1 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
SÓC TRĂNG
¯¯¯¯¯¯¯
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH Năm học 2012 – 2013
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
Đề chính thức
Môn: Toán - lớp 9
(Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian phát đề) _____________________
HƯỚNG DẪN CHẤM Bài 1. ( 4 điểm)
a)
Ta có:
a
a a
a a
a a a
a
1
1 1
1
1 (0,5 điểm)
a a a a a
1 (0,5 điểm)
a a
1
2 (0,5 điểm)
Vậy 1 2
1 2 :1
1
2
a
a a a a
a a
a ( với a > 0, a 1). (0,5 điểm)
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của
y 2x2 4x3 x2 2x3
2x12 1 x12 2 (0,5 điểm) Do ( x + 1)2 0 nên y1 2 . (0,5 điểm) Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi ( x + 1)2 = 0 x = -1. (0,5 điểm) Vậy giá trị nhỏ nhất của y1 2 khi x = -1. (0,5 điểm) Bài 2. ( 4 điểm)
a) 27 81 20
3 24 1 8 4 3
33 x 3 x 3 x ( Điều kiện: x) (0,25 điểm) 33 x383 x33 x320 (0,5 điểm) 103 x3 20 (0,5 điểm) 3 x3 2 (0,25 điểm) x38 x5 ( Thỏa điều kiện) (0,5 điểm) b)
Đặt: 1; 1
; 1
1
x y
y Y y x
X x (0,5 điểm) Giải hệ phương trình:
1 3
3 2
Y X
Y
X (0,5 điểm) Giải ra: X = 2; Y = -1. (0,5 điểm)
Suy ra:
2 1 x
x x = -2 ( thỏa),
1
1 y
y y =
2
1 ( thỏa). (0,5 điểm)
2
Vậy : ( x = -2 ; y =
2
1 ).
Bài 3. (4 điểm) a) A =a3 –7a+ 12
= a3 –a – 6 a + 12 (0,25 điểm) = a(a2 – 1) - 6(a-2) (0,25 điểm) =a(a-1)(a+1) – 6(a-2) (0,5 điểm)
Do a(a-1)(a+1) là tích 3 số liên tiếp nên a(a-1)(a+1) chia hết cho 6. (0.5điểm) Mặt khác: -6(a – 2) 6 (0,25 điểm)
Nên A 6 (0,25 điểm) b) Ta có : ab(a + b ) = a3 + b3 (0,25 điểm)
10a + b = a2 – ab + b2 = ( a + b )2 – 3ab (0,25 điểm)
3a( 3 + b ) = ( a + b ) ( a + b – 1 ) (0,25 điểm) a + b và a + b – 1 nguyên tố cùng nhau do đó: (0,25 điểm)
b b
a
a b a
3 1
3 hoặc
a b
a
b b
a
3 1
3 (0,5 điểm) ( a = 4 , b = 8) hoặc ( a = 3 , b = 7) (0,5 điểm)
Vậy ab = 48 hoặc ab = 37.
Bài 4. (4 điểm)
Hình vẽ (0,5điểm)
H G
E D
A B
C
a) Tứ giác HAEG là hình thoi. (0,5 điểm) Vì D thuộc đường tròn đường kínhABBD AG
mà ABDGBD(giả thiết)
suy ra: tam giác BAG cân tại B (0,5 điểm) DA = DG (vì BD cũng là trung tuyến)
DE = DH (tính chất đối xứng) (0,5 điểm) Suy ra tứ giác HAEG là hình bình hành
EA = EG ( do BD là đường trung trực của AG)
nên HAEG là hình thoi. (0,5 điểm) b) Ta có GE AB ( do E là trực tâm của tam giác BAG) (0,5 điểm) mà HA//GE ( tính chất hình bình hành) (0,5 điểm) suy ra HA AB (0,5 điểm) Từ đó suy ra: AH là tia tiếp tuyến của đường tròn đường kính AB.
3
Bài 5. (4 điểm)
Hình vẽ (0,25 điểm)
a) Do MA = MB ( định lí), mà OA = OB = R (0,25 điểm) nên OM là trung trực AB OM AB (0,25 điểm)
mà AB giao OM tại K OKI 900. (0,25 điểm) Xét tam giác OKI và OHM có:
900
OKI OHM , góc O chung OKI đồng dạng OHM (g.g) (0,5 điểm)
OI OM OK
OH
(0,25 điểm)
OI. OH = OK. OM. (0,25 điểm) b) Ta có: OK. OM = OA2 ( HTL trong tam giác vuông). (0,5 điểm) Từ chứng minh câu a) suy ra: OI. OH = OK. OM = OA2 = R2. (0,5 điểm) Do O và d cố định và H là hình chiếu của O lên d nên OH không đổi,
mà OI. OH = R2 khôngđổi và I thuộc OH nên OI không đổi
I cố định. (0,5 điểm) Vì OKI 900 nên K thuộc đường tròn đường kính OI, mà OI cố định nên khi M di chuyển trên d thì K di chuyển trên đường tròn đường kính OI. (0,5 điểm) Lưu ý: Học sinh có các cách giải khác, nếu đúng vẫn cho trọn số điểm theo qui định của từng bài.
---Hết---
