MAX - MIN hàm số chứa tham số m – File word

Câu 1. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của m để giá trị lớn nhất của hàm số

 

3 2 2 1 2 3

y x x  m  x m  m

trên đoạn



^{1; 2}



không vượt quá 15 ?

A. 3 . B. C. 5 . D. Vô số.

Lời giải Chọn#A.

Xét hàm số ^{f x}

 

^{x3x2}



^m21



^{x m 2 m 3} trên đoạn



^{1; 2}



_.

Ta có ^{f '}

 

^{x 3x22x}



^{m2  1}



^2x2



^x1



^{2m2   0, x}



^1;2



Suy ra hàm số ^{f x}

 

đồng biến trên đoạn



^{1; 2}



_

 

   

 

   

1;2

2 1;2

min 1 4

max 2 3 11

f x f m

f x f m m





    



    

 .

Khi đó ^max_1;2^{ ymax}_1;2^{ f x}

 

^max



^{ m 4 ; 3m2 m 11}



_15^{    }_^{3mm2 4 15m 11 15}

2 2

2

19 11

15 4 15

3 4 0

15 3 11 15

3 26 0

m m

m m m m

m m

  

    

    

     

    

19 11

1 4

3 m m

  



    . Với m ^{  m}



^1;0;1



Câu 2. Cho hàm số ^{f x( )} liên tục trên  . Biết cos²x là một nguyên hàm của hàm số f x( )e^2x, họ tất cả các nguyên hàm của hàm số ^{f x'}

 

^e2x _là

A. sin 2x2cos² x C . B. sin 2x2cos² x C . C. sin 2x2cos² x C . D. sin 2x2cos²x C .

Lời giải Chọn D

Vì cos² x là một nguyên hàm của hàm số ^{f x e}

 

^2x _nên:

 

^2x



^cos2



^{' 2 cos .sin sin 2}

f x e x x x x

      .

Tính ^{I }



^{f x e dx'}

 

^2x _.

Đặt

   

2 2 2

'

x x

u e du e dx

dv f x dx v f x

 

 

 

   

 

  .

 

^{.e2x 2}

 

^{2x sin 2 2cos2}

I f x f x e dx x x C

  



    _.

Câu 3. Cho hàm số

y x2 x m

. Tổng tất cả giá trị thực của tham số ^m để ^min^{2; 2}y 2

 

bằng A.

31

 4

. B. ^8. C.

23

 4

. D.

9 4. Lời giải

Chọn C

Xét hàm số ^{ux2 x m} trên đoạn



^2;2



_{, có:} ^{u  0 2x    1 0 x 1}_2.

Khi đó:

 

   

 

   

2;2

2;2

max 2 , 1 , 2 6

2

1 1

min min 2 , , 2

2 4

u max u u u m

u u u u m





       

  

  

    

       

    

 .

 Nếu

1 0 m 4

hay 1 m 4

thì ^{ 2; 2}

1 9

min 2

4 4

y m m

     

(thỏa mãn).

 Nếu ^{m 6 0} hay ^{m 6} thì ^min^{2; 2}y m 6 2 m 8

       

(thỏa mãn).

 Nếu 6 1

m 4

  

thì ^min^{2; 2} y 0

 

(không thỏa mãn).

Vậy có hai số thực 9 m4

và ^{m 8} thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Tổng các giá trị đó bằng 23

 4 .

Câu 4. Gọi điểm ^{M a b}

 

^; thuộc đồ thị hàm số

2 2

 

 y x

x sao cho M có hoành độ dương đồng thời tổng khoảng cách từ M đến hai đường tiệm cận là nhỏ nhất. Tính ^{T a43 .b3}

A. T 16. B. T  294. C. T 82. D. T 175.

Lời giải Chọn D

Đường TCN của đồ thị

 

^C _là

 

d1 :y1, đường TCĐ của đồ thị

 

^C _là

 

d2 :x2.

Điểm

 

^{; 2}

2

  

     M C M m m

m , khi đó



1



, 4 d M d 2

 m

 và d M d



, 2



 m2 .

Theo bài ra, ta có



1

 

2



4 4

, , 2 2 2 . 4

2 2

T d M d d M d m m

m m

       

 

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi

2 4 4

  2  

m  m

m (vì yêu cầu m0). Suy ra ^M

 

^4;3

Ta có ^{a4;b  3 T}

 

^{4 43. 3}

 

^{3 175}

Câu 5. Tìm các giá trị của tham số sao cho giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn bằng .

A. ^{m 4}. B. m2. C. m 4,m2. D. .

Lời giải Chọn C

Xét hàm số trên đoạn , ta có và .

Vậy:

m y x²2x m



^{1; 2}



₅

3 m 

 

^{x 2 2x m}

f x  



^{1; 2}



^{f x}

 

^2



^x1



^{f x}

 

^{  0 x 1}

.

TH1. Với , ta có

TH2. Với , ta được

TH3. Với , ta được (vô nghiệm).

Câu 6. Cho hàm số ^{f x}

 

^{ x44x34x2a} _{. Gọi M, m} lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn

 

^0;2 . Có bao nhiêu số nguyên a thuộc đoạn



^3;3



_{sao cho M 2m?}

A. 3 . B. 7 . C. 6 . D. 5 .

Lời giải Chọn D

Xét hàm số ^{g x}

 

^{x44x34x2a}_.

 

^{4 3 12 2 8}

g x  x  x  x

; ^{g x}

 

^0 _4x³_12x²_8x0

0 1 2 x x x

 

 

  . Bảng biến thiên

Do 2m M 0 nên m0 suy ra ^{g x}

 

^{  0 x}

 

^{0; 2} _.

Suy ra

1 0 1

0 0

a a

a a

   

 

   

  .

Nếu a 1 thì M  a, m  a 1 ²



^{   a 1}



^a_{  a 2.}

Nếu a0 thì M  a 1, m a  2a a 1 a 1.

Do đó a 2 hoặc a1, do a nguyên và thuộc đoạn



^3;3



_nên ^{a  }



^{3; 2;1;2;3}



_.

Vậy có 5 giá trị của a thỏa mãn đề bài.

Câu 7. Cho hàm số ^{f x}

 

^{ x44x34x2a} _{. Gọi M, m} lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn

 

^0;2 . Có bao nhiêu số nguyên a thuộc đoạn



^3;3



_{sao cho M 2m?}

 _1;2  _1;2

           

maxy max f x max f 1 ; f 1 ; f 2 max 3 m; m 1 ; m

       

 1;2

maxy m 1

  

1 3 1 3

1 1 4.

4 6

1 5

m m m m

m m m m m

m m

m

       

 

       

 

       

 

 1;2

maxy m 3

  

3 1 3 1

3 3 2.

2 8

3 5

m m m m

m m m m m

m m

m

       

 

      

 

       

 

 1;2

maxy m

 

1 1

3 3

5 5

5

m m m m

m m m m

m m

m

     

 

    

 

      

 

A. 3 . B. 7 . C. 6 . D. 5 . Lời giải

Chọn D

Xét hàm số ^{g x}

 

^{x44x34x2a}_.

 

^{4 3 12 2 8}

g x  x  x  x

; ^{g x}

 

^0 _4x³_12x²_8x0

0 1 2 x x x

 

 

  . Bảng biến thiên

Do 2m M 0 nên m0 suy ra ^{g x}

 

^{  0 x}

 

^{0; 2} _.

Suy ra

1 0 1

0 0

a a

a a

   

 

   

  .

Nếu a 1 thì M  a, m  a 1 ²



^{   a 1}



^a_{  a 2.}

Nếu a0 thì M  a 1, m a  2a a 1 a 1.

Do đó a 2 hoặc a1, do a nguyên và thuộc đoạn



^3;3



_nên ^{a  }



^{3; 2;1;2;3}



_.

Vậy có 5 giá trị của a thỏa mãn đề bài.

Câu 8. Cho hàm số ^{f x}

 

^{ 2x36x2 m} _{, gọi A} là giá trị lớn nhất của hàm số ( )f x trên đoạn

 

^1;3 _.

Số giá trị nguyên của tham số mđể A2020 là

A. 4031. B. 4032 . C. 4033. D. 2019 .

Lời giải Chọn A

Xét ^{u x}

( )

=^2x3- ^6x2- ^m trên đoạn

[ ]

^1;3. Ta có hàm số ( )u x liên tục trên đoạn

[ ]

^1;3 _.

( )

^{6 2 12}

u x¢ = x - x.

 

 

0 1;3

'( ) 0 .

2 1;3

 

  

   u x x

x

Khi đó:

[ ]

{ ( ) ( ) }

[ ]

{ ( ) ( ) }

1;3

1;3

max u(x) max 1 ; 2 ; (3)

min u( ) min 1 ; 2 ; (3) 8

u u u m

x u u u m

ìï = =

ïïïíï = = -

ïïïî .

 

max ; 8

A m m .

Yêu cầu

2020 2020 2020

8 4 4 2020

2020 8 2020 2012 2028 2012 4

8 4

m m

m m m m

A m m m

m m m

     

    

    

             .

Vậy có 4031 số nguyên mđể A2020.

Câu 9. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho giá trị nhỏ nhất của hàm số

 

^{ 2 36 }

f x x x m

trên đoạn

 

^0;3 bằng 8. Tổng tất cả các phần tử của S bằng

A. 8 . B. 16. C. - 64. D. 72.

Lời giải Chọn C

Xét ^{u x}

( )

^{=2x3- 6x m+} trên đoạn

[ ]

^0;3 . Dễ thấy hàm số ( )u x liên tục trên đoạn

[ ]

^0;3

có ^{u x}¢ = Û

( )

^{0 6x2}- ⁶= Þ^{0 x}= Î^{1 0;3}

[ ]

.

Khi đó

[ ]

{ ( ) ( ) ( ) } { }

[ ]

{ ( ) ( ) ( ) } { }

0;3

0;3

max u max 0 ; 1 ; 3 max m;m 4;m 36 36

min u min 0 ; 1 ; 3 min m;m 4;m 36 4

u u u m

u u u m

ìï = = - + = +

ïïïíï = = - + = -

ïïïî .

Theo bài ra

[ ]_0;3

( ) { }

4 8

4 0 12

min 4 ; 36 ,0 8

36 0 44 36 8 m

m m

Min f x m m

m m m éì - =ïïê

íêï - > é =

ïêî ê

= - + = Û êêïêï +ìïêíïîë + <= Û êë =- .

Do đó ^{S }



^44,12



. Vậy số các phần tử của S bằng ².

Câu 10. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số ^{m }



^10;10



_{để hàm số}

3 3 2 (3 2) 2

     

y mx mx m x m

có 5 điểm cực trị?

A. ⁹. B. ⁷. C. ¹⁰. D. ¹¹.

Lời giải Chọn C

Xét hàm số ^{f x}

 

^{mx33mx2}



^3m2



^{x 2 m}_.

Ta có: ^{mx33mx2}



^3m2



^{x 2 m0 2}

 

1

2 2 0 1

 

      x

mx mx m

.

Yêu cầu bài toánphương trình ^{f x}

 

^0 có ba nghiệm phân biệtphương trình

 

¹ _{có hai}

nghiệm phân biệt khác ¹

 

2 2 0

2 2 0

   

 

   



m m m

m m m _.

Vì m nguyên và ^{m }



^10;10



_nên m



1; 2;...;10



.

Câu 11. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số

3 3

y x  x m

trên đoạn

 

^0;2 bằng 3. Số phần tử của S là

A. 0 B. 6 C. 1 D. 2

Lời giải Chọn D

Xét hàm số ^{f x}

 

^{  x3 3x m}_{, ta có} ^{f x}

 

^3x23. Ta có bảng biến thiên của ^{f x}

 

_:

TH 1 : 2    m 0 m 2. Khi đó ^{max f x }_0;2

 

^{   }



^{2 m}



^{ 2 m}

2    m 3 m 1 (loại).

TH 2 :

2 0

2 0

0

m m

m

  

   

  . Khi đó : m     2 2 m 2 2 m _{ }

   

0;2 2 2

max f x m m

       2    m 3 m 1 (thỏa mãn).

TH 3 :

0 0 2

2 0

m m

m

 

  

  

 . Khi đó : m     2 2 m 2 2 m ^{max f x}_{ 0;2}

 

^{ 2 m}

2   m 3 m 1 (thỏa mãn).

TH 4: 2    m 0 m 2. Khi đó ^{max f x }_0;2

 

^{ 2 m}

2   m 3 m 1 (loại).

Câu 12. Gọi S là tập tất cả các giá trị nguyên của tham số m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số

4 2

1 19

30 20

4 2

y x  x  x m 

trên đoạn

 

^0;2 không vượt quá 20 . Tổng các phần tử của S bằng

A. 210 . B. 195. C. 105 . D. 300 .

Lời giải Chọn C

Xét hàm số

 

^{1 4 19 2 30 20}

4 2

g x  x  x  x m 

. Dễ thấy hàm số ^{g x( )} liên tục trên đoạn

 

^0;2 _.

Ta có ^{g x}

 

^{x319x30}_;

   

 

5 0; 2

0 2

3 0; 2 x

g x x

x

   

   

  

 Bảng biến thiên

Ta có ^g

 

^{0  m 20}_; ^g

 

^{2  m 6}_.

Theo yêu cầu bài toán, ^{max }_0;2 ^{y max}_0;2 ^{g x}

 

^{20 g}_g

   

⁰₂ ²⁰₂₀

 

 

 

20 20 6 20 m

m

  

 

     0 m 14. Mà m nên m



0;1;2;...;14



.

Vậy tổng các phần tử của S là 105 .

Câu 13. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của m để giá trị lớn nhất của hàm số

 

3 2 2 1 2 3

y x x  m  x m  m

trên đoạn



^1;2



không vượt quá 15 ?

A. 3 . B. C. 5 . D. Vô số.

Lời giải Chọn#A.

Xét hàm số ^{f x}

 

^{x3x2}



^m21



^{x m 2 m 3} trên đoạn



^1;2



_.

Ta có ^{f '}

 

^{x 3x22x}



^{m2 1}



^2x2



^x1



^{2m2    0, x}



^{1; 2}



Suy ra hàm số ^{f x}

 

đồng biến trên đoạn



^1;2



_

 

   

 

   

1;2

2 1;2

min 1 4

max 2 3 11

f x f m

f x f m m





    



    

 .

Khi đó ^max_1;2^{ ymax}_1;2^{ f x}

 

^max



^{ m 4 ; 3m2 m 11}



_15^{    }_^{3mm2 4 15m 11 15}

2 2

2

19 11

15 4 15

3 4 0

15 3 11 15

3 26 0

m m

m m m m

m m

  

    

    

 

    

    

19 11

1 4

3 m m

  



    . Với m ^{  m}



^1;0;1



Câu 14. Biết giá trị lớn nhất của hàm số

2 1

4 2

y= - x + -x +m

là 18 . Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. 0< <m 5. B. 10< <m 15. C. 5< <m 10. D. 15< <m 20. Lời giải

Chọn D

Xét hàm số

( )

^{4 2 1}

g x = - x + -x 2

liên tục trên tập xác định

[

- ^{2; 2}

]

.

( )

2

' 1

4 g x x

x

= - +

- .

( )

₂ ^{2 0}_{2 2}

' 0 1 0 4 2

4 4 x x

g x x x x

x x x

ì ³ï

- ï

= Û - + = Û - = Û íï - =ïî Û = .

(

²

)

⁵

g - =- 2

; ^g

( )

^{2 =- +1 4 2}₂

;

( )

^{2 3}

g =2

[ _2;2^x]

( )

m 52

a g x

Þ - =

khi x=- 2.

Þ giá trị lớn nhất của hàm số

2 1

4 2

y= - x + -x +m bằng

5 2+m Þ

5 18 15,5.

2+ =m Û m= Vậy 15< <m 20.

Câu 15. Cho hàm số ^{f x}

  

^{ x1}



²



^{ax24ax a b  2}



_{, với a, b} . Biết trên khoảng

4;0 3

 

 

 

hàm số đạt giá trị lớn nhất tại x 1. Hỏi trên đoạn 2; 5

4

  

 

  hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại giá trị nào của x?

A.

5 x 4

. B.

4 x 3

. C.

3 x 2

. D. x 2.

Lời giải Chọn C

Tập xác định của hàm số là ^¡ .

Ta có: ^{f x}

 

^2



^{x1 2}

 

^{ax25ax3a b 2}



_.

Vì trên khoảng

4;0 3

 

 

  hàm số đạt giá trị lớn nhất tại x 1nên hàm số đạt cực trị tại x 1(cũng là điểm cực đại của hàm số) và a0.

 

^{1 0}

f

          4( 6a b 2) 0 b 6a2.

 ^{f x}

 

^{2a x}



^{1 2}

 

^x25x3



_.

Khi đó

 

3 2

0 1

1 x

f x x

x

  



    

 

 . ( đều là các nghiệm đơn) Hàm số đạt cực đại tại x 1 nên có bảng biến thiên:



3 x 2

là điểm cực tiểu duy nhất thuộc 2; 5

4

  

 

 .

Vậy hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại

3 x 2

trên đoạn 2; 5

4

  

 

 .

Câu 16. Cho hàm số ^{y x33mx m 2} (m là tham số). Có bao nhiêu số nguyên m bé hơn ¹⁰ thỏa mãn đồ thị hàm số đã cho có hai điểm cực trị ,A B sao cho ^{AB2 5}.

A. ¹⁸. B. ⁹. C. 5 . D. ¹⁰.

Lời giải Chọn B

Ta có: ^{y 3x23m}. Để hàm số có hai điểm cực trị thì ^m0.

Khi đó,

2

1 1

2

2

2 2

0 2 .

2

x m y m m m

y x m

x m y m m m

    

     

    



Ta được: ^A



^{m m; 22m m}

 

^{, B  m m; 22m m}



^.

   

2 3 3 2

2 5 20 4 16 20 4 5 0 1 4 4 5 0 1.

AB  AB   m m   m    m m m  m   m Do m nguyên và bé hơn 10 nên m



1;2;3;4;5;6;7;8;9



Câu 17. Gọi tập ^S là tập hợp giá trị thực của tham số m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số

3 3

y x  x m

trên đoạn



^{0; 2}



bằng 3. Số phần tử của ^S là

A. ¹. B. ². C. ⁰. D. ⁶.

Lời giải Chọn B

Xét ^{u x 33x m} có:^{u' 3 x23 ; ' 0u    x 1}

 

^{0; 2} _{. Khi đó:}

 _0;2

         

max max 0 , 1 , 2 max , 2, 2 2

A u u u u  m m m  m .

 _0;2

         

min min 0 , 1 , 2 min , 2, 2 2

a u u u u  m m m  m .

Vậy

 _0;2

   

2 3

2 2 1

max max , max 2 , 2 3

2 3 1

2 2

m

m m m

y A a m m

m m

m m

  

     

             .

Chọn B.

Câu 18. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số m sao cho hàm số

2

1 y x m

x

 

 đạt giá trị nhỏ nhất bằng 0 trên đoạn. Tính tổng các phần tử của S?

A.^1. B. ^2. C. ^0. D. ^1.

Lời giải Chọn C

Xét hàm số

 

²

1 f x x m

x

 

 _có

 

 

2 2

1 0 1

1

f x m x

x

      

 .

Suy ra hàm số

 

²

1 f x x m

x

 

 đồng biến trên

 

^{1; 2}

Có

 

^{1 1 2 ;}

 

^{2 2 2}

2 3

m m

f  f 

 

.

 _1;2

 

^{2 2} _{ 1;2}

 

^{1 2}

max ;min

3 2

m m

f x  f x 

  

.

   

 

2

2

2 2

1;2 1;2 2

2

1 0

2 1

1 0

1 2 2

min min min ; 0

2 3 1

2 0 1 2

2 0 m m m

m m

y f x

m m m

  

  



    

  

  

    

   

     



   

   

   

 

 

 .

Do đó tổng các phần tử của tập S bằng ^{1  }

 

^{1 2 }

 

^{2 0}_.

Câu 19. Cho hàm số bậc bốn ^{y f x}

 

có đồ thị như hình vẽ bên.

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn



^{0; 20}



sao cho giá trị nhỏ nhất của hàm số

 

²

 

^{4 ( ) 3}

g x  f x   m f x 

trên đoạn



^2;2



không bé hơn ¹?

A. ¹⁸. B. ¹⁹. C. ²⁰. D. ²¹.

Lời giải Chọn B

Dựa vào hình vẽ ta có: ^{ 2 f x( ) 2,   x}



^2;2

  

^* _.^{2f x}

 

^{    4 0, x}



^{2; 2}



_.

Vì ^m



^0;20



_nên ^{2f x}

 

^{  m 4 0}

suy ra ^{2f x}

 

^{  m 4 2f x}

 

^{    m 4, x}



^2;2



_.

Ta có: ^{g x}

 

^{ 2f x}

 

^{  m 4 f x( ) 3  2f x}

 

^{  m 4 f x}

 

^{3  f x}

 

^{ m 1}_,^{  x}



^{2; 2}



_.

+) Với ^{m0 g x}

 

^{ f x}

 

^1_, ^{  x}



^{2; 2}



_.

 

^{*  1 f x}

 

^{    1 3, x}



^2;2



_.^{ 0 f x}

 

^{    1 3, x}



^{2; 2}



^{ 0 g x}

 

^{   3, x}



^2;2



_.

 ^{min g x}_2;2^

 

^0

0

m không thỏa yêu cầu bài toán.

+) Với ^m



^1;20



^{ f x}

 

^{   m 1 0 g x}

 

^{ f x}

 

^{ m 1}_.

Từ

 

^* _{ta có:} ^{f x}

 

^{   m 1 m 1}  

 

2;2 1

min g x m

   

. Yêu cầu bài toán: ^{ }

 

2;2 1

min g x

  

1 1 2

m  m ^{ m}



^2;20



_{. Vậy có 19} giá trị nguyên Câu 20. Gọi S là tập tất cả các giá trị nguyên của tham số m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số

4 2

1 19

30 20

4 2

y x  x  x m 

trên đoạn

 

^0;2 không vượt quá 20 . Tổng các phần tử của S bằng

A. 210 . B. 195. C. 105 . D. 300 . Lời giải

Chọn C

Xét hàm số

 

^{1 4 19 2 30 20}

4 2

g x  x  x  x m 

. Dễ thấy hàm số ^{g x( )} liên tục trên đoạn

 

^0;2 _.

Ta có ^{g x}

 

^{x319x30}_;

 

 

 

5 0; 2

0 2

3 0; 2 x

g x x

x

   

   

  

 Bảng biến thiên

Ta có ^g

 

^{0  m 20}_; ^g

 

^{2  m 6}_.

Theo yêu cầu bài toán, ^{max }_0;2 ^{y max}_0;2 ^{g x}

 

^{20 g}_g

   

⁰₂ ²⁰₂₀

 

 

 

20 20 6 20 m

m

  

 

     0 m 14. Mà m nên m



0;1;2;...;14



.

Vậy tổng các phần tử của S là 105 .

Câu 21. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số

3 3 y x  x m

trên đoạn

 

^0;2 bằng 3 . Số phần tử của S là

A. 1. B. 2. C. 0. D. 6.

Lời giải

Chọn B.

Xét hàm số ^{f x}

 

^{x33x m} là hàm số liên tục trên đoạn

 

^{0; 2} _.

Ta có

     

2 1

 

3 3 0

1

x n

f x x f x

x l



         

Suy ra GTLN và GTNN của ^{f x}

 

_thuộc



^f

     

^{0 ; f 1 ;f 2}



^



^{m m; 2;m2}



_.

Xét hàm số

3 3 y x  x m

trên đoạn

 

^0;2 ta được giá trị lớn nhất của y là

 

max m m; 2 ; m2 3 . TH1: ^{max 1;3;5}

 

^5 _(loại).

TH2:

2 3 m 51

m  m 

+ Với m=- 1. Ta có ^{max 1;3}

 

^3 _(nhận).

+Với m=5. Ta có ^{max 3;5;7}

 

^7 _(loại).

TH3:

2 3 m 15

m  m 

+ Với m=1. Ta có ^{max 1;3}

 

^3 _(nhận).

+ Với m=- 5. Ta có ^{max 3;5;7}

 

^7 _(loại).

Do đó ^{mÎ -}

{

^1;1

}

Vậy tập hợp S có 2 phần tử.

Câu 22. Cho hàm số ^{f x}

 

^{ 2x36x2 m} _{, gọi A} là giá trị lớn nhất của hàm số ( )f x trên đoạn

 

^1;3 _.

Số giá trị nguyên của tham số mđể A2020 là

A. 4031. B. 4032. C. 4033. D. 2019.

Lời giải Chọn A

Xét ^{u x}

( )

^{=2x3- 6x2- m} trên đoạn

[ ]

^1;3. Ta có hàm số ( )u x liên tục trên đoạn

[ ]

^1;3 _.

( )

^{6 2 12}

u x¢ = x - x .

 

 

0 1;3

'( ) 0 .

2 1;3

 

  

   u x x

x

Khi đó:

[ ]

{ ( ) ( ) }

[ ]

{ ( ) ( ) }

1;3

1;3

max u(x) max 1 ; 2 ; (3)

min u( ) min 1 ; 2 ; (3) 8

u u u m

x u u u m

ìï = =

ïïïíï = = -

ïïïî .

 

max ; 8

A m m .

Yêu cầu

2020 2020 2020

8 4 4 2020

2020 8 2020 2012 2028 2012 4

8 4

m m

m m m m

A m m m

m m m

     

    

    

             .

Vậy có 4031 số nguyên mđể A2020.

Câu 23. Giá trị lớn nhất của hàm số

( ) ^ln₂ ¹

ln 1

f x x m

x

= + +

+ trên đoạn ^{éêë1;e2ùúû} có giá trị nhỏ nhất là

A.

2 1. 2

-

B.

2 1. 4

-

C.

1 2. 2 +

D.

1 2. 4 +

Lời giải Chọn A

Ta có

( ) [ ]

2

ln

2 1; 0;2

max max 1 .

1

t x

e

f x t m

t

= é ù ê ú ë û

= + +

+

Xét

( ) ( )

( )

²

2 2

1 ; 1 0 1.

1 1

t t

g t m g t t

t t

+ ¢ -

= + = = Û =

+ +

Ta có ( ) ( ) ( )

[_0;2] ( )

{ }

0 1

1 2 max max 1; 2 2 1.

3 5 2

2 5

g m

g m g x m m

g m

ìïïï = +

ïïï -

ï = + ¾¾® = + + ³

íïïï

ïï = +

ïïî

Dấu ^{'' ''=} xảy ra khi

1 2

1 2 .

m m m +2

+ =- - Û =-

Chọn#A.

Câu 24. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số

2

( ) 1

x mx m

f x x

 

  trên

 

^1;2 _{bằng 2}. Tổng tất cả các phần tử của S là

A.

11

 3

. B.

13

6 _{. C.}

11

 6

. D.

1 3_. Lời giải

Chọn C Xét

2

( ) 1

x mx m

u x x

+ +

= + trên đoạn

[ ]

^1;2 _{. Dễ thấy} u x( ) liên tục trên đoạn

[ ]

^1;2

Ta có

( )

[ ] [ ]

2 2

0 1;2

0 2 0

2 1;2 1

x x x

u x x

é = Ï

+ ê

¢= Û + = Û êêë=- Ï .

Khi đó

[ ]

{ ( ) ( ) }

[ ]

{ ( ) ( ) }

1;2

1;2

1 4 4

max ( ) max 1 , 2 max ,

2 3 3

1 4 1

min ( ) min 1 , 2 min ,

2 3 2

u x u u m m m

u x u u m m m

ì ì ü

ï ïï ïï

ï = = í + + ý= +

ïï ïïî ïïþ

ïíï ìï üï

ï = = ï + + ï = +

ï í ý

ï ï ï

ï ïî ïþ

î .

Suy ra

[ ]

( )

1;2

1 2

2

1 4 5

2 3

1 4 2

m ax max , 16

2 3 4 2

2 3

3

4 1

3 2

m

m m m

f x m m

m m

m m

éìïïê + =ïêï

êïïêíïê + ³ï + éê =-

ì ü êïï

ï ï îê ê

ï ï

= íïïî + + ýïïþ= Û êêïêïìïêïï + = Û êêêêë = êíïêï + ³ +

êïïêïîë .

Vậy tổng các phần tử của S là 11

 6 .

Câu 25. Cho hàm số ^{f x}

( )

^{=x2- 2x}. Có bao nhiêu giá trị m để giá trị lớn nhất của hàm số

(

^{1 sin}

)

f + x +m

bằng 5?

A. 0. B. 2. C. 4. D. 5.

Lời giải Chọn B

Đặt ^{t= +1 sinx}. Suy ra ^tÎ

[

^{0; 2}

]

_{. Ta có:}

(

^{1 sin}

)

f + x +m ^{= f t}

( )

^{+m = -t2 2t m+} _.

Đặt ^{u= -t2 2t}. Với ^tÎ

[

^{0; 2}

]

_thì ^{uÎ -}

[

^1;0

]

_{. Khi đó} ^{t2- 2t m+ = +u m} _.

Suy ra

(

^{1 sin}

)

max f + x +m

¡ [ ]

( )

max f t0;2 m

= +

[ ] 2

0;2 2

max t t m

= - +

[ 1;0]

max u m

= - +

[ _1;0]

{

^{1 ;}

}

max m m

= - - +

.

Vậy ^{max f}

(

^{1 sin+ x}

)

^{+ =m 5}

¡

1 5

5 m m

é- + = Û êêêë =

6 4 5

5 m m m m é =ê ê =-ê Û ê =ê

ê =-ë .

Thử lại ta thấy với m=- 4 hoặc m=5 thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 26. Cho hàm số ^{y x3x2}



^m21



^x27 . Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn



^{ 3; 1}



_{có giá}

trị nhỏ nhất bằng

A. ²⁶. B. ¹⁸. C. ²⁸. D. ¹⁶.

Lời giải Chọn B

Xét ^{u x  3 x2}



^m21



^x27 trên đoạn



^{ 3; 1}



_{ta có:} u 3x²2x m ²  1 0, x. Do đó ^Amax_{ 3; 1}^{u u}

 

^{ 1 26m2}

; ^amin_{ 3; 1}^{u u}

 

^{  3 6 3m2}

. Do ^{M max}_{ 3; 1}^{ ymax 26}



^{m2 , 6 3 m2}



và

2 2

4M 3 26m  6 3m 72 . Vậy ^{M 18}.

Dấu bằng xảy ra khi

2 2

26m  6 3m 18  m 2 2 .

Chọn đáp án B.

Câu 27. Có bao nhiêu giá trị m dương sao cho giá trị lớn nhất của hàm số

 

^{3 3 2 2 3 9 2 1}

f x  x  m x m  m 

trên đoạn

 

^0;3 _{bằng 30?}

A. 0 . B. ¹. C. ². D. Vô số.

Lời giải Chọn B

Xét hàm số ^{g x}

 

^{x33m x2 2m39m21} xác định và liên tục trên đoạn

 

^0;3

Ta có: ^{g x}

 

^3x23m2

 

⁰

 

g x x m

x m ktm

 

     

 

^{0 2 3 9 2 1}

g  m  m 

 

^{3 2 3 28}

g  m 

 

^{9 2 1}

g m  m 

Vì ^0g

     

^{0 ;g 3 ;g m} _và ^{g m}

 

^g

 

^{0  m 0}

Suy ra

 

        

^{3 2 3}



0;3

0 ; 3 2 9 1; 2 28

Maxf x Max g g Max m  m  m  TH 1: ^{m 3 2m39m2 1 2m328}

Giá trị lớn nhất của hàm số ^{f x}

 

^{ x33m x2 2m39m21} trên đoạn

 

^0;3 _{bằng 30}

3 2

2m 9m 1 30

   

 

1,548

m ktm

 

TH 2: ^{m 3 2m39m2 1 2m328}

Giá trị lớn nhất của hàm số ^{f x}

 

^{ x33m x2 2m39m21} trên đoạn

 

^0;3 _{bằng 30}

2m3 28 30

  

 

1 m tm

  .

Vậy có 1 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 28. Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên của tham số ^m



^0;2019



để bất phương trình:

 

³

2 1 2 0

x  m x 

đúng với mọi ^{x }



^1;1



. Số phần tử của tập S bằng:

A. ¹. B. 2020 . C. 2019 . D. 2.

Lời giải Chọn C

Đặt t 1x² . Khi đó, 0    t 1, x [ 1;1]. Ta có, bất phương trình: 1     t² m t³ 0, t [0;1]

3 2 1, [0;1]

m t t t

       m f t( ), t [0;1], với f t( )  t³ t² 1

[0;1]

max ( )

m f t

 

Ta có, f t ( ) 3t² 2t

0

( ) 0 2

3 t

f t t

 

   

  Lập bảng biến thiên ta được: max ( ) 1^[0;1] f t  . Do đó, m1 Mà ^m



^0;2019



 m [1; 2019] _ có 2019 giá trị nguyên của m.

Câu 29. Cho hàm số ^{f x}

 

^{ x44x34x2a} _{. Gọi M , m}là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên

 

^0;2 . Có bao nhiêu số nguyên ^athuộc



^{4; 4}



_{sao cho M 2m?}

A. ⁵. B. ⁷. C. ⁶ D. 4.

Lời giải Chọn B

Xét hàm số ^{g x}

 

^{x34x34x2}