[PTMH TOAN 2021] DẠNG-20-TÌM-ĐIỂM-BIỂU-DIỄN-SỐ-PHỨC-CHO-TRƯỚC-GV.docx

I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ:

 Điểm biểu diễn số phức:

Số phức z a bi  ,



^{a b,} 



được biểu diễn bởi điểm ^{M a b}



^;



_.

II. CÁC DẠNG BÀI TẬP TƯƠNG TỰ

 Tìm điểm biểu diễn số phức khi biết tọa độ.

 Tìm tập điểm biểu diễn số phức là đường thẳng, đường tròn, elip, parabol.

BÀI TẬP MẪU

(ĐỀ MINH HỌA - BDG 2020-2021) Trên mặt phẳng tọa độ, điểm biểu diễn số phức 3 2 i có tọa độ là A.



^2;3



_{. B.}



^2;3



_{. C.}

 

^3;2 _{. D.}



^{3; 2}



.

Phân tích hướng dẫn giải

1. DẠNG TOÁN: Đây là dạng toán xác định điểm biểu diễn của một số phức.

Phương pháp Số phức z a bi  ,



^{a b, }



được biểu diễn bởi điểm ^{M a b}



^;



_.

2. HƯỚNG GIẢI:

B1: Dạng z a bi  ,



^{a b,} 



.

B2: Tìm điểm biểu diễn của số phức z _là ^{M a b}



^;



_.

Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau:

Lời giải

Chọn D Điểm biểu diễn số phức z 3 2i có tọa độ là



^{3; 2}



. Bài tập tương tự và phát triển:

 Mức độ 1

Câu 1. Điểm ^M



^{4; 1}



là điểm biểu diễn số phức nào sau đây?

A. z 4 i B. z  4 i C. z  1 4i D. z 1 4i Hướng dẫn giải

Chọn A

Điểm ^M



^{4; 1}



là điểm biểu diễn số phức z 4 i.

Câu 2. Điểm ^M trong hình vẽ biểu diễn số phức z . Số phức z _bằng

x y

-3

-2 O

M

1

A. z  2 3i. B. z 2 3i. C. z 2 3i. D. z  2 3i. Lời giải

Chọn D

Từ hình vẽ ta có z       2 3i z 2 3i.

DẠNG TOÁN 20: TÌM ĐIỂM BIỂU DIỄN CỦA SỐ PHỨC CHO TRƯỚC

Câu 3. Trong hình vẽ bên, điểm ^M biểu diễn số phức z_{. Số phức} z là

x y

2

-3 O M

1

A. z   3 2i. B. z   3 2i. C. z  3 2i. D. z  3 2i. Lời giải

Chọn B

Từ hình vẽ ta có z  3 2i, suy ra z   3 2i.

Câu 4. Điểm ^M trong hình vẽ bên là điểm biểu diễn số phức z tìm phần thực và phần ảo của số phức z_.

x y

M 2

-1

A. Phần thực là ^1 và phần ảo là 2i. B. Phần thực là ² và phần ảo là ^1. C. Phần thực là ² và phần ảo là ^i. D. Phần thực là ^1 và phần ảo là ².

Lời giải Chọn D

Ta có số phức z  1 2i nên phần thực là ^1 và phần ảo là ².

Câu 5. Cho số phức z _{thoả mãn}



^{2 3} ^{i z}



^{23 2} ⁱ. Hỏi điểm biểu diễn số phức z là điểm nào trong các điểm ^M , N, ^P, ^Q ở hình bên?

x y

Q P

N M

-4 O 4

5

-5

A. Điểm N . B. Điểm ^M . C. Điểm ^P. D. Điểm ^Q. Lời giải

Chọn B

Ta có



^{2 3 i z}



^{23 2 i  z 23 2}_{2 3}^ _i^{i  4 5i}. Do vậy điểm ^M

 

^4;5 là điểm biểu diễn số phức z_.

Câu 6. Cho số phức z 3 2i. Điểm nào dưới đây là điểm biểu diễn của số phức ^{w z i z  .} trên mặt phẳng toạ độ?

A. ^Q



^1;3



_{. B.} ^P



^{5; 5}



_{. C.} ^M



^5;5



_{. D.} ^N



^{1; 3}



_.

Lời giải Chọn B

.

w z i z  ^{  3 2i i}



^{3 2 i}



_{ 5 5i.}

Vậy điểm biểu diễn của số phức ^{w z i z  .} là ^P



^{5; 5}



_.

Câu 7. Cho số phức ^{z }



^{1 2i}

 

^{2 3 i}



, điểm biểu diễn của số phức ^{i z.} là

A. ^M



^1;8



_{. B.} ^M

 

^1;8 _{. C.} ^M



^{8; 1}



_{. D.} ^M

 

^8;1 _.

Lời giải:

Chọn A



^{1 2}

 

^{2 3}



⁸

z  i  i  i i z.  1 8i Điểm biểu diễn số phức ^{i z.} là ^M

 

^1;8 _.

Câu 8. Gọi ^A là điểm biểu diễn của số phức z 3 4i và ^B là điểm biểu diễn của số phức 3 4 .

z    i Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau.

A. Hai điểm ^A và ^B đối xứng với nhau qua gốc toạ độ O. B. Hai điểm ^A và ^B đối xứng với nhau qua trục hoành.

C. Hai điểm ^A và ^B đối xứng với nhau qua đường thẳng ^{y x} . D. Hai điểm ^A và ^B đối xứng với nhau qua trục tung.

Lời giải Chọn A

Dựa vào giả thiết ta suy ra ^A



^{3; 4}



_và ^B



^{3; 4}



_.

Ta thấy ^A và ^B đối xứng nhau qua gốc tọa độ.

Câu 9. Cho hai số phức z¹ 1 i và z²  1 2i. Trên mặt phẳng ^Oxy, điểm biểu diễn của số phức

1 2

3z z có tọa độ là

A.



^{4; 1}



_{. B.}



^1;4



_{. C.}

 

^4;1 _{. D.}

 

^1;4 _.

Lời giải Chọn A

Ta có: 3z1 z2 3 1



    i



1 2i 4 i .

Vậy điểm biểu diễn số phức 3z¹z² là điểm có tọa độ



^{4; 1}



_.

Câu 10. Cho tam giác ABC có ba đỉnh ^A, ^B, C lần lượt là điểm biểu diễn hình học của các số phức

1 2

z  i, z²   1 6i, z³  8 i. Số phức z⁴ có điểm biểu diễn hình học là trọng tâm của tam giác ABC.

A. z⁴  9 6i. B. z⁴  3 2i. C. z⁴  3 2i. D. z⁴  9 6i. Lời giải

Chọn B

Ta có:^A



^{2; 1}



_, ^B



^1;6



_, ^C

 

^8;1 _.

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC ^G

 

^{3; 2}  z₄  3 2i.

 Mức độ 2

Câu 1. Cho các điểm ^A, ^B, ^C nằm trong mặt phẳng phức lần lượt biểu diễn các số phức 5i, 2 i,

  2 6i . Gọi ^D là điểm sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành. Điểm ^D biểu diễn số phức nào trong các số phức sau đây?

A. z 4 6i. B. z  2 8i. C. z  5 4i. D. z 9 8i. Lời giải

Chọn D

Ta có: ^{A(5; 1)} , ^{B( 2;1)} , ^{C(2; 6)} . Gọi D x y



D^; D



.

Vì tứ giác ABCD là hình bình hành nên  AD BC 5 4

1 7

D D

x y

  

     ^D



^{9; 8}



_.

Câu 2. Trong mặt phẳng ^{Oxy A,}



^{1;2 ,}

 

^{B 7; 5}



lần lượt biểu diễn hai số phức z z¹, ². C biểu diễn số phức z¹z². Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai.

A. C có tọa độ



^{6; 3}



. B. CB

biểu diễn số phức z¹. C. ^{AB} biểu diễn số phức z¹z². D. OACB là hình thoi.

Lời giải Chọn C

Ta có OA

biểu diễn cho z OB¹,

biểu diễn cho z² nên OA OB BA   

biểu diễn cho z¹z². Các câu còn lại dễ dàng kiểm tra là đúng.

Câu 3. Cho số phức ^{z m  1}



^2m3



ⁱ_{, m . Tìm m} để điểm biểu diễn của số phức z _{nằm trên} đường phân giác của góc phần tư thứ hai và thứ tư.

A. m2. B.

4 m3

. C.

1 m3

. D.

3 m 2

. Lời giải

Chọn B

Ta có ¹



^{2 3}

 

^{1;2 3}



^{: 4}

2 3 1 3

z m   m iM m m d y  x m     m m . Câu 4. Trong mặt phẳng tọa độ ^Oxy, gọi ^M là điểm biểu diễn số phức z 3 4i; ^M' là điểm biểu

diễn cho số phức ' 1

2 z  iz

. Tính diện tích tam giác OMM '.

A. ^'

15

OMM 2 S_ 

. B. ^'

25

OMM 4 S_ 

. C. ^'

25

OMM 2 S_ 

. D. ^'

15

OMM 4 S_ 

. Lời giải

Chọn B

 

3 4 3; 4

z  i M 

2 2

1 7 1 7 1 7 1 7 1 5 2

' ' ; ' ; '

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

z iz i M   OM   OM    

                 

       



2 2

1 7 1 7 5 2

' ; '

2 2 2 2 2

MM   MM    

        

     



Ta có OM MM '. ' 0  OMM'

vuông tại ^{M '} nên:

^'

1 1 5 2 5 2 25

'. '

2 2 2 2 4

S_OMM  OM MM     .

Câu 5. Gọi z¹ là nghiệm phức có phần ảo âm của phương trình ^{z210z34 0} . Tìm tọa độ điểm M biểu diễn số phức w 



i 1



z1

.

A. ^M



^{2; 8}



_{. B.} ^M



^2;8



_{. C.} ^M



^{8; 2}



_{. D.} ^M



^{8; 2}



_.

Lời giải Chọn D

Ta có

2 1

2

10 34 0 5 3

5 3

z i

z z

z i

  

        . Suy ra w 



i 1



z1 ^{ }



^{i 1}

 

^{ 5 3i}



^{ 8 2i}_.

Vậy tọa độ điểm M biểu diễn số phức w 



i 1



z1 là ^M



^{8; 2}



_.

Câu 6. Cho số phức z thỏa mãn điều kiện ^{z }



^{2 3i z}



^{ 1 9i}_{. Số phức} ^w_iz⁵ có điểm biểu diễn là A.



^{1; 2}



_{. B.}



^{2; 1}



_{. C.}



^{1; 2}



_{. D.}



^{ 2; 1}



_.

Hướng dẫn giải Chọn C

Gọi z a bi 



^{a b, }_



_{  z a bi.}

Ta có:



^{2 3}



^{1 9}

z  i z   i ^{   a bi}



^{2 3i a bi}

 

^



^{ 1 9i}

.

2 2 3 3 1 9

a bi a bi ai b i

          a 3b3ai3bi 1 9i.

3 1

3 3 9

a b a b

  

    

2 1 a b

 

      z 2 i.

Số phức ^{wiz5 i}



^25i



^{ 1 2i}_.

Vậy điểm biểu diễn của số phức w _là ^A



^{1; 2}



_.

Câu 7. Gọi ^M và N lần lượt là các điểm biểu diễn của z¹, z²trên mặt phẳng tọa độ, ^I là trung điểm MN, O là gốc tọa độ (ba điểm O, ^M, N phân biệt và không thẳng hàng). Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. z¹z² 2OI

. B. z¹z² OI

. C. z¹z² OM ON

. D. z1z2 2



OM ON



. Lời giải

Chọn A Gọi M x y



1; 1



là điểm biểu diễn của số phức z¹ x¹ y i¹ .



2; 2



N x y

là điểm biểu diễn của số phức z² x²y i² .

Khi đó z1z2 



x1x2

 

 y1y i2



 z1z2 



x1x2

 

² y1y2



²

. Vì ^I là trung điểm MN nên

1 2; 1 2

2 2

x x y y

I   

 

 .

   

2 2

2 2

1 2 1 2

1 2 1 2 1 2

2 2

2 2

x x y y

OI       x x y y z z

            .

Câu 8. Cho^A, ^B, ^C lần lượt là các điểm biểu diễn của các số phức



^{3 5i i}



_{; 2 3 i;} ^{2 1i}_i^ _{.Tìm số}

phức có điểm biểu diễn ^D sao cho ABCD là hình bình hành.

A. z  8 2i. B. z  7 i. C. z 5 7i. D. z 5 7i. Lời giải

Chọn D

Ta có:



^{3 5 i i}



^{ 5 3i} nên tọa độ ^A

 

^5;3 _.

2 3 i nên tọa độ ^B



^{2; 3}



_.

2 1i 2 i i

  

nên tọa độ ^C

 

^2;1 _.

Để ABCD là hình bình hành:  AD BC nên

5 0 3 4 x

y

  

  



5 7 x y

 

   . Vậy ^D có điểm biểu diễn số phức là z 5 7i.

Câu 9. Giả sử A, ^B theo thứ tự là điểm biểu diễn của số phức z¹, z². Khi đó độ dài của AB bằng A. ^z2z1 . B. ^{z1  z2} . C. ^{z1  z2} . D. ^z2z1 .

Lời giải Chọn A

Giả sử z¹ a bi, z²  c di,



^{a b c d, , , }



.

Theo đề bài ta có: ^{A a b}



^;



_, ^{B c d}



^;



AB



c a

 

² d b



²

.

   

2 1

z    z c a d b i  z2z1 



c a

 

² d b



²

.

Câu 10. Cho 3 điểm ^A, ^B, C lần lượt biểu diễn cho các số phức z¹, z², z³. Biết z¹  z²  z³ và

1 2 0

z z  . Khi đó tam giác ABC là tam giác gì?

A. Tam giác ABC đều. B. Tam giác ABC vuông tại C. C. Tam giác ABC cân tại C. D. Tam giác ABC vuông cân tại C.

Lời giải Chọn B

Vì z¹z² 0 nên z z¹, ² là hai số phức đối nhau, do đó hai điểm ^{A B,} đối xứng qua gốc O( tức O là trung điểm của đoạn thẳng ^AB).

Lại có ^{1 2 3} 2

z  z  z OA OB OC  CO AB

. Vậy ABC có độ dài đường trung tuyến bằng một nửa cạnh huyền nên vuông tại C.

 Mức độ 3

Câu 1. Cho số phức ^z thỏa mãn z i 1. Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn các số phức w z 2i là một đường tròn. Tâm của đường tròn đó là:

A. ^I



^{0; 1}



_{. B.} ^I



^{0; 3}



_{. C.} ^I

 

^0;3 _{. D.} ^I

 

^0;1 _.

Lời giải Chọn B.

Ta có w z    2i z w 2i.

Gọi ^{w x yi x y  ,}



^



. Suy ra ^{z x  }



^{2 y i}



_.

Theo giả thiết, ta có ^x



^{2y i i}



^{ 1}



³



^{1 2}



³



^{2 1 2}



³



^{2 1}

x y i x y x y

           

. Vậy tập hợp các số phức w z 2i là đường tròn tâm ^I



^{0; 3}



_.

Câu 2. Cho số phức ^z, biết rằng các điểm biểu diễn hình học của các số phức ^z;^iz và ^{z i z} tạo thành một tam giác có diện tích bằng 18 . Mô đun của số phức ^z bằng

A. 2 3 . B. ^{3 2}. C. 6 . D. 9 .

Lời giải Chọn C.

Gọi z a bi  , ^{a b, } nên iz ai b  , ^{z i z}    a bi b ai ^{  a b}



^{a b i}



Ta gọi ^{A a b}



^,



_, ^{B b a}



^{ ,}



_, ^{C a b a b}



^{ , }



_nên ^{AB b a a b}



^{  , }



_, ^{AC}



^{b a,}



18 1 , 18

S   2  AB AC  1 _{2 2} 2 a b 18

    ^{ 1}₂



^a2b2



^18_{ a}²_b² _{ 6 z 6.}

Câu 3. Cho số phức ^z có z 4. Tập hợp các điểm M trong mặt phẳng tọa độ Oxy biểu diễn số phức w z 3i là một đường tròn. Tính bán kính đường tròn đó.

A. 4 . B.

4

3. C. ³. D. 4 2 .

Lời giải Chọn A

Gọi số phức w x yi  , trong đó x,y  . Điểm ^{M x y}



^;



là điểm biểu diễn số phức w.

Ta có: w z 3i   w 3i z ^{ w3i  z}  w3i  z ^{ x2}



^y3



^{2 4}

 

²

2 3 16

x y

    .

Vậy tập hợp các điểm M biểu diễn số phức w là một đường tròn có tâm ^I



^0;3



và bán kính bằng 4 .

Câu 4. Tìm tập hợp các điểm biểu diễn các số phức ^z thỏa mãn điều kiện z   2 z 2 10 . A. Đường tròn



^x2

 

^{2 y2}



^{2 100}_{. B. Elip}

2 2

25 4 1 x  y 

. C. Đường tròn



^x2

 

^{2 y2}



^{2 10}_{. D. Elip}

2 2

25 21 1 x  y 

. Lời giải

Chọn D

Gọi ^{M x y}



^;



là điểm biểu diễn số phức z x yi  , ,x y . Gọi A là điểm biểu diễn số phức 2. Gọi ^B là điểm biểu diễn số phức ^2. Ta có: z   2 z 2 10MB MA 10

.

Ta có ^AB4. Suy ra tập hợp điểm M biểu diễn số phức ^z là Elip với tiêu điểm là ^A

 

^2;0 _,



^2;0



B 

, tiêu cự ^{AB 4 2c}, độ dài trục lớn là ^{10 2a} , độ dài trục bé là

2 2

2b2 a c 2 25 4 2 21  .

Vậy, tập hợp là Elip có phương trình

2 2

25 21 1.

x  y 

Câu 5. Tập hợp các điểm biểu diễn các số phức ^z thỏa mãn 2 z i   z z 2i là

A. Một đường thẳng. B. Một đường tròn. C. Một Parabol. D. Một Elip.

Lời giải Chọn C

Gọi z x yi    z x yi, ^{x y, } .

2 z i   z z 2i ^{2 x}



^y1



^{i }



^2y2



^{i 2 x2}



^y1



^{2  02}



^2y2



²



^{2 2}



²

4 x y 2y 1 4y 8y 4

       4x² 16y ^{ y 1}₄^x2

Vậy tập hợp các điểm biểu diễn các số phức ^z thỏa mãn 2 z i   z z 2i

là một Parabol

 

^P có phương trình:

1 2

y 4x .

Câu 6. Cho số phức ^z thỏa mãn z 2 3i   z 2 3i

. Biết z 1 2i   z 7 4i 6 2

, ^{M x y}



^;



_là

điểm biểu diễn số phức ^z, khi đó x thuộc khoảng

A.



^0;2



_B.

 

^1;3 _C.

 

^4;8 _D.



^2;4



Lời giải Chọn D

2 3 2 3

z  i   z i (x2)²(y3)² (x2)²(y3)²  y 0.

1 2 7 4 6 2

z  i   z i  _{ (x1)}²_{ 4 (x7)}²_{16 6 2}

2 2

(x 1) 4 6 2 (x 7) 16

      

11 2 2 28 130

x x x

     

 

^{2 2}

11

11 2 28 130

x

x x x

 

       ² 11

6 9 0

x

x x

 

      x 3. Thử lại thấy thỏa mãn.

Câu 7. Tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức ^z thỏa



^{12 5}



^{17 7}

2 13

i z i

z i

  

   .

A. ^{d: 6x4y 3 0}. B. ^{d x: 2y 1 0}.

C.

 

^{C x: 2y22x2y 1 0}_{. D.}

 

^{C x: 2 y24x2y 4 0}_.

Lời giải Chọn A

Đặt



^,



2

z x yi x y

z i

  



  



, ta có:



^{12 5}



^{17 7} ₁₃

2

i z i

z i

  

   ^



^{12 5 i z}



^{17 7 i 13 z 2 i}



^{12 5i z}

 

^{1 i}



^{13z 2 i}

        12 5 i z  1 i 13 z 2 i 13z  1 i 13z 2 i

1 2

z i z i

             x yi 1 i x yi 2 i ^



^x1

 

^{2 y1}

 

^{2  x2}

 

^{2 y1}



²

6x 4y 3 0

    (thỏa điều kiện z 2 i).

Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức ^z là đường thẳng d : ^{6x4y 3 0}.

Câu 8. Trong mặt phẳng tọa độ ^Oxy, cho số phức ^z thỏa mãn z 1 2i 3. Tập hợp các điểm biểu diễn cho số phức ^{w z}



^1i



là đường tròn

A. Tâm ^I



^{3; 1}



_{, R3 2. B. Tâm} ^I



^3;1



_{, R3.}

C. Tâm ^I



^3;1



_{, R3 2. D. Tâm} ^I



^{3; 1}



_{, R3.}

Lời giải Chọn A

Ta có z 1 2i 3^{ z}



^{1   i}

 

^{1 2 1i}

 

^i



^{3 1i}  w  3 i 3 2 . Giả sử w x yi 



^{x y, }



^{  x 3}



^y1



^{i 3 2}



^{x 3}

 

^{2 y 1}



^{2 18}

     ^I



^{3; 1}



_{, R 18 3 2 .}

Câu 9. Cho số phức ^z thỏa mãn điều kiện z 3 4i 2. Trong mặt phẳng ^Oxy tập hợp điểm biểu diễn số phức ^{w2z 1 i} là hình tròn có diện tích

A. ^S⁹ . B. ^S ¹² . C. ^S ¹⁶ . D. ^S ²⁵ .

Lời giải Chọn C

2 1 1

2

w i

w z   i z   1

 

3 4 2 3 4 2 1 6 8 4 7 9 4 1

2

w i

z  i       i   w   i i   w  i  Giả sử ^{w x yi }



^{x y, }



, khi đó

 

^{1 }



^x7

 

^{2 y9}



^216

Suy ra tập hợp điểm biểu diễn số phức w là hình tròn tâm ^I



^{7; 9}



, bán kính ^r4.

Vậy diện tích cần tìm là ^S^.42 ^{16 .}

Câu 10. Cho số phức z _{thỏa mãn} ^{z- +3 4i =2}_và ^w=^2z+ -^{1 i}. Trong mặt phẳng phức, tập hợp điểm biểu diễn số phức ^w là đường tròn tâm ^I , bán kính ^R. Khi đó:

A. ^{I( 7;9),- R=16}. B. ^{I( 7;9),- R=4}. C. ^{I(7; 9),- R=16}. D. ^{I(7; 9),- R=4}. Lời giải

Chọn D

Giả sử ^z= +^{x yi x y}

(

^, Î ¡

)

.

Từ giả thuyết ^z- +^{3 4i} = Û^{2 x}+ - +^{yi 3 4i} = Û²

(

^x- ³

)

²+ +

(

^{y 4}

)

²=^{4 *}

( )

. Từ ^w=^2z+ - =^{1 i 2}

(

^x+^yi

)

+ - =^{1 i}

(

^2x+ +¹

) (

^2y- ¹

)

ⁱ.

Giả sử ^{w= +a bi a b}

(

^{, Î ¡}

)

_{. Ta có}

( ) ( )

1

2 1 2

2 1 2 1

2 1 1

2 x a

x a

a bi x y i

y b b

y ì - ïï =ï ì + =

ï ï

ï ï

+ = + + - Û íïïî - = Û íïï =ïïïî + .

Thay ^{x y,} vào phương trình

( )

^* _{, ta có}

( ) ( )

2 2

2 2

1 1

3 4 4 7 9 16

2 2

a b

a b

æ- ö æ÷ + ÷ö

ç - ÷+ç + ÷= Û - + + =

ç ÷ ç ÷

ç ç

è ø è ø

Suy ra w chạy trên đường tròn tâm I

(

7; 9-

)

, bán kính ^R=4.

 Mức độ 4

Câu 1. Trong mặt phẳng tọa độ ^Oxy, gọi

 

^H là tập hợp các điểm biểu diễn hình học của số phức ^z

thỏa mãn

12

4 3 2 2

z z

z i

  



  

 . Diện tích của hình phẳng

 

^H _là

A. 44. B. 88. C. 24. D. 84. Lời giải

Chọn C

x y

D

O 6

A

B 3 I

4

M

Cách 1:

Trong mặt phẳng tọa độ ^Oxy, điểm biểu diễn số phức z x yi  là điểm ^{M x y}



^;



_.

Ta có

12

4 3 2 2

z z

z i

  



  



  

²



²

2 12

4 3 8

x

x y

 

 

   



  

²



²

6 6

4 3 8

x x

x y

 

  

 

    

 .

Hình phẳng

 

^H là hình tô đậm trên hình vẽ.

Ta có IA IB 2 2, ^ID2và ^{AB2AD2 IA2ID2 4}, suy ra

AIB 2 . Gọi S¹là diện tích hình quạt ^AIB. Ta có

2 1

1 2

S  4R   . Diện tích tam giác ^AIBlà ²

1 . 4

S  2IA IB .

Vậy diện tích hình phẳng

 

^H _là S_{ H}  S1 S2   2 4 . Cách 2:

Hình phẳng

 

^H được biểu thị là phần tô màu trên hình vẽ (kể cả bờ), là hình giới hạn bởi đường tròn

 

^C _{có tâm} ^I

 

^4;3 , bán kính R2 2và đường thẳng x6.

Ta có



^x4

 

^{2 y3}



^{2 8}



^y3



^{2  8}



^x4



^{2   y 3 8 }



^{x 4}



² _.

 

^C cắt đường thẳng y3tại 2 điểm có tọa độ



^{4 2 2;3}



Gọi S⁰là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường ^{y 3 8 }



^{x 4}



² _{, y3, x6,}

4 2 2 x  .

Ta có ^{ }

 

 

4 2 2

2 0

6

2. 2. 8 4 d 2, 2831

SH S x x



 



  

. Vậy ta chọn C.

Câu 2. Gọi z z¹, ² là hai trong các số phức z _{thỏa mãn} ^{z 3 5i 5}_và ^{z1z2 6}. Tìm môđun của số phức     z¹ z² 6 10i.

A.  10. B.  32. C.  16. D.  8 . Lời giải

Chọn D

Tập hợp điểm biểu diễn số phức z _{thỏa mãn} ^{z 3 5i 5} là đường tròn

 

^C _tâm ^I



^{3; 5}



_bán

kính R5.

Gọi ^{M N,} lần lượt là điểm biểu diễn của số phức z z¹, ² suy ra ^{M N,} nằm trên đường tròn

 

^C _.

Gọi ^H là trung điểm của MN suy ra IH MN

Do z¹z²  6 MN  6 MH NH  3 IH  IM²MH² 4

   

.

1 2 6 10 1 3 5 2 3 5

2 2 8.

z z i z i z i

IM IN IH IH





         

       

Câu 3. Tính tổng của tất cả các giá trị của tham số m để tồn tại duy nhất số phức ^z thoả mãn đồng thời z m và z4m3mi m²

.

A. ⁴. B. 6 . C. 9 . D. 10 .

Lời giải Chọn D

Đặt ^{z x yi }



^{x y, }



. Ta có điểm biểu diễn ^zlà ^{M x y}



^;



_.

Với m0, ta có z0, thoả mãn yêu cầu bài toán.

Với m0, ta có:

+ z  m M thuộc đường tròn

 

C1 tâm ^I



^{0;0 ,}



_{bán kính R m}

+ ^{z4m3mi m2 }



^x4m

 

^{2 y3m}



^{2 m4}

 M thuộc đường tròn

 

C2

tâm ^I



^{4 ; 3m  m}



^, _{bán kính R m}²_.

+) Có duy nhất một số phức ^z thoả mãn yêu cầu bài toán khi và chỉ khi

 

C1

và

 

C2

tiếp xúc

nhau

2 2

5 4

5 .

6 0

m m m

II R R m

m m m

II R R m

m

  

   

   

        

 

Kết hợp với m0, suy ra ^m



^{0; 4;6}



. Vậy tổng tất cả các giá trị của m là 10 . Câu 4. Cho z¹, z² là hai trong các số phức z thỏa mãn điều kiện z 5 3i 5

, đồng thời

1 2 8.

z z  Tập hợp các điểm biểu diễn của số phức w z ¹ z² trong mặt phẳng tọa độ Oxy là đường tròn có phương trình nào dưới đây?

A.

2 2

5 3 9

2 2 4

x y

      

   

    . B.



^x10

 

^{2 y6}



^{2 36}_.

C.



^x10

 

^{2 y6}



^{2 16}_{. D.}

2 2

5 3

2 2 9

x y

      

   

    .

Lời giải Chọn B

Gọi A, B, M là các điểm biểu diễn của z¹, z², w. Khi đó A, B thuộc đường tròn

  

^{C : x5}

 

^{2  y3}



^{2 25} _và AB z1z2 8 .

 

^C _{có tâm} ^I

 

^5;3 và bán kính R5, gọi T là trung điểm của AB khi đó T là trung điểm của OM và IT  IA²TA² 3.

Gọi J là điểm đối xứng của O qua I suy ra ^J



^10;6



_{và IT} là đường trung bình của tam giác OJM , do đó JM 2IT 6.

Vậy M thuộc đường tròn tâm J bán kính bằng 6 và có phương trình



^x10

 

^{2 y6}



^{2 36}

Câu 5. Gọi M là điểm biểu diễn của số phức z _{thỏa mãn} ^{z m  1 3i 4}. Tìm tất cả các số thực m sao cho tập hợp các điểm M là đường tròn tiếp xúc với trục Oy.

A. m 5;m3. B. m5;m 3. C. m 3. D. ^m5. Lời giải

Chọn B

Đặt ^{z x yi  ,}



^{x y, }



. Khi đó.

1 3 4 1 3 4

         

z m i x yi m i

.



¹

 

³



⁴



¹



²



³



^{2 4}

 x m   y i   x m   y  .



¹



²



³



^{2 16}

 x m   y  .

Do đó tập hợp các điểm M biểu diễn của số phức z là đường tròn tâm ^I



^{1m; 3}



_{và bán}

kính ^R4. Để đường tròn này tiếp xúc với trục Oy thì

1 4 3

1 4

1 4 5

m m

m m m

   

 

        . Vậy m5;m 3.

Câu 6. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các điểm biểu diễn các số phức thỏa mãn

2 4 10

z     i z i .

A. 15 _{. B.} 12 _{. C.} 20 _. D. Đáp án khác.

Lời giải Chọn C

Gọi ^{M x y}



^;



là điểm biểu diễn của số phức ^{z x yi x y} 



^, 



^.

Ta có: z     2 i z 4 i 10^{  x 2}



^y1



^{i   x 4}



^y1



^{i 10.}



^{x 2}

 

^{2 y 1}



²



^{x 4}

 

^{2 y 1}



^{2 10}

        

Đặt ^A



^{2;1 ,}

  

^{B 4;1  AB}



^{4 2}



^{202 6.}

Khi đó phương trình trở thành: MA MB 10.

Khi đó tập hợp những điểm ^M thỏa mãn phương trình là một elip với.

+ Độ dài trục lớn

2 10 10 5.

a  a 2  + Tiêu cự

2 6 6 3.

cAB   c 2

+ Độ dài trục bé 2b_với b² a²     c² 5² 3² 16 b 4.

Vậy diện tích hình phẳng giới hạn bởi các điểm biểu diễn các số phức thỏa mãn

2 4 10

z     i z i

là diện tích Elip trên: Sab4.5 20 _.

Câu 7. Trong mặt phẳng tọa độ ^Oxy,gọi

 

^H là phần mặt phẳng chứa các điểm biểu diễn các số phức z _{thỏa mãn} 16

z và

16

z có phần thực và phần ảo đều thuộc đoạn

 

^0;1 . Tính diện tích S của

 

^H _.

A. ^{S 32 6}



^



^. _B. ^{S 16 4}



^



^. _{C. S256. D. S 64 .}

Lời giải Chọn A

Giả sử ^{z x yi x y }



^{, }



. Ta có: ^{16 16 16}

z x y

  i

; 16

z

16

 x yi

 ^{2 2 2 2}

16x 16y x y x y i

 

  .

Vì ¹⁶ z

và 16

z có phần thực và phần ảo đều thuộc đoạn

 

^0;1 _nên

2 2

2 2

0 1

16

0 1

16

0 16 1

0 16 1

x y

x x y

y x y

  



  



  

 

  

 

2 2

2 2

0 16

0 16

0 16 0 16 x y

x x y y x y

  

  

    

   



 

 

2 2

2 2

0 16

0 16

8 64

8 64

x y

x y

x y

  

  

    

   

 .

16 16

x C B

A y

O I

J E

Suy ra

 

^H là phần mặt phẳng giới hạn bởi hình vuông cạnh 16 và hai hình tròn

 

C1

có tâm

1

 

8;0

I , bán kính R¹ 8 và

 

C2 có tâm I2

 

0;8 , bán kính R² 8. Gọi S là diện tích của đường tròn

 

C2

. Diện tích phần giao nhau của hai đường tròn là:

2 1

1 1 1

2 2 . .8 .8.8

4 ^OEJ 4 2

S   SS     . Vậy diện tích S của hình

 

^H _là:

2 2 1 2 1

16 .8 2. . .8 .8.8

4 2

S       

  256 64  3264 192 32 ^{32 6}



^



_.

Câu 8. Cho hai số phức z z¹, ² thoả mãn z¹ 2, z²  3. Gọi ^M , N là các điểm biểu diễn cho z¹ và iz2. Biết MON  30 . Tính

2 2

1 4 2

S z  z .

A. 5 2 B. 3 3 C. 4 7 . D. 5 .

Lời giải Chọn C

Ta có S  z1²4z2²  z1²



2iz2



²  z12iz2 .z12iz2

Gọi ^P là điểm biểu diễn của số phức 2iz².

Khi đó ta có z¹2iz² .z¹2iz²  OM OP OM OP    . 

. 2 2 .

PM OI PM OI

   

.

Do MON  30 nên áp dụng định lí cosin ta tính được MN 1. Khi đó OMP có MN đồng thời là đường cao và đường trung tuyến, suy ra OMP cân tại ^M PM OM 2.

Áp dụng định lí đường trung tuyến cho OMN ta có:

2 2 2

2 7

2 4

OM OP MP

OI    

. Vậy S2PM OI. 2.2. 7 4 7 .

Câu 9. Cho số phức z⁰ có z⁰ 2021. Diện tích của đa giác có các đỉnh là các điểm biểu diễn của z⁰ và các nghiệm của phương trình ^{0 0}

1 1 1

z z  z z

 được viết dạng

3 4 n

, n . Chữ số hàng đơn vị của n là

A. 9 B. 8 C. 3 . D. ⁴.

Lời giải Chọn C

Điều kiện: ⁰ 0

0 z z

 

 

Ta có: ^{0 0}

1 1 1

z z  z z

 z.z0 



z z z 0



0 



z z z0



z² z.z₀z₀² 0

2

0 0

z z 1 0

z z

     

  0

1 3

2 2

z i

 z    0 1,2

1 3

2 2

z  i z z

     

 

Ta có:

1 2 0

1 3

2 2

z  z    i z

0 2021

 z  và z⁰ z¹ z² 0.

Do đó z⁰,z¹, z² được biểu diễn bởi ba điểm M⁰, M¹, M² tạo thành một tam giác đều nằm trên đường tròn tâm O bán kính R2021.

Tam giác đều này có chiều cao:

3 h2R

và độ dài cạnh:

2 .

a 3 h 2 3 .2

3 R

  3.R

Diện tích tam giác:

1 .

S  2a h 3 ² 4 . 3

 R 3.2021²

4 . 3

 12253323. 3

 4

. Vậy n12253323 có chữ số hàng đơn vị là 3.

Câu 10. Cho số phức ^z thay đổi thỏa mãn z i   z i 6. Gọi S là đường cong tạo bởi tập hợp tất cả các điểm biểu diễn của số phức



^{z i}

 

^1i



khi z thay đổi. Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đường cong S.

A. 12. B. 12 2. C. 9 2. D. 9.

Lời giải Chọn B

Đặt ^w

  

¹



^w

z i i z 1 i

     i

 .

Ta có

w w

6 2 6

1 1

z i z i i

i i

       

 

w w 2 2i 6 2

     .

Đường cong S là một elip có độ dài trục lớn bằng 6 2 , tiêu cự bằng 2 2

 Độ dài trục bé bằng 8.

Vây diện tích elip là ab12 2.