Đoàn Ngọc Dũng -

HƯỚNG DẪN GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 2

GVBM : ĐOÀN NGỌC DŨNG I . PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN

BÀI 1 : Giải các phương trình lượng giác sau :

1)

 

cos3x cos



3x



x 3 cos x

3 cos x

2cos x 1 2 sin x 3

3 cos 2 x cos x sin 3

1   



 



  



















2)

Điều kiện :

k2 x 2

0 x

cos 







 , kZ

 

2sin2x

x 4 sin 2 x cos x sin 2 2 x cos x sin x sin 2 x 2 cos

x 1 sin

1 



 



 

















3)      

k2 x 8

2 2 k x 4 1 x 4 4 sin x 1 2 cos x 2 2sin 1 4 x 1 cos x sin x cos x sin

1  ²  ²          

4)  

1 2sin2xcosxsin2x2cos2xcosxcos2xsin2x



2cosx1



cos2x



2cosx1







2cosx1



sin2xcos2x



0

5)

 

^{1 2cosx}



^{4cos33x3cos3x}



^{cosxcos10x2cos24x0} 2cos x cos9x cos x cos10x 2cos 4x   ² 0 cos10x cos8x cos x cos10x 2cos 4x2 0

      cosx1xk2

6)

Điều kiện : _{ }^_{ }













































 

















 

 





 



 

3 k x 3 k

x 3 k x 2 k

6 x 3 k x 0 6 x

cos 3 0 x

sin , kZ

Ta có :

8 x 1 cot 6 x 3

8cot

VP 1 



 

 



 



 



 Vì x 3

 phụ với x 6 

 



 

 





 



 



 x

tan 6 x 3

cot

 

      



 



 



 



 





 cos4x 1 4x k2

8 1 2

x 2 cos 1 2

x 2 cos 1 8 x 1 cos x sin 1

2 2

4 4

k2 x4 



7)

 

2 x 3 2 4 cos x 3 2 cos x

2 16 cos

x 1 2 4sin 1 3

1   ²   ²  ²    . Giải 2 trường hợp.

8)

 

cos10x

2

x 4 cos x 16 x cos

10 cos 2

2 4 x 10 2 sin

x 16 cos 1 2

x 4 cos

1 1 



 









 



   

 

 





cos6x 1



0 x

10 cos x

10 cos x 6 cos . x 10

cos    





9)

 

x cos x sin

x cos x sin x 4

sin 2 2

1 





 



 



 Điều kiện :

k2 x 0 x cos x

sin    

 

0

x cos x sin 2 1 x 4

sin x 2

cos x sin

x 4 sin 2 x 4

sin 2 2

1 

 



 



 





 



 





 



 



10)

Điều kiện :

k2 0 x

x cos

0 x

sin   









 

sin2x 0

x cos x sin

x cos x sin 2 1 x 2 sin 2

x 2 sin

1 2 ^{2 2 2}  

 



 

 

 (loại)  phương trình đã cho vô nghiệm

11)

  

cos2x cos6x



cos4x cos8x

2 x 8 cos 1 2

x 4 cos 1 2

x 6 cos 1 2

x 2 cos

1 1          



cos4x cos6x



0 cosx.cos2x.cos5x 0 x

2 cos x

2 cos x 6 cos x 2 cos x 4

cos      





12)

     

_{sin 4x}

4

x 3 sin x cos 3 x 3 cos 4

x 3 cos x 3 sin x sin

1  3     ³

x 4 sin 4 x 4 sin 3 x 4 sin 4 x 3 sin x cos 3 x 3 cos x 3 sin x 3 cos x 3 sin x 3 cos x sin

3     ³   ³

 sin4x



4sin²4x3



0

13)

Điều kiện :









 

 

 

 













 









k5 x

k9 x 18

k x 5

2 k x 9 0 x 5 sin

0 x 9 cos

 

1 sinxcot5xcos9xsinxcos5xsin5xcos9xsin14xsin4xsin6xsin4xsin14xsin6x

14)

  

1  sinxcosx



1sinxcosx



sinxcosx



sinxcosx



sinxcosx0

15)

Điều kiện :

k2 x 0 x 2

sin    

 

sin x cos x sin x cos x

x 2 sin

x cos x sin x

2 sin

x cos x

1 sin⁴  ⁴  ²  ²  ⁴  ⁴  ²  ² sin x 1 sin x²



 ²



cos x 1 cos x²



 ²



0

2 2

2sin x cos x 0 sin 2x 0

    . Vậy phương trình cho vô nghiệm.

16)

  

1  2sinx1



cos4x2sinx4



14sin²x



2sinx1



3cos4x3



0

17)

Điều kiện :

k2 0 x

x cos

0 x

sin   









 

2tanx 2sin2x tanx

x cos x sin 2

x sin x 2

2 sin 2 x tan x 2

2 sin

x 2 cos x 1

2 sin 2 x tan 2

1        ²   

 

2 2

tan x 2sin 2x sin x 4sin x cos x sin x 4cos x 1 0

      

18)

 

cos2x cos4x cos6x 0 cos4x 2cos4xcos2x 0 2

3 2

x 6 cos 1 2

x 4 cos 1 2

x 2 cos

1 1            

 

cos 4x 2cos 2x 1 0

  

19)

Điều kiện : 2 cos x sin x 1² 0 2sin x sin x 1² 0 sin x 1 sin x ¹

            2

 





 



 





 



 











 cos 2x 6

x 3 cos 3

x sin 3 x cos 3 2 x cos x sin 2 x cos

1 ²

20)

 

1 1cos2x1cos4x1cos6x32sin2xcos4xcos4xcos4x



cos2xsinx



0 II . PHƯƠNG TRÌNH BẬC 2, BẬC 3 ĐỐI VỚI MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

BÀI 2 : Giải các phương trình lượng giác sau :

1)

  

cos5x cos3x cos5x cosx



0 2cos5x cosx cos3x 0 5

1 1        

Vì xk không phải là nghiệm của phương trình nên ta nhân hai vế cho 2sinx0.

Ta có :

 

1 4sinxcos5x2sinxcosx2sinxcos3x02



sin6xsin4x



sin2xsin4xsin2x0



^{3 4sin 2x cos2x}



^{0 4sinxcosx}



^{3 4 4cos 2x cos2x}



⁰

x 2 sin 2 0 x 4 sin x 6 sin

2     ²      ²  

^cosx



^{4cos22xcos2x1}



^0

 vì sinx0

2)

Điều kiện :

k2 0 x

x cos

0 x

sin   









 

^{1 4}



^tanxcotx



^3



^{tan2xcot2x}



^{20. Đặt ttanxcotx}, điều kiện : t 2

   

_^

 





























 loại

3 t 2

2 t 0 2 t 4 t 3 0 2 2 t 3 t 4

1 ^{2 2}

Vậy              k

x 4 1 x tan 0

1 x tan 2 x tan x 2

tan x 1 tan 2

x cot x tan

t ²

3)

Đặt 3x 3t cos3x cos3t x 3

t     

 

¹ ^{8cos t3}  ^{cos 3t}^{8cos t3} ^{3cos t}^{4cos t3} 3cos t 4cos t 1



²  



0

4)

 

5 0

x 6 2 6 cos

x 2 cos 4

1 ²  



 



 





 



 



Đặt _



 



 

cos 2x 6

t , 1t1. Khi đó :

 

^

 



















 loại

4 t 5

1 t 0 5 t t 4

1 ²

5)

Chú ý : Phương trình cho có hai loại cung ta phải đổi về một loại cung là ƯSCLN của chúng là 5

x 2 .

 Ta có :

5 x cos2 5 3

x cos 2 4 5 1

x cos6 5 1

x cos 3

2 ²     ³  và 1

5 x cos 2 5 2

x

cos4  ² 

Đặt

5 x cos2

t , 1t1. Khi đó :

     

 

3 2 2

t 1 1 21

1 4t 6t 5 0 t 1 4t 2t 5 0 t

4 1 21

t 1

4

 

 

          

 

  

 loại

6)

Điều kiện :













































2 k x

4 k x 3 2 k

x

2 k x 4

. Đặt

t 4 4 x

x

t   .

Khi đó :

 

1 tan t tan t tant 1 1 tant

t tan 1

1 t t tan tan 4 1

t tan t tan

1 ^{3 3}   ³  ⁴    



 







 



 





 

 







































nghiệm vô

0 2 t tan 2 t tan

1 t tan

0 t tan 0

2 t tan t tan t tan 0

t tan 2 t tan t tan

2 2

3 3

4

7)

Ta có : sin3x3sinx4sin³x ; sin5xsin



3x2x



16sin⁵x20sin³x5sinx Đặt tsinx, 1tt. Khi đó :

 

^{1 3t 4t3 16t5 20t3 5t}

3 5

  

 

 

3 2

2 2

t 0 sin x 0 sin x 0

8t 6t 5 0 5 5 1 cos 2x 5

t sin x

6 6 2 6

  

  

  

         

   

















 

















 k

x 2 k x 3 cos

x 2 2 cos

0 x sin

8)

Điều kiện :    k x 2

0 x

cos . Đặt ttanx

  

t 1

 

3t 1



4t 3t t t 1 0



t 1

 

3t 2t 1



0

t 1

t t 4 3 1

1 ₂  ²     ²  ²     ²  

 





9)

Điều kiện : cosx0

 

^{1 2sin}_cos^x₂^cos_x ^x2tanx_cos¹_2x^_cos³_2x^{2tanx2tanx}



^1tan2x

 

^{3tan2x1}







tanx1

 

2tan²xtanx3



0

10)

Đặt _



 



 





sin2x cos2x 2cos 2x 4

t , t  2 

2 1 x t

2 cos x 2

sin   ²

Ta có : sin³2xcos³2x



sin2xcos2x



³3sin2xcos2x



sin2xcos2x



 

^{1 t3 3 t2}₂ ¹_^{t t3}₂^{3t t33t23t50}



^t1

 

^{t2 2t5}



^0



 



  



III . PHƯƠNG TRÌNH CỔ ĐIỂN : asinx + bcosx + c = 0 BÀI 3 : Giải các phương trình lượng giác sau :

1)

 

1 2



1sin²x



cosx



12sin²x



sinx02



1sin²x



cosx



2sin²xsinx1



0

   

0



1 sinx

  

2sinx cosx



1 2sinxcosx



0 2

x 1 sin 1 x sin 2 x cos x sin 1

2 ²       



 



 









   

sin x 1 1 sin x sin x cos x sin x cos x 2 0 sin x cos x

sin x cos x 2 0

 

        

   



2)

 

3 cos2x

2 x 2 cos 2 1

2 x 2 sin 2 x 2 cos 3 x cos 2 2 x cos x sin 2 2

1 ²  



 



  













^{2 1}



^{cos2x 3 2}

x 2 sin

2    

 . Vì ^a2b2

  

^{22 21}

 

^{2  3 2}



^{2 c2}  phương trình vô nghiệm

3)

  

1  sinxcosx



1sinxcosx



2sinxcosxsinxcosx0sinxcosx



sinxcosx2



0

4)

 

^{1 sinxsin3xcosxcos3x0sinx}



^1sin2x



^{cosxcos3x0sinxcos2xcosxcos3x0}

 

1 0 cosx



sin2x cos2x 3



0

2 x 2 cos x 1

2 2sin x 1 cos 0

1 x cos x cos x sin x

cos ²     



   











5)

Điều kiện :

k2 x 0 x cos x

sin 







 

^{1 } _cos^sinx_x ^3cos_sinx^{x 4}



^{sinx 3cosx}



^{sin2x3cos2x4sinxcosx}



^{sinx 3cosx}



^0



^{sinx 3cosx}



^{sinx 3cosx4sinxcosx}



^0



6)

 

1 8sinxcosx3



12sin²x



12sinx30sinx



3sinx4cosx6



0

7)

 

¹  1 sin 2x cos 2x sin 2x cos 2x³  ³  0

  

(sin 2x cos 2x)(1 sin 2x cos 2x) (1 sin 2x cos 2x) 0 1 sin 2x cos 2x 1 sin 2x cos 2x 0

          

IV . PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG : a(sinx + cosx) + bsinxcosx + c = 0 BÀI 4 : Giải các phương trình lượng giác sau :

1)

  

1  cosxsinx



1sinxcosx



2sinxcosx10

Đặt 



 



 







cosx sinx 2cos x 4

t , t  2 

2 t x 1 cos x

sin   ²

     

 

















































 



  



loại 3

t 1 t

0 t 0 3 t 2 t t 0 t 3 t 2 t 0 1 t 2 1

t 1 1 t

1 ^{2 2 3 2 2}

2)

 

1 sinx



sinx1







1sin²x



cosx0



sinx1



sinxcosxsinxcosx



0

   k2 x 2

1 x sin

 sinxcosxsinxcosx0

 

2

Đặt 



 



 





sinx cosx 2sin x 4

t , t  2  sinxcosx

2 1

t²  . Khi đó :

 

^{2 t t2 1 0 t2 2t 1 0}

2

       

 

1 2

t 1 2

t 1 2 i

  

    loạ . Vậy





































































 





 



 



2 4 k

x 3

2 4 k

x 2

4 k x

2 4 k

x 2 sin

2 1 x 4

sin

3)

  

^{1  cosxsinx}



^1sinxosx



^



^{cos2xsin2x}



^0



^cosxsinx

 

^{1sinxcosx}



^cosxsinx

 

^0

 sin x cos x 0 tan x 1 x k 4

         





cosxsinx



sinxcosx10

 

2

Đặt _



 



 





cosx sinx 2cos x 4

t , t  2 

2 t x 1 cos x

sin  ²



 

1 0 t 2t 1 0 t 1

2 t t 1

2    ²    ²     

4)

 

1 sinxcosx2



sinxcosx



20. Đặt _



 



 





sinx cosx 2sin x 4

t , t  2

 sinxcosx 2

1

t²   . Khi đó :

   









 







 t 1

loại 5 0 t

5 t 4 t

1 ²

5)

 

1 2sinxcosx12



sinxcosx



120

Đặt 



 



 







sinx cosx 2sin x 4

t , t  2  sinxcosx

2 t 1 ² 

 

²

 

t 1 1 t 12t 13 0

t 13 l i

 

        oạ . Vậy t 2 sin x 1 sin x ^{1 2} sin

4 4 2 2 4

  

   

         

   

6)

Điều kiện :

k2 x 0 xcox

sin 





 . Khi đó :

 

^{1 cos x sin x} sin x cos x sin x cos x

   

 

2 2

cos x sin x sin x cos x sin x cos x

    



sinxcosx

 

cosxsinx



sinxcosx



0

Đặt t cos x sin x 2 cos x 4

 

     , t  2  sinxcosx 2

t

1 ² 

   

 

2

1 2

t 2

2 t 2t 1 0 1

1 2

t 1

  

  



    

  



loại nhận

Vậy  









 





 



 











 



 

 k2

x 4 2 cos

1 2 x 4

cos 1 4 2

x cos 2

7)

 

1 cos²xsin²x52



2cosx



sinxcosx



0



sinxcosx



sinxcosx4



50

Đặt 



 



 





sinx cosx 2sin x 4

t , t  2. Khi đó :

   

^_^ 

 

 















 t 5 loại

1 0 t

5 t 4 t 0 5 4 t t

1 ²

8)

 

1 2sinxcosxsinxcosx10. Đặt _



 



 





sinx cosx 2sin x 4

t ,

2

t   2sinxcosx 2

t

1 ²  . Khi đó :

   

_







 















 t 1

0 0 t

t 1 t 0 1 t 1 t

1 ²

V . PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP : asin²x + bsinxcosx + ccos²x = d BÀI 4 : Giải các phương trình lượng giác sau :

1)

Vì cosx0 không phải là nghiệm của phương trình

 

1 nên ta chia hai vế cho cos³x0

 

^{1 1tanx}



^tan2x1



^{3tan2x0tan3x3tan2xtanx10. Đặt ttanx}

 

^{1  t3 3t2    t 1 0}



^{t 1 t}

 

^{2  2t 1}



⁰

2)

Vì cosx0 không phải là nghiệm của phương trình

 

1 nên ta chia hai vế cho cos³x0

 

1 tanx



tan²x1



4tan³xtan²x103tan³xtan²xtanx10

   

_

 











 











 3tan x 2tanx 1 vônghiệm

1 x 0 tan

1 x tan 2 x tan 3 1 x

tan ² ₂

HƯỚNG DẪN GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 3

GVBM : ĐOÀN NGỌC DŨNG BÀI 1 : Giải các phương trình lượng giác sau :

1)

(1)  ³



^{1 3}



^cos2x3



^31



^{sin2x3 338}



^sinxcosx

 

^{3sin3xcos3x}





^{1 cos2x}



^{cos2x 3 3}



^{1 cos2x}



³



^{3 1}



^{sin2x 8}



^{sinx cosx}

 

^{3sin x cos x}



3        ³  ³

^{6cos2x6 3sin2x6}



^31



^sinxcosx8



^sinxcosx

 

^{3sin3xcos3x}







^{sinx cosx}

 

^{3sin x cos x}



8 x cos x sin 3 6 x sin 3 6 x cos x sin 6 x cos

6 ²   ²    ³  ³





^{cosx sinx}



^{6 3sinx}



^{sinx cosx}

 

^{8sinx cosx}

 

^{3sin x cos x}



x cos

6      ³  ³





^{sinx cosx}

 

^{cosx 3sinx}



⁴



^{sinx cosx}

 

^{3sin x cos x}



3     ³  ³





^sinxcosx

 

^{3 3sinx4 3sin3x3cosx4cos3x}



^0



^sinxcosx

 

^{3sin3xcos3x}



^0



2)

(1) 

   





 



 











 



 



 



 



 

2 x 3 cos x 6 2cos x 1 2sin x 1 cos x 3 sin x sin x 3 cos 8 x

4 5 cos 3

15 x 3 x x sin

2

cos² 17 ^{2 2 3} (2)

Ta có : sin



3x15



sin3x

x 4 sin x 2 4 cos x

2 4 2 cos x 2 4 cos 5 8 x

4 5

cos 



 

 





 



 









 



 





 



 

x 2 sin

x cos 2 2

x 2 cos

x 3

cos 



 



 







 



  







 



 



Suy ra :

 

^{2 sin x2 sin 3x2}



cos 3x sin x sin 3x cos x^{3 3}



¹sin x ¹cos 6x sin x

3sin 4x 2 2

     (3)

Vì :

 





 



  



 2

x 2 cos x 1

2 sin x 4 2 sin x 1 sin x sin x 3 cos x sin x 3

cos ^{3 2}

 





 



  









 sin4x sin4xcos2x sin2x

2 3 4 x 1 2 cos x 2 sin x 2 sin x 2 cos x 4 sin x 4 4 sin 1

 





 



  



 2

x 2 cos x 1

2 sin x 4 2 sin x 1 cos x cos x 3 sin x cos x 3

sin ^{3 2}

 





 



  









 sin4x sin4xcos2x sin2x

2 3 4 x 1 2 cos x 2 sin x 2 sin x 2 cos x 4 sin x 4 4 sin 1

Suy ra : sin4x

4 x 3 cos x 3 sin x sin x 3

cos ³  ³ 

Do đó :

 

sinx cos6x

2 x 1 2sin x 1 4 4sin 3 x 4 sin 3

x 3 x sin sin

1  ²  ²    

 

^{2 2}

   

sin 4x 0

2 1 1

sin x sin 3x sin x 1 cos 6x 4

4 2

 

    

 

^{4 sin x2 1sin 3x2} sin x sin 3x² sin x ¹sin 3x^{2 2 1}sin 3x^{2 1}sin 3x⁴ 0

4 2 4 4

 

        









 









 











 



 



 



 



0 x 3 cos

x 3 2sin x 1 sin 0

x 3 sin

x 3 2sin x 1 sin 0

x 3 cos x 3 sin

0 x 3 2sin x 1 0 sin

x 3 cos x 3 4sin x 1

3 2sin x 1

sin ^{2 2}

2 2

2 2

2 2

2

Hệ sinx 0

0 x 3 sin

0 x sin 0

x 3 sin

x 3 2sin x 1

sin ²



 





 









 (không thỏa điều kiện sin4x  0)

Hệ 2 x 1 sin 2

x 1 sin

1 x sin 4 x sin 3 2

x 1 sin

1 x 3 sin 0

x 3 cos

x 3 2sin x 1

sin ^{2 3}



 













 











 







 (thỏa điều kiện sin4x  0)

Vậy

 



























2 6 m x 5

2 6 k x 2 x 1 sin

1 (k, m  Z)

3)

(1) 



^cosxsinx



^



^{cos2xsin2x}

 

^{ cos3xsin3x}

 

^{ cos4xsin4x}



^0

     

_

     















 













 2cosx sinx cosxsinx 2 0 2

1 0

x sin x 0 cos

x sin x cos 1 x sin x cos 2 1 x sin x cos



 

  k x 4

1 , kZ

 Đặt _



 



 



 



 







sinx cosx 2 sin x 4

t , t  2

(2) trở thành : 2 t 4t 3 0 t 1 t 3 1

2 1 t t

2 ²   ²       

 (loại)





















 



 



 









 



 





2 k x

2 2 k x sin 4

2 1 x 4

sin

4)

Biến đổi vế trái của phương trình, ta được phương trình đã cho tương đương :



^{cosx sinx}



^{sin x}



^{cosx sinx}



^{cosx sinx}



^{cosx sinx}

 

^{cos x sin x 1}



⁰

x

cos⁴   ⁶      ⁴  ⁶  

0 x sin x

cos  

 (1)  cos⁴xsin⁶x10 (2)

 

   k x 4

1 x tan

1 , kZ

     

 

2 2 6 2 4 2 2

2

sin x 0 2 1 sin x sin x 1 0 sin x sin x sin x 2 0 sin x 1

sin x 2

 

          

  

 loại ²

x k

 , kZ

5)

(1)  2cos8x + 6cos4x + 6cos2x = 16cosxcos³3x – 1

 2cos8x + 6(cos4x + cos2x) – 16cosxcos³3x + 1 = 0  2cos8x + 12cos3xcosx – 16cosxcos³3x + 1 = 0

 2cos8x + 4cosx(3cos3x – 4cos³3x) + 1 = 0  2cos8x – 4cosxcos9x + 1 = 0

 2cos8x – 2(cos10x + cos8x) + 1 = 0  cos10x = 2

1  x =

k5 30

 

 

6)

Thay

4 x 3 cos x cos x 3

cos³   ,

4 x 3 sin x sin x 3

sin³   vào phương trình đã cho và rút gọn lại ta được :



cos3xcosx sin3xsinx



sin8x 2cos4x 3cos4x 2sin4xcos4x 2cos4x cos4x



1 2sin4x



0

3         

7)

(1) 

 

1 1 0

2 cos x 2 cos x 3 x

sin ^{2 2}  



 



 



  

sinx 3



sin x 1 0 sin x 3sin x 4 0

4 0 1 2 1

sin x 2 cos x 3 x

sin  ^{2 2}     ²    ³  ²  















      

 k2

x 2 1 x sin 0 2 x sin 1 x

sin ² , kZ

8)

Điều kiện :    k x 2

0 x cos

 

1 3tan³xtanx3



1sinx

 

1tan²x



4



1sinx



0



3tan²x1

 

tanxsinx1



0

   



 



 













 k

x 6 tan 6

3 x 3 tan 0

1 x tan

3 ²

 sinx 1 0

x cos

x 0 sin

1 x sin x

tan       

 

2

0 x cos x cos x sin x

sin   



Đặt 



 



  





sinx cosx 2sin x 4

t , t  2  sinxcosx

2 1 t²  

   





















 







 t 1 2

loại 2

2 1 0 t

1 t 2 t 2

2 2 1

Vậy





































































 





 



 









 



 



2 4 k

x 3

2 4 k

x 2

4 k x

2 4 k

x 2 sin

1 2 x 4

sin 1 4 2

x sin 2 t

9)

(1)  sin4x – cos4x = 1 + 4(sinx – cosx)  1 – sin4x + cos4x + 4(sinx – cosx) = 0

 2cos²2x – sin4x + 4(sinx – cosx) = 0  2cos²2x -2sin2xcos2x + 4(sinx – cosx) = 0

 2cos2x(cos2x – sin2x) + 4(sinx – cosx) = 0  2(cos²x – sin²x)(cos2x – sin2x) + 4(sinx – cosx) = 0

 (cosx – sinx)[(cos2x – sin2x)(cos2x – sin2x) – 2] = 0

 

    















 

2 0

2 x 2 sin x 2 cos x sin x cos

1 0

x sin x cos

(1)  tanx = 1  k

x 4 (k  Z)

(2)  1

x 4 2 4 cos x cos 4 2

x 2 cos 4 2

x cos

2 



 



 

 



 



 









 



 

 



 



 



 

     

   

B 6 4 1

x 2 cos

5 4 1

x cos A 4 4 1 x 2 cos

3 4 1

x cos















 



 









 



 















 



 







 



 



* Giải hệ (A) : (3)   

 m2

x 4 (m  Z)

Thay  

 m2

x 4 (m  Z) vào (4), ta được : 1

4 cos3 1 4 4 m

cos 3   



 



   1

2 2 



 (sai)

Vậy hệ (A) vô nghiệm.

* Giải hệ (B) : (5)  n2

x 4 (n  Z)   n2

4

x 5 (n  Z)

Thay  

 n2 4

x 5 (n  Z) vào (6), ta được : 1

4 cos11 1 4

4 n

cos 11   



 



   1

2 2 

 (sai)

Vậy hệ (B) cũng vô nghiệm. Suy ra nghiệm của phương trình đã cho là :  k

x 4 (k  Z)

10)

(1)  4sinx(cos2x – cos120^o) = 1  4cos2xsinx + 2sinx = 1

 2(sin3x – sinx) + 2sinx = 1 









 

 

 

 







3 k2 18 x 5

3 k2 x 18

sin6 2 x 1 3

sin (k  Z)

11)

(1)  2sin²x – sin²x cosx + 2 = sinx + sinx + cosx  2sin²x – sin²xcosx + 2 –cosx – 2sinx = 0

 sin²x – sin²xcosx + sin²x  2sinx + 1 + 1 – cosx = 0  sin²x(1 – cosx) + (sinx – 1)² + 1 – cosx = 0

 (1 – cos x)(sin²x + 1) + (sinx – 1)² = 0 (*)

Vì (1 – cosx)(sin²x + 1)  0 và (sinx – 1)²  0 do đó (*) 

   







 















1 x sin

1 x cos 0

1 x sin

0 1 x sin x cos

1 ²

Hệ này vô nghiệm. Vậy phương trình (1) vô nghiệm.

12)

Điều kiện : cosx  0

(1)  4cos2x 2sin4x

x 4 cos

16 ⁴  



 



  (2)

Đặt t = x 4

 . Phương trình (2) trở thành : 



 



 







 



 



 2sin4 t 4

t 4 2 cos 4 t cos 16 ⁴



1 cos2t



t 2 sin 4 t 2 cos t 2 sin 4 t 2 sin 2 4

t 2 cos 16 1

t 4 sin 2 t 2 sin 4 t cos 16

2

4     



 



  







 

 

1 cos 2t 0 3 1 cos 2t sin 2t 4

  

   

13)

(1)  ^{sin4xcos4x}



^{sin2xcos2x}



^{22sin2xcos2x12sin2xcos2x1}₂^1sin22x



sinx cosx



1 sin2x x 4

sin 2 x cos x 4 sin x sin

2 ²   ² 



 



 











 



 



Do đó phương trình đã cho tương đương với phương trình :

 

2 ^{tan 2x}

x 2 sin x 1

2 sin x 2 x tan

2 sin 1 2

x 2 sin

2 ² _{2 2}

 



 

 (1)

Điều kiện : cos2x 0

0 x 2 cos

1 x 2

sin  









Với điều kiện này thì

     

0

2 x 2 sin x 1

2 sin 1 x 2 x tan

2 sin 1 2

x 2 sin

1 2 ²  ²    



 

 2 – sin²2x – 2tan²2xcos²2x – (1 – sin²2x) = 0  2 – sin²2x – 2sin²2x – 1 + sin²2x = 0

 1 – 2sin²2x = 0

k2 x 4

2 2 x 2 2

sin    

4 k

x 8 





 , k  Z

So với điều kiện cos2x  0, ta được nghiệm của phương trình là :

4 k

x8 , k  Z

14)

(1) 

8 x 1 3 cos x cos x 3 sin x

sin³  ³ 

 

2 x 1 4 cos x 2 cos x 2 cos 8 2

1 2

x 4 cos x 2 cos 2

x 2 cos 1 2

x 4 cos x 2 cos 2

x 2 cos

1          



2 x 1 2 8 cos x 1 2

cos³   

   k

x 6 (loại) hoặc k

x 6



kZ



15)

(1) cos²xsin²x



cosxsinx



² 2 sinxcosx

    











 



















 cosx sinx 0

0 x cos x 0 sin x cos x sin x cos x sin 2 x sin x cos x

sin x cos x cos x

sin ²

 cosxsinx sinxcosx2 (2)













 



 







 k

x 4 4 0

x sin 2 0 x cos x

sin , k  Z

Xét phương trình (2), áp dụng bất đẳng thức B.C.S ta có :

 

1 1 cosx sinx sinx cosx



4cosx 2 x

cos x sin x

sin x

cos          

Suy ra :

 

    











  cosx 1 x m2

x sin x cos x cos x sin

1 x

2 cos , m  Z



 

















0 x cos x sin

0 x sin x : cos kiện điều thỏa này nghiệm các

Vậy nghiệm của phương trình là :  



 k

x 4 , k  Z  x = m2, m  Z.

16)

x = 2k, k  Z : (1)  5 = 2

1 (vô lý) x  2k, k  Z : ta có 0

2

sinx  nên nhân 2 vế của (1) với 2

sinx ta được :

2 sinx x

5 2cos sinx 2 x 4 2cos sinx 2 x 3 2cos sinx 2 x 2 2cos sinx 2 x 2cos sinx

2     

2 sinx 2

x sin9 2

x sin11 2

x sin7 2

x sin9 2

x sin5 2

x sin7 2

x sin3 2

x sin5 2 sinx 2

x

sin3          



11 2 x m 2 0

x

sin11    



Vì x  k nên m  11n.

Vậy (1) có nghiệm là

11 2

x m với mọi m  Z và m  11n.

17)

(1) 

 

₃

1 x sin x sin 2

x sin 2 1 x 3 cos

1 x sin x cos 2

x 2 sin x cos

2

2 







 

 



 (*)

Điều kiện :









 2 x 1 sin

1 x sin

 

* cosxsin2x 3



sinxcos2x



cosx 3sinxsin2x 3cos2x



 



 





 

 









 x sin 2x 3

sin 6 x 2 2 cos x 3 2 2sin x 1 2 sin x 3 2cos 1

18)  



^{2sin x}



²



^{2sin x 2}



^{sin x}

1 2 sin x 2 sin x 2 sin x

1 cos x 2 2 1 sin x

1 sin x 1 sin x

        

  

  

0 2 x cos x sin x cos 2 x sin 2 x sin x cos x sin x cos 2 x sin

2        



Đặt tsinx cosx. Ta có : t  2 và

2 t x 1 cos x

sin   ²

 

^{1 2t 1 t2 2 0}

2

      t² – 4t + 3 = 0  _







 3 t

1 t

























 k2

x 2 1 x sin 1 x cos 1 x sin 1 x cos x sin

19)

(1) 

3 x cos2 3 3

x cos 2 4 1 3 1

x cos 2 2 2 2

x 2 cos 1 3

x

cos4 ²   ³ 



 



 

 

 (1)

Đặt

3 x cos2

t , t 1

Phương trình (1) trở thành : ^{4t34t23t30}



^t1

 

^4t23



^{0t1t2 }₄³

20)

(1)  x 1 sinx

cos 2 1 1 x 2sin cosx x 2sin

sinx ²  



 

 









0 1 2 1

cos x 2 2 sinx x sin 0 2 1

sinx 2 cos x 2 sinx 2 x sin 0 2 1

sinx 2 cosx x sin x

sin ^{2 2} 



 



 



 



 







 



  







 



  



0 x sin 0 1 x 2cos sinx x

sin   



 



 

 (1) hoặc cosx 1

2

sinx  (2)

21)

 _



 



 





 



 



 



 







 2 6

cos x 3 4

x cos 1 2 x sin 3 x cos

2 ²

 _



 



 



 2 6

cos x 2 2

cosx 2 3

sinx

(1)  0

6 2 cos x 6

2 cos x 6 2

2 cos x

2 



 



 







 



 



 



 



 



































 k4

3 x 4 4 3 k 2 2

2 k 6 2 2 x

2 k , kZ

22)

(1)  x 1 sinx

cos 2 1 x 2sin cosx x 2sin sinx

1 ²  



 

 









0 2 1

sin x 2 1

sinx 2 2 sinx x sin 0 2 1

cosx 2 sinx 2 2 cosx 2 sinx x

sin ² 



 



 



 

 









 



   



x 2 x x

sin x sin 1 2sin 2sin 1 0

2 2 2

  

      

23)

Ta có : _



 



 





 



   



 cos2x 2cos 2x 6

cos6 x 2 6sin sin 2 x 2 cos 3 x 2 sin

(1)  5 0

x 6 2 6 cos

x 2 cos

4 ²  



 



 





 



 

 















 



 







 



 



loại 4 1

5 x 6

2 cos

6 1 x 2 cos



















 k

12 x 7 2 6 k

x

2 , kZ

24)

Đặt 



 



 







sin2x cos2x 2sin 2x 4

t , t  2 t

2 1 3 t x 2 cos x 2 sin

t^{3 3 3 2} 

 



  





 ; sin4xt²1 (1)  ^1t33

   

^t2₂^{1t 3t2}₂^{1 t33t50}

 

^t1



^t22t5



^{0t1}

25)

(1) 

2 x 1 2 sin sinx 2

x sin3 x 2 cos cosx 2

x

cos3  



 







 





   

cos2xcosx 1 sin x cosxsinx cos2xsinx 1

2 x 1 sin x 2 cos x 2 cos x 1 cos x cos x 2 2 cos

1        2   



  

cos x sin x 0

cos x sin x cos 2x sin x 0

cos 2x sin x 0

 

       

26)

(1) 



^{sin3xcos3x}



^{sin2xcos2x}

 

^{2sin5xcos5x}



    





















 







 















4 k x

2 k x 2 1 x tan

0 x 2 0 cos

x sin x cos x 2 cos 0

x sin x cos x sin x

cos^{2 2 3 3 3 3} ₃

27)

Vì sin  1 > 2,  x  sinx + 2 > 0 , x

(1)  cosx



2 sinx



2 cosx 2 sinx 2 1

cosx 2 sinx

3  



 

 



 



 

   

2 sin x 2 cos x 2

cosx 2 sinx 2 x 3 sin 2 x cos x sin 2 2

cosx 2 sinx 2

3 _{2 2}







 



 













 



 



 



 













 



 













 



 



 



 

 



 



 



2 2 0

cosx 2 sinx 2 3

1 2 0

cosx 2 sinx 2 0

cosx 2 sinx 2 3 2 cosx 2 sinx

28)

Điều kiện :   k2 x 3

2 x 1

cos , kZ

(1) 



^{2 3}



^{cosx 1 cos x} _{2 }^2cosx1



 



 