Khi đó ta nói a chia hết cho b, kí hiệu là  a b

1

CHỦ ĐỀ 3.4.BỘI VÀ ƯỚC CỦA MỘT SỐ NGUYÊN I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1. Định nghĩa

Với a,bZ^và b  0. Nếu có số nguyên _q sao cho a b q . thì ta ta có phép chia hết a b q:  (trong đó ta cũng gọi a là số bị chia, _b là số chia, _q là thương). Khi đó ta nói a chia hết cho _b, kí hiệu là

 a b^.

Khi a b ⁽ a,bZ^, b  0) ta còn gọia là bội của _b và _b là ướccủa a. 2. Nhận xét

- Số 0 là bội của mọi số nguyên khác 0. Số 0 không phải là ước của bất kì số nguyên nào.

- Các số 1 và _1 là ước của mọi số nguyên.

3. Tính chất

Có tất cả các tính chất như trong tập _.

-Nếu a chia hết cho _b và _b chia hết cho c thì a cũng chia hết cho c.



a b ^và b c a c - Nếu a chia hết cho _b thì bội của a cũng chia hết cho _b.

 

a b ka b ⁽k ⁾

- Nếu a, _b chia hết cho c thì tổng và hiệu của chúng cũng chia hết cho c.

 ,   ;  .

a c b c  a b c a b c - Nếu a, _b chia cho c cùng số dư thì _{a – b}chia hết cho c. Nhận xét:

- Nếu a chia hết cho _b, _b chia hết cho a thì _{a  b.}

- Nếu a chia hết cho hai số _{m n,} nguyên tố cùng nhau thì a chia hết cho m n. . - Nếu aⁿ chia hết cho số nguyên tố _p thì a chia hết cho _p.

- Nếu _ab chia hết cho m và b m, nguyên tố chung nhau thì a chia hết cho m . - Trong n số nguyên liên tiếp có đúng một số chia hết cho n.

II. CÁC DẠNG BÀI

Dạng 1. Tìm bội và ước của số nguyên I. Phương pháp giải

-Tập hợp các bội của số nguyên a có vô số phần tử và bằng



^{k a k Z. | }



^.

- Tập hợp các ước số của số nguyên a



^a0



luôn là hữu hạn.

Cách tìm:

2

Trước hết ta tìm các ước số nguyên dương của phần số tự nhiên a (làm như trong tập số tự nhiên), chẳng hạn là p q, , r. ^{Khi đó}   p q, , r cũng là ước số của a. Do đó các ước của a là _{p q r, ,} ,

– , – , –p q r.

Như vậy số các ước nguyên của a gấp đôi số các ước tự nhiên của nó.

- Số ước nguyên dương của số a = x y ….z^{m n t}là



m + 1 . n + 1 … t + 1

    

II. Bài toán

A. TRẮC NGHIỆM

Bài 1.Khi nào ta nói alà bội của b?

A. a b B. b a C. a  b D. b a Lời giải

Đáp án: A

Bài 2.Hãy nêu cách tìm bội của một số:

A. nhân số đó lần lượt với 1; 2; 3;...

B. nhân số đó lần lượt với 0;1; 2; 3;...

C. chia số đó lần lượt cho 1; 2; 3;...

D. chia số đó lần lượt cho 0;1; 2; 3;...

Lời giải Đáp án: B

Bài 3.Hãy chỉ ra số là ước của tất cả các số:

A. 0 B. 2 C.1 D.3 Lời giải

Đáp án: C

Bài 4.Số 28 có bao nhiêu ước nguyên?

A. 4 B. 6 C. 10 D.12 Lời giải

Đáp án: D

Giải thích: ta có 28 2 .7 ²

Số các ước nguyên dương của số 28 là



2 + 1 . 1 + 1 = 3.2 = 6

  

Số các ước của 28 là 6.2 12

Bài 5. Các số có 2 chữ số là ước của 60 là:

A. 10; 20; 35; 60

B. 10; 12; 15; 20; 40; 60

   

     

C. 10; 12; 15; 20; 30; 60 D. 10; 20; 40; 60

     

   

Lời giải Đáp án: C

Bài 6. Hãy tìm các số ^{x B 12}

 

^và 20 < x < 50

   

 

A. x 24; 36; 48 B. x 20; 24; 36 B. x 24; 36; 50 D. x 12; 24

 

 



^{; 36}



3 Lời giải

Đáp án: A B. TỰ LUẬN

Bài 1.Tìm năm bội của: 3 ; -3.

Lời giải

Cả 3 và -3 đều có chung các bội dạng 3.m(m _ ), nghĩa là: 0 ; -3 ; 3 ; -6 ; 6 ; -9 ; 9 ;

Chẳng hạn, năm bội của 3 và – 3 là :3 ; 6 ; 9 ; 12 ; 15. Bài 2. Tìm năm bội của 2 và -2.

Lời giải

Muốn tìm một bội của 2, (-2) ta nhân 2, (-2) với một số nguyên nào đó. Chẳng hạn:

Năm bội của 2 là : 2 . 1 2; 2 . 1 -2; 2 . 2 4; 2. 2 - 4; 2 . 3 6.

 

  

 

   Năm bội của -2 là :2 ; 2 ; -4 ; 4 ; - 6.

Tổng quát: Các bội của 2 và -2 có dạng là 2.qvới q: 0 ; -2 ; 2 ; -4 ; 4 ; -6 ; 6 ; -8 ; 8 ;  Bài 3. Tìm các bội của 7 ; 7.

Lời giải

   

   

B 7 0; 7; 14; 21; 28;

B 7 0; 7; 14; 21; 28;

     

      

Bài 4. Tìm tất cả các ước của -2, 4, 13, 15, 1 Lời giải

Các ước của -2 là : -1 , 1 ,-2 , 2.

Cấc ước của 4 là : -1 , 1 , -2 , 2 , -4 , 4.

Các ước của 13 là : -1 , 1 , -13 , 13

Các uớc của 15 là : -1 , 1 , -3 , 3 , -5 , 5 , -15 , 15.

Các ước của 1 là : -1 , 1.

Bài 5.Tìm tất cả các ước của - 3 ; 6 ; 11 ; -1.

Lời giải

Kí hiệu U(a) là tập hợp các ước của số nguyên a, ta có:

 

³



1 ; 1 ; –3 ; 3



U    hoặc viết gọn là: ^U

  

^{ 3   1; 3}



^;U

  

⁶  1; 2; 3; 6  



;

 

11 1; 11

 

U    ; ^U

   

^{-1 = ±1}

Bài 6.Tìm tất cả các ước của 36.

Lời giải

Phân tích 36 ra thừa số nguyên tố: 36 2 .3  ^{2 2}

Để tìm tất cả các ước của 36 không bị sót, bị trùng, ta có thể làm như sau:

Ta viết:

2 2 ¹ 2² hay 1 2 4 3 3¹ 3 hay ² 1 3 9 Các ước nguyên dương của 36 là :

1 2 4 1.3 2.3 4.3 1.9 2.9 4.9

Tất cả có 9 ước nguyên dương là: 1 ; 2 ; 4 ; 3 ; 6 ; 12 ; 9 ; 18 ; 36. Tập hợp tất cả các ước nguyên của 36 là :

  

36 = ±1; ± 2; ± 3; ± 4 ; ± 6; ± 9; ± 12; ± 18; ± 36



U

Bài 7. Tìm tất cả các ước của 12 mà lớn hơn – 4.

Lời giải

Các ước của 12 là: 1; 2; 3; 4; 6; 12    

Các ước của 12 mà lớn hơn – 4 là -3; -2; -1; 1; 2; 3; 4; 6; 12. Bài 8.Tìm các số tự nhiên nsao cho: n - 1là ước của 28 Lời giải

Ta có: U

  

28 = ±1; ± 2; ± 4 ; ± 7; ± 14; ± 28



. Vì ^{n 1 U}

 

²⁸ , ta có bảng sau:

Vì n là số tự nhiên nên ⁿ



0; 2; 3; 5; 8; 15; 29



Bài 9. Tìm các bội của -13 lớn hơn -40 nhưng nhỏ hơn 40.

Lời giải

Các bội của -13 là 0; 13; -13; 26, -26; 39; -39; 52; -52 .

Các bội của -13 lớn hơn -40 nhưng nhỏ hơn 40 ^x



-39;-26;-13;0; 13;26;39



Bài 10.Tìm các số tự nhiên x là bội 75 đồng thời là ước của 600 Lời giải

x B(75) (x)^x



0;75; 150; 300; 600; …



xU(600)(x)

 

x 1; 2; 3; 4; 5; 6; 8; 10;12 ; 20; 24; 25; 30; 50; 60; 75; 100;1 20; 150; 200; 300; 600

  Đáp

án: ^x



75; 150; 300; 600



Bài 11. Chứng tỏ rằng số có dạng aaa là bội của 37 Lời giải

Đáp án: Ta có: aaa= 100a + 10a + a = 111. A = 3. 37.anên aaa là bội của 37

Bài 12. Tìm các chữ số a và b sao cho n a53b vừa là bội của 5, vừa là bội của 6 Lời giải

Ta có n 6 ^{nên n 2}

Số n a53b chia hết cho cả 2 và 5 nên b = 0n a530

Ta có n 6 ^{nên n 3} 



a 5 3 0 3  



 ^hay



^{a 8 3}



 ^{, do đó a}



^{1; 4; 7}



Vậy ⁿ



1530; 4530; 7530



cả 3 số này vừa là bội của 5, vừa là bội của 6 Bài 13.

a) Tìm năm bội của: – 5; 5;

b) Tìm các bội của _{– 12}, biết rằng chúng nằm trong khoảng từ _{– 100} đến 24.

Lời giải

a) Các bội số của 5; – 5 đều có dạng _5.k (k ^).

Chẳng hạn chọn năm bội số của 5; – 5 là: –15, – 10, – 5, 0, 5 ( ứng với _k lần lượt bằng 3; 2; 1;

   0; 1; 2^).

b) Các bội số của –12 có dạng 12.k (k ). Cần tìm _k sao cho:–100 12 24 k  ^. Tức là: –9 2 k  ^{, chọn} k         



8; 7; 6; 5; 4; 3; 2; 1;0;1 .



Vậy các bội của _–12 nằm trong khoảng từ _–100 đến 24 là

96, 84, 72, 60, 48, 36, 24, 12,0,12.

        Bài 14. Tìm tất cả các ước của:

a) _–3; b) _–25; c) 12.

Lời giải

a) Các ước tự nhiên của 3 là 1, 3.Do đó các ước của _–3 là  3, 1, 1, 3.

b) Các ước tự nhiên của 25 là 1, 5, 25.Do đó các ước của 25 là   25, 5, 1, 1, 5, 25.

c) Các ước tự nhiên của 12 là 1, 2, 3, 4, 6, 12.Do đó các ước của 12 là 12, 6, 4, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4, 6, 12.

      Nhận xét:

Số tự nhiên a phân tích ra thừa số nguyên tố có dạng p q r^{n m k}. . (p, q, r là số nguyên tố) thì số ước tự nhiên của a là



^{n 1}



^m1



^{k1 .}



Khi đó mỗi số nguyên _{a, –a} đều có ²



^n1



^m1



^{k 1}



ước nguyên.

Số nguyên tố _p có 4 ước nguyên là  p, 1, 1, .p Bài 15. Tìm số nguyên n để:

a) 5 . nchia hết cho _–2; b) 8 chia hết cho n; c) 9 chia hết cho n 1 ^{; d)} n – 18chia hết cho 17.

Lời giải

a) 5 . n chia hết cho _–2, nên n là bội của 2 ( vì 5 không chia hết cho 2).

Vậy _{n  2k} (_k là số nguyên tùy ý).

b) 8 chia hết cho n , nên n là ước của 8.

Vậy n    



8; 4; 2; 1; 1; 2; 4; 8 .



c) 9 chia hết cho n 1 ^{, nên} n 1 là ước của 9.

Suy ra n    ¹



9; 3; 1; 1; 3; 9 .



Với n  1 9 ^{suy ra} n   9 1 hay _{n  10} Với n  1 3 ^{suy ra} n   3 1 hay _{n  4} Với n  1 1 ^{suy ra} n   1 1 hay _{n  2} Với n 1 1 ^{suy ra} n  1 1 hay n 0 Với n 1 3 ^{suy ra} n  3 1 hay _{n 2} Với n 1 9 ^{suy ra} n  9 1 hay _{n  8} Vậy n   



10; 4; 2; 0; 2; 8 .



d) _{n – 18} chia hết cho 17, nên _{n – 18} là bội của 17. Do đó n – 18 17 k ⁽k ^).

Vậy n 18 17  k⁽k ^).

III. Bài tập có hướng dẫn Bài 1.

a) Tìm bốn bội của –9; 9.

b) Tìm các bội của _–24, biết rằng chúng nằm trong khoảng từ 100 đến 200.

HD

a) Chẳng hạn là: –18; –9; 0; 9 b) 120; 144; 168; 192

Bài 2. Tìm tất cả các ước của:

a) –17^{; b) 49; c)} –100.

HD

a) U

 

–17 –17; – 1; 1; 17

 

b) U

  

⁴⁹  –49; – 7; – 1; 1; 7; 49



c) U

  

¹⁰⁰  –100; –50; –25; –20; –10; –5;–4; –2; –1; 1; 2; 4; 5; 10; 20; 25; 50; 100



Bài 3.

a) Tìm tập hợp ^UC



^{–12; 16}



^;

b) Tìm tập hợp UC



15; –18;–20



. HD

a) UCLN 12; 16 4

 

 suy ra ^{UC –12; 16}

  

 –4; –2; –1; 2; 4



b) UCLN 15; 18; 20

 

1 suy ra UC 15; –18; –20

   

 –1; 1 Bài 4. Tìm số nguyên n để:

a) 7 . nchia hết cho 3; b) _–22chia hết cho n; c) _–16chia hết cho _{n – 1}; d) n 19 chia hết cho 18.

HD

a) 7n 3 mà (7; 3) = 1 nên n3 ^{do đó} n 3 (k k ) b) 22n ^nên n { 22; 11; 2; 1; 1; 2; 11; 22}  

c) 16 ( n1) ^nên (n  1) { 16; 8; 4; 2; 1; 1; 2; 4; 8; 16}    Vậy n { 15; 7; 3; 1; 0; 2; 3; 5; 9; 17}  

d) (n19) 18 ^nên (n1) 18 ^{suy ra} n18k1 (k ) Bài 5. Tìm tập hợp BC 15;–12; –30

 

.

HD

 

BCNN 15; 20; 30 60

Suy ra BC 15;–20;–30

   

B 60 60 k (k )

Bài 6. Cho hai tập hợp A



1; 2; 3; 4; 5



^{và B    }



^{2; 4; 6 .}



a) Viết tập hợp gồm các phần tử có dạng _{a b .} với a A b B ,  . b) Trong các tích trên có bao nhiêu tích chia hết cho 5?

HD

a) C = { |ab aA;bB} ⁼ { 2; 4; 6; 8; 10; 12; 16; 18; 20; 24; 30}           ( Chú ý: Các phần tử trong tập hợp phải khác nhau đôi một)

b) Trong các tích trên có 3 tích chia hết cho 5 ứng với a 5 và bB Dạng 2. Vận dụng tính chất chia hết của số nguyên

I. Phương pháp giải

Để chứng minh một biểu thức A chia hết cho số nguyên a;

- Nếu A có dạng tích m n p. . thì cần chỉ ra m (hoặc n, hoặc p) chia hết cho a. Hoặc m chia hết cho

1,

a n chia hết cho a₂, p chia hết cho a₃ ^{trong đó} a a a a _{1 2 3.}

- Nếu A có dạng tổng m + n + p thì cần chỉ ra m, n, p cùng chia hết cho a, hoặc tổng các số dư khi chia m, n, p cho a phải chia hết cho a.

- Nếu A cĩ dạng hiệu m – n thì cần chỉ ra m, n chia cho a cĩ cùng số dư. Vận dụng tính chất chia hết để làm bài tốn về tìm điều kiện để một biểu thức thỏa mãn điều kiện cho hết.

II. Bài tốn

Bài 1. Chứng minh rằng: S        2 2² 2³ 2⁴ 2⁵ 2⁶ 2⁷ 2⁸ chia hết cho _6. Lời giải

Nhĩm tổng S thành tổng của các bội số của _6 bằng cách:



^{2 22}

 

^{23 24}

 

^{25 26}

 

^{27 28}



S        

2 4 6

6 2 .6 2 .6 2 .6

   

Mỗi số hạng của tổng S đều chia hết cho _6, nên S chia hết cho _6. Bài 2. Cho số a  10⁸ 2 .³ Hỏi số a cĩ chia hết cho _9 khơng?

Lời giải



8 3 8

gồm 8 chữ số 9

10 2 10 1 7 99...9 7

a          ^.

Số hạng đầu của a chia hết cho 9, cịn 7 khơng chia hết cho 9 nên a khơng chia hết cho 9. Do đĩ a cũng khơng chia hết cho _9.

Bài 3. Cho a b, là các số nguyên. Chứng minh rằng nếu 6a11b chia hết cho 31 thì a7b ^cũng chia hết cho 31. Điều ngược lại cĩ đúng khơng?

Lời giải

Ta cĩ: ^{6a11b6.}



^a7b



^{31 .b} (*)

Do đĩ 31 31,b và 6a11 31,b từ (*) suy ra ⁶



^{a7 31,b}



^

Mà 6 và 31 nguyên tố cùng nhau, nên suy ra a7 31.b

Ngược lại, nếu a7 31b ^{, mà} 31 31,b từ (*) suy ra 6a7 31.b Vậy điều ngược lại cũng đúng.

Ta cĩ thể phát biểu bài tốn lại như sau:

“Cho a b, là các số nguyên. Chứng minh rằng 6a11b chia hết cho 31 khi và chỉ khi a7b ^{chia hết} cho 31”.

Bài 4. Tìm số nguyên x sao cho:

a) 3x 4 chia hết cho x3; b) x1 là ước số của x²7.

Lời giải

a) Nhận thấy ^{3x 4 3}



^{x 3}



^5.

Do ³



^x3

 

^{ x3 ,}



^nên



^{3x 4}

 

^{ x3}



khi và chỉ khi ^5



^{x3 .}



Suy ra x 3 Ư(5) ^hay x   ³



5; 1; 1; 5 .



^Vậy x  



2; 2; 4; 8 .



b) Nhận thấy ^{x2 7 x x}



^{   1}

 

^{x 1}



^8.

Do ^{x x}



^1

 

^{ x1 ,}



^{nên x2 7}



^{x 1}



khi và chỉ khi ^8



^{x1 .}



Suy ra x      ¹



8; 4; 2; 1; 1; 2; 4; 8 .



Vậy x     



9; 5; 3; 2; 0; 1; 3; 7 .



III. Bài tập có hướng dẫn

Bài 1. Chứng minh rằng: S         3 3² 3³ 3⁴ 3⁵ 3⁶ 3⁷ 3⁸ 3⁹ chia hết cho

 

^{39 .}

HD

2 3 4 5 6 7 8 9

3 3 3 3 3 3 3 3 3

S         

= (3 3 ² 3 ) (3³  ⁴ 3⁵ 3 ) (3⁶  ⁷  3⁸ 3 )⁹

= 39 + 3³.39 + 3⁶.39 = 39.(1 + 3³ + 3⁶)39 Suy ra S 39 ^nên S ( 39) 

Bài 2. Cho số _{a 11...11} (gồm 20 chữ số 1). Hỏi số a có chia hết cho 111 không?

HD

Nhận thấy:a111.10¹⁷ 111.10¹⁴ 111.10¹¹111.10⁸111.10⁵ 111.10²11

=111.(10¹⁷10¹⁴10¹¹10⁸10⁵ 10 ) 11² 

Suy ra a là tổng của hai số hạng trong đó có 1 số chia hết cho 111, 1 số không chia hết cho 111 nên a không chia hết cho 111.

Vậy a không chia hết cho 111.

Bài 3. Cho a b, là các số nguyên. Chứng minh rằng 5 2a  b chia hết cho 17 khi và chỉ khi 9 7a  b chia hết cho 17.

HD

Xét hiệu 5.(9a 7 ) 9.(5b  a2 ) 17b  b Nhận thấy 17 17b ^nên:

Nếu 9a7b17 ^thì 9.(5a2 )b 17^{, mà}



^{9; 17 1}



^{ nên 5a2b17}

Nếu 5a2b17^thì 5.(9a 7 )b 17^{, mà}



5; 17 1



 nên (9a 7 )b 17 Bài 4. Tìm số nguyên x sao cho:

a) _{2 – 5x} chia hết cho _{x – 1}; b) x 2 là ước số của x² 8.

HD

a) 2x 5 2(x 1) 3 nên (2x5) ( x 1) 3 (x1) ^{do đó} (x   1) { 3; 1; 1; 3}

Vậy x  1 { 2; 0; 2; 4}

b) Do x² 8 x x(  2) 2(x  2) 12 nên (x² 8) ( x  2) 12 ( x2) Do đó (x       2) { 12; 6; 4; 3; 2; 1; 1; 2; 3; 4; 6; 12}

Vậy x        { 14; 8; 6; 5; 4; 3; 1; 0; 1; 2; 4; 10}

Bài 5. Tìm cặp số nguyên _{x y,} sao cho:

a)

   

^{x1 . y 1 5; b) x y.}



^{  2}



^{8; c) xy2x2y 0.}

HD

a) Vì 5 = 5.1 = ( 1).( 5)  nên ta có các trường hợp sau:

1) _{x 1 1} và y  1 5 x  2 và y 4 2) _{x  1 5} và y  1 1 x 6 và y 0 3) _{x   1 1} và y    1 5 x 0 và y  6 4) _{x   1 5} và y    1 1 x  4 và y  2

b) ( ; ) ( 8; 1); (1; 10); (8; 3);( 1; 6); ( 4; 0); (2; 6); (4; 4); ( 2; 6)x y            c) xy 2x 2y   0 (x 2).(y 2) 4

Do đó tìm được ( ; ) (3; 6);(6; 3);(1; 2);( 2; 1);(4; 4);(0; 0)x y    ^. Bài 6. Tìm tất cả các cặp số nguyên x, y sao cho 20x + 10y = 2010.

HD

Từ điều kiện đề bài suy ra 2x y 201

201 là số lẻ và 2x là số chẵn, suy ra y là số lẻ. Khi đó y có dạng:



2 1 ( ) 100

y  k  k  x k

Chẳng hạn, bốn cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn:

( ; ) (100; 1); (99; 3); (101; 1); (98; 5)x y  

Bài 7. Tìm số nguyên x sao cho _{x – 1} là bội của 15 và x 1 là ước số của 1001.

HD

  

¹⁰⁰¹ 1001; –1001; 143; –143; 91; –91; 77;–77; 13; –13; 11;–11; 7; –7; 1;–1



U 

Ta có: _{x – 1} là bội của 15 nên x – 1 15  k ⁽k ^{) suy ra} x 1 15k  2 ⁽k ⁾ Mà x 1 là ước của 1001 nên kiểm tra thấy x 1 77 ^hay x 76

Vậy x 76

Dạng 3. TÌM SỐ NGUYÊN xTHỎA MÃN ĐIỀU KIỆN VỀ CHIA HẾT I. Phương pháp giải.

Áp dụng tính chất: Nếu a + bchia hết cho c và a chia hết cho c thì bchia hết cho c.

II. Bài toán.

Bài 1.Tìm các số tự nhiên xsao cho ^{10 x- 1}

 

Lời giải

Ta có ^{10 x- 1}

 

^{khi đó}



^{x- 1}



là ước của 10

  

10 = ±1; ± 2; ± 5; ± 10 .



U

Ta có bảng sau:

Suy ra ^x



0; 2; 3; 6; 11



( x_ ) Bài 2.Tìm x_ sao cho :

a) 3x + 2chia hết chox – 1; b) x + 2x – 7² chia hết chox + 2. Lời giải

a) Ta có: 3x + 2 = 3x – 3 + 5 = 3 x -1 + 5

 

. Ta có: ^{3 x – 1}

 

chia hết chox – 1.

Do đó 3x + 2 chia hết cho x – 1 khi 5 chia hết cho x – 1, tức là x – 1 là ước của 5.

Ước của 5 gồm các số ±1, ± 5. Ta có bảng sau:

Suy ra ^x 



-4; 0 ; 2 ; 6 .



b) x + 2x – 7 = x(x + 2) - 7² Ta có: ^{x x + 2}

 

chia hết cho x + 2

Do đó x x + 2 - 7

 

chia hết cho x + 2 khi 7 chia hết cho x + 2 Do đó x + 2 là ước của 7.

Ước của 7 gồm các số ±1, ± 7. Ta có bảng sau:

Suy ra:^x 



-9; -3 ; - 1 ; 5



.

Bài 3.Tìm các số nguyên x thoả mãn:

       

a x + 4)  x + 1 ; b 4x + 3)  x – 2 Lời giải

a) Ta có x + 4 = x + 1 + 3

 

nên



x + 4 : x + 1

  

khi ^{3: x + 1}

 

^{, tức là x + 1} là ước của 3.

Vì U

 

3 = -1 ; 1{ ; - ; 33 }, ta có bảng sau:

ĐS :x = -4 ; -2 ; 0 ; 2.

b) HD: Ta có 4x + 3 = 4 x – 2 + 11

 

nên



4x + 3 : x - 2

  

khi ^{11: x - 2}

 

^{, tức là}



^{x - 2}



là ước của 11.

Đáp số:^x 



-9 ; 1 ; 3 ; 13



. Bài 4.Tìm x_ sao cho :

a) x + x +1² chia hết cho x + 1 b) 3x - 8 chia hết chox - 4. Lời giải

a) Ta có: x + x +1= x x + 1 + 1²

 

. Ta có: ^{x x +1}

 

chia hết cho x + 1.

Do đó x + x +1 chia hết cho ² x + 1 khi 1 chia hết cho x + 1, tức là x + 1 là ước của 1.

Ước của 1 gồm các số ±1. Suy ra ^{x }



^{0 ; -2}



^.

b) Ta có: 3x – 8 = 3 x - 4 + 4

 

Ta có: ^{3 x - 4}

 

chia hết cho x - 4.

Do đó 3x - 8 chia hết cho x - 4 khi 4 chia hết cho x - 4, tức là x - 4 là ước của 4.

Ước của 4 gồm các số ±1; ±2; ±4. Suy ra ^x 



0 ; 2 ; 3 ; 5 ; 6 ; 8



. Bài 5.Tìm các số tự nhiên x sao cho x + 20là bội của x + 2

Lời giải

x + 20 là bội của ^{x + 2}



^{x + 20}

 

 ^{x + 2}



   

x+ 20 = x+ 2 + 18 x+2

   mà



^{x + 2}

 

 ^{x + 2}



Do đó ^{18 x + 2}

 

^{x + 2Ö}

 

¹⁸

  

18 = ±1; ±2; ±3; ±6; ±9; ±18



Ö

Mà x + 2 2  (xZ) nên ^{x + 2}



2; 3; 6; 9; 18



 

x 0; 1; 4; 7; 16

 

Bài 6.Tìm số nguyên nbiết rằng n + 5chia hết cho n - 2.

Lời giải

Ta có: n + 5 chia hết cho n - 2

 

n + 5 = n - 2 + 7

 chia hết cho n - 2

Mà n - 2 chia hết cho n - 2

⇒ 7 chia hết cho n - 2 n - 2thuộc ước của 7 mà U

  

7 = -7; -1; 1; 7



n - 2 = -7 n = -5 n - 2 = -1 n = 1 n - 2 = 1 n = 3 n - 2 = 7 n = 9









Vậy ⁿ



-5; 1; 3; 9



Bài 7.Tìm số nguyên dương nsao cho 2n là bội của n -1. Lời giải

2n là bội của ^{n -12n n - 1}

 

   

2n = 2 n - 1 + 2 n - 1

  

Mà



n - 1 n - 1

 





^{. Do đó 2 n - 1}

 

 

n - 1 U 2

 

  

2 = 1, 2



U  

Mà n - 1 0 nên ^{n - 1}



^{1; 2}



 

n 2; 3

 

Bài 8. Có hai số nguyên a,bkhác nhau mà chia hết cho b và bchia hết cho a không ? Lời giải

a chia hết cho ba = bq₁(q₁,b0) bchia hết cho ab = aq₂ (q₁,a0)

1 2 1 2 1 2 1

a=bq =(aq )q =a(q q ) q q =1

 

2 1

q = q 1

  hoặc q = q_{2 1} 1

Vì a b nên q = q_{2 1} 1. Do đó: a = b(-1) = -b

Vậy mọi cặp số nguyên đối nhau và khác 0 đều có tính chất a chia hết cho (-a) và (-a) chia hết cho a và chỉ những cặp số đó.

Bài 9. Cho hai tập hợp số: A = 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 , B = 21 ; 22 ; 23 .

   

a) Có thể lập được bao nhiêu tổng dạng



^{a + b}



^{với a A, b B  ?}

b) Trong các tổng trên có bao nhiêu tổng chia hết cho 2 ? Lời giải

Giải

a) Ta lập bảng cộng sau :

Từ bảng trên, ta thấy có 15 tổng được tạo thành, trong đó có 7 tổng khác nhau:

23, 24, 25, 26, 27, 28, 29.

b) Có 7 tổng chia hết cho 2 là : 24 , 24 , 26 , 26 , 26 , 28 , 28.

(Có 3 tổng khác nhau chia hết cho 2 :24 , 26 , 28).

Bài 10.Cho hai tập hợp số A= 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; B = 13 ; 14 ; 15

   

a) Có thể lập được bao nhiêu tổng dạng



^{a + b}



^{vớia A, b B  ?}

b) Trong các tổng trên có bao nhiêu tổng chia hết cho 3?

Lời giải

Lập bảng ta thấy :

a) Ta lập bảng cộng sau:

Từ bảng trên, ta thấy có 15 tổng được tạo thành, trong đó có 7 tổng khác nhau : 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23.

b) Trong đó có 5 tổng chia hết cho 3 là :18, 18, 21, 21, 21.

Như vậy có hai tổng khác nhau chia hết cho 3 là 18 và 21.