Bài tập phương trình chứa căn – Lê Văn Đoàn - Học Tập Trực Tuyến Cấp 1,2,3 - Hoc Online 247

(1)

D D D

Daaaa ng ng ng ng 1111. . . . Ph Ph Ph Ph ng tri ng tri ng tri ng tri nh c nh c nh c nh c n c n c n c n c ba ba ba ba nnnn

B 0₂

A B

 ≥

= ⇔ 

 =



. B 0

A B

 ≥

= ⇔ 

 =



. Phương pháp tổng quát : (nếu không thuộc hai dạng trên)

 Bước 1. Đặt điều kiện cho căn có nghĩa.

 Bước 2. Chuyển vế sao cho hai vế không âm.

 Bước 3. Bình phương hai vế để đưa về một trong các dạng trên.

BA BA BA

BA I TÂ I TÂ I TÂ I TÂ P A P A P A P A P DU P DU P DU P DU NG NG NG NG

Bài 1.

Bài 1. Giải các phương trình sau

a/ . b/ .

c/ . d/ .

e/ . f/ .

g/ . h/ .

i/ x− 2x+7 =4. j/ x+ x− =1 13.

k/ x− x− =1 3. l/ x² −3x− =1 2x−7.

m/ x² +3x =3x−1. n/ x²−9x+ =1 x−2.

o/ . p/ .

q/ . r/ .

s/ . t/ .

u/ . v/ .

x/ . y/ .

Bài 2.

Bài 2. Giải các phương trình

a/ x² + x+7 =7. b/ −x² +4x−3 =2x−5.

c/ 16x+17 =8x−23. d/ −x² +4x + =2 2x.

e/ x² −6x+6 =2x−1. f/ x²− =1 x+1.

g/ 4−x² =x+2. h/ 4−x² =x+2.

Bài 3.

a/ . b/ x² −3x = 2x−1.

c/ 2x²−2x+4 = x²− +x 2. d/ .

Bài 4.

2x−3 =x−3 5x+10 = −8 x

x− 2x−5 =4 x² + −x 12 = −8 x

x− = −2 4 x 3x² −9x+ =1 x−2 3x2−9x+ =1 x−2 x² −3x−10 = x−2

2x− 2x− =1 7 3−x =3x−5

x− 4x−3 =2 x² − =1 x−1

x− =2 x2 −4x+3 x² −3x+2 =2x−1 x2 4x 3 2x 5

− + − = − 5−x² =x−1

3x2 +5x+ + =1 1 4x x² −2x+ =1 x²−2x+1

x2 +2x+4 = 2−x

x2 −3x− =2 x−3

(2)

a/ 2x+ = +1 2 x−3. b/ 3x+ −4 x−3 =3.

c/ x− −3 x+2 =5. d/ 2x+ = −1 4 x−3.

e/ 5x− =1 3x− +2 2x+2. f/ 3x+ −1 4x−3 = 5x+4.

g/ . h/ .

i/ . j/ .

k/ . l/ .

m/ . n/ .

o/ . p/ .

q/ . r/ .

s/ . t/ .

u/ . v/ .

x/ . y/ .

Bài 5.

Bài 5.Bài 5.

a/ 1+ x− =1 6−x. b/ 5x− −1 3x− −2 x−1= 0.

c/ x+ x+ =1 x+2. d/ 3x+ = −1 8 x+1.

e/ 3x−3− 5−x = 2x−4. f/ x+9 = −5 2x+4.

D D D

Daaaa ng ng ng ng 2222. . . . Ph Ph Ph Ph ng tri ng tri ng tri ng tri nh c nh c nh c nh c n n n n ssss dddduuuu ng ng ng ng đ đ đ đ tttt ââââ nnnn phu phu phu phu

Loại 1. .

Loại 2. . Đặt ^t⁼ ^{f x}

( )

⁺ ^{g x}

( )

^.

Loại 3. Đặt ẩn phụ đưa về hệ phương trình : .

● Đặt với .

● Đưa phương trình trên về hệ phương trình với hai ẩn là u và v.

Ta có thể giải dạng tổng quát dạng : ⁿ^{f x}

( )

⁺^m^{g x}

( )

⁼^a,

(

^a ⁼^const

)

^.

x+ −1 x− =1 1 3x+ −7 x+ =1 2

2 2

x + −9 x −7 =2 3x² +5x+ −8 3x² +5x+ =1 1 2x+3 + 2x+2 =1 x+ −4 2x−6 =1

3x+ −7 x+ =1 2 11−x− x− =1 2

2 2

x + −9 x +7 =2 x + x−5 = 5

3x− +5 2x+3 = x+2 x− +2 x− =1 2x−3 x+ −3 7−x = 2x−8 2−x = 7−x− − −3 2x 5x− =1 3x− −2 2x−1 5x− −1 x− =1 2x−4 x+ −2 2x−3 = 3x−5 x+ −4 1−x = 1−2x

( ) ( ) ( )

2

t f x , t 0 af x b x c 0

at bt c 0

 = ≥ + + = ⇔ 

 + + =



( ) ( ) ( ) ( ) ( )

f x + g x + f x .g x =h x

( ) ( ) ( )

f x + g x =h x

( )

u=f x , v=g x u, v≥0

(3)

BA BA BA

Bài 6.

a/ . b/ .

c/ . d/ .

e/ . f/ .

g/ 4x² −12x−5 4x² −12x+11=0. h/ x²+4x−3 2+x + =4 0. i/ ²

2

1 1

4x 2x 6 0

x x

+ + − − = . j/ x²− +x x²− +x 9 =3.

k/ x² +2 x²−3x+11=3x+4. l/ ^x²⁻^3x⁻¹⁰⁺^{3 x x}

(

⁺³

)

⁼⁰^.

m/ x² +3x−18+4 x² +3x−6 =0. n/ 2x−x² + 6x² −12x+7 =0. o/

(

^x⁺^{4 x}

)(

⁺¹

)

⁻^{3 x}² ⁺^5x⁺² ⁼⁰^. ^p/

(

^x⁻³

)

² ⁺^3x⁻²²⁼ ^x²⁻^3x⁺⁷^.

q/ x² + −1 7 x² + +1 10=0. r/ 2x²−8x+12 = x² −4x−6. Bài 7.

Bài 7.

a/ . b/ .

c/ . d/ .

e/ . f/ .

g/ . h/ .

i/ . j/ .

k/ . l/ .

m/ . n/ .

Bài 8.

a/ . b/ .

c/ . d/ .

e/ x³ + =2 3 3x³ −2. f/ ⁵ 16x ⁵ x 1=5

x 1 16x 2

+ −

− .

2 2

x −6x+ =9 4 x −6x+6

(

^x⁻^{3 8}

)(

⁻^x

)

⁺²⁶^{= −}^x² ⁺^11x

(

^x⁺^{4 x}

)(

⁺¹

)

⁻^{3 x}² ⁺^5x⁺² ⁼⁶

(

^x⁺^{5 2}

)(

⁻^x

)

⁼ ^{3 x}² ⁺^3x

2 2

x + x +11=31 ^x² ⁻^2x^{+ −}⁸ ⁴

(

⁴⁻^{x x}

)(

⁺²

)

⁼⁰

( )( )

x+3 + 6−x = +3 x+3 6−x ^{2x 3}+ + ^{x 1}+ =3x 2 2x 3 x 1+

(

+

)(

+ −

)

16

( )( )

x− +1 3−x− x−1 3−x =1 ⁷^{− +}^x ²^{+ −}^x

(

⁷⁻^{x 2}

)(

⁺^x

)

⁼³

( )( )

x+ +1 4−x+ x+1 4−x =5 3x 2− + x 1− =4x 9 2 3x− + ²−5x+2 2 2

1 x x x 1 x

+3 − = + − x+ 9−x = −x² +9x+9

2 2

x+ 17−x +x 17−x = 9 ^{x 1}^{− +} ^x^{+ +}³ ^{2 x 1 x}

(

⁻

)(

⁺³

)

^{= −}^{4 2x}

x+ +4 x− =4 2x−12+2 x2−16 2x 3+ + x 1+ =3x 2 2x+ ²+5x 3 16+ − 3x 2− + x 1− =4x 9 2 3x− + 2−5x+2 3x²+6x 16+ + x²+2x=2 x²+2x+4

3x 1 x

2 1

x 3x 1

− = +

−

3 x+ −7 x =1

32−x = −1 x−1 x+ −3 ³ x =1

(4)

g/ . h/ .

i/ . j/ ²⁴

(

¹⁺^x

)

² ⁺^{3 1}⁴ ⁻^x² ⁺⁴

(

¹⁻^x

)

² ⁼⁰^.

k/ ⁴5−x +⁴4−x = 2. l/ 2 3x³ −2+3 6−5x −8= 0.

m/ ³ x+3= +1 x. n/ ³x+34−³ x−3 =1.

D D

D Daaaa ng ng ng ng 3333. . . . Đ Đ Đ Đ a a a a vvvv êêêê ph ph ph ph ng tri ng tri ng tri ng tri nh ti nh ti nh ti nh ti ch s ch sôôôô ch s ch s (nho (nho (nho (nho m, l m, l m, l m, l iiiiêêêê n h n h n h n h iiiiêêêê p, p, p, p, …………))))

● Đoán nhận một nghiệm của phương trình để định hướng đưa về phương trình tích số hoặc nhân liên hiệp.

● Cần chú ý đến các cách biến đổi về tích và nhân liên hiệp

Biểu thức Biểu thức liên hiệp Tích

● f x

( )

=ax² +bx+ =c a x

(

−x1

)(

x−x2

)

với x₁ và x₂ là hai nghiệm của ^{f x}

( )

⁼ ⁰^.

( )( )

u v 1 uv u 1 v 1 0

au bv ab vu u b v a 0

∗ + = + ⇔ − − =

∗ + = + ⇔ − − = ^.

● Cần lưu ý đến các hằng đẳng thức (kết hợp đồng nhất thức)

BA BA BA

BA I TÂ I TÂ I TÂ I TÂ P A P A P A P A P DU P DU P DU P DU NG NG NG NG

Bài 9.

Bài 9.Bài 9.

a/ . b/

(

^x⁻³

)

^x² ⁻^5x⁺⁴ ⁼^2x⁻⁶^.

c/

(

^x⁺³

)

¹⁰⁻^x² ⁼^x² ^{− −}^x ¹²^. ^d/

(

^x⁺¹

)

^16x⁺¹⁷ ⁼^8x²⁻^15x⁻²³^.

e/ 2x² +8x+6 + x² − =1 2x+2. f/ .

g/ x+2 7− =x 2 x− + − +1 x² 8x− +7 1. h/ .

i/ . j/ .

3 2x 3 1 1

x 1 + 2+2x =2

+ ²

3 x 1 1 4 2

3x 9 x 9 x

+ = + +

2 2

x+ 4−x = +2 3x 4−x

A± B A ∓ B A−B

3 3

A+ B ³ A² − ³AB+ ³B A+B

3 3

A− B ³A² + ³AB +³ B A−B

(

^x⁻³

)

^x² ⁺⁴ ⁼ ^x²⁻⁹

x2+10x+21=3 x+ +3 2 x+ −7 6 x + x+ −1 x2 +x = x

x2− − −x 2 2 x− + =2 2 x+1 x²− + +3x 2 x 3+ = x 2− + x²+ −2x 3

(5)

k/ . l/ . m/ 2x² +5x− =1 7 x³ −1. n/ 2x− +1 x²−3x+ =1 0.

o/ . p/ ³ x+ +1 ³ x+2 = +1 ³ x² +3x+2.

q/ ³ x+ +1 ³ x² = ³ x +³ x² +x. r/ x+ +3 2x x+ =1 2x+ x² +4x+3.

s/ 4x

x 3 4 x

x 3

+ + =

+

. t/ ^{x 1 2 x 1}^{+ +}

(

^{+ = − +}

)

^{x 1} ^{1 x}^{− +}^{3 1 x}⁻ ²^.

Bài 10.

Bài 10. Giải phương trình

a/ . b/ .

c/ . d/ .

e/ . f/ .

g/ . h/ .

i/ . j/ .

k/ . l/ .

m/ 3x+ −1 6−x +3x² −14x− =8 0. n/ ³x²− +1 x = x³−2.

o/ x² +12+ =5 3x+ x² +5. p/

2

6x 4 2x 4 2 2 x

x 4

+ − − = −

+ .

D D

D Daaaa ng ng ng ng 4444. . . SSSS . du du du du ng h ng h ng h ng h ng ng ng ng đ đ đ đ ng th ng th ng th ng th c c c c đ đ đ đ a v a v a v a v êêêê ph ph ph ph ng tri ng tri ng tri ng tri nh c nh c nh c nh c ba ba ba ba nnnn

Loại 1. Ta có

Thay vào , ta được: .

Loại 2. với

( ) ( )

²

x x−1 + x x+2 =2 x x²− + +8x 15 x²+ − =2x 15 x²− +9x 18

x2

3x 2 1 x 3x 2

− − = −

−

x 3 4x 1 3x 2

5 + − − = +

2 2

4 1 3

x x x x x x x

− =

+ + − +

1 1 3

1 1 x 1 1 x x

− =

− − + −

x x 1 1 x + + =

2

x 1 x 5

2 x 1 + − =

+ ² ²

4 1 3

x x x x x x x

− =

+ + − +

( )

²

( ) ( )2

4 x+1 = 2x+10 1− 3+2x ^2x² ⁼

(

^x⁺^{9 2}

) ( − 9+2x)2

2

x x 16 40

x 16 + + =

+

3x 3x 1 1

3x 10

= + − +

3x 2 2x 4 2 2 x

3

+ − − = −

(

¹⁺^x ⁻¹

)(

¹⁻^x ⁺¹

)

⁼^2x

( )

3 3 3

A+ B = C ∗

( )

^{∗ ⇔}

(

³ ^A ⁺³ ^B

) ( )

³ ⁼ ³^C ³ ^⇔ ^A⁺^B⁺^{3 AB}³

(

³ ^A ⁺ ³^B

)

⁼^C

( )

^{∗ ∗}

3 3 3

A+ B = C

( )

^{∗ ∗}

( )

^{∗ ∗ ⇔} ^A⁺^B⁺^{3 ABC}³ ⁼^C

( ) ( ) ( ) ( )

f x + g x = h x + k x

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

f x h x g x k x f x .h x g x .k x

 + = +

 =



(6)

● Biến đổi về dạng: .

● Bình phương, giải phương trình hệ quả.

Loại 3. Căn trong căn

Sử dụng hẳng đẳng thức ^a² ⁺^b² ^±^2ab⁼

(

^a^±^b

)

² nhưng lưu ý

A khi A 0 A A khi A 0

 ≥

= 

 <



. Đưa về phương trình căn cơ bản.

BA BA BA

Bài 11.

Bài 11.Bài 11.

a/ .

b/ .

c/

d/ .

e/ .

f/ .

g/ .

h/ .

i/ .

j/ .

k/ .

l/ .

m/ x− −3 2 x−4 + x−2 x−1 =1. n/ x+ 14x−49 + x− 14x−49 = 14.

o/ .

Bài 12.

Bài 12.Bài 12.

a/ . b/ .

c/ . d/ .

( ) ( ) ( ) ( )

f x − h x = k x − g x

2 x+ +2 2 x+ −1 x+ =1 4 x+2 x− −1 x−2 x− = −1 2

x− −1 2 x− −2 x+ +2 4 x−2 + =3 0 2x− +4 2 2x−5 + 2x+ +4 6 2x−5 =14 x+ −5 4 x+ +1 x+ −2 2 x+1 =1

2x−2 2x− −1 2 2x+ −3 4 2x− +1 3 2x+ −8 6 2x− =1 4 x+ −3 4 x− +1 x+ −8 6 x− =1 1

x 8 6 x 1+ − − − x 3 4 x 1 5+ + − + =0 2x 4 2 2x 5− − − − 2x 4 6 2x 5 4 0+ + − + =

2x 2 2 2x 3− + − = +4 2x 6 6 2x 3− − − x 3 x 2 x 1 x 2 x 1

2 + − + − − = +

x+ 2x− +1 x− 2x− =1 2

21x−63+7 10−4 3x−9 =0

3 x+ +1 3 x+ +2 3 x+3 =0 ³2x− +1 ³ x− =1 ³3x−2

3 x+ +5 3x+6 = 32x+11 ³x+ +1 ³3x+ =1 ³ x−1

(7)

e/ . f/ ³2x− +1 ³ x− +1 ³3x− =2 0. g/ ³2x+ +1 ³2x+ +2 ³2x+3 =0. h/ ³^x⁺ ³^2x⁻³ ⁼ ³^{12 x}

(

⁻¹

)

^.

Bài 13.

a/ x+3 + 3x+ =1 2 x + 2x+2. b/

3

x 1 2

x 1 x x 1 x 3

x 3

+ + + = − + + +

+ .

c/ x² −3x+ +2 x+3 = 6x− +2 x² +2x−3.

d/ .

e/ .

f/ .

g/ .

Bài 14.

a/ ⁴³

(

^x ⁺²

)

² ⁻⁷³

(

⁴⁻^x²

)

⁺^3.³

(

²⁻^x

)

² ⁼⁰^.

b/ ^{2 x}

(

² ⁺²

)

⁼^{5 x}³ ⁺¹^.

c/ x² +3 x² − =1 x⁴ −x² +1. Bài 15.

Bài 15.

Bài 15. Giải phương trình (đặt ẩn phụ không hoàn toàn) a/ ^x² ⁺^{2 x}

(

⁻¹

)

^x² ⁺^x^{+ − + =}¹ ^x ² ⁰^.

b/

(

^x⁺¹

)

^x² ⁻^2x⁺³ ⁼^x² ⁺¹^.

c/

(

^4x⁻¹

)

^x² ^{+ =}¹ ^2x² ⁺^2x⁺¹^.

d/ x² +12+ =5 3x+ x² +5.

Ngoa i ca ! ch gia ̉ i thông th ng ̉ trên, ta co n mô # t sô ! phng pha ! p gia ̉ i kha ! c

• Phng pha!p đa!nh gia! du ng ca!c bâ!t đ̉ng th!c c bản : BĐT Cauchy, BĐT Bunhiacopxki, BĐT hi nh ho#c, ……

• Phng pha!p l#ng gia!c ho!a

• Phng pha!p khảo sa!t ha m sô!

• ………

3 2 3 2

3x+ +2 3 x+ =1 2x + 2x +1

2 2 2 2

2x − +1 x −3x−2 = 2x +2x+3+ x − +x 2

( )

2 2 2 2

3x −5x+ −1 x −2 = 3 x − −x 1 − x −3x+4

2 2 2 2

x + +2 x +7 = x +x+3+ x +x+8

2 2 2 2

3x −7x+ −3 x − =2 3x −5x− −1 x −3x+4