Toán 11 Ôn tập chương 2 | Hay nhất Giải bài tập Toán lớp 11

Ôn tập chương 2

Bài tập 1 trang 76 SGK Toán lớp 11 Đại số: Phát biểu quy tắc cộng, cho ví dụ áp dụng.

Lời giải:

Quy tắc cộng: Một công việc được hoàn thành bởi một trong hai hành động. Nếu hành động này có m cách thực hiện, hành động kia có n cách thực hiện không trùng với bất kì cách nào của hành động thứ nhất thì công việc đó có m + n cách thực hiện.

Ví dụ: Trên một bàn học có 4 cây bút chì và 3 cây bút mực. Có mấy cách chọn ra một cây bút?

Trường hợp chọn bút chì: có 4 cách chọn Trường hợp chọn bút mực: có 3 cách chọn Vậy theo quy tắc cộng có: 4 + 3 = 7 cách chọn.

Bài tập 2 trang 76 SGK Toán lớp 11 Đại số: Phát biểu quy tắc nhân, cho ví dụ áp dụng.

Lời giải:

Quy tắc nhân: Nếu công việc được hoàn thành bởi hai hành động liên tiếp. Nếu có m cách thực hiện hành động thứ nhất và ứng với mỗi cách đó có n cách thực hiện hành động thứ hai thì có m.n cách hoàn thành công việc.

Ví dụ: Một lớp có 3 tổ, mỗi tổ có 6 nam và 4 nữ. Cần chọn từ mỗi tổ một người để thành lập đội thanh niên tình nguyện mùa hè xanh. Hỏi có bao nhiêu cách để lập được một đội?

Để lập đội, từ mỗi đội ta chọn một người:

Có 10 cách chọn 1 người từ tổ thứ nhất Có 10 cách chọn 1 người từ tổ thứ hai Có 10 cách chọn 1 người từ tổ thứ ba Từ đó, theo quy tắc nhân ta có:

10.10.10 = 1000 (cách chọn)

Bài tập 3 trang 76 SGK Toán lớp 11 Đại số: Phân biệt sự khác nhau giữa một chỉnh hợp chập k của n phần tử và một tổ hợp chập k của n phần tử.

Lời giải:

Chỉnh hợp chập k của n phần tử là kết quả của việc lấy k phần tử khác nhau từ n phần tử và sắp xếp chúng theo một thứ tự nào đó.

Tổ hợp chập k của n phần tử là trích ra một tập hợp con k phần tử của một tập hợp n phần tử không để ý đến thứ tự các phần tử của tập hợp con đó.

Như vậy với một tổ hợp chập k của n phần tử tạo thành k! lần chỉnh hợp chập k của n phần tử.

Bài tập 4 trang 76 SGK Toán lớp 11 Đại số: Có bao nhiêu số chẵn có bốn chữ số được tạo thành từ các số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 sao cho:

a) Các chữ số có thể giống nhau?

b) Các chữ số khác nhau?

Lời giải:

a) Tập hợp A = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6}

Gọi số có 4 chữ số tạo thành là ^{abcd a}

(

)

Ta có: abcd chẵn nên:

Số

a, b,c,d A abcd a 0

d {0;2;4;6}

 

 

 

Có 4 cách để chọn d

a0 nên có 6 cách chọn a

Có 7 cách chọn b và 7 cách chọn c

Vậy 4.6.7.7 = 1176 số chẵn abcd trong đó, các chữ số có thể giống nhau.

b) Gọi abcd là số cần tìm Trường hợp 1: abc0 (d=0)

Vì a, b, c đôi một khác nhau và khác d nên có A³₆ =120 số abc0

Vậy có A³₆ =120 số abc0

Trường hợp 2: abcd (với d 0 ) d {2;4;6} nên có 3 cách chọn d a 0,a d nên có 5 cách chọn a ba, bd nên có 5 cách chọn b ca, b,d nên có 4 cách chọn c Suy ra có 3.5.5.4 = 300 số abcd

Vậy có: 120 + 300 = 420 số abcd thỏa mãn yêu cầu của đề bài.

Cách khác:

Trường hợp 1: Chọn các số chẵn có chữ số hàng đơn vị bằng 0 Có 6 cách chọn chữ số hàng nghìn

Có 5 cách chọn chữ số hàng trăm Có 4 cách chọn chữ số hàng chục Theo quy tắc nhân: có 6.5.4 = 120 (số)

Trường hợp 2: Chọn các số chẵn có chữ số hàng đơn vị khác 0.

Có 3 cách chọn chữ số hàng đơn vị

Có 5 cách chọn chữ số hàng nghìn (khác 0 và khác hàng đơn vị) Có 5 cách chọn chữ số hàng trăm

Có 4 cách chọn chữ số hàng chục

Theo quy tắc nhân: Có 3.5.5.4 = 300 (số)

Vậy theo quy tắc cộng: Có tất cả 120 + 300 = 420 số chẵn thỏa mãn.

Bài tập 5 trang 76 SGK Toán lớp 11 Đại số: Xếp ngẫu nhiên ba bạn nam và ba bạn nữ ngồi vào sáu ghế kê theo hàng ngang. Tìm xác suất sao cho:

a) Nam, nữ ngồi xen kẽ nhau;

b) Ba bạn nam ngồi cạnh nhau.

Lời giải:

Số cách xếp 3 nam và 3 nữ vào 6 ghế là: 6! cách Suy ra n( ) = =6! 720

a) Ta gọi A là biến cố: “Nam, nữ ngồi xen kẽ nhau”

Giả sử đánh số ghế từ 1 đến 6.

Trường hợp 1:

Nam ngồi ghế số 1, 3, 5 suy ra có 3! cách xếp Nữ ngồi ghế số 2, 4, 6 suy ra có 3! cách xếp Suy ra trường hợp 1 có 3!.3! = 36 cách xếp Trường hợp 2:

Nữ ngồi ghế số 1, 3, 5 suy ra có 3! cách xếp Nam ngồi ghế số 2, 4, 6 suy ra có 3! cách xếp Suy ra trường hợp 1 có 3!.3! = 36 cách xếp Suy ra:

n(A) = 3!.3! + 3!.3! = 36 + 36 = 72 cách xếp.

Vậy xác suất của biến cố là: P(A) ^{n(A) 72 1} 0,1 n( ) 720 10

= = = =



b) Gọi B là biến cố: “Ba bạn nam ngồi cạnh nhau”

Ba bạn nam ngồi cạnh nhau có 3! cách xếp là hoán vị của 3 bạn nam Xem ba bạn nam là một phần tử thì có 4! cách xếp chung với ba bạn nữ.

Theo quy tắc nhân, ta có 3!.4! = 144

Vậy xác suất của biến cố là: P(B) ^{n(B) 144 1} 0, 2 n( ) 720 5

= = = =



Bài tập 6 trang 76 SGK Toán lớp 11 Đại số: Từ một hộp chứa sáu quả cầu trắng và bốn quả cầu đen, lấy ngẫu nhiên đồng thời bốn quả. Tính xác suất sao cho:

a) Bốn quả lấy ra cùng nhau;

b) Có ít nhất một quả màu trắng.

Lời giải:

a) Phép thử T: “Chọn ngẫu nhiên 4 quả cầu từ hộp 10 quả cầu”

Số phần tử của không gian mẫu: n( ) =C₁₀⁴ =210

Có C cách chọn bốn quả lấy ra cùng màu trắng và có ₆⁴ C cách chọn bốn quả lấy ra ⁴₄ cùng màu đen.

Gọi A là biến cố: “Bốn quả lấy ra cùng nhau”

Ta có: n(A)=C⁴₆ +C⁴₄ =16

Vậy xác suất của biến cố là: P(A) ^{n(A) 16 8} n( ) 210 105

= = =



b) Gọi B là biến cố: “Có ít nhất một quả màu trắng”

Biến cố đối của B là B : “Bốn quả lấy ra không có quả màu trắng nào”

Ta có: ^{n B}

( )

Suy ra n(B)=C₁₀⁴ − =1 209

Vậy xác suất của biến cố là: P(B) ^{n(B) 209} n( ) 210

= =



Bài tập 7 trang 77 SGK Toán lớp 11 Đại số: Gieo một con súc sắc ba lần. Tính xác suất sao cho sáu mặt chấm xuất hiện ít nhất một lần.

Lời giải:

Phép thử T: "Gieo một con xúc sắc ba lần."

Không gian mẫu:

{( j, j,k) 1 i, j,k 6}

 = ∣   nên n( ) = =6³ 216

Gọi A là biến cố: “Mặt sáu chấm xuất hiện ít nhất một lần"

Suy ra biến cố đối là A : “Không lần nào xuất hiện mặt sáu chấm".

Lần gieo thứ nhất không ra mặt 6 chấm nên có 5 kết quả có thể xảy ra (1, 2, 3, 4, 5 chấm)

Lần gieo thứ hai và thứ ba: tương tự có 5 kết quả có thể xảy ra.

Theo quy tắc nhân: n(A)=5³ =125.

Suy ra n(A) 125 P(A)= n( ) = 216



Vậy xác suất của biến cố là: 125 91

P(A) 1 P(A) 1 0, 4213

216 216

= − = − =  .

Bài tập 8 trang 77 SGK Toán lớp 11 Đại số: Cho một lục giác đều ABCDEF.

Viết các chữ cái A, B, C, D, E, F vào sáu cái thẻ. Lấy ngẫu nhiên hai thẻ. Tìm xác suất sao cho đoạn thẳng mà các đầu mút là các điểm được ghi trên hai thẻ đó là:

a) Cạnh của lục giác;

b) Đường chéo của lục giác;

c) Đường chéo nối hai đỉnh đối diện của lục giác.

Lời giải:

a) Phép thử T: “Lấy ngẫu nhiên hai thẻ”

Số phần tử không gian mẫu là các tổ hợp chập 2 của 6 (đỉnh) Dó đó n( ) =C²₆ =15

Gọi A là biến cố: “Hai thẻ lấy ra là hai đỉnh tạo thành cạnh của lục giác”

Vì số cạnh của lục giác là 6 nên n(A) = 6 Vậy xác suất của biến cố là: 6 2

P(A) 0, 4

15 5

= = =

b) Gọi A là biến cố: “Hai thẻ lấy ra là hai đỉnh tạo thành đường chéo của lục giác”

Vì số đường chéo của lục giác là số đoạn thẳng nối 2 đỉnh của lục giác trừ số cạnh của lục giác.

Nên n(B) = 15 – 6 = 9

Vậy xác suất của biến cố là: 9 3

P(B) 0,6

15 5

= = =

c) Gọi C là biến cố: “Hai thẻ lấy ra là hai đỉnh đối diện của lục giác”

Lục giác có 3 cặp đỉnh đối diện là A - D, B - E, C - F nên n(C) = 3 Vậy xác suất của biến cố là: 3 1

P(C) 0, 2

15 5

= = = .

Bài tập 9 trang 77 SGK Toán lớp 11 Đại số: Gieo đồng thời hai con súc sắc.

Tính xác suất sao cho:

a) Hai con súc sắc đều xuất hiện mặt chẵn;

b) Tích các số chấm trên hai con súc sắc là số lẻ.

Lời giải:

Không gian mẫu  ={(i, j) 1 i, j 6}∣   Suy ra n( ) =6.6=36

a) A là biến cố “Hai con súc sắc đều xuất hiện mặt chẵn”

A {(i, j) i, j {2;4;6}}= ∣  suy ra n(A) = 3.3 = 9 Vậy xác suất của biến cố là:

( )

( )

n A 9 1

P(A)= n =36 = 4



b) B là biến cố "Tích các số chấm trên hai con súc sắc là số lẻ"".

Vì tích hai số là lẻ chỉ khi cả hai thừa số đều lẻ nên B {(i, j) i, j {1;3;5}}= ∣  suy ra n(B) = 3.3 = 9

Vậy xác suất của biến cố là:

( ) ( )

n B 9 1

P(B)= n = 36= 4

 .

Bài tập trắc nghiệm

Bài tập 10 trang 77 SGK Toán lớp 11 Đại số: Lấy hai con bài từ cỗ bài tú lơ khơ 52 con. Số cách lấy là:

(A) 104; (B) 1326; (C) 450; (D) 2652.

Lời giải:

Mỗi cách lấy ra 2 con bài từ cỗ bài tú lơ khơ 52 quân là một tổ hợp chập 2 của 52 phần tử.

Vậy có C²₅₂ =1326 (cách) Chọn đáp án B.

Bài tập 11 trang 77 SGK Toán lớp 11 Đại số: Năm người được xếp vào ngồi quanh một bàn tròn với năm ghế. Số cách xếp là:

(A) 50; (B) 100; (C) 120; (D) 24.

Lời giải:

Với 5 người A, B, C, D, E xếp hàng ngang (hay dọc) thì có 5! = 120 cách xếp.

Nếu hoán vị theo hàng ngang thì ABCDE, BCDEA, CDEAB, DEABC, EABCD là khác nhau nhưng xếp quanh bàn tròn thì chỉ là một cách xếp.

Vậy số cách xếp 5 người ngồi quanh bàn tròn là: 5!

n 4! 24

= 5 = = (cách) Chọn đáp án D.

Bài tập 12 trang 77 SGK Toán lớp 11 Đại số: Gieo một con súc sắc hai lần. Xác suất để ít nhất một lần xuất hiện mặt sáu chấm là:

(A) 12

36; (B) 11

36; (C) 6

36; (D) 8

36. Lời giải:

Ta có: n( ) =6² =36

Gọi A là biến cố: “Ít nhất một lần xuất hiện mặt sáu chấm”.

A là biến cố: " Không lần nào xuất hiện mặt sáu chấm"

Nên n(A)=5² =25

Suy ra 25

P(A)= 36

Vậy xác suất của biến cố là: 25 11 P(A) 1

36 36

= − = . Chọn đáp án B.

Bài tập 13 trang 77 SGK Toán lớp 11 Đại số: Từ một hộp chứa ba quả cầu trắng và hai quả cầu đen lấy ngẫu nhiên hai quả. Xác suất để được cả hai quả trắng là:

(A) 9

30; (B) 12

30; (C) 10

30; (D) 6

30.

Lời giải:

Phép thử T: "Lấy ngẫu nhiên hai quả cầu từ hộp có 3 quả trắng, 2 quả đen"

Số phần tử không gian mẫu là số cách chọn 2 trong 5 quả cầu nên: n

( )

( )

n A =C =3

Vậy xác suất của biến cố là: 3 9 P(A)=10 =30 Chọn đáp án A.

Bài tập 14 trang 77 SGK Toán lớp 11 Đại số: Gieo ba con súc sắc. Xác suất để số chấm xuất hiện trên ba con như nhau là:

(A) 12

216; (B) 1

216; (C) 6

216; (D) 3

216. Lời giải:

Ta có: n( ) =6.6.6=216

Gọi A là biến cố: "Số chấm xuất hiện trên ba con là như nhau"

Nên A = {(1; 1; 1), (2; 2; 2), (3; 3; 3), (4; 4; 4), (5; 5; 5), (6; 6; 6)}

Suy ra n(A) = 6

Vậy xác suất của biến cố là: 6 P(A)= 216 Chọn đáp án C.

Bài tập 15 trang 78 SGK Toán lớp 11 Đại số: Gieo một đồng tiền cân đối và đồng chất bốn lần. Xác suất để cả bốn lần xuất hiện mặt sấp là:

(A) 4

16; (B) 2

16; (C) 1

16; (D) 6

16. Lời giải:

Mỗi đồng tiền có 2 khả năng (hoặc ngửa (N), hoặc sấp (S)) Do đó n( ) =2.2.2.2 16=

Gọi A là biến cố: “Cả bốn lần xuất hiện mặt sấp”

Nên A = {SSSS}

Suy ra n(A) = 1

Vậy xác suất của biến cố là: 1 P(A)=16 Chọn đáp án C.