1
MỘT SỐ BÀI TẬP CHƯƠNG 4 – GIỚI HẠN
A. GIỚI HẠN DÃY SỐ
Bài tập 1: Tính các giới hạn:
2 1 lim 2 /
1
n
n
4 1 lim 3
/
2 2
2
n
n
2 3
1 lim 5 /
3
n
n
n n n
n n
2 2
2
3 lim 2
/
4
1 3 lim 2
/
5 2
n n
n
n
) 3 )(
2 3 (
) 1 2 )(
1 lim ( /
6
n n
n n
1 3
lim 2 /
7 2
2
n n
n
n
1 3 lim 2 /
8 4 2
3
n n
n
) 2 )(
1 (
) 3 )(
2 lim ( /
9
n n
n n
n
Bài tập 2: Tính các giới hạn:
1 1 lim 2
/
1 2
2
n
n
2 5 lim 2
/
2 2
n n
n
2 3
lim 2 /
3 2
3
n n
n n
4 / lim 3 n2 n3 n
2 3
1 lim 2
/
5 3
2
n
n
n
6 / lim 3 n3 2
n2 n
Bài tập 3: Tính các giới hạn:
n n n
3 2 lim 1 /
1 2
2
4
3 2
) 1 (
) 2 ( ) 1 lim ( /
2
n n
n
n
3 / lim n2 n n2 1
4 / lim(
n33
n2 n3 )2 1 11 lim 2
/
5 2
3
n
n
n
4 2
lim 1 /
6 n2 n2
B. GIỚI HẠN HÀM SỐ
Bài tập 1: Tính các giới hạn:
1/lim(2 3)
2
x
x
2 / lim ( 2
33 4 )
2
x x
x
1 1 lim 4
/
3 2
2
1
x x x x
x
1 2 lim 1
/ 4
3
x
x x
x 5/lim( 2 3 )
1 x x
x
2 lim 25
/ 6
2
5
x x
x
Dạng 0 0
Bài tập 2: Tính các giới hạn:
1 2 lim 3
/ 4
4 lim 6
/ 1
2 3
3 1
2 2 2
x x x
x x x
x x
x x
8 lim 4
/ 5
20 lim 16
/ 2
3 2 2
2 2 4
x x
x x
x
x x
9 lim 3
/ 6
3 3 lim 4
/ 3
3 2 2 3
x x
x x x
x x
Bài tập 3: Tính các giới hạn:
x x x
x x
x x
x x x
2 1 2 lim 1 / 7
4 2 lim 3
/ 4
2 1 2 lim 1 / 1
0 2 2 0
2 2 lim 4
/ 8
3 3
2 2
lim 3 / 5
3 9
lim 4 / 2
3 2
1 0
x x
x x x x x
x x x
25 3 lim 2
/ 9
3 4
4 7
lim 2 / 6
3 2
3 7 lim 2
/ 3
2 3 5 1 3 1
x x
x x
x x
x x
x x x
2 Bài tập 4: Tính các giới hạn:
3 3
27 lim 6
/ 7
2 2 lim 2
/ 4
1 lim 1
/ 1
2 3
2 4 3
2 2 2
3 1
x x x
x x
x x
x x x
x x x
3 3
3 2
0 1
2 2 3 1
2 3 2
1 lim 1
/ 8
4 5
3 lim 2
/ 5
4 3
4 lim 2
/ 2
x x
x x x
x x
x x
x x x
x x x
3 1 4 lim 2 / 9
2 3
2 4
2 lim 3 / 6
1 lim 1
/ 3
2
2 2 1
2 0
x x x
x x
x x x
x x x x
x x x
Bài tập 5: Tính các giới hạn:
x x x x
x x
x x x
x x
x x x
x x
x x x x x
5 1
5 lim 3
/ 5
6 2
2 lim 3
/ 4
) 1 )(
1 lim ( / 3
3 3 lim 4
/ 2
1 lim1 / 1
4 2 2 2
2 3
2 3
2 3
3 0
2 3 lim 1
/ 10
3 1 lim1 / 9
2 3 2 lim 1 / 8
1 1 lim 2
/ 7
2 3 lim 1
/ 6
2 3 1
3 0 4
2 3 2
1 2 3 1
x x x
x x
x x
x x x
x x
x x x x x
Tính các giới hạn bằng cách thêm, bớt lượng liên hợp.
Bài tập 6: Tính các giới hạn:
3 5 lim 1
/ 3
1 lim 1
/ 2
2 3
7 11
lim 8 / 1
3 3
3 0
2 3 2
x x x
x x x
x x
x x
x x x
2 1 2 lim 2
/ 6
2 6 lim 6
/ 5
1 3 lim 9
/ 4
1 2 2 3 2
3 1
x x
x x
x x
x x
x x x
x x x
Dạng
Bài tập 7: Tính các giới hạn:
3
2
3 2
5 2
3
1 / lim 1
2 3
2 / lim 1
2
2 1
3 / lim
1
x
x
x
x x x x
x
x x
x
2 2
3 2
4
2 3 1
4 / lim
3 5
( 2)(2 1)(1 4 ) 5 / lim
(3 4)
3 8
6 / lim
6 1
x
x
x
x x
x x
x x x
x
x x
x x
3 2
2
3 3
2
2 3
4 3 7
7 / lim
3 5
2 3
8 / lim
1
4 1
9 / lim
3 1
2 3
10 / lim
2 1
x
x
x
x
x x
x x
x x
x x x x x
x x
ĐS 1 2 8
1 / ; 2 / ;3 / ; 4 / ;5 /
2 3 27
2
6 / 0; 7 / ;8 / 1;9 / ;10 / 0
3 Bài tập 8: Tính các giới hạn:
x x
x x
x
x
4 1 2
4 1 3 lim 2
/
1
22
1
1 2 4 1 lim 9
/ 2
2 2
x
x x x
x
x ĐS
5 / 1
1
1 / 1 2 Dạng
Bài tập 9: Tính các giới hạn:
1 3 2
2
3 3 2
1 3 1
lim 1 / 4
) (
lim / 3
) 3 4 4 1 2 ( lim / 2
) (
lim / 1
x x x x x
x x x
x x x
x x
x x
6 5 1 2
3 lim 1
/ 8
) 1 1
( lim / 7
) 1 (
lim / 6
) 3
( lim / 5
2 2 2
2 2
2
3 2 3
x x x
x
x x x
x x x
x x x
x x x x
ĐS
1 / 4
2 / 1 3
/ 0 2
3 / 1 1
2 / 8
1 / 7
0 / 6
1 / 5
Dạng : Tìm giới hạn của các hàm số lượng giác:
Cho biết : sin 1 lim
0
x x
x
Bài tập 10: Tính giới hạn các hàm số lượng giác sau:
0 2 0 0 0
2 4 cos lim1
/ 4
sin 2 cos lim1
/ 3
1 1 2 lim sin
/ 2
2 5 limsin / 1
x x x x
x x
x x
x
x x x x
0 2 0
2 2
0 0 3
6 cos lim1
/ 8
2 lim 3 / 7
sin 3 lim / 6
lim sin / 5
x x x
x tg
x x x
x tgx
x x x x
x x
x x x
x tg
x x
x
x x x x
cos 2 1 sin 3 lim / 12
sin
cos sin
lim 1 / 11
cos 1 lim 2
/ 10
5 cos 1
3 cos lim1
/ 9
3
2 2 0
0 2 0
4 ĐS:
25 / 9 9
2 /1 5
2 /5 1
8 / 2 10
9 /1 6
4 / 2
1 / 11
2 /3 7
2 / 3
3 / 1 12
18 / 8
4 / 4
Dạng 1: Tìm các điểm gián đoạn của các hàm số:
Bài tập: Tìm các điểm gián đoạn của các hàm số sau:
2 . 3
4 5 / 2
. 3 4 5 /
2 2
2 3
x x
x y x
b
x x x y a
2 . 2 sin / cot
. 5 cos /
x tg
x y gx
d
x tgx
y c
Dạng 2: Xét tính liên tục của hàm số:
Bài tập 1: Cho hàm số:
1 2 3 ) 2
(
2 2
x x x
x x
f
) 1 (
) 1 (
x x
Xét tính liên tục của hàm số f(x) tại x0 = 1.
Bài tập 2: Cho hàm số:
2 4
2 1 )
( 2
x x
x x
f
) 2 (
) 2 (
x x
Xét tính liên tục của hàm số f(x) tại x0 = 2.
Bài tập 3: Cho hàm số:
1 1
1 1 2 3 ) (
3 x x x
f
) 0 (
) 0 (
x x
Xét tính liên tục của hàm số f(x) tại x0 = 0.
Bài tập 4: Cho hàm số:
5
1 1 )
(
2
x x x
f
) 1 (
) 1 (
x x
Xét tính liên tục của hàm số f(x) tại x0 = 1.
Bài tập 5: Cho hàm số:
1 1 2 )
( 3
x x ax x
f
) 1 (
) 1 (
x x
Định a để hàm số f(x) liên tục tại x0 = 1.
Bài tập 6: Cho hàm số:
x x x
f
2 3 2 1 1 )
(
) 2 (
) 2 (
x x
Xét tính liên tục của hàm số f(x) tại x0 = 2.
Bài tập 7: Cho hàm số:
x x x
x a x x f
1 1
2 4 )
(
) 0 (
) 0 (
x x
Định a để hàm số f(x) liên tục tại x0 = 0.
Bài tập 8: Cho hàm số:
2 2 2 3
4 1 )
( 3
x x ax x
f
) 2 (
) 2 (
x x
5 Định a để hàm số f(x) liên tục trên R.
Bài tập 9: Cho hàm số:
2 3
2 4
3 2 )
(
2 3 2
x x
x ax x
f
) 2 (
) 2 (
x x
Định a để hàm số f(x) liên tục trên R.
Bài tập 10: Cho hàm số:
x x x
f 1 cos
1 )
(
) 0 (
) 0 (
x x
Xét tính liên tục của hàm số trên toàn trục số.
Dạng 3: Chứng minh phương trình có nghiệm:
Bài tập 1: CMR các phương trình sau đây có nghiệm:
0 100 10
/
0 10 9 6 /
0 1 3 /
3 5
2 3
4
x x
c
x x x b
x x a
Bài tập 2: CMR phương trình 2x3 6x10 có 3 nghiệm trong khoảng (-2 ; 2).
Bài tập 3: CMR phương trình x3 3x10 có 3 nghiệm phân biệt.
Bài tập 4: CMR phương trình 3x4 4x3 6x2 12x200 có ít nhất hai nghiệm.
Bài tập 5: CMR các phương trình sau co ùhai nghiệm phân biệt:
. 0 ) 5 ( ) 9 ( /
. 0 3 2 ) 2 )(
1 ( /
2
x x x
m b
x x
x m
a
