăm (0< n ≤30) tính từ tháng 6 năm 2020 là 97,3(1 + 1,14%)
n
. Khi dân số đạt mức 120,5 triệu người nghĩa là
97,3(1 + 1,14%)
n
= 120,5 ⇔ n= log1,0114
1205 973
≈19.
Vậy sau khoảng 19 năm tính từ tháng 6 năm 2020. Tức là đến năm 2039 dân số Việt Nam ước đạt đến 120,5 triệu người.
Chọn đáp án A
Câu 35. Đặt
√x3+ 1 = t Ñ x3 + 1 = t2 Ñ 3x2dx = 2tdt. Khi đó với x = 0 Ñ t = 1, x= 2Ñ t = 3. Ta có
Z2 0
x2fÄ√ x3+ 1
ä dx =
2 3
Z3 1
tf(t) dt = 4 3 .
Chọn đáp án D
Câu 36. Đồ thị (C) có phương trình y = f(x) = x3+ax2+bx+c và phương trình tiếp tuyến (d) lày =g(x).
Xét phương trình hoành độ giao điểmf(x) =g(x). Theo đề thì (C) và (d) tiếp xúc với nhau tại điểm x =−1 và cắt nhau tại điểm x = 2, nên suy ra f(x)− g(x) = (x+ 1)
2
(x −2).
Suy ra diện tích hình phẳng giới hạn bới (d) và (C) là S =
Z2
−1
|f(x)− g(x)|dx= Z2
−1
|(x+ 1)
2
(x −2)|dx = Z2
−1
(x+ 1)
2
(2− x)dx = 27
4 .
Chọn đáp án C
Câu 37. Ta thấy ∆ có véc-tơ chỉ phương
#»u
1 = (2; 2; 1), ∆
0
có véc-tơ chỉ phương u#»
2 = (1; 3; 1).
Theo đề bài ta có véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng cần tìm là n#»= [
u#»1,u#»2] = (1; 1;−4).
Suy ra phương trình mặt phẳng cần tìm là 1(x+ 1) + 1(y −1)−4(z−2) = 0⇔ x+y −4z+ 8 = 0.
Chọn đáp án A
Câu 38. Số phần tử của không gian mẫu bằng số cách chọn 2 số tự nhiên bất kì trong 30 số đã cho và bằng C
2
30 = 435.
Từ 1 đến 30 ta chia thành các nhóm:
• Nhóm A các số chia hết cho 10 gồm 10, 20, 30.
• Nhóm B các số chia hết cho 5 mà không chia hết cho 10 bao gồm 5, 15, 25.
• Nhóm C các số chẵn không chia hết cho 10 có 12 số.
• Nhóm D các số lẻ còn lại.
Để chọn được hai số tự nhiênx,y trong 30 số đã cho mà tíchxy chia hết cho 10 thì ta có các trường hợp sau:
• Trường hợp 1: Chọn được hai số từ nhóm A có C
2
3 = 3 cách chọn.
• Trường hợp 2: Chọn được một số từ nhóm A và một số còn lại từ các nhóm B, C,D có C
1 27C
1
3 = 81 cách chọn.
• Trường hợp 3: Chọn được một số từ nhóm Bvà một số từ nhómC suy ra có C
1 3C
1 12 = 36 cách chọn.
Vậy xác suất cần tìm là P =
3 + 81 + 36 435
= 8 29
.
Chọn đáp án B
Câu 39.
GọiH,K lần lượt là trung điểm của AD và BC.
Chọn hệ trục tọa độ trong không gian sao cho H ≡ O, Ox ≡ HA,Oy ≡ HB và Oz ≡ HS.
Ta suy ra tọa độAa 2
; 0; 0
,S Ç
0; 0;
a√ 3 2
å
,C
−a 2
;a; 0
và Ma
2
; a 2
; 0
. Suy ra +
SA# » = Ça
2
; 0;−a√ 3 2
å
, +
# » CM =
a;−a
2
; 0
, +
# » AM =
0;
a 2
; 0
.
Bài toán bây giờ là tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
d [SA, CM] =
îSA,# » CM# »ó
·AM# »
î# » SA,# »
CMó
= a√
3 4
.
D
A
C H B
M K S
z
y x
Chọn đáp án D
Câu 40. Đặt t = log2x, phương trình đã cho tương đương với t2−4t+m −3 = 0 (1).
Điều kiện của đề bài tương đương với phương trình (1) có hai nghiệm dương phân biệt.
(1) có hai nghiệm dương phân biệt ⇔
∆
0 >0 S > 0 P >0
⇔
®
7− m >0 m −3 >0
⇔3< m <7.
m ∈Z suy ra m ∈ {4;,5,6}. Vậy có 3 giá trị m nguyên thỏa mãn đề bài.
Chọn đáp án A
Câu 41. Tập xác định D =R.
Yêu cầu bài toán tương đương với
y0 = 3x2−6x −3m ≥ 0, ∀x ∈ (0; +∞)⇔ x2−2x ≥ m ∀x ∈(0; +∞). Lập bảng biến thiên hàm số y =h(x) =x2−2x trên khoảng (0; +∞).
x h0
h
0 1 +∞
− 0 +
0 0
−1
−1
+∞ +∞
Suy ram ≤ min
(0;+∞)
h(x) =−1.
Kết hợp với yêu cầu đề bài ta cóm ∈ {−2020;−2019;. . .;−1}. Suy ra có 2020 giá trị củam.
Chọn đáp án D
Câu 42. Giả sử w =x+yi trong đó x, y ∈R.
Ta có w = (3−4i)z+ 5i ⇔ z=
w −5i 3−4i. Theo đề ta có
w −5i 3−4i
= 4⇔ |x+ (y −5)i|
5
= 4⇔ |x+ (y −5)i| = 20⇔ x2+ (y −5)
2
= 400. Suy ra đường tròn biểu diễn số phứcw có bán kính r = 20.
Chọn đáp án B
Câu 43. Đặt h(x) =f(1− x) + 2020x+ 2021.
Ta có h0(x) =−f0(1− x) + 2020 =x(x −3)g(1− x).
Choh0(x) = 0⇔
x = 0 x = 3
g(1− x) = 0 vô nghiệm
⇔
ñx = 0 x = 3. Bảng xét dấu
x h0(x)
−∞ 0 3 +∞
− 0 + 0 −
Dựa vào bảng xét dấu, suy ra hàm số nghịch biến trên (4; +∞) là đáp án đúng.
Chọn đáp án A
Câu 44.
Theo đề bài, thiết diện qua trục là hình vuông, suy ra l= 2r = 8.
Ta có công thức diện tích toàn phần là Stp = 2S
đáy+Sxq = 2πr2+ 2πrl= 2πr(r+l) = 96π.
O A
A0 O0
M
N
Chọn đáp án D
Câu 45.
Ta cóSAC‘ = 90
◦
suy ra A thuộc mặt cầu đường kính SC. (1) Theo đề bài
®SA ⊥ AB
BC ⊥ AB Ñ BC ⊥(SAB)Ñ BC ⊥ SB. Suy raSBC’= 90
◦
suy ra B thuộc mặt cầu đường kính SC. (2) Từ (1) và (2) suy ra mặt cầu ngoại tiếp hình chóp có đường kính SC, suy ra bán kính
R = SC
2
=
√SA2+AC2 2
=
√SA2+AB2+BC2 2
= 5 2 .
A C
B S
Chọn đáp án D
Câu 46. Ta thấy f0(x) = 0 là hàm số bậc hai có hai nghiệm x = 0, x = 2 nên suy ra f0(x) =ax(x −2), a 6= 0.
Xét hàm số g(x) = 2f(x+ 1−√
6x+ 3),
• Có tập xác định Dg = ï
−1 2
; +∞ ã
.
• Đạo hàm g0(x) = 2 ï
1− √ 3 6x+ 3
ò
f0(x+ 1−√
6x+ 3).
• g0(x) = 0⇔
1− √ 3 6x+ 3
= 0 x+ 1−√
6x+ 3 = 2 x+ 1−√
6x+ 3 = 0
⇔
x = 1
√
6x+ 3 =x −1
√
6x+ 3 = 1− x
⇔
x= 1 x= 4 + 3
√ 2 x= 2−√
6 x= 2 +
√ 6.
• Đặt t =x+ 1−√
6x+ 3. Ta có bảng biến thiên như sau
x t0
t
f0(t) g0
g
−1 2
2−√
6 1 2 +
√
6 4 + 3
√
2 +∞
− −
0 + + +
1 2 1 2
−1
−1
+∞ +∞
0 0
2
− 0 + 0 + 0 −
0 +
+ 0 −
0 + 0 −
0 +
27 4 27
4
8 8
0 0
8 8
0 0
+∞ +∞
Từ bảng biến thiên ta có đồ thị hàm số y = g(x) cắt đường thẳng y = 1 tại 4 điểm phân biệt, suy ra phương trìnhg(x) = 1 có 4 nghiệm phân biệt.
Chọn đáp án B
Câu 47.
Gọi (α) là mặt phẳng vuông góc với AB tại B. Gọi (d0) là đường thẳng bất kì trong mặt phẳng (α)
Gọi M0 là hình chiếu của M lên (α), H là hình chiếu của M lên (d0) (như hình vẽ). Dễ dàng thấy rằng MM0 ≤ MH. Vậy nên, để có đường thẳng (d) thỏa mãn đề bài thì (d) là đường thẳng qua M0 và B.
Ta có (α) :
® VTPT
# »
BA= (0; 0; 3) đi qua B= (1; 2; 0)
, suy ra phương trình (α) : z= 0.
Suy ra hình chiếu củaM(−1; 3; 4) lên (α) làM0(−1; 3; 0), suy ra véc-tơ chỉ phương của (d) là
# »
M0B= (2;−1; 0).
Theo đề bài ta suy raa+b=−1.
(d) B
A
M0 M
(d0) H
Chọn đáp án C
Câu 48. Ta có
xf0(x) =f(x) +x3lnx ⇔ xf0(x)− f(x) =x3lnx
⇔ f0(x)
x − f(x)
x2 =xlnx
⇔
Åf(x) x
ã0
=xlnx Suy ra
Z2 1
Åf(x) x
ã0
dx = f(x)
x
2 1
= f(2)
2
− f(1) = Z2
1
xlnxdx = lnx
2 1
− Z2
1
x 2
dx = 2 ln 2− 3 4 .
Suy raf(2) = 4 ln 2.
Chọn đáp án D
Câu 49.
Chọn hệ trục Oxyz sao cho O ≡ A, AA0, AB và AD lần lượt trùng với tia Oz, Ox và Oy. Giả sử B(b; 0; 0), D(0;b; 0), A0(0; 0;c), ta suy ra C(b;b; 0) và C0(b;b;c), khi đó thể tích lăng trụ là V =b2c.
Theo đề bài ta có + d[AC, DC0] =
îAC,# » # » DC0ó# »
CC0
î# » AC,# »
DC0ó
=
√ cb
2c2+b2 = 3a√
7 7
. (1)
+ cosφ =|cos Ä# »
AC,# » DC0ä
|=
√ b
2b2+ 2c2 =
√ 2 4
. (2)
Từ (2) ta suy rac2 = 3b2, thế vào (1) ta đượcb =a√ 3, Suy rac= 3a. Vậy thể tích lăng trụ là V = 9a3.
B A
C
D A0
B0 C0
D0 z
x
y
Chọn đáp án B
Câu 50. Điều kiện
®x4+y >0 x+y >0
và x ∈Z suy ra x+y >0 ⇔ y > −x.
Do yêu cầu của bài toán nên ta chỉ xét trên điều kiệny ≥ −x+ 1.
Bất phương trình đã cho tương đương với log3 x4+y
−2 log2(x+y)≥0.
Xét hàm số f(y) = log3 x4+y
−2 log2(x+y), ta thấyf0(y) =
1 (x4+y) ln 3
− 2
(x+y) ln 2
<0 (với mọix,y nguyên thỏa (1)), nên f(y) nghịch biến.
Giả sửf(y) = 0 có ngiệm y0. Ta có bảng biến thiên như sau
y f0
f
−x+ 1 x+ 64 y
0 +∞
− +∞
+∞
−∞
−∞
f(−x+ 64)
0
Theo đề bài có tối thiểu 64 giá trị y nguyên thỏa bất phương trình f(y)≥0, nên suy ra f(−x+ 64)≥ f(y
0) = 0⇔log3 x4− x+ 64
≥12⇔ x4− x+ 64−3
12 ≥0.(∗) Bài toán bây giờ trở thành tìm số nguyên x ∈[−2021; 2021] sao cho (∗) thỏa mãn mãn.
Đặt g(x) =x4− x+ 64−3
12
.
Ta có g0(x) = 4x3−1, cho g0(x) = 0⇔ x
2 = 1
3
√ 4
. Chog(x) = 0⇔
ñx
1 ≈ −26,998 x3 ≈26,999.
Ta có bảng biến thiên của hàm số g(x) như sau
x g0
g
−∞ x
1 x
2 x
3 +∞
− 0 +
∞
∞
f(x
2) f(x
2)
+∞ +∞
0 0
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy (∗) thỏa mãn khi −2021≤ x ≤ −27 hoặc 27≤ x ≤ 2021.
Vậy có tất cả 3990 giá trị x nguyên.
Chọn đáp án A
