Công thức xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng hay, chi tiết nhất | Toán lớp 10

Công thức xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng I. Lý thuyết tổng hợp.

- Định nghĩa vectơ chỉ phương: Vectơ u (u 0) là vectơ chỉ phương của đường thẳng  nếu giá của vectơ u song song hoặc trùng với đường thẳng .

- Chú ý:

+ Nếu u là vectơ chỉ phương của  thì ku ( k0) cũng là vectơ chỉ phương của

.

+ Nếu đường thẳng  có vectơ pháp tuyến n=(a;b) thì đường thẳng đó có các vectơ chỉ phương là u (b; a)= − , u '= −( b;a)

II. Các công thức.

- Cho đường thẳng  đi qua hai điểm A và B có: AB là vectơ chỉ phương của  - Cho u là vectơ chỉ phương của   ku ( k0) là vectơ chỉ phương của . - Cho đường thẳng : ^{0 1}

0 2

x x u t y y u t

= +

 = +

  Vectơ chỉ phương của  là u=(u ;u )_{1 2} - Cho đường thẳng  có vectơ pháp tuyến n=(a;b) thì đường thẳng đó có các vectơ chỉ phương là u (b; a)= − , u '= −( b;a)

- Cho đường thẳng d và d’. Biết d⊥d ': Nếu d’ có vectơ pháp tuyến n ' (a;b)= thì vectơ chỉ phương của d là u (a;b)=

- Cho đường thẳng d và d’. Biết d // d’ : Nếu d’ có vectơ pháp tuyến n ' (a;b)= thì vectơ chỉ phương của d là u ( b;a),u (b; a)= − = −

III. Ví dụ minh họa.

Bài 1: Cho đường thẳng d đi qua hai điểm A(1; 3) và B(4; 5). Xác định 3 vectơ chỉ phương của đường thẳng d.

Lời giải:

Do đường thẳng d đi qua hai điểm A(1; 3) và B(4; 5) nên ta có:

AB= (4 – 1; 5 – 3) = (3; 2) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng d.

kAB ( k0) cũng là vectơ chỉ phương của đường thẳng d.

Chọn k = 2, ta có vectơ chỉ phương : u₂ =2AB (6;4)= Chọn k = 3, ta có vectơ chỉ phương: u₃ =3AB (9;6)= Bài 2: Cho đường thẳng d: ^{x 5 3t}

y 2 5t

 = +

 = − −

 . Xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng d.

Lời giải:

Gọi u=(u ;u )_{1 2} là vectơ chỉ phương của d.

Ta có d: ^{x 5 3t} y 2 5t

 = +

 = − −



1 2

u 3

u 5

 =

  = −

Vậy vectơ chỉ phương của d là u=(3; 5)−

Bài 3: Cho đường thẳng d có vectơ pháp tuyến là n= (1; 2). Tìm 2 vectơ chỉ phương của đường thẳng d.

Lời giải:

Đường thẳng d có vectơ pháp tuyến là n= (1; 2)

Vectơ chỉ phương u= (2; -1) và u= −( 2;1)

Bài 4: Cho hai đường thẳng d và d’. Tìm vectơ chỉ phương của d. Biết d⊥d ' và vectơ pháp tuyến của d’ là n' (1;5)= .

Lời giải:

Do d⊥d ' và vectơ pháp tuyến của d’ là n ' (1;5)= nên ta có:

Vectơ chỉ phương của d là u (1;5)= IV. Bài tập tự luyện.

Bài 1: Cho đường thẳng d’ trong các trường hợp sau. Tìm vectơ chỉ phương của d’

trong các trường hợp đó.

a) d’ đi qua điểm A(0; 1) và B(2; 7).

b) d’ trùng với trục hoành.

Bài 2: Cho đường thẳng d có vectơ pháp tuyến là n= (-3; 4). Tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng d.