Câu 1. (3.0 điểm) . Cho hàm số y x2 4x4m;
Pm . a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số với m1.b) Tìm m để
Pm cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt có hoành độ cùng thuộc đoạn
1;4
Câu 2. (3.0 điểm) Cho x1 và x2 là hai nghiệm của phương trình x2 3xa0; x3 và x4 là hai nghiệm của phương trình x2 12xb0. Biết rằng
3 4 2 3 1 2
x x x x x
x . Tìm a và b.
Câu 3. (6.0 điểm)
a)Giải phương trình:
x2 x2
x10b)Giải hệ phương trình:
y x x
x
y y x
x x
1 4 7 1 6 4
2 4
3 2 3
3
Câu 4. (3.0 điểm)
a) Cho tam giác OAB. Đặt OAa,OBb. Gọi C, D, E là các điểm sao cho OA
OE OB OD
AB
AC 3
, 1 2 , 1
.
2
. Hãy biểu thị các vectơ OC,CD,DE theo các vectơ a,b. Từ đó chứng minh C, D, E thẳng hàng.
b) Cho tam giác ABC vuông cân tại A, có trọng tâm G. Gọi E,H lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC; D là điểm đối xứng với H qua A. Chứng minh EC ED
Câu 5. (3.0 điểm) Trên mặt phẳng tọa độ cho hai điểm A
1;1
;B 2;4
. a) Tìm điểm C trên trục Ox sao cho tam giác ABC vuông tại B.b) Tìm điểm D sao cho tam giác ABD vuông cân tại A.
Câu 6. (2.0 điểm) Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn x y2019. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
y y x
P x
2019 2019
---Hết---
Họ và tên thí sinh :... Số báo danh ...
Họ và tên, chữ ký: Giám thị 1:...
Họ và tên, chữ ký: Giám thị 2:...
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG THPT THUẬN THÀNH 2
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2018 – 2019
Môn thi: Toán – Lớp 10 – THPT
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) ĐỀ CHÍNH THỨC
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG THPT THUẬN THÀNH 2
HƯỚNG DẪN CHẤM
THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2018 - 2019
Môn: Toán – Lớp 10 – THPT
Câu ĐÁP ÁN Điểm
1
Cho hàm số y x2 4x4m;
Pm . a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số với m1b) Tìm m để
Pm cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt có hoành độ cùng thuộc đoạn
1;4
3.0
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số với m1 2.0
Với m=1 thì y x2 4x3
TXĐ: R. Đồ thị là 1 parabol, có:Đỉnh I(2;-1). hệ số a10 parabol có bề lõm hướng lên trên
0.5 0.5
Lập BBT
Tìm giao của parabol với trục hoành, trục tung và vẽ.
0.5 0.5 b) Tìm m để
Pm cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt có hoành độ cùng thuộc đoạn
1;4
1.0 Xét pt hoành độ giao điểm x2 4x4m0 x2 4x3m1Dựa vào đồ thị tìm được 1m130m4
Chú ý: HS có thể dùng bảng biến thiên cho hàm y x2 4x3 hoặcy x2 4x4...
0.5 0.5
2
Cho x1 và x2 là hai nghiệm của phương trình x2 3xa0; x3 và x4 là hai nghiệm của phương trình x2 12xb0. Biết rằng3 4 2 3 1 2
x x x x x
x . Tìm a và b.
3.0
Điều kiện có nghiệm
0 36
0 4 9
' 2 1
b a
Đặt
3 4 2 3 1 2
x x x x x
k x
1 3 3 4
1 2 2 3
1 2
x k kx x
x k kx x
kx x
0.5
0.5 Theo định lý viet ta có hệ
b k x
a k x
k k x
k x
5 2 1 2 1
2 1
1
12 1
3 1
2
k
0.5
0.5
Với k 2 thì x1 1 ta được a2,b32 (tm) 0.5
Với k 2 thì x1 3 ta được a18,b288 (tm) 0.5
3
1. Giải phương trình:
x2 x2
x10 2.0Điều kiện: x1 0.5
Phương trình
0 1
0
2 2 x
x
x 0.5
1 2 1
x x
x 0.5
Đối chiếu điều kiện , ta được nghiệm x
1;2 0.52. Giải hệ phương trình:
y x x
x
y y x
x x
1 4 7 1 6 4
2 4
3 2 3
3 4.0
Phương trình thứ nhất (x3 3x2 3x1)x1 y3 y
x1
3
x1
y3 yĐặt a x1 ta được a3 a y3 y
ay
a2 ayy2 1
0ay0.Vì y y a y
a y
ay
a 1 0; ,
4 3 1 2
2 2 2
2
0.5 0.5 0.5 Ta được yx1 thay vào pt thứ hai ta được
4 2
8 1
6 x x x . ĐK: x1
x13
2
2x 2
x x132
0.5
0.5
2 3
3 2 1
2 3 3
2 1
2
y x
x x
x x x
Kết luận: Hệ pt có nghiệm
x;y
2;3
0.5 0.5 0.5 Chú ý: +) pt thứ nhất của hệ, hs có thể dùng máy tính, phân tích nhân tử đưa về tích
+) pt 6 x1x84x2, hs có thể chuyển vế và bình phương, đưa về tích.
4
a) Cho tam giác OAB. Đặt OAa,OBb. Gọi C, D, E là các điểm sao cho OAOE OB OD
AB
AC 3
, 1 2 , 1
.
2
. Hãy biểu thị các vectơ OC,CD,DE theo các vectơ b
a, . Từ đó chứng minh C, D, E thẳng hàng.
b) Cho tam giác ABC vuông cân tại A, có trọng tâm G. Gọi E,H lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC; D là điểm đối xứng với H qua A. Chứng minh EC ED
3.0
a) Cho tam giác OAB. Đặt OAa,OBb. Gọi C, D, E là các điểm sao cho OA
OE OB OD
AB
AC 3
, 1 2 , 1
.
2
. Hãy biểu thị các vectơ OC,CD,DE theo các vectơ b
a, . Từ đó chứng minh C, D, E thẳng hàng.
2.0
b a OC 2
b a
CD 2
3
b a
DE 2
1 3 1
0.5 0.5 0.5
Ta được CD 3DE. Vậy C,D,E thẳng hàng
0.5
b) Cho tam giác ABC vuông cân tại A, có trọng tâm G. Gọi E,H lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC; D là điểm đối xứng với H qua A. Chứng minh EC ED
1.0
Chọn hệ trục tọa độ thỏa mãn O A;BOx;COy. Giả sử AB AC 2 thì
0;0
;B 0;2
;C 2;0
A ta được H
1;1;E 0;1;D 1;1
.0.5
Khi đó EC
2;1
;ED
1;2
. Nhận thấy EC.ED0 chứng tỏEC ED0.5 5
Trên mặt phẳng tọa độ cho hai điểm A
1;1
;B 2;4
.a) Tìm điểm C trên trục Ox sao cho tam giác ABC vuông tại B.
b) Tìm điểm D sao cho tam giác ABD vuông cân tại A.
3.0
a) Gọi C
x;0
.0.5
Sử dụng AB.BC0C
6;0 0.5
b) Gọi D
x;y
. Giải hệ
AD AB
AD AB. 0
1.0
Tìm được D
2;2
hoặc D
4;4 1.0
6
Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn x y2019. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thứcy y x
P x
2019 2019
2.0
x y
y x x
x y
P y
1 1
2019 2019
2019 . Áp dụng 1 1 4 , , 0
a b
b a b a
x y
y x
P
4
2019
1.0
Lại có
x y
2 2.
xy
4038 x y 4038 0.5Ta được 4038 4038
4038 . 4
2019
P . Dấu "=" xảy ra khi
2
2019
y
x 0.5
1. Hướng dẫn chấm này chỉ trình bày sơ lược một cách giải. Bài làm của học sinh phải chi tiết, lập luận chặt chẽ, tính toán chính xác mới được tính điểm tối đa.
2. Với các cách giải đúng nhưng khác đáp án, tổ chấm trao đổi và thống nhất điểm chi tiết nhưng không được vượt quá số điểm dành cho bài hoặc phần đó. Mọi vấn đề phát sinh trong quá trình chấm phải được trao đổi trong tổ chấm và chỉ cho điểm theo sự thống nhất của cả tổ.
3. Điểm toàn bài là tổng số điểm của các phần đã chấm, không làm tròn điểm