Toán 12 Bài 4: Ôn tập chương 1 | Hay nhất Giải bài tập Toán lớp 12

(1)

Ôn tập chương I

Bài 1 trang 26 Toán lớp 12 Hình học: Các đỉnh, cạnh, mặt của một đa diện phải thỏa mãn những tính chất nào?

Lời giải:

Các đỉnh, cạnh, mặt của một đa diện phải thỏa mãn những tính chất:

- Mỗi đỉnh là đỉnh chung của ít nhất ba cạnh, ba mặt;

- Mỗi cạnh là cạnh chung của đúng hai mặt;

- Hai mặt bất kì hoặc không có điểm chung, hoặc có một đỉnh chung, hoặc có đúng một cạnh chung.

Bài 2 trang 26 Toán lớp 12 Hình học: Tìm một hình tạo bởi các đa giác nhưng không phải là một đa diện.

Lời giải:

+) Ví dụ 1:

Hình trên không phải là đa diện vì có 1 cạnh là cạnh chung của 4 mặt phẳng.

+ Ví dụ 2:

(2)

Hình trên được tạo bởi các đa giác nhưng không phải là một đa diện. Vì EF là giao của hai đa giác ABCD và EFJI nhưng nó không phải là cạnh chung của hai đa giác đó.

Bài 3 trang 26 Toán lớp 12 Hình học: Thế nào là một khối đa diện lồi. Tìm ví dụ trong thực tế mô tả một khối đa diện lồi, một khối đa diện không lồi.

Lời giải:

Định nghĩa: Khối đa diện (H) được gọi là khối đa diện lồi nếu đoạn thẳng nối hai điểm bất kỳ của (H) luôn thuộc (H).

Cụ thể: Với hai điểm M và N thuộc khối đa diện (H) thì mọi điểm của đoạn thẳng MN cũng thuộc khối đa diện (H) đó. Ta gọi (H) là khối đa diện lồi.

+ Ví dụ về khối đa diện lồi:

(3)

+ Ví dụ về khối đa diện không lồi:

+ Các ví dụ trong hình học:

(4)

(Hai điểm M, N thuộc khối đa diện nhưng đoạn MN nằm ngoài khối đa diện).

Bài 4 trang 26 Toán lớp 12 Hình học: Cho hình lăng trụ và hình chóp có diện tích đáy và chiều cao bằng nhau. Tính tỉ số thể tích của chúng.

Lời giải:

Gọi S là diện tích đáy và h là chiều cao của hình lăng trụ và của hình chóp, ta có:

- Thể tích khối lăng trụ là: V1 = Sh - Thể tích khối chóp là: V2 = 1

3Sh Vậy ¹

2

V Sh 1 3

V Sh

3

= = .

Bài 5 trang 26 Toán lớp 12 Hình học: Cho hình chóp tam giác O.ABC có ba cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau và OA = a, OB = b, OC = c. Hãy tính đường cao OH của hình chóp.

Lời giải:

(5)

Ta có: OA⊥OB và OA⊥OC

( )

OA OBC

 ⊥

OA BC

 ⊥ (1)

Vẽ AE⊥BC (2)

Từ (1) và (2) suy ra ^BC^⊥

(

^AOE

) (

^ABC

) (

^AOE

)

 ⊥ ,

(

^ABC

) (

^ ^AOE

)

⁼^AE⁽³⁾

Trong mặt phẳng AOE, vẽ OH⊥AE (4) Từ (3) và (4) suy ra ^OH^⊥

(

^ABC

)

Do đó OH là đường cao của hình chóp O.ABC Mặt khác ^BC^⊥

(

^AOE

)

^^BC^⊥^OE

Tam giác OBC vuông tại O có OE là đường cao nên:

2 2 2

1 1 1

OE =OB +OC (5)

Tam giác AOE vuông ở O có OH là đường cao nên:

(6)

2 2 2

1 1 1

OH = OA +OE (6) Từ (5) và (6) suy ra:

2 2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 1 1

OH = OA +OB +OC = a + b +c ^{b c}^{2 2} ^{a c}₂^{2 2}_{2 2} ^{a b}² ² a b c

+ +

=

Vậy 2 2 2 2 2 2

OH abc

b c a c a b

= + + .

Bài 6 trang 26 Toán lớp 12 Hình học: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh AB bằng a. Các cạnh bên SA, SB, SC tạo với đáy một góc 60^o. Gọi D là giao của SA với mặt phẳng qua BC và vuông góc với SA.

a) Tính tỉ số thể tích giữa hai khối chóp S.DBC và S.ABC.

b) Tính thể tích của khối chóp S.DBC.

Lời giải:

a) Gọi H là hình chiếu của S lên (ABC)

AH là hình chiếu của SA lên (ABC)

(7)

( )

(

^{SA; ABC}

)

^SAH ⁶⁰

 = = 

Gọi E là trung điểm của BC AE AC.sin ACB a.sin 60 a 3

 = =  = 2

Lại có H là trọng tâm của tam giác đều ABC 2 2 a 3 a 3

AH AE .

3 3 2 3

 = = =

Ta có tam giác SAH vuông tại H nên:

AH a 3 1 2a 3

SA :

cosSAH 3 2 3

= = =

Lại có: ^SA^⊥

(

^DBC

) ( )

^gt ^^SA^⊥^DE

Khi đó tam giác DEA vuông tại D

 AD = AE . cosDAE = ^{a 3}.cos60 ^{a 3}

2  = 4

Khi đó: SD = SA – AD = ^{2a 3} ^{a 3} ^{5a 3} 3 − 4 = 12

S.DBC S.ABC

V SD 5a 3 2a 3 5

V SA 12 : 3 8

 = = =

b) Tam giác SAH vuông tại H nên:

2 2 4 2 1 2

SH SA AH a a a

3 3

= − = − =

Diện tích tam giác ABC là:

2 ABC

1 1 3 a 3

S .AB.AC.sin 60 a.a.

2 2 2 4

=  = =

Thể tích khối chóp S.ABC là:

(8)

S.ABC ABC

V 1.SH.S

=3 ¹.a.^a² ³ ^a³ ³

3 4 12

= =

Do đó thể tích khối chóp S.DBC là:

3 3

S.DBC S.ABC

5 5 a 3 5a 3

V .V .

8 8 12 96

= = = .

Bài 7 trang 26 Toán lớp 12 Hình học: Cho hình chóp tam giác S.ABC có AB = 5a, BC = 6a, CA = 7a. Các mặt bên SAB, SBC, SCA tạo với đáy một góc 60^o. Tính thể tích của khối chóp đó.

Lời giải:

Từ S dựng SH ⊥ (ABC), H thuộc mặt phẳng (ABC), dựng HE⊥AB, HF⊥BC, HI⊥AC với EAB, FBC, IAC. Ta có: ^AB ^{SH SH}

( (

^ABC

) ) ( )

AB SHE

AB HE

⊥ ⊥   ⊥

⊥ 

AB SE

 ⊥

Tương tự ta chứng minh được: SF BC,SI AC⊥ ⊥

Khi đó, góc hợp bởi (SAB), (SBC), (SAC) với đáy (ABC) lần lượt là:

SEH=SFH=SIH= 60

(9)

SHE SHF SHI

  =  = 

 HE = HF = HI = r

(Với r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC) Chu vi tam giác ABC là: 5a + 6a + 7a = 18a

Suy ra nửa chu vi tam giác ABC là: p = 18a : 2 = 9a Theo công thức Hê – rông, diện tích tam giác ABC là:

SABC = ^{9a 9a}

(

⁻^{5a 9a}

)(

⁻^{6a 9a}

)(

⁻^7a

)

⁼^6a² ⁶

Lại có: SABC = p. r

2

SABC 6a 6 2a 6

r p 9a 3

 = = =

SH EH tanSEH r.tan 60 2a 6. 3 2a 2

 = =  = 3 =

Vậy thể tích của S.ABC là:

2 3

ABC

1 1

V .SH.S .2a 2.6a 6 8a 3

3 3

= = = (đvtt).

Bài 8 trang 26 Toán lớp 12 Hình học: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, SA vuông góc với đáy và AB = a, AD = b, SA = c. Lấy các điểm B’, D’ theo thứ tự thuộc SB, SD sao cho AB’ vuông góc với SB, AD’ vuông góc với SD. Mặt phẳng (AB’D’) cắt SC tại C’. Tính thể tích khối chóp S.AB’C’D’.

Lời giải:

(10)

Ta có:

( ( ) )

( )

BC SA SA ABCD BC AB hcnABCD

⊥ ⊥ 

⊥ ^^BC^⊥

(

^SAB

)

^^BC^⊥^AB

Mà AB ⊥SB

Nên ^AB^{ ⊥}

(

^SBC

)

^^AB^^⊥^SC⁽¹⁾

Chứng minh tương tự ta được: ^AD^^⊥

(

^SCD

)

^^AD^^⊥^SC⁽²⁾

Từ (1) và (2) suy ra ^SC^⊥

(

^{AB D}^{ }

)

Ta lại có: SB= AB² +SA² = a² +c²

2 2 2 2 2 2 2 2

SC= SA +AC = SA +AB +BC = a +b +c Ta có: S_SAB ¹SA.AB ¹AB .SB

2 2 

= =

2 2

SA.AB c.a

AB SB a c

 = =

+ Tương tự:

2 2

SA.AD b.c

AD SD b c

 = =

+ ;

2 2

2 2 2

SA.AC c. a b

AC SC a b c

 = = +

+ +

(11)

2

2 2 2

2 2

SB SA AB c ca

a c

 

 

 = − = −  

 + 

2

2 2

c

a c

= +

Tương tự:

2 2

2 2 2 2 2

c c

SD ;SC

b c a b c

= =

+ + +

Vì tam giác SC’B’ đồng dạng với tam giác SBC nên B C BC

SC SB

 =



2

2 2 2

2 2

b. c

BC.SC a b c

B C SB a c

 + +

  = =

+

2

2 2 2 2 2

bc

a c . a b c

= + + +

Tương tự:

2

2 2 2 2 2

C D ac

b c . a b c

  =

+ + +

Ta có: AB⊥B C  và AD⊥D C  nên:

2

AB C 2 2 2 2 2 2 2

1 1 ca bc

S .AB .B C . .

2 2 a c a c . a b c

  =   =

+ + + +

( )

3

2 2 2 2 2

abc

2 a c a b c

= + + +

2

AD C 2 2 2 2 2 2 2

1 1 cb ac

S AD .D C . .

2 2 b c b c . a b c

  =   =

+ + + +

( )

3

2 2 2 2 2

abc

2 b c a b c

= + + +

Vậy thể tích khối chóp S.AB’C’D’ là:

( )

AB C D AB C AD C

1 1

V .SC .S .SC S S

3  ^{  } 3  ^{ }  ^{ }

= = +

2 3

2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

1 c 1 abc 1 1

. .

3 a b c 2 a b c a c b c

 

= + + + +  + + + 

(12)

( )( )

5 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2

1 abc a b 2c

. .

6 a b c a c b c + +

= + + + +

( )

( )( )( )

5 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2

abc a b 2c

6 a b c a c b c + +

= + + + +

Bài 9 trang 26 Toán lớp 12 Hình học: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD. Đáy hình vuông cạnh a, cạnh bên tạo với đáy một góc 60^o. Gọi M là trung điểm SC.

Mặt phẳng đi qua AM và song song với BD, cắt SB tại E và cắt SD tại F. Tính thể tích khối chóp S.AEMF.

Lời giải:

Gọi H là giao hai đường chéo AC và BD, H là tâm hình vuông ABCD Do S.ABCD là hình chóp tứ giác đều nên ^SH^⊥

(

^ABCD

)

^.

Ta có: ^BD ^{AC hvABCD}

( )

^BD

(

^SAC

)

BD SH

⊥ 

 ⊥

⊥ 

( )

EF SAC

 ⊥

Mà ^AM^

(

^SAC

)

^nên^AM^⊥^EF

Gọi I là giao điểm của AM và EF.

(13)

Ta có: AC = BD = a² +a² = a 2 HD ¹BD ^{a 2}

2 2

 = =

Lại có: 2 2 a 2 a 2

EI FI HD .

3 3 2 3

= = = =

Góc tạo bởi cạnh bên SC và đáy (ABCD) là góc giữa SC và CH và là SCH 60=  (do CH là hình chiếu của SC lên đáy (ABCD)).

Vì SA = SC (do hình chóp tứ giác đều S.ABCD) và SCA SCH 60= =  nên tam giác SAC đều có cạnh là AC a 2= .

a 2. 3 a 6

AM 2 2

 = = ; SM ^SC ^AC ^{a 2}

2 2 2

= = =

Vì AM⊥EF nên

2 AEMF

1 a 6 a 2 a 3

S AM.EF AM.EI .

2 2 3 3

= = = =

Lại có SM nằm trong (SAC) và ^EF^⊥

(

^SAC

)

^nên^SM ^⊥^EF

Mà SAC là tam giác đều nên SM⊥AM Do đó: ^SM^⊥

(

^AEMF

)

Suy ra SM là đường cao của hình chóp S.AEMF Vậy thể tích khối chóp S.AEMF là:

2 3

AEMF

1 1 a 2 a 3 a 6

V .SM.S . .

3 3 2 3 18

= = =

Bài 10 trang 27 Toán lớp 12 Hình học: Cho hình lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh đều bằng a.

a) Tính thể tích khối tứ diện A’BB’C.

b) Mặt phẳng đi qua A’B’ và trọng tâm tam giác ABC, cắt AC và BC lần lượt tại E và F. Tính thể tích hình chóp C.A’B’FE.

(14)

Lời giải:

a)

Ta chia khối lăng trụ đã cho thành hình chóp A’.ABC, C.A’B’C’ và C.A’BB’

Ta có: VA’.ABC = VC.A’B’C’ = ¹Sh

3 trong đó S là diện tích đáy, S = SABC = SA’B’C’ và h là chiều cao của hình lăng trụ.

Lại có: VABC.A’B’C’ = S.h Do đó,

C.A BB

1 1 1

V Sh Sh Sh Sh

3 3 3

  = − − =

Trong đó, tam giác ABC là tam giác đều có độ dài cạnh bằng a nên

2 ABC

a 3 S S

= = 4 Vì đây là hình lăng trụ đứng nên h = AA’ = BB’= CC’ = a.

Vậy thể tích khối chóp C.A’BB’ là:

2 3

C.A BB

1 a 3 a 3

V . .a

3 4 12

  = =

Do đó thể tích khối tứ diện A’BB’C là

3 A BB C C.A BB

a 3

V V

  =   = 12 .

b)

(15)

Thể tích hình chóp C.A′B′FE bằng tổng thể tích hai hình chóp:

- V1 là thể tích hình chóp đỉnh B′, đáy là tam giác CEF.

- V2 là thể tích hình chóp đỉnh B′, đáy là tam giác A′EC.

Do (ABC) // (A′B′C′) nên dễ thấy EF // AB. Ta cũng có: EF = ²AB ²a 3 =3 Hình chóp B′.CEF có chiều cao BB′ = a và diện tích đáy là:

SCEF = ¹

2 EF.CG =

1 2a 2 a 3 a2 3 . . .

2 3 3 2 = 9 (với G là trọng tâm tam giác ABC) Từ đây ta có:

2 3

1

1 a 3 a 3

V .a.

3 9 27

= =

Do EC = ²

3AC ²a

= 3 Nên

2 A EC

1 1 2 a

S A A.EC a. a

2 2 3 3

 =  = =

Gọi I là trung điểm của A′C′ ta có: ^{B I} ^{A C} ^{B I}

(

^{ACC A}

)

B I AA

 ⊥    ⊥  

 ⊥  ^^{B I}^ ^⊥

(

^{A EC}^

)

Hình chóp B′.A′EC có chiều cao là B′I bằng a 3

2 nên:

2 3

2 A EC

1 1 a 3 a a 3

V .B I.S . .

3  ^ 3 2 3 18

= = =

Vậy thể tích hình chóp C.A′B′FE là

3 3 3

1 2

a 3 a 3 5a 3

V V V

27 18 54

= + = + =

(16)

Bài 11 trang 27 Toán lớp 12 Hình học: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Gọi E và F theo thứ tự là trung điểm của các cạnh BB’ và DD’. Mặt phẳng (CEF) chia khối hộp trên làm hai khối đa diện. Tính tỉ số thể tích của hai khối đa diện đó.

Lời giải:

Gọi O là tâm hình hộp và chính là tâm của hình bình hành BB’D’D. Khi đó O là trung điểm của EF.

Ta có: A’  CO (1) CO (CEF) (2)

Mặt khác A’E // CF, A’F // CE

Nên mp(CEF) cắt hình hộp theo thiết diện là hình bình hành A’ECF.

Mp(CEF) chia hình hộp ABCD.A’B’C’D’ thành hai khối đa diện (Đ) và (Đ’).

Gọi (Đ) là khối đa diện có các đỉnh là A, B, C, D, A’, E, F và (Đ’) là khối đa diện còn lại.

Phép đối xứng qua tâm O biến các đỉnh A, B, C, D, A’, E, F của đa diện (Đ) lần lượt thành các đỉnh C’, D’, A’, B’, C, F, E của khối da diện (Đ’)

Suy ra phép đối xứng qua tâm O biến (Đ) thành (Đ’), nghĩa là hai hình đa diện (Đ) và (Đ’) bằng nhau.

(17)

Vậy tỉ số thể tích của (Đ) và (Đ’) bằng 1.

Bài 12 trang 27 Toán lớp 12 Hình học: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’

cạnh a. Gọi M là trung điểm A’B’, N là trung điểm BC.

a) Tính thể tích khối tứ diện ADMN.

b) Mặt phẳng (DMN) chia khối lập phương đã cho thành hai khối đa diện. Gọi (H) là khối đa diện chứa đỉnh A, (H’) là khối đa diện còn lại.

Tính tỉ số ^{( )}

( )

H H

V V _ . Lời giải:

a)

Gọi M’ là hình chiếu của M lên mp(ABCD). Khi đó MM’ = AA’ = a.

Ta có: S_ABCD =S_ABN+S_AND+S_CND

2

AND

1 a 1 a

a a. S .a.

2 2 2 2

 = + +

(18)

2 AND

S a

 = 2

Thể tích của khối tứ diện ADMN là:

2 3

ADMN M.ADN AND

1 1 a a

V V S .MM . .a

3  3 2 6

= = = =

b) Mặt phẳng (DMN) cắt hình lập phương theo thiết diện MEDNF trong đó ME //

ND, FN // DE và chia hình lập phương thành hai khối đa diện (H) và (H’), gọi phần khối lập phương chứa A, B, A’, mặt phẳng (DMN) là (H).

Chia (H) thành các hình chóp F.DBN, D.ABFMA’ và D.A’EM.

Ta có: FN // ED  FBNđồng dạng với DD E

BF DD 4 4 4 a 2a

BF BN .

BN ED 3 3 3 2 3

 =  =  = = =

 Ta có:

2

BDN BDC ABCD

1 1 1 a

S S . S

2 2 2 4

= = =

Thể tích của khối chóp F.DBN là:

2 3

F.BDN BND

1 1 a 2a a

V S .FB . .

3 3 4 3 18

= = =

Lại có:

2 FMB

1 1 a a a

S FB .B M . .

2 2 3 2 12

 =   = =

Diện tích ngũ giác ABFMA’ là: S_ABFMA S_{ABB A} S_FMB a² ^a² ^11a² 12 12

 =   −  = − =

Thể tích của khối chóp D.ABFMA’ là:

D.ABFMA ABF A

2 3

M

1 1 11a 11a

V .DA.S .a.

3 3 12 36

 =  = =

(19)

Mặt khác ta có:

2 A ME

1 1 a a a

S A M.A E . .

2 2 2 4 16

 =   = =

Thể tích của khối chóp D.A’EM là:

E

2 3

D.A EM A M

1 1 a a

V S .DD . .a

3 3 16 48

 =  = =

Do đó thể tích của (H) là:

( )^H ^F.DBN ^D.A^BFMA ^D^{.A E}^M

V =V +V _ +V _ a³ 11a³ a³ 55a³

18 36 48 144

= + + =

Suy ra thể tích của (H’) là:

( ) ( )

3 3

3 ABCD.A B C D

H H

55a 89a

V V V a

144 144

   

 = − = − =

Vậy tỉ số thể tích cần tìm là: ^{( )}

( )

3 H

V 55a144 55

89a

V 89

144



= = .

Câu hỏi trắc nghiệm chương I

Bài 1 trang 27 Toán lớp 12 Hình học: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

(A) Số đỉnh và số mặt của một hình đa diện luôn bằng nhau;

(B) Tồn tại hình đa diện có số đỉnh và số mặt bằng nhau;

(C) Tồn tại một hình đa diện có số cạnh bằng số đỉnh;

(D) Tồn tại một hình đa diện có số cạnh và số mặt bằng nhau.

Lời giải:

(20)

+ Tồn tại hình đa diện có số đỉnh và số mặt bằng nhau là mệnh đề đúng nên đáp án B đúng.

Ví dụ: Tứ diện có 4 đỉnh và bốn mặt.

+ Hình lập phương có 8 đỉnh và 6 mặt nên đáp án A sai.

+ Giả sử khối đa diện có số cạnh bằng số đỉnh nên Đ = C, suy ra p = 2, tức là mỗi mặt có 2 cạnh (vô lí). Do đó đáp án C sai.

+ Giả sử khối đa diện có số cạnh bằng số mặt nên M = C, suy ra n = 2, tức là mỗi đỉnh là đỉnh chung của 2 cạnh (vô lí). Do đó đáp án D sai.

Chọn đáp án B.

Bài 2 trang 27 Toán lớp 12 Hình học: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

Số các đỉnh, hoặc các mặt của bất kì hình đa diện nào cũng:

(A) Lớn hơn hoặc bằng 4;

(B) Lớn hơn 4;

(C) Lớn hơn hoặc bằng 5;

(D) Lớn hơn 5.

Lời giải:

Số các đỉnh, hoặc các mặt của bất kì hình đa diện nào cũng lớn hơn hoặc bằng 4.

Hình tứ diện có 4 đỉnh và 4 mặt.

Còn lại các hình đa diện đều có nhiều hơn 4 đỉnh hoặc 4 mặt.

(21)

Chọn đáp án A.

Bài 3 trang 27 Toán lớp 12 Hình học: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

Số các cạnh của hình đa diện luôn luôn:

(A) Lớn hơn hoặc bằng 6;

(B) Lớn hơn 6;

(C) Lớn hơn 7;

(D) Lớn hơn hoặc bằng 8.

Lời giải:

Số các cạnh của hình đa diện luôn luôn lớn hơn hoặc bằng 6.

Hình tứ diện có 6 cạnh, các hình còn lại có số cạnh lớn hơn 6.

Chọn đáp án A.

Bài 4 trang 28 Toán lớp 12 Hình học: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

(A) Khối tứ diện là khối đa diện lồi;

(B) Khối hộp là khối đa diện lồi;

(C) Lắp ghép hai khối hộp sẽ được một khối đa diện lồi;

(D) Khối lăng trụ tam giác là khối đa diện lồi.

Lời giải:

Khối tứ diện, khối hộp, khối lăng trụ tam giác là các khối đa diện lồi nên đáp án A, B, D đúng.

Do đó còn lại đáp án C sai.

Ví dụ: Khối đa diện (H) dưới đây lắp ghép bởi hai hình hộp chữ nhật đều là đa diện lồi nhưng (H) không phải khối đa diện lồi.

(22)

Chọn đáp án C.

Bài 5 trang 28 Toán lớp 12 Hình học: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

(A) Hai khối chóp có diện tích đáy và chiều cao tương ứng bằng nhau thì có thể tích bằng nhau.

(B) Hai khối hộp chữ nhật có diện tích toàn phần bằng nhau thì có thể tích bằng nhau.

(C) Hai khối lăng trụ có diện tích đáy và chiều cao tương ứng bằng nhau thì có thể tích bằng nhau.

(D) Hai khối lập phương có diện tích toàn phần bằng nhau thì có thể tích bằng nhau.

Lời giải:

+ Ta có: V_chop ¹S .h_day

=3 nên đương nhiên khi hai khối chóp có diện tích đáy và chiều cao tương ứng bằng nhau thì có thể tích bằng nhau nên A đúng.

+ Ta có: V_ltru =S .h_day nên đương nhiên khi hai khối lăng trụ có diện tích đáy và chiều cao tương ứng bằng nhau thì có thể tích bằng nhau nên C đúng.

+ Diện tích toàn phần của khối lập phương cạnh a: S_tp =6a², hai khối lập phương có diện tích toàn phần bằng nhau tức là có cạnh bằng nhau nên V_lp =a³, vậy chúng có thể tích bằng nhau nên D đúng.

+ Hai khối chóp cụt có diện tích một đáy bằng nhau, chiều cao bằng nhau nhưng đáy còn lại có diện tích khác nhau thì thể tích khác nhau.

(23)

Bài 6 trang 28 Toán lớp 12 Hình học: Cho hình chóp S.ABC. Gọi A’ và B’ lần lượt là trung điểm của SA và SB. Khi đó tỉ số thể tích của hai khối chóp S.A’B’C và S.ABC bằng:

(A) ¹

2; (B) ¹

3; (C) ¹

4; (D) ¹ 8. Lời giải:

Ta có: ^{S.A B C}

S.ABC

V SA SB SC 1 1 1

. . . .1

V SA SB SC 2 2 4

   

= = =

Bài 7 trang 28 Toán lớp 12 Hình học:Cho hình chóp S.ABCD. Gọi A’, B’, C’, D’ theo thứ tự là trung điểm của SA, SB, SC, SD. Tỉ số thể tích của hai khối chóp S.A’B’C’D’ và S.ABCD bằng:

(A) ¹

2; (B) ¹

4; (C) ¹

8; (D) ¹ 16. Lời giải:

(24)

Vì công thức tỉ số thể tích chỉ dùng cho hình chóp tam giác, nên ta chia hình chóp tứ giác S.A’B’C’D’ thành hai hình chóp tam giác S.A’B’C’ và S.A’C’D’ và chia hình chóp S.ABCD thành hai hình chóp S.ABC và S.ADC.

Ta có: ^{S.A B C}

S.ABC

V SA SB SC 1 1 1 1

. . . .

V SA SB SC 2 2 2 8

     

= = =

Lại có: ^{S.A D C}

S.ADC

V SA SD SC 1 1 1 1

. . . .

V SA SD SC 2 2 2 8

     

= = =

Khi đó: ^{S.A D C} ^{S.A B C}

S.ADC S.ABC

1 V V

8 V V

     

= =

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

S.A D C S.A B C S.A D C S.A B C S.A B C D

S.ADC S.ABC S.ADC S.ABC S.ABCD

1 V V V V V

8 V V V V V

        +       

= = = =

+ Vậy ^{S.A B C D}

S.ABCD

V 1

V 8

    = . Chọn đáp án C.

Bài 8 trang 28 Toán lớp 12 Hình học:Thể tích của khối lăng trụ tam giác đều có tất cả các cạnh bằng a là:

(25)

(A) 2 ³

3 a ; (B) 2 ³

4 a ; (C) 3 ³

2 a ; (D) 3 ³ 4 a . Lời giải:

Vì đây là hình lăng trụ đều có tất cả các cạnh bằng a nên đáy của hình lăng trụ là tam giác đều và cạnh bên vuông góc với đáy.

Diện tích đáy của hình lăng trụ là:

a2 3 S= 4 Thể tích của khối lăng trụ cần tính là:

2 3

d

a 3 a 3

V S .h .a

4 4

= = =

Chọn đáp án D.

Bài 9 trang 28 Toán lớp 12 Hình học:Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Tỉ số thể tích của khối tứ diện ACB’D’ và khối hộp ABCD.A’B’C’D’ bằng:

(A) ¹

2; (B) ¹

3; (C) ¹

4; (D) ¹ 6 . Lời giải:

(26)

Gọi S là diện tích đáy và h là chiều cao của hình lăng trụ ABCD.A’B’C’D’.

Khi đó, thể tích của hình hộp đã cho là: V = S.h

Ta chia hình hộp đã cho thành 5 khối tứ diện là: B’ABC, AA’B’D’; CB’C’D’;

D’ADC và ACB’D’.

Mỗi khối tứ diện B’ABC, AA’B’D’; CB’C’D’; D’ADC có thể tích bằng:

1 S Sh V 3 2. .h= 6 = 6

Do đó, thể tích khối tứ diện ACB’D’ là:

ACB D

V V

V V 4.

6 3

 = − =

Suy ra, tỉ số thể tích của hai khối tứ diện ACB’D’ và ABCD. A’B’C’D’ là:

ACB D ABCD.A B C D

V

V 3 1

V V 3

 

   

= = Chọn đáp án B.

(27)

Bài 10 trang 28 Toán lớp 12 Hình học: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’, gọi O là giao của AC và BD. Tỉ số thể tích của khối chóp O.A’B’C’D’ và khối hộp ABCD.A’B’C’D’ bằng:

(A) ¹

2; (B) ¹

3; (C) ¹

4; (D) ¹ 6 . Lời giải:

Khối chóp O.A’B’C’D’ và khối hộp ABCD.A’B’C’D’ có cùng chiều cao, ta gọi chiều cao đó là h.

Ta có: V_{O.A B C D} ¹.S_{A B C D}.h

    =3     ABCD.A B C D A B C D

V _{   } =S _{   }.h

Khi đó: ^{O.A B C D} ^{A B C D}

ABCD.A B C D A B C D

1.S .h

V 3 1

V S .h 3

   

       

= = .

(28)