Đoàn Ngọc Dũng -

BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH

GVBM :ĐOÀN NGỌC DŨNG F. BẤT PHƯƠNG TRÌNH CÓ CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI

Cũng tương tự như giải phương trình có chứa dấu giá trị tuyệt đối, ta cũng theo cách chung là khử dấu giá trị tuyệt đối đưa về các bất phương trình không còn dấu giá trị tuyệt đối.

1) Dạng cơ bản : a)  A   B 













B A B

0

B hay  A   B 











 









0 ) B A )(

B A (

0 B B

A 0 B

2 2

b)  A   B  A > B hay A < –B c)  A    B   A²  B²  (A + B)(A – B)  0 2) Dạng bất phương trình chứa nhiều GTTĐ :

_ Ta lập bảng xét dấu các biểu thức chứa trong GTTĐ.

_ Chia trường hợp để loại bỏ dấu GTTĐ.

Ví dụ 1 : Giải bất phương trình : x² – x  x² – 1

Ta có : ^{x2 x  x21}



^x2x

 

^{2  x2 1}

 

^{2  x2 x}

 

^{2  x21}



^{2 0}



^{x2 xx21}



^{x2 xx21}



^0

              

2 x 1 0 1 x 2 0 1 x 2 1 x 0

1 x 1 x 2 1 x 0 1 x 1 x x

2 ²              ²       



Vậy tập nghiệm của bất phương trình là _



 

 

 ;

2

S 1 .

Ví dụ 2 : Giải bất phương trình : x²25 15 3x (1)

 

8 x 2

5 x 2 x

5 x 8 0

10 x 3 x

0 40 x 3 x 15 x 3 25 x

x 3 15 25

1 x ₂

2 2

2









 















 

















 

















 

Vậy tập nghiệm của (1) là : S = (8 ; 2).

Ví dụ 3 : Giải bất phương trình : x²6x 8 x²4x0 (2)

 

_











 















 























 











 x 4

4 x 1 x 0

8 x 2

0 8 x 10 x 2 x

4 x 8 x 6 x

x 4 x 8 x 6 x x

4 x 8 x 6 x

2 ^{2 2} ₂² ₂^{2 2}

 x  1 hoặc x  4

Vậy tập nghiệm của (2) là : S = ( ; 1]  [4 ; ).

BÀI 33 : Giải các bất phương trình sau :

1) x² – x  x² – 1 (x  –1/2) 2) x²25 15 3x (–8 < x < –2) 3)x² – 5x + 4 x² + 6x + 5 (x  –1/11) 4) 4x² + 4x –  2x + 1  5 (x  –2  x  1) 5) x²6x 8 x²4x0 (x  1  x  4) 6)  –x² + x – 1  2x + 5 (–1  x  4) G. BẤT PHƯƠNG TRÌNH CÓ CHỨA CĂN THỨC BẬC HAI

1) Dạng cơ bản :

 Công thức :

a) Nếu A, B > 0 thì A > B  A² > B².

b) 

















2

0 0

B A

B A B

A c) A B ^{B 0}₂ hay

A B

 

    











 

 0

0 0

2 A

hay B B A B B A 2) Dạng đặt ẩn phụ :

Đặt ẩn phụ là các căn thức ta có thể biến đổi phương trình đã cho thành phương trình không chứa căn. Việc chọn ẩn phụ rất đa dạng, cần linh hoạt để có cách giải tốt nhất.

Khi đặt ẩn phụ cần chú ý các điều kiện sau :

 Nếu đặt t = (x), x  D thì điều kiện để tính được x theo t là t  (D).

 Nếu x  [a ; b] và đặt x = (t) thì phải chọn t  [ ; ] sao cho khi t biến thiên từ  đến  thì x biến thiên từ a đến b.

 Có thể đặt ẩn phụ để đưa về hệ phương trình ẩn t và ẩn x.

 Có thể đặt hai ẩn phụ u, v để đưa về hệ hai ẩn u, v.

3) Dạng biến đổi về phương trình tích

Nếu có nhân tử chung, ta có thể đưa phương trình về phương trình tích A.B = 0, trong đó các phương trình A

= 0, B = 0 đơn giản hơn.

Chú ý các lượng liên hợp giúp làm xuất hiện các nhân tử chung.

4) Dạng sử dụng các điều kiện xảy ra dấu đẳng thức trong các bất đẳng thức quen thuộc

Sử dụng các bất đẳng thức cơ bản để đánh giá hai vế của phương trình và sử dụng điều kiện xảy ra dấu

“=”, ta có thể giải được một số phương trình chứa căn.

5) Dạng dự đoán và chứng minh phương trình có duy nhất nghiệm Ví dụ 1 : Giải bất phương trình : x² x6 x1

 

³

x 7 2 7 x 3

1 x

3 x

2 x

1 x 6 x x

0 1 x

0 6 x x 1 x 6 x x

2 2 2

2   





























 



































 Cách khác : 1 x 6 x

x²     (2  x < 7/3)

x  3 1 2 

6 x

x²   0   0 

1

x ^{  0  }

 Khi x3 thì

 

1 sai.

 Khi x2 thì

 

 

^{3x 7 0 2 x 37}

2 x 1

x 6 x x

2

1 x_{2 2}   









 













 

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là _



 

 3

; 7 2 . Ví dụ 2 : Giải bất phương trình : 2x² 11x

x 1 1 x

2 ²   

















2

2 1 1 2x x

x 2

0 x

1 hay













0 1 x 2

0 x 1

2 













0 2 x 2 x

1 x

2 hay









 2 x 1

1 x

2



 

 

































7 , 2 3

1 x

7 , 0 3 1 x

1 x

hay

 

 





































7 , 2 0

x 1

7 , 2 0

x 1 1 x

 



















1 x 3 1

3 1

x hay x > 1 



















3 1 x

3 1

x

 Cách khác : x 1 1 x

2 ²    (x  1 3  x  1 3)

x 

2

 2

2

2 _{1 }

1 x

2 ²   0  0  

x

1 ^{   0 }

 Khi x1 thì (1) đúng.

 Khi

2

x 2 hoặc x 1 2

2   thì

 

 

^_

















 



















 

0 2 x 2 x

1 2 x

hoặc 2 2 x 2 x

1 1 x 2

1 2 x

hoặc 2 2 x 2 3

2 2 2

1 x 3 1 hoặc 3 1 x 3 1 x hoặc 3 1 x

1 2 x

hoặc 2 2 x 2















 

























 

Vậy (1)  x1 3 hoặc 1 3x1 hoặc x1

Tập nghiệm của bất phương trình là



^{;1 3}

 

^{ 1 3;}



^.

Ví dụ 3 : Giải bất phương trình :

2

3x 35

x x 9 4

 

 Điều kiện : x < 3 hoặc x > 3

 TH 1 : x < 3 : vế trái (3) < 0, vế phải (3) > 0  x < 3 không là nghiệm của (3)

 TH 1 : x > 3 :

 

16 1225 9

x 6 x 9 x

x 4

35 9 x 6 x 9 x

x x 9

3 ₂ ⁴ ₂²

2 2

2 2

2 2 

 

 

 



 





 

 





Đặt 0

9 x

t x₂² 

  , ta được :

 

4 25 9 x

x 4

t 25 4 t 49 16 0

t 1225 6 t

3 ² ₂² 

 



















5 4 x

x 15 25 16 x

x 225 0

5625 x

625 x

16 9 x 25 x

4 ² ²  ⁴ ²   ²  ²     



So sánh điều kiện, ta được : x 5 4

x 15

3    .

BÀI 34 : Giải các bất phương trình sau :

1) x² x6x1 (2  x < 7/3) 2) 2x12x3 (x ≥ 5/2) 3) x² 6x82x3 (x1 6/3) 4) (x2) x²4x² 4 (x  0  x  2) 5*) 6 (x2)(x32) x²34x48 (x  0  x  34) 6*) x(x3)6x²3x (–4  x  0)(0  x  1) 7) 2x² 11x (x  1 3  x  1 3) 8) x² 5x142x1 (x  –2)

9) 2

3x 35

x x 9 4

 

 ^{3 x 15}



^{x 5}



4

    

 

  10) 1

10 x 3 x

4 x 2

2 





 (x > 5) Ví dụ 1 : Giải bất phương trình : 2x  7x 32x

Điều kiện :

2 x 3

2 x 3

7 x

2 x 0 x 2 3

0 x 7

0 x 2

























 





















    

2 2 2

1 2 x 3 2x 7 x 2 x 3 2x 2 2 x 3 2x 7 x

3x 1 2 2x x 6 7 x 2 2x x 6 2x 8 2x x 6 x 4

                

                 

 

^{2 2 2 2}

2

x 4 0 x 4 0 x 4 x 4

2x x 6 0 x 9x 22 0 2x x 6 0

2x x 6 x 4

           

   

        

   

   



x 4

x 4

x 11 x 2 x 2 x 3 2

  

   

         

 (4  x < 2)  (x > 11)  (x < 4)  (x < 2)  (x > 11) So với điều kiện

2

x3, ta có : x < 2.

BÀI 35 : Giải các bất phương trình sau : x3 7x  2x8 ĐS : (4  x < 5)  (6 < x  7)

HẾT PHẦN 2

Các em xem và làm các ví dụ trước khi làm bài tập.

Sau đó hãy xem bài giải ở dưới.

Chúc các em thành công.

HƯỚNG DẪN GIẢI F. BẤT PHƯƠNG TRÌNH CÓ CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI BÀI 33 : Giải các bất phương trình sau :

1) x² – x  x² – 1 (x  –1/2) 2) x²25 15 3x (–8 < x < –2) 3)x² – 5x + 4 x² + 6x + 5 (x  –1/11) 4) 4x² + 4x –  2x + 1  5 (x  –2  x  1) 5) x²6x 8 x²4x0 (x  1  x  4) 6)  –x² + x – 1  2x + 5 (–1  x  4)

 Hướng dẫn :

1)

x² – x  x² – 1 (x  –1/2)

Ta có : ^{x2 x  x21}



^x2x

 

^{2  x2 1}

 

^{2  x2 x}

 

^{2  x21}



^{2 0}



^{x2 xx21}



^{x2 xx21}



^0

              

2 x 1 0 1 x 2 0 1 x 2 1 x 0

1 x 1 x 2 1 x 0 1 x 1 x x

2 ²              ²       



Vậy tập nghiệm của bất phương trình là _



 

 

 ;

2

S 1 .

2)

x²25 15 3x (–8 < x < –2)

 

8 x 2

5 x 2 x

5 x 8 0

10 x 3 x

0 40 x 3 x 15 x 3 25 x

x 3 15 25

1 x ₂

2 2

2









 















 

















 

















 

Vậy tập nghiệm của (1) là : S = (8 ; 2).

3)

x² – 5x + 4 x² + 6x + 5 (x  –1/11) Ta có : x² 5x4 x² 6x5

x  1 4 

4 x 5

x²    0  0 

 













 

















11 x 1

4 x hoặc 1 x 5 x 6 x 4 x 5 x

4 x hoặc 1 x

2

2  x 1

11 1  

 hoặc x4

 

ⁱ

 1 x 4

0 9 x x 2

4 x 1 5 x 6 x 4 x 5 x

4 x 1

2 2

2   













 





















 

^j

* Hợp

 

^{i ,}

 

^{j ta có}

11

x 1 . Vậy tập nghiệm của bất phương trình là _



 

 ; 11

1 .

 Chú ý : 2x² x9 có 0 và a0 nên 2x²x90 với mọi xR

 bất phương trình 2x² x90 có tập nghiệm là R (bất phương trình nghiệm đúng với mọi x  R)

4)

4x² + 4x –  2x + 1  5 (x  –2  x  1)

x 

2

1 

1 x

2   0 



 

^{x 2}

2 x 1 hoặc 2 x

2 x 1

0 4 x 6 x 4

2 x 1 5 1 x 2 x 4 x 4

2 x 1

2 2

























 













 























 

hoặcx 1 ^{x 1}

2 x 3

2 x 1

0 6 x 2 x 4

2 x 1 5 1 x 2 x 4 x 4

2 x 1

2 2























 













 



















Kết luận : Tập nghiệm của bất phương trình là



;2

 

1;



.

5)

x²6x 8 x²4x0 (x  1  x  4)

 

_











 















 























 











 x 4

4 x 1 x 0

8 x 2

0 8 x 10 x 2 x

4 x 8 x 6 x

x 4 x 8 x 6 x x

4 x 8 x 6 x

2 ^{2 2} ₂² ₂^{2 2}

 x  1 hoặc x  4

Vậy tập nghiệm của (2) là : S = ( ; 1]  [4 ; ).

6)

 –x² + x – 1  2x + 5 (–1  x  4)

Ta có :

 

_^











 





























 





















 











4 x 1

2 x 5 0

6 x x

0 4 x 3 x

2 x 5

5 x 2 1 x x 5 x 2

0 5 x 5 2

x 2 1 x x

2 2 2

2

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là ^S



^1;4



^.

 Chú ý : Tam thức bậc hai x²x6 có 0 và a0 nên x² x60, xR, do đó bất phương trình x²x60 nghiệm đúng với mọi xR.

 Cách khác : 1 x x² 

 có









 0 a

0 nên x² x10, xR  ^{x2x1}



^{x2 x1}



^{x2x1, xR}

Vậy bất phương trình x²x12x5x² x12x5x²3x401x4 G. BẤT PHƯƠNG TRÌNH CÓ CHỨA CĂN THỨC BẬC HAI

BÀI 34 : Giải các bất phương trình sau :

1) x² x6x1 (2  x < 7/3) 2) 2x12x3 (x ≥ 5/2) 3) x² 6x82x3 (x1 6/3) 4) (x2) x²4x² 4 (x  0  x  2) 5*) 6 (x2)(x32) x²34x48 (x  0  x  34) 6*) x(x3)6x²3x (–4  x  0)(0  x  1) 7) 2x² 11x (x  1 3  x  1 3) 8) x² 5x142x1 (x  –2)

9) 2

3x 35

x x 9 4

 

 ^{3 x 15}



^{x 5}



4

    

 

  10) 1

10 x 3 x

4 x 2

2 





 (x > 5)

 Hướng dẫn :

1)

 

³

x 7 2 7 x 3

1 x

3 x

2 x

1 x 6 x x

0 1 x

0 6 x x 1 x 6 x x

2 2 2

2   





























 



































 Cách khác : 1 x 6 x

x²     (2  x < 7/3)

x  3 1 2 

6 x

x²   0   0 

1

x ^{  0  }

 Khi x3 thì

 

^{1 sai.}

 Khi x2 thì

 

 

^{3x 7 0 2 x 37}

2 x 1

x 6 x x

2

1 x_{2 2}   









 













 

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là _



 

 3

; 7 2 .

2)

2 x 5 1

x 2

x 5 2 x 3

0 10 x 14 x 4

2 x 3

2 x 1

9 x 12 x 4 1 x 2

0 3 x 2

0 1 x 2 3 x 2 1 x 2

2 2





















































 































3)

   

















 

 

























































 











































 1,81 0,18 2 2

2 2 2

3 6 x 3

3 6 3

2 x 3

4 x

2 x

0 1 x 6 x 3

2 x 3

4 x

2 x

9 x 12 x 4 8 x 6 x

0 3 x 2

0 8 x 6 x 3 x 2 8 x 6 x

3 6 x 3

2

3  









4)

(x2) x²4x²4 (1) (x  0  x  2) Điều kiện : x  R

  

^{1  x2}



^x24



^x2



^x2

 

^{ x2}

  x24x20  2

 Nếu x > 2 :

 

x 0

0 x

2 x

R x 4 x 4 x 4 x

0 2 x

0 4 x 2 x 4 x 0 2 x 4 x 2

2 2

2 2

2  















 











































Kết hợp với điều kiện x > 2, ta được : x > 2.

 Nếu x = 2 : (2) đúng  x = 2 là một nghiệm của phương trình

 Nếu x < 2 :

 

2  x²4x20 x²4x2 

















4 x 4 x 4 x

0 2 x

2

2 hay











 0 4 x

0 2 x

2

 





 0 x

2

x hay









 R x

2

x  (2  x  0) hay (x < 2)  x  0 Kết hợp với điều kiện x < 2, ta được : x  0

Kết luận : Vậy tập nghiệm là : S = ( ; 0]  [2 ; ).

 Cách khác :



x2



x²4x² 4



x2



x²4



x2



x2

  

²

x  2 2 

2

x   0 

2

x  0  

x Bất phương trình

 

2 trở thành Nghiệm

2

x x² 4x2 đúng vì x²40 và x20 x2 2

x 2 

 x²4x20x² 4



x2



² x0 2x0 2

x 00 : đúng x2

2

x x²4x2x² 4



x2



² x0 x2 Vậy tập nghiệm của bất phương trình là



;0

 

 2;



.

5*)

⁶



^x2



^x32



^{x234x486 x234x64}



^{x234x64}



^16

Đặt t  x²34x640, ta có : 6t < t² – 16  t² – 6t – 16 > 0  ^_^t^2



loại dot^0



8 t

 x²3x64 8  x² – 34x + 64 > 64  x(x – 34) > 0  x  34 hay x  0

6*)

x



x3



6x² 3x

 

4

Đặt y x



x3



0, thì y² = x² + 3x và (4) trở thành y  6 – y²  y² + y – 6  0  3  y  2 Mà y  0, nên ta chọn 9  y  2

















 















 





 x 3 x 0

1 x 4 0

x 3 x

0 4 x 3 2 x

x 3

x² ₂²

 4  x  3 hay 0  x  1

Vậy nghiệm của (4) là 4  x  3 hay 0  x  1.

7)

2x²11x 

















2

2 1 1 2x x

x 2

0 x

1 hay













0 1 x 2

0 x 1

2 













0 2 x 2 x

1 x

2 hay









 2 x 1

1 x

2



 

 

































7 , 2 3

1 x

7 , 0 3 1 x

1 x

hay

 

 





































7 , 2 0

x 1

7 , 2 0

x 1 1 x

 



















1 x 3 1

3 1

x hay x > 1 



















3 1 x

3 1

x

 Cách khác : x 1 1 x

2 ²    (x  1 3  x  1 3)

x 

2

 2

2

2 _{1 }

1 x

2 ²   0  0  

x

1 ^{ }  0 

 Khi x1 thì (1) đúng.

 Khi

2

x 2 hoặc x 1 2

2   thì

 

 

^_

















 



















 

0 2 x 2 x

1 2 x

hoặc 2 2 x 2 x

1 1 x 2

1 2 x

hoặc 2 2 x 2 3

2 2 2

1 x 3 1 hoặc 3 1 x 3 1 x hoặc 3 1 x

1 2 x

hoặc 2 2 x 2















 

























 

Vậy (1)  x1 3 hoặc 1 3x1 hoặc x1

Tập nghiệm của bất phương trình là



^{;1 3}

 

^{ 1 3;}



^.

8)

x² 5x142x1 



















1 x 4 x 4 14 x 5 x

0 1 x 2

2

2 hay















0 14 x 5 x

0 1 x 2

2

 _

 













nghiệm vô

0 15 x x 3

2 x 1

2

hay





















2 x

7 x

2 x 1

 x  2. Vậy tập nghiệm là : S = ( ; 2].

 Cách khác : 1 x 2 14 x 5

x²     (x  –2)

x  2

2

1 _{7 }

14 x 5

x²   0   0 

1 x

2  ^{  0  }

 Khi x2 thì (1) đúng.

 Khi x7 thì

 

²

 

^{2 2}

x 7 x 7

1 x 5x 14 2x 1 3x x 15 0 : vô nghiệm

   

 

  

   

 



Vậy tập nghiệm của bất phương trình là



^;2



^.

 Chú ý : 3x²x15 có 0 và a0 nên 3x² x150,xR BPT 3x²x150vô nghiệm

9)

2

3x 35

x x 9 4

 

 ^{3 x 15}



^{x 5}



4

    

 

 

Điều kiện : x < 3 hoặc x > 3

 TH 1 : x < 3 : vế trái (3) < 0, vế phải (3) > 0  x < 3 không là nghiệm của (3)

 TH 1 : x > 3 :

 

16 1225 9

x 6 x 9 x

x 4

35 9 x 6 x 9 x

x x 9

3 ₂ ⁴ ₂²

2 2

2 2

2 2 

 

 

 



 





 

 





Đặt 0

9 x

t x₂² 

  , ta được :

 

4 25 9 x

x 4

t 25 4 t 49 16 0

t 1225 6 t

3 ² ₂² 

 



















5 4 x

x 15 25 16 x

x 225 0

5625 x

625 x

16 9 x 25 x

4 ² ²  ⁴ ²   ²  ²     



So sánh điều kiện, ta được : x 5 4

x 15

3    .

10)

1

10 x 3 x

4 x 2

2 





 (x > 5)

Lập bảng xét dấu và xét hai trường hợp :

 TH 1 : x < –2 : BPT sai.

 TH2 :

 

^{1 x 5} _{2 2} ^x ₂^{5 x 5}

(2x 4) x 3x 10 3x 13x 26 0

 

 

           Vậy nghiệm là x > 5

BÀI 35 : Giải các bất phương trình sau :

1)

x3 7x  2x8 (4  x < 5  6 < x  7) Điều kiện :















 



















4 x

7 x

3 x 0 8 x 2

0 x 7

0 3 x

 4  x  7

(1)  x3 2x8 7xx32x87x2



2x8



7x





2x 8



7 x



2 2x 22x 56 4 2x 22x 56 2 2

1 x 3

x        ²     ²  



 2x² + 22x – 56 < 4  2x² + 22x – 60 < 0  x² – 11x + 30 > 0  x > 6  x < 5 So với điều kiện 4  x  7, ta có : (4  x < 5)  (6 < x  7).

H. ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC VỀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH CÓ CHỨA CĂN THỨC BẬC HAI BÀI 36 : Giải các bất phương trình sau :

1) x 3

x 3 7

x 3

x ) 16 x ( 2 ²



 



 

 (ĐH A 2004) ĐS : x10 34

2) 8x² 6x14x10 (DBĐH 2005) ĐS : x1/ 4 x 1/ 2 3) x12  x3 2x1 (DBĐH 2002) ĐS : 3  x  4

4) 5x1 x1 2x4 (ĐH A 2005) ĐS : 2  x < 10

5) 2x7 5x 3x2 (DBĐH 2005) ĐS : 2/3 x  1  14/3  x  5 6)



x1



x2



x6



x7x²7x12 (ĐH D 2014) ĐS : 2  x  2

7) 1

) 1 x x ( 2 1

x x

2 







 (ĐH A 2010) ĐS :

2 5 x3

8) 2 2

x 1

x 1 3

x 1

1

 

  (DBĐH 2008) ĐS :

2 x 1 1 

  x 1

5 5

2  

9) x1 x²4x13 x (ĐH B 2012) ĐS : 0  x  1/4  x  4 10) x² 2x²4x362x (DBĐH 2004) ĐS : x  –3  x  1 11)



x1



x3



x²2x32



x1



²(DBĐH 2008) ĐS : 1 3x1 3 12)



^x23x



^{2x23x20} (ĐH D 2002) ĐS : x  –1/2 x = 2  x  3

HƯỚNG DẪN GIẢI 1) Áp dụng các công thức cơ bản

1) Nếu A, B > 0 thì A > B  A² > B² 2)







 

 B A

0 B A

A 3)







 

 A B

0 B B

A

4) 

















B2

A 0 B

0 A B

A 5)







 







 

 A 0

0 B B A

0 B B

A ₂

1)

3 x

x 3 7

x 3

x ) 16 x ( 2 ²



 



 

 (ĐH 2004) ĐS : x10 34

Điều kiện: x 4

4 x 4 x

3 x 0 16 x

0 3 x

2  













 













   

     



^{10 34 x 5}



^{(x 5) x 10 34 ( 4,17)}

) 5 x ( 34 10 x 34 10

5 x

4 4 x

5 x 0 66 x 20 x

5 x 0 16 x 2

0 x 2 10 x

2 10 16 x 2

0 x 2 10

x 2 10 16 x 2 x 7 3 x 16 x 2 ) 1 (

2 2

2 2

2 2























 











 













 











 











 













 





















So với điều kiện, nghiệm của bất phương trình là: x10 34

 Cách khác : Điều kiện: x4 Ta có :

3 x

x 3 7

x 3

x ) 16 x ( 2 ²



 



 

 ^{ 2}



^x216



^{x37x 2}



^{x2 16}



^102x

















 





















4 x

0 ) 16 x ( 2

0 x 2 10

4 x

) x 2 10 ( ) 16 x ( 2

0 x 2 10

2 2

2



















 



















4 x

4 x 4 x

5 x

4 x

0 66 x 20 x

5 x

2

) 5 x ( 34 10 4

x

x 34 10

5 x







 















 ^



^{10 34x5}



^{(x5)  x10 34}

Vậy nghiệm của bất phương trình là: x10 34

 Chú ý :

Cách giải trên ta đã gắn luôn điều kiện ban đầu của bài toán vào trong công thức giải bất phương trình







 







 

 A 0

0 B B A

0 B B

A ₂ nên khi kết luận không cần so sánh với điều kiện ban đầu nữa.

2)

8x² 6x14x10 (DBĐH 2005) ĐS :

2 x 1 4 x1  Ta có : 8x²6x14x10 8x² 6x14x1



























 



























0 x x 4

4 x 1

2 x 1 4 x 1

) 1 x 4 ( 1 x 6 x 8

0 1 x 4

0 1 x 6 x 8

2 2 2

2

2 x 1 4 x 1

4 x 1 0 x

2 x 1 4 x 1







 

















 

Vậy nghiệm của BPT là :

2 x 1 4 x1 

 Cách khác : Điều kiện :











































2 x 1

4 x 1

4 x 1

2 x 1 hoặc 4 x 1 0

1 x 4

0 1 x 6 x

8 ² (*)

Với điều kiện ấy, bất phương trình tương đương với 8x² – 6x + 1  (4x – 1)² = 16x² – 8x + 1

 8x² – 2x  0  2x(4x – 1)  0 









 4 x 1

0 x

. Kết hợp với điều kiện (*), ta được













2 x 1

4 x 1

2) Phương pháp lũy thừa hai vế và dùng các công thức cơ bản.

 Nhận dạng : Khi bình phương hai vế thì căn thức bị triệt tiêu.

 Cách giải : Đặt điều kiện và bình phương cho mất căn bậc hai.

3) x12  x3 2x1 (DBĐH 2002) ĐS : 3  x  4 4) 5x1 x1 2x4 (ĐH 2005) ĐS : 2  x < 10

5) 2x7 5x 3x2 (DBĐH 2005) ĐS : 2/3 x  1  14/3  x  5

 Hướng dẫn :

3)

x12 x3 2x1 (DBĐH 2002) ĐS : 3  x  4 Điều kiện : x  3.

1 x 2 3 x 12

x     (1)

 

1 x12x32x12 2x²5x3  2x² 5x37x 4 x 4 3

x 13

7 x 3 0 52 x 9 x

7 x 3 )

x 7 ( 3 x 5 x 2

0 x 7

2 2

2   













 













 















 

4)

5x1 x1 2x4 (ĐH 2005) ĐS : 2  x < 10

Điều kiện: x 2 2

x 1

x 5

x 1

0 4 x 2

0 1 x

0 1 x 5





















 



















  

10 x 0 0 x 10 x

4 x 6 x 2 4 x 4 x 4 x 6 x 2 2 x 4 x 6 x 2 2 5 x 3 1 x 5

1 x 4 x 2 2 1 x 4 x 2 1 x 5 1 x 4 x 2 1 x 5 ) 1 (

2

2 2

2 2















































































So với điều kiện, nghiệm của bất phương trình là: 2  x < 10

 Cách khác : Điều kiện: x2

Ta có : 5x1 x1 2x4  x1 2x4 5x1

10 x 0 2

x 10 x

2 x )

2 x ( ) 4 x 2 )(

1 x (

2 x 2 x ) 4 x 2 )(

1 x (

2 x

2

2   









 













 













 

So với điều kiện, nghiệm của bất phương trình là: 2  x < 10

5)

2x7  5x 3x2 (DBĐH 2005) ĐS : 2/3 x  1  14/3  x  5

Điều kiện: x 5

3 2 0 2 x 3

0 x 5

0 7 x 2





 



















Ta có : 2x7 5x  3x2  3x2 5x  2x7 7

x 2 ) x 5 )(

2 x 3 ( 2 x 5 2 x

3        

  (3x2)(5x) 23x² 17x140









 

3 x 14

1 x

So với điều kiện nghiệm của BPT là : x 5 3

1 14 3 x

2     2/3 x  1  14/3  x  5

3) Phương pháp vận dụng lượng liên hiệp.

 Phương pháp chung :

Nhân hai vế của một bất phương trình với một biểu thức liên hợp mà xuất hiện một nhân tử chung của bất phương trình và sau khi đặt nhân tử chung ta chuyển về giải bất phương trình đơn giản hơn.

 Chú ý : Khi nhân với một biểu thức luôn khác 0 thì ta nhân tự nhiên mà không xét thêm điều kiện gì.

6) 

x1



x2



x6



x7x²7x12 (ĐH D 2014) ĐS : 2  x  2 Điều kiện : x  2. Với điều kiện trên, bất phương trình (1) tương đương với :



^x1

 

^x22



^



^x6

 

^x73



^



^x22x8



^0

    

x 2



x 4



0 3

7 x

2 6 x

2 x 2 x

2 1 x

x    





 

 



 



  

x 4



0

 

2

2 7 x

6 x 2 2 x

1 2 x

x 

  





 





 



Do x  2 nên











 0 6 x

0 2 x

Suy ra :

 

0

2 2 x

1 2

6 x 3 7 x

6 x 2

2 x 2 2 x

2 4 x

3 x 7 x

6 x 2 2 x

1

x 



 

 





 

 





 



 



 







Do đó bất phương trình (2)  x – 2  0  x  2

So sánh với điều kiện ta được nghiệm của bất phương trình là 2  x  2.

 Bình luận :

Ta thấy rằng bước biền đổi bất phương trình (1) thành bất phương trình :



^x1

 

^x22



^



^x6

 

^x73



^



^x22x8



^0

 

³ , đây là mấu chốt của bài giải.

Vậy cơ sở ở đâu để có được bước biến đổi trên ? Xin trình bày như sau : Đầu tiên ta thay dấu “” bởi dấu

“=”. Nghĩa là ta thay bất phương trình bằng phương trình. Dùng Máy tính bỏ túi để tìm nghiệm ta thấy phương trình



^x1



^x2



^x6



^{x7x27x12} có một nghiệm duy nhất x = 2. Như vậy ta phải làm xuất hiện đại lượng x – 2 để đặt nhân tử chung. Khi đó ta cần tìm hai số  và  sao cho hệ phương trình























0 7

x

0 2

x có nghiệm x = 2. Thay x = 2 vào hệ trên ta tìm được











 3

2 Đây chính là cơ sở để biến đổi bất phương trình (1) thành bất phương trình (3).

 Chú ý : Điều kiện: x 2

Bất phương trình 



^x1

 

^x22



^



^x6

 

^x73



^{x22x8}

           

x 4



0

 

*

3 7 x

6 x 2 2 x

1 2 x

x 4 x 2 3 x

7 x

2 x 6 x 2 2 x

2 x 1

x 



  





 





 







 





 







 

Ta có: x 4

6 9 4 x

2 x x 5 6 5 3

6 x 2

1 x 3 7 x

6 x 2 2 x

1

x            





 





 x 2

Vậy (*)  x – 2  0  x  2.

Vậy 2  x  2 là nghiệm của bất phương trình.

4) Phương pháp đặt ẩn phụ.

Có nhiều bất phương trình chứa căn mà khi ta bình phương lên sẽ được một bất phương trình phức tạp khó giải. Khi đó, nếu ta dùng phương pháp đặt ẩn phụ thì có thể chuyển bất phương trình đã cho về một bất phương trình đơn giản và dễ giải hơn.

Ta dùng ẩn số phụ để thay thế một biểu thức chứa ẩn nào đó nhằm mục đích hạ bậc của bất phương trình hoặc đưa bất phương trình đã cho về những bất phương trình có dạng đã biết. Giải bất phương trình với ẩn phụ, sau đó tìm nghiệm của bất phương trình.

7) 1

) 1 x x ( 2 1

x x

2 







 (ĐH A 2010) ĐS :

2 5 x3

8) 2 2

x 1

x 1 3

x 1

1

 

  (DBĐH 2008) ĐS :

2 x 1 1 

  x 1

5 5

2  

9) x1 x²4x13 x (ĐH B 2012) ĐS : 0  x  1/4  x  4 10) x² 2x²4x362x (DBĐH 2004) ĐS : x  –3  x  1 11)



x1



x3



x²2x32



x1



²(DBĐH 2008) ĐS : 1 3x1 3

7)

1

) 1 x x ( 2 1

x x

2 







 (ĐH A 2010) ĐS :

2 5 x3

 Nhận xét : Trước khi giải bất phương trình mà có chứa ẩn ở mẫu, muốn quy đồng được trước tiên ta phải xem mẫu âm hay dương.

Điều kiện :













1 2 x 2 x 2

0 x

2  x  0

Vì mẫu số ²



^{x2 x 1}



^{2 x} ₂^{1 2} ₄^{3 }₂^{311 2}



^{x2 x1}



^1 ₂^{3 0}











  



 

 







 , x0

Hoặc phân tích : 2



x²x1



 x²



x1



²11

Do đó bất phương trình trở thành : x x1 2



x²x1



0 2



x²x1



x x1

 

* Để giải bất phương trình

 

* ta làm theo các cách sau đây :

 Cách 1 :

Ta có : ^{1 2}



^{x2 x 1}



^{1 2 x} ₂^{1 2} ₄^{3 1} ₂^{3 0}











  



 

 











Nên bất phương trình tương đương với ^{x x1 2}



^x2x1



^{ x1x 2}



^x2x1



^(*)

Do ^{ab 2}



^a2b2



với mọi a, b và dấu đẳng thức xảy ra khi a = b nên ta có :



^{1 x}



²



^x



^{1 x}

 

²



^{x x 1}



x     ²  ² 

Do vậy

 

2 5 x 3

1 x 0

0 1 x 3 x x

1 x

* ²   













 







 Cách 2 : Ta có

 

^{* x1 2}



^x2x1



^{ x}



^x1



^22



^x2x1



^{x2 2x}



^x2x1





^{x x 1}



^{x x 1}

x 2

2 ²   ² 



Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có : Vế trái  2x + x² – x + 1 = x² + x + 1 Dấu “=” xảy ra khi 2x = x² – x + 1  x =

2 5

3 (do 0  x < 1).

 Cách 3 : Ta có

 

1 x x

1 x 1 1 x 2

*   



 



  



Ta thấy x = 0 không thỏa mãn. Với x  0, đặt x x

t 1  ta được :

   

^{x 1 x 3} ₂ ⁵

x 1 1 0 t

1 t

1 1 t

t 1 t

2 ² ₂        











 







 Cách 4 : Ta có

 

^{* 1x 2}



^x2x1



^{ x (**)}

Do

 

2



x x 1



x ⁰

2 x 3 x x 2

1 x x

2 ² ₂² 









 







Nên

 

^{** }_^{x02x2x112x2 x22 2x}



^{x2 x1}



^_^{202xx}



^{x12 x1}



^{x2 x1}

   

 ^_^



^{ }



^













 



















 

0 1 x 3 x

1 x 0 0 1 x 6 x 11 x 6 x

1 x 0 1

x x 1 x x x 8

1 x 0

2 2 2

3