PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT - PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
GVBM :ĐOÀN NGỌC DŨNG
BÀI 1 : Giải các phương trình sau :
1) 1
1 2 1 1
x x
x x 2)
2 3 2 2 1
x x
x x 3) x1(x2 x2)0 4) x3(x2 3x2)0 BÀI 2 : (SGK) Giải các phương trình sau :
1) x3 92x 2) x1x3 3) 2x – 1 = x + 2 4) x – 2 = 2x – 1
5) 2x 1
2 2 x
1 x 2
) 1 x ( 2 2
6)
5 x 3
3 x 5 1 x
5 x 2
7) x x 1
1 x
x
8)
3 x x 1 5
x 2
2
BÀI 3 : Giải và biện luận theo m các phương trình sau :
1) (m2 + 2)x – 2m = x – 3 2) m(x – m) = x + m – 2 3) m2(x – 1) + m = x(3m – 2) 4) m(x – m + 3) = m(x – 2) + 6 BÀI 4 : Giải và biện luận theo m (hoặc theo a, b) các phương trình sau :
1) 1
1 x
3 m
mx
2) m
3 x
2 m x ) 1 m
(
3)
3 x
m x 3 x
m x 3
4)
1 x
1 x a 1 x
b 1 x
1 ax
2 2
5) 1
m 2 x
1 2 x
m
6) 1
2 1 x
2 2 m
m mx
2
BÀI 5 : Định m để phương trình vô nghiệm :
1) (m + 1)x – (x + 2) = 0 2) m2(x – 1) + 2mx + 4 = 3(x + m)
BÀI 6 : Định m để phương trình có nghiệm duy nhất :
1) (m + 1)2x +1 – m = (7m –5)x 2)
1 x
1 x m x
2 x
BÀI 7 : Định m để phương trình có nghiệm x R :
1) m2x – m = 4x – 2 2) m3x = mx + m2 – m
BÀI 8 : (SGK) Giải phương trình m m 6 4
x 3
m 2
trong mỗi trường hợp sau : a) m = 3. b) m 3.
BÀI 9 : Định m nguyên để phương trình
x 1 x m x
1
x
có nghiệm nguyên duy nhất BÀI 10 : Giải và biện luận phương trình :
1) x2 – (2m – 3)x – (m + 5) = 0 2) x2 + 2mx + m2 – 1 = 0 3) x2 + (1 – m)x – m = 0 4) x2 – 4x + m – 3 = 0 5) (m2 – 5m – 36)x2 – 2(m + 4)x + 1 = 0 6) (m – 1)x2 + 3x – 1 = 0 7) (m – 1)x2 + 7x – 12 = 0 8) mx2 – 2(m + 3)x + m + 1 = 0 9) [(m + 1)x – 1](x – 1) = 0 10) (mx – 2)(2mx – x + 1) = 0
BÀI 11 : Định a để hai phương trình x2 + x + a = 0 và x2 + ax + 1 = 0 có nghiệm chung. ĐS : a = –2.
BÀI 12 : Biện luận số giao điểm của hai parabol sau theo tham số m :
1) y = –x2 –2x + 3 và y = x2 – m 2) y = x2 + mx + 8 và y = x2 + x + m
BÀI 13 : Cho phương trình : x2 – mx + 2m – 3 = 0. Tìm hệ thức giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m.
BÀI 14 : Cho phương trình : (m – 4)x2 – 2(m – 2)x + m – 1 = 0. Giả sử phương trình có 2 nghiệm x1, x2
hãy tìm hệ thức giữa x1 , x2 độc lập với tham số m.
BÀI 15 : Cho phương trình : (m + 2)x2 – 2(m + 1)x – 2 = 0.
a) Chứng minh rằng với mọi m phương trình luôn luôn có nghiệm.
b) Tìm m để phương trình có một nghiệm bằng –2 và tính nghiệm còn lại. ĐS : m = –5/4 ; x = –2 x = 4/3 c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu. ĐS : m > –2
BÀI 16 : Tìm các giá trị của m để phương trình :
a) (m + 1)x2 – 2(m + 1)x + m – 8 = 0 có đúng một nghiệm dương. ĐS : –1 < m 8 b) (m2 + 5)x2 – 2(m – 1)x + 1 = 0 có hai nghiệm âm. ĐS : m –2
IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII
BÀI 17 : Cho phương trình : x2(3m2)x2m25m30. Tìm m để phương trình có : a) hai nghiệm phân biệt. b) ít nhất một nghiệm dương. c) ít nhất một nghiệm âm.
ĐS : a) m 4 ; b) m > –1/2 ; c) m < 3
BÀI 18 : Cho phương trình : (m + 1)x2 2(m 1)x + m 2 = 0. Định m để phương trình có : a) hai nghiệm trái dấu b) hai nghiệm dương phân biệt c) đúng một nghiệm âm ĐS : a) 1 < m < 2 ; b) m < 1 2 < m 3 ; c) 1 < m < 2
BÀI 19 : Cho phương trình : mx2 + 2(m – 2)x + m – 3 = 0. Định m để phương trình có :
a) hai nghiệm trái dấu. b) hai nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn nghiệm dương.
ĐS : a) 0 < m < 3 ; b) 2 < m < 3.
BÀI 20 : Cho phương trình : x2 – 2(m – 2)x + m2 – 12 = 0. Định m để phương trình có hai nghiệm : a) có giá trị tuyệt đối bằng nhau. b) có giá trị tuyệt đối là nghịch đảo của nhau.
ĐS : a) m = 4 m = 2 ; b) m 13 m 11.
BÀI 21 : Cho phương trình kx2 – 2(k + 1)x + k + 1 = 0. Tìm k để phương trình trên có :
a) ít nhất một nghiệm dương. ĐS : k > –1
b) một nghiệm lớn hơn 1 và một nghiệm nhỏ hơn 1. ĐS : k > 0
BÀI 22 : Tìm m để phương trình x2 – 2(m + 5)x + m2 – 4m + 47 = 0 có 2 nghiệm phân biệt lớn hơn 3.
ĐS : m > 11/7
BÀI 23 : Cho phương trình : x2 + 3x – m + 1 = 0
a) Biện luận số nghiệm của phương trình bằng đồ thị. b) Kiểm tra lại kết quả bằng phép tính.
BÀI 24 : Giả sử x1, x2 là hai nghiệm của phương trình x23 2x 20. Tính giá trị của biểu thức
2
2 3 x x 2 3 2 3 x x 2 3 A 2
2 1 2 2
2 1
.
BÀI 25 : Gọi x1, x2 là nghiệm của phương trình x22004x10và x3, x4 là nghiệm của phương trình 0
1 x 2005
x2 . Tính giá trị của biểu thức A =
x1x3
x2x3
x1x4
x2x4
. BÀI 26 : Tìm các giá trị của m để phương trình :1) x2 – 4x + m – 1 = 0 có nghiệm x1, x2 thỏa mãn hệ thức :x13x32 40. ĐS : m = 3 2) x2 – 2x – m2 – 4 = 0 có nghiệm x1, x2 thỏa mãn hệ thức :x12x22 20. ĐS : m = 2
3) 3x2 – 2(m + 2)x + 1 – m = 0 có hai nghiệm x1 x2 thỏa hệ thức : x1 – x2 = 2. ĐS : m = –8 m = 1 4) x2 – 2(m + 1)x + 2m + 10 = 0 có nghiệm x1, x2 thỏa mãn hệ thức : 2
1 2 2
1
x x x
x ĐS : m = 3
5) x2 – 2(m + 1)x + 2m + 10 = 0 có nghiệm x1, x2 thỏa mãn : x1x2 – 2(x1 + x2) 5 ĐS : m 3
6) mx2 – 2(m – 1)x + 3(m – 2) = 0 có hai nghiệm x1 x2 thỏa hệ thức : x1 + 2x2 = 1. ĐS : m = 2/3 m = 2 7) x2 + (4m + 1)x + 2(m – 4) = 0 có nghiệm x1, x2 thỏa mãn hệ thức : x2 – x1 = 17. ĐS : m = 4
8) 3x2 – 6x + 3m = 0 có hai nghiệm x1 x2 thỏa hệ thức : 3x122x22 77. ĐS: m 15 m 299
15 BÀI 27 : Giải và biện luận theo m các phương trình sau :
1) 2mx + 3 = 5 2) mx – x + 1 = x + 2 3) mx + 2x – 1 = x 4) x + m = x – m + 2 5) 3x + 2m = x – m 6) 3x + m = 2x – 2m
BÀI 28 : Giải các phương trình sau :
1) 4 3 2 1
2x 12x 2 2x 32x 4
2) 2 1 2 1 2 1 3
x 5x 4x 11x 28x 17x 70 4x 2
3) 2
3 x 2 x
15 8
x 2 x
24
2
2
4) 2 2x 213x
3x 5x 23x x 26
5) x43 3x22 1
x x x 3
6) 12 1 2
x (x 1) 15
7)
2 2
x 1 x 1 x 2
x 2 x 3 12 x 3
8) 2(x 1)2 13(x 1)2
3x x 3x 7x 6 6
BÀI 29 : (SGK) Giải và biện luận theo m các phương trình sau : 1) x2 mx 2 2m 6
3 x
2) m 1
x 2x 2m1
3) 1
1 x
2 m m mx 2
2
2
4) 3x m x m
x 3 x 3
BÀI 30 : Giải các phương trình sau :
1)2x + 3=4 – 3x 2)x2 – 8x + 15= x – 3 3)x2 – 5x + 4= x2 + 6x + 5 4)x2 – 2x – 3= 2x + 2 ĐS : 1)x = 1/5 x = 7 ; 2) x = 4 x = 3 x = 6 ; 3) x = –1/11 ; 4) x = 1 x = 5
BÀI 31 : Giải các phương trình sau bằng cách đặt ẩn phụ :
1) x22x4 2x 2) 4x 9x216 x2
3) 4x2 12x5 4x2 12x11150 4) 2x2 + 6x – 10 – x23x 0
5) x2 + 4x – 3 x + 2 + 4 = 0 6) 6 0
x x 1 x 2 x 1
4 2 2
7) 3x 6x 3 (3x)(6x) 8) 3x 1 6 x 3x214x 8 0 9) 3x2 5x8 3x2 5x11 10) (x + 4)(x + 1) –3 x2 5x2 = 6 11) x23 2x5 x2 2x5 2 2 12)
3 05 x
2 5 x
x 4 2 x 5
x
ĐS : 1) x = –2; 2) x = 0 ; x = 1; 3)
2 14
x3 ; 4) x
1;4
; 5) x
5;2;1
; 6)
2
; 1 1
x ;
7) x
3;6
; 8) x = 5 ; 9)3 x 8 1
x ; 10) x = –7 x = 2; 11) 2
5 x 3; 12)
2 85 x 3
2 53
x3 BÀI 32 : Giải các phương trình sau :
1) x4 x4 2x122 x2 16 (DBĐH 2002) ĐS : x = 5 2) 2 x22 x1 x14 (ĐH D 2005) ĐS : x = 3
3) 3x3 5x 2x4 (DBĐH 2005) ĐS : x = 2 x = 4 4) 2x1x2 3x10 (ĐH D 2006) ĐS : x = 1 x = 2 2 5) 3x2 x14x92 3x2 5x2 (DBĐH 2006) ĐS : x = 2
6) x2 7x2 x1 x2 8x7 1 (DBĐH 2006) ĐS : x = 5 x = 4
7)
2 1 x x 2 2 3 1 x
2 2 (DBĐH 2008) ĐS :
2 x1 ;
2 x 3 8) 10x1 3x5 9x4 2x2 (DBĐH 2008) ĐS : x = 3
9) 23 3x23 65x80 (ĐH A 2009) ĐS : x = –2 10) 3x1 6x3x214x80 (ĐH B 2010) ĐS : x = 5 11) 3 2x6 2x4 4x2 103x (x R) (ĐH B 2011) ĐS : x = 6/5
12) xx222x2x83
x 1 x 2 2 (THPTQG 2015) ĐS : x = 2 x 3 13 2
BÀI 33 : Giải các phương trình sau :
1) (x – 6)4 + (x – 8)4 = 16 2) (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) = 9 3) x4 – 4x3 + 5x2 – 4x + 1 = 0 4)
x 2
43x 2
2 40 5) x6 + 19x3 – 216 = 0 6) x2(x – 1)2 – 8(x2 – x) + 12 = 07) x4 – 7x3 + 14x2 – 7x + 1 = 0 8) (x2 – 2x + 4)(x2 + 3x + 4) = 14x2 9)
x2x1
3x2x3
4x2ĐS : 1) x = 6 x = 8 ; 2)x4 10, x = 4 ; 3)
2 5
x3 ; 4) x 2 2; 5) x = 2 x = 3;
6) x = 2; x = 1; x = 2; x = 3 ; 7) x2 3
2 5
x3 ; 8) x = 2 ; x = 5 ; x = 1; 9)
2
5
; 1 6
61 x 5
IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII
BÀI 34 : (SGK) Định a để phương trình vô nghiệm :
2 a x
x 1
a x
1 x
ĐS :
;0
2
; 1 1
; 2 a
BÀI 35 : Giải và biện luận theo m các hệ phương trình sau : 1)
2 my x
1 m y
mx 2)
1 m y mx
0 my
x 3)
12 my x 9
1 m y
mx 4)
m xy
4 y
x 5)
m y x
1 y 2 x 3
2 2
BÀI 36 : Định m để hệ phương trình
1 m 3 y ) 3 m ( mx
m 4 y 8 x ) 1 m
( có nghiệm duy nhất. ĐS : m 1 m 3
BÀI 37 : Định m để hệ phương trình
2 y 2 ) y x ( m
3 y ) 1 m ( 3 x m 2 2
vô nghiệm. ĐS : m = 2
1 m = 3 BÀI 38 : Định m để hệ
m 3 y 2 x ) 6 m (
m 1 my x
4 có vô số nghiệm số. ĐS : m = –2
BÀI 39 : Cho hệ phương trình :
m y ) 2 m ( x
2 y ) 1 m 3 ( x ) 1 m
( . Tìm để hệ phương trình có vô số nghiệm số.
Trong trường hợp hệ có nghiệm (x ; y) duy nhất. Hãy tìm một hệ thức giữa x và y không phụ thuộc m.
ĐS : 1) m = –1 ; 2) x + 5y – 2 = 0 BÀI 40 : Định m để hệ phương trình
5 m y x 2
1 m 3 my x ) 1 m
( có nghiệm (x ; y) duy nhất và x2 + y2 đạt giá
trị nhỏ nhất. ĐS : m 1 ; min(x2 + y2) là 8
BÀI 41 : Cho hệ phương trình:
2 m y mx
1 m 2 my x ) 1 m (
2 . Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x
; y) thỏa P = xy đạt giá trị lớn nhất. ĐS : m = 3/2 ; MaxP = 1/4.
BÀI 42 : Định m nguyên để hệ
1 m 2 my x
3 y
mx có nghiệm nguyên. ĐS : m 2 ; 0 ; 1 BÀI 43 :Giải các hệ phương trình sau :
1)
27 z 9 y 3 x
8 z 4 y 2 x
1 z y x
ĐS : (6 ; –11 ; 6) 2)
3 zx yz x
2 z y 2 x
3 z y x
ĐS : (1 ; 1 ; 1) ; (7 ; 3 ; 1) III. HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI HAI ẨN
BÀI 44 : Giải các hệ phương trình sau : 1)
164 y
x
2 y x
2
2 ĐS : (10 ; 8), (–8 ; –10) 2)
7 y xy 5 x
1 y x 2
2
2 ĐS : (1 ; –1) ;
5
;9 5 2
BÀI 45 : Giải các hệ phương trình sau : 1)
5 y x xy
8 y x y
x2 2 2)
2 ) 1 y ( y ) 1 y x ( x
4 y x y
x2 2 3)
1 y x xy
2 y x y
x2 2 4)
1 xy y x
3 xy y x
2 2
5)
3 xy y x
7 xy y x
2 2
2
2 6)
0 xy y x
1 xy ) y x ( 2
2 2
2 7)
96 xy
208 y
x2 2 8)
24 xy
55 y x2 2
ĐS : 1) (1; 2),(2; 1); 2) ( 2; – 2),(– 2; 2),(1; –2), (–2; 1); 3) (1; 2),(2; 1); 4) (1; –1); 5) (1; 2),(2; 1), (–
1;–2),(–2;–1); 6)
;0 2
; 1 2
; 1
0 ,(1;–1),(–1; 1) ; 7) (12; 8),(–12; –8),(8; 12),(–8;–12); 8) (8; 3), (–8; –3) BÀI 46 : Giải các hệ phương trình sau :
1)
y 3 xy y 2
x 3 xy x 2
2
2 2)
3 x 2 y
3 y 2 x
2
2 3)
x 2 y 3 y
y 2 x 3 x
2
2
ĐS : 1) (0 ; 0); (1 ; 1); (0 ; 3/2) ; (3/2 ; 0) ; 2) (–1 , –1); (3 ; 3); 3) (0 , 0); (5 ; 5), (–1 ; 2), (2 ; –1)
XÉT DẤU NGHIỆM SỐ CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
GVBM :ĐOÀN NGỌC DŨNG
BÀI 1 : Cho phương trình :
m1
x22
m4
xm10. Định m để phương trình cóa) Một nghiệm. ĐS :
2 m 5 1
m
b) Hai nghiệm cùng dấu phân biệt. ĐS :
2 m 5 1
m
c) Hai nghiệm âm phân biệt. ĐS : m1
BÀI 2 : Cho phương trình :
m4
x22
m2
xm10. Định m để phương trìnha) Có hai nghiệm cùng dấu. ĐS : 0m1 hoặc m4
b) Có hai nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn. ĐS : 2m4
c) Có một nghiệm dương. ĐS : 1m4 hoặc m0
BÀI 3 : Cho phương trình : (m + 1)x2 2(m 1)x + m 2 = 0. Định m để phương trình có :
a) hai nghiệm trái dấu ĐS : 1 < m < 2
b) hai nghiệm dương phân biệt ĐS : m < 1 2 < m 3
c) đúng một nghiệm âm ĐS : 1 < m < 2
BÀI 4 : Cho phương trình mx22
m1
xm20.a) Định m để phương trình có nghiệm. ĐS : m
b) Định m để phương trình có hai nghiệm có giá trị tuyệt đối bằng nhau và trái dấu. ĐS : m1 BÀI 5 : Cho phương trình
m1
x22
m1
xm0.a) Định m để phương trình có nghiệm kép. Tính nghiệm kép này. ĐS : x1x21 b) Định m để phương trình có hai nghiệm phân biệt đều âm. ĐS :
2 m 1
0
BÀI 6 : Cho phương trình : x2
2m1
xm2m60a) Định m để phương trình có hai nghiệm đều âm. ĐS : m3 b) Định m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa x13x32 50. ĐS :
2 5 m 1 BÀI 7 : Cho phương trình : x22
m1
xm24m50.a) Định m để phương trình có nghiệm. ĐS :
3 m2 b) Định m để phương trình có hai nghiệm phân biệt đều dương. ĐS :
3 m 2
BÀI 8 : Cho phương trình :
m1
x22
m3
xm40. Định m để phương trình có hai nghiệm :a) Trái dấu. ĐS : 1m4
b) Hai nghiệm dương. ĐS : m14m5
c) Hai nghiệm âm. ĐS : m
d) Hai nghiệm bé hơn 2. ĐS : m41m5
BÀI 9 : Cho phương trình : mx22
m3
xm40. Định m để phương trìnha) Có đúng một nghiệm dương. ĐS :
2
m 9 hoặc 0m4
b) Có đúng một nghiệm không dương. ĐS : 0m4
BÀI 10 : Tìm m để phương trình : x2mx2m40 có ít nhất một nghiệm không âm.
ĐS : m2
BÀI 11 : Tìm giá trị của m để phương trình
m1
x22x
m1
0 có ít nhất một nghiệm không âm.ĐS : 1m 2
IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII
BÀI 12 : Cho phương trình : x2 – 2(m – 2)x + m2 – 12 = 0. Định m để phương trình có hai nghiệm :
a) có giá trị tuyệt đối bằng nhau. ĐS : m = 4 m = 2
b) có giá trị tuyệt đối là nghịch đảo của nhau. ĐS : m 13 m 11 BÀI 13 : Cho phương trình : 2x2 – (k + 2)x + 7 = k2. Tìm tất cả giá trị dương của k để các nghiệm của phương trình trái dấu nhau và có giá trị tuyệt đối là nghịch đảo của nhau. ĐS : k = 3
BÀI 14 : Cho phương trình x2
2m3
xm23m0.a) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm khi m thay đổi.
b) Định m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa 1x1x26. ĐS : 4m6 BÀI 15 : Tìm m để phương trình x2mxm0 có nghiệm thỏa mãn x12x2. ĐS :
3 m4 BÀI 16 : Tìm m để phương trình 2mx2xm0 có nghiệm thỏa mãn 1 x2
2
x 1 . ĐS : m 0
3
1
BÀI 17 : Cho phương trình : x22
m1
x m1
0.a) Tìm giá trị của m để phương trình có một nghiệm nhỏ hơn 1, một nghiệm lớn hơn 1. ĐS : m2 b) Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm nhỏ hơn 2. ĐS :
3 m1
BÀI 18 : Tìm giá trị của m để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt nhỏ hơn 1 : x2
m1
xm0. ĐS : m1m1BÀI 19 : Tìm m để phương trình 3x24x2
m1
0 có hai nghiệm phân biệt nhỏ hơn 2.ĐS :
3 m 5 1
BÀI 20 : Với giá trị nào của m thì phương trình x2xm0 có hai nghiệm đều lớn hơn m. ĐS : m2 BÀI 21 : Định m để phương trình mx22
m2
x10 có hai nghiệm phân biệt và nghịch đảo của hainghiệm đều nhỏ hơn 1. ĐS : m1 và m0
BÀI 22 : Cho phương trình : mx22
m3
xm40
1 Định m để phương trình :a) Có đúng một nghiệm dương. ĐS : 0m4
2 m9
b) Có đúng một nghiệm không dương. ĐS : 0m4
BÀI 23 : Cho phương trình :
m4
x22
m2
xm10. Định m để phương trình có hai nghiệm x1,x2 thỏa :a) x10x2 và x1 x2. ĐS : 2m4
b)
2 22
1 2
1 x 2x x
x . ĐS : m0
BÀI 24 : Cho phương trình :
m1
x22mxm50. Định m để phương trình :a) Có hai nghiệm đều nhỏ hơn 2. ĐS :
6
; 5 1 9
; m
b) Có ít nhất một nghiệm nhỏ hơn 2. ĐS :
6 m5 BÀI 25 : Cho phương trình kx2 – 2(k + 1)x + k + 1 = 0. Tìm k để phương trình trên có :
a) ít nhất một nghiệm dương. ĐS : k > –1
b) một nghiệm lớn hơn 1 và một nghiệm nhỏ hơn 1. ĐS : k > 0
BÀI 26 : Cho phương trình : mx22(m3)xm50. Định m để phương trình có hai nghiệm có giá trị
tuyệt đối nhỏ hơn 2. ĐS : m < 7 m 9
9
17 ------
LÝ THUYẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ
I. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT VÀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN Vấn đề 1 : Giải và biện luận phương trình dạng ax + b = 0
Phương pháp : Giả sử hai hệ số a và b chứa tham số m.
Biến đổi đưa phương trình về dạng ax = b. Xét các trường hợp sau : 1) a 0 : nghiệm duy nhất
a xb
2) a = 0 và b 0 : phương trình vô nghiệm
3) a = 0 và b = 0 : phương trình có tập nghiệm là R
Chú ý : Trong trường hợp bài toán có kèm theo điều kiện, thì ta cần so sánh nghiệm với điều kiện.
Vấn đề 2 : Định m để phương trình ax + b = 0 thỏa điều kiện về tập nghiệm
Phương pháp : Xét phương trình ax + b = 0 (1) a) (1) có tập nghiệm là R
0 b
0
a b) (1) vô nghiệm
0 b
0 a
c) (1) có nghiệm duy nhất a 0 d) (1) có nghiệm
0 b
0 a
0 a
Vấn đề 3 : Giải và biện luận phương trình dạng ax2 + bx + c = 0
Phương pháp :
* Trường hợp a = 0 : giải phương trình bx + c = 0
* Trường hợp a 0 : tính biệt thức = b2 – 4ac
> 0 : (1) có hai nghiệm phân biệt là
a 2 x1,2 b
= 0 : (1) có nghiệm kép là
a 2 x b
< 0 : (1) vô nghiệm
Vấn đề 4 : Định m để phương trình ax2 + bx + c = 0 thỏa điều kiện về tập nghiệm
Phương pháp : Xét phương trình ax2 + bx + c = 0 (1)
Phương trình (1) vô nghiệm a 0 b 0 c 0
hay a 0 0
Phương trình (1) có nghiệm
0 b
0 a hoặc
0 b
0 a
Phương trình (1) có nghiệm duy nhất
0 b
0 a hoặc
0 0 a
Phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt (x1 x2) a 0 0
Vấn đề 5 : Dùng phương pháp đồ thị để biện luận số nghiệm của phương trình bậc hai
Phương pháp :
Giả sử phương trình được biến đổi về dạng ax2 + bx + c = m (1) Trong đó a, b, c là những số cho trước với a 0, còn m là tham số.
Bước 1 : Ta nói rằng phương trình (1) là phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị (P) : y = ax2 + bx + c và (d) : y = m.
Số nghiệm của phương trình (1) bằng số giao điểm của (d) và (P).
IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII
Bước 2 : Vẽ parabol (P) : y = ax2 + bx + c và đường thẳng (d) : y = m trong cùng hệ trục tọa độ.
Đường thẳng (d) song song (hoặc trùng) với trục Ox, cắt trục Oy tại điểm có tung độ m.
Bước 3 : Quan sát đồ thị, tùy theo giá trị của m, ta xác định được số giao điểm của hai đồ thị, từ đó suy ra số nghiệm của phương trình (1).
Vấn đề 6 : Ứng dụng của định lí Vi-ét để xét dấu nghiệm số của phương trình bậc hai
Phương pháp : Cho phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (a 0) (1) Đặt
a Sb và
a
P c. Ta có các kết quả sau :
Phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu (x1 < 0 < x2) P < 0
Phương trình (1) có hai nghiệm dương (0 < x1 x2) 0, P > 0 và S > 0
Phương trình (1) có hai nghiệm âm (x1 x2 < 0) 0, P > 0 và S < 0
Vấn đề 7 : Định m để phương trình có hai nghiệm thỏa điều kiện cho trước
Phương pháp :
Phương trình (1) có hai nghiệm x1, 2 0.
Ta tính x1 + x2 và x1x2 theo tham số.
Thay các kết quả vào (1) ta được một phương trình hay bất phương trình ẩn m. Giải ra ta được m. Kết hợp với điều kiện có nghiệm của (1) ta được giá trị m cần tìm (nếu là dạng đối xứng). Nếu không là dạng đối xứng thì lấy giả thiết cho kết hợp với tổng 2 nghiệm để giải hệ phương trình để tìm x1, x2. Sau đó thế x1, x2
và tích để tìm m.
Vấn đề 8 : Lập phương trình bậc hai khi biết 2 nghiệm
Phương pháp : Cách 1 : Dùng định lý Vi-ét đảo (x2 – Sx + P = 0)
Cách 2 : Dùng : (x – x1)(x – x2) = 0.
II. MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HOẶC BẬC HAI Vấn đề 9 : Giải phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối
Phương pháp :
1) Dạng cơ bản : a) A B A2 B2 AB b) A B B2 0 2 B 0
A B A B
2) Các dạng còn lại : Ta phải xét dấu các biểu thức dưới dấu giá trị tuyệt đối; phân chia các trường hợp để loại bỏ dấu giá trị tuyệt đối để giải.
Vấn đề 10 : Phương trình chứa ẩn dưới dấu căn
Phương pháp : 1) Dạng cơ bản : a)
A B
B hay B A
A 0( 0)
b)
02
B A B B A
2) Các dạng còn lại : Trong một số trường hợp, tùy theo từng phương trình ta thường dùng các phương pháp sau để giải: Phương pháp đặt ẩn phụ, phương pháp đưa về phương trình tích, phương pháp nhân lượng liên hiệp, …
Vấn đề 11 : Một số phương trình bậc bốn đưa về phương trình bậc hai
Phương pháp :
a) Phương trình trùng phương ax4 + bx2 + c = 0 (a 0). Đặt t = x2 (t 0).
b) Phương trình dạng (x + a)4 + (x + b)4 = c. Đặt
2 b x a
t .
c) Phương trình dạng (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) + k = 0 (1) trong đó k 0 và a + b = c + d.
(1) [x2 + (a + b)x + ab][x2 + (c + d)x + cd] + k = 0
Đặt t = x2 + (a + b)x + ab. Ta được (1) trở thành t(t + cd – ab) + k = 0.
d) Phương trình dạng ax4 + bx3 + cx2 bx + a = 0 (a 0). Vì x = 0 không thỏa phương trình x 0.
Chia hai vế cho x2,
c 0x x 1 x b
x 1 a
1 2 2
. Đặt
x x 1 t .
LÝ THUYẾT HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ
I. GIẢI VÀ BIỆN LUẬN HỆ PHƯƠNG TRÌNH (Phương pháp định thức cấp hai hay Qui tắc Crame)
Gabriel Cramer là nhà tốn học người Thụy Sỹ Dạng tổng quát : ax by c (a22 b22 0)
a ' x b ' y c ' (a ' b ' 0)
Tính các định thức cấp 2 : D a b ab ' a 'b ; Dx c b b 'c bc ' ; Dy a c ac ' a 'c
a ' b ' c ' b ' a ' c '
1) Nếu D = 0 : Hệ có một nghiệm duy nhất (x ; y) với Dx Dy
x ; y
D D
.
2) Nếu D = 0 :
Dx 0 hoặc Dy 0 : hệ vô nghiệm.
Dx = Dy = 0 : hệ có vô số nghiệm thỏa : c ax x R; y
b
hoặc x c by; y R
a
Chú ý :
1) Hệ có nghiệm duy nhất D 0.
2) Hệ phương trình vô nghiệm x
y
D 0
D 0
D 0
Hoặc :
x y
D 0
D 0
D 0
D 0
3) Hệ phương trình vô số nghiệm D = Dx = Dy = 0 x
y
D 0
D 0
D 0
II. HỆ GỒM MỘT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT VÀ MỘT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI 1) Phương pháp giải :
Từ phương trình bậc nhất, rút một ẩn theo ẩn kia.
Thế vào phương trình bậc hai còn lại để đưa về phương trình bậc hai theo một ẩn.
2) Thí dụ :
126 y
x
6 y x
3
3 ;
2 y 2 xy 3 x
1 y 5 x 2
2 2
Một trong hai phương trình có thể đưa về dạng tích của các phương trình bậc nhất hai ẩn.
Để giải được một trong hai phương trình đó ta thường sử dụng các kĩ thuật sau :
Phân tích đa thức thành nhân tử và đặt nhân tử chung.
Biến đổi và đưa về phương trình tích.
Coi phương trình đó là ẩn x (hoặc y), ta tính biệt số theo y (hoặc x) thì khi đó đen-ta là một số chính phương (phương pháp hằng số biến thiên).
Nếu đó là một phương trình đẳng cấp bậc hai hai ẩn.
III. HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI MỘT
1) Định nghĩa : Hệ phương trình đối xứng loại 1 là hệ phương trình mà khi thay x bởi y và y bởi x thì từng phương trình không thay đổi.
2) Thí dụ :
2 y x y x
0 1 xy y x
2
2 ;
30 xy y x
11 y xy x
2 2
3) Phương pháp giải :
Đặt
y . x P
y x
S , đưa hệ đã cho về hệ với hai ẩn S, P.
IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII
Giải hệ trên để tìm S, P.
x, y là hai nghiệm của phương trình tổng tích : X2 SX + P = 0 (*)
Chú ý 1 :
+ Điều kiện để hệ trên có nghiệm là : S2 – 4P 0
+ Nếu (x0 ; y0) là nghiệm của hệ thì (y0 ; x0) cũng là nghiệm của hệ.
+ Đôi khi ta phải đặt ẩn phụ uu
x , vv
x và Suv, Puv. + Có những hệ phương trình trở thành đối xứng loại 1 sau khi đặt ẩn phụ.+ Hệ phương trình đối xứng gần loại 1 (phản đối xứng, nửa đối xứng), thay x bởi x và y bởi y thì hệ phương trình mới trở thành hệ phương trình đối xứng loại I.
Thí dụ :
1 xy y x
3 xy y x
2
2 ;
6 xy y x y x
3 y x xy
2 2
Chú ý 2 :
Một số biểu thức đối xứng thường gặp :
x2y2 S22P, x3y3S33SP
x2yxy2 xy
xy
PS
xa
ya
xya
xy
a2 PaSa2 x4y4
x2y2
22x2y2
S22P
22P2 x5y5
x2y2
x3y3
x2y2
xy
S22P
S33SP
SP2 P
S xy
y x y 1 x
1 ;
P P 2 S y x
y x y
1 x
1 2
2 2
2 2 2 2
…
IV. HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI HAI
1) Định nghĩa : Hệ phương trình đối xứng loại 2 là hệ phương trình mà khi thay x bởi y và y bởi x thì phương trình này trở thành phương trình kia và ngược lại.
2) Thí dụ :
y 3 xy y 2
x 3 xy x 2
2
2 ;
x y 6 xy 2 y
y x 6 xy 2 x
2 2
3) Phương pháp giải :
Trừ vế với vế hai phương trình đã cho.
Đưa phương trình có được về dạng phương trình tích, ta có hai trường hợp xảy ra, trong đó luôn có trường hợp x = y.
Giải hệ trong từng trường hợp một.
Kết luận.
V. HỆ ĐẲNG CẤP BẬC HAI 1) Định nghĩa :
Hệ hai phương trình đẳng cấp bậc hai là hệ phương trình bậc hai có dạng :
' d y ' c xy ' b x ' a
d cy bxy ax
2 2
2 2
(I) Bậc của mỗi số hạng theo hai ẩn số x và y bằng nhau và bằng 2.
2) Thí dụ :
5 y 5 xy 4 x
9 y 3 xy 2 x
2 2
2
2 ;
17 y 3 xy 2 x
11 y xy 2 x 3
2 2
2 2
3) Phương pháp giải :
Cách 1 : Kiểm tra điều kiện x = 0. Khi x 0 ta đặt ytx
x0
hoặc xty
y0
. Cách 2 : Cân bằng hệ số ẩn x2 ở hai phương trình rồi trừ hai vế của hai phương trình còn lại, quy đồng khử mẫu phương trình đó đưa về phương trình trùng phương giải được ẩn x.
Cách 3 : Cân bằng hệ số tự do ở hai phương trình, trừ hai vế của hai phương trình khử số hạng tự do ta được phương trình có các hạng tử đẳng cấp bậc hai với ẩn x, y.
XÉT DẤU NGHIỆM SỐ CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
GVBM :ĐOÀN NGỌC DŨNG
Cho phương trình ax2 + bx + c = 0.
1) Phương trình đã cho vô nghiệm a 0 b 0 c 0
hay a 0 0
2) Phương trình đã cho có nghiệm kép a 0
0
3) Phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt (x1 x2) a 0 0
4) Phương trình đã cho có nghiệm
a 0 a 0
0
5) Phương trình đã cho có một nghiệm
a 0 a 0
0
6) Phương trình đã cho có hai nghiệm trái dấu x1 0 x2 P 0 ac0 7) Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt cùng dấu
a 0 0 P 0
8) Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt đều dương 0x1x2 a 0
0 P 0 S 0
9) Phương trình đã cho có hai nghiệm dương 0x1x2
a 0 0 P 0 S 0
10) Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt đều âm x1x2 0 a 0
0 P 0 S 0
11) Phương trình đã cho có hai nghiệm âm x1x20
a 0 0 P 0 S 0
12) Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt không âm
a 0 0 P 0 S 0
13) Phương trình đã cho có một nghiệm dương (có đúng một nghiệm dương).
a) Xét a = 0 (nếu x > 0 thì nhận)
IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII
b) Xét a 0. Phương trình đã cho là phương trình bậc hai.
Có ba khả năng xảy ra để phương trình có đúng một nghiệm dương sau đây :
Phương trình có hai nghiệm trái dấu. Điều này xảy ra P = ac < 0
Phương trình có một nghiệm kép dương. Điều này xảy ra 0
S 0
0 b 0 a
Phương trình có một nghiệm bằng 0 còn nghiệm kia lớn hơn 0. Điều này xảy ra 0 P 0 S 0
Hoặc : Có đúng một nghiệm dương Phương trình có hai nghiệm x1, x2 sao cho
1 2
1 2
1 2
x 0 x 0 x x 0 x x
14) Phương trình đã cho có ít nhất một nghiệm dương.
a) Xét a = 0 (nếu x > 0 thì nhận)
b) Xét a 0. Phương trình đã cho là phương trình bậc hai.
Phương trình đã cho có ít nhất một nghiệm dương
1 2
1 2
1 2
x 0 x P 0
0 x x P 0 S 0
0 x x P 0 S 0
và và
15) Phương trình đã cho có hai nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn
a 0 P 0 S 0
16) Phương trình đã cho có hai nghiệm có giá trị tuyệt đối bằng nhau
1 2 1 2
1 2
1 2 1 2
x x x x 0
x x 0
x x x x 0
S 0
17) Phương trình đã cho có hai nghiệm trái dấu và có giá trị tuyệt đối bằng nhau
1 2
a 0 a 0
P 0 P 0
S 0
x x
18) Phương trình đã cho có hai nghiệm có giá trị tuyệt đối là nghịch đảo của nhau
1 2
1 1 2
2
1 2
0 0
1 x .x 1
x x .x 1 P 1
x x .x 1 P 1
19) Phương trình đã cho có hai nghiệm trái dấu nhau và có GTTĐ là nghịch đảo của nhau P 0
P 1
20) Phương trình đã cho có hai nghiệm nhỏ hơn x1x2
1
2
1
2 1 2
a 0
a 0
0 0
x x 0
x 0
x 0 x x 2 0
Cách khác : Đặt t x x t
21) Phương trình đã cho có hai nghiệm có GTTĐ nhỏ hơn x1, x2 thỏa x < 2 x1x22
1 2
1 2
x x x x
1 2
1 2
phương trinh co ù2 nghiệm x , x thỏa
phương trinh co ù2 nghiệm x , x thỏa . Giải bằng cách đặt tx2xt2
TRẮC NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH
GVBM : ĐOÀN NGỌC DŨNG
Câu 1. Phương trình sau cĩ bao nhiêu nghiệm : x x ?
a) 0; b) 1; c) 2; d) Vơ số;
Câu 2. Phương trình sau cĩ bao nhiêu nghiệm : x x ?
a) 0; b) 1; c) 2; d) Vơ số;
Câu 3. Phương trình sau cĩ bao nhiêu nghiệm : x 2 2x ?
a) 0; b) 1; c) 2; d) Vơ số;
Câu 4. Phương trình sau cĩ bao nhiêu nghiệm : x 2 2 x ?
a) 0; b) 1; c) 2; d) Vơ số;
Câu 5. Phương trình: x2 10x250.
a) Vơ nghiệm. b) Vơ số nghiệm. c) Mọi x đều là nghiệm. d) Cĩ nghiệm duy nhất.
Câu 6. Phương trình: 2x 5 2x 5 cĩ nghiệm là : a) x =
2
5 . b) x = –
2
5 . c) x =
5
2 . d) x = –
5 2 . Câu 7. Phương trình: 1 1 210
3 3 9
x x x
cĩ nghiệm là :
a) x = –3 . b) x = 5 . c) x = 10 . d) x = –4 .
Câu 8. Tập nghiệm của phương trình x x 3 3 x 3 là :
a) S = . b) S = 3 . c) S = [3; +) . d) Đáp án khác.
Câu 9. Tập nghiệm của phương trình x x x1 là :
a) S = . b) S = –1 . c) S = 0. d) Đáp án khác.
Câu 10. Tập nghiệm của phương trình x2(x23x2)0 là :
a) S = . b) S = 1 . c) S = 2. d) S = 1;2.
Câu 11. Phương trình
5 x
16 5
x 1 x 3
tương đương với phương trinh :
a) 3
5 x 3 16 5 x
1 x
3
b)
5 x 4 16 5 x
1 x 43
c) x . d) Tất cả các câu trên đều đúng.
Câu 12. Cho 2 phương trình x2 + x + 1 = 0 (1) và 1 x x 1 2 (2) Khẳng định đúng nhất trong các khẳng định sau là :
a) (1) và (2) tương đương.
b) Phương trình (2) là hệ quả của phương trình (1) . c) Phương trình (1) là hệ quả của phương trình (2) . d) Cả a, b, c đều đúng.
Câu 13. Phương trình 3x 7 x6 cĩ phương trình hệ quả là:
a) (3x7)2x6. b) 3x7 x6. c) (3x7)2 (x6)2. d) 3x7 x6. Câu 14. Phương trình (x4)2 x 2 là phương trình hệ quả của phương trình nào sau đây ?
a) x4x2 b) x4 x2 c) x4 x2 d) x4 x2 Câu 15. Cho phương trình x1(x2)0(1) và x x 1 1 x1(2)
Khẳng định đúng nhất trong các khẳng định sau là : a) (1) và (2) tương đương.
b) Phương trình (2) là hệ quả của phương trình (1) . c) Phương trình (1) là hệ quả của phương trình (2) .
IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII
d) Cả a, b, c đều đúng.
Câu 16. Cho phương trình 2
1 1
x
x x
(1) và x2 x 2 0(2) Khẳng định đúng nhất trong các khẳng định sau là :
a) (1) và (2) tương đương.
b) Phương trình (2) là hệ quả của phương trình (1) . c) Phương trình (1) là hệ quả của phương trình (2) . d) Cả a, b, c đều đúng.
Câu 17. Một học sinh đã giải phương trình x2 5 2 x (1) tuần tự như sau : (I) x25(2x)2
(II) 4x = 9 (III)
4 x9
Vậy phương trình có một nghiệm là 4 x 9
Lý luận trên, nếu sai, thì sai từ giai đoạn nào ?
a) (I) . b) (II) . c) (III) . d) Lý luận đúng.
Câu 18. Để giải phương trình x 2 2x3 (1) một học sinh đã lập luận như sau:
(I) Bình phương 2 vế: (1) x2– 4x + 4 = 4x2– 12x + 9 (2) (II) (2) 3x2– 8x + 5 = 0 (3)
(III) (3) x = 1 3 x5 Vậy (1) có hai nghiệm x1 = 1 và
3 x2 5
Cách giải trên sai từ bước nào ?
a) (I). b) (II). c) (III). d) (IV) .
Câu 19. Một học sinh đã giải phương trình ( 3)( 4) 0 2
x x
x
(1) tuần tự như sau :
(1) (x 4) 0 2
x ) 3 x
(
(II) 0
2 x
) 3 x
(
hay (x4)0 (III) x = 3 hay x = 4
Vậy phương trình có tập nghiệm 3;4
Lý luận trên, nếu sai, thì sai từ giai đoạn nào ?
a) (I) . b) (II) . c) (III) . d) (IV) .
Câu 20. Để giải phương trình 1 2 3
2 2
x x
x x
(1) một học sinh đã lập luận như sau:
Điều kiện x 2
(II) Với điều kiện trên : (1) x(x + 2) = –(2x + 3) (2) (III) (2) x2+ 4x + 4 = 0 x = –2
Vậy phương trình có tập nghiệm S = –2
Cách giải trên đúng hay sai ? Nếu sai thì sai từ bước nào ? a) (I) . b) (II) .
c) (III) . d) Cả (I), (II), (III) đều đúng.
Câu 21. Phương trình (m2– m)x + m – 3 = 0 là phương trình bậc nhất khi và chỉ khi :
a) m 0 . b) m 1 . c) m 0 hoặc m 1 . d) m 0 và m 1 .
Câu 22. Câu nào sau đây sai ? a) Khi m =
5
7 thì phương trình :5mx + 3x – 4 = 10x + 2m vô nghiệm.
b) Khi m 1 thì phương trình :(m + 4)x – 2(x + m) = x + 5 có nghiệm duy nhất.
c) Khi m = 2 thì phương trình : 2 x
3 x 2 x
m
x
có nghiệm.
d) Khi m 2 và m 0 thì phương trình :(m – 1)2x – 1 = m + x có nghiệm.
Câu 23. Khẳng định đúng nhất trong các khẳng định sau là : a) Phương trình : 3x + 5 = 0 có nghiệm là x = –
3 5 . b) Phương trình : 0x – 7 = 0 vô nghiệm.
c) Phương trình : 0x + 0 = 0 có tập nghiệm R . d) Cả a, b, c đều đúng.
Câu 24. Phương trình :3(m + 4)x + 1 = 2x + 2(m – 3) có nghiệm có nghiệm duy nhất, với giá trị của m là : a) m =
3
4 . b) m = –
4
3 . c) m –
3
10 . d) m
3 4 . Câu 25. Tìm m để phương trình : :(m2 – 2)(x + 1) = x + 2 vô nghiệm với giá trị của m là :
a) m = 0 . b) m = 1 . c) m = 2 . d) m = 3 .
Câu 26. Phương trình : (a – 3)x + b = 2 vô nghiệm với giá tri a, b là :
a) a = 3, b tuỳ ý . b) a tuỳ ý, b = 2 . c) a = 3, b = 2 . d) a = 3, b 2 . Câu 27. Để phương trình m2(x – 1) = 4x + 5m + 4 có nghiệm âm, giá trị thích hợp cho tham số m là : a) m < – 4 hay m > – 2. b) – 4 < m < – 2 hay – 1 < m < 2.
c) m < – 2 hay m > 2. d) m < – 4 hay m > – 1.
Câu 28. Điều kiện cho tham số a để phương trình
1 a
a 2 1 a
1 x 1 a
x a
2
có nghiệm không âm là :
a) –1 < a <0 hay a > 1 . b) a < – 1 hay 0 < a < 1 . c) a < – 2 hay a > 1 . d) –1 < a < 1 .
Câu 29. Cho phương trình: m3x = mx + m2 –m . Để phương trình có vô số nghiệm, giá trị của tham số m là : a) m = 0 hay m = 1. b) m = 0 hay m = –1.
c) m = – 1 hay m = 1. d) Không có giá trị nào của m.
Câu 30. Để phương trình (m2
