Các dạng toán phương trình mặt phẳng – Nguyễn Bảo Vương - Học Tập Trực Tuyến Cấp 1,2,3 - Hoc Online 247

(1)

Tài liệu toán 12 năm học 2018

Giảng dạy: nguyễn bảo vương - ^0946798489 Page | 1

A. TểM TẮT Lí THUYẾT

1. Phương trỡnh mặt phẳng

a) Vectơ phỏp tuyến – Cặp vectơ chỉphương của mặt phẳng

• Vectơ n0 là vectơ phỏp tuyến (VTPT) của

 

^ nếu giỏ của n vuụng gúc với

 

^ ^.

• Hai vectơ a b,  khụng cựng phương là cặp vectơ chỉ phương (VTCP) của

 

^ nếu cỏc giỏ của chỳng song song hoặc nằm trờn

 

^ ^.

Chỳ ý:

• Nếu n là một VTPT của

 

^ ^thỡ^{kn k}^⁰



^



cũng là VTPT của

 

^ ^.

• Nếu a b,  là một cặp VTCP của

 

^ ^thỡⁿ ^^{a b}^,^ là một VTPT của

 

^ ^.

b) Phương trỡnh tổng quỏt của mặt phẳng AxBy Cz D0 với A² B²C² 0.

• Nếu

 

^ cú phương trỡnh AxBy Cz D0 thỡ ⁿ^^



^{A B C}^{; ;}



là một VTPT của

 

^ ^.

• Phương trỡnh mặt phẳng đi qua M x y z0



0; ;0 0



và cú một VTPT ⁿ^^



^{A B C}^{; ;}



^là:



0

 

0

 

0



0

A xx B yy C zz  . c) Cỏc trường hợp đặc biệt

Cỏc hệ số Phương trỡnh mặt phẳng

 

^ Tớnh chất mặt phẳng

 

^

0

D  AxBy Cz 0

 

^ đi qua gốc tọa độ O. 0

A By Cz D0

 

^ ^^Ox^hoặc

 

^ ^^Ox ^.

0

B AxCzD0

 

^ ^^Oy^hoặc

 

^ ^^Oy^.

0

C  AxByD0

 

^ ^^Oz^hoặc

 

^ ^^Oz^.

0

AB CzD 0

   

^ ^ ^Oxy ^hoặc

   

^ ^ ^Oxy ^.

0

AC  ByD 0

   

^ ^ ^Oxz ^hoặc

   

^ ^ ^Oxz ^.

0

BC  AxD0

   

^ ^ ^Oyz ^hoặc

   

^ ^ ^Oyz ^.

2. PHƯƠNG TRèNH MẶT PHẲNG

(2)

Chỳ ý:

• Nếu trong phương trỡnh

 

^ khụng chứa ẩn nào thỡ

 

^ song song hoặc chứa trục tương ứng.

• Phương trỡnh mặt phẳng theo đoạn chắn

 

^ ^:_a^x ^{  }^y_b ^z_c ¹^. ^Ở ^đõy

 

^ cắt cỏc trục toạ độ tại cỏc điểm



a; 0; 0 , ; 0; 0 , ; 0; 0

 

b

 

c



với abc0.

2. Khoảng cỏch từ một điểm tới mặt phẳng

Trong khụng gian Oxyz, cho điểm A x y z



A^{; ;}A A



và mặt phẳng

 

^ ^:^Ax^^{By Cz}^ ^^D ^⁰^.

Khi đú khoảng cỏch từ điểm A đến mặt phẳng

 

^ được tớnh theo cụng thức ^{d A}^,

 

ÂxÂ ₂^ByÂ ₂^CzÂ₂ ^D

A B C

   

  

 

    .

3. Vịtrớ tương đối

a) Vịtrớ tương đối giữa hai mặt phẳng

Trong khụng gian Oxyz, cho hai mặt phẳng

 

 :A x1 B y C z1  1 D1 0 và

 

 :A x2 B y C z2  2 D2 0

•

 

^ ^

 

^ ¹ ¹ ¹ ¹

2 2 2 2

A B C D

    .

•

 

^ ^

 

^ ¹ ¹ ¹ ¹

2 2 2 2

A B C D

    .

•

   

^ ^ ^ ¹ ¹

2 2

A B

  hoặc ¹ ¹

2 2

B C

B C .

•

   

^ ^ ^  0A A1 2B B1 2C C1 2  . b) Vịtrớ tương đối giữa mặt phẳng và mặt cầu

Trong khụng gian Oxyz, cho mặt phẳng và mặt cầu

 

^ ^:^Ax^^{By Cz}^ ^^D^⁰^và

  

^S ^: ^x^^a

 

²^ ^{y b}^

 

² ^ ^z^^c



² ^^R²^.

Để xột vị trớ của

 

^ ^và

 

^S ta làm như sau:

•Bước 1. Tớnh khoảng cỏch từ tõm I của

 

^S ^đến

 

^ ^.

•Bước 2.

+ Nếu ^{d I}^__ ^,

 

^^{ }__ ^R^thỡ

 

^ khụng cắt

 

^S ^.

+ Nếu ^{d I}^__ ^,

 

^^{ }__ ^R^thỡ

 

^ ^{tiếp xỳc}

 

^S ^tại^H^{. Khi đú}^H được gọi là tiếp điểm, là hỡnh chiếu vuụng gúc của I lờn

 

^ ^và

 

^ được gọi là tiếp diện.

(3)

+ Nếu ^{d I}^__ ^,

 

^ ^{ }__ ^R^thỡ

 

^ ^cắt

 

^S theo đường trũn cú phương trỡnh

  

_:

 

²



² ⁾² ²

0

x a y b z c R

C Ax By Cz D

      

    

 .

Bỏn kớnh của

 

^C ^là^r ^ ^R²_{ }^{d I}^_ ^,

 

^ ^__^.

Tõm J của

 

^C là hỡnh chiếu vuụng gúc của I trờn

 

^ ^.

4. Gúc giữa hai mặt phẳng

Trong khụng gian Oxyz, cho hai mặt phẳng

 

 :A x1 B y C z1  1 D1 0 và

 

 :A x2 B y C z2  2 D2 0. Gúc giữa

 

^ ^và

 

^ bằng hoặc bự với gúc giữa hai VTPT n_, n_. Tức là

   

 

^ ₂ ^{1 2}₂ ₂¹ ² ₂ ¹ ²₂ ₂

1 1 1 2 2 2

cos , cos , . .

. .

n n A A B B C C

n n n n A B C A B C

 

   

  

   

   

 

B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

1. caực vớ duù minh hoùa

Vớ dụ 1. Cho phương trỡnh:mx + m(m - 1)y − (m²− 1)z - 1 = 0. (1)

a. Tỡm điều kiện của m để phương trỡnh (1) là phương trỡnh của một mặt phẳng, gọi là họ (Pm).

b. Tỡm điểm cố định mà họ (Pm) luụn đi qua.

c. Giả sử (Pm) với m ≠ 0, ±1 cắt cỏc trục toạ độ tại A, B, C.

 Tớnh thể tớch tứ diện OABC.

 Tỡm m để ∆ABC nhận điểm 1 1 1

; ; 9 18 24

G   làm trọng tõm.

Nhận xột: Như vậy, để tỡm điểm cố định mà họ mặt phẳng (P^m) luụn đi qua ta thực hiện theo cỏc bước:

Bước 1. Giả sử M(x0; y0; z0) là điểm cố định của họ (Pm), khi đú Ax0 + By0 + Cz0 + D = 0, ∀m.

Bước 2. Nhúm theo bậc của m rồi cho cỏc hệ số bằng 0, từ đú nhận được (x⁰; y⁰; z⁰).

Bước 3. Kết luận.

Vớ dụ 2. Cho phương trỡnh:(a + b)x + ay + bz - 3(a + b) = 0.

a. Tỡm điều kiện của a, b để phương trỡnh đó cho là phương trỡnh của một mặt phẳng, gọi là họ (P^a,b).

b. Giả sử (P^a,b) với a, b ≠ 0 cắt cỏc trục toạ độ tại A, B, C. Tỡm a, b để:

 ∆ABC nhận điểm 4 G 1; 4;

3

 

 

  làm trọng tõm.

 ∆ABC nhận điểm ^{H 2; 1; 1}

( )

làm trực tõm.

Phương phỏp

Phương trỡnh:Ax + By + Cz + D = 0 là phương trỡnh của một mặt phẳng khi và chỉ khi A² + B² + C² > 0.

Chỳ ý: Đi kốm với họ mặt phẳng (P^m) thường cú thờm cỏc cõu hỏi phụ:

Cõu hỏi 1: Chứng minh rằng họ mặt phẳng (P^m) luụn đi qua một điểm cố định.

Cõu hỏi 2: Cho điểm M cú tớnh chất K, biện luận theo vị trớ của M số mặt phẳng của họ (Pm) đi qua M.

Cõu hỏi 3: Chứng minh rằng họ mặt phẳng (P^m) luụn chứa một đường thẳng cố định.

DẠNG 1. Phương trỡnh mặt phẳng

(4)

 Tứ diện OABC cú thể tớch nhỏ nhất với a > 0, b > 0.

c. Chứng tỏ rằng họ (Pa,b) luụn chứa một đường thẳng cố định.

1. caực vớ duù minh hoùa

Vớ dụ 1. Viết phương trỡnh mặt phẳng (P), biết:

a. (P) là mặt phẳng trung trực của đoạn AB với A(1; 1; 2) và B(1; −3; 2).

b. (P) đi qua điểm C(1; 2; −3) và song song với mặt phẳng (Q) cú phương trỡnh x − 2y + 3z + 1 = 0.

c. (P) đi qua điểm D(1; 1; 2) và cú cặp vtcp a(2; -1, 1), b

(2; -1; 3).

d. (P) đi qua điểm E(3; 1; 2) và vuụng gúc với hai mặt phẳng:(R¹): 2x + y + 2z - 10) và (R²): 3x + 2y + z + 8 = 0.

Vớ dụ 2. Cho ba điểm A(1; 2; 3), B(3; 5; 4), C(3; 0; 5).

a. Lập phương trỡnh mặt phẳng (P) đi qua ba điểm A, B và C.

b. Lập phương trỡnh mặt cầu nhận đường trũn ngoại tiếp ∆ABC làm đường trũn lớn.

Vớ dụ 3. Cho hai điểm A(1; −1; 5), B(0; 0; 1).

a. Tỡm điểm M thuộc Oy sao cho ∆MAB cõn tại M.

b. Lập phương trỡnh mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A, B và song song với trục Oy.

c. Lập phương trỡnh mặt cầu cú bỏn kớnh nhỏ nhất đi qua hai điểm A, B và cắt (P) theo thiết diện là đường trũn lớn.

Phương phỏp

Để viết phương trỡnh mặt phẳng (P) ta cú thể lựa chọn một trong cỏc cỏch sau:

Cỏch 1: Thực hiện theo cỏc bước:

Bước 1. Xỏc định M⁰(x⁰; y⁰; z⁰) ∈ (P) và vtpt n_(n₁_{; n}₂_{; n}₃) của (P).

Bước 2. Khi đú:(P): ⁰ ⁰ ⁰ ⁰

1 2 3

qua M (x ;y ;z ) vtpt n(n ; n ; n )



  ^{⇔ (P): n}¹^{(x − x}⁰^{) + n}²^{(y − y}⁰^{) + n}³^{(z − z}⁰^{) = 0.}

Cỏch 2: Sử dụng phương phỏp quỹ tớch.

Chỳ ý: Chỳng ta cú cỏc kết quả:

1. Mặt phẳng (P) đi qua điểm M(x⁰; y⁰; z⁰), luụn cú dạng: (P): A(x − x⁰) + B(y − y⁰) + C(z − z⁰) = 0 2. Mặt phẳng (P) cú vtpt n_(n

1; n2; n3), luụn cú dạng: (P): n1x + n2y + n3z + D = 0 Để xỏc định (P), ta cần đi xỏc định D.

3. Mặt phẳng (P) song song với (Q): Ax + By + Cz + D = 0, luụn cú dạng: (P): Ax + By + Cz + E = 0 Để xỏc định (P), ta cần đi xỏc định E.

4. Phương trỡnh mặt phẳng theo cỏc đoạn chắn, đú là mặt phẳng (P) đi qua ba điểm A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) cú phương trỡnh:(P): x

a ⁺ y b ⁺

z c^{= 1.}

5. Với phương trỡnh mặt phẳng (P) đi qua ba điểm khụng thẳng hàng M, N, P chỳng ta cú thể lựa chọn một trong hai cỏch sau:

Cỏch 1: Gọi n là vtpt của mặt phẳng (P), ta cú: n MN n MP

 ⊥

 ⊥







  ^⇔ ⁿ= ^^{MN, MP} ^_. Khi đú, phương trỡnh mặt phẳng (P) được cho bởi:(P): qua M

vtpt n



  ^.

Cỏch 2: Giả sử mặt phẳng (P) cú phương trỡnh:Ax + By + Cz + D = 0, (1) với A² + B² + C² > 0.

Vỡ M, N, P thuộc mặt phẳng (P) nờn ta cú hệ ba phương trỡnh với bốn ẩn A, B, C, D.

Biểu diễn ba ẩn theo một ẩn cũn lại, rồi thay vào (1) chỳng ta nhận được phương trỡnh mặt phẳng (P).

DẠNG 2. Viết phương trỡnh mặt phẳng

(5)

Vớ dụ 4. Cho hai điểm A(2; 1; −3), B(3; 2; −1) và mặt phẳng (Q) cú phương trỡnh (Q): x + 2y + 3z − 4 = 0.

a. Lập phương trỡnh mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A, B và vuụng gúc với mặt phẳng (Q).

b. Tỡm tọa độ điểm I thuộc (Q) sao cho I, A, B thẳng hàng.

Vớ dụ 5. Cho điểm A(2; −2; −4).

a. Lập phương trỡnh mặt phẳng (P) đi qua điểm A và chứa trục Ox.

b. Tỡm điểm B thuộc mặt phẳng (P) sao cho ∆OAB đều.

Vớ dụ 6. Viết phương trỡnh mặt phẳng trong mỗi trường hợp sau:

a. Đi qua điểm G(1; 2; 3) và cắt cỏc trục tọa độ tại cỏc điểm A, B, C sao cho G là trọng tõm ∆ABC.

b. Đi qua điểm H(2; 1; 1) và cắt cỏc trục tọa độ tại cỏc điểm A, B, C sao cho H là trực tõm ∆ABC.

c. Đi qua điểm M(1; 1; 1) cắt chiều dương của cỏc trục toạ độ tại ba điểm A, B, C sao cho tứ diện OABC cú thể tớch nhỏ nhất.

1. caực vớ duù minh hoùa

Vớ dụ 1. Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) lần lượt cú phương trỡnh là: (P): x − 3y − 3z + 5 = 0, (Q): (m²+ m + 1)x − 3y + (m + 3)z + 1 = 0.

Với giỏ trị nào của m thỡ:

a. Hai mặt phẳng đú song song ?

b. Hai mặt phẳng đú trựng nhau ?

c. Hai mặt phẳng đú cắt nhau ?

d. Hai mặt phẳng đú vuụng gúc ?

Vớ dụ 2. Cho hai mặt phẳng (P¹) và (P²) lần lượt cú phương trỡnh là:(P¹): Ax + By + Cz + D = 0, (P2): Ax + By + Cz + D' = 0 với D ≠ D'.

a. Tỡm khoảng cỏch giữa hai mặt phẳng (P¹) và (P²).

b. Viết phương trỡnh mặt phẳng song song và cỏch đều hai mặt phẳng (P1) và (P2).

Áp dụng với hai mặt phẳng:(P1): x + 2y + 2y + 3 = 0, (P2): 2x + 4y + 4y + 1 = 0.

Chỳ ý: Trong trường hợp hai mặt phẳng (P¹) và (P²) song song với nhau (giả sử cú vtpt n(A; B; C)

) chỳng ta thường gặp thờm cõu hỏi:

1. Tớnh khoảng cỏch giữa (P1) và (P2).

2. Viết phương trỡnh mặt phẳng (P) song song và cỏch đều (P¹), (P²).

3. Viết phương trỡnh mặt phẳng (Q) song song với (P1), (P2) và d((Q), (P1)) = k.d((Q), (P2)).

4. Viết phương trỡnh mặt cầu tiếp xỳc với (P¹) tại điểm M¹ và:

a. Tiếp xỳc với (P²).

b. Cắt (P2) theo thiết diện là đường trũn lớn.

5. Viết phương trỡnh mặt cầu tiếp xỳc với (P¹) tại điểm M¹ và cắt (P²) theo thiết diện là đường trũn (C) cú bỏn kớnh bằng r (hoặc biết chu vi, diện tớch của (C)).

Với yờu cầu "Tớnh khoảng cỏch d giữa (P1) và (P2)" chỳng ta sử dụng kết quả:d = d((P1), (P2)) = d(M1, (P2)), với M¹∈ (P¹).

Với yờu cầu "Viết phương trỡnh mặt phẳng song song và cỏch đều (P¹), (P²)", chỳng ta lựa chọn một trong hai cỏch sau:

Cỏch 1: (Sử dụng tớnh chất): Thực hiện theo cỏc bước:

Bước 1. Mặt phẳng (P) song song với hai mặt phẳng đó cho sẽ cú dạng:(P): Ax + By + Cz + D = 0. (*) Bước 2. Lấy cỏc điểm E¹∈ (P¹) và E²∈ (P²), suy ra đoạn thẳng AB cú trung điểm E(x⁰; y⁰; z⁰).

DẠNG 3. Vị trớ tương đối của hai mặt phẳng Phương phỏp

Sử dụng kiến thức trong phần vị trớ tương đối của hai mặt phẳng.

(6)

Để (P) cỏch đều (P¹) và (P²) điều kiện là (P) đi qua điểm M, tức là:

Ax0 + By0 + Cz0 + D = 0 ⇒ Giỏ trị của D.

Bước 3. Thay D vào (*), ta nhận được phương trỡnh (P).

Cỏch 2: (Sử dụng phương phỏp quĩ tớch): Điểm M(x; y; z) ∈ (P) cần dựng khi:d(M, (P¹)) = d(M, (P²)) ⇒ Phương trỡnh (P).

Với yờu cầu "Viết phương trỡnh mặt phẳng (Q) song song với (P¹), (P²) và d((Q), (P¹)) = k.d((Q), (P²))", chỳng ta sử dụng ý tương trong cỏch 2 của yờu cầu (2), cụ thể:

Điểm M(x; y; z) ∈ (Q) cần dựng khi:d(M, (P1)) = k.d(M, (P²)) ⇒ Phương trỡnh (Q).

Với yờu cầu "Viết phương trỡnh mặt cầu tiếp xỳc với (P¹) tại điểm M¹ và thoả món điều kiện K", chỳng ta thực hiện theo cỏc bước:

Bước 1. Gọi M2 là hỡnh chiếu vuụng gúc của M1 trờn (P2). Toạ độ của điểm M2 được xỏc định bằng cỏch:

1 2 2

2 2

M M (P ) M (P )

 ⊥

 ∈

 ^⇔

1 2

2 2

M M t.n M (P )

 =



 ∈

  . Bước 2. Với điều kiện K là:

a. Tiếp xỳc với (P²) thỡ mặt cầu cần dựng chớnh là mặt cầu đường kớnh M¹M².

b. Cắt (P2) theo thiết diện là đường trũn lớn thỡ mặt cầu cần dựng chớnh là mặt cầu tõm M2 và bỏn kớnh R = M1M2 = d.

Với yờu cầu "Viết phương trỡnh mặt cầu tiếp xỳc với (P¹) tại điểm M¹ và cắt (P²) theo thiết diện là đường trũn (C) cú bỏn kớnh bằng r", chỳng ta thực hiện theo cỏc bước:

Bước 1. Giả sử mặt cầu (S) cần dựng cú tõm I(x; y; z) và bỏn kớnh R. Ta lần lượt:

 (S) tiếp xỳc với (P¹) tại M¹ khi:M I₁ ⊥(P )₁ ⇔ M I₁ =t.n .

 (S) cắt (P2) theo thiết diện là đường trũn (C) cú bỏn kớnh bằng r khi:r² + M2I² = R² = M1I² ⇒ Giỏ trị t ⇒ Toạ độ tõm I.

Bước 2. Viết phương trỡnh mặt cầu (S) tõm I và bỏn kớnh R = M¹I.

Vớ dụ 3. Cho điểm M¹(2; 1; −3) và hai mặt phẳng (P¹), (P²) cú phương trỡnh:

(P1): x + y + 2z + 3 = 0,

(P²): x + (m − 2)y + (m − 1)z − 3m = 0.

1. Tỡm để (P¹) song song với (P²).

2. Với m tỡm được ở cõu 1) hóy:

a. Tỡm khoảng cỏch giữa hai mặt phẳng (P¹) và (P²).

b. Viết phương trỡnh mặt phẳng song song và cỏch đều hai mặt phẳng (P¹) và (P²).

c. Viết phương trỡnh mặt phẳng (Q) song song với (P¹), (P²) và d((Q), (P¹)) = 2d((Q), (P²)).

d. Viết phương trỡnh mặt cầu tiếp xỳc với (P¹) tại điểm M¹ và tiếp xỳc với (P²).

e. Viết phương trỡnh mặt cầu tiếp xỳc với (P¹) tại điểm M¹ và cắt (P²) theo thiết diện là đường trũn lớn.

f. Viết phương trỡnh mặt cầu tiếp xỳc với (P¹) tại điểm M¹ và cắt (P²) theo thiết diện là đường trũn (C) cú bỏn kớnh r=6 2.

Chỳ ý: Trong trường hợp hai mặt phẳng (P¹) và (P²) cắt nhau chỳng ta thường gặp thờm cõu hỏi:

1. Tớnh gúc giữa (P1) và (P2).

2. Viết phương trỡnh giao tuyến (d) của (P¹) và (P²).

3. Viết phương trỡnh mặt phẳng phõn giỏc của gúc tạo bởi (P1) và (P2).

4. Viết phương trỡnh mặt phẳng chứa (d) và thoả món điều kiện K.

5. Viết phương trỡnh mặt cầu tiếp xỳc với (P1) tại điểm M1 và:

a. Tiếp xỳc với (P²).

b. Cắt (P2) theo thiết diện là đường trũn lớn.

c. Cắt (P²) theo thiết diện là đường trũn (C) cú bỏn kớnh bằng r (hoặc biết chu vi, diện tớch của (C)).

Với yờu cầu "Tớnh gúc giữa (P¹) và (P²)", chỳng ta cú ngay:

 (P¹) cú vtpt n₁

(A¹; B¹; C¹) và (P²) cú vtpT là n₂

(A²; B²; C²).

 Gọi α là gúc tạo bởi hai mặt phẳng (P1) và (P2) (0 ≤ α ≤ 2

π), ta cú:

(7)

cosα = ¹ ²

1 2

n .n n . n

 

  ⁼ ₂ ¹ ₂² ₂¹ ² ₂ ¹ ₂² ₂

1 1 1 2 2 2

A A B B C C

A B C . A B C

+ +

+ + + + ^.

Lưu ý: Để (P¹) ⊥ (P²) ⇔ cosα = 0 ⇔ A¹A² + B¹B² + C¹C² = 0.

Với yờu cầu "Viết phương trỡnh giao tuyến (d) của (P¹) và (P²)", chỳng ta thực hiện theo cỏc bước sau:

Bước 1. Giao tuyến (d) của hai mặt phẳng (P¹) và (P²) gồm cỏc điểm M(x; y; z) thoả món hệ: ¹

2

(P ) (P )



 ^. ⁽¹⁾

Bước 2. Lựa chọn một trong cỏc cỏch sau:

Cỏch 1: Lấy điểm M∈(d) và gọi u

là vtcp của (d) thỡ:u= n , n ₁ ₂

.Từ đú, ta cú:(d): Qua M vtcp u



  ^. Cỏch 2: Lấy hai điểm M và N thuộc (d), ta cú:(d): Qua M

Qua N



 ^{⇔ (d):}

Qua M vtcp u MN



  = ^.

Cỏch 3: Đặt x = f¹(t) (hoặc y = f²(t) hoặc z = f³(t)) (t ∈ ), ta biến đổi hệ (1) về dạng:

1 2 3

x f (t) y f (t) z f (t)

 =

 =

 =

, t ∈ ^.

Đú chớnh là phương trỡnh tham số của đường thẳng (d).

Lưu ý: Như vậy, để thực hiện được yờu cầu này chỳng ta cần cú thờm kiến thức về đường thẳng trong khụng gian.

Với yờu cầu "Viết phương trỡnh mặt phẳng phõn giỏc của gúc tạo bởi (P¹) và (P²)", chỳng ta lập luận:

Mặt phẳng phõn giỏc (Q) của gúc tạo bởi hai mặt phẳng (P¹) và (P²) gồm cỏc điểm M(x; y; z) thoả món:

d(M, (P1)) = d(M, (P2)) ⇒ Hai mặt phẳng (Q1) và (Q2).

Với yờu cầu "Viết phương trỡnh mặt phẳng chứa (d) và thoả món điều kiện K", chỳng ta đó được thấy thụng qua yờu cầu "Viết phương trỡnh mặt phẳng đi qua hai điểm A, B và thoả món điều kiện K" trong dạng toỏn 2 và sẽ được thấy trong chủ đề về đường thẳng.

Với yờu cầu "Viết phương trỡnh mặt cầu tiếp xỳc với (P¹) tại điểm M¹ và thoả món điều kiện K", chỳng ta thực hiện theo cỏc bước:

Bước 1. Giả sử mặt cầu (S) cần dựng cú tõm I(x; y; z) và bỏn kớnh R.

(S) tiếp xỳc với (P1) tại điểm M1 suy ra:M I₁ ⊥(P )₁ ⇔ M I // n ₁ ₁

⇔ M I₁ =t.n₁ . Bước 2. Với điều kiện K là:

a. Tiếp xỳc với (P²) thỡ:M¹I = d(I, (P²)) ⇒ Giỏ trị tham số t ⇒ Toạ độ tõm I.

Lưu ý: Với giả thiết này chỳng ta cũn cú thể sử dụng phương trỡnh mặt phẳng phõn giỏc (Q1), (Q²) để xỏc định toạ độ tõm I.

b. Cắt (P²) theo thiết diện là đường trũn lớn thỡ:I ∈ (P²)) ⇒ Giỏ trị tham số t ⇒ Toạ độ tõm I.

c. Cắt (P²) theo thiết diện là đường trũn (C) cú bỏn kớnh r thỡ:

R² = d²(I, (P²)) + r² ⇔ M¹I² = d²(I, (P²)) + r² ⇒ Giỏ trị tham số t ⇒ Toạ độ tõm I.

Bước 3. Viết phương trỡnh mặt cầu (S) tõm I và bỏn kớnh R = M¹I.

Vớ dụ 4. Cho điểm M1(2; 5; 0) và hai mặt phẳng (P1), (P2) cú phương trỡnh: (P1): 3x − 2y − z + 4 = 0, (P2): x − 3y + 2z − 1 = 0.

a. Chứng tỏ rằng (P¹) cắt (P²) theo giao tuyến (d). Tớnh gúc giữa (P¹), (P²) và tỡm một vtcp của đường thẳng (d).

b. Viết phương trỡnh mặt phẳng phõn giỏc của gúc tạo bởi (P¹) và (P²).

c. Viết phương trỡnh mặt cầu tiếp xỳc với (P¹) tại điểm M¹ và tiếp xỳc với (P²).

d. Viết phương trỡnh mặt cầu tiếp xỳc với (P1) tại điểm M1 và cắt (P2) theo thiết diện là đường trũn lớn.

e. Viết phương trỡnh mặt cầu tiếp xỳc với (P1) tại điểm M1 và cắt (P2) theo thiết diện là đường trũn (C) cú bỏn kớnh r= 21/ 2.

Chỳ ý: Với ba mặt phẳng (P), (Q) và (R) cú chứa tham số chỳng ta thường gặp thờm cõu hỏi "Xỏc định giỏ trị của tham số để ba mặt phẳng (P), (Q) và (R) đụi một vuụng gúc với nhau. Tỡm điểm chung của cả ba mặt phẳng". Khi đú, chỳng ta thực hiện theo cỏc bước:

(8)

Bước 1. Tỡm cỏc vtpt n_P , n_Q

, n_R

của cỏc mặt phẳng (P), (Q), (R).

Bước 2. Để ba mặt phẳng (P), (Q), (R) đụi một vuụng gúc với nhau, điều kiện là:

P Q

P R

R Q

n n

 ⊥

 ⊥

 ⊥



 

 ^⇔

P Q P R

R Q

n .n 0 n .n 0 n .n 0

 =

 =

 =



 

  ^.

Bước 3. Toạ độ điểm chung I của ba mặt phẳng (P), (Q), (R) là nghiệm hệ phương trỡnh tạo bởi (P), (Q), (R).

Vớ dụ 5. Cho ba mặt phẳng (P), (Q) và (R) cú phương trỡnh: (P): x + y + z – 6 = 0; (Q): x – 2y + z = 0;

(R): kx + (m – 1)y – z + 2 = 0.

a. Xỏc định giỏ trị m và k để ba mặt phẳng đú cựng đi qua một đường thẳng.

b. Xỏc định giỏ trị m và k để ba mặt phẳng đú đụi một vuụng gúc với nhau. Tỡm điểm chung của cả ba mặt phẳng.

Hỡnh 1 Hỡnh 2 Hỡnh 3

Chỳ ý: 1. Trong phần này chỳng ta sẽ quan tõm nhiều hơn tới cỏc dạng toỏn:

Dạng 1: Viết phương trỡnh mặt phẳng tiếp xỳc với mặt cầu và thỏa món điều kiện K cho trước.

Dạng 2: Viết phương trỡnh mặt phẳng cắt mặt cầu theo giao tuyến là đường trũn (C) thỏa món điều kiện K cho trước.

Dạng 3: Viết phương trỡnh mặt cầu tiếp xỳc với mặt phẳng và thỏa món điều kiện K cho trước.

Dạng 4: Viết phương trỡnh mặt cầu cắt mặt phẳng theo giao tuyến là đường trũn (C) thỏa món điều kiện K cho trước.

2. Trong trường hợp mặt phẳng khụng cắt mặt cầu, cụ thể với mặt phẳng (P) (cú vtpt n(A; B; C)

) khụng cắt mặt cầu (S) (cú tõm I bỏn kớnh R) chỳng ta thường gặp thờm cỏc cõu hỏi:

1. Viết phương trỡnh mặt phẳng song song với (P) và:

I

P H

I

P H

I

P ^H

R Phương phỏp

Ta thực hiện theo cỏc bước:

Bước 1. Xỏc định tõm I và tớnh bỏn kớnh R của mặt cầu (S). Xỏc định d = d(I, (P) Bước 2. So sỏnh d với R để đưa ra kết luận:

 Nếu d > R ⇔ (P) ∩ (S) = ∅ (Hỡnh 1 trang bờn).

 Nếu d = R ⇔ (P) tiếp xỳc với (S) tại H (Hỡnh 2 trang bờn).

 Nếu d < R ⇔ (P) ∩ (S) = (C) là một đường trũn nằm trong mặt phẳng (P) (Hỡnh 3 trang bờn).

Và trong trường hợp này nếu (S): x² + y² + z²− 2ax − 2by − 2cz + d = 0, (P): Ax + By + Cz + D = 0, thỡ phương

trỡnh đường trũn (C) cú phương trỡnh: (C): .

DẠNG 4. Vị trớ tương đối của mặt cầu với mặt phẳng

(9)

a. Tiếp xỳc với (S).

b. Cắt (S) theo thiết diện là đường trũn lớn.

c. Cắt (S) theo thiết diện là đường trũn (C) cú bỏn kớnh bằng r (hoặc biết chu vi, diện tớch của (C)).

2. Viết phương trỡnh đường thẳng vuụng gúc với (P) và cắt (S) tại hai điểm A, B sao cho AB cú độ dài lớn nhất.

3. Viết phương trỡnh mặt cầu (S’) đối xứng với (S) qua (P).

4. Viết phương trỡnh mặt cầu tiếp xỳc với (P) và (S).

Ta lần lượt:

Với yờu cầu "Viết phương trỡnh mặt phẳng (Q) song song với (P) và thoả món điều kiện K", chỳng ta thực hiện theo cỏc bước:

Bước 1. Mặt phẳng (Q) song song với (P) nờn cú phương trỡnh:(Q): Ax + By + Cz + D = 0.

Bước 2. Với điều kiện K là:

a. (Q) tiếp xỳc với (S), suy ra:d(I, (Q)) = R ⇒ Giỏ trị của D ⇒ Phương trỡnh (Q).

b. (Q) cắt (S) theo thiết diện là đường trũn lớn, suy ra:

I ∈ (Q)) ⇒ Giỏ trị của D ⇒ Phương trỡnh (Q).

c. (Q) cắt (S) theo thiết diện là đường trũn (C) cú bỏn kớnh bằng r, suy ra:

2 2

d(I, (Q))= R −r ⇒ Giỏ trị của D

⇒ Phương trỡnh (Q).

Với yờu cầu "Viết phương trỡnh đường thẳng vuụng gúc với (P) và cắt (S) tại hai điểm B sao cho AB cú độ dài lớn nhất", chỳng ta thấy ngay đú là đường thẳng đi qua I và cú vtcp n

.

Với yờu cầu "Viết phương trỡnh mặt cầu (S’) đối xứng với (S) qua (P)", chỳng ta thực hiện theo cỏc bước:

Bước 1. Tỡm toạ độ điểm I’ đối xứng với I qua (P).

Bước 2. Mặt cầu (S') cú tõm I' và bỏn kớnh R.

Với yờu cầu "Viết phương trỡnh mặt cầu tiếp xỳc với (P) và (S)", cỏc em học sinh cần cú thờm kiến thức về đường thẳng để trỡnh bày theo cỏc bước:

Bước 1. Gọi (T) là mặt cầu thoả món điều kiện đầu bài và giả sử (T) tiếp xỳc với (S), (P) theo thứ tự tại M và H (H chớnh là hỡnh chiếu vuụng gúc của I trờn (P)), suy ra M, H, I thuộc (d) cú phương trỡnh cho bởi:

Qua I (d) :

vtcp n



 ^.

Bước 2. Tiếp điểm H của (T) với mặt phẳng (P) là giao điểm của (d) với (P).

Bước 3. Tiếp điểm M của (T) với mặt cầu (S) là giao điểm của (d) với (S).

Bước 4. Viết phương trỡnh mặt cầu đường kớnh MH.

1. caực vớ duù minh hoùa

Vớ dụ 1. Cho mặt phẳng (P) và mặt cầu (S) cú phương trỡnh:

(P): 2x − 3y + 2z − 3 = 0,

( ) (

²

) (

²

)

²

(S) : x−8 + y+8 + z−7 =68.

a. Xỏc định vị trớ tương đối của mặt phẳng (P) và mặt cầu (S).

b. Viết phương trỡnh mặt phẳng song song với mặt phẳng (P) và tiếp xỳc với mặt cầu (S).

c. Viết phương trỡnh mặt phẳng song song với (P) và cắt (S) theo thiết diện là đường trũn lớn.

d. Viết phương trỡnh mặt phẳng song song với (P) và cắt (S) theo thiết diện là đường trũn (C) cú bỏn kớnh bằng r= 51.

e. Viết phương trỡnh mặt cầu (S’) đối xứng với (S) qua (P).

f. Viết phương trỡnh mặt cầu tiếp xỳc với (P) và (S).

Chỳ ý: Trong trường mặt phẳng (P) (cú vtpt n(A; B; C)

) tiếp xỳc với mặt cầu (S) (cú tõm I bỏn kớnh R) tại điểm M chỳng ta thường gặp thờm cỏc cõu hỏi:

1. Tỡm tọa độ tiếp điểm M của (P) và (S).

(10)

c. Cắt (S) theo thiết diện là đường trũn (C) cú bỏn kớnh bằng r (hoặc biết chu vi, diện tớch của (C)).

3. Viết phương trỡnh đường thẳng qua M và cắt mặt cầu (S) tại điểm N sao cho MN cú độ dài lớn nhất.

Với yờu cầu "Tỡm tọa độ tiếp điểm M của (P) và (S)", chỳng ta thấy ngay M chớnh là hỡnh chiếu vuụng gúc của I trờn (P).

Với yờu cầu "Viết phương trỡnh mặt phẳng (Q) song song với (P) và thoả món điều kiện K", được thực hiện tương tự như trong trường hợp (P) khụng cắt (S). Tuy nhiờn, với yờu cầu (2.a) chỳng ta cũn cú thể thực hiện như sau:

Bước 1. Giả sử mặt phẳng (Q) cần dựng tiếp xỳc với (S) tại điểm N, suy ra N là điểm đối xứng với M qua I.

Bước 2. Phương trỡnh mặt phẳng (Q) được cho bởi: Qua N (Q) :

vtpt n



  .

Với yờu cầu "Viết phương trỡnh đường thẳng (d) qua M và cắt mặt cầu (S) tại điểm N sao cho MN cú độ dài lớn nhất", chỳng ta thấy ngay đường thẳng (d) đi qua hai điểm M và I.

Với yờu cầu "Viết phương trỡnh mặt cầu (S’) đối xứng với (S) qua (P)", chỳng ta thực hiện theo cỏc bước:

Bước 1. Tỡm toạ độ điểm I’ đối xứng với I qua (P), suy ra I' đối xứng với I qua M.

Bước 2. Mặt cầu (S') cú tõm I' và bỏn kớnh R.

Vớ dụ 2. Cho mặt phẳng (P) và mặt cầu (S) cú phương trỡnh:(P): 2x − y + 2z − 5 = 0, ^{(S) : x}

(

⁻³

)

²⁺^y² ⁺

(

^z⁻⁴

)

² ⁼⁹^.

a. Chứng tỏ rằng mặt phẳng (P) tiếp xỳc với mặt cầu (S). Tỡm toạ độ tiếp điểm M của (P) và (S).

d. Viết phương trỡnh mặt phẳng song song với (P) và chia (S) thành hai phần cú tỉ số thể tớch bằng 7 20^. e. Viết phương trỡnh mặt cầu (S’) đối xứng với (S) qua (P).

Chỳ ý: Trong trường mặt phẳng (P) (cú vtpt n(A; B; C)

) cắt mặt cầu (S) (cú tõm I bỏn kớnh R) theo thiết diện là đường trũn (C) chỳng ta thường gặp thờm cỏc cõu hỏi:

1. Xỏc định toạ độ tõm và tớnh bỏn kớnh của (C).

c. Cắt (S) theo thiết diện là đường trũn (C’) cú bỏn kớnh bằng r (hoặc biết chu vi, diện tớch của (C’)).

3. Viết phương trỡnh đường thẳng vuụng gúc với (P) và cắt (S) tại hai điểm A, B sao cho AB cú độ dài lớn nhất.

5. Viết phương trỡnh mặt cầu tiếp xỳc với (P) và (S).

Với yờu cầu "Xỏc định toạ độ tõm và tớnh bỏn kớnh của (C)", chỳng ta thực hiện theo cỏc bước:

Bước 1. Bỏn kớnh r^C của (C) được xỏc định bởi r_C= R²−d(I, (P)). Bước 2. Toạ độ tõm của (C) chớnh là hỡnh chiếu vuụng gúc M của I trờn (P).

Với yờu cầu "Viết phương trỡnh mặt phẳng (Q) song song với (P) và thoả món điều kiện K", được thực hiện tương tự như trong trường hợp (P) khụng cắt (S). Tuy nhiờn, với yờu cầu "Viết phương trỡnh mặt phẳng (Q) song song với (P) và cắt (S) theo thiết diện là đường trũn cú bỏn kớnh bằng (C)" chỳng ta cũn cú thể thực hiện như sau:

Bước 1. Giả sử mặt phẳng (Q) cần dựng cắt (S) theo thiết diện là đường trũn cú tõm N, suy ra N là điểm đối xứng với M qua I.

Bước 2. Phương trỡnh mặt phẳng (Q) được cho bởi: Qua N (Q) :

vtpt n



  .

Cỏc yờu cầu cũn lại được thực hiện tương tự như trong trường hợp (P) khụng cắt (S).

Vớ dụ 3. Cho mặt phẳng (P) và mặt cầu (S) cú phương trỡnh:(P): x + 2y + 3z − 10 = 0, ^{(S) : x}

(

⁻²

)

²⁺^y²⁺

(

^z⁺²

)

²⁼⁵⁶.

(11)

a. Chứng tỏ rằng mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đường trũn (C). Xỏc định toạ độ tõm M và tớnh bỏn kớnh r của (C).

d. Viết phương trỡnh mặt phẳng song song với (P) và cắt (S) theo thiết diện là đường trũn cú bỏn kớnh bằng r.

e. Viết phương trỡnh mặt cầu (S’) đối xứng với (S) qua (P).

f. Viết phương trỡnh mặt cầu tiếp xỳc với (P) và (S).

1i. Baứi taọp tửù luaọn tửù luyeọn

Bài 1 Lập phương trỡnh mặt phẳng ( )P bi�