Bài 3: Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây
Câu hỏi 1 trang 105 Toán lớp 9 tập 1: Hãy sử dụng kết quả của bài toán ở mục I để chứng minh rằng:
a) Nếu AB = CD thì OH = OK.
b) Nếu OH = OK thì AB = CD Lời giải:
Xét đường tròn (O)
OH là một phần đường kính vuông góc với dây AB Do đó, H là trung điểm của AB HA HB 1AB
2 OK là một phần đường kính vuông góc với dây CD Do đó, K là trung điểm của CD KC KD 1CD
2
Theo bài toán ở mục I ta có: OH2 HB2 OK2 KD2 (1) a)
Nếu AB = CD thì ta có: HB = KD HB2 KD2 (2) Từ (1) và (2) ta có: OH2 OK2 OHOK
b)
Nếu OH = OK thì OH2 OK2 (3)
Từ (1) và (3) ta có: HB2 KD2 HBKD ABCD
Câu hỏi 2 trang 105 Toán lớp 9 tập 1: Hãy sử dụng kết quả của bài toán ở mục I để so sánh các độ dài:
a) OH và OK, nếu biết AB > CD.
b) AB và CD, nếu biết OH < OK.
Lời giải:
Xét đường tròn (O)
OH là một phần đường kính vuông góc với dây AB Do đó, H là trung điểm của AB HA HB 1AB
2 OK là một phần đường kính vuông góc với dây CD Do đó, K là trung điểm của CD KC KD 1CD
2
Theo bài toán ở mục I ta có: OH2 HB2 OK2 KD2
2 2 2 2
HB KD OK OH
a)
Nếu AB > CD HB > KD
2 2
HB KD
2 2
HB KD 0
2 2
OK OH 0
2 2
OK OH
OK OH
b)
Nếu OH < OK
2 2
OH OK
2 2
OK OH 0
2 2
HB KD 0
2 2
HB KD
HB KD
AB CD
Câu hỏi 3 trang 105 Toán lớp 9 tập 1: Cho tam giác ABC, O là giao điểm của các đường trung trực của tam giác; D, E, F theo thứ tự là trung điểm của các cạnh AB, BC, AC. Cho biết OD > OE, OE = OF (h.69). Hãy so sánh các độ dài:
a) BC và AC;
b) AB và AC.
Lời giải:
Xét tam giác ABC
O là giao điểm của ba đường trung trực của tam giác ABC Do đó, O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC a)
Theo đề bài, OE = OF AC = BC (do hai dây cách đều tâm thì bằng nhau) b)
Theo đề bài OD > OE AB < BC (do dây nào xa tâm hơn thì dây đó nhỏ hơn) Mà ta lại có AC = BC (chứng minh phần a)
Do đó, AB < AC.
Bài tập
Bài 12 trang 106 Toán lớp 9 tập 1: Cho đường tròn tâm O bán kính 5cm, dây AB bằng 8cm.
a) Tính khoảng cách từ tâm O đến dây AB.
b) Gọi I là điểm thuộc dây AB sao cho AI = 1cm. Kẻ dây CD đi qua I và vuông góc với AB. Chứng minh rằng CD = AB.
Lời giải:
a)
Kẻ OEAB tại E
OE là một phần của đường kính
Do đó, E là trung điểm của đoạn thẳng AB
1 1
EA EB AB .8 4
2 2
(cm)
Xét tam giác OEB vuông tại E (do OEAB) Áp dụng định lí Py-ta-go ta có:
2 2 2
OB OE EB
2 2 2 2 2
OE OB EB 5 4 9
OE 9 3
(cm)
Vậy khoảng cách từ tâm O đến dây AB là OE = 3cm b)
Kẻ OFCD tại F Xét tứ giác FOEI
FIE90o (do ABCD tại I) IFO90o (do OFCD tại F) IEO90o (do OEAB tại E)
Do đó, tứ giác FOEI là hình chữ nhật
OF EI
Ta có:
EA = 4cm AI = 1cm
EI EA AI 4 1 3
(cm)
OF = EI = 3cm
OF = OE = 3cm
Vậy hai dây AB và CD cách đều tâm, do đó chúng bằng nhau, tức là AB = CD Bài 13 trang 106 Toán lớp 9 tập 1: Cho đường tròn (O) có các dây AB và CD bằng nhau, các tia AB và CD cắt nhau tại điểm E nằm bên ngoài đường tròn.
Gọi H và K theo thứ tự là trung điểm của AB và CD. Chứng minh rằng:
a) EH = EK;
b) EA = EC.
Lời giải:
a)
Nối O với E
Có HA = HB (H là trung điểm AB) OHAB (do đường kính đi qua trung điểm của dây không đi qua tâm thì vuông góc với dây đó)
Có KC = KD (K là trung điểm CD) OKCD (do đường kính đi qua trung điểm của dây không đi qua tâm thì vuông góc với dây đó)
Mặt khác, AB = CD nên OH = OK (do hai dây bằng nhau thì cách đều tâm)
Xét tam giác HOE và tam giác KOE có OH = OK
EO chung
EHOEKO90o (do OHAB và OK CD)
Do đó, tam giác HOE và tam giác KOE là hai tam giác bằng nhau theo trường hợp cạnh huyền – cạnh góc vuông.
EH = EK (1) b)
Theo đề bài, AB = CD
1 1
AB CD AH KC
2 2
(2)
Từ (1) và (2) ta có:
EH + HA = EK + KC
EA = EC
