50 bài toán về nguyên hàm (có đáp án 2022) – Toán 12

(1)

Nguyên hàm và cách giải bài tập cơ bản A. LÝ THUYẾT.

1. Khái niệm nguyên hàm.

- Cho hàm số f(x) xác định trên K. Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu ^{F' x}

( ) ( )

⁼^{f x} với mọi x thuộc K.

F'(x)=f (x) , x  K Định lí:

1) Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K thì với mỗi hằng số C, hàm số

( ) ( )

G x =F x +C cũng là một nguyên hàm của f(x) trên K.

2) Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì mọi nguyên hàm của f(x) trên K đều có dạng ^{F x}

( )

⁺^C, với C là một hằng số.

Do đó ^{F x}

( )

⁺^C,C^ là họ tất cả các nguyên hàm của f(x) trên K.

2. Tính chất của nguyên hàm.

- Nếu F(x) có đạo hàm thì:



^{d F(x)}

( )

⁼^F(x)⁺^C

-



^{kf x dx}

( )

⁼^{k f x dx}

 ( )

với k là hằng số khác 0.

-



^_^{f x}

( ) ( )

^^{g x} ^_^dx⁼



^{f x dx}

( )

^



^{g x dx}

( )

3. Sự tồn tại của nguyên hàm.

Định lí: Mọi hàm số f(x) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K.

4. Bảng nguyên hàm các hàm số thường gặp.

1.



0dx=C 2.



dx= +x C

3. ^{x dx} ¹ ^x ¹ ^C

(

¹

)

1

 = + +   −



 + 16. ( ) ¹

(

^ax ^b

)

¹

ax b dx c, 1

a 1

 + +

+ = +   −



 +

4. 1₂ 1

dx C

x = − +x



^17.



^xdx⁼ ^x₂² ⁺^C

5. 1

dx ln x C

x = +



^18.



_ax^dx₊_b ⁼ ¹_a^{ln ax}^{+ +}^b ^c

6.



e dx^x =e^x +C 19. e^{ax b}dx ¹e^{ax b} C a

+ = + +



(2)

7.

x

x a

a dx C

= ln a +



^20.



^a^{kx b}⁺ ^dx ⁼_{k ln a}^{1 a}^{kx b}⁺ ⁺^C

8.



cos xdx=sin x+C 21. ^{cos ax}

(

^{b dx}

)

¹^{sin ax}

(

^b

)

^C

+ =a + +



9.



sin xdx= −cos x+C 22. ^{sin ax}

(

^{b dx}

)

¹^{cos ax}

(

^b

)

^C

+ = −a + +



10.



tan x.dx= −ln | cos x | C+ 23. _{tan ax}( _{b dx}) ¹_{ln cos ax}( _b) _C

+ = −a + +



11.



cot x.dx ln | sin x | C= + 24. _{cot ax}( _{b dx}) ¹_{ln sin ax}( _b) _C

+ =a + +



12. ¹₂ dx tan x C

cos x = +



^25.



_{cos ax}²

(

¹ ₊_b

)

^dx⁼¹_a ^{tan ax}

(

⁺^b

)

⁺^C

13. ¹₂ dx cot x C sin x = − +



^26.



_sin²

(

_ax¹ ₊_b

)

^dx^{= −}¹_a^{cot ax}

(

⁺^b

)

⁺^C

14.

 (

^{1 tan x dx}⁺ ²

)

⁼^{tan x}⁺^C _27.

(

^{1 tan}²

(

^ax ^{b dx}

) )

¹^{tan ax}

(

^b

)

^C

+ + = a + +



15.

 (

^{1 cot x dx}⁺ ²

)

^{= −}^{co t x}⁺^C _28.

(

^{1 cot}²

(

^ax ^{b dx}

) )

¹^{co t ax}

(

^b

)

^C

+ + = −a + +



B. CÁC DẠNG BÀI TOÁN HAY GẶP VÀ VÍ DỤ.

Phương pháp giải: Áp dụng các công thức nguyên hàm cơ bản đã nêu ở phần lý thuyết để giải các bài toán sau.

Bài toán 1: Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) trên D . Ví dụ 1. Cho hàm số f (x)=x² +3. Khẳng định nào sau đây đúng?

A.



f (x)dx=x² +3x+C^. ^B.



^{f (x)dx}⁼ ^x₃³ ⁺^3x⁺^C^.

C.



f (x)dx=x³+3x+C^. ^D.



^{f (x)dx}⁼^2x⁺^C^.

Lời giải

(3)

(

²

)

² ^x³

f (x)dx x 3 dx x dx 3 3x C

dx 3

= + = + = + +

   

Chọn B.

Bài toán 2: Tìm F(x) là một nguyên hàm của hàm f(x) trên D . Ví dụ 2. Cho ^{F x}

( )

¹^.ln ^x ³ ¹

6 x 3 12

= − +

+ . Hỏi F(x) là nguyên hàm của hàm số nào dưới đây?

A. ^{f x}

( )

₂¹

x 9

= − B. ^{f x}

( )

¹

x 9

= − C.

( )

2

1 x

f x = x 9 +12

− D.

( )

2

1 x

f x = x 9 +12 + Lời giải

Ta có:

( )

¹ ^x ³ ¹

F' x .ln

6 x 3 12

 − 

= + + 

( ) ( )

1 1 1

.ln x 3 .ln x 3

6 6 12

1 1 1

ln x 3 ln x 3

6 6 12

 

= − − + + 

 

 

= − − + +  

 

1 1 1 1 1 (x 3) (x 3)

. . 0 .

6 x 3 6 x 3 6 (x 3)(x 3) + − −

= − + =

− + + −

2 2

6 1

6(x 9) x 9

= =

− − .

Chọn A.

Bài toán 3: Xác định nguyên hàm của một hàm số với điều kiện cho trước.

Ví dụ 3. Cho hàm số f(x) thỏa mãn ^{f ' x}

( )

^{= −}^{3 5sin x}^và^{f 0}

( )

⁼¹⁰. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A.^{f x}

( )

⁼^3x⁺^{5cos x}⁺⁵ ^B.^{f x}

( )

⁼^3x⁺^{5cos x}⁺²

(4)

C.^{f x}

( )

⁼^3x⁻^{5cos x}⁺² ^D.^{f x}

( )

⁼^3x⁻^{5cos x 15}⁺

Lời giải

Ta có ^{f x}

( )

=



^{f ' x dx}

( )

=

 (

3 5sin x dx−

)

dx 5 s dx 3x 5( cos x C

3 − inx = − − )

=

 

+

3x+5cos x+C

=

Do ^{f 0}

( )

⁼¹⁰^nên3.0 5cos0 C 10+ + =  + =5 C 10 =C 5. Vậy ^{f x}

( )

⁼^3x⁺^{5cos x}⁺⁵^.

Chọn A.

Bài toán 4: Tìm giá trị của tham số để F(x) là một nguyên hàm của f(x).

Ví dụ 4. Cho kết quả của

 (

^x² ⁺^{2x dx}³

)

^{có dạng}^a^x³ ^b^x⁴ ^C

3 + 4 + , trong đó a, b là hai số hữu tỉ. Giá trị a bằng:

A. 2. B. 1. C. 9 . D. 32 .

Lời giải

Theo đề, ta cần tìm

 (

^x² ⁺^{2x dx}³

)

. Sau đó, ta xác định giá trị của a.

Ta có:

(

^x² ^{2x dx}³

)

^x² ^x³ ¹^x³ ^{2. x}¹ ⁴ ^C

3 4

dx+2 dx=

+ = + +

  

^.

Suy ra để

 (

^x² ⁺^{x dx}³

)

^{có dạng}^a^x³ ^b^x⁴ ^C

3 + 4 + thì a = 1, b = 2.

Chọn B.

C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN.

Câu 1. Nguyên hàm của hàm số f (x)=x³+x là

A. x⁴ +x² +C. B. 3x² + +1 C.

C. x³ + +x C. D. 1 ⁴ 1 ²

x x C.

4 + 2 +

Câu 2. Nguyên hàm của ^{f x}

( )

⁼^x³ ⁻^x²⁺^{2 x}^là:

(5)

A. ¹x⁴ x³ ⁴ x³ C

4 − + 3 + . B. ¹x⁴ ¹x³ ⁴ x³ C

4 −3 +3 + . C. ¹x⁴ x³ ² x³ C

4 − + 3 + . D. ¹x⁴ ¹x³ ² x³ C

4 −3 +3 + . Câu 3. Nguyên hàm của ^{f x}

( )

¹ ₃² ³

x x

= + + là:

A. 2 x +3 x³ ² +3x+C. B. 2 x ⁴ ³ x² 3x C +3 + + .

C. 1 ³ ²

x 3 x 3x C

2 + + + . D. ¹ x ⁴ ³ x² 3x C

2 +3 + + .

Câu 4. Hàm số ^{f x}

( )

có nguyên hàm trên K nếu:

A. ^{f x}

( )

xác định trên K.

B. ^{f x}

( )

có giá trị lớn nhất trên K. C. ^{f x}

( )

có giá trị nhỏ nhất trên K. D. ^{f x}

( )

liên tục trên K.

Câu 5. Mệnh đề nào sau đây sai?

A. Nếu ^{F x}

( )

là một nguyên hàm của ^{f x}

( )

^trên

( )

^a;b và C là hằng số thì

( ) ( )

f x dx=F x +C



^.

B. Mọi hàm số liên tục trên

( )

^a;b đều có nguyên hàm trên

( )

^a;b ^.

C. ^{F x}

( )

là một nguyên hàm của ^{f x}

( )

^trên

( )

^a;b ^^{F x}^

( ) ( )

⁼^{f x , x}^{ }

( )

^a;b ^.

D.

( f x dx( ) )

^{ =}^{f x}

( )

^.

Câu 6. Gọi ^{F x}

( )

là nguyên hàm của hàm số ^{f x}

( )

⁼^4x³⁺^{2 m 1 x}

(

⁻

)

^{+ +}^{m 5}^{, với}

m là tham số thực. Tìm một nguyên hàm của ^{f x}

( )

biết rằng ^{F 1}

( )

⁼⁸^và^{F 0}

( )

⁼¹^.

A. ^{F x}

( )

⁼^x⁴ ⁺^2x² ⁺^{6x 1}⁺ ^B.^{F x}

( )

⁼^x⁴ ⁺^{6x 1}⁺ ^.

C. ^{F x}

( )

⁼^x⁴⁺^2x²⁺¹^. D. Đáp án A và B.

Câu 7. Họ nguyên hàm của I=



e dx^x ^là:

A. 2e^x +C. B. e^x. C. e^2x +C. D. e^x +C.

(6)

Câu 8. Cho

 ( (

^{2a 1 x}⁺

)

³⁺^bx²

)

^dx, trong đó a, b là hai số hữu tỉ. Biết rằng

( )

(

^{2a 1 x}³ ^bx²

)

^dx ³^x⁴ ^x³ ^C

+ + =4 + +



^{. Giá trị}^{a, b} lần lượt bằng:

A. 1; 3. B. 3; 1. C. ¹; 1

−8 . D. 2; 4.

Câu 9. Tính



(2+e ) dx^{3x 2} A. 3x ⁴e^3x ¹e^6x C

3 6

+ + + B. 4x ⁴e^3x ⁵e^6x C

3 6

+ + +

C. 4x ⁴e^3x ¹e^6x C

3 6

+ − + D. 4x ⁴e^3x ¹e^6x C

3 6

+ + +

Câu 10. Nguyên hàm của hàm số f x x – 3x

( )

² 1

= +x là A.

4 2

x 3x

ln x C

4 − 2 − + B.

3 2

x 3x

ln x C 3 − 2 + + C.

4 2

x 3x

ln x C

4 − 2 + + D.

3 2

x 3x

ln x C 3 + 2 + + Câu 11. Nguyên hàm của hàm số y= 3x 1− trên ¹;

3

 +

 

  là:

A. ³x² x C

2 − + B. ²

(

^{3x 1}

)

³ ^C

9 − +

C. ³x² x C

2 − + D. ¹

(

^{3x 1}

)

³ ^C

9 − +

Câu 12. Hàm số F(x)=e^x +e⁻^x +x là một nguyên hàm của hàm số nào sau đây ? A. f (x)=e⁻^x +e^x +1 B. ^x ^x 1 ²

f (x) e e x

2

= − − +

C. f (x)=e^x −e⁻^x +1 D. ^x ^x 1 ²

f (x) e e x

2

= + − + Câu 13. Tính



2 .3 .7 dx^2x ^x ^x

(7)

A.

84x

ln 84+C B.

2x x x

2 .3 .7

ln 4.ln 3.ln 7 +C

C. 84^x +C D. 84 ln84^x +C

Câu 14. Tính ² 1

(x 3x )dx

− + x



A. x³ −3x²+ln x+C B.

3

x 3 2

x ln x C 3 −2 + + C.

3

2 2

x 3 1

x C

3 −2 + x + D.

3

x 3 2

x ln | x | C

3 − 2 + +

Câu 15. Tính



2^{x 1}⁺ dx^. A.

2x 1

ln 2 C

+ + B. 2^{x 1}⁺ +C C.

3.2x 1

ln 2 C

+ + D. 2 .ln 2^{x 1}⁺ +C

Câu 16. Tìm một nguyên hàm F(x) của

3 2

x 1 f (x)

x

= − biết F(1) = 0.

A.

x2 1 1

F(x)= 2 − +x 2 B.

x2 1 3 F(x)= 2 + +x 2 C.

x2 1 1

F(x)= 2 − −x 2 D.

x2 1 3 F(x)= 2 + −x 2 Câu 17. Tìm hàm số F(x) biết rằng F’(x) = 4x³ – 3x² + 2 và F(-1) = 3.

A. ^{F x}

( )

⁼^{x – x}⁴ ³ ⁻^{2x 3}⁻ ^B.^{F x}

( )

⁼^{x – x}⁴ ³^+2x⁺³

C. ^{F x}

( )

⁼^{x – x}⁴ ³ ⁻^{2x 3}⁺ ^D.^{F x}

( )

⁼^x⁴ ⁺^x³ ⁺^2x⁺³

Câu 18. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) ² ³ x x

= + là :

A. 4 x +3ln x +C B. 2 x +3ln x +C C.

( )

^{4 x} ⁻¹⁺^{3ln x} ⁺^C ^D.^{16 x} ⁻^{3ln x} ⁺^C

Câu 19. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) ⁴ 3x 2

= − là :

(8)

A. ¹ln 3x 2 C

6 − + B. ¹ln 3x 2 C

3

− − +

C. ¹ln 3x 2 C 6

− − + D. ⁴ln 3x 2 C

3 − +

Câu 20. Họ nguyên hàm của hàm số f (x)=e^x −e⁻^x là :

A. e^x +e⁻^x +C B. e^x −e⁻^x +C C. − +e^x e⁻^x +C D. e^x +e^x +C Câu 21. Họ nguyên hàm của hàm số f (x)=3^2x −2⁻^3x là :

A.

2x 3x

3 2

2.ln 3 3.ln 2 C

+ − + B.

2x 3x

3 2

2.ln 3 3.ln 2 C

− − +

C.

2x 3x

3 2

2.ln 3 3.ln 2 C

− + + D.

2x 3x

3 2

2.ln 3 3.ln 2 C

− − +

Câu 22. Nguyên hàm F(x) của hàm số

2 2

x 1 f (x)

x

 + 

=  

  là hàm số nào trong các hàm số sau?

A.

x3 1

F(x) 2x C

3 x

= − + + B.

x3 1

F(x) 2x C

3 x

= + + +

C.

3

2

x x

F(x) 3 C

x 2

= + + D.

3 3

2

x x

F(x) 3 C

x 2

 

 + 

=  +

 

 

Câu 23. Nguyên hàm ^{F x}

( )

của hàm số ^{f x}

( )

⁼^2x² ⁺^x³⁻⁴ thỏa mãn điều kiện

( )

F 0 =0 là:

A. 2x³ −4x⁴ B.

4

2 3 x

x 4x

3 + 4 −

C. x³ −x⁴ +2x D. Đáp án khác.

Câu 24. Biết F(x) là nguyên hàm của hàm số 1

x 1− và F(2) = 1. Khi đó F(3) bằng bao nhiêu:

(9)

A. e+ln 2 B. 1

2 C. 3

ln2 D. ln 2e

Câu 25. Hàm số ^{f x}

( )

có nguyên hàm trên K nếu

A. ^{f x}

( )

xác định trên K B. ^{f x}

( )

có giá trị lớn nhất trên K C. ^{f x}

( )

có giá trị nhỏ nhất trên K D. ^{f x}

( )

liên tục trên K

Câu 26. Cho hai hàm số f (x),g(x) là hàm số liên tục, có F(x),G(x) lần lượt là nguyên hàm của f (x),g(x). Xét các mệnh đề sau:

(I): F(x)+G(x) là một nguyên hàm của f (x)+g(x) (II): ^{k.F x}

( )

là một nguyên hàm của ^{kf x}

( ) (

^k^^R

)

(III): F(x).G(x) là một nguyên hàm của f (x).g(x) Mệnh đề nào là mệnh đề đúng ?

A. I B. I và II C. I, II, III D. II

Câu 27. Trong các khẳng định sau khẳng định nào sai?

A.



0dx=C( C là hằng số) B. 1

dx ln x C

x = +



( C là hằng số)

C. x dx ¹ x ¹ C 1

 = + +



 + ( C là hằng số) D.



dx= +x C( C là hằng số) Câu 28.

2 x

x

3 1 dx

3

 − 

 

 



^bằng:

A.

x 2

x

3 ln 3 ln 3 3 C

 

− +

 

  B.

x 3

x

1 3 1

3 ln 3 3 ln 3 C

 

− +

 

 

C.

x

9 1

2x C

2ln 3−2.9 ln 3− + D. ¹ 9^x ¹_x 2x C 2ln 3 9

 + − +

 

 

Câu 29. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

A. ^{F x}

( )

⁼^x² là một nguyên hàm của ^{f x}

( )

⁼^2x^.

B. ^{F x}

( )

⁼^x là một nguyên hàm của ^{f x}

( )

⁼^{2 x}^.

C. Nếu ^{F x}

( )

^và^{G x}

( )

đều là nguyên hàm của hàm số ^{f x}

( )

^thì^{F x}

( )

⁻^{G x}

( )

⁼^C

(hằng số).

(10)

D.



f x1

( )

+f2

( )

x dx =



f x dx1

( )

+



f2

( )

x dx^. Đáp án

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

D A A D C B D A D C B C A D A

16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29

D B A D A A A D D D B C C B