Áp dụng bất đẳng thức tích phân giải các bài toán tích phân nâng cao – Phạm Minh Tuấn - Học Tập Trực Tuyến Cấp 1,2,3 - Hoc Online 247

Bài 1 [ĐỀ MH 2018]. Cho hàm số ^{f x}

 

có đạo hàm liên tục trên đoạn 0;1 thỏa mãn

 

^{1 0}

f  , ¹

 

²

0

' 7

f x dx

  

 



^{và 1 2}

 

0

1 x f x dx 3



^{. Tính 1}

 

0

f x dx



A. ⁷

5 B. 1 C. ⁷

4 D. 7

Hướng dẫn giải:

Xét ^{1 2}

 

0

1 I



x f x dx 3^.

Đặt

   

 

^{1 1}

 

¹

 

3

3 3

3

2 0 0 0

' 1 1

. ' ' 1

3 3 3

3 du f x

u f x x

I f x x f x dx x f x dx

dv x dx v x

 

         

 

 

 

 

 

 Chứng minh BĐT tích phân sau: ^b

   

^{2 b 2}

 

^{.b 2}

   

^*

a a a

f x g x dx f x dx g x dx

 

  

 







 

Với mọi t ta có: ^0_^{tf x}

   

^{g x }_^{2 t f2 2}

 

^{x 2tf x g x}

   

^{g x2}

 

Lấy tích phân 2 vế theo biến x ta được:

 

^{2b 2}

 

^{2 b}

   

^{b 2}

 

⁰

a a a

h t t



f x dx t f x g x dx







g x dx

 

h t là tam thức bậc 2 luôn không âm nên ta có điều kiện:

   

²

       

²

   

2

2 2 2 2

0 . 0 .

' 0

b b b b b b

a a a a a a

t  f x g x dx f x dx g x dx  f x g x dx f x dx g x dx

       

     

 





 







 

Dấu ‚=‛ xảy ra khi ^{tf x}

   

^{g x}

 Áp dụng: ^{1 3}

 

^{2 1 6 1}

 

²

0 0 0

1 ' . ' 1.7 1

x f x dx x dx f x dx 7

 

 

      







 

BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN

Dấu ‚=‛ xảy ra khi và chỉ khi ^{f x'}

 

^kx3.

Mặc khác: ^{1 3}

   

³

 

^{3 4}

0

' 1 7 ' 7 7 7

x f x dx     k f x   x  f x   x dx 4x C

 

Mà ^f

 

^{1 0 nên 1}

 

^{1 4}

0 0

7 7 7 7

4 4 4 5

C f x dx  x dx

      

 

 

NHẬN XÉT: Thật ra BĐT (*) chính là hệ quả BĐT Holder về tích phân BĐT Holder về tích phân phát biểu như sau:

       

1 1

.

b b p p b q q

a a a

f x g x dx  f x dx  g x dx

      

  

^{với ,p q1 thỏa 1}_p^{ 1}_q ¹

Dấu ‚=‛ xảy ra khi và chỉ khi tồn tại hai số thực m n, không đồng thời bằng 0 sao cho

 

^p

 

^q

m f x n g x

Hệ quả: Với p q 2 thì BĐT trở thành

 

^{f x g x dx}

    

² 



^f2

 

x dx g x dx^.



²

 

BTAD: Cho hàm số ^{f x}

 

liên tục trên đoạn 0;1 thỏa mãn ¹

   

²

0

1 ' 1

x f x dx 3

  



^.

Giá trị nhỏ nhất của tích phân ^{1 2}

 

0

f x dx



^là:

A.

 

^{0 2}

3 f 

B. ³

 

^{0 2}

3

f 

C. ³

 

^{0 2}

3 f 

D.

 

^{0 2}

3

f 

Bài 2. Cho hàm số ^{f x}

 

có đạo hàm liên tục trên đoạn 0;1 thỏa mãn ^f

 

^{0 0,}

0;1

 

max 'f x 6

 

   và ¹

 

0

1 f x dx3



^{. Gọi M} là giá trị lớn nhất của tích phân ^{1 3}

 

0

f x dx



^.

Khẳng định nào sau đây đúng?

A. 1;³ M  2

 

  B. 0;¹ M  2

 

  C. ¹;1

M 2 

 

  D. ³; 2 M 2 

 

 

Hướng dẫn giải:

Ta có: ^{f x'}

 

^{6,   x} _^{0;1 }_ ^{f x f x'}

   

^{6f x}

 

^{,   x} _^0;1_ ⁽¹⁾

Lấy tích phân hai vế BĐT (1) ta được:

     

0 0

' 6 , 0;1

x x

f t f t dt f t dt   x  

 

                 

2 2 2

2 3

0 0 0

0

0 6 12 12

2 2 2

x x x x

f t f x f

f t dt f x f t dt f x f x f t dt

   



 



 



⁽²⁾

Lấy tích phân hai vế BĐT (2) ta được: ^{1 3}

 

¹

   

0 0 0

12

x

I

f x dx f x f t dt dx

  

 

  

Đặt

     

0

. '

x

u



f t dtdu f x x dx f x dx

Suy ra

 

   

1

0 1 2 1 2

0 0 0

1 1 1 1 1

2 2 2 9. 18

f t dt

I udu f t dt f x dx

    

        

   

  

Vậy ^{1 3}

 

0

1 2

12.18 3 f x dx 



Nhận xét: Ta có thể chỉ ra 1 hàm số ^{f x}

 

thỏa mãn dữ kiện đề cho và xảy ra dấu ‘’=‛, hàm đó là: f x

 

 28,815042623089894049x³35,5890622041211331x²8,6518534912024751x

- Chú ý:

 

 

  ^'

   

^{. '}

     

^{. '}

 

g x

h x

f t dt f g x g x f h x h x

 

   

 







Bài 3. Cho hàm số ^{f x}

 

có đạo hàm liên tục trên đoạn 0;1 thỏa mãn

 

^{0 6 4 2}

f  3 ,

 

^{1 2}

f  và ^{f x'}

 

^{0,   x} _^0;1_. Biết tích phân ^{1 2}

 

²

0

2 2 2 x x  f x'  dx



^{đạt giá}

trị nhỏ nhất, khi đó hãy tính ^f

 

^{2 ?}

A.

 

^{2 6 4 2}

f  3 B.

 

^{2 6 2 2}

f  3 C.

 

^{2 3 2 2}

f  2 D.

 

^{2 3 2}

f 2



Hướng dẫn giải:

Ta có: ^{1 2}

 

^{2 1}

 

²

 

²

0 0

2 2 2 ' 2 '

I 



 x x f x  dx



 x x f x  dx Ta có :



^{2 x x}



^2^{f x'}

 

^^{2 } ₂^{2 } ^{2 x x f x'}

 

^

     

1 2 2 1

0 0

2 ' 2 2 '

x x f x  dx 2  x x f x dx





    



    

Mà: ¹

 

¹

 

¹

     

0 0 0

4 2 8 2

2 ' 2 ' 1 0

3 3

x x f x dx x x dx f x dx f f

            

 

  

Do đó ⁸ I3

Dấu ‚=‛ xảy ra khi và chỉ khi : ^'

 

²

 

^{2 3}



²



³

f x   x x f x  3 x  x C Ta có:

 

^{1 2 2}

 

^{2 3}



²



^{3 2}

 

^{2 6 4 2}

3 3

f    C f x   x  x   f  

 

Bài 4. Cho hàm số ^{f x}

 

có đạo hàm liên tục trên đoạn 0;1 thỏa mãn

1

 

1 2

, 0;1

x 2

f t dt x x

    



^{. Gọi m} là giá trị nhỏ nhất của tích phân ^{1 2}

 

0

f x dx



^{. Khẳng}

định nào sau đây đúng?

A. 1;³ m  2

 

  B. 0;¹

m  2

 

  C. ¹;1

m 2 

 

  D. ³; 2

m 2 

 

 

Hướng dẫn giải:

Theo hệ quả BĐT Holder: ¹

 

^{2 1 2 1 2}

 

^{1 2}

 

¹

 

²

0 0 0 0 0

. 3

xf x dx x dx f x dx f x dx xf x dx

   

  

   

   







  







Giờ ta chỉ việc tìm min của tích phân



^{1xf x dx}

 

là giải quyết được bài toán

Gọi F(x) là một nguyên hàm của ^{f x}

 

, khi đó ta có: ¹

   

¹₀

 

0

' 1

xF x dx x F x F

   

 



Mà ¹

 

¹

 

¹

 

¹

 

¹

 

0 0 0 0 0

' '

xF x dx xF x dx F x dx xf x dx F x dx

     

 

    

Suy ra

 

¹

 

¹

 

0 0

1

F 



xf x dx



F x dx ⁽¹⁾

Từ đề: ¹

 

²

   

^{2 1}

 

¹

 

^{1 2}

0 0 0

1 1 1 1

1 1

2 2 2 3

x

x x x

f t dt  F F x  F dx F x dx  dx

       

   

Tương đương

 

¹

 

^{1 2}

0 0

1 1

1 2 3

F F x dx x dx









 ⁽²⁾

Thay (1) vào (2) ta được: ¹

 

0

1 xf x dx 3



Vậy ^{1 2}

 

²

0

1 1

3 3 3

f x dx    



 

Dấu ‚=‛ xảy ra khi và chỉ khi ^{f x}

 

^x

Bài 5. Cho hàm số ^{f x}

 

có đạo hàm liện tục trên 0;1 thỏa mãn ^f

 

^{1 0,}

     

1 2 1 2

0 0

' 1 1

4

x e

f x dx x e f x dx 

    

 

 

^{. Tính 1}

 

0

f x dx



^.

A.

2

4

e B.

2

e C. e2 D. ¹

2 e

Hướng dẫn giải:

Xét ¹

   

0

1 ^x

I



x e f x dx^{, đặt}

  

₁



x x^'

 

u f x du f x dx

dv x e dx v xe

   

 

 

   

 



Suy ra

 

¹₀ ¹

 

^{2 1}

 

²

0 0

1 1

' '

4 4

x x e x e

Ixe f x 



xe f x dx  



xe f x dx   Áp dụng hệ quả BĐT holder:

 

²

 

2 1 1 1 2

2 2 2 2 2

0 0 0

1 1

' . '

4 4

x x

e e

xe f x dx x e dx f x dx

 

          

       

  





 

 

Dấu ‚=‛ xảy ra khi và chỉ khi ^{f x'}

 

^{kxex. Mà 1}

 

²

0

' 1 1

4

x e

xe f x dx     k



Suy ra ^{f x}

 

^{ }



^{xe dxx  }



^{1 x e}



^{xC. Mà f}

 

^{1   0 C 0}

Vậy

   

¹

 

0

1 ^x 1 ^x 2

f x  x e 



x e dx e 

Bài 6. Cho hàm số ^{f x}

 

có đạo hàm dương và liên tục trên 0;1 thỏa mãn ^f

 

^{0 1,}

       

1 1

2

0 0

3 ' 1 2 '

f x f x 9 dx f x f x dx

   

 

 

 

^{. Tính 1 3}

 

0

f x dx



^.

A. 5

4 B. ³

2 C. ⁸

5 D. ⁷

6 Hướng dẫn giải:

Đề ¹

   

^{2 1}

   

0 0

3 ' 1 2 '

f x f x dx 3 f x f x dx





 



Áp dụng hệ quả BĐT holder: ^{1 1}

   

^{2 1}

   

²

0 0 0

. ' '

dx f x f x dx  f x f x dx

  

 

  

Suy ra ¹

   

¹

   

^{2 1}

   

²

0 0 0

1 1

2 ' 3 ' 3 ' 0

3 3

f x f x dx  f x f x dx  f x f x dx 

        

  

Hay ¹

   

0

' 1

f x f x dx 3



Dấu ‚=‛ xảy ra khi và chỉ khi

   

   

1

0

' 13 1

' 3

f x f x dx

k f x f x k

 

  

 





Xét ^'

   

^{1 '}

   

^{2 1 3}

 

¹

 

^{3 1 3}

3 9 3 9 3

f x

f x f x  



f x f x dx



dx  x C  f x  x C

Vì ^f

 

^{0 1 nên}

 

^{3 1 3}

 

0

1 7

3 1 6

f x  x 



f x dx

Bài 7. Cho hàm số ^{f x}

 

có đạo hàm liên tục trên

 

^{a b; thỏa mãn lim}

 

x a_ f x

  ,

 

limx b_ f x

   và ^{f x'}

 

^{ f2}

 

^{x    1, x}

 

^{a b;} . Tìm giá trị nhỏ nhất của P b a  . A. 2

 B.  C.  D.

2



Hướng dẫn giải:

Ta có:

     

2

 

2

' 1 ' 1

1 f x f x f x

f x

     

 Lấy tích phân hai vế ta được:

 

₂

 

¹

     

0

' 1 arctan arctan arctan

1

b b

a a

f x dx f x a b b a f b f a

f x         







Vì ^lim

 

^{, lim}

 

x a_ f x x b_ f x

      nên b a 

Nhận xét: Khi hàm số ^{f x}

 

^{cotx cận b,a0} thì dấu ‚=‛ xảy ra Bài 8. Cho hàm số ^{f x}

 

dương và liên tục trên 1; 3 thỏa mãn

 

max1;3 f x 2

 

 



1;3

 

min 1 f x 2

 

   và biểu thức

   

3 3

1 1

. 1

S f x dx dx



 

f x đạt GTLN, khi đó hãy tính ³

 

1

f x dx



A. 7

5 B. ³

4 C. ³

5 D. ⁵

2 Hướng dẫn giải

Từ đền suy ra ¹

 

^{2, 1; 3}

2  f x    x   nên

     

 

1 2

2 0

f x f x

f x

   

 

   ,   x 1; 3

Lấy tích phân 2 vế ta được:

     

     

3 3 3

1 1 1

1 2

2 1

0 5

f x f x

dx dx f x dx

f x f x

   

 

     

  

Tương đương ³

 

³

 

³

 

³

 

^{2 3}

 

²

1 1 1 1 1

1 25 5 25

5 4 2 4

f x dx dx f x dx f x dx f x dx

f x

   

       

   

    

Dấu ‚=‛ xảy ra khi và chỉ khi ³

 

1

5 f x dx 2



Bài 9. Cho hàm số ^{f x}

 

xác định và liên tục trên 1; 2 thỏa mãn ²

 

1

3 3

2 2 1

3

x

x

x x

f x dx 

  

 



với mọi x x₁, ₂ 1; 2 sao cho x₁x₂. Tìm GTLN của tích phân ²

 

1

f x dx



^.

A. 1

2 B. ³

2 C. ⁵

3 D. ⁵

2 Hướng dẫn giải

Ta có:

2

1

3 3

2 2 1

3

x

x

x x x dx 

 



²

 

^{2 2}

   

1 1 1

2 2 2 2

0

x x x

x x x

f x dx x dx x f x dx

      

   

  

Do hàm ^{f x}

 

^x2_{ }^{f x}

 

^_² liên tục trên 1; 2 nên:

 

²

 

2 0 , 1; 2

x f x    f x x   x  

Từ đó suy ra ²

 

²

 

²

1 1 1

3 f x dx f x dx xdx 2

  

Dấu ‚=‛ xảy ra khi và chỉ khi ^{f x}

 

^{x ; x}₁^1;x₂^2

Bài 10. Cho hai hàm số ^{f x}

 

không âm và liên tục trên 0;1 . Đặt

   

0

1 2

x

g x  



f t dt và ta giả sử rằng luôn có ^{g x}

 

^_^{f x}

 

^_^{2,   x} _^0;1_. Tìm GTLN của tích phân

1

 

0

g x dx



^.

A. 7

3 B. ⁸

5 C. ⁵

3 D. ¹³

6 Hướng dẫn giải

Gọi ^{F x}

 

là một hàm số thỏa mãn

   

0 x

F x 



f t dt^{F x}_{g x}

 

^'

   

_{ }^_{1 2}^{f x}_{F x}

 



Ta có

       

   

 

2 '

1 2 1 1 0

1 2 1 2

f x F x

F x g x f x

F x F x

 

          

Nháp: xét

 

   

   

' '

1 1 2

1 2 1 2

F x F x

dx x C F x x C

F x F x

       







Xét hàm số ^{h x}

 

^{ 1 2 F x}

  

^{ x C}



^{, x }_^0;1_

Ta có

   

 

' 2 ' 1 0

2 1 2 h x F x

F x

  

 nên ^{h x}

 

nghịch biên trên 0;1. Suy ra ^{h x}

   

^{h 0  1 2 F}

 

^{0 C}

Ta có

 

⁰

 

0

0 0

F 



f t dt ^{nên h x}

 

^{ 1C} . Ta chọn Csao cho 1   C 0 C 1

Vậy

     

^{2 1}

 

0

1 2 1 1 7

F x x g x x g x dx 3

      





BTAD: [ĐỀ VTED] Cho hàm số ^{f x}

 

không âm và liên tục trên 0;1 . Đặt

   

0

1 2

x

g x  



f t dt và ta giả sử rằng luôn có ^{g x}

 

^_^{f x}

 

^_^{3,   x} _^0;1_. Tìm GTLN của tích phân ¹³

 

²

0

g x dx

 

 



^.

A. 5

3 B. 4 C. ⁴

3 D. 5