50 bài toán về phương trình mặt phẳng (có đáp án 2022) – Toán 12

(1)

Các bài toán về phương trình mặt phẳng và cách giải I. LÝ THUYẾT

1. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng

Cho mặt phẳng ( ) . Nếu vectơ n 0 và có giá vuông góc với mặt phẳng ( ) thì n là vectơ pháp tuyến (VTPT) của ( ) .

Chú ý:

+) Nếu n là một VTPT của mặt phẳng ( ) thì kn (k0) cũng là một VTPT của mặt phẳng ( ) .

+) Một mặt phẳng được xác định duy nhất nếu biết một điểm nó đi qua và một VTPT của nó.

+) Nếu u, v có giá song song hoặc nằm trên mặt phẳng ( ) thì n=[u, v] là một VTPT của ( ) .

2. Phương trình tổng quát của mặt phẳng

Phương trình: Ax + By + Cz + D = 0 với A² +B²+C² 0 được gọi là phương trình tổng quát của mặt phẳng.

Nhận xét:

+) Nếu mặt phẳng ( ) có phương trình Ax + By + Cz + D = 0 thì nó có một VTPT là n=(A;B;C).

+) Phương trình mặt phẳng đi qua điểm M (x ; y ;z ) và nhận vectơ n (A;B;C)₀ ₀ ₀ ₀ = khác 0 làm VTPT là: A(x−x ) B(y y ) C(z z )₀ + − ₀ + − ₀ =0.

+) Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn

( )

^:^x ^y ^z ¹

a b c

 + + = . Ở đây ( ) cắt các trục tọa độ tại các điểm (a; 0; 0), (0; b; 0), (0; 0; c) với abc0.

II. PHƯƠNG PHÁP GIẢI VÀ VÍ DỤ MINH HỌA Dạng 1: Xác định vectơ pháp tuyến của mặt phẳng Phương pháp giải:

Cho mặt phẳng ( ) có phương trình Ax + By + Cz + D = 0.

Khi đó mặt phẳng ( ) có một VTPT là n=(A;B;C).

(2)

Ví dụ 1: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x – 4y + 5 = 0. Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P)?

A. n2 =

(

2;4;0

)

. B. n1 = −

(

1;2;0

)

. C. n3 =

(

0;2; 4−

)

. D. n4 =

(

2; 4;5−

)

.

Hướng dẫn giải:

Ta có (P): 2x – 4y + 5 = 0 có một vectơ pháp tuyến là ⁿ

(

^{2; 4;0}

)

¹

(

^1;2;0

)

2

= − = − − .

Vậy một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là n1= −

(

1;2;0

)

. Chọn B.

Dạng 2: Viết phương trình mặt phẳng khi đã biết một điểm đi qua và vectơ pháp tuyến

Phương pháp giải:

Cho mặt phẳng

( )

^ đi qua điểm M (x ; y ;z ) và nhận vectơ ₀ ₀ ₀ ₀ n=(A;B;C) làm vectơ pháp tuyến. Khi đó phương trình mặt phẳng

( )

^ ^là

0 0 0

A(x−x ) B(y y ) C(z z )+ − + − =0

Ví dụ 2: Trong không gian Oxyz, mặt phẳng đi qua điểm A (2; 0; -2) và nhận

( )

n= 1;2;3 làm véc tơ pháp tuyến có phương trình là A. x + 2y + 3z + 4 = 0.

B. x + 2y + 3z – 8 = 0.

C. x – z + 2 = 0.

D. x – z – 4 = 0.

Phương trình mặt phẳng cần tìm là:

(3)

1(x – 2) + 2(y – 0) + 3[z – (-2)] = 0

x + 2y + 3z + 4 = 0.

Chọn A.

Dạng 3: Viết phương trình mặt phẳng

( )

^ đi qua điểm M và song song với mặt phẳng (P) cho trước.

+) Mặt phẳng

( )

^ song song với mặt phẳng (P) cho trước nên vectơ pháp tuyến của mặt phẳng

( )

^ chính là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P).

+) Từ đó viết phương trình mặt phẳng

( )

^ đi qua M và có vectơ pháp tuyến là

( ) ( )^P

n _ =n .

Ví dụ 3: Trong không gian Oxyz, mặt phẳng (Q) đi qua điểm A (1; 2; -1) và song song với

( )

^ ^: 3x + 4y – z + 1 = 0 có phương trình là

A. 3x+4y− −z 12=0. B. 3x+4y− +z 10=0. C. 3x+4y− −z 10=0. D. 3x+4y− +z 12=0.

( )

^ có một vectơ pháp tuyến là ⁿ_{( )} =

(

^{3;4; 1}−

)

. Do

( ) ( )

^{Q //} ^{ }ⁿ_{( )}_Q ⁼

(

^{3;4; 1}⁻

)

^.

Vì (Q) đi qua A (1; 2; -1) nên phương trình mặt phẳng (Q) là:

3(x – 1) + 4(y – 2) – 1(z + 1) = 0

3x + 4y – z – 12 = 0 Chọn A.

(4)

( )

^ đi qua điểm M và vuông góc với hai mặt phẳng (P) và (Q).

Gọi n_{( )}_ , n_{( )}_P , n_{( )}_Q lần lượt là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng

( )

^ , (P), (Q). Vì mặt phẳng

( )

^ vuông góc với hai mặt phẳng (P) và (Q) nên ta có

( ) ( )

( ) ( ) ( )

P

P Q

Q

n n

n n , n

n n



 ⊥

  = 

 ⊥  



Từ đó viết phương trình mặt phẳng

( )

^ đi qua M và có vectơ pháp tuyến là n_{( )}_ đã tính phía trên.

Ví dụ 4: Cho hai mặt phẳng (P): 3x – 2y + 2z + 7 = 0 và (Q): 5x – 4y + 3z + 1 = 0.

Gọi (R) là mặt phẳng đi qua gốc toạ độ O và vuông góc với cả (P) và (Q). Khi đó phương trình mặt phẳng (R) là

A. 2x – y + 2z = 0.

B. 2x + y – 2z = 0 C. 2x + y – 2z + 1 = 0 D. 2x – y – 2z = 0.

Gọi n , ₁ n , ₂ n lần lượt là véctơ pháp tuyến của (P), (Q), (R). ₃ Theo bài ra ta có n1 =

(

3; 2;2−

)

, n2 =

(

5; 4;3−

)

.

Vì mặt phẳng (R) vuông góc với cả (P) và (Q) nên ta có:

( )

3 1

3 1 2

3 2

n n

n n , n 2;1; 2

n n

 ⊥  = = −

 ⊥  



Vì (R) là mặt phẳng đi qua gốc toạ độ O (0; 0; 0) nên phương trình mặt phẳng (R) là:

2(x – 0) + 1(y – 0) – 2(z – 0) = 0

2x + y – 2z = 0 Chọn B.

(5)

( )

^ đi qua hai điểm A, B và vuông góc với mặt phẳng (P).

Gọi n_{( )}_ , n_{( )}_P lần lượt là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng

( )

^ và mặt phẳng (P).

Vì mặt phẳng

( )

^ đi qua A, B và vuông góc với mặt phẳng (P) nên ta có:

( ) ( )

( )

( ) ( )

P

n n

n n , AB

n AB



 ⊥

  = 

 ⊥  



( )

^ đi qua A (hoặc B) và có vectơ pháp tuyến là n_{( )}_ đã tính phía trên.

Ví dụ 5: Cho mặt phẳng (P) đi qua A (2; -1; 4), B (3; 2; -1) và vuông góc với mặt phẳng (Q): x + y + 2z – 3 = 0. Khi đó mặt phẳng (P) có phương trình là

A. 11x + 7y – 2z – 21 = 0.

B. 11x + 7y + 2z + 21 = 0.

C. 11x – 7y – 2z – 21 = 0 D. 11x – 7y + 2z + 21 = 0.

Ta có: AB=(1;3; 5)− , vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (Q) là n_Q =(1;1;2). Mặt phẳng (P) đi qua A, B và vuông góc với mặt phẳng (Q) nhận

AB,nQ (11; 7; 2)

  = − −

  làm véctơ pháp tuyến nên có phương trình:

11(x – 2) – 7(y + 1) – 2(z – 4) = 0

11x – 7y – 2z – 21 = 0.

Chọn C.

( )

^ đi qua ba điểm A, B, C cho trước.

Gọi n_{( )}_ là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng

( )

^ ^.

Vì mặt phẳng

( )

^ đi qua A, B, C nên ta có

(6)

( ) ( )

( )

n AB

n AB, AC

n AC



 ⊥

  = 

 ⊥  



( )

^ đi qua A (hoặc B, hoặc C) và có vectơ pháp tuyến là n_{( )}_ đã tính phía trên.

Ví dụ 6: Cho M (0; 3; -5), N (1; 0; 6), E (-4; 3; 0). Phương trình mặt phẳng (MNE) là:

A. 15x+49y 12z 87+ − =0. B. 15x+49y 12z− −207=0. C. 15x+49y 12z+ +87=0. D. 5x 13y+ +4z 19− =0.

Ta có ^MN⁼

(

^{1; 3;11}⁻

)

^,^ME^{= −}

(

^4;0;5

)

^nên

( ) ( )

MN,ME 15; 49; 12 15;49;12

  = − − − = −

  .

Suy ra phương trình mặt phẳng (MNE) có một vectơ pháp tuyến là ⁿ⁼

(

^15;49;12

)

^.

Vì mặt phẳng (MNE) đi qua N (1; 0; 6) nên phương trình mặt phẳng (MNE) là 15(x – 1) + 49(y – 0) + 12(z – 6) = 0

15x + 49y + 12z – 87 = 0 Chọn A.

( )

^ đi qua ba điểm A (a; 0; 0), B (0; b;

0), C (0; 0; c)

(

^abc^⁰

)

. (Phương trình đoạn chắn) Phương pháp giải:

Nếu mặt phẳng

( )

^ đi qua ba điểm A (a; 0; 0), B (0; b; 0), C (0; 0; c)

(

^abc^⁰

)

^thì

phương trình

( )

^ ^{có dạng}

(7)

( )

^:^x ^y ^z ¹

a b c

 + + =

Ví dụ 7: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, phương trình mặt phẳng đi qua 3 điểm A (-3; 0; 0), B (0; 4; 0), C (0; 0; -2) là

A. ^x ^y ^z 1

-3+ 4 + =2

−

B. ^x ^y ^z 1 -3− +4 2 =

− C. ^x ^y ^z 1

3 + 4 + =2

−

D. ^x ^y ^z 1

-3+ +4 2 =

−

Gọi (P) là mặt phẳng đi qua 3 điểm A (-3; 0; 0), B (0; 4; 0), C (0; 0; -2), khi đó phương trình mặt phẳng (P) là:

x y z

-3+ +4 2 =1

− Chọn D.

Dạng 8: Trong không gian Oxyz, cho điểm A, B, mặt phẳng (P) qua điểm A, B và tạo với mặt phẳng (Q) một góc bằng . Viết phương trình mặt phẳng (P).

+ Gọi phương trình của mặt phẳng (P) là ax + by + cz + d = 0

(

^a² ⁺^b²⁺^c² ^⁰

)

^.

+ Gọi vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) và (Q) lần lượt là ⁿ^P ⁼

(

^{a;b;c ,}

)

nQ. + Mặt phẳng (P) qua A, B nên tọa độ A, B lần lượt thỏa mãn phương trình mặt phẳng (P) tìm được hai mối liên hệ giữa a, b, c, d.

(8)

+ Áp dụng điều kiện về góc giữa hai mặt phẳng

(

^P ^Q

)

^P ^Q

P Q

n .n cos cos n ;n

n . n

 = = , tìm

được mối liên hệ giữa a, b, c, d, khử điều kiện để tìm được mối liên hệ giữa a, b (hoặc b, c; a, c).

+ Từ mối liên hệ giữa a, b ta chọn a để tìm b rồi suy ra phương trình mặt phẳng (P).

Ví dụ 8: Trong không gian Oxyz, cho điểm M (1; 0; 0) và N (0; 0; -1), mặt phẳng (P) qua điểm M, N và tạo với mặt phẳng (Q): x – y – 4 = 0 một góc bằng 45⁰. Phương trình mặt phẳng (P) là

A. ^y ⁰

2x y 2z 2 0

 =

 − − − =

 .

B. ^y ⁰

2x y 2z 2 0

 =

 − − + =

 .

C. ^2x ^y ^2z ² ⁰ 2x y 2z 2 0

− − + =

 − − − =

 .

D. ^2x ^2z ² ⁰ 2x 2z 2 0

− + =

 − − =



Gọi vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) và (Q) lần lượt là ⁿ^P ⁼

(

^{a;b;c ,}

)

nQ. Suy ra nQ

(

1; 1;0−

)

.

(

^a² ⁺^b²⁺^c² ^⁰

)

^.

+ (P) qua M (1; 0; 0)  a + d = 0 (1) (P) qua N (0; 0; -1)  -c + d = 0 (2) Từ (1) và (2) suy ra a + c = 0 hay c = -a

(9)

+ (P) hợp với (Q) góc 45⁰

(

^P ^Q

)

⁰ ₂ ^a₂ ^b ₂ ¹

cos n , n cos45

a b c . 2 2

 =  − =

+ +

( )

²

2 2

a b

1

a b a

 − =

+ + −

( )

²

2 2 2 2

| a b | 2a b a b 2a b

 − = +  − = +

( )

2 a 0

a 2ab 0 a a 2b 0

a 2b

 =

 + =  + =   = −

Với a = 0c = 0, chọn b = 1 ta được phương trình (P): y = 0.

Với a = -2b chọn b = -1 suy ra a = 2, phương trình mặt phẳng (P): 2x – y – 2z – 2 = 0.

Chọn A.

Dạng 9: Trong không gian Oxyz, cho các điểm A, B, C. Viết phương trình mặt phẳng (P) qua hai điểm A, B đồng thời khoảng cách từ C tới mặt phẳng (P) bằng d.

(

^a² ⁺^b²⁺^c² ^⁰

)

^.

+ Mặt phẳng (P) qua A, B nên tọa độ A, B lần lượt thỏa mãn phương trình mặt phẳng (P) tìm được hai mối liên hệ giữa a, b, c, d.

+ Áp dụng điều kiện về khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

( ( ) )

^ax^C ₂^by^C ₂ ^cz^C₂ ^d

d C; P d

a b c

+ + +

= =

+ + tìm được mối liên hệ giữa a, b, c, d; khử điều kiện để tìm được mối liên hệ giữa a, b (hoặc b, c; a, c).

+ Từ mối liên hệ giữa a, b chọn để tìm b rồi suy ra phương trình mặt phẳng (P).

(10)

Ví dụ 9: Trong không gian Oxyz, cho các điểm A (-1; 1; 0), B (0; 0; -2) và C (1;

1;1 1). Viết phương trình mặt phẳng (P) qua hai điểm A và B, đồng thời khoảng cách từ C tới mặt phẳng (P) bằng 3 .

A. ^5x ^y ^3z ⁶ ⁰ 7x 5y z 2 0

− + + =

 + + + =

 .

B. ^x ^y ^z ² ⁰ 7x 5y z 2 0

− + + =

 + + + =

 .

C. ^5x ^y ^3z ⁶ ⁰ x y z 2 0

− + + =

 − + + =

 .

D. ^x ^y ^z ² ⁰ 7x 5y z 2 0

− + − =

 + + − =



+ Gọi n=(a;b;c)0 là véctơ pháp tuyến của (P).

(

^a² ⁺^b²⁺^c² ^⁰

)

^.

+ (P) qua A (-1; 1; 0) -a + b + d = 0. Suy ra b + d = a (1) (P) qua B (0; 0; -2)  -2c + d = 0. Suy ra d = 2c (2) Từ (1) và (2) suy ra b = a – d = a – 2c

( ( ) )

^a ₂^b ₂^c ^d₂

d C; P 3 3

a b c

+ + +

=  =

+ +

( )

²

2 2

| 2a c |

3

a a 2c c

 + =

+ − +

2 2

| 2a c | 3 2a 5c 4ac

 + = + −

(

^2a ^c

)

² ^{3 2a}

(

² ^5c² ^4ac

)

 + = + −

2 2

2a 16ac 14c 0

 − + =

(11)

(

^a ^{c a}

)(

^7c

)

⁰

 − − = a c

a 7c

 =

  = + a = c chọn a = c = 1

 phương trình mặt phẳng (P) : x – y + z + 2 = 0.

+ a = 7c chọn a = 7 ; c = 1

 phương trình mặt phẳng (P) : 7x + 5y + z + 2 = 0.

Chọn B.

III. BÀI TẬP ÁP DỤNG

Câu 1. Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng

( )

^ : 2x + 3z – 1 = 0. Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của

( )

^ ^?

A. ⁿ⁼

(

^{2;3; 1}⁻

)

^.

B. ⁿ⁼

(

^2;3;0

)

^.

C. ⁿ^{= −}

(

^{2;0; 3}⁻

)

^.

D. ⁿ⁼

(

^{2;0; 3}⁻

)

^.

Câu 2. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A (3; -2; 1) và B (5; -4; 3). Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB có phương trình là

A. x – y + z + 5 = 0.

B. x – y + z + 11 = 0.

C. x – y + z – 6 = 0.

D. x – y + z – 9 = 0.

Câu 3. Trong không gian Oxyz, mặt phẳng đi qua điểm M (1; 2; 3) và song song với mặt phẳng (P): x – 2y + z – 3 = 0 có phương trình là

A. x – 2y + z = 0.

B. x + 2y + 3z = 0.

(12)

C. x – 2y + z + 3 = 0.

D. x – 2y + z – 8 = 0.

Câu 4. Phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm M (0; 1; 2), N (-3; 0; 8), E (4; -5;

0) là:

A. 19x + 9y + 11z – 23 = 0.

B. 19x + 15y + 11z – 37 = 0.

C. 19x + 9y + 11z – 31 = 0.

D. -17x + 9y + 11z – 31 = 0.

Câu 5. Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A (4; 3; 2), B (-1; -2; 1), C (-2; 2; -1).

Phương trình mặt phẳng đi qua A và vuông góc với BC là A. x – 4y – 2z – 4 = 0.

B. x – 4y – 2z + 4 = 0.

C. x – 4y + 2z + 4 = 0.

D. x + 4y – 2z – 4 = 0.

Câu 6: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz. Mặt phẳng (P) đi qua các điểm A (- 1; 0; 0), B (0; 2; 0), C (0; 0; -2) có phương trình là

A. -2x + y + z – 2 = 0.

B. -2x – y – z + 2 = 0.

C. -2x + y – z – 2 = 0.

D. -2x + y – z + 2 = 0.

Câu 7: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, gọi

( )

^ là mặt phẳng qua các hình chiếu của A (5; 4; 3) lên các trục tọa độ. Phương trình của mặt phẳng

( )

^ ^là

A.

x y z

0 5 + + =4 3

B. 12x + 15y + 20z + 60 = 0.

C. 12x + 15y + 20z – 60 = 0.

(13)

D. ^x ^y ^z ⁰ 5 + +4 3 −60=

Câu 8: Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): x + y + z – 3 = 0 và (Q):

x – y + z – 1 = 0. Viết phương trình mặt phẳng (R) vuông góc với (P) và (Q) sao cho khoảng cách từ gốc tọa độ O đến (R) bằng 2 .

A. ^x ^z ² ⁰ x z 2 0

− + =

 − − =



B. ^x ^z ⁴ ⁰ x z 4 0

− + =

 − − =



C. ^x ^y ² ⁰ x y 2 0

− + =

 − − =



D. ^x ^y ⁴ ⁰ x y 4 0

− + =

 − − =

 .

Câu 9: Trong không gian Oxyz biết mặt phẳng ax + by + cz + 5 = 0 qua A (1; 2; 3) và vuông góc với hai mặt phẳng (P): x + y + z – 3 = 0, (Q): 2x – y + z – 5 = 0. Giá trị a + b - c bằng

A. 3.

B. 6.

C. 5.

D. 4.

Câu 10: Trong không gian Oxyz, cho A (1;2;3), mặt phẳng (P): x + y + z – 15 = 0. Viết phương trình mặt phẳng (Q) song song với mặt phẳng (P) biết (Q) cách điểm A một khoảng bằng 3 3 .

A. x + y + z – 15 = 0.

B. ^x ^y ^z ³ ⁰ x y z 15 0

+ + + =

 + + − =



C. x + y + z + 3 = 0.

(14)

D. ^x ^y ^z ³ ⁰ x y z 3 0

+ + + =

 + + − =

 .

ĐÁP ÁN

Câu 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Đáp án

C D A C B C B A B C