Bài toán min – max liên quan hàm số mũ – logarit nhiều biến – Đặng Việt Đông - Học Tập Trực Tuyến Cấp 1,2,3 - Hoc Online 247

(1)

MIN-MAX LIÊN QUAN HÀM MŨ, HÀM LÔ-GA-RÍT (NHIỀU BIẾN)

DẠNG 1: ÁP DỤNG ĐÁNH GIÁ, ÁP DỤNG BĐT.

DẠNG 2: ÁP DỤNG PHÁP HÀM SỐ, HÀM ĐẶC TRƯNG.

+ ÁP DỤNG HÀM SỐ

+ ÁP DỤNG HÀM ĐẶC TRƯNG

DẠNG 3: ÁP DỤNG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH.

(2)

DẠNG 1: ÁP DỤNG ĐÁNH GIÁ, ÁP DỤNG BĐT.

Câu 1: Xét các số thức , , , thỏa mãn > 1, > 1và = = √ . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức = + 3 thuộc tập hợp nào dưới đây?

A.(0; 1). B. 2; , ; 2 . C. ; 2 . D. ; 3 .

Lời giải Chọn B

= = √ ⇒

= √ = 1

3(1 + )

= √ = 1

3(1 + )

⇒ = + 3 =1

3(1 + ) + 1 + = 4 3+1

3 + ≥4

3+ 2 1

3∈ 2;5 2 Câu 2: Cho hai số thực , đều lớn hơn 1. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức = +

√

bằng

A. . B. . C. . D.

Ta có = +

√

= ( ) + √

= 1 + + ( + 1) = + + .

Đặt = . Do , > 1 nên > 0.

Khi đó = + + ≥2 . + = (Áp dụng BĐT Cauchy cho hai số dương và ).

Dấu " = " xảy ra ⇔ =

> 0 ⇔ = ±

> 0 ⇒ = .

Vậy = tại = ⇔ = √ .

Câu 3: Với , , là các số thực lớn hơn 1, đặt = ( ) , = ( ) , = ( ). Tìm giá trị nhỏ nhất của biếu thức = + + 4 .

A.6. B.12. C.10. D.16.

Lời giải Chọn C

Ta có = + ; = + ; = + . Khi đó

= + + 4 = + + + + 4 + 4 .

= + + + + + .

Vì , , > 1⇒ > 0; > 0; > 0 nên

= + + + + + ≥2.2 + 2.2 + 2.1 = 10.

Vậy = 10 ⇔

= 2

= 1

= 2

⇔

=

⇔ =

= .

Câu 4: Xét các số thực dương , , , thỏa mãn > 1, > 1 và = = √ . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức = + 2 thuộc tập hợp nào dưới đây?

A.(1; 2). B.(2; . C.(3; 4). D.( ; 3 .

(3)

Lời giải Chọn D

Ta có = = √ ⇔ = √

= √ ⇔ = (1 + )

= (1 + ).

= + 2 = + + 1 + = + + .

Đặt = > 0⇒ = + + ( > 0).

= + + ≥2 . + = √2 + ∈( ; 3 . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi =

> 0⇔ =√2.

Vậy = √2 + ∈ ; 3 .

Câu 5: Cho , là các số thực thỏa ( + )≤ 1. Khi 3 + đạt giá trị lớn nhất, thì giá trị

= là

A. = 1. B. = . C. = 3. D. = .

Xét trường hợp 3 + > 1.



² ²



² ²

log3_{x y}_ x y  1 x y 3xy (1).

Đặt = 3 + ⇒ = −3 .

(1)⇔ + ( −3 ) − ≤010x² 6PxP²P0(2).

Δ= 9 −10( −2) =− + 10 Nếu Δ< 0 thì (2)vô nghiệm. Do đó Δ≥0⇔0≤ ≤10.

Vậy . Khi đó (2)⇔ = = 3⇒ = 1⇒ = = 3.

Câu 6: Cho các số thực ; thỏa mãn + 4 + 12 = 4. Giá trị lớn nhất của biểu thức = ( −2 ) là

A. = 3 2. B. = 1 2.

C. = 12. D. = 16.

Điều kiện ≠2 . Từ + 4 + 12 = 4suy ra:

Nếu = 0 thì = 4 ⇒ = 2

Nếu ≠0ta có: = ( −2 ) ⇔4( −2 ) = 4. 2

⇒4. 2

4 = 4. ( −2 ) + 4 + 12 =

4 2 −1 2 + 22 + 3 Đặt = , ∈ ℝ, 2 = ⇔2 ( + 2 + 3) = 4 −8 + 4

⇔(2 −4) + 2(2 + 4) + 3. 2 −4 = 0Xét với ( ≠ 2)

Để phương trình có nghiệm: ≥ 0⇔(2 + 4) −(2 −4)(3. 2 −4)≥0

⇔ −2(2 ) + 24. 2 ≥ 0⇔0 ≤2 ≤ 12⇒ ≤ 1 2

Vậy = 1 2.

Dấu đẳng thức xảy ra khi

=−2

=

+ 4 + 12 = 4

⇒ =−4

= .

(4)

Câu 7: Cho , là các số thực dương, thỏa mãn



²



2 2

1 2

1 1

log xlog ylog 3xy . Tìm giá trị nhỏ nhất Pmin của biểu thức = 4 + .

A. √5 B. √5 C. √5 D. √5 .

Lời giải:

Chọn A

 

2 2 2

1 1 1

log xlog ylog 3xy xy3xy x y( 3) y .Từ đây, , là các số thực dương nên ta suy ra > 3 và ≥ = + 3 +

Do đó, ≥4 + 3 + + = 5( −3) + + 27≥12√5 + 27.

Dấu bằng xảy ra khi = 3 + ^√ , = 6 + ^√ .

Câu 8: Cho = √ với > 1, > 1 và = + 16 . Tìm sao cho đạt giá trị nhỏ nhất.

A. = . B. = 4. C. = 1. D. = 2.

Theo giả thiết ta có = ( ) = (1 + )⇒ = 3 −1.

Suy ra = + ⇔ = (3 −1) + ⇔ = (3 −1) + + .

Vì > 1, > 1 nên = 3 −1 > 0.

Áp dụng bất đẳng thức Cosi cho ba số dương ta có:

⇔ = (3 −1) + + ≥3. (3 −1) .

( ) ⇔ ≥ 12.

Dấu bằng xảy ra khi (3 −1) = ⇔ = 1.

Câu 9: Xét các số thực dương , , , thỏa mãn > 1, > 1 và = = . Biết giá trị nhỏ nhất của biểu thức = + 3 + 2 có dạng + √14 (với , là các số tự nhiên), tính

= + .

A.48 B.34 C.30. D.38.

Theo bài ra ta có: = = ⇔ =

= ⇔ 2 = ( )

= ( ) ⇔ 2 = 4 + 4

= 4 + 4

⇔ = 2(1 + )

= 4(1 + )

Do đó: = + 3 + 2 = 8(1 + )(1 + ) + 6(1 + ) + 8(1 + )

= 16 + 8 + 8 + 6 + 6 + 8 + 8

= 30 + 14 + 16 Đặt = . Vì , > 1 nên > 1 = 0.

Khi đó = 30 + 14 + ≥30 + 2 14 . = 30 + 8√14.

Vậy đạt giá trị nhỏ nhất là 30 + 8√14 khi 14 = ⇒ = ^√ hay = ^√ .

(5)

Ta có: = 30

= 8 ⇒ = + = 38.

Câu 10: Trong các nghiệm ( ; ) thỏa mãn bất phương trình ( + 2 )≥1, tìm giá trị lớn nhất của biểu thức = + 2 .

A. . B. . C. . D.1.

Nếu 0 < 3 + 2 < 1 thì từ giả thiết ( + 2 )≥1 ta suy ra + 2 ≤1.

Nếu 3 + 2 > 1 thì khi đó ta có:

( + 2 )≥1 ⇔ + 2 ≥ 3 + 2 ⇔3 − + 2 −2 ≤ 0

⇔ √3−

√ + √2−

√ ≤ .

Ta viết lại = + 2 =

√ √3−

√ +√2 √2−

√ +

Theo bất đẳng thức Cauchy – Schwartz thì 1

√3 √3− 1

2√3 +√2 √2− 1

√2 ≤ 1

√3 + √2 . √3− 1

2√3 + √2− 1

√2

≤ . = .

Do đó ≤ + = . Dấu “=” xảy ra khi ( ; ) = ; 1 . Vậy đạt được khi ( ; ) = ; 1 .

Câu 11: Xét các số thực , thỏa mãn ( −1) + ( −1) = 1. Khi biểu thức = 2 + 3 đạt giá trị nhỏ nhất thì 3 −2 = + √3 với , ∈ ℚ. Tính = .

A. = 9. B. = . C. = . D. = 7.

Điều kiện: −1 > 0

−1 > 0⇔ > 1

> 1.

Khi đó: ( −1) + ( −1) = 1⇔( −1)( −1) = 2⇔ −1 = ⇔ = + 1.

Suy ra: = 2 + 3 = 2 + + 3 = 2( −1) + + 5.

Cách 1: Dùng bất đẳng thức

Áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có: 2( −1) + ≥ 2 2( −1).

⇒2( −1) + ≥4√3⇒ ≥4√3 + 5.

Dấu “=” xảy ra ⇔2( −1) = ⇔( −1) = 3⇔| −1| = √3⇔ = 1 +√3( )

= 1− √3( ).

⇒ =

√ + 1 = ^√ .

Do đó: 3 −2 = 3 1 +√3 −2 ^√ = 1 + √3⇒ = 1; = ⇒ = = . Cách 2: Dùng bảng biến thiên

Ta có: = 2 + + 3 ⇒ ′= 2−

( )

′= 0 ⇔ = 1 +√3( )

= 1− √3( ) Bảng biến thiên

(6)

Dựa vào bảng biến thiên, ta có: √3√3 ^√ .

Do đó: 3 −2 = 3 1 +√3 −2 ^√ = 1 + √3⇒ = 1; = ⇒ = = .

Câu 12: Xét các số thực , thỏa mãn ( −1) + ( −1) = 1. Khi biểu thức = 2 + 3 đạt giá trị nhỏ nhất thì 3 −2 = + √3với , ∈ ℚ. Tính = ?

A. = 9. B. = . C. = . D. = 7.

Điều kiện: −1 > 0

−1 > 0⇔ > 1

> 1

Khi đó: ( −1) + ( −1) = 1⇔( −1)( −1) = 2⇔ −1 = ⇔ = + 1 Suy ra: = 2 + 3 = 2 + + 3 = 2( −1) + + 5

Cách 1: Dùng bất đẳng thức

Áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có: 2( −1) + ≥ 2 2( −1).

⇒2( −1) + 6

−1≥4√3⇒ ≥ 4√3 + 5

Dấu “=” xảy ra ⇔2( −1) = ⇔( −1) = 3⇔| −1| = √3⇔ = 1 +√3( )

= 1− √3( )

⇒ =

√ + 1 = ^√ .

Do đó: 3 −2 = 3 1 +√3 −2 ^√ = 1 + √3⇒ = 1; = ⇒ = = . Cách 2: Dùng bảng biến thiên

Ta có: = 2 + + 3⇒ ' = 2−

( )

' = 0⇔ = 1 +√3( )

= 1− √3( ) Bảng biến thiên

(7)

Dựa vào bảng biến thiên, ta có: √3√3 ^√ .

Do đó: 3 −2 = 3 1 +√3 −2 ^√ = 1 + √3⇒ = 1; = ⇒ = = .

Câu 13: Cho , , là các số thực dương thỏa mãn 64 + 64 + 64 = 3. 4 . Giá trị lớn nhất của biểu

thức = + + + 1515

A.2020. B.2019. C.2021. D.2018.

Lời giải Chọn A

Áp dụng hệ quả của bất đẳng thức côsi cho 4 số dương ta có:

( + 2 + 2 + 3 ) 1 + 1

2 + 1 2 + 1

3 ≥ 16⇔ 1

+ 2 + 2 + 3 ≤ 1 16

1+ 2 2 + 1

3 ( + + 2 + 3 ) 1

+1 + 1

2 + 1

3 ≥16⇔ 1

+ + 2 + 3 ≤ 1 16

2+ 1 2 + 1

3 ( + 2 + 3 + 3 ) 1

+ 1 2 + 1

3 + 1

3 ≥ 16⇔ 1

+ 2 + 3 + 3 ≤ 1 16

1+ 1 2 + 2

3

Từ đó suy ra = + + + 1515≤ + + + 1515

Từ giả thiết ta lại có 3. 4 = 64 + 64 + 64 ≥3 64 . 64 . 64 = 3. 4

Suy ra 4 ≤ 4 ⇔ + + ≤2020

Vậy ≤ + + + 1515≤ + 1515 = 2020 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi

= =

+ + = 2020⇔ = ; = ; = .

Câu 14: Xét các số thực dương , , , , , thỏa mãn > 1, > 1, > 1 và = = = √ . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức = + + + thuộc tập hợp nào dưới đây?

A.10; 13). B.7; 10). C.3; 5). D.5; 7).

Từ giả thiết ta có

 

1 1 log log

2 ^a ^a

x  b c , ¹



^{1 log} ^log



2 ^b ^b

y  a c , ¹



^{1 log} ^log



2 ^c ^c

z  b a . Khi đó ta có

(8)

2P4 log _ablog_balog_aclog_calog_bclog_cb.

Vì > 1, > 1, > 1 nên log_ab0, log_bc0, log_ca0, log_ba0, log_cb0, log_ac0. Áp dụng bất đẳng thức Cô Si ta được

log_ablog_ba2 log_ab.log_ba hay log_ablog_ba2. Tương tự log_aclog_ca2 và log_bclog_cb2.

Do đó 2 ≥ 10 hay ≥ 5. Dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi = = . Vậy giá trị nhỏ nhất P_min 5.

Câu 15: Cho hai số thực dương , thỏa mãn ( + + 2) = 1 + + . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức = với , ∈ ℕ, ( , ) = 1. Hỏi + bằng bao nhiêu.

A.2. B.9. C.12. D.13

Ta có ( + + 2) = 1 + + ⇔ = − −

⇔ = ⁽ ⁾. Gọi > 0là giá trị nhỏ nhất của khi đó là số dương nhỏ nhất để hệ

+ =

=

có nghiệm.

Ta có

+ =

= ⇔

( )

−2 =

+ = ⇔ ( + ) = ( + 2)

+ =

Từ ( + ) = ( + 2) ⇒( + 2) ≥4 ⇒ ≥2.

Đặt t xy0 + = ⇔ + (2−3 ) + 6 + 3 = 0 (*). Ta đi tìm ≥ 2để (*) có nghiệm dương ⇔ = 9 −24 −20≥0⇔ ≥ . Do đó ≥ , dấu “=” xảy ra khi

+ = 4

= 3 ⇒( ; ) = (1; 3). Vậy + = 13.

Câu 16: Cho các số thực dương và thỏa mãn 4 + 9. 3 = 4 + 9 . 7 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức = .

A. = 9. B. = ^√ . C. = 1 + 9√2. D. = ^√ .

Từ giả thiết ta đặt = −2 , ∈ ℝ.

Phương trình 4 + 9. 3 = 4 + 9 . 7 trở thành 4 + 9. 3 = (4 + 9 ). ⇔4(7 −49) + 9 9. −49 = 0.

Nhận thấy = 2là nghiệm phương trình.

Ta chứng minh = 2là nghiệm duy nhất của phương trình.

Xét > 2: 7 > 49và 9. > 49nên vế trái phương trình luôn dương, nên phương trình vô nghiệm.

Xét < 2: 7 < 49và 9. < 49nên vế trái phương trình luôn âm, nên phương trình vô nghiệm.

(9)

Vậy = −2 = 2⇔ = thay vào = =

. Dấu bằng đạt được khi = ⇒ = 4.

Câu 17: Xét các số thực dương , , , thỏa mãn > 1, > 1và = = . Biết giá trị nhỏ nhất của biểu thức = 3 + 2 + có dạng + √30 (với , là các số tự nhiên), tính =

+

A.34 B.36. C.52. D.48

Theo bài ra ta có: = = ⇔ =

= ⇔ 2 = ( )

3 = ( ) ⇔ 2 = 6 + 6 3 = 6 + 6

⇔ = 3(1 + )

= 2(1 + )

Do đó: = 3 + 2 + = 18(1 + )(1 + ) + 6(1 + ) + 2(1 + )

= 18 + 18 + 18 + 18 + 6 + 6 + 2 + 2

= 44 + 24 + 20 Đặt = . Vì , > 1nên > 1 = 0.

Khi đó = 44 + 24 + ≥44 + 2 24 . = 44 + 8√30.

Vậy đạt giá trị nhỏ nhất là 44 + 8√30khi 24 = ⇒ = ^√ hay = ^√ . Ta có: = 44

= 8 ⇒ = + = 52

Câu 18: Cho hai số thực ; ; thỏa mãn hệ thức + ≤3 + + . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức = + + 2 −22 bằng?

A.−19. B.12. C.−15. D.8.

Chúng ta nắm bắt được dạng thì sẽ có cách giải như sau:

+ ≤3 + + ⇔ + ≤ + + 2⇔ = + 2 + = 0

= 2 − −2 = 0 ⇔ = 2 −2

= −5 + 4 Thế vào biểu thức , ta được:

= + (2 −2) + 2(−5 + 4) −22 = 55 −110 + 36 = 55( −1) −19≥ −19 Vậy giá trị nhỏ nhất của là: = −19.

Câu 19: Cho hai số thực dương , lớn hơn 1 và biết phương trình . = 1 có nghiệm thực. Biết giá trị nhỏ nhất của biểu thức ^log

 

⁴

 _a log

a

P ab

b có dạng với , là số tự nhiên và là phân số tối giản. Khi đó + 2 bằng

A.34. B.21. C.23. D.10.

Phương trình tương đương với x²^



x^^{2 log}



ab^⁰^ x²^x^logab^^{2 log}ab^⁰.

Điều kiện để phương trình có nghiệm là: ^{ }



^logab



²^^8logab^⁰ log_ab8( ) > 0.

16 16

1 2 . 1 9

x x

     

(10)

Khi đó 4

log 1

 _a log 

a

P b

b = ( ) = + + 1≥

; ) ( ) = (8) = = . Vậy + 2 = 23.

Câu 20: Cho các số thực , thỏa mãn điều kiện 0 < < < 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức =

( )

+ 8 −1.

A.6. B.8. C.3√2. D.7.

Ta có: = =

( ) .

(3 −2) ≥ 0 ⇒9 −12 + 4≥ 0 ⇒ ≤ ⇒ ⁽ ⁾≥ = 2 .

Do đó: ≥ 2 +

( ) −1 ⇒ ≥ ( −1) + ( −1) +

( ) + 1.

Mà 0 < < < 1⇒ > = 1 ⇒ −1 > 0.

Áp dụng BĐT Cô-si ta có: ( −1) + ( −1) +

( ) ≥6 ⇒ ≥7.

Dấu " = " xảy ra ⇔ 3 −2 = 0

−1 =

( )

⇔ =

= 3 ⇔ =

= . Vậy = 7.

Câu 21: Cho số thực , > 1thỏa mãn điều kiện + = 2020 . Tìm giá trị lớn nhất

của biểu thức = + ?

A. 2020 log₂₀₁₉2018 log ₂₀₁₈2019. B.



2019 2018



1 log 2018 log 2019

2020  .

C.

2019 2018

2020

log 2018 log 2019 . D. 2020 log₂₀₁₉20182020 log₂₀₁₈2019. Lời giải

Chọn A

Ta có: P log₂₀₁₉a log₂₀₁₈b  log₂₀₁₉2018. log₂₀₁₈a log₂₀₁₈2019 log₂₀₁₉b. Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopsky, ta có:

 

²

2

2019 2018 2018 2019

log 2018. log log 2019 log

P  a b



log20192018 log20182019



log2018a log2019b

 

log20192018 log20182019 2020



²

    

2019 2018

2020 log 2018 log 2019

P 

 .

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

2018 2019

2019 2018

2

2018 2019

l

log log 2

og log

log 2

0

018 log 201

02 9 a

b

 a

 



  





2018



2018



2019



2

8

019 2

201 2019

log 2019 log log 2018 0

g

log log 202

lo

a b



   





⇔& = = (với = 2019)

Vậy tồn tại , > 1 để đẳng thức xảy ra nên maxP2020 log₂₀₁₉2018 log ₂₀₁₈2019.

(11)

Câu 22: Cho > 0, > 0 thỏa mãn log4_a_5_b_1



16a²b²1



log8_ab_1



4a5b1



2. Giá trị của + 2 bằng

A. . B.6. C. . D.9.

Ta có: 16 + + 1 ≥2√16 + 1 = 8 + 1 do đó:



² ²

  

4 5 1 8 1

log _a__b_ 16a b 1 log _ab_ 4a5b1

   

4 5 1 8 1

log _a__b_ 8ab 1 log _ab_ 4a 5b 1

    

 

4 5 1

8 1 1

8 1

log ^a ^b ab log _a _b

  ab

 

 

 

 

4 5 1

2 8 1 1 2

log . 8

log 1

a b

ab ab

 

  

 Dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi:

16 =

8 + 1 = 4 + 5 + 1⇔ 4 =

2 + 1 = 6 + 1 ⇔ =3 4

= 3 Vậy + 2 = .

Câu 23: Cho , , > 0; , , > 1 và = = =√ . Giá trị lớn nhất của biểu thức = +

− thuộc khoảng nào dưới đây?

A.(10; 15). B. ; . C.−10; 10). D.[15; 20].

Ta có: = = = √

⇒ = = = 1

2

⇒

⎩

⎪

⎨

⎪

⎧1

= 2 1 = 2 1= 2

Do đó: + + = 2( + + ) = 2 = 2

Suy ra: + = 2−

Ta có: = + − = 16 2− − = 32− − ( > 0).

Mặc khác, + = + + ≥3 . . = 12.

Dấu “=” xảy ra ⇔ = 2.

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức là 32−12 = 20 tại = 2.

(12)

DẠNG 2: ÁP DỤNG PHÁP HÀM SỐ, HÀM ĐẶC TRƯNG.

ÁP DỤNG HÀM SỐ

Câu 24: Cho , là các số thực dương thỏa mãn > 1 và √ ≤ < . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức

= + 2 _√ bằng

A.6. B.7. C.5. D.4.

Đặt = , vì > 1 và √ ≤ < nên ≤ < 1.

Ta có = + 2 _√ = + −4 = ( ).

Xét hàm số ( ) = + −4 trên nửa khoảng ; 1 , ta có ( ) =

( ) − =⁽ ⁾⁽ ⁾

.( ) ; ( ) = 0⇔ = 2 ∉ ; 1 hoặc = ∈ ; 1 . Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên, ta có

;

( ) = 5 khi = .

Vậy = 5 khi = ⇔ = √ .

Câu 25: Cho , là các số thực dương thỏa mãn ≤4 −1. Giá trị nhỏ nhất của = ⁽ ⁾+ là + . Giá trị của tích . là

A.45. B.81. C.115. D.108.

Từ giả thiết, ta có ≤ 4 −1 nên ≤ − . Đặt = , ta có 0 < ≤4 (vì − ≤4, ∀ > 0).

Ta có = 12 + + ( + 2); ( ) =− + < 0, với mọi 0 < ≤4.

Do đó (4) = + 6. Suy ra = , = 6 nên . = 81.

Câu 26: Cho các số thực , , khác 0 thỏa mãn 3 = 5 = 15 . Hỏi giá trị nhỏ nhất của biểu thức

= + + −4( + + ) là?

A.−3− 3. B.−4. C.−2− √3. D.−2− 5.

Đặt = 3 = 5 = 15 ; > 0.

Suy ra

=

− =

⇒ − = = = = ⇔ + + = 0.

Ta có = + + −4( + + ) = ( + + ) −2( + + )−4( + + ).

⇒ = ( + + ) −4( + + ) = [( + + )−2] −4≥ −4.

(13)

⇒ + + = 2

+ + = 0 .

Câu 27: Xét các số thực , sao cho > 1, √ ≤ < . Biểu thức = + 2 _√ đạt giá trị nhỏ nhất khi

A. = . B. = . C. = . D. = .

Do > 1 mà > suy ra > 1.

Ta có √ ≤ < ⇔log √ ≤log < log ⇔ ≤ log < 1.

Theo bài ra = + 2 _√ ⇔ = + 2

√

⇔ = + 4 .

Đặt = log suy ra ∈ ; 1 ta được = + 4 với ∈ ; 1 .

=( ) − cho = 0 ⇒ = 4(1− )

⇔3 −8 + 4 = 0⇔ = (thỏa mãn) hoặc = 2(loại)

Dựa vào bảng biến thiên giá trị nhỏ nhất = 5 khi = ⇔ = ⇔ = .

Cho , là các số thực thỏa mãn 1 < < . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức = ( −1) +

8 ^√

√ . A.18.

B.9.

C.27.

D.30

Ta có ^√

√ = = . = = ^√

√ .

Suy ra = 2 −1 + 8 ^√

√ .

Đặt = 2 , do 1 < < ⇔ 1 < < ⇒ > 2.

Ta có hàm số ( ) = ( −1) + 8. với > 2.

( ) = ⁽ ⁾⁽ ⁾

( ) ; ^′( ) = 0⇒ = 1

= 4. Lập bảng biến thiên trên (2; +∞) ta được

(14)

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức = ( −1) + 8 ^√

√ là 27 đạt được khi = 4⇔

2 = 4 ⇔ = ⇔ = .

Câu 28: Cho , là hai số thực dương thỏa mãn = 3 + 4 và ∈[4; 2 ]. Gọi , lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức = 4 + . Tính tổng = +

.

A. = . B. = . C. = . D. = .

Ta có = 3 + 4 ⇔ − = 3 ( + )⇔( + )( −4 ) = 0⇔ = −

= 4 Vì , dương nên = 4 , ta thay vào ta được

= 4 +3

4 = 4

2 +3

4 = + 2

−1+3 4 Đặt = vì ∈[4; 2 ] nên ∈[2; 32]

Xét hàm số ( ) = +

( ) = −3

( −1) +3

4⇒ ( ) = 0⇔ = −1 ( )

= 3 Ta có bảng biến thiên

Vậy = ; = ⇒ = + = .

Câu 29: Cho ^m ^^log^a

 

³^ab ^với > 1, > 1 và P log²_ab16 log_ba. Tìm sao cho đạt giá trị nhỏ nhất.

A. = . B. = 4. C. = 1. D. = 2.

Ta có: ^m ^^log^a

 

³^ab ^ ¹₃^log^a

 

^ab ^ ¹₃



¹^^log^a^b



^.

3m 1 log_ab log_ab 3m 1

      .

Do > 1, > 1nên log_ab log 1_a  0⇒ > .

(15)

Ta có: ^loga² ^{16 log}b ^loga² _log¹⁶



³ ¹



² ₃ ¹⁶ ₁

a

P b a b m

b m

      

 , với ∈ ; +∞ .

= 6(3 −1)−

( ) .

= 0⇔6(3 −1)−₍ ₎ = 0⇔(3 −1) = 8⇔3 −1 = 2⇔ = 1.

Bảng biến thiên

Vậy minP 12m 1.

Câu 30: Tính giá trị của biểu thức = + − + 1 biết rằng 4 = 14−( − 2) + 1 với ≠0 và −1≤ ≤ .

A. = 1. B. = 4. C. = 2. D. = 3.

Ta có biểu thức vế trái: 4 ≥4 = 4. (1)

Xét biểu thức ( ) = 14−( + 1) + 1 + 3 + 1 với −1≤ ≤ .

Đặt = + 1⇒ ∈ 0; suy ra ( ) = 14−( + 1) + 1 + 3 + 1 = ( ) =− + 3 +

14

Khảo sát hàm số ( ) =− + 3 + 14trên đoạn 0; ta được kết quả: ( )≤ 16.

⇒ ( )≤ 1 6 = 4(2) Từ (1) và (2) ta có: = 1

+ 1 = 1⇒ = 1, = 0⇒ = 1 + 1 = 2.

Câu 31: Cho , là số thực dương thỏa mãn + (7 )≥ ( + 7 ). Giá trị nhỏ nhất của

= 4 + 7 có dạng √ + , trong đó , , là số tự nhiên và > 1. Xác định: + +

A. + + = 13. B. + + = 12. C. + + = 11. D. + + = 10

Từ + (7 )≥ ( + 7 )⇔7 ≥ + 7 .

Nhận xét: Nếu 0 < ≤1 thì 7 ≥ 7 ≥ + 7 ⇔0 ≥ (vô lý) Xét > 1 thì 7 ≥ + 7 ⇔7 ( −1)≥ ⇔7 ≥ . Vậy = 4 + 7 ≥ 4 + .

Xét: ( ) = 4 + trên (1; +∞).

Có ( ) = 4 + ⁽ ⁾

( ) =

( )

Xét ( ) = 0⇔5 −10 + 4 = 0⇔ = ^√ (loai)

= ^√ (nhan) . Vậy ( ; ) ( ) = ^√ = 2√5 + 6.

(16)

Câu 32: Cho , là các số thực dương thoả mãn + ≥ ( + ). Tìm giá trị nhỏ nhất của = + .

A. = 6. B. = 2 + 3√2. C. = 3 + 2√2. D. =√17 +√3.

Ta có + ≥ ( + )⇔ ≥ ( + )⇔ ≥ + ⇔ ( −1)≥ > 0

Mà > 0, > 0nên > 1và ≥ . Suy ra + ≥ + . Xét hàm số ( ) = + = 2 + 1 + , > 1.

Ta có: ( ) = 2−₍ ₎ = 0⇔ = 1 +

√ (Do > 1)⇒ 1 +

√ = 3 + 2√2.

Bảng biến thiên

Vậy = 3 + 2√2.

Chú ý: Ta có tìm minh của ( )như sau:

( ) = 2 + 1 + = 2( −1) + + 3≥ 2 2( −1) + 3 = 2√2 + 3.

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 2( −1) = = √2⇔ = 1 +^√ .

Câu 33: Tính giá trị của biểu thức = + − + 1 biết rằng 4 = 14−( − 2) + 1 với ≠0 và −1≤ ≤ .

A. = 4. B. = 2. C. = 1. D. = 3.

Xét 4 = 14−( −2) + 1 .

Ta có 4 ≥4 ^. = 4, dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi = ±1,.

Mặt khác 14−( −2) + 1 = 14 + 3 + 1− + 1 .

Đặt = + 1 ta có 0≤ ≤^√ . Xét hàm số ( ) = − + 3 + 14. Ta tìm GTLN – GTNN của hàm số trên đoạn 0;^√ được

;^√

( ) = ^√ = ^√ ;

;^√

( ) = (1) = 16.

Suy ra 14−( −2) + 1 ≤ 1 6 = 4,.

Từ và suy ra ta có = ±1

= + 1 = 1⇔ = ±1

= 0 . Thay vào = 2.

Câu 34: Xét các số thực , thỏa mãn > 0và + −3 = . (1−2 . ). Giá trị lớn nhất của biểu thức = + thuộc tập hợp nào dưới đây?

A.(1; 2). B.2; 4). C.−3; 0). D.0; 3).

(17)

Xét phương trình + −3 = . (1−2 . )

Đặt = ( > 0)ta có: + −3 = (1−2 )⇔3 + = ( + ) ≥4( )

⇔ − ≤ ≤1.

Lại do , > 0⇒0 < ≤1⇒0 < . ≤1⇔ + ≤ 0nên ≤0.

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi

=

= 1 , > 0

⇔ = = 1hay = 1

= 0 Vậy 0; 3) .

Câu 35: Gọi là tập các cặp số thực ( , ) sao cho ∈ [−1; 1] và ( − ) −2017 = ( − ) − 2017 + . Biết rằng giá trị lớn nhất của biểu thức = ( + 1)−2018 với ( , )∈ đạt được tại ( ; ). Mệnh đề nào sau đây đúng ?

A. ∈(−1; 0). B. =−1. C. = 1. D. ∈ 0; 1).

Điều kiện − > 0

Ta có ( − ) −2017 = ( − ) −2017 +

⇔( − ) ( − )−2017( − ) = ⇔ ( − )−2017− = 0 (*) Xét hàm ( ) = −2017− , có ( ) = + > 0 với ∀ > 0

Do đó ( ) đồng biến trên khoảng (0; +∞),

suy ra (∗)⇔ ( − ) = 0 = ( ) ⇔ − = ⇔ = −

Khi đó = (1 + − )−2018 = ( )

 

 

g x (2019 + 2018 −2018 )−4036

 

 

g x (2018.2020 + 2018 −2018 )−4036

≤ (2018.2020 + 2018 −2018 )−4036 < 0 với ∀ ∈[−1; 1]

Nên ( ) nghịch biến trên đoạn [−1; 1],

mà (−1) = + 2018 > 0, (0) = 2019−2018 < 0 nên tồn tại ∈ (−1; 0) sao cho ( ) = 0 và khi đó

[ ; ] ( ) = ( ) Vậy lớn nhất tại ∈(−1; 0).

Câu 36: Cho , thỏa mãn ( + ) + ( − )≥ 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức = 2 − .

A. √3 . B. ^√ C. . D. .

Theo giả thiết: ( + ) + ( − )≥ 1⇔

+ > 0

− > 0

− ≥4

⇒ > 0

≥ + 4

Ta có: = 2 − ≥2 + 4− .

Xét hàm số: ( ) = 2 + 4− có

( ) = 2

+ 4−1 =2 − + 4 + 4

(18)

( ) = 0⇔2 − + 4 = 0⇔ ≥ 0

= ⇔ = ^√ . BBT:

Từ BBT suy ra = 2 − ≥ ( ) ≥2√3, dấu " = "xảy ra khi = ^√

= + 4

⇔ = ^√

= ^√ .

Vậy √3 khi

= ^√

= ^√ .

Câu 37: Cho hai số thực , thỏa mãn 0 ≤ ≤ , 0≤ ≤ và (11−2 − ) = 2 + 4 −1. Xét biểu thức = 16 −2 (3 + 2)− + 5. Gọi , lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của . Khi đó giá trị của = (4 + ) bằng bao nhiêu?

A.16. B.18. C.17. D.19.

Ta có

(11−2 − ) = 2 + 4 −1⇔2(2 + )− 11−(2 + ) −1 = 0 Đặt = 2 + , 0 < < 11. Phương trình trở thành: 2 − (11− )−1 = 0. (1)

Xét hàm số ( ) = 2 − (11− )−1 trên khoảng (0; 11).

Có = 2 + > 0, ∀ ∈(0; 11). Do đó hàm số ( ) luôn đồng biến.

Dễ thấy (1) có nghiệm = 1. Do đó = 1 là nghiệm duy nhất của (1).

Suy ra 2 = 1− . Khi đó = 16 ⁽ ⁾ −(1− )(3 + 2)− + 5 = 4 −5 + 2 + 3.

Xét hàm số ( ) = 4 −5 + 2 + 3 trên 0; , có ( ) = 12 −10 + 2 > 0, ∀ ∈ 0; .

Do đó,

;

( ) = (0) = 3,

;

( ) = (1) = 4.

Suy ra = 3, = 4.

Vậy = 4.3 + 4 = 16.

Câu 38: Xét các số thực dương , thỏa mãn + ≤ ( + ). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức = + 3 .

A. . B. . C. ^√ . D. .

Với , > 0, ta có:



²



¹

  

²



²

1 1 1 1

2 2 2 2 2

log xlog ylog xy log x y. log xy xy x y

⇔ ≤ − ⇔ ≤ ( −1). Suy ra: −1 > 0.

(19)

Từ ≤ ( −1) ⇒ ≥ , với > 1.

Khi đó: = + 3 ≥ + 3 = 4 + 1 + , với > 1.

Xét hàm số: ℎ( ) = 4 + 1 + trên khoảng (1; +∞).

Ta có: ℎ( ) = 4−

( ) =

( ) ;

ℎ( ) = 0⇔4 −8 + 3 = 0⇔

=3 2

=1

2∉(1; +∞) Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên ta có:

( ; )ℎ( ) = 9 khi = . Suy ra: ≥

( ; )ℎ( ) = 9.

Vậy khi = và = = .

Câu 39: Cho các số thực , , , thỏa mãn điều kiện > 1, > 1, > 0, > 0, + = . Biết rằng biểu thức = đạt giá trị nhỏ nhất khi = . Khẳng định nào sau đây đúng ?

A. + = . B. + = . C. + = . D. + = .

Ta có = + = ( ), suy ra ( ) = − = 0⇔ = ⇔ . = . ⇔

= ⇔ = ⇔ =

( ) = 1,

→ ( ) = +∞,

→ ( ) = +∞

Ta có BBT

Từ BBT⇒ = 1, đạt được khi = .

Do đó = 1, = −1⇒ + = .

Câu 40: Với hai số thực , bất kỳ, ta kí hiệu : _{( ; )}( ) = | − | + | − | + | −2| + | −3|. Biết rằng luôn tồn tại duy nhất số thực để

∈ℝ ( ; )( ) = _{( ; )}( ) với mọi số thực , thỏa mãn = và 0 < < . Số bằng

A.2 −1. B.2,5. C. . D.2 .

(20)

Trước tiên ta xét , thỏa mãn = và 0 < < .

Ta có: = ⇔ = ⇔ = .

Xét hàm số ( ) = trên (0; +∞).

Ta có: ′( ) = ; ′( ) = 0⇔ = . Bảng biến thiên

Do 0 < < và ( ) = ( ) nên ta có 0 < < < . Khi đó _{( ; )}( ) = | − | + | − | + | −2| + | −3|

= (| − | + | − |) + (| −2| + |3− |)

≥| − + − | + | −2 + 3− | = − + 1 Mặt khác do < < và 2 < < 3 nên ta có:

( ; )( ) = | − | + | − | + | −2| + | −3| = − + − + −2 + 3− = − + 1.

Vậy = .

Câu 41: Cho , là các số thực dương thỏa mãn ≤4 −1. Giá trị nhỏ nhất của = ⁽ ⁾+ là + . Giá trị của tích . là

A.45. B.81. C.108. D.115.

Ta có: ≤4 −1⇔4 ≥ + 1≥2 ⇒4 ≥ 2 nên: ≤ 2⇔ ≤ 4.

Xét = ⁽ ⁾+ = 12 + 6. + + 2 . Đặt = , 0 < ≤4.

Suy ra: = ( ) = 12 + + ( + 2).

Ta có: ( ) =− + =

.( ) =⁽ ⁾

.( ) .

Với 0 < ≤4 thì −3 < −3≤ 1⇒0 ≤( −3) < 9 nên ( −3) −21 < 0, ∀ ∈0; 4.

Do đó: ( ) < 0.

Hàm số ( ) nghịch biến trên (0; 4].

Suy ra: ( )≥ (4), ∀ ∈0; 4. Hay ≥ (4) = 12 + + 6⇔ ≥ + 6.

Vậy 6 . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi = 4

= 1⇔ = 2

= Khi đó: = ; = 6 nên = 81.

Câu 42: Xét các số thực dương , thỏa mãn = 3 + −1. Tìm giá trị nhỏ nhất của

= +√ .

A. . B. . C. . D. .

(21)

Điều kiện 0 < < .

Từ giả thiết = 3 + −1⇔ (1−2 ) + (1−2 ) = ( + ) + ( + )(1) Xét hàm số ( ) = + trên (0; +∞) có ( ) = + 1 > 0, ∀ > 0 do đó hàm ( ) đơn điệu.

Vậy (1)⇔1−2 = + ⇔3 + = 1 (2)

Có = +

√ ≥ + = +

Đặt ( ) = + , ta có ( ) =− +

( ) suy ra ( ) = 0⇔ = . Do đó

;

( ) = 8. Vậy . Bổ sung: có thể đánh giá = +

√ ≥ + = + ≥ =

Câu 43: Xét các số thực , thỏa mãn x²y² 1và (2 + 3 )≥ 1. Giá trị lớn nhất Pmaxcủa biểu thức P2xybằng

A. ¹⁹ ¹⁹

max 2

P 

 . B. ⁷ ⁶⁵

max 2

P 

 . C. ^{11 10 2}

max 3

P 

 . D. ⁷ ¹⁰

max 2

P 

 .

Ta có: (2 + 3 )≥ 1⇔2 + 3 ≥ + ⇔ −2 + −3 ≤ 0.

= 1−( −3 ) =− + 3 + 1.

Để tồn tại , thì ≥0 ⇔ ∈ ^√ ; ^√ . Khi đó = 1 ± − + 3 + 1.

Ta có: = 2 + ≤2 1 + − + 3 + 1 + = ( ).

( ) = + 1.

( ) = 0⇔ − + 3 + 1 = 2 −3⇔ − + 3 + 1 = 4 −12 + 9, = 16.

⇔ = ^√ . Bảng biến thiên.

Do đó = + 2 ≤ ^√

Vậy = ^√ khi

= ^√

= 1 + − + 3 + 1 = ^√

(thỏa mãn điều kiện x²y² 1)

Câu 44: Cho hai số thực , thỏa mãn + = 1. Giá trị lớn nhất của biểu thức =

+ bằng

A. 3 + 2. B. 3 + 2.

C. ( 3 + 2). D. .

(22)

Biến đổi yêu cầu của bài toán ta được:

= + = + = + .

Xét hàm số ( ) = ^√ + 3 .√1− ⇒ ( ) =

√ −

√ .

Ta có ( ) = 0⇔ √1− = 3√ ⇔ 1− = . 3⇔ = .

⇒ ( )≥ = 3 + 2⇒ = 3 + 2.

Câu 45: Cho , là các số dương thỏa mãn + 1 + −10 + 9 ≤ 0. Gọi , lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của = . Tính = 10 − .

A. = 60. B. = 94. C. = 104. D. = 50.

+ 5

+ 10 + + 1 + −10 + 9 ≤ 0

⇔ ( + 5 )− ( + 10 + ) + 2 + 2( + 5 )

−( + 10 + )≤ 0

⇔ (2 + 10 ) + 2( + 5 )≤ ( + 10 + ) + ( + 10 + )

⇔2 + 10 ≤ + 10 + vi)

⇔ −10 + 9 ≤ 0⇔ −10 + 9≤ 0⇔1≤ ≤9

= + + 9

+ =

+ + 9 + 1 Đặt = , điều kiện: 1≤ ≤9

( ) = ; ( ) = ₍ ₎ ; ( ) = 0⇔ = −4

= 2 (1) = ; (2) = 5 ; (9) =

Nên = , = 5. Vậy = 10 − = 94. ÁP DỤNG HÀM ĐẶC TRƯNG

Câu 46: Cho hai số thực dương , thay đổi thỏa mãn đẳng thức ( −1). 2 = ( + ). 2 . Tìm giá trị nhỏ nhất của .

A. . B. . C. . D. √3 .

Ta có ( −1)2 = ( + )2 ⇔(2 −1−1)2 = ( + )2 (1)

Xét hàm ( ) = ( −1). 2 với ≥1.

Khi đó ( ) = 2 + ( −1). 2 . 2 > 0 với ∀ ≥1.

Từ (1)⇔2 −1 = + + 1⇔ =

= 2 −2 −4

(2 −1) = 0⇔2 −2 −4 = 0 ⇔ = 2

=−1 Loại = −1 vì điều kiện của nên (2) = 2.

(23)

Câu 47: Cho các số thực , thỏa mãn 0≤ , ≤ 1và + ( + 1)( + 1)−2 = 0 Tìm giá trị nhỏ nhất của với = 2 + .

A.2. B.1. C. . D.0.

+ ( + 1)( + 1)−2 = 0^^log₃



^x^^y

 

^ ^x^^y



^^{log 1}₃



^^xy

 

^ ¹^^xy



^(1).

Xét hàm số ( ) = + với > 0, ta có ( ) =

. + 1 > 0∀ > 0

⇒ ( )luôn đồng biến với ∀ > 0(1)⇔ + = 1− ¹ 1 ²

1 1

y x

x x

     

  (2).

Thế (2)vào ta được = 2 + Với 0≤ ≤ 1

= 2−

( ) ; = 0⇔ = 0∉[0; 1]

=−2∉[0; 1]. (0) = 1; (1) = 2.

Vậy giá trị nhỏ nhất của là 1 đạt được khi = 0; = 1.

Câu 48: Cho , là hai số thực dương thỏa mãn = + 3 −4. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức = +

A. . B. . C. . D.1.

4 + 2 + 5

+ = + 3 −4⇔ (4 + 2 + 5)− 5 ( + )

= 5( + )−(4 + 2 + 5)

⇔ (4 + 2 + 5) + (4 + 2 + 5) = 5 ( + ) + 5( + )(*) Hàm số ( ) = + ( > 0) có ^'( ) = + 1 > 0

( ) đồng biến nên (*)⇔ (4 + 2 + 5) = 5( + ) ⇔4 + 2 + 5 = 5( + ).

4 + 2 + 5 = 5( + )⇔ = 5−3

= + ⇒ = (5−3 ) + = 10 −30 + 25 = 10 − + ≥ . Vậy GTNN = .

Câu 49: Cho 2 số thực dương , thỏa mãn [( + 1)( + 1)] = 9−( −1)( + 1). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức = + 2 là

A. . B. . C. √3 . D. √2 .

Lời giải Chọn D

Ta có [( + 1)( + 1)] = 9−( −1)( + 1)

⇔( + 1)[ ( + 1) + ( + 1)] + ( −1)( + 1) = 9.

⇔( + 1)[ ( + 1) + ( + 1) + −1] = 9

⇔ ( + 1) + −1 = 9

+ 1− ( + 1)

⇔ ( + 1) + + 1−2 = −2 + (*).

Xét hàm số ( ) = + −2 với > 0 có ( ) = + 1 > 0 với mọi > 0 nên hàm số ( ) luôn đồng biến và liên tục trên (0; +∞).

(24)

Từ (*) suy ra + 1 = ⇔ = −1 = , do > 0 nên ∈ (0; 8).

Vậy = + 2 = + 2 = 2 −1 + = 2( + 1) + −3≥ −3 + 6√2.

Vậy √2 khi 2( + 1) = ⇔ =

√ −1.

Câu 50: Cho các số thực dương x, y thỏa mãn: 3 + 2 + ( + 1) = + + 2 + 5.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức = 3 + 2 .

A. √6 . B. √2 . C. √2 . D. √2 .

Ta có: 3 + 2 + ( + 1) = + + 2 + 5

3 − + −5 = 3 − + 2 − (∗)

Xét hàm số ( ) = 3 − + có ( ) = 3 . 3− . + 1 > 0,∀ suy ra hàm số ( ) luôn đồng biến.

Từ (*) ta có ( −5) = (2 − ) ⇔ −5 = 2 − ⇔ =

Suy ra = + 2 =

⇔ = 2( + 1) + 4( + 1) + 9

+ 1 = 2( + 1) + 4 + 9

+ 1≥ 4 + 6√2.

Câu 51: Cho hai số thức , thỏa mãn 16. 2 = ⁽ ⁾. Tính giá trị lớn nhất của biểu thức = +

A. . B. C. D.1

Từ giải thiết suy ra 1−2 > 0. Theo bài ra:

16 . 2 = 8(1−2 )

+ 2 ⇔ ( + 2 ) =8(1−2 ) 16

⇔2 ( + 2 ) = 8(1−2 )

2 ⇔2 ( + 2 ) = 2 (2−4 )(1) Xét hàm số ( ) = . 2 với ∈ = (0; +∞)

Do hàm số liên tục trên và có ( ) = 2 + . 2 . > 0,∀ ∈ suy ra hàm số đồng biến trên . Khi đó (1)⇔ + 2 = 2−4 ⇔ (1 + 4 ) = 2−2 suy ra 2−2 > 0⇔ < 1.

Ta có = + = (1 + 4 ) = (2−2 ) = (1− ) ≤ =

Vậy = xảy ra khi

=

= .

Câu 52: Cho hai số dương , thỏa mãn = 3 −2 −1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức = 2 −18 + 72 −45 trên nửa khoảng 0; 5.

A.2020. B.20. C.15. D.30.

Ta có:

+

3 + 3 + = 3 −2 −1

⇔ ( + )− (3 + 3 + ) = 3 −2 −1

(25)

⇔ ( + ) + 2 + 1 = (3 + 3 + ) + 3

⇔ (3 + 3 ) + 3 + 3 = (3 + 3 + ) + 3 + 3 + Hàm đặc trưng ( ) = + ∀ > 0⇒ ( ) = + 1 > 0∀ > 0

⇒Hàm số đồng biến trên khoảng (0; +∞) Do đó: 3 + 3 = 3 + 3 + ⇔2 = 3

Thay vào ta có: = ( ) = 3 −27 + 72 −45 ( ) = 9 −54 + 72

( ) = 0⇔ = 2

= 4 Ta có bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên ta có giá trị lớn nhất của P là 15

Câu 53: Cho hai số thực dương , thỏa mãn 6. 3 + + 1 = 3 + ( + 3 ). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức = bằng

A. . B. . C. ^. . D. 3

Đặt = ( + 3 )⇔3 = + 3 ⇔3 = 3 −3

Khi đó phương trình 6. 3 + + 1 = 3 + ( + 3 ) trở thành:

3 + + 1 = 3 −3 +

⇔3. 3 + + 1 = 3 +

⇔3 + + 1 = 3 + (1) Xét hàm số: ( ) = 3 + trên khoảng (0; +∞)

Ta có: ( ) = 3 . 3 + 1 > 0,∀ ∈(0; +∞) suy ra hàm số luôn đồng biến

Do (1) suy ra ( + 1) = ( )⇔ + 1 = ⇔ + 1 = ( + 3 )⇔3 −3 = ⇔ = 2. 3

Khi đó = = = ( )có ⇒ ( ) = ^. = 0⇔ = .

Lập bảng biến thiên của hàm số trên khoảng (0; +∞) suy ra

( ; ) = = 3.

Câu 54: Cho hai số thực , thỏa mãn hệ thức log _, = 4 + 4− − −2 . Gọi và lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức = 3 + 4 + 12. Giá trị biểu thức ( + 2 ) tương ứng bằng

A.28. B.26. C.29. D.27.

Điều kiện xác định: > 0⇔ + 4 −2 + 10 > 0.(*)

Ta sẽ đưa phương trình về dạng log = − ⇔. .⇔ = (với > 1)

Giả thiết log _, = 4 + 4− − −2

⇔log( + 4 −2 + 10)−log(2 + + 6) = (2 + + 6)−( + 4 −2 + 10).

⇔log( + 4 −2 + 10) + ( + 4 −2 + 10) = log(2 + + 6) + (2 + + 6) (1)

(26)

Xét hàm số đồng biến ( ) = log + vì ′( ) = + 1 > 0 ∀t > 0.

Từ (1) suy ra ( + 4 −2 + 10) = (2 + + 6) ⇔ + 4 −2 + 10 = 2 + + 6

⇔( −2) + ( + 1) = 9 (2)

Xét biểu thức: = 3 + 4 + 12 = 3( −2) + 4( + 1) + 14

Theo BĐT buhia, ta có 3( −2) + 4( + 1) ≤ (3 + 4 )(( −2) + ( + 1) ) = 225

⇔|3( −2) + 4( + 1)|≤ 15⇔ −|3( ≤ −2) + 4( + 1)|≤ 3( −2) + 4( + 1)≤ |3( ≤ −2) + 4( + 1)| ⇔ −15≤ 3( −2) + 4( + 1)≤ 15⇔ −1≤ = 3( −2) + 4( + 1) + 14≤29

Suy ra giá trị nhỏ nhất của là: = 9; = −1⇒( + 2 ) = 27.

Câu 55: Cho , , là các số thực thỏa mãn = ( −2) + ( −2) + ( −2). Tìm giá trị lớn nhất của Cho ; là các số thực dương thỏa mãn điều kiện 5 + + + 1 =

+ 3 + ( −4). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức = + .

A.3. B.5 + 2√5. C.3−2√5. D.1 +√5.

Ta có 5 + + + 1 = + 3 + ( −4)

5 −3 + + 4 = 5 −3 + −1(1).

Xét hàm số ( ) = 5 −3 + trên ℝ.

Vì ( ) = 5 . 5 + 3 . 3 + 1 > 0;∀ ∈ ℝnên hàm số ( )đồng biến trên (2).

Từ (1)và (2)ta có + 4 = −1(3). Dễ thấy = 4không thỏa mãn (3).

Với ≠4, (3)⇔ = kết hợp điều kiện > 0suy ra > 4.

Do đó = + = + .

Xét hàm số ( ) = + trên (4; +∞).

Ta có ( ) = 1−

( ) = 0⇔ = 4 +√5

= 4− √5.

Dựa vào bảng biến thiên ta có

( ; ∞)( )√5 .

Câu 56: Cho các số thực , với ≥ 0 thỏa mãn + + ( + 1) + 1 = + − 3 . Gọi là giá trị nhỏ nhất của biểu thức = + 2 + 1. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. ∈ (2; 3). B. ∈(−1; 0). C. ∈(0; 1). D. ∈(1; 2).

Đẳng thức đã cho tương đương − + + 3 = − + (− −1) (∗).

Xét hàm số ( ) = − + với ∈ ℝ.

Ta có ( ) = + + 1⇒ ( ) > 0 với ∀ ∈ ℝ. Suy ra hàm số ( ) đồng biến trên ℝ.

(27)

Khi đó (∗) được viết lại thành

( + 3 ) = (− −1)⇔ + 3 =− −1⇔ ( + 3) =− −1⇔ = . Thay = vào biểu thức ta được

= + 2 + 1 = + 2 −1 + 1 = + −1 = + 3 + −4.

Đặt + 3 = . Vì ≥ 0 nên ≥ 3. Ta có

= + −4 = + + −4^Côsi≥ 2 . + ^. −4= . Do đó với = 3 thì = suy ra = ∈ (0; 1).

Câu 57: Cho hai số thực dương , thay đổi thỏa mãn đẳng thức ( −1). 2 = ( + ). 2 .Tìm giá trị nhỏ nhất của .

A. . B. . C. . D. √3 .

Ta có ( −1)2 = ( + )2 ⇔(2 −1−1)2 = ( + )2 (1)

Xét hàm ( ) = ( −1). 2 với ≥1.

Khi đó ( ) = 2 + ( −1). 2 . 2 > 0với ∀ ≥1.

Từ (1)⇔2 −1 = + + 1⇔ =

= 2 −2 −4

(2 −1) = 0⇔2 −2 −4 = 0 ⇔ = 2

=−1 Loại = −1vì điều kiện của nên (2) = 2.

Câu 58: Cho các số dương , thỏa mãn + 3 + 2 ≤4. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức

= 6 + 2 + + bằng

A. ^√ . B.11√3. C. ^√ . D.19.

ĐK: > 0

, > 0 ⇔ + > 1 Ta có:

+ −1

2 + 3 + 3 + 2 ≤ 4

⇔( ( + −1) + 1) + 5( + −1)≤ (2 + 3 ) + 2 + 3

⇔ [5( + −1)] + 5( + −1)≤ (2 + 3 ) + 2 + 3 (∗) Xét hàm số ( ) = ( ) + trên (0; +∞) ta có

( ) = 1

5+ 1 > 0,∀ ∈(0; +∞).

⇒Hàm số ( ) = ( ) + đồng biến trên (0; +∞).

(∗)⇔5( + −1)≤ 2 + 3

⇔3 + 2 ≤ 5 Mặt khác, ta có:

= 6 + 2 +4 +9

= 9 +4

+ 4 +9

−(3 + 2 )≥2.6 + 2.6−5 = 19

(28)

⇒GTNN của = 19, dấu “ = ” xảy ra ⇔

⎩

⎨

⎧9 = 4 =

3 + 2 = 5

⇔ =

= ( )

Câu 59: Cho các số thực , với ≥0 thỏa mãn 5 + 5 + ( + 1) + 1 = 5 + − 3 . Gọi là giá trị nhỏ nhất của biểu thức = + 2 + 1. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. ∈ (0; 1). B. ∈(1; 2). C. ∈(2; 3). D. ∈(−1; 0).

Ta có: 5 + 5 + ( + 1) + 1 = 5 + −3

⇔5 −5 + + 3 = 5 −5 − −1.

Xét hàm số ( ) = 5 −5 + có ( ) = 5 5 + 5 5 + 1 > 0, ∀ ∈ ℝ.

Do đó hàm số ( ) đồng biến trên ℝ ⇒ ( + 3 ) = (− −1)⇔ + 3 =− −1

⇔ (3 + ) =− −1⇔ = (do ≥ 0 nên + 3≠0) ⇔ + 2 + 1 = + + 1

= .

Xét hàm số ( ) = với ≥0 có ( ) =

( ) > 0, ∀ ≥0.

Do đó: ( )≥ (0) = , ∀ ≥0 hay + 2 + 1 ≥ , ∀ ≥0. Vậy = ∈(0; 1).

Câu 60: Cho , ∈(0; 2) thỏa mãn ( −3)( + 8) = ( −11). Giá trị lớn nhất của =√ + 1 + bằng

A.√1 + 3− 2. B.2√ 3− 2. C.1 +√ 3− 2. D.1 +√ 2.

Điều kiện: ≥1, ≥ .

Ta có : ( −3)( + 8) = ( −11)⇔ + 5 −24 = −11

⇔ −11 −( + 5 −24) = 0, có = (2 + 5) > 0,∀ ≥1.

Do đó ⇔ = ⁽ ⁾

= ⁽ ⁾⇔ = + 8

= 3− ⇔ =

= . +) Do = > > 2 nên loại = .

+) Với = , 1≤ < 2:

Cách 1:

Khi đó, ta được: = √ + (3− ) trên 1; 2).

Ta có =

√ −

( ) ( )

= 0 ⇔ 1

2 √ − 1

2(3− ) (3− )= 0

⇔(3− ) (3− )− √ = 0⇔(3− ) (3− ) = √ Xét hàm ( ) = √ trên 1; +∞), có ( ) =√ +

√ > 0,∀ ∈(1; +∞).

Khi đó ⇔ (3− ) = ( )⇔3− = ⇔ = . Bảng biến thiên:

(29)

Từ đó _max = 2√ 3− 2 tại = , = . Cách 2:

Khi đó, ta được: = √ + (3− ) trên 1; 2).

⇒ = √ + (3− ) ≤2( + (3− )) = 2 [ (3− )] ≤2 =

4( 3− 2),∀ ∈ 1; 2) Dấu “=” xảy ra khi

√ = (3− )

= 3−

∈ 1; 2)

⇔ = . Vậy Từ đó _max = 2√ 3− 2 tại = , = .

Câu 61: Cho hai số thực ; thỏa mãn: _√ ( + 8 + 16) + [(5− )(1 + )] =

2 + (2 + 8) .

Gọi là tập các giá trị nguyên của tham số để giá trị lớn nhất của biểu thức = + − không vượt quá 10. Hỏi có bao nhiêu tập con khác rỗng.

A.16385. B.2047. C.32. D.16383.

ĐKXĐ: −1 < < 5

≠ −4 .

Ta có: _√ ( + 8 + 16) + [(5− )(1 + )] = 2 + (2 + 8)

⇔ ( + 4) + [(5− )(1 + )]

= 2{ [(5− )(1 + )]− 3} + [ 4 + ( + 4) ]

⇔2 ( + 4) + [(5− )(1 + )] = 2 [(5− )(1 + )] + ( + 4)

⇔2log3



y4



²log2



y4



² 2log3



5x



1x



log2



5x



1x



(∗) Xét hàm số: ( ) = 2 − trên (0; +∞)

Ta có: ′( ) =

. −

. =

. . > 0

⇒ ( ) đồng biến trên (0; +∞).

(∗)⇔ (( + 4) ) = (5− )(1 + )

( + 4) = (5− )(1 + )

( −2) + ( + 4) = 9 Đặt: = 2 + 3

=−4 + 3

= + − = (2 + 3 ) + (−4 + 3 ) − = √29 + 12 −24 −

Ta có: 29−12√5≤29 + 12 −24 ≤ 29 + 12√5

⇒ −3 + 2√5≤ √29 + 12 −24 ≤3 + 2√5

⇒ −3 + 2√5− ≤ √29 + 12 −24 − ≤ 3 + 2√5−

(30)

 −3 + 2√5− 3 + 2√5− [

 −3 + 2√5− ≤ 10 3 + 2√5− ≤10

 −10≤ −3 + 2√5− ≤10

−10≤3 + 2√5− ≤ 10 ^

−13 + 2√5≤ ≤7 + 2√5

−7 + 2√5≤ ≤13 + 2√5⇔ −7 + 2√5≤ ≤7 + 2√5. Vì ∈ ℤ ⇒ ∈{−2;−1; . .10; 11}.

Do đó số phần tử của là: 14

⇒Số tập con khác rỗng của là 2 −1 = 16383.

Câu 62: Cho hai số thực , thỏa mãn 0≤ , ≤1 trong đó , không đồng thời bằng 0 hoặc 1 và + ( + 1). ( + 1)−2 = 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của với = 2 +

A.2. B.1. C. . D.0.

Từ điều kiện đề bài và > 0; 1− ≠0 ⇒ + > 0; 1− > 0khi đó +

1− + ( + 1). ( + 1)−2 = 0 ⇔ ( + ) + ( + ) = (1− ) + (1− )(1) Xét hàm số ( ) = + ( > 0) có ( ) =

. + 1 > 0∀ > 0

⇒ ( ) là hàm số đồng biến trên khoảng (0; +∞).

Vậy phương trình (1)⇔ + = 1− ⇒ = ⇒ = 2 +

Xét hàm số ( ) = 2 + với ∈[0; 1]có ( ) = 2 +

( ) cho ( ) = 0⇔ = 0

= −2 (0) = 1; (1) = 2⇒

[ ; ] ( ) = 1⇒Chọn B

Câu 63: Cho ; là các số thực dương thỏa mãn điều kiện 5 + + + 1 = + 3 + ( −4). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức = + .

A.3. B.5 + 2√5. C.3−2√5. D.1 +√5.

Ta có 5 + + + 1 = + 3 + ( −4)

⇔ 5 −3 + + 4 = 5 −3 + −1(1).

Xét hàm số ( ) = 5 −3 + trên ℝ.

Vì ( ) = 5 . 5 + 3 . 3 + 1 > 0;∀ ∈ ℝ nên hàm số ( ) đồng biến trên ℝ (2).

Từ (1) và (2) ta có + 4 = −1(3). Dễ thấy = 4 không thỏa mãn (3).

Với ≠4, (3)⇔ = kết hợp điều kiện > 0 suy ra > 4.

Do đó = + = + .

Xét hàm số ( ) = + trên (4; +∞).

Ta có ( ) = 1−

( ) = 0 ⇔ = 4 +√5

= 4− √5.

4 4 +√5 +∞

( ) – 0 +

(31)

( ) +∞

5 + 2√5

+∞

Dựa vào bảng biến thiê n ta có

( ; )( )√5 .

Câu 64: Xét các số thực dương , thỏa mãn _√ = ( −3) + ( −3) + . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức = .

A.3. B.2. C. 1. D. 4.

Ta có:

√

+

+ + + 2= ( −3) + ( −3) +

⇔ _√ 3 ( + ) + 3( + ) = _√ ( + + + 2) + + + + 2.

Xét hàm số ( ) = _√ + , > 0 có ( ) =

√ + 1 > 0,∀ > 0. Vậy hàm số ( ) luôn đồng biến và liên tục trên khoảng (0; +∞).

Do đó: 3( + ) = ( + + + 2)⇔3( + ) = + + + 2 (1) Cách 1: Từ (1) ⇔ = ( + ) −3( + ) + 2.

Ta có = + − = ( + 1)− ≤ −

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi = + 1.

Do đó từ (1), suy ra: ≤⁽ ⁾ −( + ) + 3( + )−2.

Đặt = + , > 0.

Suy ra: = ⁽ ⁾ ≤

( )

= ( ) = ( ).

Ta có: ( ) =

( ) = 0 ⇔ = 3 (nhận) Bảng biến thiên

Dựa vào BBT, ta có =

( ; ) ( ) = (3) = 1 khi và chỉ khi = + 1

+ = 3⇔ = 2

= 1. Cách 2: (Trắc nghiệm)

Ta có: = 2 + .

Trong (1) coi là ẩn, là tham số. Ta có + ( −3) + −3 + 2 = 0 có nghiệm khi

= ( −3) −4( −3 + 2)≥0⇔ ^√ ≤ ≤ ^√ < 3 nên −11 < 0 Vậy < 2 nên trong 4phương án thì khi đó = 2, = 1.

Cách 3: (Trắc nghiệm)

Ta có: = 3− < 3 với , > 0.

(32)

+ Nếu = 2 thì = 2⇔ = 11. Thay vào (1) ta được: + 3 + 90 = 0 (vô lý).

+ Nếu = 1 thì = 1⇔2 + = 5⇔ = 5−2 . Thay vào (1), ta được:

3( + 5−2 ) = + (5−2 ) + (5−2 ) + 2⇔3 −12 + 12 = 0⇔ = 2⇒ = 1.

Vậy .

Câu 65: Cho các số thực dương và thỏa mãn 4 + 9. 3 = 4 + 9 . 7 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức = .

A. = 9. B. = ^√ . C. = 1 + 9√2. D. Hàm số không có

giá trị nhỏ nhất.

Từ giả thiết ta đặt = −2 , ∈ ℝ.

Phương trình 4 + 9. 3 = 4 + 9 . 7 trở thành 4 + 9. 3 = (4 + 9 ). ⇔4(7 −49) + 9 9. −49 = 0.

Nhận thấy = 2 là nghiệm phương trình.

Ta chứng minh = 2 là nghiệm duy nhất của phương trình.

 Xét > 2: 7 > 49 và 9. > 49 nên vế trái phương trình luôn dương, nên phương trình vô nghiệm.

 Xét < 2: 7 < 49 và 9. < 49 nên vế trái phương trình luôn âm, nên phương trình vô nghiệm.

Vậy = −2 = 2⇔ = thay vào = =

. Dấu bằng đạt được khi = ⇒ = 4.

Câu 66: Cho hai số thực , thay đổi thỏa mãn đẳng thức ^. + ( −1). 2 = 0. Tìm giá trị lớn nhất của , biết rằng > 1.

A. =− . B. = −3. C. = 1. D. = 0.

Ta có: ^. + ( −1). 2 = 0 ⇔ . 2 = ( + − −1). 2 (∗).

Xét hàm số ( ) = . 2 trên 0; +∞). Ta có ( ) = 2 + . 2 2 > 0∀ ≥0.

Vậy hàm số ( ) = . 2 đồng biến trên 0; +∞).

Suy ra: (∗)⇔ ( ) = ( + − −1)⇔ + − −1 = ⇒ = do > 1.

Ta có: =⁽ ⁾⁽ ⁾

( ) =

( ) ; = 0 ⇔ = 0

= 2. Bảng biến thiên:

16 16

1 2 . 1 9

x x

     

(33)

Từ bảng biến thiên suy ra: = −3.

Câu 67: Cho hai số thực , không âm thỏa mãn + 2 − + 1 = . Giá trị nhỏ nhất của

biểu thức = + 4 −2 + 1 là

A.− . B.1. C. . D.−1.

+ 2 − + 1 = ⇔2( + 1) + (2( + 1) ) = (2 + 1) + (2 + 1).

Xét hàm số ( ) = + , ( > 0); ( ) = 1 +

. > 0,∀ > 0 Suy ra 2( + 1) = 2 + 1 ⇒2 = 2( + 1) −1.

= + 4 −2 + 1 = + 4 −2( + 1) + 1 + 1 = + 2 −4 = ( ).

( ) = 2 + 4 −4 là hàm số đồng biến trên nửa khoảng 0; +∞) nên ( ) = 0 có tối đa 1 nghiệm, nhẩm được nghiệm = nên nghiệm đó là duy nhất.

Vậy = − tại = .

Câu 68: Cho hai số thực , thỏa mãn



²



²

  

³ ² ²

 

²

3

log 8 16 log 5 1 2 log 5 4 log 2 8 .

3 x x

y y x x   y

        

Gọi là tập các giá trị nguyên của tham số để giá trị lớn nhất của biểu thức = + − không vượt quá 10. Hỏi có bao nhiêu tập con không phải là tập rỗng?

A.2047. B.16383. C.16384. D.32.

ĐK: −1 < < 5, ≠ −4. Ta có:



²



²

  

³ ² ²

 

²

3

log 8 16 log 5 1 2 log 5 4 log 2 8 .

3 x x

y y x x   y

        



²

 

²

 

²

 

²



3 3 2 2

2 log y 8y 16 2log 5 4x x log y 8y 16 log 5 4x x

           



log 4 1 .log3



2



y