Bài 2. Phương trình mặt phẳng A. Lý thuyết
I. Vecto pháp tuyến của mặt phẳng.
1. Định nghĩa:
Cho mặt phẳng (α). Nếu vecto n 0và có giá vuông góc với mặt phẳng (α) thì n được gọi là vecto pháp tuyến của (α)
2. Chú ý. Nếu n là vecto pháp tuyến của một mặt phẳng thì kn (k 0) cũng là vecto pháp tuyến của mặt phẳng đó.
3. Tích có hướng của hai vectơ
- Định nghĩa: Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ a(a ;a ;a )1 2 3 ,
1 2 3
b(b ;b ;b ). Tích có hướng của hai vectơ a và b kí hiệu là a,b , được xác định bởi
2 3 3 1 1 2
2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1
2 3 3 1 1 2
a a a a a a
a, b ; ; a b a b ;a b a b ;a b a b
b b b b b b
- Chú ý: Tích có hướng của hai vectơ là một vectơ, tích vô hướng của hai vectơ là một số.
Ví dụ 1. Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(2; 1;1); B(-1; 2; 0) và C(0; 1; - 2).
Hãy tìm tọa độ của một vecto pháp tuyến của mặt phẳng (ABC).
Lời giải:
Ta có: AB ( 3;1; 1); AC ( 2;0; 3)
Một vecto pháp tuyến của mặt phẳng (ABC) là : n AB; AC ( 3; 7;2).
II. Phương trình tổng quát của mặt phẳng 1. Định nghĩa.
- Phương trình có dạng Ax + By + Cz + D = 0 trong đó A; B; C không đồng thời bằng 0 , được gọi là phương trình tổng quát của mặt phẳng.
- Nhận xét.
a) Nếu mặt phẳng (α) có phương trình Ax + By + Cz + D = 0 thì nó có một vecto pháp tuyến là n (A;B;C) .
b) Phương trình mặt phẳng đi qua điểm M (x0; y0; z0) và nhận vectơ n ( A;B;C) khác 0 là vecto pháp tuyến là: A(x- x0 ) + B( y – y0) + C(z – z0) = 0.
Ví dụ 1. Mặt phẳng 2x – y + 3z – 10 = 0 có một vecto pháp tuyến là n (2; -1; 3).
Ví dụ 2. Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng (ABC) với A(0; 1; -2); B(2;
1; 0); C ( -2; 1; 1) Lời giải:
Ta có: AB( 2;0;2); BC ( 4;0;1)
Một vecto pháp tuyến của mặt phẳng (ABC) là n AB; BC (0; 10;0) Phương trình tổng quát của mặt phẳng (ABC) là:
0(x – 0) – 10(y – 1) + 0(z + 2) = 0 hay y – 1 = 0.
2. Các trường hợp riêng
Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (α) : Ax + By + Cz + D = 0.
a) Nếu D = 0 thì mặt phẳng (α) đi qua gốc tọa độ O.
b)
- Nếu A0,B0,C0 thì mặt phẳng (α) song song hoặc chứa trục Ox.
- Nếu A0,B0,C0 thì mặt phẳng (α) song song hoặc chứa trục Oy.
- Nếu A0,B0,C0 thì mặt phẳng (α) song song hoặc chứa trục Oz.
c)
- Nếu A = B = 0; C 0 thì mặt phẳng (α) song song hoặc trùng với (Oxy).
- Nếu A = C = 0; B0 thì mặt phẳng (α) song song hoặc trùng với (Oxz).
- Nếu B = C = 0; A0 thì mặt phẳng (α) song song hoặc trùng với (Oyz).
- Nhận xét:
Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn
:x y z 1a b c
. Ở đây (α) cắt các trục tọa độ tại các điểm (a; 0; 0); (0; b; 0); (0; 0; c) với abc 0 .
Ví dụ 3. Trong không gian Oxyz, cho ba điểm M(2; 0; 0); N(0; 3; 0); P(0; 0; 1).
Phương trình đoạn chắn của mp(MNP) là:
x y z
2 3 1 1
III. Điều kiện để hai mặt phẳng song song, vuông góc.
Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (α) và (β) có phương trình:
(α): A1x + B1y + C1z + D1 = 0 (β): A2x + B2y + C2z + D2 = 0
Hai mặt phẳng (α); (β) có hai vecto pháp tuyến lần lượt là:
1 1 1 1 2 2 2 2
n (A ; B ;C ); n (A ; B ;C )
1. Điều kiện để hai mặt phẳng song song.
1 2
1 2
1 1 1 2 2 2
1 2
n k.n ( ) / / ( )
D kD
(A ;B ;C ) k(A ; B ;C ) D kD
1 2
1 2
1 1 1 2 2 2
1 2
n k.n ( ) ( )
D kD
(A ;B ;C ) k(A ; B ;C ) D kD
- Chú ý: Để (α) cắt (β) n1 k.n2 (A ;B ;C )1 1 1 k(A ; B ;C )2 2 2 .
Ví dụ 4. Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua A(2; 1; 2) và song song với mặt phẳng (P): x – y + 2z – 1 = 0.
Lời giải:
Vì mp(α) song song với mặt phẳng (P): x – y + 2z – 1 = 0 nên n (1; 1;2) Mặt phẳng (α) đi qua A(2;1; 2) nên có phương trình:
1( x – 2) – 1(y – 1) + 2( z – 2) = 0 hay x – y + 2z – 5 = 0.
2. Điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc.
1 2
1 2 1 2 1 2
( ) ( ) n n
A A B B C C 0
Ví dụ 5. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A(1; 0; 1); B( 2; 1; -1) và vuông góc với mặt phẳng (Q): x – y + 2z – 1 = 0
Lời giải:
Ta có vecto pháp tuyến của mặt phẳng (Q) là: nQ(1; 1;2) Và AB (1;1; 2)
Vì nP n ; nQ P AB nên nP n ; ABQ (0;4;2) Phương trình mặt phẳng (P) là:
0(x – 1) + 4(y – 0) + 2(z – 1) = 0 hay 4y – 2z – 2 = 0 IV. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.
- Định lí: Trong không gian Oxyz, cho điểm M0(x0; y0; z0) và mặt phẳng (α): Ax + By + Cz + D = 0 .
Khi đó khoảng cách từ điểm M0 đến mặt phẳng (α) được tính:
0 0 0
0 2 2 2
| Ax By Cz D | d(M ,( ))
A B C
.
Ví dụ 6. Tính khoảng cách từ điểm M(2; 3; 0) và N( 1; 1; 1) đến mặt phẳng (P):
2x – y + 2z + 1 = 0.
Lời giải:
Theo công thức tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng ta có:
2 2 2
2.2 3 2.0 1 2 d(M; (P))
2 ( 1) 2 3
2 2 2
2.1 1 2.1 1 4 d(N; (P))
2 ( 1) 2 3
Ví dụ 7. Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song được cho bởi phương trình: (P): x – 2y +2z + 3 = 0 và (Q): x – 2y + 2z – 7= 0.
Lời giải:
Ta biết khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song bằng khoảng cách từ một điểm bất kì thuộc mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.
Lấy điểm A(-3; 0; 0) thuộc mặt phẳng (P).
Ta có:
2 2 2
3 2.0 2.0 7 10 d((P);(Q)) d(A;(Q))
1 ( 2) 2 3
.
B. Bài tập tự luyện
Các bài tập sau đây đều xét trong không gian Oxyz.
Bài 1. Viết phương trình mặt phẳng (P) biết:
a) Đi qua điểm M(0; 1; 2) và nhận n (2; 1; 1) làm vecto pháp tuyến.
b) Đi qua ba điểm A(1; 0; 0); B(0; -2: 0) và C (0; 0; - 3).
c) Đi qua ba điểm A(1; 1; 2); B(1; 0; 0) và C(0; 2; 1) Lời giải:
a) Phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) là:
2(x – 0) + 1(y – 1) + 1.(z – 2) = 0 hay 2x + y + z – 3 = 0.
b) Phương trình đoạn chắn của mặt phẳng (P) là:
x y z
1 2 3 1
.
c) Ta có: AB(0; 1; 2);AC( 1;1; 1)
Một vecto pháp tuyến của mặt phẳng (P) là : n AB; AC (3;2; 1) .
Phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) là:
3(x – 1) + 2(y -1) – 1(z – 2) = 0 hay 3x + 2y – z – 3 = 0 Bài 2. Hãy viết phương trình mặt phẳng (P) thỏa mãn:
a) Đi qua M(2; 1; 1) và song song với mặt phẳng (Q): x – 2y + z – 3 = 0
b) Đi qua A(1; 2; 0); B( 0; -2; 1) và vuông góc với mặt phẳng (Q); 2x + z – 3 = 0.
Lời giải:
a) Vì mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (Q) nên một vecto pháp tuyến của mặt phẳng (P) là: nP (1; 2;1) .
Phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) là:
1( x – 2) – 2(y – 1) + 1(z – 1) = 0 hay x – 2y + z – 1 = 0.
b) Ta có: nQ (2;0;1); AB( 1; 4;1)
Vecto pháp tuyến của mặt phẳng (P) thỏa mãn: nPn ; nQ PAB
P Q
n n ;AB (4; 3; 8)
.
Phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) là:
4( x – 1) – 3( y -2) – 8(z – 0) = 0 hay 4x – 3y – 8z + 2 = 0.
Bài 3. Tính khoảng cách từ điểm M(-3; 2; 1) đến mỗi mặt phẳng sau:
a) Mặt phẳng (P): 2x + 2y - 3z – 1 = 0;
b) Mặt phẳng (Q): x + z – 4 = 0 c) Mặt phẳng (H): x – 6 = 0.
Lời giải:
Áp dụng công thức tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng ta được:
a) 2 2 2
2.( 3) 2.2 3.1 1 6 d(M; (P))
2 2 ( 3) 17
b) 2 2 2
3 1 4 6
d(M; (Q))
1 0 1 2
.
c) 2 2 2
d(M; (H)) 3 6 9
1 0 0
