[PTMH TOAN 2021] DẠNG-18-TÌM-SỐ-PHỨC-LIÊN-HỢP-GV.docx

I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ:

1. Định nghĩa số phức

 Định nghĩa:

 Một số phức là một biểu thức dạng z a bi  với ,a b và i²  1, trong đó: i được gọi là đơn vị ảo, ^a được gọi là phần thực và ^b được gọi là phần ảo của số phức .

z a bi 

 Tập hợp các số phức được kí hiệu là  .  ^



^{a bi a b / , }^{;i2  1}



.

 Chú ý:

- Khi phần ảo ^{b  0 z a} là số thực.

- Khi phần thực a   0 z bi z là số thuần ảo.

- Số 0 0 0  i vừa là số thực, vừa là số ảo.

 Hai số phức bằng nhau:

 

      a bi c di a c

b d với , , ,a b c d .

 Hai số phức z¹  a bi z; ²   a bi được gọi là hai số phức đối nhau.

2. Số phức liên hợp.

 Số phức liên hợp của z a bi  với ,a b

là a bi và được kí hiệu bởi z . Rõ ràng z z 3. Biểu diễn hình học.

 Trong mặt phẳng phức Oxy (^Ox là trục thực, Oy là trục ảo ), số phức z a bi  với ,a b

được biểu diễn bằng điểm ^{M a b}

 

^; _.

4. Mô đun của số phức.

 Môđun của số phức ^{z a bi a b  ,}



^



là ^{z  a2b2} . 5. Các phép toán trên tập số phức.

Cho hai số phức: z a bi  _{; 'z}  _{a b i' '} với , , ', 'a b a b  và số k .

 Tổng hai số phức: z z    ' a a' (b b i') .

 Hiệu hai số phức: z z    ' a a' (b b i') .

 Nhân hai số phức: ^{z z. '}



^{a bi a b i}

 

^{' '}

 

^{ a a b b. ' . '}

 

^{ a b a b i. ' '.}



_.

 Nếu z0 thì

2

' '.

z z z z  z

, nghĩa là nếu muốn chia số phức 'z cho số phức z0 thì ta nhân cả tử và mẫu của thương

' z

z cho z.

6. Căn bậc 2 của số thực âm.

 Căn bậc hai của số thực ^a âm là ^{i a} . 7. Giải phương trình bậc 2 trên tập số phức.

Cho phương trình bậc 2: az²bz c 0 (1) Trong đó a,b,c là những số thực và a0. DẠNG TOÁN 18: SỐ PHỨC LIÊN HỢP

 Xét biệt thức  b²4ac .

 Nếu  0thì phương trình (1) có 2 nghiệm thực phân biệt: ^{1 2}

2 ; 2

     

 b  b

z z

a a .

 Nếu  0thì phương trình (1) có 2 nghiệm phức phân biệt: ^{1 2}

2 ; 2

     

 b i  b i

z z

a a .

 Nếu  0thì phương trình (1) có nghiệm kép: ^{1 2} 2 z z b

a

 

. II. CÁC DẠNG BÀI TẬP TƯƠNG TỰ

 Thực hiện các phép toán.

 Tìm phần thực, phần ảo.

 Số phức liên hợp.

 Tính mô đun của số phức.

 Phương trình bậc nhất theo z (và liên hợp của z).

 Hỏi tổng hợp về các khái niệm.

BÀI TẬP MẪU

(ĐỀ MINH HỌA - BDG 2020 - 2021) Số phức liên hợp của số phức z 3 2i là

A. z  3 2i. B. z  2 3i. C. z   3 2i. D. z   3 2i. Phân tích hướng dẫn giải

1. DẠNG TOÁN: Đây là dạng toán xác định số phức liên hợp khi đã biết số phức..

2. HƯỚNG GIẢI:

B1: Số phức z_{có dạng:} ^{z a bi } _.

B2: Số phức liên hợp của số phức z_{có dạng:}z a bi  . Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau:

Lời giải Chọn A

Số phức z 3 2i có số phức liên hợp là z  3 2i.

Bài tập tương tự và phát triển:

 Mức độ 1

Câu 1. Tìm số phức liên hợp của số phức z i.

A. z i. B. z 1. C. z  i. D. z  1. Lời giải

Chọn A

Câu 2. Cho số phức z  2 3i. Số phức liên hợp của z là?

A. z  13. B. z  2 3i. C. z  3 2i. D. z   2 3i. Lời giải

Chọn D

  2 3

z i.

Câu 3. Số phức z thỏa mãn z  3 2i là

A. z  3 2i B. z  3 2i C. z 3 2i D. ^{z 3 2i} Lời giải

Ta có z  3 2i suy ra z  3 2i.

Câu 4. Tìm số phức liên hợp của số phức ^z



^2i

  

^{3 .i}

A. z  3 6i. B. z  3 6i. C. z   3 6i. D. z   3 6i. Lời giải

Chọn B

Ta có: ^z



^2i

  

^{3i  3 6i}_{  z 3 6i.}

Câu 5. Tìm số phức liên hợp của số phức ^z



^{2 3 3 2 i}

 

^{ i}



_.

A. z12 5 i. B. z  12 5i. C. z  12 5i. D. z12 5 i. Lời giải:

Chọn D

Ta có ^z



^{2 3 3 2 i}

 

^{ i}



_{  6 5i 6i}² _{12 5 i  z 12 5 i.}

Câu 6. Tìm số phức liên hợp của số phức ^{z3 2 3}



^{ i}

 

^{4 2 1i}



_.

A. 10i. B.  10 i. C. 1 10i . D. 10i. Lời giải:

Chọn D

Ta có: z3(2 3 ) 4(2 1) 6 9i 8i 4 10 i i  i         z 10 i_. Câu 7. Tìm số phức liên hợp của số phức z biết z i z . 2.

A. 1i. B.  1 i. C.  1 i. D. 1i. Lời giải:

Chọn A Ta có

 

2 2 1

. 2 1

1 2

z i z z i i

i

       

 . Vậy z  1 i.

Câu 8. Cho các số phức z¹ 2 3i, z²  4 5i. Số phức liên hợp của số phức w2



z1z2



là A. w28i. B. w 8 10i. C. w12 16 i. D. w12 8 i.

Lời giải:

Chọn C

Ta có ^{w2 6 8}



^{ i}



^{12 16 i w 12 16 i}_.

Câu 9. Kí hiệu a b, lần lượt là phần thực và phần ảo của số phức z   4 3i. Tìm a b, _.

A. a4, b3. B. a 4, b 3i. C. a 4, b3. D. a 4, b 3. Lời giải:

Chọn D

Câu 10. Cho điểm M là điểm biểu diễn của số phức z. Tìm phần thực và phần ảo của số phức z.

O x y

4 M 3

A. Phần thực là 3 và phần ảo là 4 . B. Phần thực là 4 và phần ảo là 3i. C. Phần thực là 3 và phần ảo là 4 i. D. Phần thực là 4 và phần ảo là 3 .

Lời giải:

Chọn D

Câu 11. Cho số phức z có số phức liên hợp z  3 2i. Tổng phần thực và phần ảo của số phức z bằng.

A. 1. B. 1. C. 5. D. 5 .

Lời giải:

Chọn D

Ta có: z 3 2i. Vậy tổng phần thực và phần ảo của số phức z bằng 5 . Câu 12. Cho số phức z 3 2i. Tìm phần ảo của của số phức liên hợp z_.

A. 2i. B. 2. C. 2 . D. 2i.

Lời giải:

Chọn C

Ta có: z  3 2i phần ảo của z là 2 .

Câu 13. Cho số phức z¹ 1 2i và z²  2 3i. Phần thực và phần ảo của số phức z¹2z² là.

A. Phần thực là 3 và phần ảo là 8i. B. Phần thực là 3 và phần ảo là 8 . C. Phần thực là 3 và phần ảo là 8 . D. Phần thực là 3 và phần ảo là 8 .

Lời giải:

Chọn B

Ta có: z12z2   1 2i 2 2 3



 i



  3 8i. Vậy phần thực của z¹2z²là 3 và phần ảo là 8 . Câu 14. Cho số phức z 1 2i. Tìm phần ảo của số phức

P 1

 z .

A.  2. B.  2. C.

2

 3

. D.

2

 3 . Lời giải:

Chọn C

Ta có: ^{2 2}

1 1 1 2 1 2 1 2

3 3 3

1 2 1 2

i i

P i

z i

 

     

  .

 Mức độ 2

Câu 1. Cho số phức z _{thoả mãn} 3 2 ¹

z i

i  

 Số phức liên hợp z _là.

A. ^{z  5 i}. B. ^{z   5 i}. C. ^{z   1 5i}. D. ^{z   1 5i}. Lời giải

Chọn A



^{3 2 1}

  

⁵

z  i   i i . Số phức liên hợp ^{z  5 i}.

Câu 2. Tìm số phức liên hợp của số phức ^z



^2i

 

^{ 1 i}

 

^{2 1i}



²_.

A. ^{z  5 15i}. B. z  5 5i. C. z  1 3i. D. z  5 15i. Lời giải:

Chọn A

   

(2 )( 1 )(2 1)2 3 3 4 5 15

z   i i i   i   i   i   z 5 15i.

Câu 3. Số phức liên hợp của số phức



^{1 3}



³

1 z i

i

 

 là

A. z  4 4i. B. z 4 4i. C. z  4 4i. D. z 4 4i. Lời giải

Chọn A

Ta có:



^{1 3}



³

1 z i

i

 



   

   

1 3 3 1

1 1

i i

i i

 

     4 4i. Suy ra z  4 4i.

Câu 4. Tìm số phức z _{thỏa mãn}

2 1 3

1 2

i i

i z i

  

   .

A.

22 4 25 25i

 

. B.

22 4 25 25 i

. C.

22 4 25 25 i

. D.

22 4

25i25 . Lời giải

Chọn C

Dùng máy tính:

22 4 25 25

z  i

. Vậy

22 4 25 25

z   i

.

Câu 5. Cho hai số phức ^{z 1 3i}, ^{w 2 i}. Tìm phần ảo của số phức uz w. .

A. 5 . B. 7i. C. 7. D. 5i.

Lời giải.

Chọn C 1 3

z  i; ^{u z .w }



^{1 3 2i}

 

^{   i}



^{1 7i}_.

Vậy phần ảo của số phức u bằng 7 .

Câu 6. Cho số phức z thỏa mãn



^{3 2 i z}



^{ 7 5i}. Số phức liên hợp z của số phức z là A.

31 1

5 5

z  i

. B.

31 1 13 13 z  i

. C.

31 1 13 13 z   i

. D.

31 1

5 5

z   i . Lời giải

Chọn B

Ta có:



^{3 2 i z}



^{ 7 5i z 7 5}_{3 2}^{ i}_i ^_{13 13}^{31 1 i}_.

Vậy

31 1 13 13 z  i

.

Câu 7. Cho số phức z thỏa mãn:



^{1i z}



^{14 2 i}. Tổng phần thực và phần ảo của z bằng:

A. 4. B. 14 . C. 4 . D. 14.

Lời giải.

Chọn B

Ta có:



¹



^{14 2 14 2 6 8 6 8}

1

          



i z i z i i z i

i Vậy tổng phần thực phần ảo của z là 14 .

Câu 8. Cho số phức z thỏa mãn: (3 2 ) i z (2 i)²  4 i. Hiệu phần thực và phần ảo của số phức z là:

A. 0 B. 2 C. 1 D. 3.

Lời giải.

Chọn A Ta có :

(3 2 ) i z (2 i)2  4 i^{ (3 2 )i z   4 i}



^{2 i}



²  (3 2 )i z 1 5i 1 5 3 2 z i

i

  

 1

z i

  

 phần thực của số phức z là a 1, phần ảo của số phức z là b1. Vậy a b 0.

Câu 9. Cho số phức z _{thỏa mãn}



^{4 7 i z}

 

^{ 5 2i}



^6iz. Tìm phần ảo của số phức z_? A.

18

17 . B.

18

17

. C.

13

17

. D.

13 17 . Lời giải:

Chọn C

         

   

5 2 4

5 2 18 13 18 13

4 7 5 2 6 4 5 2

4 4 4 17 17 17

i i

i i

i z i iz i z i z i

i i i

 

 

             

   .

Câu 10. Cho số phức z 1 2i. Tìm phần thực và phần ảo của số phức w2z z .

A. Phần thực là 2 và phần ảo là 3 . B. Phần thực là 3 và phần ảo là 2i. C. Phần thực là 2i và phần ảo là 3 . D. Phần thực là 3 và phần ảo là 2 .

Lời giải:

Chọn D

   

2 2 1 2 1 2 3 2

w z z   i   i   i. Phần thực là 3 và phần ảo là 2 . Câu 11. Cho số phức z= +a bi. Số phức z² có phần ảo là?

A.^2ab. B. a b^{2 2}. C. a²- b². D. 2abi. Lời giải.

Chọn A

Ta có : ^{z2 = +}

(

^{a bi}

)

^{2 =a2- b2+2abi}. Phần ảo của z² _{là 2}ab.

Câu 12. Gọi z¹; z² là các nghiệm của phương trình z²  3z 5 0. Mô đun của số phức



^{2z13 2}

 

^z23



_bằng

A. 7 . B. 11. C. 29 . D. 1.

Lời giải.

Chọn B

Phương trình z²  3z 5 0 có nghiệm là

3 11

2 2

z  i

Không mất tính tổng quát, giả sử: ¹

3 11

2 2

z   i

và ²

3 11

2 2

z   i

Ta có:



^{2z13 2}

 

^{z2  3}

 

^{3 i 11 3 3}



^{i 11 3  }

 

^{i 11}



^{i 11 11i2 11}

Vậy mô đun của số phức



^{2z13 2}

 

^{z2 3}



_{bằng 11.}

 Mức độ 3

Câu 1. Có bao nhiêu số phức z thỏa

1 1 z

i z

 

 và 2 1?

z i z

 



A. 1. B. 2. C. 3. D. y2_.

Lời giải:

Chọn A

Đặt z x yi  với ^{x y, } .

Ta có:

 

 

  

            

  

  

         

   

  1 1

1 1

1

2 1 2

2 1 z

x yi x y i

z i z

i z

z i z i z x y i x yi

z .

     

   

            

 

               

2 2 2 2

2 2

2 2

1 1 32 3 3 .

4 2 3 3 2 2

1 2

2

x y x y x y x

z i

x y

x y x y y

Câu 2. Cho số phức

2 6 ,

3 i m

z i

  

    m nguyên dương. Có bao nhiêu giá trị m 1; 50 để z là số thuần ảo?

A. 24. B. 26. C. 25. D. 50.

Lời giải Chọn C

Ta có:

2 6 (2 ) 2 . 3

m

m m m

z i i i

i

  

    

z là số thuần ảo khi và chỉ khi ^{m2k1, k} (do z0;  m ^*).

Vậy có 25 giá trị m thỏa yêu cầu đề bài.

Câu 3. Có bao nhiêu số phức z _{thỏa mãn}



^{1i z z}



^ là số thuần ảo và z2i 1.

A. 2 . B. 1. C. 0. D. Vô số.

Lời giải Chọn A

Đặt ^{z a bi } với ,a b ta có :



^{1i z z}



^{  }



^{1 i a bi}

 

^



^{ a bi}_{2a b ai  .}

Mà



^{1i z z}



^ là số thuần ảo nên ^{2a b 0 b 2a}.

Mặt khác z2i 1 nên ^{a2 }



^{b 2}



^{2 1a2}



^2a2



^{2 1}_5a²_{8a 3 0}

1 3 5 a a

 



  .

Câu 4. Cho số phức

1 3 3

1 z i

i

  

    . Tìm phần thực và phần ảo của số phức z ?

A. Phần thực bằng 2 và phần ảo bằng 2i. B. Phần thực bằng 2 và phần ảo bằng 2 . C. Phần thực bằng 2 và phần ảo bằng 2 i. D. Phần thực bằng 2 và phần ảo bằng 2 .

Lời giải Chọn D

Ta có

 

 

3 3

3

1 3

1 3 8

2 2 2 2

1 1 2 2

i i

z i z i

i i i

    

            .

Câu 5. Cho số phức z thỏa mãn điều kiện



^{3 2 i z}

 

^{ 2 i}



^{2  4 i.} Tìm phần ảo của số phức



¹



w z z .

A. 1. B. ⁰. C. i. D. 2.

Lời giải:

Chọn A

Ta có



^{3 2 i z}



^



^2i



^{2  4 i} _{ z 1 i.}

Do đó ^{w }



^{1 z z}



^



^2i

 

^{1  i}



^{3 i} _ phần ảo của số phức ^{w 1}. Câu 6. Tìm phần ảo của số phức z thỏa mãn ^z2z



^2i

 

^{3 1i}



_.

A. 9. B. 13 . C. 13. D. 9 .

Lời giải:

Chọn B

Ta có ^z2z



^2i

 

^{3 1  i}



^{z 2z  9 13i}_.

Đặt ^{z a bi a b }



^{, }



. Khi đó

  

²



^{9 13 3 9 3}

13 13

a a

a bi a bi i

b b

   

 

           .

Câu 7. Nếu số phức z 1 thoả mãn z 1

thì phần thực của 1

1z bằng:

A. 1. B.

1

2 . C. 2 . D. 4 .

Lời giải:

Chọn B



^,



   z x yi x y

, z  1 x² y² 1 .

 

^{2 2}

 

^{2 2}

1 1 1

1 1 1 1

   

      

x y

z x yi x y x y i có phần thực là.

 

^{2 2 2 2}

1 1 1 1

2 2 2

1 1 2

     

   

 

x x x

x x y x

x y .

Câu 8. Cho hai số phức z¹, z² thỏa mãn z¹ 1, z² 2 và z¹z² 3. Giá trị của z¹z² là:

A. ⁰. B. 1. C. 2 . D. một giá trị khác.

Lời giải:

Chọn B

Giả sử z1 a1 b i1,



a b1, 1



, z2 a2b i2 ,



a b2, 2



. Theo bài ra ta có:

1 2

1 2

1 2

3 z

z z z

 

 

  



   

2 2

1 1

2 2

2 2

2 2

1 2 1 2

1 4

9

a b

a b

a a b b

  

  

    



2 2

1 1

2 2

2 2

1 2 1 2

1 4

2 2 4

a b

a b

a a b b

  

  

  

 .

Khi đó, ta có:

  

²



²

1 2 1 2 1 2

z z  a a  b b ^



^a12b12

 

^{ a22b22}



^



^{2a a1 22b b1 2}



_{1 .}

Vậy z¹z² 1.

Câu 9. Cho 2 số phức z¹, z² thỏa z¹ 1

, z² 1

, z¹z²  3

. Khi đó z¹z²

bằng:

A. 2 . B. 3 . C. 2 3. D. 1.

Lời giải:

Chọn D

Giả sử z¹ a bi, z²  c di với a, ^b, c, ^d . Ta có z¹ 1 a² b² 1a²b² 1.

2 1

z   c²d² 1c²d² 1.

1 2 3

z z  ^



^{a c}

 

^{2 b d}



^{2  3} _a² _c²_{2ac b} ²_d² _{2bd 3}

2 2 2 2 2 2 3

a c b d bd ac

       2bd2ac1.

Khi đó z¹z^{2 }



^{a c}

 

^{2  b d}



² _{ a}² _c² _b²_d² _{2bd2ac 1.}

Câu 10. Cho số phức ^{z a bi }



^{a b, }



thỏa mãn z  1 3i z i0

. Tính ^{S a 3b}. A.

7 S 3

. B. ^{S  5}. C. ^{S 5}. D.

7 S  3

. Lời giải:

Chọn B

Ta có z  1 3i z i0    a bi 1 3i i a²b² 0



^{2 2}



1 3 0

a b a b i

       ^{2 2}

1 0 3 a

b a b

  

    

 

^{2 2}

1 3

3 1

a b

b b

  

  

    

1 4 3 a b

  

 

     S 5.

Câu 11. Có bao nhiêu số phức z _{thỏa mãn} ^{z 1 3i 3 2} _và



^z2i



² là số thuần ảo?

A. 1. B. 2 . C. ³. D. 4 .

Lời giải:

Chọn C

Gọi ^{z= +x yi x y}

(

^{, Î ¡}

)

_{, khi đó}

  

²



²

 

1 3 3 2 1 3 18 1

z  i   x  y 

.



^z2i



^{2 }_^x



^y2



^i_^{2 x2}



^y2



^{22x y}



^2



ⁱ_.

Theo giả thiết ta có

 

²

 

2 2

2 0

2 x y

x y

x y

  

        .

Trường hợp 1: x y 2 thay vào

( )

¹ ta được phương trình 2y²=0

và giải ra nghiệm y=0, ta được 1 số phức z¹=2.

Trường hợp 2: ^{x }



^y2



_{thay vào}

( )

¹ ta được phương trình 2y²- 4y- =8 0

và giải ra ta được

1 5

1 5

y y é = + êê = -

êë , ta được 2 số phức

( )

( )

2

3

3 5 1 5

3 5 1 5

z i

z i

é =- - + + êê

ê =- + + -

êë .

Vậy có ³ số phức thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 12. Cho số phức zthỏa



^{1 3}



³

1

 

 z i

i . Môđun của số phức z iz bằng.

A. 8 2 . B. 2 2 . C. 4 2 . D. 2 .

Lời giải:

Chọn A

4 4 8 8 8 2

          

z i z iz i z iz

. Câu 13. Cho số phức z thỏa điều kiện

1 5 10 4

1

iz z i

i

   

 . Tính môđun của số phức w  1 iz z². A. w 5

. B. w  47

. C. w 6

. D. w  41

. Lời giải:

Chọn D

Gọi ^{z a bi a b }



^{, }



.

Khi đó ^{1 5 10 4}



^{1 5}

   

¹

   

^{10 4 1}

  

1

iz z i i a bi i a bi i i

i

            

 .



^{2 4 14}

 

^{6 6}



^{0 1 1 3}

3

a b a i a z i

b

 

            .

suy ra ^{w 1 i}



^{1 3 i}

 

^{ 1 3i}



^{2   4 5i}_.

vậy w  41 .

Câu 14. Biết số phức z có phần ảo khác ⁰ và thỏa mãn ^{z  }



^{2 i}



¹⁰ _{và z z. 25}. Điểm nào sau đây biểu diễn số phức z _trên?

A. ^P



^{4; 3}



_B. ^N



^{3; 4}



_C. ^M



^{3; 4}



_D. ^Q



^{4; 3}



Lời giải:

Chọn C

Giả sử z x yi 



^{x y, }^{, y0}



.

Ta có ^{z  }



^{2 i}



^{10    x yi}



^{2 i}



^{ 10}



^{x 2}

 

^{y 1}



^{i 10}

     ^



^x2

 

^{2 y1}



^{2 10} x²y²4x2y5. Lại có ^{z z. 25}x²y² 25 nên 25 4 x2y52x y 10  y 10 2 x

 

²

2 10 2 25

x x

    5x²40x75 0

5 3 x x

 

   .

+ Với x  3 y 4, thỏa mãn y0 _{  z 3 4i}. Do đĩ điểm ^M



^{3; 4}



biểu diễn số phức z _.

Câu 15. Cho số phức ^{z a bi }



^{a b, }^,a0



thỏa mãn z 1 2i 5 và ^{z z. 10}. Tính ^{P a b } .

A. P4 B. P 4 C. P 2 D. P2

Lời giải:

Chọn C

Từ giả thiết z 1 2i 5

và ^{z z. 10} ta cĩ hệ phương trình

  

²



²

2 2

1 2 25

10

a b

a b

    



 



2 2

2 5

10

a b

a b

  

 

 



 

^{2 2}

2 5

2 5 10

a b

b b

 

 

  



3 1 a b

  

   (loại) hay 1 3 a b

 

  . Vậy P 2.

Câu 16. Số phức z a bi  ( với a, b là số nguyên) thỏa mãn



^{1 3i z}



là số thực và z 2 5i 1 . Khi đĩ a b là

A. 9 B. 8 C. 6 D. 7

Lời giải:

Chọn B

Ta cĩ:



^{1 3i z}



^{ }



^{1 3i a bi}

 

^



^{ a 3b }



^{b 3a i}



_.

Vì



^{1 3i z}



là số thực nên b3a0  b 3a

 

¹ _.

2 5 1

z  i  ^{   a 2}



^{5 b i}



^1



^a2

 

^{2 5 b}



^{2 1}

 

² _.

Thế

 

¹ _vào

 

² _{ta cĩ:}



^a2

 

^{2 5 3a}



^{2 1}_10a²_{34a28 0}

2 6

7 ( 5

a b

a

  



 

 loại)

. Vậy a b   2 6 8.

 Mức độ 4

Câu 1. Cho số phức ^{w    1 1}



ⁱ

 

^{1 i}

 

^{2 1 i}



^{3  ...}



^{1 i}



²⁰. Tìm phần thực và phần ảo của số phức w.

A. Phần thực bằng 2¹⁰ và phần ảo bằng



^{1 2 10}



_.

B. Phần thực bằng 2¹⁰ và phần ảo bằng ^{ }



^{1 210}



_.

C. Phần thực bằng 2¹⁰ và phần ảo bằng



^{1 2 10}



_.

D. Phần thực bằng 2¹⁰ và phần ảo bằng ^{ }



^{1 210}



_.

Lời giải Chọn B

Ta cĩ



^1i



^{20 }

 

^{2i 10  210 }



^{1 i}



^{21 210210i}_.

Suy ra

 

   

21 10 10

10 10 10 10

1 1 1 2 2

2 1 2 2 1 2

i i

w i w i

i i i

    

 

           

   .

Vậy w có phần thực bằng 2¹⁰ và phần ảo bằng ^{ }



^{1 210}



_.

Câu 2. Cho số phức ^z0 thỏa mãn



^{3 1}



²

1

iz i z

i z

 

  . Số phức 13 w 3 iz

có môđun bằng:

A. 26_{. B.} 26_{. C.}

3 26

2 _{. D.} 13_. Lời giải

Chọn C

Gọi ^{z a bi a b }



^{, }



. Suy ra ^{z a bi } . Ta có



3 1



²

  

3 1

  

2 2

1 1

iz i z i a bi i a bi

z a b

i i

     

   

 

2 2 2 2

3 3

ai b ai b a bi a b a i b i

         



^{a2 b2 2a b i}

 

^{a2 b2 4b a}



⁰

        

2 2

2 2

2 0

4 0

a b a b

a b a b

    

 

   



2 0, 0 0

26 9 0

9 45 45 9

5 ,

26 26 26 26

b a z

b b

b a z i

a b

  

 

    

         

45 9

26 26

z  i

  

(Vì ^z0).

Với

45 9 15 3 3 26

w w

26 26 2 2 2

z  i i

      

.

Câu 3. Cho hai số phức z, w thỏa mãn z2w 3, 2z3w 6 và z4w 7. Tính giá trị của biểu thức P z w z w .  . .

A. P 14i. B. P 28i. C. P 14. D. P 28. Lời giải

Chọn D

Ta có: z2w 3  z 2w² 9 ^



^z2w



^.



^z2w



^9



^z2w



^.



^z2w



^9

 

. 2 . . 4 . 9

z z z w z w w w

      z²2P4w² 9

 

¹ _.

Tương tự:

2z3w 6  2z3w² 36 ^



^{2z3 . 2w}

 

^z3w



^{36 4 z26P9w2 36}

 

² _.

4 7

z w  ^



^z4w



^.



^z4w



^{49  z24P16w2 49}

 

³ _.

Giải hệ phương trình gồm

 

¹ _,

 

² _,

 

³ _{ta có:}

2

2

33 28 8 z P w

 

  

 

   P 28. Câu 4. Cho các số phứcz z z¹, ,^{2 3} thoả mãn z¹  z²  z³ 1

và z¹³ z²³ z³³ z z z^{1 2 3} 0. Đặt

1 2 3

z z z z , giá trị của

3 2

3 z  z

bằng:

       

Lời giải Chọn B

Ta có

1 2 3

1 2 3

1 2 3

1 1 1

1 ; ;

z z z z z z

z z z

      

và đặt z  x

         

2 2

1 2 3 1 2 3 1 2 3 3 1 2 3 2 1 3 3 1 2

z  z z z  z z z z z z  z z z z z z z z z

     

2 2 2

1 2 3 2 1 3 3 1 2

3 3

1 2 1 2

2 1 3 1 2 3 1 2 3

3 z z z z z z 3 z z z z z z z z z

z z z z z z z z z

    

        



^{12 22 32}



^{13 23 33}



1 2 3



²



1 2 1 2 2 3



1 2 3 1 2 3

3 z z z z z z z 4 z z z 2 z z z z z z

z z z z z z z

         

   

 

3 3

1 2 3

1 2 3 1 2 3 1 2 3

1 1 1

4 z 2 4 z 2

z z z z z

z z z z z z z z z

 

          

 

3

2 2 3

1 2 3

4 z 2 3 4

x x x

z z z

     

.

3 2

3 2

1 1 3 2

2 2 3 4

x z z z

x z z z

       



       

 .

Câu 5. Xét số phức z _{thỏa mãn}



^{1 2i z}



^{10 2 .i}

  z  

Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A.

3 2.

2 z

B. z 2. C.

1. z  2

D.

1 3

2 z 2. Lời giải:

Chọn D Ta có

1 2

1 .

z z

z

 

Vậy



^{1 2i z}



^{10 2 i}

  z  

   

2

   

2

10 10

2 2 1  . 2 2 1  .

   

 z   z  i  z z   z  i    z

z z

  

²



² 4 ² 2

10 10

2 2 1 . .

z z z

z z

 

 

     

 

  Đặt z  a 0.

  

²



² 2 ^{4 2 2}2

10 1

2 2 1 2 0 1 1.

2

a a a a a a z

a a

 

 

                 Câu 6. Có bao nhiêu số phức ^z thỏa mãn ^{z z}



^{  4 i}



^2i



^{5i z}



_?

A. ² B. ³ C. ¹ D. ⁴

Lời giải:

Chọn B

Ta có ^{z z}



^{  4 i}



^2i



^{5i z}



 

4 2 5

z z z z i i i z

      ^{z z}



^{  5 i}



^{4 z }



^{z 2}



ⁱ_.

Lấy module 2 vế ta được



⁵



^{2 1}

  

^{4 2 2}



^{2 2}



⁵



^{2 1}

  

^{4 2 2}



²

 

¹

z z    z  z   z  z    z  z 

. Đặt t  z , ^t0.

Phương trình

 

¹ _{trở thành}

 

²

  

²



²

2 5 1 4 2

t  t    t  t ^{t t2}



^{2 10t26}



^{17t2  4t 4}

4 10 3 9 2 4 4 0

t t t t

      ^{ }



^{t 1}

 

^{t3 9t2 4}



^0

3 2

1

9 4 0

t

t t

 

    

 

 

 

 

8,95 0,69 1

0,64 t

n

t n

t l

n t 



 





 

 .

Ứng với mỗi giá trị ^{t 0}, với

 

4 2

5

t t i

z i t

  

   suy ra có 3 số phức ^z thỏa mãn.

Câu 7. Có bao nhiêu số phức thỏa mãn ^{z z}



^{   6 i}



²ⁱ



^{7i z}



_?

A. 2 B. 3 C. 1 D. 4

Lời giải:

Chọn B

Đặt z  a 0,a , khi đó ta có



⁶



²



⁷



z z   i i i z ^{a z}



^{   6 i}



²ⁱ



^{7i z}



^



^{a 7 i z}



^{6a ai 2i}



^{a 7 i z}



^6a



^{a 2}



ⁱ

      ^



^{a 7 i z}



^{ 6a}



^a2



ⁱ



^{a 7}



^{2 1 a2 36a2}



^{a 2}



²

 

       a⁴14a³13a²4a 4 0

  

^{3 2}



3 2

1 13 4 0 1

13 4 0

 

         

a a a a

a a

Xét hàm số ^{f a}

 

^{a313a24}



^a0



, có bảng biến thiên là

Đường thẳng y 4 cắt đồ thị hàm số ^{f a}

 

tại hai điểm nên phương trình ^{a3 13a2  4 0} có hai nghiệm khác 1 (do ^f

 

^{1 0}). Mỗi giá trị của a cho ta một số phức z _.

Vậy có 3 số phức thỏa mãn điều kiện.

Câu 8. Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn ^{z z}



^{   3 i}



²ⁱ



^{4i z}



_?

A. 1 B. 3 C. 2 D. 4

Lời giải:



³



²



⁴



z z   i i i z ^



^{z  4 i z}



^{3z }



^{z 2}



ⁱ _(*)



^{z 4}



^{2 1.z 9 z2}



^{z 2}



²

     

(1).

Đặt m z 0 ta có

 

^{1 }

 

^m4



^{21 .}



^{m2 9m2}



^m2



² _m⁴_8m³_7m²_{4m 4 0}



^{m 1}

 

^{m3 7m2 4}



⁰

     ^{3 2}

1

7 4 0

m

m m

 

    

 

1

6,91638 0.80344

0.71982 L m

m m m

 

 

 

  

 .

Từ (*) ta suy ra ứng với mỗi z m

sẽ có một số phức

 

3 2

4

m m i

z m i

 

   thỏa mãn đề bài.

Vậy có 3 số phức z thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 9. Có bao nhiêu số phức z _thỏa ^{z 1 2i   z 3 4i} _và

2

 z i

z i là một số thuần ảo ?

A. 0. B. Vô số. C. 1. D. 2.

Lời giải:

Chọn C

Đặt ^{z x yi x y( , )} Theo bài ra ta có

   

  

²

 

²

 

²



²

1 2 3 4

1 2 3 4 5

x y i x y i

x y x y y x

      

          

Số phức

 

       

 

2

2 2

2 2 1 2 3

w 2

1 1

x y i x y y x y i

z i

x y i

z i x y

      

   

    

w là một số ảo khi và chỉ khi

   

 

2 2 2

2 1 0 12 1 0 7 5 23

7

x y y

x

x y

y x y

       

 

    

 

    

 



Vậy

12 23

7 7

z   i

.Vậy chỉ có 1 số phức z _{thỏa mãn.}

Câu 10. Có bao nhiêu số phức z _{thỏa mãn} ^{z z}



^�