7 GIỚI HẠN HÀM SỐ

MỤC LỤC

PHẦN I – ĐỀ BÀI ... 4

GIỚI HẠN DÃY SỐ ... 4

A – LÝ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP ... 4

B – BÀI TẬP ... 4

DẠNG 1: TÍNH GIỚI HẠN BẰNG ĐỊNH NGHĨA ... 4

DẠNG 2: TÌM GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ DỰA VÀO CÁC ĐỊNH LÝ VÀ CÁC GIỚI HẠN CƠ BẢN ... 7

GIỚI HẠN HÀM SỐ ... 15

A – LÝ THUYẾT TÓM TẮT ... 15

B – BÀI TẬP ... 15

DẠNG 1: TÍNH GIỚI HẠN DẠNG BẰNG ĐỊNH NGHĨA HOẶC TẠI MỘT ĐIỂM ... 15

DẠNG 2: TÍNH GIỚI HẠN DẠNG VÔ ĐỊNH ⁰ 0 ... 18

DẠNG 3: TÍNH GIỚI HẠN DẠNG VÔ ĐỊNH ^  ... 23

DẠNG 4: GIỚI HẠN MỘ BÊN VÀ CÁC DẠNG VÔ ĐỊNH KHÁC... 27

DẠNG 5 : GIỚI HẠN LƯỢNG GIÁC ... 29

HÀM SỐ LIÊN TỤC ... 32

A – LÝ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP ... 32

B – BÀI TẬP ... 32

DẠNG 1: TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM ... 32

DẠNG 2: TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ TRÊN TẬP XÁC ĐỊNH ... 37

DẠNG 3: ÁP DỤNG TÍNH LIÊN TỤC XÉT SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH ... 41

ÔN TẬP CHƯƠNG IV... 42

PHẦN II – HƯỚNG DẪN GIẢI ... 50

GIỚI HẠN DÃY SỐ ... 50

A – LÝ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP ... 50

B – BÀI TẬP ... 50

DẠNG 1: TÍNH GIỚI HẠN BẰNG ĐỊNH NGHĨA ... 50

DẠNG 2: TÌM GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ DỰA VÀO CÁC ĐỊNH LÝ VÀ CÁC GIỚI HẠN CƠ BẢN ... 55

GIỚI HẠN HÀM SỐ ... 78

A – LÝ THUYẾT TÓM TẮT ... 78

B – BÀI TẬP ... 78

DẠNG 1: TÍNH GIỚI HẠN DẠNG BẰNG ĐỊNH NGHĨA HOẶC TẠI MỘT ĐIỂM ... 78

DẠNG 2: TÍNH GIỚI HẠN DẠNG VÔ ĐỊNH ⁰

0 ... 85

DẠNG 3: TÍNH GIỚI HẠN DẠNG VÔ ĐỊNH ^  ... 95

DẠNG 4: GIỚI HẠN MỘ BÊN VÀ CÁC DẠNG VÔ ĐỊNH KHÁC ... 106

DẠNG 5 : GIỚI HẠN LƯỢNG GIÁC ... 110

HÀM SỐ LIÊN TỤC ... 118

A – LÝ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP ... 118

B – BÀI TẬP ... 118

DẠNG 1: TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM ... 118

DẠNG 2: TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ TRÊN TẬP XÁC ĐỊNH ... 126

DẠNG 3: ÁP DỤNG TÍNH LIÊN TỤC XÉT SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH ... 135

ĐÁP ÁN ÔN TẬP CHƯƠNG IV ... 136

PHẦN I – ĐỀ BÀI GIỚI HẠN DÃY SỐ A – LÝ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP

GIỚI HẠN HỮU HẠN GIỚI HẠN VÔ CỰC

1. Giới hạn đặc biệt:

lim 1 0

n^n ; 1

lim 0 ( )

n k k

n





  lim ⁿ 0 ( 1)

n q q

   ; lim

n C C



 2.Định lí :

a) Nếu lim u_n = a, lim vn = b thì

lim (un + vn) = a + b

lim (un – vn) = a – b

lim (un.vn) = a.b

 lim ⁿ

n

u a

v b (nếu b  0) b) Nếu un  0, n và lim un= a thì a  0 và lim u_n  a

c) Nếu u_n v_n,n và lim v_n = 0 thì lim u_n = 0

d) Nếu lim u_n = a thì lim u_n  a 3. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn

S = u₁ + u₁q + u₁q² + … = ¹ 1

u q





^{q 1}



1. Giới hạn đặc biệt:

lim n   limn^k  (k^) limqⁿ   (q1)

2. Định lí:

a) Nếu lim u_n   thì lim ¹ 0 un  b) Nếu lim un = a, lim vn =  thì lim ⁿ

n

u v = 0 c) Nếu lim un = a  0, lim vn = 0

thì lim ⁿ

n

u

v = . 0

. ⁿ_n 0 neáu a v neáu a v

 

 



d) Nếu lim un = +, lim vn = a

thì lim(un.vn) = ⁰

0 neáu a neáu a

 

 



* Khi tính giới hạn có một trong các dạng vô định: ⁰

0, ^

,  – , 0. thì phải tìm cách khử dạng vô định.

B – BÀI TẬP

DẠNG 1: TÍNH GIỚI HẠN BẰNG ĐỊNH NGHĨA Phương pháp:

 Để chứng minh limu_n 0 ta chứng minh với mọi số a0 nhỏ tùy ý luôn tồn tại một số n_a sao cho u_n a  n n_a.

 Để chứng minh limu_n l ta chứng minh lim(u_nl)0.

 Để chứng minh limu_n   ta chứng minh với mọi số M 0 lớn tùy ý, luôn tồn tại số tự nhiên nM sao cho u_n M  n n_M.

 Để chứng minh limu_n   ta chứng minh lim(u_n) .

 Một dãy số nếu có giới hạn thì giới hạn đó là duy nhất.

Câu 1. Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:

A. Nếu limu_n  , thì limu_n  . B.Nếu limu_n  , thì limu_n  . C.Nếu limu_n 0, thì limu_n 0. D.Nếu limu_n  a, thì lim u_n a.

Câu 2. Giá trị của lim ¹ 1



n bằng:

A. 0 B.1 C.2 D. 3

Câu 3. Giá trị của lim ¹_k

n (k*) bằng:

A. 0 B.2 C.4 D. 5

Câu 4. Giá trị của

sin2

lim 2 n

n bằng:

A. 0 B.3 C.5 D. 8

Câu 5. Giá trị của lim(2n1) bằng:

A.  B.  C.0 D. 1

Câu 6. Giá trị của 1 2

lim n

n bằng:

A.  B.  C.0 D. 1

Câu 7. Giá trị của lim ² 1



n bằng:

A.  B.  C.0 D. 1

Câu 8. Giá trị của lim^cos ₂ ^sin 1





n n

n bằng:

A.  B.  C.0 D. 1

Câu 9. Giá trị của lim ¹ 2



 n

n bằng:

A.  B.  C.0 D. 1

Câu 10. Giá trị của

3 2

lim3n n

n bằng:

A.  B.  C.0 D. 1

Câu 11. Giá trị của lim ² 1



 n

n bằng:

A.  B.  C.0 D. 1

Câu 12. Giá trị của lim^{2 1} 2

 

 A n

n bằng:

A.  B.  C.2 D. 1

Câu 13. Giá trị của lim²₂ ³ 1

 

 B n

n bằng:

A.  B.  C.0 D. 1

Câu 14. Giá trị của

2 1

lim 1

 

 C n

n bằng:

A.  B.  C.0 D. 1

Câu 15. Giá trị của lim ² 2

 n n

A n bằng:

A.  B.  C. ¹

2 D. 1

Câu 16. Giá trị của

2 2

sin 3

lim 

 n n n

B n bằng:

A.  B.  C. 3 D. 1

Câu 17. Giá trị của

2

lim 1

2 7

  

C

n n bằng:

A.  B.  C.0 D. 1

Câu 18. Giá trị của

2

4 1

lim

3 2

 

  D n

n n

bằng:

A.  B.  C.0 D.4

Câu 19. Giá trị của lim 0

!  an

n bằng:

A.  B.  C.0 D. 1

Câu 20. Giá trị của limⁿ a với a0 bằng:

A.  B.  C.0 D. 1

DẠNG 2: TÌM GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ DỰA VÀO CÁC ĐỊNH LÝ VÀ CÁC GIỚI HẠN CƠ BẢN

Phương pháp:

 Sử dụng các định lí về giới hạn, biến đổi đưa về các giới hạn cơ bản.

 Khi tìm lim ^{( )} ( ) f n

g n ta thường chia cả tử và mẫu cho n^k, trong đó k là bậc lớn nhất của tử và mẫu.

 Khi tìm lim^k f n( )^mg n( ) trong đó lim ( )f n lim ( )g n   ta thường tách và sử dụng phương pháp nhân lượng liên hơn.

+ Dùng các hằng đẳng thức:



a b



a b



 a b;



³a³b

 

³a² ³ab³b²



 a b

 Dùng định lí kẹp: Nếu u_n v_n,n và lim v_n = 0 thì lim u_n = 0

Khi tính các giới hạn dạng phân thức, ta chú ý một số trường hợp sau đây:

Nếu bậc của tử nhỏ hơn bậc của mẫu thì kết quả của giới hạn đó bằng 0.

Nếu bậc của từ bằng bậc của mẫu thì kết quả của giới hạn đó bằng tỉ số các hệ số của luỹ thừa cao nhất của tử và của mẫu.

Nếu bậc của tử lớn hơn bậc của mẫu thì kết quả của giới hạn đó là + nếu hệ số cao nhất của tử và mẫu cùng dấu và kết quả là – nếu hệ số cao nhất của tử và mẫu trái dấu.

Câu 1. Cho dãy số

 

un với

4

n n

u n và ^{1 1} 2

 

n n

u

u . Chọn giá trị đúng của limu_n trong các số sau:

A. ¹

4. B. ¹

2. C. 0 . D. 1.

Câu 2. Kết quả đúng của lim 5 ^{cos 2}₂ 1

 

  

  

n n

n là:

A. 4. B.5. C.–4. D. .

Câu 3. Giá trị của. lim^{2 1} 1 3

 

 A n

n bằng:

A.  B.  C. ²

3 D. 1

Câu 4. Giá trị của.

2 2

4 3 1

lim (3 1)

 

 

n n

B n bằng:

A.  B.  C. ⁴

9 D. 1

Câu 5. Kết quả đúng của

2 4

2 1

lim

3 2

  



n n

n

là A. ³

 3 . B. ²

3. C. ¹

2. D. ¹

2. Câu 6. Giới hạn dãy số

 

un với

3 4

4 5

 

n  u n n

n là:

4 1

A. . B. . C. ³

4. D. 0 .

Câu 7. Chọn kết quả đúng của

3 2 5

lim 3 5

 



n n

n :

A. 5 . B. ²

5. C. . D. .

Câu 8. Giá trị của

2 2

2 3 1

lim 3 2

 

  

n n

A n n bằng:

A.  B.  C. ²

3 D. 1

Câu 9. Giá trị của

2 2

lim 2

3 1

 

 

n n

B

n n

bằng:

A.  B.  C.0 D. ¹

1 3 Câu 10. Giá trị của



²



⁴

 

⁹

17

2 1 2

lim 1

 

 

n n

C n bằng:

A.  B.  C.16 D. 1

Câu 11. Giá trị của

3

2 3

4 4

1 3 2

lim

2 2

  



  

n n

D

n n n

bằng:

A.  B.  C.

3 4

1 3

2 1



 D. 1

Câu 12. Giá trị của

4 3 4

3 1

lim

2 3 1

  

  

n n

C

n n n

bằng:

A.  B.  C.0 D. 1

Câu 13. Giá trị của.

7 3

2 5

( 2) (2 1)

lim ( 2)

 

 

n n

F n bằng:

A.  B.  C.8 D. 1

Câu 14. Giá trị của.

3 2

lim 1

(2 1)

 

 C n

n n bằng:

A.  B.  C. ¹

4 D. 1

Câu 15. Giá trị của.

3 2

4 3

3 2

lim 4 1

 

  

n n

D n n bằng:

A.  B.  C.0 D. 1

Câu 16. Giá trị của.

3 2 1

lim 2

 

 

n n

E n bằng:

A.  B.  C.0 D. 1

Câu 17. Giá trị của.

4 4

3 3

2 1 2

lim 3

  



 

n n n

F

n n n

bằng:

A.  B.  C.

3

3

3 1 D. 1

Câu 18. Cho dãy sốu_n với



¹



₄² ₂²

1

  

 

n

u n n

n n . Chọn kết quả đúng của limu_n là:

A.. B.0 . C.1 . D..

Câu 19.

4 2

lim 10

1

  n n

bằng :

A.. B.10 . C.0 . D..

Câu 20. Tính giới hạn: 1 4

lim 1

 

  n

n n

A.1. B.0 . C.1 D.¹

2.

Câu 21. Tính giới hạn:

 

2

1 3 5 .... 2 1

lim 3 4

    

 n n

A.0 . B.¹

3. C.²

3. D.1.

Câu 22. Chọn kết quả đúng của

2 2

1 1

lim 3

3 2

  

 ⁿ

n

n .

A. 4. B. 3 . C. 2. D. ¹

2.

Câu 23. Giá trị của ^{1 0}

1 0

lim ...

...

  

   

k k

p p

a n a n a

D b n b n b (Trong đó k p, là các số nguyên dương; a b_{k p} 0).

bằng:

A.  B.  C.Đáp án khác D. 1

Câu 24. Kết quả đúng của

2 5 2

lim3 2.5

 



n n n là:

A. ⁵

2. B. ¹

50. C. ⁵

2. D. ²⁵

 2 . Câu 25.

3 4.2 1 3 lim 3.2 4

  



n n

n n bằng:

A. . B. . C. 0 . D. 1.

Câu 26. Giá trị của lim ^3.2₁ ³₁ 2 ^ 3 ^

 



n n

n n

C bằng:

A.  B.  C. ¹

3 D. 1

Câu 27. Giá trị đúng của ^{lim 3}



^n5n



^là:

A. . B. . C. 2. D. 2.

Câu 28. Giá trị của. lim ^3.2₁ ³₁ 2 ^ 3 ^

 



n n

n n

K bằng:

A. ¹

3 B.  C.2 D. 1

Câu 29. lim^{5 1} 3 1





n

n bằng :

A.. B.1 . C.0 D..

Câu 30.

1 4

2

4 2

lim 3 4









n n

n n bằng :

A.0 . B.¹

2. C.¹

4. D..

Câu 31. Giá trị của. 3.3₁ 4₁ lim 3 ^ 4 ^

 



n n

n n

C bằng:

A.  B. ¹

2 C.0 D. 1

Câu 32. Cho các số thực a,b thỏa a 1;b 1. Tìm giới hạn

2 2

1 ...

lim1 ...

   

    

n n

a a a

I b b b .

A.  B.  C. ¹

1



 b

a D. 1

Câu 33. Tính giới hạn của dãy số

1

1 1 0

1

1 1 0

. ...

lim . ...









   

    

k k

k k

p p

p p

a n a n a n a

A b n b n b n b với a b_{k p} 0 . :

A.  B.  C.Đáp án khác D. 1

Câu 34. lim ²sin 2 ³ 5

 

  

 

n n n

bằng:

A. . B. 0 . C. 2. D. .

Câu 35. Giá trị của. ^{M lim}



^n26nn



^bằng:

A.  B.  C.3 D. 1

Câu 36. Giá trị của. ^{H lim}



^{n2  n 1 n}



^bằng:

A.  B.  C. ¹

2 D. 1

Câu 37. Giá trị của ^Blim



^{2n2 1 n}



^bằng:

A.  B.  C.0 D. 1

Bài 40. Giá trị của ^{K limn}



^{n2 1 n}



^bằng:

A.  B.  C. ¹

2 D. 1

Câu 38. Giá trị đúng của ^lim



^{n2 1 3n22}



^là:

A. . B. . C. 0 . D. 1.

Câu 39. Giá trị của ^Alim



^n26nn



^bằng:

A.  B.  C. 3 D. 1

Câu 40. Giá trị của ^Blim



^{3n39n2 n}



^bằng:

A.  B.  C. 0 D.3

Câu 41. Giá trị của ^Dlim



^{n22n3 n32n2}



^bằng:

A.  B.  C. ¹

3 D. 1

Câu 42. Giá trị của. ^{M lim}



^{31n28n3 2n}



^bằng:

A. ¹

12 B.  C.0 D. 1

Câu 43. Giá trị của. ^{N lim}



^{4n2  1 38n3n}



^bằng:

A.  B.  C. 0 D. 1

Câu 44. Giá trị của. ^{K lim}



^{3 n3n2 1 3 4n2  n 1 5n}



^bằng:

A.  B.  C. ⁵

12 D. 1

Câu 45. Giá trị của. ^{N lim}



^{3n33n2 1 n}



^bằng:

A.  B.  C.0 D. 1

Câu 46. Giá trị đúng của ^lim_ ⁿ



^{n 1 n1}



^_ ^là:

A. 1. B. 0 . C. 1. D. .

Câu 47. Giá trị của. ^{H limn}



^{38n3n 4n23}



^bằng:

A.  B.  C. ²

3 D. 1

Câu 48. Giá trị của ^Alim



^{n22n2n}



^bằng:

A.  B.  C.2 D. 1

Câu 49. lim 200 3⁵  n⁵ 2n² bằng :

A.0 . B.1. C.. D..

Câu 50. Giá trị của.

3 3

2 sin 2 1

lim 1

 

 

n n

A n bằng:

A.  B.  C.2 D. 1

Câu 51. Giá trị của.

n 3

lim !

2



 B n

n n

bằng:

A.  B.  C.0 D. 1

Câu 52. Giá trị của.

2 2 2

lim 1

( 3 2 3 1)

 

  

D n

n n n

bằng:

A.  B.  C. ²

3 D. 1

Câu 53. Giá trị của. Elim( n²  n 1 2 )n bằng:

A.  B.  C.0 D. 1

Câu 54. Giá trị của. ^{F lim}



^{n 1 n}



^bằng:

A.  B.  C.0 D. 1

Câu 55. Giá trị của. H lim(^k n² 1 ^pn²1) bằng:

A.  B.  C.Đáp án khác D. 1

Câu 56. Tính giới hạn của dãy số ^{1 1} ... ¹

2 1 2 3 2 2 3 ( 1) 1

   

    

un

n n n n :

A.  B.  C.0 D. 1

Câu 57. Tính giới hạn của dãy số

3 3 3

3

( 1) 1 2 ...

3 2

   

  

n

n n

u n n :

A.  B.  C. ¹

9 D. 1

Câu 58. Tính giới hạn của dãy số

1 2

1 1 1

(1 )(1 )...(1 )

   

n

n

u T T T trong đó ^{( 1)}

2

 

n

T n n . :

A.  B.  C. ¹

3 D. 1

Câu 59. Tính giới hạn của dãy số

3 3 3

3 3 3

2 1 3 1 1

. ....

2 1 3 1 1

  

   

n

u n

n . :

A.  B.  C. ²

3 D. 1

Câu 60. Tính giới hạn của dãy số

1

2 1

 2







n

n k

k

u k . :

A.  B.  C.3 D. 1

Câu 61. Tính giới hạn của dãy số u_n q2q²...nqⁿ với q 1 . :

A.  B.  C.



^1



²

q

q D.



^1



²

q q Câu 62. Tính giới hạn của dãy số ₂

1









n n

k

u n

n k . :

A.  B.  C.3 D. 1

Câu 63. Tính giới hạn của dãy số

3 6 4

2

1 4 2 1

lim (2 3)

    

 

n n n n

B n . :

A.  B.  C.3 D. ³

4

 Câu 64. Tính giới hạn của dãy số ^Clim



^{4n2  n 1 2n}



^{. :}

A.  B.  C.3 D. ¹

4 Câu 65. Tính giới hạn của dãy số ^Dlim



^{n2  n 1 23 n3n2 1 n}



^{. :}

A.  B.  C. ¹

6 D. 1

Câu 66. Cho dãy số (x_n) xác định bởi ₁ ¹, ₁ ² , 1 2 ^

 _n  _n  _n  

x x x x n

Đặt

1 2

1 1 1

1 1 1

   

   

n

n

S x x x . Tính limS_n.

A.  B.  C.2 D. 1

Câu 67. Cho dãy (x_k) được xác định như sau: ^{1 2} ...

2! 3! ( 1)!

   

k  x k

k Tìm limu_n với u_n ⁿ x₁ⁿx₂ⁿ...x₂₀₁₁ⁿ .

A.  B.  C. 1 ¹ 2012!

 D. 1 ¹

2012!



Câu 68. Cho dãy số (u_n) được xác định bởi:

0

1 2

2011 1



 

  

 ^{n n n} u

u u

u

. Tìm

3

limuⁿ n .

A.  B.  C.3 D. 1

Câu 69. Cho dãy x0 xác định như sau: ( )  ^{1 1}

 x

f x x . Tìm



^0;



^.

A.  B.  C.2010 D. 1

Câu 70. Tìm limu_n biết . 1 3 5 ... (2₂ 1)

2 1

    

 

n

n n

u n

A.  B.  C. ¹

2 D. 1

Câu 71. Tìm limu_n biết

3 2 2 1

khi 1

( ) 1

3 2 khi 1

   



  

  



x x

f x x x

m x

A.  B.  C.2 D.

3 6 2 Câu 72. Tìm limu_n biết

2

1 1 khi 0 ( )

2 3 1 khi 0

  

 

 

   



x x

f x x

x m x

A.  B.  C.2 D. 1

Câu 73. Tìm limu_n biết

2

2 4 3 khi 2

( ) 1

khi 2

2 3 2

   

  

 

  



x x

f x x

x mx m x

trong đó x1.

A.  B.  C. ¹

3 D. 1

Câu 74. Tìm limu_n biết

1 2

1









n n

k

u

n k

A.  B.  C.3 D. 1

Câu 75. Tìm limu_n biết

dau can

2 2... 2



n n

u

A.  B.  C.2 D. 1

Câu 76. Gọi g x( )0,  x 2 là dãy số xác định bởi . Tìm _x^lim_2^{ f x( )}_x^lim_2^



^{2x 4 3}



^3.

A.  B.  C. ⁴

3 D. 1

Câu 77. Cho dãy số

2 2

2 2 2 2

1 1 2 1 2 2 1 2

1 1 1

3 0

2 4 2

   

        

   

A x x x x x x x x được xác định như sau

1 2

x x .

Đặt ³

 2

x . Tìm x³2x3 3 2 x 4 0.

A.  B.  C. ¹

2 D.1

Câu 78. Cho ^{a b, , ( , ) 1;a b  n}



^{ab1,ab2,...}



^{. Kí hiệu} rn là số cặp số ( , )u v ^^ sao cho

 

n au bv. Tìm lim ¹

 ⁿ 

n

r

n ab.

A.  B.  C. ¹

ab D. ab1

Câu 79. Cho dãy số có giới hạn (un) xác định bởi :

1

1

1 2

1 , 1

 2

 





  

 

 ^{n n}

u

u n

u

. Tìm kết quả đúng của limu_n .

A.0 . B.1. C.1. D.¹

2 Câu 80. Tìm giá trị đúng của 2 1 ^{1 1 1} ... ¹ ...

2 4 8 2

 

        

 ⁿ 

S .

A. 2 1 . B. 2 . C.2 2 . D.¹

2 . Câu 81. Tính giới hạn:

 

1 1 1

lim ....

1.2 2.3 1

 

  

 

 n n 

A.0 B.1. C.³

2. D. Không có giới

hạn.

Câu 82. Tính giới hạn:

 

1 1 1

lim ....

1.3 3.5 2 1

 

  

 

 n n 

A.1. B.0 . C.²

3. D.2.

Câu 83. Tính giới hạn:

 

1 1 1

lim ....

1.3 2.4 2

 

  

 

 n n 

A.³

4. B.1. C.0 . D.²

3. Câu 84. Tính giới hạn: 1 1 1

lim ...

1.4 2.5 ( 3)

 

  

  

 n n .

A. ¹¹

18. B. 2. C.1. D. ³

2. Câu 85. Tính giới hạn: 1₂ 1₂ 1₂

lim 1 1 ... 1

2 3

     

  

     

 

     

 n .

A. 1. B. ¹

2. C. ¹

4. D. ³

2.

GIỚI HẠN HÀM SỐ A – LÝ THUYẾT TĨM TẮT

Giới hạn hữu hạn Giới hạn vơ cực, giới hạn ở vơ cực 1. Giới hạn đặc biệt:

0

lim 0

x x x x



 ;

0

xlimx c c



 (c: hằng số)

2. Định lí:

a) Nếu

0

lim ( )

x x f x L



 và

0

lim ( )

x x g x M





thì:

 

0

lim ( ) ( )

x x f x g x L M

   

 

0

lim ( ) ( )

x x f x g x L M

   

 

0

lim ( ). ( ) .

x x f x g x L M

 

0

lim ( ) ( )

x x

f x L

g x M



 (nếu M  0) b) Nếu f(x)  0 và

0

lim ( )

x x f x L

 

thì L  0 và

0

lim ( )

x x f x L



 c) Nếu

0

lim ( )

x x f x L



 thì

0

lim ( )

x x f x L

 

3. Giới hạn một bên:

0

lim ( )

x x f x L



 

0 0

lim ( ) lim ( )

x x x x

f x f x L

 

 

 

1. Giới hạn đặc biệt:

lim ^k

x x

  ; lim ^k

x

nếu k chẵn x nếu k lẻ



 



xlim c c

  ; lim 0

x k

c x

 

0

lim 1

x ^ x

 ;

0

lim 1

x ^ x

 

0 0

1 1

lim lim

x ^ x x ^ x

  

2. Định lí:

Nếu

0

lim ( )

x x f x L



  0 và

0

lim ( )

x x g x



  thì:

0 0

0

lim ( ) lim ( ) ( )

lim ( )

x x x x

x x

nếu L và g x cùng dấu f x g x

nếu L và g x trái dấu









 



0

0 0

0

0 lim ( )

lim ( ) lim ( ) 0 . ( ) 0

( )

lim ( ) 0 . ( ) 0

x x

x x x x

x x

nếu g x

f x nếu g x và L g x

g x

nếu g x và L g x



 



  



   



  



* Khi tính giới hạn cĩ một trong các dạng vơ định: ⁰ 0,



,  – , 0. thì phải tìm cách khử dạng vơ định.

B – BÀI TẬP

DẠNG 1: TÍNH GIỚI HẠN DẠNG BẰNG ĐỊNH NGHĨA HOẶC TẠI MỘT ĐIỂM

Phương pháp:

+ Sử dụng định nghĩa chuyển giới hạn của hàm số về giới hạn của dãy số.

+ Nếu f x( ) là hàm số cho bởi một cơng thức thì giá trị giới hạn bằng _{f x( )0}

+ Nếu f x( ) cho bởi nhiều cơng thức, khi đĩ ta sử dụng điều kiện để hàm số cĩ giới hạn ( Giới hạn trái bằng giới hạn phải).

Câu 1. Chọn kết quả đúng trong các kết quả sau của

3 2

1 5

2 1

lim^ 2 1

 



x

x x

x là:

A. 2. B. ¹

2. C. ¹

2. D. 2.

Câu 2.

3 2 2

4 1

lim^ 3 2



 

x

x

x x bằng:

A.. B. ¹¹.

 4 . C. ¹¹.

4 . D. .

Câu 3. Tìm giới hạn hàm số

1

lim 1 2







x

x

x bằng định nghĩa.

A.  B.  C. 2 D. 1

Câu 4. Tìm giới hạn hàm số ^lim_x2



^x31



bằng định nghĩa.

A.  B.  C.9 D. 1

Câu 5. Tìm giới hạn hàm số

1

3 2 lim^ 1

 



x

x

x bằng định nghĩa.

A.  B.  C. 2 D. ¹

4 Câu 6. Tìm giới hạn hàm số lim ³

2







x

x

x bằng định nghĩa.

A.  B.  C. 2 D. 1

Câu 7. Tìm giới hạn hàm số

2 2 1

lim^ 2

 



x

x x

x bằng định nghĩa.

A.  B.  C. 2 D. 1

Câu 8. Tìm giới hạn hàm số

1

3 2

lim^ 2 1





x

x

x bằng định nghĩa.

A.  B.  C.5 D. 1

Câu 9. Cho hàm số

   

2 3

4 3

( ) 2 1 2

 

 

x x

f x x x . Chọn kết quả đúng của

lim ( )2



x f x :

A. ⁵

9. B. ⁵

3 . C. ⁵

9 . D. ²

9 . Câu 10. Tìm giới hạn hàm số

0

4 2 lim^ 2

 

x

x

x bằng định nghĩa.

A.  B. ¹

8 C. 2 D. 1

Câu 11. Tìm giới hạn hàm số

1

4 3

lim^ 1





x

x

x bằng định nghĩa.

A.  B.  C. 2 D. 1

Câu 12. Tìm giới hạn hàm số

2

3 1

lim^{ } 2





x

x

x bằng định nghĩa.

A.  B.  C. 2 D. 1

Câu 13. Tìm giới hạn hàm số

2 1

2 3

lim^ 1

 



x

x x

x bằng định nghĩa.

A.  B. 5 C. 2 D. 1

Câu 14. Tìm giới hạn hàm số

 

⁴

2

lim 1

 2



x  x

x

bằng định nghĩa.

A.  B.  C. 2 D. 1

Câu 15. Tìm giới hạn hàm số

2 2

lim 3

2 1

 

x

x

x bằng định nghĩa.

A.  B.  C. ³

2 D. 1

Câu 16. Tìm giới hạn hàm số _x^lim_



^{x2 x 1}



bằng định nghĩa.

A.  B.  C. 2 D. 1

Câu 17. Tìm giới hạn hàm số

   

2 2 4

lim 4

 1 2





 

x

x

x x

bằng định nghĩa.

A.  B.  C.0 D. 1

Câu 18. Tìm giới hạn hàm số

2 1

3 2

lim^ 1

 



x

x x

x bằng định nghĩa.

A.  B.  C. 2 D. 1

Câu 19. Tìm giới hạn hàm số

2 1

lim 1

1



  



x

x x

A x bằng định nghĩa.

A.  B.  C. ¹

2 D. 1

Câu 20. Tìm giới hạn hàm số

6

2 tan 1 lim sin 1

 



x

B x

x

 bằng định nghĩa.

A.  B.  C. ^{4 3 6}

9

 D. 1

Câu 21. Tìm giới hạn hàm số

3 0

2 1

lim^ 3 1

  

^x 

x x

C x bằng định nghĩa.

A.  B.  C. ³ 2 1 D. 1

Câu 22. Tìm giới hạn hàm số

3 1

7 1 1

lim^ 2

  



x

D x

x bằng định nghĩa.

A.  B.  C. 2 D. 3

Câu 23. Tìm giới hạn hàm số ₂

2

lim 1

4



 

 

x

A x

x x bằng định nghĩa.

A.  B.  C. ¹

6 D. 1

Câu 24. Tìm giới hạn hàm số

2

6

sin 2x 3cos lim tan

 

x

B x

 x bằng định nghĩa.

A.  B.  C. ^{3 3 9}

4 2 D. 1

Câu 25. Tìm giới hạn hàm số

2 3

1 2

2 1 2 3

lim^ 3 2

   

 ^x 

x x x

C x bằng định nghĩa.

A.  B.  C. ^{3 3 9}

4 2 D. 2³ 5

Câu 26. Tìm giới hạn hàm số

1 3

3 1 2

lim^ 3 1 2

  

 

x

D x

x bằng định nghĩa.

A.  B.  C. ¹

6 D.0

Câu 27. Cho hàm số

 

2 3 khi 2

1 khi 2

  

   

x x

f x x x . Chọn kết quả đúng của

 

lim2



x f x :

A. 1. B. 0 . C.1. D.Không tồn tại.

Câu 28. Tìm a để hàm số sau có giới hạn khi x2

2 2

1 khi 2 ( ) 2 1 khi 2

   

 

  



x ax x

f x x x x .

A.  B.  C. ¹

2 D. 1

Câu 29. Tìm a để hàm số sau có giới hạn tại x0

2 2

5 3 2 1 0

( )

1 2 0

    

 

    



ax x a khi x

f x

x x x khi x

.

A.  B.  C. ²

2 D. 1

Câu 30. Tìm a để hàm số.

2 2

5 3 2 1 0

( )

1 2 0

    

 

    



ax x a khi x

f x

x x x khi x

có giới hạn tại x0

A.  B.  C. ²

2 D. 1

Câu 31. Tìm a để hàm số.

2 2

1 khi 1 ( )

2 3 khi 1

   

 

  



x ax x

f x

x x a x

có giới hạn khi x1.

A.  B.  C. ¹

6 D. 1

DẠNG 2: TÍNH GIỚI HẠN DẠNG VÔ ĐỊNH 0

0 1. L =

0

lim ( ) ( )

 x x

P x

Q x với P(x), Q(x) là các đa thức và P(x₀) = Q(x₀) = 0 Phân tích cả tử và mẫu thành nhân tử và rút gọn.

Chú ý:

+ Nếu tam thức bậc hai ax²bx+c có hai nghiệm x x₁, ₂ thì ta luôn có sự phân tích

2

1 2

( )( )

    

ax bx c a x x x x .

+ aⁿ bⁿ (a b a )( ^n1a^n2b...ab^n2b^n1) 2. L =

0

lim ( ) ( )

 x x

P x

Q x với P(x0) = Q(x0) = 0 và P(x), Q(x) là các biểu thức chứa căn cùng bậc Sử dụng các hằng đẳng thức để nhân lượng liên hợp ở tử và mẫu.

Các lượng liên hợp:

+ ^{( a b)( a b)ab} +

3 2 3 2

3 3 3

( a b)( a  ab b )a b

+ (ⁿ aⁿb)(ⁿa^n1 ⁿ a^n2b...ⁿb^n1)a b 3. L =

0

lim ( ) ( )

 x x

P x

Q x với P(x₀) = Q(x₀) = 0 và P(x) là biêu thức chứa căn không đồng bậc

Giả sử: P(x) = ^mu x( )ⁿv x với( ) ^mu x( ₀) ⁿ v x( )₀ a. Ta phân tích P(x) =



^{mu x( )a}

 

^{ anv x( )}



^.

Trong nhiều trường hợp việc phân tích như trên khơng đi đến kết quả ta phải phân tích như sau: ⁿu x( )^mv x( )(ⁿu x( )m x( )) ( ^mv x( )m x( )), trong đĩ m x( )c.

Câu 1. Chọn kết quả đúng trong các kết quả sau của

2 1 3

2 1

lim^ 2 2

 



x

x x

x là:

A. . B. 0 . C. ¹

2. D. .

Câu 2. Tìm giới hạn

3 2

1 2

3 2

lim^ 4 3

 

 ^x  

x x

A x x :

A.  B.  C. ³

2 D. 1

Câu 3. Tìm giới hạn

4 2

2 3

5 4

lim^ 8

 

^x 

x x

B x :

A.  B.  C. ¹

6 D. 1

Câu 4. Tìm giới hạn

3 4

0

(1 3 ) (1 4 ) lim

  

 x

x x

C x :

A.  B.  C. ¹

6 D. 25

Câu 5. Cho hàm số

 

₂ ³

9

 

 f x x

x

. Giá trị đúng của

 

3

lim

x f x là:

A. .. B. 0. . C. 6.. D. .

Câu 6. Tìm giới hạn

0

(1 )(1 2 )(1 3 ) 1 lim

   



x

x x x

D x :

A.  B.  C. ¹

6 D. 6

Câu 7. Tìm giới hạn

0

lim 1 ( , *) 1



  

 

n x m

A x m n

x :

A.  B.  C. ⁿ

m D. mn

Câu 8. Tìm giới hạn

0

1 1

lim ( *, 0)



 

  

n x

B ax n a

x :

A.  B.  C. ^a

n D. 1n

a Câu 8. Tìm giới hạn

0

1 1

lim

1 1



 



 

n x m

A ax

bx với ab0 :

A.  B.  C. ^am

bn D. 1am

bn Câu 9. Tìm giới hạn

3 4

0

1 1 1 1

lim

   



x

x x x

B x

  

với  0. :

A.  B.  C.

4 3 2

  

B   

D. B43 2 Câu 10. Tìm giới hạn

2 2 3

2 5 2

lim^ 3 2

 

 ^x  

x x

A x x :

A.  B.  C. ¹

3 D. 1

Câu 11. Tìm giới hạn

4 1 3

3 2

lim^ 2 3

 

 ^x  

x x

B x x :

A.  B.  C. ¹

5 D. 1

Câu 12. Tìm giới hạn ₂

3

2 3

lim^ 4 3

  

 

x

x x

C x x :

A.  B.  C. ¹

3 D. 1

Câu 13. Tìm giới hạn

3 0 4

lim 1 1

2 1 1



  

 

x

D x

x :

A.  B.  C. ²

3 D. 1

Câu 14. Tìm giới hạn

3 7 4

4 1 2

lim^ 2 2 2

  

 ^x  

x x

E x :

A.  B.  C. ⁸

27

 D. 1

Câu 15. Tìm giới hạn

0

(2 1)(3 1)(4 1) 1 lim

   

x

x x x

F x :

A.  B.  C. ⁹

2 D. 1

Câu 16. Tìm giới hạn

3 0 2

1 4 1 6

lim

  



x

x x

M x :

A.  B.  C. ¹

3 D.0

Câu 17. Tìm giới hạn

0

1 1

lim



  



m n

x

ax bx

N x :

A.  B.  C. a b

m n D. a b

m n Câu 18. Tìm giới hạn

0

1 1 1

lim

  



m n

x