PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 2
GVBM : ĐOÀN NGỌC DŨNG I . PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN
BÀI 1 : Giải các phương trình lượng giác sau :
1)
(ĐH Huế)2 cos 3 x 3 sin x cos x 0 1
Hướng dẫn :
cos 3 x cos 3 x
x 3 cos x
3 cos x
2 cos x 1 2 sin x 3
3 cos 2 x cos x sin 3
1
k 2 x 3
3 k x
k 2 x 3
2 k x 3 3
x
2 k x 3 3
x
2)
(ĐH Mỏ + Địa chất)1 tan x 2 2 sin x 1
Hướng dẫn : Điều kiện :
k 2 x 2
0 x
cos
, k Z
2 sin 2 x
x 4 sin 2 x cos x sin 2 2 x cos x sin x sin 2 x 2 cos
x 1 sin
1
3 k 2 x 4
3 k 2 x 4
2 4 k x 2
k x 4 2
x
2 k x 4 2 x x 2 4 sin x
sin
, k Z
3)
(ĐH Kinh tế TP.HCM – A)4 x 1 sin x cos x cos x
sin
3
3 1
Hướng dẫn :
k 2 x 8
2 2 k x 4 1 x 4 4 sin x 1 2 cos x 2 2 sin 1 4 x 1 cos x sin x cos x sin
1
2
2
4)
(ĐH Ngoại thương)sin x sin 2 x sin 3 x cos x cos 2 x cos 3 x 1
Hướng dẫn :
1 2 sin 2 x cos x sin 2 x 2 cos 2 x cos x cos 2 x sin 2 x 2 cos x 1 cos 2 x 2 cos x 1 2 cos x 1 sin 2 x cos 2 x 0
k 2
3 x 2 3 cos 2 2 x 1 cos 0
1 x cos 2
k 2
x 8 4 k
x 2 1 x 2 tan x
2 cos x 2
sin
5)
(ĐH Tài Chính Kế Toán HN)cos 10 x 2 cos
24 x 6 cos 3 x cos x cos x 8 cos x cos
33 x 1
Hướng dẫn :
1 2 cos x 4 cos
33 x 3 cos 3 x cos x cos 10 x 2 cos
24 x 0 2cos x cos9x cos x cos10x 2cos 4x
2 0 cos10x cos8x cos x cos10x 2cos 4x
20
cos x 1 x k 2
6)
(ĐH GT VT – A)
x
cot 6 x 3
8 cot x 1 cos x
sin
4 4 1
Hướng dẫn :
Điều kiện :
3 k x 3 k
x 3 k x 2 k
6 x 3 k x 0 6 x
cos 3 0 x
sin , k Z
Ta có :
8 x 1 cot 6 x 3
8 cot
VP 1
Vì x 3 phụ với x 6
x
tan 6 x 3
cot
cos 4 x 1 4 x k 2
8 1 2
x 2 cos 1 2
x 2 cos 1 8 x 1 cos x sin 1
2 2
4 4
k 2 x 4
7)
(ĐH Ngoại ngữ – HN)16 x 1 2 cos x sin x
cos
6
6
2 1
Hướng dẫn :
2
x 3 2 4 cos x 3 2 cos x
2 16 cos
x 1 2 4 sin 1 3
1
2
2
2
k
x 12 2
6 k x 6 2 2 cos x 3
2 cos
k
12 x 5 2 6 k x 5 6 2
cos 5 2 x 3 2 cos
8)
10 x
2 sin 17 x 8 cos x 2
sin
2 8 1
Hướng dẫn :
cos 10 x
2
x 4 cos x 16 x cos
10 cos 2
2 4 x 10 2 sin
x 16 cos 1 2
x 4 cos
1 1
cos 6 x 1 0 x
10 cos x
10 cos x 6 cos . x 10
cos
k 10
x 20 2 k
x 10 0 x 10
cos
k 3
x 6 2 k x
6 1 x 6
cos Vậy phương trình cho có hai họ nghiệm là :
k 10 x 20 ,
k 3 x 6 .
9)
(ĐHQG – HN)x cos
1 x sin
1 x 4
sin 2
2
1
Hướng dẫn :
sin x cos x
x cos x sin x 4
sin 2 2
1
Điều kiện :
k 2 x 0 x cos x
sin
0
x cos x sin 2 1 x 4
sin x 2
cos x sin
x 4 sin 2 x 4
sin 2 2
1
k
x 4 4 0
x sin
k
x 4 2 2 k x 2 1 x 2 sin x 0
cos x sin 2 1
So sánh với điều kiện ban đầu, phương trình đã cho có hai nghiệm là : k x 4
10)
(ĐH Bách Khoa – HN – 2000) tan x cot x
2 1 x
2 sin
x cos x
sin
4
4 1
Hướng dẫn :
Điều kiện :
k 2 0 x
x cos
0 x
sin
sin 2 x 0
x cos x sin
x cos x sin 2 1 x 2 sin 2
x 2 sin
1 2
2 2 2
(loại) phương trình đã cho vô nghiệm
11)
(ĐH Kinh Tế Quốc Dân – HN)sin
2x sin
23 x cos
22 x cos
24 x 1
Hướng dẫn :
cos 2 x cos 6 x cos 4 x cos 8 x
2 x 8 cos 1 2
x 4 cos 1 2
x 6 cos 1 2
x 2 cos
1 1
cos 4 x cos 6 x 0 cos x . cos 2 x . cos 5 x 0 x
2 cos x
2 cos x 6 cos x 2 cos x 4
cos
k 5 x 10
k 2 x 4
2 k x
0 x 5 cos
0 x 2 cos
0 x cos
12)
(ĐH Ngoại Thương)sin
3x cos 3 x cos
3x sin 3 x sin
34 x 1
Hướng dẫn :
sin 4 x
4
x 3 sin x cos 3 x 3 cos 4
x 3 cos x 3 sin x sin
1 3
3x 4 sin 4 x 4 sin 3 x 4 sin 4 x 3 sin x cos 3 x 3 cos x 3 sin x 3 cos x 3 sin x 3 cos x sin
3
3
3 sin 4 x 4 sin
24 x 3 0
sin 4 x 0 4 x k x k 4
2 3 k x 2 8
2 3 k x 2 8 3 cos 2 2 x 1 8 2 cos x 1 8 cos 1 2 3
x 8 cos 4 1
3 x 4 sin 4
2
12 k x
k 4 x 12
13)
(ĐH – Huế)1
x 9 cos
x 5 cot . x
sin 1
Hướng dẫn :
Điều kiện :
k 5 x
k 9 x 18
k x 5
2 k x 9 0 x 5 sin
0 x 9 cos
1 sin x cot 5 x cos 9 x sin x cos 5 x sin 5 x cos 9 x sin 14 x sin 4 x sin 6 x sin 4 x sin 14 x sin 6 x x k
14x 6x k2 4
k
14x 6x k2
x 20 10
. So sánh với điều kiện ban đầu ta chọn : x k 4
,
10 k
x 20
.
14)
(ĐH Đà Nẵng)sin
3x cos
3x sin x cos x 1
Hướng dẫn :
1 sin x cos x 1 sin x cos x sin x cos x sin x cos x sin x cos x 0
k
x 4 1 x tan 0 x cos x sin
sin 2 x 0 sin 2 x 0 2 x k x k 2
2 0 1 x cos x
sin
15)
(ĐH Bách Khoa – HN – A – 2000) tan x cot 2 x
2 1 x
2 sin
x cos x
sin
4
4 1
Hướng dẫn : Điều kiện :
k 2 x 0 x 2
sin
sin x cos x sin x cos x
x 2 sin
x cos x sin x
2 sin
x cos x
1 sin
4
4
2
2
4
4
2
2 sin x 1 sin x
2
2 cos x 1 cos x
2
2 0
2 2
2sin x cos x 0 sin 2x 0
. Vậy phương trình cho vô nghiệm.
16)
(ĐH Hàng Hải – 2000) 2 sin x 1 3 cos 4 x 2 sin x 4 4 cos
2x 3 1
Hướng dẫn :
1 2 sin x 1 cos 4 x 2 sin x 4 1 4 sin
2x 2 sin x 1 3 cos 4 x 3 0
2 x k
2 6 k x 7 2 6 k x 1 x 4
cos 2
x 1 sin
17)
(ĐH QG – HN)x 2 sin x 1 2 sin 2 x 2 cot x tan
2 1
Hướng dẫn : Điều kiện :
k 2 0 x
x cos
0 x
sin
2 tan x 2 sin 2 x tan x
x cos x sin 2
x sin x 2
2 sin 2 x tan x 2
2 sin
x 2 cos x 1
2 sin 2 x tan 2
1
2
2 x 1 4 cos x 1 cos
loại 0
x sin 0
1 x cos 4 x sin x cos x sin 4 x sin x 2 sin 2 x
tan
2 2 2
2 3 k x 2
2 3 k x
18)
(ĐH Huế)2 x 3 3 sin x 2 sin x
sin
2
2
2 1
Hướng dẫn :
cos 2 x cos 4 x cos 6 x 0 cos 4 x 2 cos 4 x cos 2 x 0
2 3 2
x 6 cos 1 2
x 4 cos 1 2
x 2 cos
1 1
cos 4x 0 4x 2 k x 8 k 4
cos 4x 2 cos 2x 1 0
1 2
cos 2x cos x k
2 3 3
19)
(ĐH Nông Nghiệp)3
1 x sin x cos 2
x cos x sin 2 x cos
2
1
Hướng dẫn :
Điều kiện : 2 cos x sin x 1
20 2sin x sin x 1
20 sin x 1 sin x 1
2
cos 2 x 6
x 3 cos 3
x sin 3 x cos 3 2 x cos x sin 2 x cos
1
2
3 k 2 x 18
2 2 k x 2
6 k x 3 2 x
2
6 k
x
3 2
x
20)
(ĐH SP – TP.HCM – D – 2000)2 cos
2x 2 cos
22 x 2 cos
23 x 3 cos 4 x 2 sin 2 x 1 1
Hướng dẫn :
1 1 cos 2 x 1 cos 4 x 1 cos 6 x 3 2 sin 2 x cos 4 x cos 4 x cos 4 x cos 2 x sin x 0
3 2 k x 6
k 4 x 8
loại 2
2 k x
3 2 k x 6
k 4 x 8
2 k 2 x
x 2
2 k x 4 2 x
cos x sin x 2 cos
0 x 4 cos
, k Z
II . PHƯƠNG TRÌNH BẬC 2, BẬC 3 ĐỐI VỚI MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC BÀI 2 : Giải các phương trình lượng giác sau :
1)
(ĐH Ngoại Thương)cos x cos 4 x cos 2 x cos 3 x 0 1
Hướng dẫn :
cos 5 x cos 3 x cos 5 x cos x 0 2 cos 5 x cos x cos 3 x 0 5
1 1
Vì x k không phải là nghiệm của phương trình nên ta nhân hai vế cho 2 sin x 0 .
Ta có : 1 4 sin x cos 5 x 2 sin x cos x 2 sin x cos 3 x 0 2 sin 6 x sin 4 x sin 2 x sin 4 x sin 2 x 0
3 4 sin 2 x cos 2 x 0 4 sin x cos x 3 4 4 cos 2 x cos 2 x 0
x 2 sin 2 0 x 4 sin x 6 sin
2
2
2
cos x 4 cos
22 x cos 2 x 1 0
vì sin x 0
k
x 2 0 x cos
x k 2
2 k x
8 cos 17 x 1
cos
8 cos 17 x 1
cos 0
1 x 2 cos x 2 cos 4
2Tóm lại phương trình 1 có 5 nghiệm : k
x 2 , x k 2 , x k 2 .
2)
(ĐH Hải Quan – 2000)3 tan
2x 4 tan x 4 cot x 3 cot
2x 2 0 1
Hướng dẫn : Điều kiện :
k 2 0 x
x cos
0 x
sin
1 4 tan x cot x 3 tan
2x cot
2x 2 0 Đặt t tan x cot x , điều kiện : t 2
loại
3 t 2
2 t 0 2 t 4 t 3 0 2 2 t 3 t 4
1
2 2Vậy k
x 4 1 x tan 0
1 x tan 2 x tan x 2
tan x 1 tan 2
x cot x tan
t
23)
(ĐHQG – HN)cos 3 x
x 3 cos
8
3
1
Hướng dẫn :
Đặt 3 x 3 t cos 3 x cos 3 t
x 3
t
1 8cos t
3 cos 3t 8cos t
3 3cos t 4cos t
3 3cos t 4cos t 1
2 0
t k
x k
cos t 0 2 6
t k2 x k2
1 3
cos t
2 2 x k2
t k2 3
3
4)
(ĐH GT VT)
3 cos 2 x 5 cos 2 x 6 x
2
sin
2 1
Hướng dẫn :
5 0
x 6 2 6 cos
x 2 cos 4
1
2
Đặt
cos 2 x 6
t , 1 t 1
loại
4 t 5
1 t 0 5 t t 4
1
2Vậy
k
12 x 7 2 6 k
x 2 6 1
x 2 cos
5)
(ĐH Nông Lâm)5 x cos 4 3 5 1
x cos 3
2
2 1
Hướng dẫn :
Chú ý : Phương trình cho có hai loại cung ta phải đổi về một loại cung là ƯSCLN của chúng là 5
x 2 .
Ta có :
5 x cos 2 5 3
x cos 2 4 5 1
x cos 6 5 1
x cos 3
2
2
3 và 1
5 x cos 2 5 2
x
cos 4
2
Đặt
5 x cos 2
t , 1 t 1
3 2 2
t 1 1 21
1 4t 6t 5 0 t 1 4t 2t 5 0 t
4 1 21
t 1 loại
4
k 2 x 5 k 5
x 1 2 5
x cos 2
5 k
2 x 5 2 5 k
x cos 2
4 21 1 5
x cos 2
Vậy phương trình đã cho có ba nghiệm : x 5 k , 5 k 2
x 5 .
6)
(HV BCVT)tan x 1
x 4
tan
3
1
Hướng dẫn : Điều kiện :
2 k x
4 k x 3
2 k x
2 k
x 4
Đặt
t 4 4 x
x
t
1 tan t tan t tan t 1 1 tan t
t tan 1
1 t t tan tan 4 1
t tan t tan
1
3 3
3
4
nghiệm vô
0 2 t tan 2 t tan
1 t tan
0 t tan 0
2 t tan t tan t tan 0
t tan 2 t tan t tan
2 2
3 3
4
k
x 4 4 k
x k t 0 t tan
k x k
4 x 4
1 t tan
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm thỏa điều kiện ban đầu là : k
x 4 , x k .
7)
(ĐH Thủy Lợi – 2000)5 x 5 sin 3
x 3
sin 1
Hướng dẫn : Ta có :
x sin 4 x sin 3 x 3
sin
3 3 x 2 x 16 sin x 20 sin x 5 sin x sin
x 5
sin
5
3
Đặt t sin x , 1 t t
6 5 2
x 2 cos 1
0 x sin 6
x 5 sin
0 x sin 6
t 5 0 t 0 5 t 6 t 5 8
t 5 t 20 t 16 3
t 4 t
1 3
3 5 3 3 2 2 2
k
x 2 k x 3 cos
x 2 2 cos
0 x sin
8)
(ĐHQG HN – D – 2000)1 3 tan x 2 sin 2 x 1
Hướng dẫn :
Điều kiện :
k
x 2 0 x cos Đặt t tan x
1 1 3 t 1 4 t t
2 t
2 1 3 t 1 4 t 3 t
2 t
2 t 1 0 t 1 3 t
2 2 t 1 0
k x 4
1 x tan 1 t
3 t
2 2 t 1 0 : vô nghiệm
9)
(BK – HN – 2001)sin 2 x 2 tan x 3 1
Hướng dẫn : Điều kiện : cos x 0
1 2 sin cos x
2cos x x 2 tan x cos 1
2x cos 3
2x 2 tan x 2 tan x 1 tan
2x 3 tan
2x 1
tan x 1 2 tan
2x tan x 3 0
k
x 4 1 x tan
2 tan
2x tan x 3 0 (vô nghiệm)
10)
(ĐH GT VT)sin 4 x 2 x 3 2 cos x 2 sin
1
3
3 1
Hướng dẫn :
Đặt
sin 2 x cos 2 x 2 cos 2 x 4
t , t 2
2 1 x t
2 cos x 2
sin
2
Ta có : sin
32 x cos
32 x sin 2 x cos 2 x
3 3 sin 2 x cos 2 x sin 2 x cos 2 x
1 t
33 t
22 1 t t
32 3 t t
3 3 t
2 3 t 5 0 t 1 t
2 2 t 5 0
loại 2
6 1 t
loại 2
6 1 t
1 t
Vậy
4 k x
2 k x 2
4 k 3 x 4
2
2 4 k 3 x 4
2 4 cos 3 2
2 x 4
2 cos 4 1
x 2 cos 2 t
III . PHƯƠNG TRÌNH CỔ ĐIỂN : asinx + bcosx + c = 0 BÀI 3 : Giải các phương trình lượng giác sau :
1)
(ĐH Ngoại Thương)2 cos
23 x cos 2 x sin x 0 1
Hướng dẫn :
1 2 1 sin
2x cos x 1 2 sin
2x sin x 0 2 1 sin
2x cos x 2 sin
2x sin x 1 0
0 1 sin x 2 sin x cos x 1 2 sin x cos x 0
2 x 1 sin 1 x sin 2 x cos x sin 1
2
2
2 2
2
1 2
1 vì nghiệm vô
4 k x 1 x tan
2 k x
0 2 x cos x sin
x cos x
sin 1 x sin 0
2 x cos x sin x cos x sin x sin 1
2)
(ĐH GTVT – 2000)2 2 sin x cos x cos x 3 cos 2 x 1
Hướng dẫn :
3 cos 2 x
2 x 2 cos 2 1
2 x 2 sin 2 x 2 cos 3 x cos 2 2 x cos x sin 2 2
1
2
2 1 cos 2 x 3 2
x 2 sin
2
Vì a
2 b
2 2
2 2 1 2 3 2 2 c2 phương trình vô nghiệm
3)
(ĐH Cảnh Sát – 2000)cos
3x sin
3x sin 2 x cos x sin x 1
Hướng dẫn :
1 sin x cos x 1 sin x cos x 2 sin x cos x sin x cos x 0 sin x cos x sin x cos x 2 0
sin x cos x 0 x k 2
sin x cos x 2 0 vô nghiệm vì a
2 b
2 c
24)
(TT ĐTBDCBYT TP.HCM)sin
3x cos
3x sin x cos x 1
Hướng dẫn :
1 sin x sin
3x cos x cos
3x 0 sin x 1 sin
2x cos x cos
3x 0 sin x cos
2x cos x cos
3x 0
1 0 cos x sin 2 x cos 2 x 3 0 2
x 2 cos x 1
2 2 sin x 1 cos 0
1 x cos x cos x sin x
cos
2
k
x 2 0 x cos
sin 2 x cos 2 x 3 0 vô nghiệm vì a
2 b
2 c
25)
(ĐH Thủy Lợi – 2000)tan x 3 cot x 4 sin x 3 cos x 1
Hướng dẫn : Điều kiện :
k 2 x 0 x cos x
sin
1 cos sin x x 3 cos sin x x 4 sin x 3 cos x sin
2x 3 cos
2x 4 sin x cos x sin x 3 cos x 0
sin x 3 cos x sin x 3 cos x 4 sin x cos x 0
k
x 3 3 k
x 3 0
x sin 2 0 x cos 3 x sin
sin x 3 cos x 2sin 2x 0 sin x 3 cos x 2sin 2x 2sin x 2sin 2x 3
2 9 k 4 x
2 3 k x 2
k x 3 2
x
2 k x 3 2 x x 2 3 sin x sin
6)
(ĐHQG – HN)4 sin 2 x 3 cos 2 x 3 4 sin x 1 1
Hướng dẫn :
1 8 sin x cos x 3 1 2 sin
2x 12 sin x 3 0 sin x 3 sin x 4 cos x 6 0
sin x 0 x k
3 sin x 4 cos x 6 0 vô nghiệm vì a
2 b
2 c
27)
(ĐH GT VT)sin 4 x
2 x 1 2 cos x 2 sin
1
3
3 1
Hướng dẫn :
1 1 sin 2x cos 2x sin 2x cos 2x
3
3 0
(sin 2x cos 2x)(1 sin 2x cos 2x) (1 sin 2x cos 2x) 0 1 sin 2x cos 2x 1 sin 2x cos 2x 0
1 sin 2 x cos 2 x 0 sin 2 x cos 2 x 1 sin 4 x 2 (vô nghiệm)
2 k x
4 k x sin 4
2 2 x 4
2 sin 4 1
x 2 sin 2 0 1 x 2 cos x 2 sin
IV . PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG : a(sinx + cosx) + bsinxcosx + c = 0 BÀI 4 : Giải các phương trình lượng giác sau :
1)
(ĐH Nông Nghiệp – 2000)1 cos
3x sin
3x sin 2 x 1
Hướng dẫn :
1 cos x sin x 1 sin x cos x 2 sin x cos x 1 0
Đặt
cos x sin x 2 cos x 4
t , t 2
2 t x 1 cos x
sin
2
loại 3
t 1 t
0 t 0 3 t 2 t t 0 t 3 t 2 t 0 1 t 2 1
t 1 1 t
1
2 2 3 2 2
k
x 4 2 k
x 4 4 0
x cos 4 0
x cos 2 t
2 k x
2 2 k x 2
4 k 3 x 4
2 4 k 3 x 4
4 cos 3 2
2 x 4
cos 4 1
x cos 2 t
2)
(ĐH Ngân Hàng TP.HCM – 2000)sin x sin
2x cos
3x 0 1
Hướng dẫn :
1 sin x sin x 1 1 sin
2x cos x 0 sin x 1 sin x cos x sin x cos x 0
k 2 x 2
1 x sin
sin x cos x sin x cos x 0 2
Đặt
sin x cos x 2 sin x 4
t , t 2 sin x cos x
2 1 t
2
t 1 2 loại
2 1 0 t
1 t 2 t 2 0
1 t t
2
2 2 1
2
Vậy
2 4 k
x 3
2 4 k
x 2
4 k x
2 4 k
x 2 sin
2 1 x 4
sin
3)
(ĐH Y – Hà Nội – 2000)cos
3x sin
3x cos 2 x 1
Hướng dẫn :
1 cos x sin x 1 sin xosx cos
2x sin
2x 0 cos x sin x 1 sin x cos x cos x sin x 0
sin x cos x 0 tan x 1 x k 4
cos x sin x sin x cos x 1 0 2
Đặt
cos x sin x 2 cos x 4
t , t 2
2 t x 1 cos x
sin
2 1 0 t 2 t 1 0 t 1
2 t t 1
2
2
2
Vậy
k 2
x 2 2 k x 2
4 k x 4
2 4 k x 4
cos 4 2
2 x 4
cos 4 1
x cos 2 t
Vậy phương trình đã cho có ba nghiệm : k
x 4 , x k 2 , k 2
x 2 .
4)
(ĐH Huế – 2000)sin x cos x 2 sin x 2 cos x 2 1
Hướng dẫn :
1 sin x cos x 2 sin x cos x 2 0
Đặt
sin x cos x 2 sin x 4
t , t 2 sin x cos x
2
1
t
2
t 1
loại 5 0 t
5 t 4 t
1
2Vậy
x k2
x k2
1 2 4 4
t 2 sin x 1 sin x sin
3
4 4 2 2 4 x k2
x k2 2
4 4
5)
(ĐH Ngoại Ngữ Tin Học)sin 2 x 12 sin x cos x 12 0 1
Hướng dẫn :
1 2 sin x cos x 12 sin x cos x 12 0
Đặt
sin x cos x 2 sin x 4
t , t 2 sin x cos x
2 t 1
2
t 13 loại
1 0 t
13 t 12 t
1
2Vậy
2 k x
2 2 k x 2
4 k 3 x 4
2 4 k x 4
sin 4 2
2 2 1 x 4
sin 4 1
x sin 2 t
6)
(ĐH Ngoại Ngữ – HN)cot x tan x sin x cos x 1
Hướng dẫn : Điều kiện :
k 2 x 0 xcox
sin
sin x cos x cos x sin x sin x cos x sin x cos x
x cos
x sin x sin
x
1 cos
2
2
sin x cos x cos x sin x sin x cos x 0
k
x 4 1 x tan 0
x cos x sin
cos x sin x sin x cos x 0 2 Đặt t cos x sin x 2 cos x
4
, t 2 sin x cos x 2
t 1
2
nhận 1
2 t 1
loại 1 2
2 t 1
0 1 t 2 t
2
2Vậy
k 2
x 4 2 cos
1 2 x 4
cos 1 4 2
x cos 2
7)
(ĐH Đà Nẵng)cos 2 x 5 2 2 cos x sin x cos x 1
Hướng dẫn :
1 cos
2x sin
2x 5 2 2 cos x sin x cos x 0 sin x cos x sin x cos x 4 5 0
Đặt
sin x cos x 2 sin x 4
t , t 2
t 5 loại
1 0 t
5 t 4 t 0 5 4 t t
1
2Vậy
2 k x
2 2 k x 2
4 k 3 x 4
2 4 k x 4
sin 4 2
2 x 4
sin
8)
(ĐH Ngoại Ngữ HN – 2000)
2 sin x 4 x
2
sin 1
Hướng dẫn :
1 2 sin x cos x sin x cos x 1 0
Đặt
sin x cos x 2 sin x 4
t , t 2 2 sin x cos x
2 t 1
2
t 1
0 0 t
t 1 t 0 1 t 1 t
1
2
k
x 4 4 k
x 4 0
x sin 2
2 k x
2 2 k x 2
4 k x 4
2 4 k x 4
sin 4 2
2 x 4
sin 4 1
x sin 2
Vậy phương trình có ba nghiệm : k
x 4 , k 2
x 2 , x k 2 . V . PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP : asin
2x + bsinxcosx + ccos
2x = d BÀI 4 : Giải các phương trình lượng giác sau :
1)
(ĐH Huế)cos
3x sin x 3 sin
2x cos x 0 1
Hướng dẫn :
Vì cos x 0 không phải là nghiệm của phương trình 1 nên ta chia hai vế cho cos
3x 0
1 1 tan x tan
2x 1 3 tan
2x 0 tan
3x 3 tan
2x tan x 1 0
Đặt t tan x
2 1 t
2 1 t
1 t 0 1 t 2 t 1 t 0 1 t t 3 t
1
3 2 2 k
x 4 1 x tan
tan x 1 2 tan x k
tan x 1 2 tan x k
2)
(ĐH Y – HN)sin x 4 sin
3x cos x 0 1
Hướng dẫn :
Vì cos x 0 không phải là nghiệm của phương trình 1 nên ta chia hai vế cho cos
3x 0
1 tan x tan
2x 1 4 tan
3x tan
2x 1 0 3 tan
3x tan
2x tan x 1 0
3 tan x 2 tan x 1 vô nghiệm
1 x 0 tan
1 x tan 2 x tan 3 1 x
tan
2 2
k
x 4
1
x
tan
