Chuyên đề khảo sát hàm số và các bài toán liên quan

1

KHẢO SÁT HÀM SỐ

CÁC DẠNG BÀI TOÁN LIÊN QUAN

*******

I. TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

1)ĐỊNH LÍ MỞ RỘNG VỀ TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ Định lí : Cho hàm số y = f x( ) xác định trên khoảng K .

 f x đồng biến trên K ( ) Û f x'( )³ 0," Îx K .

 f x nghịch biến trên K ( ) ^{Û f '}

( )

^{x £ 0," Îx K .}

(chỉ xét trường hợp f x'( ) = 0 tại một số hữu hạn điểm trên khoảng K ) 2) NHẮC LẠI KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ TAM THỨC BẬC HAI

a) Định lí về dấu của tam thức bậc hai g x( ) = ax²+bx +c:

 Nếu  < 0 thì g(x) luôn cùng dấu với a với mọi x Î ¡ .

 Nếu  = 0 thì g(x) luôn cùng dấu với a với mọi \ 2 x b

a

í ü

ï ï

ï ï

Î ¡ ìïïî- ýïïþ , tại

2 x b

= - a thì g x( )= 0.

 Nếu  > 0 thì g(x) có hai nghiệm x1, x₂ và trong khoảng hai nghiệm thì g(x) khác dấu với a, ngoài khoảng hai nghiệm thì g(x) cùng dấu với a, (trong trái - ngoài cùng).

b) Tam thức g x( )= ax² + bx + c a( ¹ 0)không đổi dấu trên ¡

 ( ) 0, ⁰ 0

g x ³ " Îx R Û ìíï >ïï D £ïîa  ( ) 0, ⁰ 0 g x £ " Îx R Û ìíï <ïï D £ïîa

c) So sánh các nghiệm x x₁; ₂ của tam thức bậc hai g x( )= ax²+ bx + c với số 0:

 _{1 2}

0

0 0

0

x x P

S íï D >

ïïï

< < Û ìïïïïî <>

 _{1 2}

0

0 0

0

x x P

S íï D >

ïïï

< < Û ìïïïïî >>

 x₁ < 0< x₂ Û P < 0

3) CÁC VÍ DỤ

Ví dụ 1: Tìm các khoảng đồng biến và nghịch biến của các hàm số sau:

a) ^{1 4 3 2} 1

4 2

y = - x + x + b) ^{1 4 3} 12

y = 2x + x - x - c)y = x²- 7x + 12 Lời giải

a) ^{1 4 3 2} 1

4 2

y = - x - x + .

TXĐ D = ¡ . y'= - x³+ 3x = 0Û x = 0;x = ± 3 BBT:

x - ¥ - 3 0 3 + ¥ '

y + 0 - 0 + 0 - y - ¥ ¹³

4 1 ¹³

4 - ¥ Vậy hàm số đồng biến trên (- ¥ -; 3);(0; 3); nghịch biến trên (- 3; 0);( 3;+ ¥ )

b) ^{1 4 3} 12

y = 2x + x - x -

Tập xác định: D = ¡ .

2

Đạo hàm: ^{3 2 2}

1

' 2 3 1 0 ( 1) (2 1) 0 1

2 x

y x x x x

x é = - êê

= + - = Û + - = Û

ê =êë Do x = - 1 là nghiệm bội 2 nên y' không đổi dấu khi x đi qua - 1. BBT:

x - ¥ -1 ¹

2 + ¥ '

y - 0 - 0 +

y - ¥ + ¥

Vậy hàm số nghịch biến trên ;¹

2

æ ö÷

ç- ¥ ÷

ç ÷

ç ÷

çè ø và đồng biến trên ¹; 2

æ ö÷

ç + ¥ ÷

ç ÷

ç ÷

çè ø

c)y = x² - 7x + 12.

TXĐ D = - ¥( ; 3] [4;È + ¥ . )

2

2 7 7

' 0

2 7 12 2

y x x

x x

= - = Û =

- +

Dấu của 'y là dấu của nhị thức 2x - 7. Do đó, ta có bảng biến thiên x - ¥ 3 ⁷

2 4 + ¥ '

y - || ////// 0 /////// || +

y + ¥ | //////////////////| + ¥ 0 0 Vậy hàm số nghịch biến trên (- ¥ ; 3) và đồng biến trên (4;+ ¥ ) Ví dụ 2: Chứng minh rằng:

3

6 sin

x - x < x < x với x > 0 Lời giải

BĐT  ³

sin ( )

sin ( )

6

x x a

x x x b

íï <

ïïïìï - <

ïïïî với x > 0 a) Ta chứng minh sinx < x với x > 0

Xét hàm số f x( )= sinx - x. f(0)= 0

Ta có: f ¢( )x = cosx - 1£ 0, " Îx (0;+ ¥ )  ( )f x nghịch biến trong (0;+ ¥ ).  f x( )< f(0) với x > 0  sinx - x < 0 với x > 0

b) Ta chứng minh

3

6 sin

x- x < x với x > 0

Xét hàm số

3

( ) sin

6

f x = x - x + x . Ta có

2

( ) cos 1 ( )

2

f ¢x = x - + x = g x

Þ g x¢( )= - sinx + x > 0 với x > 0 g x( ) đồng biến  ( )g x > g(0)= 0với x > 0 hay f ¢( )x > 0 với x > 0  ( )f x đồng biến  f x( )> f(0)= 0với x > 0

 sin ³ 0 6

x - x + x > hay

3

6

x - x <sinx với x > 0

3 Từ a) và b) Þ

3

6 sin

x - x < x < x với x > 0 Ví dụ 3. Cho hàm số ¹( ² ) ³ 2 ² 3 1

y = 3 m - m x + m x + x - . Tìm m để hàm số luôn đồng biến trên ¡ . Lời giải

Tập xác định: D = ¡ . Đạo hàm: y'= (m²- m x) ²+ 4mx + 3 Hàm số luôn đồng biến trên ¡ Û y'³ 0 " Î ¡ x

Trường hợp 1: Xét ² 0 ⁰

1 m m m

m é =ê - = Û êêë =

+ Với m = 0, ta có y'= 3> 0," Î ¡x , suy ra m = 0 thỏa.

+ Với m = 1, ta có ' 4 3 0 ³

y = x + > Û x > - 4, suy ra m = 1 không thỏa.

Trường hợp 2: Xét ² 0 ⁰

1 m m m

m íï ¹

- ¹ Û ìïïïî ¹ , khi đó:

' 0

y ³ " Î ¡ x Û

2 2

' 0 ' 3 0

0 0

m m

a m m

í íï

ï D £ ïD = + £

ï Û ï

ì ì

ï > ï - >

ï ï

î ïî

Û ^{3 0}

0 1

m

m m

íï - £ £ ïìï < Ú >

ïî Û - 3£ m < 0

Từ hai trường hợp trên, ta có giá trị m cần tìm là - 3£ m £ 0. Ví dụ 3: Cho hàm số ^{y = x3- 3}

(

^{m + 1}

)

^{x2 + 3}

(

^{m + 1}

)

^{x + 1}. Định m để:

a) Hàm số luôn đồng biến trên R.

b) Hàm số luôn đồng biến trên khoảng

(

^{2; + ¥}

)

^.

Lời giải a) Tập xác định D = ¡ . y' = 3x²- 6(m + 1)x + 3(m + 1)

Hàm số luôn đồng biến trên ' 0, ⁰

' 0 y x íï >ïa Û ³ " Î Û ìï D £ïî

¡ ¡ 3 ₂0( / )

1 0

9 9 0

h n

m m m

íï >

Û ïïìïïïî + £ Û - £ £

b) Cách 1: Tập xác định D = ¡ . y'= 3x²- 6(m + 1)x + 3(m + 1)

Hàm số luôn đồng biến trên khoảng

(

^{2; + ¥}

)

^{Û y'³ 0," Îx (2;+ ¥ )}

( ) 3 2 6( 1) 3( 1) 0, (2; )

f x x m x m x

Û = - + + + ³ " Î + ¥

TH1: Nếu D £ 0Û - 1£ m £ 0 thì hàm số đồng biến trên ¡ nên hàm số đồng biến trên

(

^{2; + ¥}

)

TH2: Nếu D > 0Û m < - 1;m > (*) thì ( )0 f x có hai nghiệm x x₁, ₂, giả sử x₁ < x₂ Vì a = 3> 0 nên BXD

x - ¥ x₁ x₂ + ¥ ( )

f x + 0 - 0 +

2 2

2

( ) 0, (2; ) 2 1 2 1 1

f x ³ " Îx + ¥ Û x £ Û m + + m + m £ Û m + m £ - m Û m £ 3

4 So với điều kiện (*) ta được 1; 0 ¹

m < - < m £ 3

Kết hợp hai trường hợp:

1 0

1 1 1 3

0 3

m

m m

m éê- £ £ êê

< - Û £

êê

ê < £ êêë

Cách 2: Hàm số luôn đồng biến trên khoảng

(

^{2; + ¥}

)

^{Û y'³ 0," Îx (2;+ ¥ )}

2 2( 1) 1 0, (2; )

x m x m x

Û - + + + ³ " Î + ¥

2 2 1

( ) , (2; )

2 1

x x

g x m x

x

- +

Û = ³ " Î + ¥

- Ta có

2 2

2 2

'( ) 0 0; 1

(2 1)

x x

g x x x

x

= - = Û = =

- BBT

x - ¥ 0 ¹

2 1 2 + ¥ '( )

g x + 0 - || - 0 + | + ( )

g x ///////////////////////////////////| + ¥ ///////////////////////////////////|¹

3 Dựa vào BBT ta có: ¹

m £ 3

Ví dụ 4. Cho hàm số y ^{m x 7m 8} x m

+ -

= - . Tìm m để hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định của nó.

Lời giải Tập xác định: ^{D = ¡ \}

{ }

^m

Đạo hàm:

( )

2

2

7 8

' m m

y

x m

- - +

=

-

. Dấu của 'y là dấu của biểu thức - m²- 7m + 8.

Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định Û y'> 0, " Îx D (không có dấu bằng) Û - m²- 7m + 8> 0Û 8- < m < 1

Vậy giá trị m cần tìm là 8- < m < 1. Ví dụ 5. Cho hàm số y ^{m x 7m 8}

x m

+ -

= - . Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng

(

^{3; + ¥}

)

^.

Lời giải Tập xác định: ^{D = ¡ \}

{ }

^m

Đạo hàm:

( )

2

2

7 8

' m m

y

x m

- - +

=

-

. Dấu của 'y là dấu của biểu thức - m²- 7m + 8. Hàm số đồng biến trên khoảng

(

^{3; + ¥}

)

^{Û y'> 0, " Îx}

(

^{3;+ ¥}

)

5 Û

2 7 8 0

3

m m

m

íï - - + >

ïïìï £

ïïî Û ^{8 1}

3 m m

íï - < <

ïìï £

ïî Û - 8< m £ 3 Vậy giá trị m cần tìm là - 8< m £ 3.

4) BÀI TẬP RÈN LUYỆN

Bài 1. Tìm khoảng đơn điệu của hàm số

a) y = - 2x² + 4x + 5 b) y = x³- 2x²+ x- 2 c) y = x³- 3x²+ 4x - 1 d) y 1x⁴ x²

2 1

= 4 - - e) y = - x⁴- 2x²+ 3 f) y ^x

x

2 1

5

= -

+ g) y ^x

x 1 2

= -

- h) y ^{x x}

x

2 2 26

2

+ +

= + k) y x

x 3 1

= - + - 1 -

l) y = 2x- 1- 3- x m) y = 2x - x² n) y sin 2x x

2 2

p p

æ ö÷

ç ÷

= ççè- < < ÷ø

Bài 2. Tìm m để hàm số hàm số ¹( 1) ^{3 2} (3 2)

y = 3 m - x + m x + m - x nghịch biến trên tập xác định.

HD: m £ 2

Bài 3. Xác định m để hàm số

3 2

2 1

3 2

x m x

y = - - x + .

a) Đồng biến trên R. b) Đồng biến trên

(

^{1; + ¥}

)

^.

HD: a) m Î Æ b)m £ - 1

Bài 4. Tìm mđể hàm số y = x³ + 3x²- mx - 4 đồng biến trên khoảng (- ¥ ; 0). HD: m £ - 3

Bài 5. Tìm mđể hàm số y ^{mx 4} x m

= +

+ nghịch biến trên khoảng (- ¥ ;1). HD: - 2< m £ - 1.

Bài 6. Cho hàm số ^{y = x3 - 3 2}

(

^{m + 1}

)

^{x2 +}

(

^{12m + 5}

)

^{x + 2.}

a) Định m để hàm số đồng biến trên khoảng

(

^{2; + ¥}

)

^.

b) Định m để hàm số đồng biến trên khoảng

(

^{- ¥ -; 1}

)

^.

HD: a) ⁵

m £ 12 b) ⁷

m ³ - 12

Bài 7. Tìm m để hàm số y = 2x³- 3(2m +1)x²+ 6 (m m +1)x + 1 đồng biến trên khoảng (2;+ ¥ ) HD: m £ 1

Bài 8. Tìm m để hàm số y = x³+ 3x²+ mx + m nghịch biến trên một khoảng có độ dài bằng 1.

HD: ⁹

m = 4

Bài 9. Tìm mđể hàm sốy = x³+ (1- 2 )m x²+ (2- m x) + m + 2 đồng biến trên

(

^{0; + ¥}

)

^.

HD: ⁵

m £ 4

Bài 10. Tìm mđể hàm số y = x⁴- 2mx²- 3m + 1 đồng biến trên khoảng (1; 2).

6 HD: ^{m Î - ¥}

(

^;1ù_úû^.

Bài 11. Cho hàm số ² 3 y mx

x m

= -

+ - . Tìm m để hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định của nó.

HD: m < 1 hoặc m > 2. Bài 12. Cho hàm số y ^{m x 9}

x m

= -

- . Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng

(

^{- ¥ ;2}

)

HD: 2< m < 3.

Bài 13. Cho hàm số ² 1 y m x

x m

= -

- - . Tìm m để hàm số nghịch biến trên khoảng

(

^{1; + ¥}

)

HD: m < - 2. II. CỰC TRỊ HÀM SỐ

1. ĐIỀU KIỆN CẦN ĐỂ HÀM SỐ ĐẠT CỰC TRỊ

Định lí 1: (Bổ đề Fermat)Cho hàm số y = f x( ) có đạo hàm trên khoảng ( , )a b và điểm x₀ Î ( , )a b . Nếu hàm số f(x) đạt cực trị tại điểm x₀thì f x'( ₀)= 0

Chú ý: Điều ngược lại không đúng. Ví dụ hàm số

3

2 1

3

y = x - x + x + có f '(1)= 0nhưng hàm số không đạt cực trị tại x = 1.

2. ĐIỀU KIỆN ĐỦ ĐỂ HÀM SỐ ĐẠT CỰC TRỊ

Định lí 2: Cho hàm số y = f x( ) liên tục trên khoảng ( , )a b chứa điểm x₀ và có đạo hàm trên các khoảng

0 0

( ,a x ); (x b, ). Khi đó:

 Nếu ⁰

0

'( ) 0, ( ; ) '( ) 0, ( , )

f x x a x

f x x x b

íï < " Î ïìï > " Î

ïî thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm x₀

 Nếu ⁰

0

'( ) 0, ( ; ) '( ) 0, ( , )

f x x a x

f x x x b

íï > " Î ïìï < " Î

ïî thì hàm số đạt cực đại tại điểm x₀ Hình vẽ minh họa:

BBT

x a x₀ b

'( )

f x - + ( )

f x

CT

Định lí 3: Cho hàm số y = f x( )có đạo hàm cấp 1 trên khoảng ( , )a b chứa điểm x₀ và có đạo hàm cấp 2 khác 0 tại điểm x₀. Khi đó:

 Nếu

( ) ( )

0 0

' 0

'' 0

f x f x

íï =

ïïì

ï >

ïïî thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm x₀ .

 Nếu

( ) ( )

0 0

' 0

'' 0

f x f x

íï =

ïïì

ï <

ïïî thì hàm số đạt cực đại tại điểm x₀.

Chú ý: Điều ngược lại không đúng. Ví dụ hàm số y = x⁴+ 1 đạt cực tiểu tại x = 0nhưng f ''(0)= 0. NHẬN XÉT:

x a x₀ b '( )

f x + - ( )

f x CĐ

7

a) Hàm số ^{y = f x}

( )

^{= ax3 + bx2 + cx + d a}

(

^{¹ 0}

)

có hai điểm cực trị Û ^{f '}

( )

^{x = 3ax2 + 2bx + c = 0} có hai nghiệm phân biệt.

b) Hàm số ^{y = f x}

( )

^{= ax4 + bx2 + c a}

(

^{¹ 0}

)

có ba điểm cực trị Û ^{f '}

( )

^{x = 4ax3 + 2bx = 0} có ba nghiệm phân biệt.

3. CÁCH VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG ĐI QUA HAI ĐIỂM CỰC TRỊ.

 Dạng 1: Hàm số y = ax³+bx²+cx +d . Chia y cho y' ta được: ^{y = Q x y}

( )

^{. '+ A x + B.}

Khi đó, y = A x + B là đường thẳng đi qua hai điểm cực trị

 Dạng 2 (Nâng cao): Hàm số

ax2 bx c

y dx e

+ +

= +

Đường thẳng qua hai điểm cực trị có dạng

( )

( )

2 ' 2

'

ax bx c a b

y x

d d

dx e

+ +

= = +

+ 4. CÁC VÍ DỤ :

Ví dụ 1: Cho hàm số ¹( ² 1) ³ ( 1) ² 3 5

y = 3 m - x + m + x + x + . Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị.

Lời giải

Tập xác định: D = ¡ . Đạo hàm: y'= (m²- 1)x²+ 2(m + 1)x + 3 ' 0

y = Û (m²- 1)x²+ 2(m + 1)x + 3= 0

Hàm số có hai điểm cực trị Û y'= 0 có hai nghiệm phân biệtÛ

2

2 2

1 0

' ( 1) 3( 1) 0

m

m m

íï - ¹

ïïìïD = + - - >

ïïî

Û ₂ 1

2 2 4 0

m

m m

íï ¹ ±

ïïìï- + + >

ïïî Û ^{1 1}

1 2 1 2

m m

m m

í í

ï ¹ ± ï ¹

ï Û ï

ì ì

ï- < < ï- < <

ï ï

î î

Vậy giá trị m cần tìm là ¹

1 2

m m íï ¹ ïìï - < <

ïî .

Ví dụ 2. Cho hàm số y = mx⁴+ (m²- 9)x²+ 10. Tìm m để hàm số có 3 điểm cực trị.

Lời giải

Tập xác định: D = ¡ . Đạo hàm: y'= 4mx³ + 2(m²- 9)x = 2 .(2x mx²+ m²- 9)

' 0

y = Û ₂0 ₂

2 9 0

x

mx m

é =ê

ê + - =

êë (1)

Hàm số có ba điểm cực trị Û y'= 0 có ba nghiệm phân biệt Û (1) có hai nghiệm phân biệt khác 0

Û ²

2

0

' 2 ( 9) 0

9 0

m

m m m

íï ¹

ïïïïD = - - >

ìïïï - ¹ ïïî

Û

0 3

0 3

3 m

m m m íï ¹ ïïï é < - ïï êì ê

ïê < <

ï ëïï ¹ ïïî

Û ³

0 3

m m é < - êê < <

êë

8 Vậy giá trị m cần tìm là ³

0 3

m m é < - êê < <

êë .

Ví dụ 3: Cho hàm số ^{y = 1}₃^{x3 +}

(

^{m2- m + 2}

)

^{x2 + (3m2 + 1)x + m - 5}. Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại x = - 2 .

Lời giải

Tập xác định: D = ¡ . Đạo hàm: ^{y'= x2 + 2}

(

^{m2 - m + 2}

)

^{x + 3m2 + 1}

Điều kiện cần: Hàm số đạt cực tiểu tại x = - 2 Þ '( 2)y - = 0 Û - m²+ 4m- 3= 0 Û ¹ 3 m m é =ê ê =êë Điều kiện đủ:

Với m = 1, ta có: y'= x²+ 4x + 4, y' = 0Û x = - 2 Bảng biến thiên

x - ¥ - 2 + ¥ '

y + 0 +

y + ¥ - ¥

Từ BBT ta suy ra m = 1 không thỏa.

Với m = 3, ta có: y' = x² +16x + 28, ' 0 ¹⁴ 2 y x

x é = -

= Û êêêë = - Bảng biến thiên

x - ¥ - 14 - 2 + ¥ '

y + 0 - 0 +

y CĐ + ¥ CT

- ¥

Từ BBT ta thấy hàm số đạt cực tiểu tại x = - 2. Vậy giá trị m cần tìm là m = 3

Ví dụ 4: Tìm m để hàm số y = x³+ (1- 2 )m x²+ (2- m x) + m + 2 đạt cực trị tại x₁, x₂ sao cho

1 2

1 x - x > 3.

Lời giải TXĐ: D = ¡ . Ta có: y'= 3x² + 2 1( - 2m x) +(2- m) Hàm số có CĐ, CT Û y'= 0 có 2 nghiệm phân biệt x₁, x₂

2 5

' 0 4 5 0 1;

m m m m 4

Û D > Û - - > Û < - > (*)

Theo định lí Viet: _{1 2} ^{( )} _{1 2}

3

2 1 2 2

3 ;

m m

x x - x x -

+ = - =

Theo giả thiết: 1 2

(

1 2

)

²

(

1 2

)

² 1 2

4 1 1

3 9

x - x > Û x - x = x + x - x x >

4(1 2 )² 4(2 ) 1 16 ² 12 5 0 ^{3 29}; ^{3 29}

8 8

m m m m m - m +

Û - - - > Û - - > Û < >

9 Kết hợp (*), ta suy ra 1; ^{3 29}

m m +8

< - >

Ví dụ 5: Cho hàm số y = x⁴- 2mx²+ m - 1. Tìm m để đồ thị của hàm số có 3 điểm cực trịA, B,C đồng thời các điểm A,B,C tạo thành 3 đỉnh của một tam giác đều.

Giải

TXĐ: D = ¡ . Ta có: y’= 4 (x x²- m).Cho y'= 0 Û x = 0;x² = m. Hàm số có 3 cực trị Û phương trình y'= 0 có 3 nghiệm phân biệtÛ m > 0

Toạ độ 3 điểm cực trị là A(0;m- 1), B(- m;- m²+ m - 1), (C m;- m²+ m - 1) Ta luôn có AB=AC nên tam giác ABC đều khi:

2 2

A B = BC Û m⁴+ m = 4m Û m = ³3 (vì m > 0)

Ví dụ 6: Cho hàm số y = x⁴- 2mx² + 2m + m⁴ (1), với m là tham số thực. Tìm m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị A B C, , đồng thời các điểm A B C, , tạo thành một tam giác vuông.

Lời giải

Tập xác định: D = ¡ . Đạo hàm: y'= 4x³- 4mx = 4 (x x²- m) . y'= 0 Û x₂ 0

x m

é =ê

ê =

êë

Đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị A B C, , Û y'= 0 có ba nghiệm phân biệt Û m > 0 (*) Khi đó y'= 0 có ba nghiệm phân biệt là x = 0, x = ± m

Với x = 0 Þ y = 2m + m⁴

Với x = ± m Þ y = m⁴- m²+ 2m Tọa độ các điểm cực trị A B C, , là

(

^{0;2 4}

)

^;

(

^{; 4 2 2}

) (

^{; ; 4 2 2}

)

A m + m B - m m - m + m C m m - m + m

Suy ra: ^{A Buuur = -}

(

^{m;- m2}

)

^{;A Cuuur =}

(

^{m;- m2}

)

Tam giác A BC vuông Û Tam giác A BC vuông tại A Û A B A C. = 0

uuur uuur

Û ⁴ 0 ⁰

1 m m m

m é =ê

- + = Û êêë = So với (*) suy ra giá trị m cần tìm là m = 1.

Ví dụ 7: Cho hàm số y = x³- 3x²- mx + 2.

a)Viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số.

b)Tìm m để 2 điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị cách đều đường thẳng d y: = x- 1 Lời giải

a)TXĐ: D = ¡ . Tính y’= 3x²- 6x - m.

Hàm số có cực đại và cực tiểuÛ y'= 0có hai nghiệm phân biệt Û D > 0Û m > - 3 Chia đa thứcy cho y’, ta được ( ¹) ' 2( 1) 2

3 3 3 3

x m m

y = - y - + x + -

Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị là : 2( 1) 2

3 3

m m

y x

D = - + + -

b)Giả sử đồ thị có điểm cực đại, cực tiểu là ^{A x y}

(

₁^; ₁

)

^{, B x y}

(

₂^; ₂

)

^.

10 TH1: D/ /d

2(3 1) 1 9 3

2 1 2

3 m

m m

íïï + =

Û ïïïìïï -ïïïî ¹ Û = - < -

(loại)

TH2: Trung điểm của đoạn AB nằm trên d. Toạ độ trung điểm AB là E :

1 2 1

2 x x x

y m

íï +

ï = =

ïïìï ï = - ïïî

Vì^E

(

^{1;- m}

)

^{Î d, suy ra m = 0}

5) BÀI TẬP RÈN LUYỆN

Bài 1. Tìm cực trị của các hàm số sau

a) y = 3x²- 2x³ b) y = x³ - 2x² + 2x - 1 c) y 1x³ x² x

4 15

= - 3 + -

d) y ^x x

4

2 3

= 2 - + e) y = x⁴- 4x²+ 5 f) y ^x x

4

2 3

2 2

= - + +

g) y ^{x x}

x

2 3 6

2

- + +

= + h) y = x²- 2x + 5 i) y = x + 2x- x² Bài 2. Cho hàm số y = x³+ 3x² + mx + m- 2. Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị.

HD: m < 3

Bài 3. Cho hàm số ¹( ² 1) ³ ( 1) ² 3 5

y = 3 m - x + m + x + x + . Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu.

HD: 1- < m < 2 và m ¹ 1.

Bài 4. Xác định m để hàm số y = x³- 3x²+ 3mx + 3m + 4 a)Không có cực trị. b)Có cực đại và cực tiểu.

HD: a) m ³ 1 b)m < 1

Bài 5. Cho hàm số y = x⁴+ (m + 1)x²- 2m- 1. Tìm m để hàm số có 3 điểm cực trị.

HD: m < - 1.

Bài 6. Tìm m để hàm số y = mx⁴+ (m - 1)x²+ 2m

a) Có ba điểm cực trị b) Có cực đại mà không có cực tiếu.

HD: a) 0< m < 1 b)m £ 0

Bài 7. Tìm m để hàm số: ^{y = 1}₃^{x3 +}

(

^{m2 - m + 2}

)

^{x2 +}

(

^{3m2 + 1}

)

^{x + m - 5} đạt cực tiểu tại x = - 2 HD: m = 3

Bài 8. Cho hàm số y = x³- (m+ 1)x²+ (3m- 4)x + 5. Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại x = 1 HD: m = 3.

Bài 9. Cho hàm số y = x³- 3mx² + 9x + 3m- 5. Định m để đồ thị hàm số có cực đại cực tiểu, viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị ấy.

HD: y = (6- 2m x²) + 6m- 5

Bài 10. Cho hàm số ^{2 3} ( 1) ² ( ² 4 3) 1

y = 3x + m + x + m + m + x - . Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị của đồ thị hàm số có hoành độ dương.

HD: 5- < m < - 3.

11

Bài 11. Cho hàm số ^{y = x3 +}

(

^{1- 2m x}

)

^{2 +}

(

^{2- m x}

)

^{+ m+ 2. Định m} để đồ thị hàm số có hai cực trị đồng thời hoành độ của điểm cực tiểu nhỏ hơn 1.

HD: 1;^{5 7}

4 5

m < - < m <

Bài 12. Cho hàm số ^{1 3 2} (2 1) 2 ( )

3 ^m

y = x - mx + m - x- m+ C . Định m để hàm số có hai điểm cực trị cùng dương.

Bài 13. Tìm m để y = x³+ mx²+ 7x + 3 có đường thẳng đi qua CĐ, CT vuông góc với đường thẳng d:

3 7.

y = x -

HD: ^{3 10}

m = ± 2

Bài 14. Tìm m để đồ thị hàm số y = x³ + 3x²+ mx + m - 2 có các điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía đối với trục hoành.

HD: m < 3

Bài 15. Tìm m để đồ thị hàm số y = - x³+ (2m + 1)x²- (m²- 3m + 2)x- 4 có các điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía đối với trục tung.

HD: 1< m < 2

Bài 16. Tìm m để đồ thị hàm số y 1x³ m x² m x

(2 1) 3

= 3 - + - - có các điểm cực đại và cực tiểu nằm về cùng một phía đối với trục tung

HD:m 1 m

; 1

> 2 ¹

Bài 17. Tìm m để đồ thị hàm số y = -x³+ 3mx²- 3m- 1 có các điểm cực đại và cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng d x: + 8y- 74 = 0

HD: m = 2

Bài 18. Tìm m để đồ thị hàm số y = x³- 3x²- mx + 2 có các điểm cực đại và cực tiểu cách đều đường thẳng y = x - 1

HD: m m 3

0; 2

= = -

Bài 19. Tìm m để hàm số ^{1 3}

(

¹

)

^{2 3}

(

²

)

¹

3 3

y = m x - m - x + m - x + đạt cực trị tại x₁, x₂ thỏa mãn

1 2 2 1.

x + x =

HD: 2; ²

m = m = 3

Bài 20. Cho hàm số y = x³+ (m- 1)x²- (2m + 1)x - 2m . Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị x₁ và x2 sao cho x₁² + x₂² = x x_{1 2} + 1.

HD:

Bài 21. Cho hàm số y = mx³- (m + 2)x²+ (m- 1)x + 4. Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị x₁ và x₂ sao cho

2 2 2 2

1 2 1 2

1 1 1

16

x x x x

+ = + .

HD:

12

Bài 22. Cho hàm số ^{y = 2x3 + 3(m - 1)x2 + 6}

(

^{m - 2}

)

^{x- 1. Tìm m} để hàm số có hai điểm cực trị x₁ và x2 sao cho x₁+ x₂ = 2.

HD: m = - 1.

Bài 23. Cho hàm số: ^{1 3 1}

(

^{sin cos}

)

^{2 3sin 2}

3 2 4

y = x - a+ a x + æççççè a xö÷÷÷÷ø . Tìm a để hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại

1, 2

x x vàx₁² + x₂² = x₁+ x₂. HD:

Bài 24. Cho hàm số y = -x³+ 3x²+ 3(m²- 1)x- 3m²- 1. Tìm m để hàm số có cực đại cực tiểu và các điểm cực trị của đồ thị hàm số cách đều gốc tọa độ O .

HD: ¹

m = ± 2.

Bài 25. Cho hàm số ^{y = 2x3 + 3}

(

^{m - 3}

)

^{x2 + 11- 3m . Tìm m} để hàm số đạt CĐ, CT tại hai điểm A, B sao cho 3 điểm A, B, C(0; -1) thẳng hàng.

HD:

Bài 26. Tìm m để đồ thị hàm số y 1x³ m x² 4 m ³

( 1) ( 1)

3 3

= - + + + có các điểm cực đại và cực tiểu nằm

về hai phía của đường tròn ( ) :C x² + y²- 4x + 3= 0

HD: m 1

< 2

Bài 27. Tìm m để đồ thị hàm số y = x³- 3x²- mx + 2 có hai điểm cực đại và cực tiểu là A B, và đường thẳng đi qua hai điểm A B, tạo với đường thẳng d x: + 4y - 5= 0 một góc 45 ⁰

HD: m 1

= - 2

Bài 28. Cho hàm số: y = x⁴- 2mx² + 2m. Xác định m để hàm số có ba điểm cực trị và các điểm cực trị này thỏa

a) Lập thành 1 tam giác đều.

b) Lập thành 1 tam giác vuông.

c) Lập thành 1 tam giác có diện tích bằng 32.

HD: a)m = ³3 b)m = 1 c)m = 4

Bài 29. Tìm m để đồ thị hàm số y x m x ^m

2

4 2

6 2

= + + - có ba điểm cực trị A B C, , sao cho:

a) DA BC là tam giác vuông b) Diện tích DA BC bằng 32

c) Tứ giác A BOC là hình bình hành d) Diện tích tứ giác OA B C bằng 52

HD: a) m = - 2; b) m = - 8; c)m = - 6 d) m = - 8

Bài 30. Tìm m để đồ thị hàm số y = x⁴+ 2mx²+ m²+ m có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác có một góc bằng 120 ⁰

HD: m

3

1 3

= -

13

Bài 31. Cho hàm số y = x⁴- 2mx²+ m²- 2. Tìm m để hàm số có 3 điểm cực trị và các điểm cực trị của đồ thị hàm số là ba đỉnh của một tam giác vuông .

HD: m = 1

Bài 32. Tìm mđể đồ thị hàm số y = x⁴+ (3m +1)x²- 3 có ba điểm cực trị tạo thành tam giác cân có độ dài cạnh đáy bằng ²

3 lần độ dài cạnh bên.

HD: ⁵

m = - 3

Bài 33. Tìm m để đồ thị hàm số y = x⁴- 2(1- m x²) ²+ m + 1 có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác có diện tích lớn nhất

HD: m = 0

Bài 34. Tìm m để đồ thị hàm số y = x⁴- 2mx²+ 2 có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác có đường tròn ngoại tiếp đi qua điểm D 3 9

5 5; æ ö÷

ç ÷

ç ÷

ç ÷

çè ø HD: m = 1

Bài 35. Tìm m để đồ thị hàm số y = x⁴- 2mx²+ m - 1 có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng 1.

HD: m m 1 5

1; 2

- +

= =

Bài 36. Tìm m để đồ thị hàm số y = x⁴- 2mx²+ m có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác có bán kính đường tròn nội tiếp bằng 1.

HD: m = 2

Bài 37. Tìm m để đồ thị hàm số y = x⁴- 2mx²+ m - 2 có ba điểm cực trị A B C, , và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác A BC đạt giá trị nhỏ nhất.

HD:

3

3

3 2 1

min 4 2

R = Û m =

Bài 38. Tìm mđể đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số ^{3 3 2} y = x - 2m x + m tiếp xúc với đường trònx² + y² = 1

HD: m = ± 2

Bài 39. Cho hàm số y = x³ - ³mx² - ³x + ³m+ ²

( )

Cm . Định m để

(

Cm

)

có cực đại cực tiểu đồng thời khoảng cách giữa chúng là bé nhất.

III. KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ

1) CÁC BƯỚC KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ

 Tìm tập xác định của hàm số.

 Xét sự biến thiên của hàm số:

 Tính y.

 Tìm các điểm tại đó đạo hàm y bằng 0 hoặc không xác định.

 Tìm các giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và tìm tiệm cận (nếu có).

 Lập bảng biến thiên ghi rõ dấu của đạo hàm, chiều biến thiên, cực trị của hàm số.

 Vẽ đồ thị của hàm số:

 Tìm điểm đặc biệt của đồ thị (giao điểm của đồ thị với các trục toạ độ Ox Oy, , các điểm đặc biệt

14 khác...).

 Vẽ đồ thị: vẽ tiệm cận, các điểm cực trị, các điểm đặc biệt và cuối cùng vẽ đồ thị

 Nhận xét về đồ thị: Chỉ ra trục đối xứng, tâm đối xứng (nếu có) của đồ thị.

Chú ý: Đối với hàm bậc ba tìm thêm điểm uốn. Cách tìm như sau:

Tính y'', giải pt y''= 0 tìm x₀ Þ y₀ = f x( ₀)Þ điểm uốn I x y( ₀; ₀) 2) CÁC DẠNG ĐỒ THỊ HÀM SỐ:

a) Hàm số bậc ba y = ax³ + bx² + cx + d (a ¹ 0)

 Tập xác định D = ¡ .

 Đồ thị luôn có một điểm uốn I và nhận điểm uốn I làm tâm đối xứng

 Các dạng đồ thị:

a> 0 a < 0

y’= 0có 2 nghiệm phân biệt

y’= 0 có nghiệm kép

y’= 0vô nghiệm

b) Hàm số trùng phương y = ax⁴ + bx² + c a( ¹ 0)

 Tập xác định D = ¡ .

 Đồ thị luôn nhận trục tung làm trục đối xứng.

 Các dạng đồ thị:

y

0 x I y

0 x I

y

x 0 I

y

x 0

I

15 d) Hàm số nhất biến y ^{ax b} c ad bc

cx + d ( 0, 0)

= ¹ - ¹

+

 Tập xác định \ d

D c

í ü

ï ï

ï ï

ì ý

= ¡ ïïî- ïïþ.

 Đồ thị có một tiệm cận đứng là x ^d

= - c và một tiệm cận ngang là y ^a

= c . Giao điểm của hai tiệm cận là tâm đối xứng của đồ thị hàm số.

 Các dạng đồ thị:

Ví dụ: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số:

a)y = x³+ 3x² – 4 b) y = x⁴- 2x² – 3 c) ² 1 y x

x - +

= +

Giải a)y = x³+ 3x² – 4

Tập xác định: D = ¡ .

y x x

x y

y x x

x y

2

2

’ 3 6

0 4

’ 0 3 6 0

2 0

= +

é = Þ = -

= Û + = Û ê = -êêë Þ =

Giới hạn:

x

y

® + ¥lim = + ¥ ;

xlim y

® - ¥ = - ¥

0

– 0

ad bc

x y

0

– 0

ad bc

x y

0

a a0

’ 0

y  có 3 nghiệm phân biệt

y’ 0 chỉ có 1 nghiệm

y

0 x

y

0 x

y

0 x

y

0 x

16 Bảng biến thiên:

Hàm số đồng biến trên

(

^{- ¥ -; 2 ; 0;}

) (

^{+ ¥}

)

, nghịch biến trên

(

^{- 2; 0}

)

Hàm số đạt cực đại tại x = - 2;y_CD = 0, đạt cực tiểu tại x = 0;y_CT = - 4 Điểm đặc biệt:

Điểm uốn: y''= 6x + 6; y''= 0Û 6x + 6= 0Û x = - 1Þ y = - 2 Þ ^I

(

^{- 1; 2-}

)

x -3 -2 -1 0 1

y -4 0 -2 -4 0

Đồ thị:

Nhận xét: Đồ thị nhận điểm uốn^I

(

^{- 1; 2-}

)

làm tâm đối xứng.

b) y = x⁴- 2x² – 3. Tập xác định: D = ¡

( )

y’= 4x³- 4 ;x y’= 0 Û 4x³- 4x = 0Û x 4x² – 4 = 0 Û x = 0; x = 1; x = - 1 Giới hạn:

xlim y

® + ¥ = + ¥ ;

xlim y

® - ¥ = + ¥ Bảng biến thiên:

Đồ thị hàm số đồng biến trên

(

^{- 1; 0 ; 1;}

) (

+ ¥ , nghịch biến trên

) (

^{- ¥ -; 1 ; 0;1}

) ( )

Hàm số đạt cực đại tại x = 0; y_CD = - 3, đạt cực tiểu tại x = ±1; y_CT = - 4 Điểm đặc biệt:

Đồ thị

x -2 -1 0 1 -2

y 5 -4 -3 -4 5

17 Nhận xét: Đồ thị nhận trục tung làm trục đối xứng.

d) y ^x x

2 1 - +

= + .

Tập xác định D = ¡ \ { 1}-

y x D

x ²

’ 3 0,

( 1)

= - < " Î +

.

Hàm số luôn luôn giảm trên mỗi khoảng xác định Giới hạn:

x

y

1

lim

® - -

= - ¥ ;

x

y

1

lim

® - +

= + ¥ Þ x = - là tiệm cận đứng 1

xlim y 1

® - ¥ = - ;

xlim y 1

® + ¥ = - Þ y = - là tiệm cận ngang 1 Bảng biến thiên:

x -∞ -1 +∞

y' - - y -1 +∞

-∞ -1 Hàm số không có cực trị

Điểm đặc biệt

x -3 -2 -1 0 1

y -5/2 -4 || 2 1/2

Đồ thị:

Nhận xét: Đồ thị nhận giao điểm hai đường tiệm cậnI( 1; 1)- - làm tâm đối xứng.

BÀI TẬP RÈN LUYỆN:

Bài 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số:

a) y = x³- 3x²- 9x + 1 b) y = x³+ 3x²+ 3x + 5 c) y = - x³+ 3x²- 2

18 d) y = (x - 1) (4² - x) e)

3

2 1

3 3

y = x - x + f) y = - x³- 3x²- 4x + 2 Bài 2. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số:

a) y = x⁴- 2x²- 1 b) y = x⁴- 4x²+ 1 c)

4

2 5

2 3 2

y = x - x +

d) y = (x - 1) (² x + 1)² e) y = - x⁴+ 2x²+ 2 f) y = - 2x⁴+ 4x²+ 8 Bài 3. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số:

a) ¹

2 y x

x

= +

+ b) ^{2 1}

1 y x

x

= +

- c) ³

4 y x

x

= - -

d) ^{1 2}

1 2

y x

x

= -

+ e) ^{3 1}

3 y x

x

= -

- f) ²

2 1

y x x

= - + III. SỰ TƯƠNG GIAO GIỮA HAI ĐỒ THỊ HÀM SỐ

1. GIAO ĐIỂM CỦA HAI ĐỒ THỊ

Cho hai đồ thị hàm số: y = f x và y( ) = g x( ).(có thể chứa tham số)

 Tọa độ giao điểm của hai đồ thị là nghiệm của hệ phương trình ^{( )} ( ) y f x y g x íï =ï ìï =ïî

 Hoành độ giao điểm của hai đồ thị là nghiệm của phương trình f x m( ; )= g x m( ; ) (1) . Do đó, số nghiệm của (1) chính là số giao điểm của hai đồ thị hàm số.

Đặc biệt: Để tìm số nghiệm của phương trình bậc ba ngoài cách thông thường là nhẩm nghiệm rồi chia đa thức (sơ đồ hoocne), ta còn hai cách sau:

 Cách 1: Biến đổi PT bậc ba f x m( , )= 0 về dạng g x( )= h m( ). Khi đó số nghiệm chính là số giao điểm của đồ thị y = g x( ) và đường thẳng y = h m( ).

 Cách 2: PT bậc ba f x m( , )= 0 có 3 nghiệm phân biệt thì hàm số y = f x m( , ) phải có cực đại, cực tiểu và f_{CD CT}.f < 0.

2. CÁC VÍ DỤ

Ví dụ 1: Tìm tọa độ giao điểm của đường cong (C): ^{2 1}

2 1

y x x

= +

- và đường thẳng y = x + 2. Lời giải

Phương trình hoành độ giao điểm: ^{2 1} 2

2 1

x x

x

+ = +

- (1)

Điều kiện: ¹

x ¹ 2. Khi đó: (1) Û 2x + 1= (2x- 1)(x + 2)Û 2x²+ x- 3= 0 Û

3 1

2 2

1 3

x y

x y

éê = - Þ = êê = Þ = êë

Vậy tọa độ giao điểm cần tìm là ^{3 1}; 2 2

æ ö÷

ç- ÷

ç ÷

ç ÷

çè ø và

( )

^{1; 3}

Ví dụ 2. Cho hàm số ^{2 1} 1 y x

x

= -

- có đồ thị là (C). Tìm m để đường thẳng (d): y = - x + m cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt.

Lời giải

19 Phương trình hoành độ giao điểm: ^{2 1}

1

x x m

x

- = - +

- (1) Điều kiện: x ¹ 1. Khi đó: (1) Û 2x- 1= -( x + m x)( - 1)

Û x²- (m - 1)x + m- 1= 0 (2) (d) cắt (C) tại hai điểm phân biệt Û (1) có hai nghiệm phân biệt

Û (2) có hai nghiệm phân biệt khác 1 Û

( ) ( )

( )

2

1 4 1 0

1 1 .1 1 0

m m

m m

íï é ù

ï D = - - - - >

ï êë úû

ìï - - + - ¹

ïïî

Û m²- 6m + 5> 0 Û m < Ú1 m > 5

Vậy giá trị m cần tìm là m < Ú1 m > 5

Ví dụ 3. Cho hàm số y = mx³- x²- 2x + 8m có đồ thị là

(

Cm

)

. Tìm m đồ thị

(

Cm

)

cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt.

Lời giải

Phương trình hoành độ giao điểm: mx³- x²- 2x + 8m = 0 (1) Û

(

^{x + 2}

)

^é_êë^{m x2 - (2m + 1)x + 4mù}_úû^{= 0 Û} 2

2

(2 1) 4 0

x

mx m x m

é = - êê

- + + =

êë (2)

(

Cm

)

cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt Û (1) có ba nghiệm phân biệt Û (2) có hai nghiệm phân biệt khác - 2Û ²

0

12 4 1 0

12 2 0

m

m m

m íï ¹

ïïïïD = - + + >

ìïï + ¹ ïïïî

Û

0

1 1

6 2

1 6 m

m m íïï ¹

ïïïïï- < <

ìïïï ïï ¹ - ïïî

Û

0

1 1

6 2

m m íï ¹

ïïïìï- < <

ïïïî

Ví dụ 4. Cho hàm số y = x⁴- (3m + 4)x²+ m² có đồ thị là

(

Cm

)

. Tìm m đồ thị

(

Cm

)

cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt.

Lời giải

Phương trình hoành độ giao điểm: x⁴- (3m + 4)x²+ m² = 0 (1) Đặt t = x²

(

^{t ³ 0}

)

Phương trình (1) trở thành: t²- (3m + 4)t + m² = 0 (2)

(

Cm

)

cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt Û (1) có bốn nghiệm phân biệt

Û (2) có hai nghiệm dương phân biệt Û

2 2

5 24 16 0

0

3 4 0

m m

P m

S m

íï D = + + >

ïïïï = >

ìïï = + >

ïïïî

20 Û

4 4

5 0

4 3

m m

m m

íïï < - Ú > - ïïïï ¹

ìïï ïï > - ïïî

Û

4 5 0 m m íïï > - ïïìïï ¹ ïïî

Ví dụ 5: Cho hàm số ¹ 2 y mx

x

= -

+ có đồ thị là

(

Cm

)

. Tìm m để đường thẳng (d): y = 2x - 1 cắt đồ thị

(

Cm

)

tại hai điểm phân biệt ,A B sao cho A B = 10 . Lời giải Phương trình hoành độ giao điểm: ¹ 2 1

2

mx x

x

- = -

+ (1)

Điều kiện: x ¹ - 2

Khi đó: (1) Û mx - 1= (2x- 1)(x + 2)Û 2x²- (m- 3)x- 1= 0 (2) (d) cắt

(

^C_m

)

tại hai điểm phân biệt ,A B Û (1) có hai nghiệm phân biệt

Û (2) có hai nghiệm phân biệt khác - 2Û

(

³

)

^{2 8 0}

8 2 6 1 0

m m

íï é ù

ï D = - - + >

ï êë úû

ìï + - - ¹

ïïî

Û ¹

m ¹ - 2 (*)

Đặt A x

(

1;2x1- 1 ;

) (

B x2;2x2- 1

)

với x x₁, ₂ là hai nghiệm của phương trình (2).

Theo định lý Viet ta có: ^{1 2}

1 2

3 2 1 2 x x m

x x

íï -

ï + =

ïïïìï

ï = -

ïïïî

Khi đó: ^{A B =}

(

^x₁^{- x}₂

)

^{2 + 4}

(

^x₁^{- x}₂

)

^{2 = 10 Û 5éê}_ê

(

^x₁ ^{+ x}₂

)

^{2- 4x x}_{1 2}^ùú_ú^{= 10}

ë û

Û

3 2

2 2

2 æm - ö÷

ç ÷ + =

ç ÷

ç ÷

çè ø Û m = 3 [thỏa mãn (*)]

Vậy giá trị m cần tìm là m = 3

Ví dụ 6: Gọi d là đường thẳng đi qua điểm A( 1; 0)- với hệ số góc k (k Î ¡ ). Tìm k để đường thẳng d_k cắt đồ thị hàm số y = x³- 3x²+ 4(C) tại ba điểm phân biệt A, B, C và tam giác OBC có diện tích bằng

1(O là gốc tọa độ).

Lời giải

Đường thẳng d đi qua ( 1; 0)A - và có hệ số góc k nên có