Tóm tắt lý thuyết và một số dạng toán đường tròn - Nguyễn Ngọc Dũng - THCS.TOANMATH.com

(1)

MATH.ND 0976071956

? Lớp TOÁN THẦY DŨNG ?

Thầy N GUYỄN N GỌC DŨN G - THPT TẠ QU AN G BỬU

CHƯƠNG 2 Đường tròn 3

1 Sự xác định đường tròn. Tính chất đối xứng của đường tròn 3

Dạng 1. Chứng minh nhiều điểm cùng thuộc một đường tròn 3

2 Đường kính và dây của đường tròn. Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây 5

Dạng 1. Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau. Hai dây bằng nhau 5

Dạng 2. Tính độ dài một đoạn thẳng - Độ dài một dây cung 6

Dạng 3. So sánh hai dây cung - Hai đoạn thẳng 6

3 Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn. Tiếp tuyến của đường tròn 8

Dạng 1. Tính độ dài một đoạn tiếp tuyến 8

Dạng 2. Chứng minh một đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn 9

Dạng 3. Tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau 10

4 Vị trí tương đối của hai đường tròn 12

(2)

MATH.ND 0976071956

(3)

MATH.ND 0976071956

Chủ đề 1. Sự xác định đường tròn. Tính chất đối xứng của đường tròn

A TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1 ĐỊNH NGHĨA

• Đường tròn tâmO bán kínhR (với R >0) là hình gồm các điểm cách điểmO một khoảng bằngR.

• Kí hiệu:(O;R).

2 MỘT SỐ LƯU Ý

• Tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông là trung điểm của cạnh huyền.

• Nếu một tam giác có một cạnh là đường kính của đường tròn ngoại tiếp thì tam giác đó là tam giác vuông.

B MỘT SỐ DẠNG TOÁN

{DẠNG 1. Chứng minh nhiều điểm cùng thuộc một đường tròn

○ Chứng minh các điểm đã cho cách đều một điểm.

○ Tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông là trung điểm của cạnh huyền.

cccVÍ DỤ MINH HỌAccc

# Ví dụ 1. Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 12 cm, BC = 5 cm. Chứng minh rằng bốn điểm A, B, C, D cùng thuộc một đường tròn. Xác định tâm và bán kính đường tròn đó.

# Ví dụ 2. Cho 4ABC có các đường cao BD,CE. Chứng minh bốn điểm B, E, D, C cùng thuộc một đường tròn.

# Ví dụ 3. Cho4ABC vuông tại A, đường caoAH. TừM là điểm bất kì trên cạnh BC kẻM D⊥ AB,M E ⊥AC. Chứng minh năm điểm A, D, M, H, E cùng nằm trên một đường tròn.

# Ví dụ 4. Cho4ABC vuông tạiA, gọiDlà điểm đối xứng vớiA qua cạnhBC. Chứng minh bốn điểmA, B, C, D cùng thuộc một đường tròn.

# Ví dụ 5. Cho hình chữ nhậtABCD, vẽ4AECvuông tạiE. Chứng minh năm điểmA, B, C, D, E cùng thuộc một đường tròn.

(4)

MATH.ND 0976071956

# Ví dụ 6. Cho tam giác đềuABC.AM,BN,CP là các đường trung tuyến. Chứng minh rằng bốn điểmB, P, C, N cùng thuộc một đường tròn. Hãy vẽ đường tròn đó.

# Ví dụ 7. Cho tứ giác ABCD có C“+ D“ = 90^◦. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BD, DC và CA. Chứng minh rằng bốn điểmM, N, P, Q cùng thuộc một đường tròn.

# Ví dụ 8. Cho tứ giác ABCD có AC⊥BD;M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC,CD,DA. Chứng minh bốn điểm M, N, P, Q cùng thuộc một đường tròn.

cccBÀI TẬP VẬN DỤNGccc

Bài 1. Cho4ABC cân tạiAcó gócAnhọn. TừAvẽ đường thẳng vuông góc vớiAB cắt đường thẳngBC tạiD. Đường tròn(K) đường kínhAD cắt các đường thẳng DC và AC lần lượt tại H vàE. Chứng minh

a H là trung điểm của BC và HA² =HC·HD.

b DH là tia phân giác củaADE\ vàKH kDE.

Bài 2. Cho đoạn thẳng AB = 2a có trung điểm O. Trên đường trung trực của AB lấy điểm D sao cho OD= a

2. NốiA vớiD, vẽ BC vuông gócAD tạiC.

a TínhAD, AC, BC tại a.

b Trên tia đối của taiOD lấy điểmEsao choOE=a. Chứng minh rằng bốn điểmA, B, C, E cùng nằm trên một đường tròn.

c CE là tia phân giác của\ACB.(gợi ý: kẻ CH ⊥AB)

Bài 3 (*). Cho 4ABC vuông cân tạiA có đường caoAH. Trên đoạn thẳng HC lấy điểmK rồi dựng hình chữ nhật AHKO. Lấy O làm tâm vẽ đường tròn bán kính OK, đường tròn này cắt cạnh AB tại D, cắt cạnhAC tại E. GọiF là giao điểm thứ hai của (O)và AB. Chứng minh rằng:

a 4AEF là tam giác cân và DO⊥OE.

b Bốn điểmD, A, O, E cùng nằm trên một đường tròn.

Bài 4 (*). Trên các cạnhAB, BC, CA của4ABC đều ta lấy theo thứ tự các điểmM, N, P sao cho AM = BN =CP.

a GọiOlà tâm đường tròn ngoại tiếp4ABC. Chứng minh rằngOlà tâm đường tròn ngoại tiếp4M N P. b GọiH, I, K lần lượt là trung điểm của AB, M P, AC. Chứng minh rằng ba điểmH, I, K thẳng hàng.

c Xác định vị trí các điểmM, N, P để chu vi 4M N P nhỏ nhất.

(5)

MATH.ND 0976071956

Chủ đề 2. Đường kính và dây của đường tròn. Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây

1 TÍNH CHẤT ĐƯỜNG KÍNH VÀ DÂY CUNG

Trong đường tròn(O):

a OH⊥AB⇒H là trung điểm củaAB.

b H là trung điểm của AB⇒OH⊥AB.

O

A H B

2 LIÊN HỆ GIỮA DÂY VÀ KHOẢNG CÁCH TỪ TÂM ĐẾN DÂY

○ Định lý 1:

• Trong các dây của một đường tròn, đường kính là dây lớn nhất.

○ Định lý 2:

• Trong một đường tròn, hai dây bằng nhau thì cách đều tâm và ngược lại.

• Trong một đường tròn, dây nào lớn hơn thì gần tâm hơn và ngược lại.

{DẠNG 1. Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau. Hai dây bằng nhau

○ Trong một đường tròn, hai dây bằng nhau thì cách đều tâm và ngược lại.

○ Chứng minh hai tam giác bằng nhau.

# Ví dụ 1. Cho đường tròn (O) đường kính AB, dây CD không cắt đường kính. Gọi H, K thứ tự là chân đường vuông góc kẻ từ Avà B đến CD. Chứng minh rằng

CD vàHK có trung điểm trùng nhau;

a b DH =CK.

# Ví dụ 2. Cho đường tròn (O) có các dâyAB vàCD bằng nhau và cắt nhau tại điểm E nằm bên ngoài đường tròn. Gọi H,K theo thứ tự là trung điểm củaAB vàCD. Chứng minh rằng

EH=EK;

a b EA=EC.

(6)

MATH.ND 0976071956

# Ví dụ 3. Cho đường tròn(O; 5cm), dây AB= 8 cm.

a Tính khoảng cách từ tâmO đến dây AB;

b Lấy điểmI thuộc dâyABsao choAI = 1cm. Kẻ dâyCD đi quaI và vuông góc vớiAB. Chứng minh AB=CD.

# Ví dụ 4. Cho nửa đường tròn tâm O đường kínhAB, dâyCD, các đường vuông góc với CD tại C vàD tương ứng cắtAB ở M vàN. Chứng minh rằng AM =BN.

# Ví dụ 5. Cho đường tròn(O) có tâm nằm trên đường phân giác của góc xAy, cắt tia AxởB và C, cắt tiaAy ởD vàE. Chứng minh rằng hai dâyBC vàDE bằng nhau.

# Ví dụ 6. Cho đường tròn (O) có hai dây AB, CD bằng nhau và cắt nhau tại I nằm bên trong đường tròn. Chứng minh rằng

a IO là tia phân giác của một trong hai góc tạo bởi hai dâyAB vàCD.

b ĐiểmI chiaCD và AB thành các đoạn thẳng bằng nhau đôi một.

{DẠNG 2. Tính độ dài một đoạn thẳng - Độ dài một dây cung

○ Xác định khoảng cách từ tâm đến dây.

○ Áp dụng định lý Py-ta-go cho tam giác vuông có cạnh huyền là bán kính của đường tròn.

# Ví dụ 1. Cho đường tròn (O) có bán kính OA = 3 cm. Dây BC của đường tròn vuông góc với OAtại trung điểm của OA. Tính độ dài dây BC.

# Ví dụ 2. Cho(O; 25cm), dâyAB= 40cm. Vẽ dây cungCDsong song vớiABvà có khoảng cách đến AB bằng22cm. Tính độ dài dây cung CD.

# Ví dụ 3. Cho đường tròn (O) có hai dây cungAB,CD bằng nhau và vuông góc với nhau tại I. BiếtIC = 2 cm, ID= 14cm. Tính khoảng cách từ tâmO đến mỗi dây cung.

# Ví dụ 4. Cho(O,25cm), hai dây cungAB, CD song song với nhau và có độ dài theo thứ tự bằng 40 cm, 48cm. Tính khoảng cách giữa hai dây cung ấy.

{DẠNG 3. So sánh hai dây cung - Hai đoạn thẳng

○ Xác định khoảng cách từ tâm đến dây.

○ Trong hai dây cung của một đường tròn, dây nào lớn hơn thì gần tâm hơn và ngược lại.

(7)

MATH.ND 0976071956

○ Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên: Trong các đường xiên và đường vuông góc kẻ từ một điểm ở ngoài một đường thẳng đến đường thẳng đó, đường vuông góc là đường ngắn nhất.

# Ví dụ 1. Cho điểm Anằm bên trong đường tròn (O). Vẽ dâyBC vuông góc vớiOA. Vẽ dâyEF bất kỳ đi quaA và không vuông góc vớiOA. So sánh độ dài hai dây BC và EF.

# Ví dụ 2. Cho (O,5 cm), điểmM cách O 3 cm.

a Tính độ dài dây ngắn nhất đi quaM. b Tính độ dài dây dài nhất đi quaM.

# Ví dụ 3. Cho AB là dây cung của(O;R) vàI là trung điểm của AB (O /∈AB).

a QuaI vẽ dây cung EF. Chứng minh EF ≥AB. Tìm độ dài lớn nhất, độ dài nhỏ nhất của các dây quay quanhI.

b ChoR= 5 cm, OI = 4 cm, tính độ dài dây cung ngắn nhất qua I.

Bài 1. Cho đường tròn (O;R) có hai bán kính OA, OB sao cho \AOB = 120^◦, gọi OI là đường cao của 4OAB. TiaOI cắt đường tròn(O) tạiC.

a Tính các góc, cạnhAB, chiều caoOI của4AOB theo R.

b Chứng minh tứ giácOACB là hình thoi, tính diện tích củaOACB theoR.

Bài 2. Cho đường tròn(O)có các dây ABvàCD bằng nhau, các tiaAB vàCD cắt nhau tại điểm E nằm bên ngoài đường tròn. GọiH, K theo thứ tự là trung điểm của AB vàCD. Chứng minh rằng: EH=EK vàEA=EC.

Bài 3. Cho điểm Acố định trong đường tròn (O) và dây cungM N quay quayA.

a Chứng minh các trung điểmH của các dây cungM N di động trên một đường tròn cố định.

b Xác định vị trí của H khi M N ngắn nhất, dài nhất.

Bài 4. Cho đường tròn(O;R) có hai dâyAB, AC vuông góc với nhau vàAB=R√ 3.

a Chứng minh rằng AB²+AC² = 4R². Tính các khoảng cách từ tâmO đến AB vàAC.

b Trên đoạn thẳngABlấy điểmP sao choAP = Ä√

3−1ä

2 . Vẽ dâyDE vuông góc vớiABtạiP. Chứng minh rằngDE=AB.

Bài 5. Trong một đường tròn tâm O, hai dâyAB và CD song song với nhau. BiếtAB = 30cm, CD= 40 cm. Khoảng cách giữaAB vàCD là 35cm. Tính bán kính đường tròn.

(8)

MATH.ND 0976071956

Bài 6. Cho đường tròn tâm Abán kínhAB, dâyEF kéo dài cắt đường thẳng ABtạiC (E nằm giữaF và C), hạAD⊥CF, hạ AD⊥CF. ChoAB = 10cm; AD= 8 cm; CF = 21cm. Tính CE vàCA.

Bài 7 (*). Cho 4ABC vuông cân tại A, đường cao AH. Trên đoạn thẳng HC lấy điểm K rồi dựng hình chữ nhật AHKO. Lấy O làm tâm, vẽ đường tròn bán kính OK, đường tròn này cắt cạnh AB tại D, cắt cạnhAC tại E. GọiF là giao điểm thứ hai của đường tròn (O) với đường thẳng AB. Chứng minh rằng:

4AEF cân.

a b DO ⊥OE.

Chủ đề 3. Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn. Tiếp tuyến của đường tròn

1 TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG TRÒN

a A∈(O), A∈d d⊥OA







⇒dlà tiếp tuyến của (O).

b dlà tiếp tuyến của(O) A∈(O), A∈d







⇒d⊥OA. ^O

A

d

2 TÍNH CHẤT HAI TIẾP TUYẾN CẮT NHAU

M Avà M B là hai tiếp tuyến của(O). Khi đó

• M A=M B;

• M O là đường phân giác của AM B\ vàAOB.\

O M

A

B

{DẠNG 1. Tính độ dài một đoạn tiếp tuyến

○ Xác định tam giác vuông có đỉnh góc vuông là tiếp điểm.

○ Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông để tính.

(9)

MATH.ND 0976071956

# Ví dụ 1. Cho đường tròn(O)có bán kính OA=R, dâyBC vuông góc vớiOAtai trung điểmM củaOA.

a Chứng minhOCAB là hình thoi.

b Kẻ tiếp tuyến với đường tròn tạiB cắt đường thẳng OA tạiE. Tính độ dàiBE theoR.

# Ví dụ 2. Từ điểm A ở ngoài đường tròn (O) kẻ các tiếp tuyến AB, AC với (O) (B, C là tiếp điểm).

a Chứng minh rằng OA⊥BC.

b Vẽ đường kínhCD. Chứng minh rằng BDkAO.

c Tính độ dài các cạnh của4ABC biết OB = 2 cm, OA= 4 cm.

# Ví dụ 3. Từ điểm A nằm bên ngoài (O; 6 cm) có OA = 10 cm, kẻ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B,C là các tiếp điểm). GọiH là giao điểm củaAO vàBC.

Tính độ dàiOH.

a b Tính độ dàiAB.

{DẠNG 2. Chứng minh một đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn

○ A∈(O), A∈d d⊥OA







⇒dlà tiếp tuyến của (O).

O A

d

# Ví dụ 1. Cho đường tròn (O) có dây AB khác đường kính. Qua O kẻ đường vuông góc với AB cắt tiếp tuyến tạiAcủa(O) ở điểmC.

a Chứng minhCB là tiếp tuyến của đường tròn.

b Cho bán kính của đường tròn bằng15 cm, AB= 24cm. Tính độ dài OC.

# Ví dụ 2. Cho đường tròn(O;R). Vẽ đường tròn tâm I đi quaO có đường kính lớn hơnR cắt(O) tạiA,B. Đường thẳngOI cắtI tạiM (I nằm giữaO vàM). Chứng minh rằng M A,M B là hai tiếp tuyến của(O).

(10)

MATH.ND 0976071956

# Ví dụ 3. Cho4ABC vuông tạiA, đường caoAH. Vẽ đường tròn(A, AH), kẻ các tiếp tuyếnBD, CE với đường tròn (A) (D,E là các tiếp điểm khác H). Chứng minh rằng

a Ba điểmD,A,E thẳng hàng.

b DE tiếp xúc với đường tròn đường kínhBC.

{DẠNG 3. Tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau

M A vàM B là hai tiếp tuyến của(O). Khi đó

• M A=M B;

• M O là đường phân giác của AM B\ và

\AOB. ^O

M A

B

# Ví dụ 1. Cho đường tròn (O;R) và một điểmA nằm ngoài (O). TừA kẻ các tiếp tuyến AB,AC với(O). Vẽ đường kínhCD. Chứng minh rằng

OA⊥BC;

a b BDkOA.

# Ví dụ 2. Từ điểmM nằm bên ngoài đường tròn(O), kẻ các tiếp tuyếnM D,M E với đường tròn đó (D,E là các tiếp điểm). Qua điểmI thuộc cung nhỏDE, kẻ tiếp tuyến với đường tròn, cắt M D, M E theo thứ tự ở P vàQ. Chứng minh chu vi4M P Q bằng2·M D.

# Ví dụ 3. Cho đường tròn(O) và một điểmAsao choOA= 2R. Kẻ các tiếp tuyếnABvàAC với đường tròn (B,C là các tiếp điểm). Đường thẳngOA cắtBC tại H, cắt cung nhỏ và cung lớn BC lần lượt tạiI và K.

a Chứng minhOA⊥BC vàHI·OA=R².

b Chứng minh4ABC đều vàABKC là hình thoi.

c Chứng minhI là tâm đường tròn ngoại tiếp 4ABC. Tính theoR bán kính đường tròn này.

d Vẽ đường kínhCD. Chứng minh BDkAO.

e Vẽ cát tuyến bất kỳ AM N của (O;R). Gọi E là trung điểm của M N. Chứng minh 5 điểm O, E, A, B, C cùng thuộc một đường tròn.

(11)

MATH.ND 0976071956

# Ví dụ 4 (*). Từ một điểm A nằm ngoài đường tròn(O;R) vẽ hai tiếp tuyếnAB,AC với đường tròn (O) (B, C là tiếp điểm). Gọi H là chân đường vuông góc vẽ từ B xuống đường kính CD của (O), gọi I là giao điểm củaAD và BH. Chứng minhIB=IH.

Bài 1. Trên tiếp tuyến tạiM thuộc đường tròn(O;R) lấyM A=R, trên (O) lấyN sao choAN =R.

a Chứng minhAM ON là hình vuông.

b Chứng minh4AN Ovuông cân vàAN là tiếp tuyến của(O).

Bài 2. Cho đường tròn (O), dâyAB khác đường kính. Qua O kẻ đường vuông góc với AB, cắt tiếp tuyến tạiA của đường tròn ở điểmC.

a Chứng minh rằng CB là tiếp tuyến của đường tròn.

b Cho bán kính của đường tròn bằng15 cm, AB= 24cm. Tính độ dài OC.

Bài 3. Trên tiếp tuyến của đường tròn(O;R) tạiAlấy điểmS sao choAS =R√

3. Kéo dài đường caoAH của4SAO cắt(O)tại B.

a Tính các cạnh và góc của4SAO.

b Chứng minh rằng SB là tiếp tuyến của (O) và4SABđều.

Bài 4. Cho nửa đường tròn(O)đường kính AB. Lấy điểmD trên bán kínhOB. GọiH là trung điểm của AD. Đường vuông góc tại H với AB cắt nửa đường tròn tạiC. Đường tròn tâm I đường kínhDB cắt cát tuyếnCB tạiE.

a Tứ giácACEDlà hình gì?

b Chứng minh4HCE cân tại H.

c Chứng minhHE là tiếp tuyến của đường tròn tâmI.

Bài 5. Cho 4ABC vuông tại A (AB < AC). Đường tròn tâm O đường kính AB và đường tròn tâm K đường kính AC cắt nhau tại A vàD.

a Chứng minh ba điểmB, C, D thẳng hàng.

b Chứng minhOD là tiếp tuyến của(K) và KDlà tiếp tuyến của(O).

Bài 6. Cho4ABC vuông tạiAcó đường caoAH. Đường tròn tâmI đường kínhBH cắtABtạiE, đường tròn tâmK đường kínhHCcắtAC tạiH. Chứng minhAH vàEF là các tiếp tuyến chung của(I)và(K).

Bài 7. Cho nửa đường tròn đường kínhAB và tia tiếp tuyếnAxcùng phía với nửa đường tròn đối vớiAB.

Từ điểmM trênAxvẽ tiếp tuyến thứ haiM C với nửa đường tròn. KẻCH vuông góc vớiAB. Chứng minh rằngM B đi qua trung điểm củaCH.

(12)

MATH.ND 0976071956

Bài 8. Cho4ABC đều cóO là trung điểm củaBC,xOy‘ = 60^◦ quay quanhO sao cho tiaOxcắt cạnh AB tạiM, tia Oy cắt cạnhAC tại N.

a Chứng minhBC² = 4·BM ·CN.

b Chứng minhM O và N O lần lượt là tia phân giác củaBM N\ và M N C.\ c Chứng minhM N luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định.

Bài 9 (*). Cho 4ABC đều nột tiếp trong đường tròn (O). GọiDlà điểm đối xứng củaAquaO. Trên cạnh AB lấy điểm M và trên tia đối của tia CA lấy điểmN sao choBM =CN. Hai đường thẳng M N và BC cắt nhau tạiK. Chứng minh rằng

a 4DBM =4DCN.

b M DN\ = 120^◦ và K là trung điểm của M N.

Chủ đề 4. Vị trí tương đối của hai đường tròn

○ Tính chất đường nối tâm

• Nếu 2 đường tròn cắt nhau thì đường nối tâm là trung trực của dây chung.

• Nếu 2 đường tròn tiếp xúc nhau thì tiếp điểm nằm trên đường nối tâm.

B BÀI TẬP

Bài 1. Cho (O) tiếp xúc ngoài với(O⁰)tại A. Qua A kẻ một cát tuyến bất kì cắt(O) tại C và cắt (O⁰) tại D. Chứng minh rằng OCkO⁰D.

Bài 2. Cho(O) tiếp xúc trong với(O⁰) tạiA((O⁰)nằm bên trong(O)). QuaAkẻ một cát tuyến bất kỳ cắt (O) tạiB và(O⁰) tạiC. Chứng minh rằng OB kO⁰C.

Bài 3. Cho hai đường tròn (O;R)và (O⁰;R) cắt nhau tạiM vàN. BiếtOO⁰ = 24cm, M N = 10cm. Tính R.

Bài 4. Cho hai đường tròn(O;R)và(O⁰;R⁰) tiếp xúc ngoài tạiA. Kẻ tiếp tuyến chung ngoàiBC,B∈(O), C∈(O⁰). Tiếp tuyến chung trong tạiAcắt tiếp tuyến chung ngoài BC tại I. Chứng minh rằng

\OIO⁰ = 90^◦;

a BC = 2√

RR⁰. b

Bài 5. Cho hai đường tròn (O;R) và (O⁰;R⁰) tiếp xúc ngoài tại A. Kẻ tiếp tuyến chung ngoàiM N vớiM thuộc(O),N thuộc (O⁰). BiếtR= 9 cm, R⁰ = 4 cm. Tính độ dài đoạn M N.

Bài 6. Cho hai đường tròn (O1) và (O2) cắt nhau tại A và B. Gọi I là trung điểm của O1O2. Qua A vẽ đường thẳng vuông góc với IA, cắt (O1) tạiC và (O2)tại D(khácA). Chứng minh rằngCA=AD.

(13)

MATH.ND 0976071956

Bài 7. Cho(O1) tiếp xúc ngoài với(O2)tạiA. Đường nối tâmO1O2 cắt(O1) tạiB và(O2) tạiC. GọiDE là tiếp tuyến chung ngoài của hai đường tròn,D∈(O₁),E∈(O₂)và M là giao điểm của BDvà CE.

a Tính số đo gócDAE.\

b Tứ giácADM E là hình gì? Vì sao?

c Chứng minh rằng M Alà tiếp tuyến chung của hai đường tròn.

Bài 8. Cho hai đường tròn(O1;R)và (O2;R⁰)(vớiR16=R2) tiếp xúc ngoài tại A. Kẻ các tiếp tuyến chung ngoàiBC vàDE (với B, Dthuộc (O1);C, E thuộc(O2)). Chứng minh rằngBC+DE =BD+CE.

Bài 9. Cho hai đường tròn (O; 3 cm) và (O⁰; 4 cm) cắt nhau tại A vàB. Qua A kẻ một cát tuyến cắt(O) tạiM (M 6=A), cắt(O⁰)tại N (N 6=A). NếuOO⁰ = 5 cm, hãy tính giá trị lớn nhất của M N.

Bài 10 (*). Cho hai đường tròn (O1), (O2) ngoài nhau. Vẽ tiếp tuyến chung ngoài AB và CD (với A, D thuộc(O₁);B, C thuộc (O₂)). NốiAC cắt(O₁) tạiM; cắt(O₂) tạiN (M 6=A, N 6=C). Chứng minh rằng AM =N C.

BÀI TẬP TỔNG HỢP TRÍCH TỪ CÁC ĐỀ THI

Bài 1. Cho đường tròn (O;R)đường tính AB. Qua điểmA kẻ tia tiếp tuyếnAxđến đường tròn(O). Trên taiAxlấy điểm C sao cho AC > R. Từ điểm C kẻ tiếp tuyếnCM với đường tròn (O) (M là tiếp điểm).

a Chứng minh rằng bốn điểmA,C,O,M cùng thuộc một đường tròn.

b Chứng minh rằng M BkOC.

c GọiK là giao điểm thứ hai của BC với đường tròn (O). Chứng minh rằng BC·BK = 4R². d Chứng minh rằng CM K\ =M BC.\

(Đề thi học kì 1 Bắc Từ Liêm, Hà Nội, 2018) Bài 2. Cho nửa đường tròn(O;R) đường kính AB, vẽ hai tiếp tuyếnAx,By với nửa đường tròn. Trên tia Axlấy điểm E (E khác A, AE < R); trên nửa đường tròn lấy điểm M sao cho EM = EA, đường thẳng EM cắt tia By tại F.

a Chứng minhEF là tiếp tuyến của đường tròn (O);

b Chứng minh tam giácEOF là tam giác vuông;

c Chứng minhAM ·OE+BM·OF =AB·EF;

d Tìm vị trí của điểm E trên tiaAxsao cho S4AM B = 3

4S4EOF.

(Đề thi học kì 1 Đống Đa, Hà Nội, 2018) Bài 3. Cho đường tròn (O) đường kính AB và điểm C thuộc đường tròn (O) (C khác A, B) sao cho AC > BC. QuaO vẽ đường thẳng vuông góc với dây cungAC tạiH. Tiếp tuyến tại Acủa đường tròn(O) cắt tịa OH tạiD. Đoạn thẳng DB cắt đường tròn (O) tạiE.

(14)

MATH.ND 0976071956

a Chứng minhHA=HC và DCO\= 90^◦. b Chứng minhDH·DO=DE·DB.

c Trên tia đối của tiaEAlấy điểmF sao choElà trung điểm cạnhAF. TừF vẽ đường thẳng vuông góc với đường thẳngAD tại K. Đoạn thẳng F K cắt đường thẳng BC tại M. Chứng minh M K=M F.

(Đề thi học kì 1 Cầu Giấy, Hà Nội, 2018) Bài 4. Cho đường tròn (O) đường kính AB = 10 cm. C là điểm trên đường tròn (O) sao cho AC = 8cm.

VẽCH ⊥AB (H ∈AB).

a Chứng minh4ABC vuông. Tính độ dàiCH và số đo\BAC (làm tròn đến độ);

b Tiếp tuyến tạiB vàC của đường tròn (O) cắt nhau tại D. Chứng minhOD ⊥BC;

c Tiếp tuyến tạiA của đường tròn(O) cắt BC tại E. Chứng minhCE·CB=AH·AB;

d GọiI là trung điểm của CH. Tia BI cắt AE tại F. Chứng minh F C là tiếp tuyến của đường tròn (O).

(Đề thi học kì 1 Đan Phượng, Hà Nội, 2018) Bài 5. Cho điểmM bất kì nằm trên đường tròn tâmO đường kínhAB. Tiếp tuyến tạiM và tạiB của(O) cắt nhau tạiD. Qua O kẻ đường thẳng vuông góc với OD cắtM D tạiC và cắtBD tại N.

a Chứng minhDC =DN.

b Chứng minhAC là tiếp tuyến của đường tròn tâmO.

c GọiH là chân đường vuông góc kẻ từM xuốngAB,I là trung điểmM H. Chứng minhB,C,I thẳng hàng.

d Qua O kẻ đường vuông góc với AB, cắt (O) tại K (K và M nằm khác phía với đường thẳng AB).

Tìm vị trí của M để diện tích tam giácM HK lớn nhất.

(Đề thi học kì 1 Đống Đa, Hà Nội, 2018) Bài 6. Cho đường tròn (O;R) và điểmAcố định ở ngoài đường tròn. Vẽ đường thẳng dvuông góc vớiOA tạiA. Trên dlấy điểm M, qua M kẻ hai tiếp tuyến M E,M F tới đường tròn (O;R), tiếp điểm lần lượt là E và F. Nối EF cắtOM tại H, cắtOA tạiB.

a Chứng minhOM vuông góc với EF.

b Cho biếtR= 6 cm, OM = 10cm. Tính OH.

c Chứng minh4 điểmA,B,H,M cùng thuộc một đường tròn.

d Chứng minh tâmI đường tròn nội tiếp tam giác M EF thuộc một đường tròn cố định khi M chuyển động trênd.

(15)

MATH.ND 0976071956

(Đề thi học kì 1 Hà Đông, Hà Nội, 2018) Bài 7. Cho tam giácABC vuông tạiA(AB < AC). Vẽ đường tròn tâmO đường kínhAC cắt cạnhBC tại D(D6=C). Gọi H vàK lần lượt là trung điểm củaAD vàDC. Tia OH cắt cạnhAB tạiE. Chứng minh:

a ADlà đường cao của tam giác ABC.

b DE là tiếp tuyến của đường tròn (O).

c Tứ giácOHDK là hình chữ nhật.

(Đề thi học kì 1 Sở giáo dục Bến Tre, 2018) Bài 8. Cho đường tròn tâm O đường kính BC, điểm A thuộc đường tròn (A 6= B, A 6= C). Vẽ bán kính OK song song với BA(K và A nằm cùng phía đối vớiBC). Tiếp tuyến với đường tròn tại C cắtOK ở I, OI cắtAC tạiH.

a Chứng minh tam giácABC vuông tạiA.

b Chứng minh rằng IAlà tiếp tuyến của đường tròn (O).

c ChoBC = 30cm,AB= 18cm. Tính các độ dàiOI,CI.

d Chứng minh rằng CK là phân giác của ACI.[

(Đề thi học kì 1 Sở GD & ĐT Bình Phước, 2018) Bài 9. Cho đường tròn (O) tâmO đường kínhAB. Lấy điểmC thuộc đường tròn (O), với C không trùng AvàB. GọiI là trung điểm của đoạn thẳng AC. Vẽ tiếp tuyến của đường tròn(O)tại tiếp điểm C cắt tia OI tại điểmD.

a Chứng mìnhOI song song vớiBC.

b Chứng minhDA là tiếp tuyến của đường tròn (O).

c Vẽ CH vuông góc với AB, H ∈ AB và vẽ BK vuông góc với CD, K ∈ CD. Chứng minh CK² = HA·HB.

(Đề thi học kì 1 Sở GD & ĐT Đồng Nai, 2018) Bài 10. Cho đường tròn(O, R)và đường thẳngdcố định không cắt đường tròn. Từ một điểm Abất kì trên đường thẳngdkẻ tiếp tuyếnAB với đường tròn (B là tiếp điểm). TừB kẻ đường thẳng vuông góc vớiAO tạiH, trên tia đối của HB lấy điểm C sao cho HC=HB.

a Chứng minhC thuộc đường tròn(O, R)và AC là tiếp tuyến của đường tròn (O, R).

b TừO kẻ đường thẳng vuông góc với dtại I,OI∩BC =K. Chứng minhOH·OA=OI·OK =R². c Chứng minh rằng khiA thay đổi trên đường thẳng dthì đường thẳng BC luôn đi qua một điểm cố

định.

(16)

MATH.ND 0976071956

(Đề thi học kì 1 Sở GD & ĐT Nam Định, 2018) Bài 11. Cho đường tròn tâmO, bán kínhR và đường thẳng(∆)không có điểm chung với đường tròn (O), H là hình chiếu vuông góc của O trên ∆. Từ một điểm M bất kỳ trên ∆ (M 6= H), vẽ hai tiếp tuyến M A, M B đến đường tròn(O) (A, B là hai tiếp điểm). Gọi K, I thứ tự là giao điểm của AB với OM và OH.

a Chứng minhAB= 2AK và năm điểmM, A, O, B, H cùng nằm trên một đường tròn.

b Chứng minhOI·OH =OK·OM =R².

c Trên đoạn OA lấy điểm N sao choAN = 2ON. Đường trung trực của BN cắt OM ở E. Tính tỷ số OE

OM.

(Đề thi học kì 1 Sở GD & ĐT Thái Bình, 2018) Bài 12. Cho đường tròn(O, R)và đường thẳngdcố định không cắt đường tròn. Từ một điểm Abất kì trên đường thẳngdkẻ tiếp tuyếnAB với đường tròn (B là tiếp điểm). TừB kẻ đường thẳng vuông góc vớiAO tạiH, trên tia đối của tia HB lấy điểmC sao cho HC =HB.

a Chứng minh rằng C thuộc đường tròn(O, R) và AC là tiếp tuyến của (O, R).

b Từ O kẻ đường thẳng vuông góc với đường thẳng d tại I, OI cắt BC tại K. Chứng minh rằng OH·OA=OI·OK=R².

(Đề thi học kì 1 Tam Đảo, Vĩnh Phúc, 2018) Bài 13. Cho tam giác ABC vuông tại A. Vẽ đường tròn tâm O đường kính AC. Đường tròn (O) cắt BC tại điểm thứ hai làI.

a Chứng minhAI² =BI·CI.

b KẻOM ⊥BC tạiM,AM cắt(O) tại điểm thứ hai làN. Chứng minh 4AIM v4CN M. Từ đó suy raAM·M N =CM².

c TừI kẻIH ⊥AC tạiH. GọiK là trung điểm củaIH. Tiếp tuyến tạiI của(O)cắtABtạiP. Chứng minh ba điểmC, K, P thẳng hàng.

d Chứng minhOI là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp4IM N.

(Đề thi học kì 1 Thanh Trì, Hà Nội, 2018) Bài 14. Cho đường tròn tâmO, đường kính AB = 2R. Trên đường tròn lấy điểmC sao cho AC =R. Vẽ tiếp tuyếnAxvới đường tròn. Gọi K là giao điểm của đường thẳngBC vớiAx.

a Chứng minh tam giácABC vuông và tính số đo góc ABC.

b TừA kẻ AE vuông góc với KOtại E. Chứng minh rằng KC·BC=OE·OK.

c Đường thẳngAE cắt đường tròn tâmO tại điểm thứ haiM. Chứng minhKM là tiếp tuyến của(O).

(17)

MATH.ND 0976071956

d Đường thẳng vuông góc vớiAB tạiO cắtBK tạiI và cắt đường thẳngBM tạiN. Chứng minh rằng IO=IN.

(Đề thi học kì 1 Thuận An, Bình Dương, 2018) Bài 15. Cho(O;R), đường kính CD, dâyBC khác đường kính. Hai tiếp tuyến của đường tròn tạiB vàC cắt nhau tạiA.

a Chứng minhAO⊥BC.

b Giả sửR= 15cm, dây BC= 24cm. Tính OA.

c Kẻ BH vuông góc với CD tại H, gọi I là giao điểm của AD và BH. Chứng minh rằng I là trung điểm củaBH.

(Đề thi học kì 1 Phòng GD & ĐT Ninh Bình, 2018) Bài 16. Cho đường tròn(O;R)đường kínhAB.QuaAvàB vẽ lần lượt hai tiếp tuyến(d)và(d⁰)với đường tròn(O). Một đường thẳng đi quaO cắt đường thẳng(d) ở M và cắt đường thẳng(d⁰) ởP. TừO kẻ một tia vuông góc vớiM P và cắt đường thẳng(d⁰) ởN.Kẻ OI ⊥M N tại I.

a Chứng minhOM =OP và4N M P cân.

b Chứng minhOI =R và M N là tiếp tuyến của đường tròn (O).

c TínhAIB.[

d Tìm vị trí của M để diện tích tứ giácAM N B là nhỏ nhất?

(Đề thi học kì 1 Đống Đa, Hà Nội, 2018)