Phương pháp làm bài tập giới hạn hàm số toán lớp 11

GIỚI HẠN HÀM SỐ

Mục lục

1 Giới hạn hàm số của dạng vô định 0

0 2

1.1 Dạng 1: Dạng vô định 0

0 của hàm phân thức đại số . . . 2

1.2 Dạng 2: Dạng vô định 0 0 của hàm phân thức chứa căn thức bậc hai . . . 2

1.3 Dạng vô dịnh 0 0 của hàm phân thức chứa căn thức bậc 3 . . . 3

1.4 Dạng 4: Dạng vô định 0 0 của hàm phân thức chứa căn thức bậc cao . . . 3

1.5 Dạng 5: Dạng vô định 0 0 của hàm phân thức chứa căn thức không cùng bậc . . . 3

1.6 Dạng 6: Dạng vô định 0 0 của một hàm hàm số lượng giác . . . 4

1.7 Dạng 7: Dạng vô định 0 0 của hàm số mũ và hàm số logarit . . . 4

1.8 Dạng 8: Áp dụng định nghĩa đạo hàm . . . 5

2 Giới hạn hàm số của dạng vô định ∞ ∞,∞ − ∞,1^∞,0.∞ 6 2.1 Dạng vô dịnh ∞ ∞ . . . 6

2.2 Dạng vô định ∞ − ∞ . . . 6

2.3 Dạng vô định1 ^∞ . . . 7

2.4 Dạng vô định0. ∞ . . . 7

3 Một số dạng toán liên quan 7 3.1 Dạng 1: Xét tính liên tục của hàm số tại một điểm . . . 7

3.2 Dạng 2: Tính đạo hàm của hàm số tại một điểm . . . 8

1 Giới hạn hàm số của dạng vô định 0 0

1.1 Dạng 1: Dạng vô định 0

0 của hàm phân thức đại số

Tìmlim

x→x₀

f(x)

g(x) trong đó f(x), g(x) là các hàm đa thức khác 0 nhận x=x ₀ là nghiệm Cách giải: Ta cólim

x→x₀

f(x) g(x) =lim

x→x₀

(x−x₀)f₁(x) (x−x₀)g₁(x) =lim

x→x₀

f₁(x)

g₁(x) =...=lim

x→x₀

f_k(x)

g_k(x) = f_k(x₀) g_k(x₀). Với điều kiện f_k²(x₀)+ g_k²(x₀)

Thí dụ 1: Tínhlim

x→1

x³ +x²−2 x⁴−x³+x²+x−2 Bài tập tự luyện

Tìm các giới hạn sau:

a.lim

x→¹

2

8x³−1

6x²−5x+1 b.lim

x→1

2x⁴−5x³+3x ² +x−1 3x⁴−8x³+6x ²−1 c.lim

x→√ 2

2x³−(4√

2+1)x ² +(4+2 √

2)x−2 x³−(2√

2+1)x ²+(2+2 √

2)x−2

1.2 Dạng 2: Dạng vô định 0

0 của hàm phân thức chứa căn thức bậc hai

Tìmlim

x→x0

pf(x)−a

g(x) trong đó p

f(x₀)=a vàg (x₀)=0 Cách giải: Khi đó thực hiện phép nhân biểu thức liên hợpp

f(x) +a ta đượclim

x→x₀

pf(x)−a g(x) =

x→xlim0

f(x)−a² g(x)(p

f(x)+ a) =lim

x→x0

(x−x₀)f₁(x) (p

f(x)+ a)(x−x₀)g₁(x) =lim

x→x0

f₁(x) (p

f(x)+ a)g₁(x) = f₁(x₀) 2a.g₁(x₀) Chú ý: Việc tìm các giới hạnlim

x→x0

pf(x)−a pg(x)−b,lim

x→x0

pf₁(x)−p f₂(x) g(x) ,lim

x→x0

pf₁(x)−p f₂(x) pg₁(x)−p

g₂(x) hoàn toàn tương tự.

Thí dụ 2: Tínhlim

x→1

√x+8 −3 x²+2x −3 Thí dụ 3: Tínhlim

x→1

√x+ √

x−1−1

√x²−1

Chú ý: Khi tìm giới hạn hàm phân thức chứa căn bậc 2 dạng 0

0 đôi khi ta tách thành tổng các phân thức dạng trên rồi nhân lượng liên hợp.

Bài tập tự luyện Tính các giới hạn sau:

a.lim

x→2

√x+2 −√

√ 2x

x−1−√

3−x b.lim

x→1

x−1

√x²+3+ x³−3x c.lim

x→2

√x−1+ x⁴−3x³+x²+3

√2x−2

1.3 Dạng vô dịnh 0

0 của hàm phân thức chứa căn thức bậc 3

Tìmlim

x→x0

p3

f(x)−a

g(x) trong đó p³

f(x₀)=a vàg (x₀)=0 Cách giải: Thực hiện phép nhân biểu thức liên hợp p³

f²(x)+ ap³

f(x)+ a² Chú ý: Việc tìm các giới hạn dạnglim

x→x₀

p3

f(x)+ a g(x) ;lim

x→x₀

p3

f(x)±a p3

g(x)±b;

x→xlim₀ p3

f(x)±a pg(x)−b;lim

x→x₀

p3

f1(x)±p³ f2(x) pg₁(x)−p

g₂(x);

x→xlim₀ p3

f1(x)±p³ f2(x) p3

g₁(x)±p³

g₂(x) hoàn toàn tương tự.

Thí dụ 4: Tínhlim

x→2

√3

4x−2

x−2 ĐS: 1 3 Thí dụ 5: Tínhlim

x→−1

√3

x+ x²+x+1 x+1

Bài tập tự luyện: Tính các giới hạn sau:

a.lim

x→1

√3

2x−1−√³

√ x

x−1 b.lim

x→1

√2x−1+ x²−3x+1

√3

x−1+ x²−x+1

1.4 Dạng 4: Dạng vô định 0

0 của hàm phân thức chứa căn thức bậc cao

Dạng thường gặp: Tìmlim

x→0

√n

1+ ax−1 x Cách giải: Đặt t= √ⁿ

1+ ax →tⁿ=1+ ax→x= tⁿ−1

a và khi x→0 thì t →1 Khi đólim

x→0

√n

1+ ax−1

x =lim

t→1

a(t−1) tⁿ−1 = a

n Thí dụ 6: Tínhlim

x→0

√5

1+5x −1 x

Bài tập tự luyện: Tính các giới hạn sau:

a.lim

x→0

√4

2x+1 −1

x b.lim

x→1

√4

4x−3−1

x−1 c.lim

x→1

√7

2−x−1 x−1

1.5 Dạng 5: Dạng vô định 0

0 của hàm phân thức chứa căn thức không cùng bậc

Cách giải: Thêm và bớt một số hạng thích hợp, tách ra thành hai giới hạn của dạng vô định 0

0

Thí dụ 7: Tínhlim

x→0

2√

1+ x−√³ 8−x

x (Hướng dẫn: thêm bớt 2 ở tử số) Thí dụ 8: Tínhlim

x→0

√1+2x −√³ 1+3x

x² (Hướng dẫn: thêm bớt 1+x ở tử số) Bài tập tự luyện: Tính các giới hạn sau:

a.lim

x→2

√3

8x+11 −√ x+7

x²−3x+2 b.lim

x→0

√3

1+ x²−√⁴ 1−2x x+ x²

c.lim

√1+4x −√³

1+6x d.lim

√4

2x−1+ √⁵ x−2

e.lim

x→0

(x +2004) 1−2x−2004

x f.lim

x→0

(x +2001) 1−5x−2001 x

1.6 Dạng 6: Dạng vô định 0

0 của một hàm hàm số lượng giác

Định lí:lim

x→0

sinx x =1 Hệ quả:lim

x→a

sinu(x)

u(x) =1 (nếulim

x→a=0); lim

x→0

x

sinx =1;lim

x→0

tanx x =1 Thí dụ 9: Tìmlim

x→^π

2

( 1

cosx−tanx) Làm theo 2 cách Thí dụ 10:Tìmlim

x→^π

3

sinx−√ 3 cosx sin 3x . Bài tập tự luyện:

Tính các giới hạn sau:

a)lim

x→0

1−cosx.√ cos 2x

x² ; b)lim

x→^π₄

sinx−

√2 2 tanx−1 . c)lim

x→0

cos⁴x−sin⁴x−1

√x²+1 −1 d)lim

x→0

1−√³ cosx tan²x e)lim

x→0

cos (π 2cosx) sin² x

2

g)lim

x→0

1−√

2x+1+sin x

√3x+4 −2−x

h)lim

x→0

1− |1+sin 3x |

√1−cosx

i)lim

x→0

1−cos 3x.cos 5x.cos 7x sin²7x

k)lim

x→^π

4

√3

tanx−1

2 sin²x−1 m)lim

x→0

1−cosx.cos 2x x²

1.7 Dạng 7: Dạng vô định 0

0 của hàm số mũ và hàm số logarit

Định lý:lim

x→∞

1+ 1

x x

= e; lim

x→∞(1+ x) 1

x = e; lim

x→0

ln 1+ x

x =1; lim

x→0

e^x−1

x =

1

Thí dụ 11 : Tínhlim

x→0

e^ax−e^bx x Thí dụ 12: Tínhlim

x→0

ln tan π

4 +ax

sinbx Thí dụ 13:Tínhlim

x→0

ln (sinx+cos x) x

Bài tập luyện tập : Tính các giới hạn sau:

a.lim

x→0

e^{sin 2x}−e^sinx

sinx ; .lim

x→0

e^2x−1

√1+ x−√ 1−x c.lim

x→0

e^3x2.cos²x−1

x² ; d.lim

x→0

3^x2 −cosx x² e.lim

x→0

e^−2x2 −√³ 1+ x²

ln (1+ x²) ; g.lim

x→0

e^{cosx−cos 3x}−cos 2x x²

1.8 Dạng 8: Áp dụng định nghĩa đạo hàm

Ta có f⁰(x₀)=lim

x→x₀

f(x)−f(x₀) x−x₀ Thí dụ 14 :Tìm A=lim

x→0

(x²+2010) √⁹

1−9x−2010 x

Thí dụ 15 :Tìm B=lim

x→0

1−√

2x+1+sin x

√3x+4 −2 Bài tập tự luyện:

Tính các giới hạn sau:

a.lim

x→1

√4

2x−1+ √⁵ x−2

x−1 ; b.lim

x→0

1−√

2x+1+sin x

√3x+4 −2 c.lim

x→0

e^{sin 2x}−e^sinx

sinx ; d.lim

x→^π

4

√3

tanx−1 2 sin²x−1 e.lim

x→0

e^−2x2 −√³ 1+ x² ln (1+ x²)

Một số bài trong các đề thi Bài 1:lim

x→1

√2x−1−√ x

x−1 (HVNH-98) Bài 2:lim

x→1

x³ −√ 3x−2

x−1 (ĐHQG-98) Bài 3:lim

x→0

2√

1+ x−√³ 8−x

x (ĐHQG KA-97)

Bài 4:lim

x→1

√4

2x−1+ √⁵ x−2

x−1 (ĐHSP II KA-99) Bài 5:lim

x→0

1−cos²2x

xsinx (ĐH ĐN KD-97) Bài 6:lim

x→0

1− |1+sin 3x |

√1−cosx

(ĐHQG KB 97) Bài 7:lim

x→0

2

sin 2x −cotx

(ĐHL-98) Bài 8:lim

x→0

tanx−sinx

x³ (HVKTQS-97) Bài 9:lim

x→0

cosπ

2 cosx sin²x

2

(ĐHTN-KA-97) Bài 10:lim

x→0

1−sin 2x−cos 2x 1+sin 2x −cos 2x Bài 11:lim

x→0

tan(a+ x).tan(a−x)−tan²a

x² (ĐHTN-98)

Bài 12:lim

x→0

98 83

1−cos 3x.cos 5x.cos 7x sin²7x

(ĐHAN KA00) Bài 13:lim

x→0

1−√

2x+1+sin x

√3x+4 −2−x (ĐHGTVT 98) Bài 14:lim

x→0

√1+ x²−cosx

x² (ĐHTM-99)

Bài 15:lim

x→0

1−√ cosx 1−cos√

x (ĐHHH-97) Bài 16:lim

x→0

√1+tan x−√

1+sin x

x³ (ĐHHH 00)

sin 2x− ^sinx

Bài 18:lim

x→1

x +x −2

sin(x−1) (ĐHQG KD-99) Bài 19:lim

x→0

e^−2x2 −√³ 1+ x²

ln(1+ x²) (GTVT 01) Bài 20:lim

x→0

√2x+1 −√³ x²+1

sinx (ĐHQG-00) Bài 21:lim

x→1

√5−x−√³ x²+7

x²−1 (TCKT-01) Bài 22:lim

x→0

√1+2x −√³ 1+3x

x² (ĐH Thủy Lợi -01) Bài 23:lim

x→ π 4

tan 2x.tan ^π₄ −x

(ĐHSP II-00)

Bài 24:lim

x→0

3^x2 −cosx

x² (ĐHSP II-00) Bài 25:lim

x→0

cos⁴x−sin⁴x−1

√x²+1 −1 (ĐHHH-01) Bài 26:lim

x→0

√x+1+ √³ x−1

x (TK-02)

Bài 27:lim

x→1

x⁶−6x+5

(x−1)² (TK-02) Bài 28:lim

x→0

1−√ 2x²+1

1−cosx (ĐHBK-01)

2 Giới hạn hàm số của dạng vô định ∞

∞ , ∞ − ∞, 1

, 0.∞

2.1 Dạng vô dịnh ∞

∞

Cách giải : Để khử dạng vô định ∞

∞ ta thường chia tử và mẫu cho lũy thừa bậc cao nhất của biến.

Thí dụ 1 : Tính lim

x→+∞

px+ √

√ x x+1 Thí dụ 2 : Tính lim

x→+∞

x²+2x+1 x√

x+1 Bài tập tự luyện :

Tính các giới hạn:

a. lim

x→+∞

x+1 x√

x+ √

x; b. lim

x→+∞

√x+ √³ x+ √⁴

√ x 2x+1

2.2 Dạng vô định ∞ − ∞

Cách giải: Thực hiện phép nhân liên hợp để khử dạng vô định ∞ − ∞. Đôi khi phải cùng thêm và bớt một số hạng để tách thành hai giới hạn dạng ∞ − ∞, rồi mới thực hiện phép nhân liên hợp như trên.

Thí dụ 3: Tìm lim

x→+∞(√

x² −1−x) Thí dụ 4 : Tìm lim

x→+∞(√³

x³+3x ²−√

x²−x+1) Bài tập tự luyện:

Tìm các giới hạn sau:

a. lim

x→+∞( x²+x+1 − x²−x+1) b. lim

x→+∞( 4x² +3x −1− 8x³−5x² +3)

2.3 Dạng vô định 1

Tìm lim

x→+∞

f(x) g(x)

x

, trong đó lim

x→+∞

f(x) g(x) =1 Cách giải: Biến đổi f(x)

g(x) =1+ 1

t, khi đó x → +∞ ⇔ t → +∞. Đưa về giới hạn cơ bản

t→+∞lim

1+ 1 t

t

=e Thí dụ 5 : Tìm lim

x→+∞

x+3 x+1

x

Bài tập tự luyện:

Tìm các giới hạn:

a. lim

x→+∞

2x+3 2x−1

x

b. lim

x→+∞

x+3 x−1

x

2.4 Dạng vô định 0. ∞

Cách giải: Biến đổi đưa về dạng 0

0 hoặc ∞

∞ Thí dụ 6: (Đưa về dạng 0

0) Tìm lim

x→−1⁺(x³+1)

r x x²−1 Thí dụ 7: (Đưa về dạng ∞

∞ Tìm lim

x→+∞(x−2) r x+1

x³−x Bài tập tự luyện:

Tìm các giới hạn:

a.lim

x→4⁺(x²−16)

r x

x³−64 b. lim

x→+∞

x−1 x³+5

√x+2

3 Một số dạng toán liên quan

3.1 Dạng 1: Xét tính liên tục của hàm số tại một điểm

Cách giải (Sử dụng định nghĩa)

• Hàm số y=f (x) liên tục tại điểmx=x ₀ khi và chỉ khilim

x→x₀f(x)=f (x₀)

• Đôi khi ta phải sử dụng đến tính liên tục từng phía tại điểm x=x ₀. Hàm số y=f (x) liên tục tại điểmx=x ₀ khi và chỉ khilim

x→x⁺₀

f(x)= lim

x→x⁻₀

f(x)=f (x₀).

Thí dụ 8: Tìm a để hàm số sau liên tục tại điểmx=1:

f(x)=







√3

x−2+ √ 2x−1

x−1 khi x6=1

a khi x=1

Thí dụ 9: Cho f(x)=

e^x khi x <0

a+ x khi x≥0 Hãy tìm a sao cho hàm số f(x) liên tục.

a. f(x)=





tanx−3 cotx

3x−π khi x6= π 3

m khi x= π

3 b. f(x)=

e^x khi x <1 mx−1 khi x≥1

3.2 Dạng 2: Tính đạo hàm của hàm số tại một điểm

Cách giải: Sử dụng định nghĩa đạo hàm của hàm số tại một điểm Thí dụ 10: Tính đạo hàm của hàm số sau tại điểm x=0:

y=f (x)=







e^tanx−sinx−1

x² khi x6=0

0 khi x=0

Bài tập tự luyện:

1. Tính đạo hàm của hàm số sau tại điểm x=0: y=f (x)=

( ln (cos 2x)

sinx khi x6=0

0 khi x=0

2. Cho hàm số y=f (x)=

x² khi x≤1 ax+ b khi x >1 Tìm a, b để f(x) có đạo hàm tại điểm x=1 3. Chứng minh rằng hàm số y= x²−2|x+3 |

3x−1 liên tục tại x= −3 nhưng không có đạo hàm tại điểm này.

—————– Hết ——————–