Bài giảng hệ tọa độ trong không gian – Nguyễn Bảo Vương - Học Tập Trực Tuyến Cấp 1,2,3 - Hoc Online 247

(1)

Giảng dạy: nguyễn bảo vương - ^0946798489 Page | 1 O

( )

i1;0;0

( )

j 0;1;0

( )

 0;0;1 k

z

y x

A.TểM TẮT Lí THUYẾT 1. Tọa độ của vectơ

a) Định nghĩa: u



x y z^{; ;}



 u xiy jzk

với   i j k, ,

là cỏc vectơ đơn vị, tương ứng trờn cỏc trục Ox Oy Oz, , . b) Tớnh chất: Cho hai vectơ a



a a a1; ;2 3



,b



b b b1; ;2 3



và k là số thực tựy ý, ta cú:

•a b  



a1b a1; 2b a2; 3b3



.

•a b  



a1b a1; 2b a2; 3b3



.

•k a.



ka ka ka1; 2; 3



.

• ¹₂ ¹₂

3 3

a b

a b a b

a b

 

    

  .

• a

cựng phương

 

¹² ¹² ¹ ² ³

1 2 3

3 3

0

a kb

a a a

b b a kb

b b b

a kb

 

     

 

  

với b b b1, ,2 3 0.

•a b . a b_{1 1}. a b₂. ₂a b₃. ₃ .

•a b  a b . 0  a b_{1 1}. a b₂. ₂a b₃. ₃0 .

•a²a1²a2²a3²

, suy ra a  a²  a1²a2²a3²

.

•

 

2 ^{1 1}2 2^{2 2} 2 ^{3 3}2 2

1 2 3 1 2 3

cos ; .

. .

a b a b a b a b a b

a a a b b b

a b

 

 

   

   

  với a0, 0.  b

2. Tọa độ của điểm

a) Định nghĩa: ^{M x y z}



^{; ;}



^^OM^^



^{x y z}^{; ;}



⁽^x: hoành độ, y tung độ, z cao độ).

Chỳ ý: Trong hệ tọa độ Oxyz, cho điểm ^{M x y z}



^{; ;}



ta cú cỏc khẳng định sau:

• ^M  ^O ^M



^0;0;0



.

• ^M 



^Oxy



 ^z ⁰, tức là ^{M x y}



^{; ;0 .}



• ^M 



^Oyz



 ^x ⁰, tức là ^M



^{0; ; .}^{y z}



• ^M 



^Oxz



 ^y ⁰, tức là ^{M x}



^{;0; .}^z



• M Ox   y z 0, tức là ^{M x}



^{;0;0 .}



• M Oy   x z 0, tức là M



0; ;0 .y



1. HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHễNG GIAN

(2)

Giảng dạy: nguyễn bảo vương - ^0946798489 Page | 2

• M Oz   x y 0, tức là M



0;0; .z



b) Tớnh chất: Cho bốn điểm khụng đồng phẳng A x y z



A^; A^; A

 

^{, ;}B x y zB B^; B



^{, ;}C x y z



C C^; C



và D x y z



D^; D^; D



.

•AB



xBx yA^; By zA^; BzA



.

•AB AB



xBxA

 

² yByA

 

² zBzA



² .

• Tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB là ; ;

2 2 2

A B A B A B

x x y y z z

I    .

• Tọa độ trọng tõm G của tam giỏc ABC là ; ;

3 3 3

A B C A B C A B C

x x x y y y z z z

G       .

• Tọa độ trọng tõm G của tứ diện ABCD là ; ;

4 4 4

A B C D A B C d A B C D

x x x x y y y y z z z z

G          . 3. Tớch cú hướng của hai vectơ

a) Định nghĩa: Trong khụng gian Oxyz, cho hai vectơ a



a a a1; ;2 3



, ; ;b



b b b1 2 3



. Tớch cú hướng của hai vectơ a và b

là một vectơ, kớ hiệu là a b, 

 

 

  và được xỏc định như sau:

 

2 3 3 1 1 2

2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1

2 3 3 1 1 2

, ; ; ; ;

a a a a a a

a b a b a b a b a b a b a b

b b b b b b

 



     

   

   

  .

b) Tớnh chất

•a

cựng phương với b

, 0

a b

 

   .

•a b, 

 

 

  vuụng gúc với cả hai vectơ a và b

.

•b a,  a b, 

   

.

• ^^{a b}^, ^{ } ^{a b}^{. .sin ;}

 

^{a b}

     

. c) Ứng dụng

• Xột sự đồng phẳng của ba vectơ:

+) Ba vộctơ a b c  ; ;

đồng phẳng a b c, . 0

   .

+) Bốn điểm A B C D, , , tạo thành tứ diện AB AC AD, . 0

  

.

• Diện tớch hỡnh bỡnh hành: S_ABCD AB AD, 

 

.

• Tớnh diện tớch tam giỏc: 1 2 ,

S_ABC  AB AC

 

.

(3)

• Tớnh thể tớch hỡnh hộp: VABCD A B C D_{. ' ' ' '} AB AC AD, .

  

.

• Tớnh thể tớch tứ diện: ¹ , .

ABCD 6

V  AB AC AD

  

. 4. Phương trỡnh mặt cầu

● Mặt cầu tõm I a b c



; ;



, bỏn kớnh R cú phương trỡnh

  

S ^: x a

 

² y b

 

² z c



² R².

● Xột phương trỡnh x²y²z²2ax2by2cz d 0.

 

^* Ta cú

 

^* ^



^x²^²^ax

 

^ ^y²^²^by

 

^ ^z²^²^cz



^{ }^d

^.



x a

 

² y b

 

² z c



²  d a² b² c²

Để phương trỡnh

 

^* là phương trỡnh mặt cầu  a²  b² c² d. Khi đú

 

S cú

 

2 2 2

tõm ; ;

bỏn kớnh I a b c

R a b c d

   

    

 .

● Đặc biệt:

 

S : x²y²z² R², suy ra

 

S cú ^{tõm 0;0;0}

 

bỏn kớnh O

R



 .

B.PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN

1. caực vớ duù minh hoùa

Vớ dụ 1. Cho ba điểm A(1; 2; 3), B(3; 5; 4), C(3; 0; 5).

a.

Chứng minh A, B, C là ba đỉnh của một tam giỏc.

b.

Tớnh chu vi, diện tớch của ∆ABC.

c.

Tỡm toạ độ điểm D để ABCD là hỡnh bỡnh hành và tớnh cụsin gúc giữa hai vectơ AC

và BD

.

d.

Tớnh độ dài đường cao h^A của ∆ABC kẻ từ A.

e.

Tớnh cỏc gúc của ∆ABC.

f.

Xỏc định toạ độ trực tõm H của ∆ABC.

g.

Xỏc định toạ độ tõm đường trũn ngoại tiếp ∆ABC.

Vớ dụ 2. Trong khụng gian Oxyz, cho bốn điểm A(5; 3; −1), B(2; 3; −4), C(1; 2; 0), D(3; 1; −2).

a.

Tỡm tọa độ cỏc điểm A1, A2 theo thứ tự là cỏc điểm đối xứng với điểm A qua mặt phẳng (Oxy) và trục Oy.

b.

Chứng minh rằng A, B, C, D là bốn đỉnh của một hỡnh tứ diện.

c.

Tớnh thể tớch khối tứ diện ABCD.

d.

Chứng minh rằng hỡnh chúp D.ABC là hỡnh chúp đều.

e.

Tỡm tọa độ chõn đường cao H của hỡnh chúp D.ABC.

f.

Chứng minh rằng tứ diện ABCD cú cỏc cạnh đối vuụng gúc với nhau.

Phương phỏp

Sử dụng cỏc kết quả trong phần:

Tọa độ của vectơ.

Tọa độ của điểm.

Liờn hệ giữa tọa độ vectơ và tọa độ hai điểm mỳt.

Vấn đề 1. CÁC ĐỊNH TỌA ĐỘ CỦA ĐIỂM, TỌA ĐỘ VECTƠ

(4)

g.

Tỡm tọa độ điểm I cỏch đều bốn điểm A, B, C, D.

1. caực vớ duù minh hoùa

Vớ dụ 1. Cho họ mặt cong (Sm) cú phương trỡnh:(Sm): (x − 2)² + (y − 1)² + (z − m)² = m² − 2m + 5.

a.

Tỡm điều kiện của m để (S^m) là một họ mặt cầu.

b.

Tỡm mặt cầu cú bỏn kớnh nhỏ nhất trong họ (Sm).

c.

Chứng tỏ rằng họ (S^m) luụn chứa một đường trũn cố định.

Vớ dụ 2. Cho họ mặt cong (S^m) cú phương trỡnh:(S^m): x² + y² + z² - 2m²x - 4my + 8m² - 4 = 0.

a.

Tỡm điều kiện của m để (S^m) là một họ mặt cầu.

b.

Chứng minh rằng tõm của họ (S^m) luụn nằm trờn một Parabol (P) cố định trong mặt phẳng Oxy, khi m thay đổi.

c.

Trong mặt phẳng Oxy, gọi F là tiờu điểm của (P). Giả sử đường thẳng (d) đi qua F tạo với chiều dương của trục Ox một gúc α và cắt (P) tại hai điểm M, N.

 Tỡm toạ độ trung điểm E của đoạn MN theo α.

 Từ đú suy ra quỹ tớch E khi α thay đổi.

1. caực vớ duù minh hoùa Phương phỏp

Với phương trỡnh cho dưới dạng chớnh tắc:(S): (x − a)² + (y − b)² + (z − c)² = k, với k > 0 ta lần lượt cú:

Bỏn kớnh bằng R = .

Tọa độ tõm I là nghiệm của hệ phương trỡnh:

⇔ ⇒ I(a; b; c).

Với phương trỡnh cho dưới dạng tổng quỏt ta thực hiện theo cỏc bước:

Bước 1: Chuyển phương trỡnh ban đầu về dạng:(S): x² + y² + z² − 2ax − 2by − 2cz + d = 0. (1) Bước 2: Để (1) là phương trỡnh mặt cầu điều kiện là:a² + b² + c² − d > 0.

Bước 3: Khi đú (S) cú thuộc tớnh: .

Vấn đề 2. PHƯƠNG TRèNH MẶT CẦU

Phương phỏp

Gọi (S) là mặt cầu thoả món điều kiện đầu bài. Chỳng ta lựa chọn phương trỡnh dạng tổng quỏt hoặc dạng chớnh tắc.

Khi đú:

1.

Muốn cú phương trỡnh dạng chớnh tắc, ta lập hệ 4 phương trỡnh với bốn ẩn a, b, c, R, điều kiện R > 0. Tuy nhiờn, trong trường hợp này chỳng ta thường chia nú thành hai phần, bao gồm:

 Xỏc định bỏn kớnh R của mặt cầu.

 Xỏc tõm I(a; b; c) của mặt cầu.

Từ đú, chỳng ta nhận được phương trỡnh chớnh tắc của mặt cầu.

2.

Muốn cú phương trỡnh dạng tổng quỏt, ta lập hệ 4 phương trỡnh với bốn ẩn a, b, c, d, điều kiện a² + b² + c² − d >

Chỳ ý: 1. Cần phải cõn nhắc giả thiết của bài toỏn thật kỹ càng để lựa chọn dạng phương trỡnh thớch hợp. 0.

2. Trong nhiều trường hợp đặc thự chỳng ta cũn sử dụng phương phỏp quỹ tớch để xỏc định phương trỡnh mặt cầu.

Vấn đề 3. VIẾT PHƯƠNG TRèNH MẶT CẦU

(5)

Giảng dạy: nguyễn bảo vương - ^0946798489 Page | 5 Vớ dụ 1. Viết phương trỡnh mặt cầu trong cỏc trường hợp sau:

a.

Đường kớnh AB với A(3; −4; 5), B(−5; 2; 1).

b.

Tõm I(3; −2; 1) và đi qua điểm C(−2; 3; 1).

Vớ dụ 2. Viết phương trỡnh mặt cầu đi qua hai điểm A(1; 2; 2), B(0; 1; 0) và tõm I thuộc trục Oz.

Vớ dụ 3. Viết phương trỡnh mặt cầu đi qua ba điểm A(2; 1; 1), B(1; 1; 0), C(0; 2; 4) và cú tõm nằm trờn mặt phẳng (Oyz).

Vớ dụ 4. Lập phương trỡnh mặt cầu đi qua ba điểm A(2; 1; 1), B(1; 1; 0), C(0; 2; 4) và cú bỏn kớnh bằng 5. Vớ dụ 5. Cho bốn điểm A(1; 1; 1), B(1; 2; 1), C(1; 1; 2) và D(2; 2; 1).

a.

Chứng tỏ rằng A, B, C, D khụng đồng phẳng. Tớnh thể tớch tứ diện ABCD.

b.

Lập phương trỡnh mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.

Vớ dụ 6. Viết phương trỡnh mặt cầu:

a.

Cú tõm I(2; 1; −6) và tiếp xỳc với trục Ox.

b.

Cú tõm I(2; −1; 4) và tiếp xỳc với mặt phẳng (Oxy).

c.

Cú tõm O(0; 0; 0) tiếp xỳc với mặt cầu (T) cú tõm I(3; –2; 4), bỏn kớnh bằng 1.

Vớ dụ 7. Lập phương trỡnh mặt cầu:

a.

Cú tõm nằm trờn tia Ox, bỏn kớnh bằng 5 và tiếp xỳc với mặt phẳng (Oyz).

b.

Cú bỏn kớnh bằng 2 và tiếp xỳc với (Oxy) tại điểm M(3; 1; 0).

1i. Baứi taọp tửù luaọn tửù luyeọn Bài 1

1. Trong khụng gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba vộc tơ a2i3j5 , 3k b   j 4 , k c   i 2j a) Xỏc định tọa độ cỏc vộc tơ a b c  , ,

, x3a2b

và tớnh x

b) Tỡm giỏ trị của x để vộc tơ ^y^^



²^x^{ }^1; ^{x x}^{; 3} ^²



vuụng gúc với vộc tơ 2b c  c) Chứng minh rằng cỏc vộc tơ a b c  , ,

khụng đồng phẳng và phõn tớch vộc tơ ^u^^



^{3;7; 14}^



qua ba vộc tơ a b c  , , . 2. Trong khụng gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho cỏc vộc tơ a2i3  jk b,   i 2 , 2k c  j3k

a) Xỏc định tọa độ cỏc vộc tơ a b c  , , b) Tỡm tọa độ vộc tơ u2a3b4c

và tớnh u c) Tỡm x để vộc tơ v(3x1;x2; 3x)

vuụng gúc với b d) Biểu diễn vộc tơ x(3;1;7)

qua ba vộc tơ a b c  , , . Bài 2

1. Cho hai vộc tơ a b, cú a 2 3, b 3,( , )a b  30 .⁰ Tớnh a) Độ dài cỏc vộc tơ ab a, 52 , 3b a 2 ,b

b) Độ dài vộc tơ a b, ,   a b, 3 , 5 , 2 .    a  b

  

2. Tỡm điều kiện của tham số m sao cho

a) Ba vộc tơ u(2;1;m v m), (  1; 2; 0), (1; 1;2)w  đồng phẳng.

b) A(1; 1; ), ( ; 3;2 m B m m1), (4; 3;1), (C D m 3; m;2m) cựng thuộc một mặt phẳng.

c) Gúc giữa hai vộc tơ a(2; ;2m m1), ( ;2; 1)b m  là 60 .⁰

Bài 3 Cho tam giỏc ABC cú B( 1;1; 1), (2; 3;5).  C Điểm A cú tung độ là ¹,

3 hỡnh chiếu của điểm A trờn BC là 1; ; 37

K 3  và diện tớch tam giỏc ABC là ⁴⁹. S  3 1. Tỡm tọa độ đỉnh A biết A cú hoành độ dương.

2. Tỡm tọa độ chõn đường vuụng gúc hạ từ B đến AC.

3. Tỡm tọa độ tõm I của đường trũn ngoại tiếp và tọa độ trực tõm H của tam giỏc ABC.

(6)

Giảng dạy: nguyễn bảo vương - ^0946798489 Page | 6 4. Chứng minh HG 2GI

với G là trọng tõm tam giỏc ABC. Bài 4 Cho tứ diện ABCD cú cỏc cặp cạnh đối bằng nhau. Tọa độ cỏc điểm A(2; 4;1), (0; 4; 4), (0; 0;1)B C và D cú hoành độ dương.

1. Xỏc định tọa độ điểm D.

2. Gọi G là trọng tõm của tứ diện ABCD. Chứng minh rằng G cỏch đều cỏc đỉnh của tứ diện.

3. Gọi M N, lần lượt là trung điểm của AB CD, . Chứng minh rằng MN là đường vuụng gúc chung của hai đường thẳng AB và CD.

4. Tớnh độ dài cỏc đường trọng tuyến của tứ diện ABCD.Tớnh tổng cỏc gúc phẳng ở mỗi đỉnh của tứ diện ABCD. Bài 5 Trong khụng gian Oxyz cho bốn điểm A(0;2; 0), ( 1; 0; 3),B  C(0; 2; 0), D(3;2;1).

1. Chứng minh rằng bốn điểm A B C D, , , khụng đồng phẳng;

2. Tớnh diện tớch tam giỏc BCD và đường cao BH của tam giỏc BCD; 3. Tớnh thể tớch tứ diện ABCD và đường cao của tứ diện hạ từ A; 4. Tỡm tọa độ E sao cho ABCE là hỡnh bỡnh hành;

5. Tớnh cosin của gúc giữa hai đường thẳng AC và BD; 6. Tỡm điểm M thuộc Oy sao cho tam giỏc BMC cõn tại ;

7. Tỡm tọa độ trọng tõm G của tứ diện ABCD và chứng minh A G A, , ’ thẳng hàng với A' là trọng tõm tam giỏc BCD .

Bài 6 Cho tam giỏc ABC cú A(2; 3;1), ( 1;2; 0), (1;1; 2).B C  1. Tỡm tọa độ chõn đường vuụng gúc kẻ từ A xuống BC . 2. Tỡm tọa độ H là trực tõm của tam giỏc ABC .

3. Tỡm tọa độ I là tõm đường trũn ngoại tiếp của tam giỏc ABC .

4. Gọi G là trọng tõm của tam giỏc ABC . Chứng minh rằng cỏc điểm G H I, , nằm trờn một đường thẳng.

Bài 7

Trong khụng gian với hệ tọa độ Đề Cỏc vuụng gúc Oxyz cho tam giỏc đều ABC cú A(5; 3; 1), (2; 3; 4) B  và điểm C nằm trong mặt phẳng (Oxy) cú tung độ nhỏ hơn 3.

a) Tỡm tọa độ điểm D biết ABCD là tứ diện đều.

b) Tỡm tọa độ điểm S biết SA SB SC, , đụi một vuụng gúc.

Bài 8

Trong khụng gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm ^A



^{3; 2; 4}^



a) Tỡm tọa độ cỏc hỡnh chiếu của A lờn cỏc trục tọa độ và cỏc mặt phẳng tọa độ b) Tỡm M Ox N, Oy sao cho tam giỏc AMN vuụng cõn tại A

c) Tỡm tọa độ điểm E thuộc mặt phẳng (Oyz) sao cho tam giỏc AEB cõn tại E và cú diện tớch bằng 3 29 với



^{1; 4; 4}



B   . Bài 9

Trong khụng gian với hệ trục Oxyz cho A(4; 0; 0), ( ; ; 0)B x y₀ ₀ với x y₀, ₀ 0 thỏa món AB2 10 và AOB^ 45⁰. a) Tỡm C trờn tia Oz sao cho thể tớch tứ diện OABC bằng 8.

b) Gọi G là trọng tõm ABO và M trờn cạnh AC sao cho AM x. Tỡm x để OM GM. 1ii. Baứi taọp traộc nghieọm tửù luyeọn

Vấn đề 1. TỌA ĐỘ CỦA VECTƠ

Cõu 1. Trong khụng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba vectơ

2 3 5

a i j k

, b  3j 4k

, c  i 2j . Khẳng định nào sau đõy đỳng?

A. a



2;3; 5 , 3;4;0 , 1; 2;0



b 

 

c  

 

.

B. a



2;3; 5 , 3;4;0 , 0; 2;0



b 

 

c







. C. a



2;3; 5 , 0; 3;4 , 1; 2;0



b







c  

 

. D. a



2;3; 5 , 1; 3;4 , 



b 

 

c  



1; 2;1



.

Cõu 2. Trong khụng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai vectơ



^0;1;3



a

và b 



^2;3;1



. Nếu 2x3a4b

thỡ tọa độ của vectơ x

là:

(7)

Giảng dạy: nguyễn bảo vương - ^0946798489 Page | 7 A. 4; ;⁹ ⁵

2 2

x   

 . B. 4; ^{9 5};

x 2 2

 .

C. 4; ;⁹ ⁵

2 2

x  

 . D. 4; ^{9 5};

x   2 2

 .

Cõu 3. Trong khụng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba vectơ



^{2; 1;3}



a 

, b 



^{1; 3;2}



và c



^{3;2; 4}



.

Gọi x

là vectơ thỏa món:

. 5

. 11

. 20 x a x b x c

  

 

 



 

  . Tọa độ của vectơ x

là:

A.



^2;3;1



. B.



^{2;3; 2}



. C.



^{3;2; 2}



. D.



^1;3;2



. Cõu 4. Trong khụng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba vectơ



^1;1;0



a 

, b



^1;1;0



và ^{1;1;1 .}c

 

Trong cỏc khẳng định sau, khẳng định nào sai?

A. a  2.

B. c  3.

C. ab.

D. cb.

Cõu 5. Trong khụng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba vectơ



1;1;0 , 1;1;0

  

a  b

 

và ^c^^



^1;1;1



^. Trong cỏc khẳng định sau, khẳng định nào đỳng?

A. a c . 1

. B. a b ,

cựng phương.

C. ^{cos ,}

 

^{b c}^{ } ^ ²₆^. ^D.^{a b c}^{  }^{  }⁰^.

Cõu 6. Trong khụng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho cỏc vectơ



^{3, 2,1}



p 

 , ^{1,1, 2}q 







, r



^{2,1, 3}



và



^{11, 6,5}



c 

. Khẳng định nào sau đõy là đỳng ? A. c3p2q r 

. B. c2p3q r  . C. c2p3q r 

. D. c3p2q2r .

Cõu 7. Trong khụng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho cỏc vectơ



2;3;1 , 1;5;2

  

a b 

, ^c^^



^{4; 1;3}^



^và^x^^{ }



^3,22,5



. Đẳng thức nào đỳng trong cỏc đẳng thức sau?

A. x2a3b c 

. B. x 2a3b c  . C. x2a3b c 

. D. x2a 3b c  .

Cõu 8. Trong khụng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba vectơ



1;0; 2 , 2;1;3

  

a  b 

, ^c^^{ }



^4;3;5



. Tỡm hai số thực m, n sao cho m a n b. . c

ta được:

A. m2; 3.n  B. m 2; 3.n  C. m2; 3.n Cõu 9. Trong khụng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai vectơ



^2; ^{1; 1}



a m 

và ^b^^{ }



^{1; 3;2}



. Với những giỏ trị nguyờn nào của m thỡ ^{b a b}^{  }



² ^



^⁴^?

A. 4. B. 4. C. 2. D. 2.

Cõu 10. Trong khụng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai vectơ ^u^^



^m^{; 2;}^ ^m^¹



^và^v^^



^0;^m^^2;1



^.

Tất cả giỏ trị của m cú thể cú để hai vectơ u và v

cựng phương là:

A. m 1. B. m0. C. m1. D. m2.

Cõu 11. Trong khụng gian với hệ tọa độ Oxyz, để hai vectơ



^;2;3



a m

và ^b^^



^{1; ;2}ⁿ



cựng phương, ta phải cú:

A.

1 2 4 3 m n

 



 

. B.

3 2 4 3 m n

 



 

. C.

3 2 2 3 m n

 



 

. D.

2 3 4 3 m n

 



 

.

Cõu 12. Trong khụng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai vectơ a



2;1; 2



và ^b^^



^0;^ ^{2; 2}



^{. Tất cả}^{giỏ trị}

của m để hai vectơ u2a3mb và vma b vuụng gúc là:

A. 26 2

6

  . B. 26 2 6

  .

C. 26 2 6

 . D. 2

 6 .

Cõu 13. Trong khụng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho vectơ



^{1;1; 2}



u 

và ^v^^



^1;0;^m



. Tỡm tất cả cỏc giỏ trị của m để gúc giữa hai vectơ u

và v

cú số đo bằng 45⁰: Một học sinh giải như sau:

(8)

Bước 1:

 

2

cos , 1 2

6. 1

u v m

m

 



  .

Bước 2: Gúc giữa hai vectơ u và v

cú số đo bằng 45⁰ nờn suy ra

2 2

1 2 1

1 2 3. 1

6. 1 2

m m m

m

     

 .

 

^*

Bước 3: Phương trỡnh

  

^* ^{1 2}



² ²



² ¹



² ⁴ ² ⁰ ² ⁶^.

2 6

m m m m m

m

  

         

  

Bài giải trờn đỳng hay sai? Nếu sai thỡ sai ở bước nào?

A. Đỳng B. Sai ở bước 1 C. Sai ở bước 2 D. Sai ở bước 3

Cõu 14. Trong khụng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai vectơ a và b

thỏa món a 2 3, 3b 

và

 

^{a b}^{ }^, ^³⁰⁰^{. Độ dài}

của vectơ 3a2b bằng:

A. 54. B. 54. C. 9. D. 6.

Cõu 15. Trong khụng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho vectơ



^{2; 1;2}



u 

và vectơ đơn vị v

thỏa món u v  4.

Độ dài của vectơ u v  bằng:

A. 4. B. 3. C. 2. D. 1.

Cõu 16. Trong khụng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai vectơ a

và b

thỏa món a 2, 5b 

và

 

^{a b}^{ }^, ^³⁰⁰^.

Độ dài của vectơ a b, 

 

 

  bằng:

A. 10. B. 5. C. 8. D. 5 3. Cõu 17. Trong khụng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai vectơ a

và b

thỏa món a 2 3, 3b 

và

 

^{a b}^{ }^, ^³⁰⁰^{. Độ dài}

của vectơ 5 , 2a b

 

bằng:

A. 3 3. B. 9. C. 30 3. D. 90.

Cõu 18. Trong khụng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai vectơ u

và v

thỏa món u 2

, v 1

và

 

^{u v}^{ }^, ^⁶⁰⁰^.

Gúc giữa hai vectơ v

và u v  bằng:

A. 30 .⁰ B. 45 .⁰ C. 60 .⁰ D. 90 .⁰

Vấn đề 2. TỌA ĐỘ CỦA ĐIỂM

Cõu 19. Trong khụng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn điểm

(

2;0;0 , 0;2;0 , 0;0;2

) ( ) ( )

A B C và ^D

(

^2;2;2

)

^{. Gọi}^{M N}^,

lần lượt là trung điểm của AB và CD. Tọa độ trung điểm I của MN là:

A. ^_ ^_

 

1 1; ;1

I 2 2 .B. ^I

(

^1;1;0

)

^{. C.}^I

(

^{1; 1;2}⁻

)

^. ^D.^I

(

^1;1;1

)

^.

Cõu 20. Trong khụng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai vectơ a=

(

^{1;1; 2}−

)

, b= −

(

^{3;0; 1}−

)

và điểm ^A

(

^0;2;1

)

^{. Tọa}

độ điểm M thỏa món =  − AM 2a b là:

A. ^M

(

^−5;1;2

)

.B. ^M

(

^{3; 2;1}⁻

)

.C. ^M

(

^{1;4; 2}⁻

)

.D. ^M

(

^{5;4; 2}⁻

)

. Cõu 21. Trong khụng gian với hệ tọa độ Oxyz, hỡnh chiếu

của điểm ^M



^{1; 3; 5} 



trờn mặt phẳng



^Oxy



cú tọa độ là:

A.



^{1; 3;5}



. B.



^{1; 3;0}



. C.



^{1; 3;1}



. D.



^{1; 3;2}



. Cõu 22. Trong khụng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm



^{3;2; 1}



M   . Tọa độ điểm M' đối xứng với M qua mặt phẳng



Oxy



là:

A.^M^'



^3;2;1



. B.^M^{' 3;2;1}

 

. C.^M^{' 3;2 1}







. D.^M^{' 3; 2; 1}



 



. Cõu 23. Trong khụng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm



2016; 1; 2017



M   . Hỡnh chiếu vuụng gúc của điểm M trờn trục Oz cú tọa độ:

A.



^0;0;0



B.



^2016;0;0



C.



^{0; 1;0}



D.



^{0;0 2017}



Cõu 24. Trong khụng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm



^{3;2; 1}



A   . Tọa độ điểm A' đối xứng với A qua trục Oy là:

A.^A^'



^3;2;1



B.^A^{' 3;2 1}







C.^A^{' 3;2;1}

 

D.^A^{' 3; 2; 1}



 





^1;2;3



A . Khoảng cỏch từ A đến trục Oy bằng:

A. 10. B. 10. C. 2. D. 3.

(9)

Giảng dạy: nguyễn bảo vương - ^0946798489 Page | 9 Cõu 26. Trong khụng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm



^{3; 1;2}



M  . Trong cỏc phỏt biểu sau, phỏt biểu nào sai?

A. Tọa độ hỡnh chiếu của M trờn mặt phẳng



xOy



là

 

' 3; 1;0 M  .

B. Tọa độ hỡnh chiếu của M trờn trục Oz là

 

' 0;0;2

M .

C. Tọa độ đối xứng của M qua gốc tọa độ O là

 

' 3;1; 2 M   .

D. Khoảng cỏch từ M đến gốc tọa độ O bằng ³14.



2; 5;4



M  . Trong cỏc phỏt biểu sau, phỏt biểu nào sai?

A. Tọa độ điểm M' đối xứng với M qua mặt phẳng



yOz



là M



2;5; 4



.

B. Tọa độ điểm M' đối xứng với M qua trục Oy là



^{2; 5; 4}



M    .

C. Khoảng cỏch từ M đến mặt phẳng tọa



xOz



bằng 5.

D. Khoảng cỏch từ M đến trục Oz bằng 29.



1; 2;3



M  . Trong cỏc phỏt biểu sau, phỏt biểu nào sai?

A. Tọa độ đối xứng của O qua điểm M là O' 2; 4;6







. B. Tọa độ điểm M' đối xứng với M qua trục Ox là

 

' 1; 2;3 M   .

C. Khoảng cỏch từ M đến mặt phẳng tọa



^yOz



bằng 1.

D. Khoảng cỏch từ M đến trục Oy bằng 10.

Cõu 29. Trong khụng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm



^3;4;2



A  , ^B



^5;6;2



, ^C



^{4;7; 1}



. Tỡm tọa độ điểm D thỏa món AD2AB3AC

.

A.^D



^{10;17; 7}



B.^D



^{10;17; 7}



C.D



10; 17;7



D.D



10; 17;7



Cõu 30. Trong khụng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho sỏu điểm A



1;2;3



, B



2; 1;1



, C



3;3; 3



, A B C', ', ' thỏa món A A B B C C  '  '  ' 0

. Nếu G' là trọng tõm tam giỏc A B C' ' ' thỡ G' cú tọa độ là:

A. 2; ;⁴ ¹

3 3

 

  

 

  B. 2; ^{4 1}; 3 3

 

  

 

  C. 2; ;^{4 1} 3 3

 

 

  D. 2; ;^{4 1} 3 3

 

 

 

  Cõu 31. Trong khụng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn

điểm ^M



^{2; 3;5}



, ^N



^{4;7; 9}



, ^P



^3;2;1



và ^Q



^{1; 8;12}



. Bộ ba điểm nào sau đõy là thẳng hàng?

A.M N P, , B.M N, , Q C.M P Q, , D.N P Q, , Cõu 32. Trong khụng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba

điểm A



2; 1;3



, B



10;5;3



và M m



2 1;2;n2



. Để A B M, , thẳng hàng thỡ giỏ trị của m n, là:

A. 1; 3

m n2 B. 3, 1 m 2 n

C. 3

1, 2

m  n  D. ², ³

3 2

m n

Cõu 33. Trong khụng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm ^A



^{1; 3;5}^



và ^B



^{3; 2;4}^



. Điểm M trờn trục Ox cỏch đều hai điểm A B, cú tọa độ là:

A. ³;0;0

M2 . B. ³;0;0

M 2 . C.^M



^3;0;0



. D.^M



^3;0;0



. Cõu 34. Trong khụng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba

điểm ^A



^1;1;1



, ^B



^1;1;0



, ^C



^{3;1; 1}



. Điểm M trờn mặt phẳng



Oxz



cỏch đều ba điểm A B C, , cú tọa độ là:

A. 0; ;^{5 7} 6 6

 

 

 . B. ⁷;0; ⁵

6 6

 

  

 

 . C. ⁵;0; ⁷

6 6

 

  

 

 . D. ⁶;0; ⁶

5 7

 

  

 

 . Cõu 35. Trong khụng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giỏc ABC biết



1;0; 2



, B



2;1; 1



, C



1; 2;2



. Tỡm tọa độ trọng tõm G của tam giỏc ABC.

A.^G



^{4; 1; 1} 



B. ⁴; ¹; ¹

3 3 3

G    

C. 2; ¹; ¹

2 2

G    D. ^{4 1 1}; ; 3 3 3 G 

(10)

Giảng dạy: nguyễn bảo vương - ^0946798489 Page | 10 Cõu 36. Trong khụng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam

giỏc ABC cú ^A

(

^0;0;1

)

, ^B

(

^{− −}^{1; 2;0}

)

, ^C

(

^{2;1; 1}⁻

)

. Khi đú tọa độ chõn đường cao H hạ từ A xuống BC là:

A. ⁵ ; ¹⁴; ⁸ 19 19 19

H − −  B. ^_ ^_

 

4;1;1 H 9

C. ^ − ^ 1;1; 8

H 9 D. ^_ ^_

 

1; ;13 H 2

Cõu 37. Trong khụng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giỏc ABC cú A



1;2; 1



, B



2; 1;3



, C



4;7;5



. Tọa độ chõn đường phõn giỏc trong gúc B của tam giỏc ABC là:

A. ^{2 11}; ;1 3 3

 

 

 

  B. ^{2 11 1}; ; 3 3 3

 

 

  C. ¹¹; 2;1 3

 

  

 

  D.



^2;11;1



Cõu 38. Trong khụng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho



^{2; 1;3}



A  , ^B



^4;0;1



, ^C



^10;5;3



. Độ dài đường phõn giỏc trong gúc B của tam giỏc ABC bằng:

A.2 3 B.2 5 C. ²

5 D. ² 3

Cõu 39. Trong khụng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giỏc ABC cú A



0; 4;0



, B



5;6;0



, C



3;2;0



. Tọa độ chõn đường phõn giỏc ngoài gúc A của tam giỏc ABC là:

A.



^{15; 14;0}



B.



^{15; 4;0}



C.



^15;4;0



D.



^{15; 14;0}



Cõu 40. Trong khụng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba

điểm ^M



^{2;3; 1}



, ^N



^1;1;1



, ^P



^1;^m^1;2



. Với những giỏ trị nào của m thỡ tam giỏc MNP vuụng tại N ? A.m3 B.m2 C.m1 D.m0 Cõu 41. Trong khụng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam

giỏc ABC cú đỉnh ^C



^2;2;2



và trọng tõm ^G



^1;1;2



. Tỡm tọa độ cỏc đỉnh A B, của tam giỏc ABC, biết A thuộc mặt phẳng



^Oxy



và điểm B thuộc trục cao.

A.^A



 ^{1; 1;0 ,}

 

^B ^0;0;4



B. ^A



^{1;1;0 ,}

 

^B ^0;0;4



C. A



1;0;1 ,

 

B 0;0;4



D. A



4;4;0 ,

 

B 0;0;1



Cõu 42. Trong khụng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giỏc

ABC cú ^A



 ^{4; 1;2}



, ^B



^{3;5; 10}



. Trung điểm cạnh AC thuộc trục tung, trung điểm cạnh BC thuộc mặt phẳng



Oxz



. Tọa độ đỉnh C là:

A.C



4; 5; 2 



. B.C



4;5;2



. C.C



4; 5;2



. D.C



4;5; 2



. Cõu 43. Trong khụng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giỏc

ABC cú A



2; 1;6



, B



  3; 1; 4



, C



5; 1;0



. Trong cỏc khẳng định sau, khẳng định nào đỳng?

tam giỏc ABC là

A. Tam giỏc cõn. B. Tam giỏc đều.

C. Tam giỏc vuụng. D. Cả A và C.

Cõu 44. Trong khụng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm



1; 2;0 , 1;0; 1

  

A  B  và C



0; 1;2



. Mệnh đề nào sau đõy là đỳng?

A. Ba điểm A B C, , thẳng hàng.

B. Ba điểm A B C, , tạo thành tam giỏc cõn.

C. Ba điểm A B C, , tạo thành tam giỏc cú một gúc bằng 60 .⁰

D. Ba điểm A B C, , tạo thành tam giỏc vuụng.

Cõu 45. Trong khụng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho cỏc điểm



^2;0;1



A , ^B



^0;2;0



và ^C



^1;0;2



. Mệnh đề nào sau đõy đỳng?

A. Ba điểm A B C, , thẳng hàng.

B. Ba điểm A B C, , tạo thành tam giỏc cõn ở A. C. Ba điểm A B C, , tạo thành tam giỏc cõn ở B. D. Ba điểm A B C, , tạo thành tam giỏc vuụng.

Cõu 46. Trong khụng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho cỏc điểm A B C, , cú tọa độ thỏa món OA     i j k

, OB  5i  j k

, BC2i8j3k

. Tọa độ điểm D để tứ giỏc ABCD là hỡnh bỡnh hành là:

A.^D



^3;1;5



B.^D



^1;2;3



C.^D



^2;8;6



D.^D



^3;9;4



Cõu 47. Trong khụng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm



^2;0;0



M , ^N



^{0; 3;0}



, ^P



^0;0;4



. Nếu MNPQ là hỡnh bỡnh thành thỡ tọa độ của điểm Q là:

A.



 2; 3;4



B.



3;4;2



C.



2;3;4



D.



  2; 3; 4



Cõu 48. Trong khụng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm



1;2; 1



A  , B



3; 1;2



, C



6;0;1



. Trong cỏc điểm sau đõy, điểm nào là đỉnh thứ tư của hỡnh bỡnh hành cú ba đỉnh là

A B C, , .^M



^{4;3; 2}^



; ^N



^^2;1;0



; ^P



^{2;1; 1}^



(11)

Giảng dạy: nguyễn bảo vương - ^0946798489 Page | 11 A. Chỉ cú điểm M B. Chỉ cú điểm N

C. Chỉ cú điểm P D. Cả hai điểm M và N Cõu 49. Trong khụng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hỡnh bỡnh

hành OABD, cú OA 



^1;1;0



và OB



^1;1;0



với O là gốc tọa độ. Khi đú tọa độ của D là:

A.



0;1;0 .



B.



2;0;0 .



C.



1;0;1 .



D.



1;1;0 .



Cõu 50. Trong khụng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn điểm



^{1;0; 2}



A  , ^B



^{2;1; 1}



, ^C



^{1; 2;2}



và ^D



^{4;5 7}



. Trọng tõm G của tứ diện ABCD cú tọa độ là:

A.



2;1;2



B.



8;2; 8



C.



8; 1;2



D.



2;1; 2



Cõu 51. Trong khụng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hỡnh hộp

. ' ' ' '

ABCD A B C D . Biết ^A



^2;4;0



, ^B



^4;0;0



,



^{1;4; 7}



C   và ^D^{' 6;8;10}

 

. Tọa độ điểm B' là:

A.



10;8;6



B.



6;12;0



C.



13;0;17



D.



8;4;10



Vấn đề 3. TÍCH Cể HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ Cõu 52. Trong khụng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai

vectơ a và b

khỏc 0

. Kết luận nào sau đõy sai?

A. ^^{a b}^, ^{ } ^{a b}^{sin ,}

 

^{a b}

    

B. a b,3 3 ;a b

   

C. 2 ,a b2 ,a b

   

D. 2 ,2a b2 ,a b

   

Cõu 53. Trong khụng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai vectơ u

và v

khỏc 0

. Phỏt biểu nào sau đõy là sai?

A. u v, 

 

 

  cú độ dài là ^{u v}^{ } ^{cos ,}

 

^{u v}^{ }

B. u v,   0

  

khi hai vecto u v ,

cựng phương

C. u v, 

 

 

  vuụng gúc với hai vecto u v , D. u v, 

 

 

  là một vectơ

Cõu 54. Trong khụng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba vectơ a b ,

và c

khỏc 0

. Điều kiện cần và đủ để ba vectơ a b c  , ,

đồng phẳng là:

A. a b c  . . 0

B. a b c, .  0

   

C. Ba vectơ đụi một vuụng gúc với nhau D. Ba vectơ cú độ lớn bằng nhau

Cõu 55. Trong khụng gian với hệ tọa độ Oxyz, trong cỏc bộ ba vectơ a b c  , ,

sau đõy, bộ nào thỏa món tớnh chất , . 0

a b c

  

 

 

  

(hay cũn gọi là ba vectơ a b c  , ,

đồng phẳng).

A. a 1; 1;1 , b0;1;2 , 4;2;3 . c  B. a4;3;4 ,b2; 1;2 , 1;2;1 .  c  C. a2;1;0 , b 1; 1;2 , c2;2; 1 .  D. a1; 7;9 ,  b3; 6;1 ,  c2;1; 7 . 

Cõu 56. Trong khụng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn vectơ ^a^^



^2,3,1



^, ^b^^



^5,7,0



^, ^c^^



^{3, 2,4}^



^và



^{4,12, 3}



d 

.

Mệnh đề nào sau đõy sai?

A. d  a b c   B. a

, b , c

là ba vectơ khụng đồng phẳng.

C. a b   d c 

D. 2a3b  d 2c

Cõu 57. Trong khụng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai vectơ a

và b

khỏc 0

. Gọi c  a b, 

  

. Mệnh đề sau đõy là đỳng?

A. c

cựng phương với a . B. c

cựng phương với b . C. c

vuụng gúc với hai vectơ a và b

. D. Cả A và B đều đỳng.

Cõu 58. Trong khụng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba vectơ a



^{1;2; 1}



, b



^{3; 1;0}



và ^{1; 5;2}c 

 

. Khẳng định nào sau đõy là đỳng?

A. a

cựng phương với b . B. a

, b , c

khụng đồng phẳng.

(12)

Giảng dạy: nguyễn bảo vương - ^0946798489 Page | 12 C. a

, b , c

đồng phẳng. D. a

vuụng gúc b .

Cõu 59. Trong khụng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba vectơ a3; 1; 2  , b1;2;m

và c5;1;7. Giỏ trị của m để c a b, là:

A. 1 B. 0 C. 1 D. 2.

Cõu 60. Trong khụng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba vectơ u=

(

^{2; 1;1}−

)

, v=

(

m^{;3; 1}−

)

và w=

(

^1;2;1

)

. Để ba vectơ đó cho đồng phẳng khi m nhận giỏ trị nào sau đõy?

A. −8 B. 4 C. −7

3 D. −8 3

Cõu 61. Trong khụng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba vectơ a1; ;2 ,m  bm1;2;1 và c0;m2;2. Để ba vectơ đó cho đồng phẳng khi m nhận giỏ trị nào sau đõy?

A. ²

m5 B. 5

m2 C. m 2 . D. m0. Cõu 62. Trong khụng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba

vectơ a 



2,0,3 , 0,4, 1



b







và ^c^^



^m^^2,^m²^,5



^.

Để ba vectơ đó cho đồng phẳng khi m nhận giỏ trị nào sau đõy?

A. m 2 hoặc m 4 B. m2 hoặc m4 C. m1 hoặc m6 D. m2 hoặc m5

Cõu 63. Trong khụng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn điểm ^A



^{1; 2;0}



, ^B



^{1;0; 1}



, ^C



^{0; 1;2}



và ^D



^{0; ;}^{m p}



. Hệ thức giữa m và p để bốn điểm A B C D, , , đồng phẳng là:

A.2m p 0 B.m p 1 C.m2p3 D.2m3p0 Cõu 64. Trong khụng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho cỏc điểm



^0;0;4



A , ^B



^2;1;0



, ^C



^1;4;0



và ^{D a b}



^{; ;0}



. Điều kiện cần và đủ của a b, để hai đường thẳng AD và BC cựng thuộc một mặt phẳng là:

A.3a b 7. B.3a5b0. C.4a3b2. D.a2b1. Cõu 65. Trong khụng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm



1;2; 1



A  , B



5;0;3



và C



7,2,2



. Tọa độ giao điểm M của trục Ox với mặt phẳng đi qua điểm A B C, , là:

A.^M



^^1;0;0



. B.^M



^1;0;0



.C.^M



^2;0;0



. D.^M



^^2;0;0



. Cõu 66. Trong khụng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn

điểm



^{0;2; 1}



A  , B



^{3;1; 1}



, C



^4;3;0



và D



^1;2;m



. Tỡm m để bốn điểm A B C D, , , đồng phẳng. Một học sinh giải như sau:

Bước1:AB  



^{3; 1;1}



, AC



^4;1;2



, AD



^1;0;m²



.

Bước2:^__^{AB AC}^, ^_{ }_{ }^^^^^₁^{1 1 1}_{2 2}^; ^₄³^;^₄³ ^{ }₁¹^^__^{ }



^3;10;1





 

.

Suy ra AB AC AD, .     3 m 2 m 5.

  

Bước3:A B C D, , , đồngphẳng

, . 0 5 0 5

AB AC AD m m

 

        

  

. Đỏp ỏn: m 5.

Bài giải trờn đỳng hay sai? Nếu sai thỡ sai ở bước nào?

A. Đỳng B. Sai ở Bước 1.

C. Sai ở Bước 2. D. Sai ở Bước 3.

Cõu 67. Trong khụng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giỏc ABC. Tập hợp cỏc điểm M thỏa món



^{MA MB AC}



^, ⁰

  

 

 

    là:

A. Đường thẳng qua C và song song với cạnh AB. B. Đường thẳng qua trung điểm I của AB và song song với cạnh AC.

C. Đường thẳng qua trung điểm I của AB và vuụng gúc với cạnh AC.

D. Đường thẳng qua B và song song với cạnh AC . Cõu 68. Trong khụng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam

giỏc ABC cú ^A



^1;0;0



, ^B



^0;0;1



, ^C



^2;1;1



. Diện tớch của tam giỏc ABC bằng:

(13)

Giảng dạy: nguyễn bảo vương - ^0946798489 Page | 13 A. ⁷

2 B. ⁵

2 C. ⁶

2 D. ¹¹ 2

Cõu 69. Trong khụng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giỏc ABC cú ^A



^1;0;0



, ^B



^0;0;1



, ^C



^2;1;1



. Độ dài đường cao kẻ từ A của tam giỏc ABC bằng:

A. 30

5 B. 15

5 C.2 5 D.3 6

Cõu 70. Trong khụng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm C



4;0;0



và B



2;0;0



. Tỡm tọa độ điểm M thuộc trục tung sao cho diện tớch tam giỏc MBC bằng 3. A.^M



^{0;3;0 ,}



^M



^{0; 2;0}



. B. ^M



^{0;3;0 ,}



^M



^{0; 3;0}



. C. ^M