, ta có:

(1)

CHƯƠNG II. HÀM SỐ LŨY THỪA --- oOo ---



CHUẨN BỊ KIẾN THỨC:

1) Lũy thừa của một số hữu tỷ:

 Lũy thừa đối với số mũ nguyên dương: a, b  Q, m, n  Z

⁺

, ta có:

a

⁰

= 1 a

¹

= a a

^m

.a

ⁿ

= a

^{m + n}

n m

a

a = a

^{m – n}

(a

^m

)

ⁿ

= a

^m.n

(ab)

ⁿ

= a

ⁿ

b

ⁿ

n n n

b a b a ) 

( (b ≠ 0) Nếu a

^m

= a

ⁿ

thì m = n (a ≠ 1, a ≠ 0).

 Lũy thừa đối với số mũ nguyên dương: x ≠ 0, n  Z

⁺

, ta có:

n n

x

^

 x 1 2) Căn bậc hai:

A

²

 AB  A . B (A0, B0)

B A B

A  (A0, B>0) B

A B

A

²

 (B0) A B  A

²

B (A0, B0) A B   A

²

B (A<0, B0)

B B A B

A  (B>0) AB

B B

A 1

 (AB0, B≠0) (

₂

)

B A

B A C B A

C

 



 (A0,

A≠B

²

)

B A

B A C B A

C

 





( (A0, B0, A≠B) 0  A < B  A  B

 Ghi chú:

...

(2)

§1. LŨY THỪA

I - KHÁI NIỆM LŨY THỪA:

1/ Lũy thừa với số mũ nguyên:

Cho n nguyên dương

 Với a là một số thực tùy ý, lũy thừa bậc n của a (a lũy thừa n) là tích của n thừa số a.

Ví dụ:

a

ⁿ

=    

a số thừa n

a a

a . ... 2

³

=

...

 Với a  0 Ví dụ:

a

⁰

= 1 (1,2)

⁰

=

...

n n

a

^

 a 1 2

^-3

=

...

_4

 2

1

...

* Chú ý: 0

⁰

và 0

^-n

không có nghĩa.

Ví dụ 1: Không dùng máy tính, tính giá trị biểu thức A =

¹⁰ ³ ⁴ ² ¹

)

⁹

2 .( 1 128 25

. ) 2 , 0 ( 27 . 3 )

( 1

^ ^



^ ^



^ ^

Giải:

...

Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức B =

₂ ₁ ₁ ³ ₂

. 1 2 2 ) 1 (

2



 



 



 

 a

a a

a

a (a  0, a  1)

Giải:

...

2/ Phương trình x

ⁿ

= b (*)

 Trường hợp n lẻ (n = 1, 3, 5,...): Ví dụ:

Với mọi số thực b, phương trình có nghiệm duy nhất. x

³

= -8 

...

 Trường hợp n chẵn (n = 2, 4, ...) Ví dụ:

Với b < 0 phương trình (*) vô nghiệm. x

²

= -2 

...

Với b = 0 phương trình (*) có một nghiệm x = 0. x

²

= 0 

...

Với b > 0 phương trình (*) có hai nghiệm đối nhau. x

²

= 4 

...

cơ số a

số mũ

(3)

3/ Căn bậc n

a) Khái niệm:

Cho sốâ thực b và số nguyên dương n (n  2).

Số a được gọi là căn bậc n của số b nếu a

ⁿ

= b.

Ví dụ: Số -2 là căn bậc 3 của -8 vì (-2)

³

= -8

Số 3 và -3 là căn bậc 2 của 9 vì (3)

²

= 9 và (-3)

²

= 9.

Ta có:

 Với n lẻ và b  R: Ví dụ:

Có duy nhất một căn bậc n của b, kí hiệu là

ⁿ

b . Số -2 có một căn bậc 5:

⁵

( 2 )

 Với n chẵn: Ví dụ:

Với b < 0: Không tồn tại căn bậc n của b. Số -8 không tồn tại căn bậc 2 Với b = 0: Có một căn bậc n của b là số 0. 0 = 0

Với b > 0: Có hai căn trái dấu, Số 8 có hai căn bậc hai là:

giá trị dương kí hiệu là

ⁿ

b 8 = 2 2

giá trị âm kí hiệu là -

ⁿ

b  8   2 2

b) Tính chất: Ví dụ:

n n

n

a . b  a . b

³

2 .

³

4 

...

n n n

b a b

a  

3 3

2

16

...

 

 

chẵn n khi , a

lẻ n khi

n n

a,

a

...

) 2 (

...

) 2 (

2

3 3









n m

n

a )

m

 a

( (

⁴

3

²

)

²



...

n k

a 

nk

a

³

( 3 )

⁵

3 

...

4/ Lũy thừa với số mũ hữu tỉ:

Cho số thực a dương và số hữu tỷ r = n

m , trong đó m  Z, n  N, n  2. Lũy thừa của a với số mũ r là số a

^r

xác định bởi:

Ví dụ:

n r

a

m

a  =

ⁿ

a

^m

(

³

a

²



...

Đặc biệt: a

ⁿ



ⁿ

a

1

(a > 0, n  2) a 

...

5/ Lũy thừa với số mũ vô tỉ:

Ta gọi giới hạn của dãy số ( a

^rⁿ

) là lũy thừa của a với số mũ , kí hiệu là a

^

. a

^

=

^rⁿ

n

a



lim



với  =

_n

n

r



lim



Chú ý: 1

^

= 1 (  R)

(4)

II- TÍNH CHẤT CỦA LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ THỰC Cho a, b  R

^*

và ,   R. Ta có:

a) Các tính chất biểu thị bằng hằng đẳng thức: Ví dụ:

a

^

.a

^

= a

^{ + }

⁵



6 5 4

3 .

3

...





a

a = a

^{ – }



4 7

2

...

(a

^

)

^

= a

^.

( 2

¹²

)

²

=

...

(ab)

^

= a

^

b

^

(2. 3 )

²

=

...



 

b a b a ) 

( )

²



2

( 2

...

b) Các tính chất biểu thị bằng bất đẳng thức: Ví dụ: So sánh các số sau:

i) Nếu a > 1 thì a

^

> a

^

  >  2

¹²... ³ 1

2 ii) Nếu a < 1 thì a

^

> a

^

  < . )

³

2

( 1

^ ...

)

²

2 ( 1

^

** Các dạng toán thường gặp:

1) Rút gọn biểu thức:

Ví dụ: Rút gọn các biểu thức:

a) A =

2 2 2 2

7 2 1 7

) (

.







a a

a (a > 0); b) B =

6 6

3 1 3

1

b a

a b b a



 (a > 0).

Giải:

...

2) So sánh hai lũy thừa cùng cơ số:

Ví dụ 1: Không dùng máy tính, hãy so sánh các số 5

² ³

và 5

³ ²

. Giải:

...

(5)

Ví dụ 2: Chứng minh rằng ) ( 3 3 )

(  .

Giải:

...

3) Viết một biểu thức dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ:

Ví dụ: Viết các biểu thức sau dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ:

a) D = a

³

. a

1

; b) E =

³

a a

³

a a .

Giải:

...

 Ghi chú:

Kiến thức cơ bản

Gọi a và b là những sớ thực dương, x và y là những sớ thực tùy ý

 a

ⁿ

a a a . . ... a 

x x

x

a a

b b

 a a

^x

.

^y

a

^{x y}



x

y x

a

y

a



^x _{x y} _n

1

y n

a a a

a a 

⁰

1

⁰

1 ,

0 u x x u x

x

n số

(6)

 a

^x ^y

a

^y ^x

a

^{x y}^.



ⁿ

a b .

ⁿ ⁿ

ab

 a b .

^x

a b

^x

.

^x



ⁿ

a

^m ⁿ

a

^m

2. Lưu ý

 Nếu a 0 thì a

^x

chỉ xác định khi x .

 Nếu a 1 thì a a .

 Nếu 0 a 1 thì a a .

 1 n

lim 1 2,718281828459045...

n

e

x

n .

 Để so sánh

^s¹

a và

^s²

b . Ta sẽ đưa 2 căn đã cho về cùng bậc n (với n là bợi sớ chung của s

1

và s

2

) Hai sớ so sánh mới lần lượt là

ⁿ

A và

ⁿ

B . Từ đó so sánh A và B kết quả so sánh của

^s¹

a và

^s²

b .

BÀI TẬP RÈN LUYỆN 1. Bài tập cơ bản:

Bài 1: Không dùng máy tính, tính:

a) 9

⁵²

. 27

⁵²

; b) 144

⁴³

: 9

⁴³

; c) )

⁰^,⁷⁵

( 0 , 25 )

²⁵

16

( 1

^



^

; d) ( 0 , 04 )

^¹^,⁵

 ( 0 , 125 )

^³²

. Bài 2: Cho a, b là những số thực dương. Viết các biểu thức sau dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ:

a) b

¹²

. b

³¹

.

⁶

b ; b) a

³⁴

:

³

a ; c)

³

b : b

⁶¹

.

Bài 3: Cho a, b là những số thực dương. Rút gọn các biểu thức sau:

a)

) (

4 1 4 3 4 1

3 2 3 1 3 4





 a a a

a a

a ; b)

) (

3 2

3 3 2

5 1

5 4

5 1



 b b b

b b

b ; c)

3 2

3 1 3 1 3 1 3 1

b a

b a b a



^



.

Bài 4: So sánh các cặp số: a) )

³

3

( 1 và )

²

3

( 1 ; b) )

²⁵

(  2 và

₃¹⁰

5 ) (  . Bài 5: Chứng minh rằng: 7

⁶ ³

 7

³ ⁶

.

2. Bài tập nâng cao:

Bài 1: So sánh các cặp số:

a)

³

10 và

⁵

20 ; b)

⁴

5 và

⁶

7 ; c) 2

³⁰⁰⁰

và 3

²⁰⁰⁰

.

Bài 2: Không dùng máy tính, tính giá trị các biểu thức sau:

a)

³

a .

⁶

a với a = 0,09; b) b :

⁶

b với b = 27;

c)

6

3 2

b b

b với b = 1,3; d)

³

a .

⁴

a .

¹²

a

⁵

với a = 2,7.

(7)

§2. HÀM SỐ LŨY THỪA

I- KHÁI NIỆM:

Hàm số y = x

^

, với   R, được gọi là hàm số lũy thừa

Tập xác định của hàm số lũy thừa: Ví dụ:

 Với  nguyên dương, tập xác định D = R; y = x

²

, TXĐ: D =

...

 Với  nguyên âm hoặc bằng 0, tập xác định là D = R\{0}; y = x

^-1

, TXĐ: D =

...

 Với  không nguyên, tập xác định D = (0; +). y = x , TXĐ: D =

...

II- ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ LŨY THỪA:

Hàm số y = x

^

(  R) có đạo hàm với mọi x > 0: Ví dụ:

(x

^

)' = x

^{ - 1}

( x

²

)' =

...

Đối với hàm số hợp y = u

^

(với u = u(x))

(8)

1 1

α > 1

0 < α < 1

α < 0 α = 0 α = 1

O

x y

(u

^

)' = u

^^{- 1}

.u' [( ( x

²

 1 )

²³

]' =

...

=

...

III- KHẢO SÁT HÀM SỐ LŨY THỪA y = x

^

Các tính chất của hàm số lũy thừa y = x

^

trên khoảng (0; +)

 > 0  < 0 Đạo hàm y' = x

^^{- 1}

y' = x

^^{- 1}

Chiều biến thiên Hàm số luôn tăng Hàm số luôn giảm

Tiệm cận Không có Tiệm cận ngang: Ox

Tiệm cận đứng: Oy Đồ thị Đồ thị luôn đi qua điểm (1; 1) * Chú ý: Khi khảo sát hàm số lũy thừa với số mũ cụ thể ta phải xét hàm số đó trên toàn bộ tập xác định của nó.

Bài 1: Tìm tập xác định của các hàm số:

a) y =

³

1

) 1

(  x

^

; b) y =

⁵

3 2

) 2

(  x ; c) y = ( x

²

 1 )

^²

; d) y = ( x

²

 x  2 )

²

. Bài 2: Tính đạo hàm của các hàm số:

a) y = ( 2 x

²

 x  1 )

³¹

; b) y = ( 4  x  x

²

)

¹⁴

; c) y = ( 3 1 )

²





x ; d) y =

)

3

5

(  x .

Bài 3: Hãy so sánh các số sau với số 1:

a) (4,1)

^2,7

; b) (0,2)

^0,3

; c) (0,7)

^3,2

; d) ( 3 )

⁰^,⁴

.

Bài 4: Hãy so sánh các cặp số sau:

a) (3,1)

^7,2

và (4,3)

^7,2

; b) )

²^,³

11

( 10 và )

²^,³

11

( 12 ; c) (0,3)

^0,3

và (0,2)

^0,3

.

(9)

§3. LÔGARIT

I- KHÁI NIỆM LÔGARIT:

1) Định nghĩa: Cho hai số dương a, b với a  1. Số  thỏa mãn đẳng thức a

^

= b được gọi là lôgarit cơ số a của b và kí hiệu là log

a

b.

log

a

b =   a

^

= b.

Ví dụ:

a) log

2

8 =

...

b) log 9

3

1

=

...

* Chú ý: Không có lôgarit của số âm và số 0.

2) Tính chất:

Cho a, b > 0, a  1. Ta có: Ví dụ:

log

a

1 = 0, log

a

a = 1, log

1000

1 =

^...

, log

₃

3 =

...

a

^log^a^b

 b 2

^log²³



...

(10)

log

a

(a

^

) =  log

2

(2

⁵

) =

...

II- QUY TẮC TÍNH LÔGARIT:

1) Lôgarit của một tích:

Định lí: Cho 3 số dương a, b

1

, b

2

, a  1, ta có: log

a

(b

1

.b

2

) = log

a

b

1

+ log

a

b

2

Ví dụ: log

4

2 + log

4

8 =

...

* Mở rộng: cho n số dương b

1

, b

2

, ....,b

n

và a  1, ta có: log

a

(b

1

.b

2

...b

n

) = log

a

b

1

+ log

a

b

2

+...+log

a

b

n

2) Lôgarit của một thương:

Định lí: Cho 3 số dương a, b

1

, b

2

, a  1, ta có:

1 2 2

1

log log

log b b

b b

a a

a

 

Ví dụ: log

7

343 - log

7

49 =

...

3) Lôgarit của một lũy thừa:

Định lí: Cho 2 số dương a, b, a  1. Với mọi  ta có: log

a

b

^

= log

a

b Ví dụ: log

2

3

⁵

=

...

* Đăïc biệt: b

b n

_a

an

1 log

log  Ví dụ: log

₂

2 =

...

III- CÔNG THỨC ĐỔI CƠ SỐ:

Định lí: Cho 3 số dương a, b, c, a  1, c  1, ta có: b a b

c

a

log

c

log  log  log

c

a.log

a

b = log

c

b

Ví dụ:

6 log

18 log

3

=

...

* Đặc biệt: Ví dụ:

) 1 log (

log  1 b 

b a

b

a

 log

a

b.log

b

a = 1 log

3

6.log

8

9.log

6

2 =

...

b

_a

a

1 log

log

^

  (  0) log

₃

3 =

...

IV- MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP ÁP DỤNG:

1) Tính giá trị biểu thức, rút gọn biểu thức:

Ví dụ 1: Tính A = log

2

4 + log

2

2 + log

2

8

Giải:

...

(11)

Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức B =

log 7 49 log 2 7

log

₉ ₃

3

1

  + log

5³

25

Giải:

...

2) Tính giá trị biểu thức theo giá trị của một lôgrit cho trước:

Ví dụ: Cho log

2

20 = m. Tính log

20

5 theo m.

Giải:

...

3) So sánh hai số:

Ví dụ: So sánh hai số log

2

3 và log

6

5.

Giải:

...

V- LÔGARIT THẬP PHÂN. LÔGARIT TỰ NHIÊN:

1) Lôgarit thập phân: Lôgarít thập phân là lôgarít cơ số 10, log

10

b kí hiệu lgb hoặc logb.

b b b log lg

log

₁₀

 

2) Lôgarit tự nhiên: Lôgarít tự nhiên là lôgarít cơ số e với e =

ⁿ

n

n 1 )

1 (

lim 





, log

e

b kí hiệu lnb.

b

e

b ln

log 

(12)

Bài 1: Không sử dụng máy tính, hãy tính:

a) 8

log

₂

1 ; b) log 2

4

1

; c) log

₃⁴

3 ; d)log

0,5

0,125.

Bài 2: Chứng tỏ rằng: a)

8

2

⁹^log²⁷¹²

 1 ; b) log

3

6.log

8

9.log

6

2 = 3 2 . Bài 3: Đơn giản các biểu thức: a) )

¹²^log³⁴

9

( 1 ; b) 4

^log²^log ²⁴

. Bài 4: Tính:

a) 4

^log²³

; b) 27

^log⁹²

; c) 9

^log³²

; d) 4

^log⁸²⁷

. Bài 5: Rút gọn biểu thức A = log

a

b

²

+ log

_a2

b

⁴

.

Bài 6: So sánh các cặp số sau:

a) log 9

3

1

và log 10

3

1

; b) log

3

5 và log

7

4; b) log

0,3

2 và log

5

3; c) log

2

10 và log

5

30.

Bài 7: a) Cho a = log

30

3, b = log

30

5. Hãy tính log

30

8 và log

30

1350 theo a, b.

b) Cho c = log

15

3. Hãy tính log

125

15 theo c.

c) Cho a = log

3

15, b = log

3

10. Hãy tính log

₃

50 theo a và b.

Kiến thức cơ bản a/ Định nghĩa

 Với a 0, a 1, b 0 ta cĩ: log

_a

b a b . Chú ý: log

_a

b có nghĩa khi 0, 1 0

a a

b

(13)

 Logarit thập phân: lg b log b log

₁₀

b

 Logarit tự nhiên (logarit Nepe): ln b log

_e

b b/ Tính chất

Cho a 0, a 1 và b c , 0 . Khi đó:

Nếu a 1 thì log

_a

b log

_a

c b c Nếu 0 a 1 thì log

_a

b log

_a

c b c

 log 1

_a

0  log

_a

a 1  log

_a

a

^b

b  a

^log^a^b

b c/ Các qui tắc tính logarit

Cho a 0, a 1 và b c , 0 . Ta có:

 log

_a

b c . log

_a

b log

_a

c  log

_a

b log

_a

log

_a

b c

c

 log

_a

b .log

_a

b  log

_a

b

²

2 log

_a

b

d/ Các công thức đổi cơ số

Cho a b c , , 0 và a b , 1 . Ta có:

 log log log . log log log

a

b a b a

a

c c b c c

b  log 1

a

log

b

b a , ln

log

^a

ln b b

a

 1

log .log

_a

, 0

a

b b  log

₁

log

_a

a

b b

 1

log 1 1

log log

ab

a b

c

c c  a log b c c log b a

2. Bài tập áp dụng

Bài 1. Thực hiện các phép tính sau:

1/

₂ ₁

4

log 4.log 2

A 2/

₅

1

₂₇

log .log 9

B 25 3/ C log

_a ³

a

4/ D 4

^{log 3}²

9

^log³²

5/ E log

_{2 2}

8 6/ F 27

^{log 2}⁹

4

^{log 27}⁸

7/

³ ⁴

1 3 7 1

log . log log

a a

a

a a

G a 8/ H log 6.log 9.log 2

₃ ₈ ₆

9/

2 log 2 4 log 5³ ⁸¹

9 I

10/ J 81

^{log 5}³

27

^{log 36}⁹

3

^{4 log 7}⁹

11/ K 25

^{log 6}⁵

49

^{log 8}⁷

12/ L 5

^{3 2 log 4}⁵

13/

⁶ ⁸

1 1

log 3 log 4

9 4

M 14/ N 3

^{1 log 4}⁹

4

^{2 log 3}²

5

^log¹²⁵²⁷

15/ P lg tan1

⁰

lg tan2

⁰

... lg tan 89

⁰

16/ Q log log log 16 .log log log 64

₈ ₄ ₂ ₂ ₃ ₄

(14)

17/ R 3

^{5 log 2}³

log log 28

₃

18/

₁ ₁ ₁ ³

3 3 3

2 log 6 1 log 400 3 log 45 S 2

Bài 2. Thực hiện phép biến đổi theo yêu cầu bài toán.

1/ Cho log 27

₁₂

a . Tính log 16

₆

theo a . 2/ Cho log 14

₂

a . Tính

log

49 7

32 và log 32

₄₉

theo a . 3/ Cho log 5

₂

a ; log 3

₂

b . Tính log 135

₃

theo a b , . 4/ Cho log 3

₁₅

a . Tính log 15

₂₅

theo a .

5/ Cho log

_a

b 3 . Tính

3

log

b a

b a 6/ Cho lg 3 0, 477 . Tính

81

lg 9000; lg 0, 000027 ; 1

log 100 . 7/ Cho log

_a

b 5 . Tính log

_ab

b

a 8/ Cho log 2

₇

a . Tính

₁

2

log 28 theo a . 9/ Cho log

_a

b 13 . Tính log

_b ³ ²

a

ab . 10/ Cho log 7

₂₅

a ; log 5

₂

b . Tính

35

log 49

8 theo a b , . 11/ Cho lg 3 a ; lg 2 b . Tính log

₁₂₅

30 theo a b , .

12/ Cho log 3

₃₀

a ; log 5

₃₀

b . Tính log 1350

₃₀

theo a b , . 13/ Cho log 7

₁₄

a ; log 5

₁₄

b . Tính log 28

₃₅

theo a b , .

14/ Cho log 3

₂

a ; log 5

₃

b ; log 2

₇

c . Tính log

₁₄₀

63 theo a b c , , . 15/ Cho log

_a

b 7 . Tính

log

_{a b}

a

3

b

16/ Cho log 5

₂₇

a ; log 7

₈

b ; log 3

₂

c . Tính log 35

₆

theo a b c , , . 17/ Cho log 11

₄₉

a ; log 7

₂

b . Tính

₃

7

log 121

8 theo a b , .

(15)

§4. HÀM SỐ MŨ. HÀM SỐ LÔGARIT

I- HÀM SỐ MŨ:

1) Định nghĩa: Cho số thực dương a  1. Hàm số y = a

^x

được gọi là hàm số mũ cơ số a.

2) Đạo hàm của hàm số mũ:

Định lí 1: Hàm số y = e

^x

có đạo hàm tại mọi x và (e

^x

)' = e

^x

* Chú ý: Đối với hàm số hợp y = e

^u(x)

. Ví dụ:

(e

^u

)' = e

^u

.u' ( e

^x²^²^x^¹

)' =

...

Định lí 2: Hàm số y = a

^x

(a > 0, a  1) có đạo hàm tại mọi x và (a

^x

)' = a

^x

lna

* Chú ý: Đối với hàm số hợp y = a

^u(x)

. Ví dụ:

(a

^u

)' = a

^u

.lna.u' ( 2

^x²^¹

) ' =

...

3) Khảo sát hàm số mũ y = a

^x

(a > 0, a  1):

O 1

1 a

x y

a > 1

O 1

1 a

x y

0 < a < 1

Tóm tắt các tính chất của hàm số mũ y = a

^x

(a > 0, a  1)

(16)

Tập xác định D = (-; +).

Đạo hàm y' = a

^x

lna.

Chiều biến thiên a > 1: hàm số luôn đồng biến;

0 < a < 1: hàm số luôn nghịch biến.

Tiệm cận trục Ox là tiệm cận ngang.

Đồ thị đi qua các điểm (0; 1) và (1; a), nằm phía trên trục hoành (y = a

^x

> 0, x  R) II- HÀM SỐ LÔGARIT:

1) Định nghĩa: Cho số thực dương a khác 1. Hàm số y = log

a

x được gọi là hàm số lôgarit cơ số a.

2) Đạo hàm của hàm số lôgarit:

Định lí 3: Hàm số y = log

a

x (a > 0, a  1) có đạo hàm tại mọi x > 0 và

a x x

a

ln

)' 1

(log 

* Chú ý: Đặc biệt

x )' 1 x

(ln  . Đối với hàm số hợp y = ln[u(x)] thì

u u )' u '

(ln  Đối với hàm số hợp y = log

a

u(x), ta có: Ví dụ:

a u u u

a

ln

)' '

(log  [log

₂

( x

²

 1 )]' =

...

3) Khảo sát hàm số lôgarit y = log

a

x (a > 0, a  1)

O 1

1

a x

y

a > 1

O 1

1

a x

y

0 < a < 1 Tóm tắt các tính chất của hàm số mũ y = a

^x

(a > 0, a  1) Tập xác định D = (0; +).

Đạo hàm y' =

a x ln 1 .

Chiều biến thiên a > 1: hàm số luôn đồng biến;

0 < a < 1: hàm số luôn nghịch biến.

Tiệm cận trục Oy là tiệm cận đứng.

Đồ thị đi qua các điểm (1; 0) và (a; 1), nằm phía bên phải trục tung.

* Nhận xét: Đồ thị hàm số y = a

^x

và y = log

a

x (a > 0, a  1) đối xứng nhau qua đường thẳng y = x.

Ví dụ: Vẽ đồ thị hai hàm số trên cùng một hệ trục tọa độ:

a) y = 4

^x

và y = log

4

x; b) y = )

^x

4

( 1 và y = x

4

log

1

. Giải:

... ...

(17)

...

Bảng đạo hàm của các hàm số lũy thừa, mũ và lôgarit

Hàm số sơ cấp Hàm hợp (u = u(x)) Hàm số sơ cấp Hàm hợp (u = u(x)) (x

^

)' = x

^{ - 1}

2

)' 1 ( 1

x x  

x x

2 )' 1

( 

(u

^

)' = u

^{ - 1}

.u'

2

)' ' ( 1

u u u  

u u u

2 )' '

( 

(e

^x

)' = e

^x

(a

^x

)' = a

^x

lna (e

^u

)' = e

^u

.u' (a

^u

)' = a

^u

lna.u' x 1 x

)'

(ln 

a x x

a

ln

)' 1

(log 

u u u '

)'

(ln 

a u u u

a

ln

)' '

(log 

Kiến thức cơ bản 1.1/ Khái niệm

a/ Hàm sớ lũy thừa y x ( là hằng sớ)

Sớ mũ α Hàm sớ y x Tập xác định D

n ( n nguyên dương) y x

ⁿ

D

n ( n nguyên dương âm hoặc n 0 ) y x

ⁿ

D \ 0

là sớ thực khơng nguyên y x D 0,

Lưu ý: Hàm sớ

1

y x

n

khơng đồng nhất với hàm sớ y

ⁿ

x , n * b/ Hàm sớ mũ y a

^x

, a 0, a 1

 Tập xác định: D

 Tập giá trị: T 0,

 Tính đơn điệu

 Nhận trục hồnh làm tiệm cận ngang.

 Dạng đồ thị:

○ Khi a 1 hàm số đ ồ ng biế n.

○ Khi 0 a 1 : hàm số nghị ch biế n.

1 a

x y

1 1

y a

x

y a

^x

O O

0 a 1

(18)

c/ Hàm sớ logarit y log

_a

x a , 0, a 1

 Tập xác định: D 0,

 Tập giá trị: T

 Tính đơn điệu

 Nhận trục tung làm tiệm cận đứng.

 Dạng đồ thị:

1.2/ Giới hạn đặc biệt



1 0

lim 1 lim 1 1

x x

x

e

x



0

lim ln 1 1

x

x 

0

lim 1 1

x x

e x

1.3/ Đạo hàm

Đạo hàm hàm sớ sơ cấp Đạo hàm hàm sớ hợp

 x

^'

. x

¹

, x 0 u

^'

. u

¹

. u '

 a

^x ^'

a

^x

.ln a a

^u ^'

a

^u

.ln . ' u u

 e

^x ^'

e

^x

e

^u ^'

e u

^u

. '



^'

1 log

^a

x ln

x a

'

log

^a

ln

u u

u a



^'

1

ln x , x 0

x

'

ln u

u u

Lưu ý:

^'

1

1 .

n

n n

x

n x

'

1

' .

n

n n

u u

n u BÀI TẬP RÈN LUYỆN

Bai 2: Tính đạo hàm của các hàm sớ sau:

log

_a

y x

1 a

x y

O ₁

log

_a

y x

x y

0 a 1

O ¹

Vớ i x 0 nế u n chẳ n.

Vớ i x 0 nế u n lẻ .

○ Khi a 1 hàm sớ đồng biến.

○ Khi 0 a 1 : hàm sớ nghịch

biế n.

(19)

1/ y 4 x

²

3 x 1 2/ y x

²

x 4

⁴

3/ y x

²

3 x 2

4/ y x x

³

x 5/

3

1 1 1

y x x x

6/ y

^{m n}

1 x

^m

. 1 x

ⁿ

7/ y

³

x

²

x 1 8/

⁴

1

1 y x

x 9/

2

5 2

2 1

x x

y x

10/ y

³

sin 2 x 1 11/ y cot 1

³

x

²

12/

3 3

1 2

y x

x

13/

³

3

sin 4

y x 14/ y

¹¹

9 6

⁵

x

⁹

15/

2

4 2

1 1

x x

y x x

Bài 3. Tính đạo hàm của các hàm số sau:

1/ y x

²

2 x 2 e

^x

2/ y x

²

2 x e

^x

3/ y e

²^x

sin x

4/ y e

^{2x x}²

5/

1 x 3x

y xe 6/

2 2

x x

e e

y e e

7/ y 2

^x

e

^cos^x

8/

₂

3

1

x

y x x 9/ y cos . x e

^cot^x

Bài 4. Tính đạo hàm của các hàm số sau:

1/ y ln 2 x

²

x 3 2/ y log cos

₂

x 3/ y e

^x

. ln cos x

4/ y 2 x 1 ln 3 x

²

x 5/

₁ ³

2

log cos

y x x 6/ y log cos

₃

x

7/ ln 2 1

2 1

y x

x 8/ ln 2 1

1 y x

x 9/ y ln x 1 x

²

Bài 5. Chứng minh các hàm số đã cho thỏa mãn các hệ thức được chỉ ra:

1/

2

2 2

. ; ' 1

x

y x e xy x y 2/ y x 1 e

^x

; y ' y e

^x

3/ y e

⁴^x

2 e

^x

; ''' 2 ' 12 y y y 0 4/ y a e .

^x

be .

²^x

; '' 3 ' 2 y y y 0 5/ y e

^x

sin ; '' 2 ' 2 x y y y 0 6/ y e

^x

cos ; x y

⁴

4 y 0

7/ y e

^sin^x

; ' cos y x y sin x y '' 0 8/ y e

²^x

sin 5 ; '' 4 x y y 29 y 0

9/ 1

²

; '' 2 ' 2

x x

y x e y y y e 10/ y e

⁴^x

2 e

^x

; ''' 13 y y 12 y 0

Bài 6. Chứng minh các hàm số đã cho thỏa mãn các hệ thức được chỉ ra:

1/ 1

ln ; ' 1

1

y xy e

y

x 2/ 1

; ' ln 1

1 ln

y xy y y x

x x

3/ y sin ln x cos ln x ; y xy ' x y

²

'' 0 4/ 1 ln

² ^{2 2}

; 2 ' 1

1 ln

y x x y x y

x x

5/

2

2 2

1 1 ln 1 ; 2 ' ln '

2 2

y x x x x x y xy y 6/

²

2

₂ ²

1 2010 ; ' 1

1

x

xy

x

y x e y e x

x

(20)

Bài 7. Giải các phương trình và bất phương trình sau với các hàm sớ được chỉ ra:

1/ f x '( ) 2 ( ) ; ( ) f x f x e x

^x ²

3 x 1 2/ 1

³

'( ) ( ) 0 ; ( ) ln

f x f x f x x x

x

3/ f x '( ) g x '( ) ; ( ) f x x ln x 5 ; ( ) g x ln x 1 4/ f x '( ) 0 ; ( ) f x e

²^x ¹

2 e

^{1 2}^x

7 x 5

§5. PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT

I- PHƯƠNG TRÌNH MŨ:

1) Phương trình mũ cơ bản:

Dạng: a

^x

= b (a > 0, a  1) Ví dụ:

 Với b > 0 ta có: a

^x

= b  x = log

a

b. 2

^x

= 3 

...

 Với b  0 ta có: a

^x

= b  x  . 2

^x

= -3 

...

2) Cách giải một số phương trình mũ đơn giản:

a/ Đưa về cùng cơ số: a

^A(x)

= a

^B(x)

 A(x) = B(x) Ví dụ: Giải phương trình (1,5)

^{5x - 7}

= (

3 2 )

^{x + 1}

. Giải:

...

b/ Đặt ẩn phụ:

Ví dụ: Giải các phương trình sau:

a) 9

^x

- 4.3

^x

- 45 = 0; b) 6.9

^x

– 13.6

^x

+ 6.4

^x

= 0.

Giải:

...

c/ Lôgarit hóa:

Ví dụ: Giải phương trình 3

^x

. 2

^x²

= 1.

(21)

...

II- PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT:

1) Phương trình lôgarit cơ bản:

Dạng: log

a

x = b (a > 0, a  1) Ví dụ:

Với mọi b ta có: log

a

x = b  x = a

^b

log

2

x = -3 

...

2) Cách giải một số phương trình lôgarit đơn giản:

a/ Đưa về cùng một cơ số: Với điều kiện 0 < a ≠ 1, A(x) > 0, B(x) > 0 ta có log

a

[A(x)] = log

a

[B(x)]  [A(x)] = [B(x)]

Ví dụ: Giải phương trình log

³

x + log

⁹

x + log

²⁷

x = 11.

Giải:

...

b/ Đặt ẩn phụ:

Ví dụ: Giải phương trình 1

log 1

2 log

5

1 

 

 x x .

Giải:

...

(22)

... ...

c/ Mũ hóa:

Ví dụ: Giải phương trình log

2

(5 - 2

^x

) = 2 - x.

Giải:

...

1. Cơ sở lý thuyết

1.1/ Phương trình mũ cơ bản

Với a 0, a 1 thì 0

log

x

a

a b b

x b .

1.2/ Phương pháp giải mợt số phương trình mũ thường gặp

TD 1: Giải các phương trình mũ sau

1/ 0, 04

^x

625. 5

³

2/ 0,125.16

¹

8

32

x

ĐƯA VỀ CÙNG CƠ SỚ & LOGARIT HÓA

 Đưa về cùng cơ sờ:

 Dùng các cơng thức mũ và lũy thừa đưa về dạng a

^{f x}

a

^{g x}

Với a 0, a 1 thì a

^{f x}

a

^{g x}

f x g x .

 Trường hợp cơ sớ a có chứa ẩn thì: 1

1 0

M N

a

a a a M N

M N .

 Logarit hóa: a

^{f x}

b

^{g x}

log

_a

a

^{f x}

log

_a

b

^{g x}

f x log

_a

b g x .

(23)

3/ 2 .5 0, 001. 10 4/ 3 .15 .5 9

5/ 5.3

^x

3.2

^x

7.2

^x

4.3

^x

6/ 5

^x

5

^x ¹

5

^x ²

3

^x ¹

3

^x ¹

3

^x ²

ĐẶT ẨN SỐ PHỤ

 Dạng 1:

( )

, 0

0 0

f x

t a t

P a P t

 Dạng 2: . a

^{2 ( )}^{f x}

ab

^{f x}^{( )}

. b

^{2 ( )}^{f x}

0

Chia hai vế cho b

^{2 ( )}^{f x}

, rồi đặt ẩn phụ

( )

0 a

f x

t b (chia cơ số lớn nhất).

 Dạng 3: a

^{f x}^{( )}

b

^{f x}^{( )}

m với a b . 1 . Đặt

_{f x}^{( )} _{f x}^{( )}

1

t a b

t .

1. Giải các phương trình mũ sau

1/ 9

^x

5.3

^x

6 0 2/ 2

^{1 2}^x

15.2

^x

8 0

3/ 5

^x ¹

5

² ^x

124 4/ 5

^x

5

¹ ^x

4 0

5/ 3

^{2 2}^x

2.3

² ^x

27 0 6/ 5

^x

25

¹ ^x

6

7/ 3

^{3 3}^x

3

^{3 3}^x

3

⁴ ^x

3

⁴ ^x

10

³

8/ 7 4 3

^x

2 3

^x

6 9/ 9

^sin²^x

9

^cos²^x

6 10/ 4

^{1 2 sin}²^x

9.4

^{2 cos}²^x

5 2. Giải phương trình mũ

1/ 25

^x

15

^x

2.9

^x

2/ 9

^x ¹

13.6

^x

4

^x ¹

0

3/ 49

^x

2.35

^x

7.5

²^x ¹

0 4/ 2.4

¹^x

6

^x¹

9

^x¹

1/ 2 3

^x

2 3

^x

4 2/

³

5 2 6

³

5 2 6 10

x x

3/ 5 21

^x

7 5 21

^x

2

^x ³

4/ 8 3 7

^sin^x

8 3 7

^sin^x

16

5/ 5 2 6

³^x ¹

5 2 6

⁵^x ⁸

6/ 3 2 2

^x ¹

3 2 2

²^x ⁸

1/ 3

⁵^x

5

³^x

2/ 3

^x

2

^{5 2}^x

3/ 2

^x ³

3

^x² ⁵^x ⁶

4/ 5

²^x⁴ ⁵^x² ³

7

^x² ³²

0

1. Phương trình logarit cơ bản

(24)

Với a 0, a 1 : log

_a

x b x a

^b

2. Một số phương pháp giải phương trình logarit

 Đưa về cùng cơ số:

Với a 0, a 1 :

log log

0 0

a a

f x g x

f x hay g x

 Mũ hóa:

Với a 0, a 1 : log

_a

f x g x f x a

^{g x}

 Đặt ẩn phụ.

 Sử dụng tính đơn điệu của hàm số.

 Đưa về phương trình dạng đặt biệt.

 Phương pháp đối lập.

3. Lưu ý

 Khi giải phương trình logarit, cần chú ý đến điều kiện để phương trình có nghĩa. Nếu điều kiện ấy quá phức tạp, ta không nên tìm ra chi tiết. Hiển nhiên, khi tìm được nghiệm nên thế vào điều kiện để kiểm tra nghiệm.

 Với a b c , , 0 và a b c , , 1 thì:

log log

log

b b

a

c a

b

a c

b a

 Các công thức logarit thường sử dụng:

CT.1 log

_a

b log

_a

c log

_a

b c . CT.2 log

_a

log

_a

log

_a

b

b c

c

CT.3 .log

log .log

a a

a

b b

b CT 1

.4 log .log

_a

a

b b

CT. 1

5 log

a

log

b

b a CT. log

6 log

log

a b

a

c c

b 1. Giải các phương trình logarit sau).

1/ log 2

₃

x 1 2 2/ log

₂

x 2 log

₂

x 2 2

3/ log x

²

2 x 3 lg x 3 lg x 1 4/ 2 log

₂₅

3 x 11 log

₅

x 27 3 log 8

₅

5/

3

5 0,2 25

log x log x log x 7 6/ log

₂

x log

₂

x 1 1

7/ log

₂

5 log

₂ ²

25 0

5

x x

x 8/ log log

₄ ₂

x log log

₂ ₄

x 2

2. Giải các phương trình logarit

1/ log 9 2

₂ ^x

3 x 2/ log 3

₃ ^x ¹

26 2 x 3/ log

₄

x 3 log

₂

x 1 2 log 8

₄

4/

2

4

4 2

log log 4 10 0

4

x x

Nếu β

lé Nếu β

ch́́n

(25)

5/ 2 log

₃

x 2 log

₃

x 4 0 6/

₁ ₁ ₁

4 4 4

3 log 2 3 log 4 log 6

2 x x x

7/

₂ ₂ ₁

2

log x 2 log x 5 log 8 0 8/ 1

₂ ⁶ ₂ ³ ₂ ² ₂ ²²

log 3 4 .log 8 log log 3 4

3 x x x x

3. Giải các phương trình logarit sau

a/ log

²₂

x 4 log

₂

x 3 0 b/ 1 2

5 log x 1 log x 1

c/

₄

7

log 2 log 0

x

x 6 d/

₃ ₉

3

2 log .log 3 4 1

1 log x

x

x e/ log 2

₂ ^x

1 .log 2

₂ ^x ¹

2 2 f/ log

²₃

x log

²₃

x 1 5 0

§6. BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT

(26)

I - BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ:

1) Bất phương trình mũ cơ bản: Bất phương trình mũ cơ bản có dạng a

^x

> b (hoặc a

^x

 b, a

^x

< b, a

^x

 b) với a > 0, a  1.

 Nếu b  0 thì ta có a

^x

> 0  b đúng với mọi x  R nên tập nghiệm bất phương trình là T = R.

 Nếu b > 0 ta có a

^x

> b  a

^x

> a

^log^a^b

Ví dụ:

* Khi a > 1 thì a

^x

> a

^log^a^b

 x > log

a

b 3

^x

> 2 

...

* Khi 0 < a < 1 thì a

^x

> a

^log^a^b

 x < log

a

b )

^x

2 ( 1 >

32

1 

...

2) Bất phương trình mũ đơn giản:

Ví dụ: Giải các bất phương trình sau:

a) 3

^x²^^x

< 9; b) 4

^x

- 2.5

^2x

< 10

^x

. Giải:

...

II- BẤT PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT:

1) Bất phương trình lôgarit cơ bản: Bất phương trình lôgarit cơ bản có dạng log

^a

x > b (hoặc log

^a

x  b, log

a

x < b, log

a

x  b) với a > 0, a  1. Ví dụ:

 Khi a > 1 ta có log

a

x > b  x > a

^b

log

2

x > 7 

...

 Khi 0 < a < 1 ta có log

a

x > b  0 < x < a

^b

log  3 

2

1

x

...

2) Bất phương trình lôgarit đơn giản:

Ví dụ: Giải các bất ph�