Các phương pháp tính nguyên hàm và cách giải bài tập A. LÝ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
1. Phương pháp biến đổi biến số.
Nếu thì
f u x( ) ( )
.u ' x dx=F u x( )
+C.Giả sử ta cần tìm họ nguyên hàm I=
f x dx( )
, trong đó ta có thể phân tích( ) ( ( ) ) ( )
f x =g u x u ' x thì ta thực hiện phép đổi biến số t =u x
( )
, suy ra( )
dt =u ' x dx.
Khi đó ta được nguyên hàm:
g t dt( )
=G t( )
+ =C G u x( )
+C.Chú ý: Sau khi tìm được họ nguyên hàm
f x dx( )
=F x( )
+Ctheo t thì ta phải thay( )
t=u x .
Các bước thực hiện:
Bước 1: Chọn x=
( )
t , trong đó ( )
t là hàm số mà ta chọn thích hợp . Bước 2: Lấy vi phân hai vế : dx= ' t dt( )
Bước 3: Biến đổi : f (x)dx= f
( ) ( )
t ' t dt=g t dt( )
Bước 4: Khi đó tính : f (x)dx
=
g(t)dt=G(t)+C. Một số cách đổi biến số hay gặp.Dấu hiệu Có thể đặt Ví dụ
1 Có f (x) t= f (x) I x dx3
= x 1
+ . Đặt t = x 1+ 2 Có (ax+b)n t=ax+b I=
x(x 1)+ 2016dx. Đặt t = x + 13 Có af (x ) t =f (x) tan x 3
2
I e dx
cos x
=
+ . Đặt t tan x 3= + 4 Có dxvà ln x x
t=ln x hoặc biểu thức chứa
ln x
ln xdx I= x(ln x 1)
+ . Đặt t ln x 1= + 5 Có e dxxt=ex hoặc biểu thức chứa ex
2x x
I=
e 3e +1dx. Đặt t= 3ex +16 Có sin xdx
t=cos x hoặc biểu thức chứa cosx
sin x3
I dx
2cos x 1
=
+ . Đặt t=2cos x 1+7 Có cos xdx t=sin xdx I=
sin x cos xdx3 . Đặt t sin x= 8 Có dx2cos x t=tan x
2
4 2
1 1
I dx (1 tan x) dx
cos x cos x
=
=
+Đặt t =tan x 9 Có dx2
sin x t=cot x I ecot x2 dx 2sin x
=
. Đặt t =cot x2. Phương pháp tính nguyên hàm từng phần.
Cho hai hàm số u và v liên tục trên đoạn
a;b và có đạo hàm liên tục trên đoạn
a;b .Khi đó: udv uv
= −
vdu.( )
*Để tính nguyên hàm
f x dx( )
bằng từng phần ta làm như sau:Bước 1. Chọn u, v sao cho từ f x dx
( )
=udv (chú ý dv= v ' x dx( )
).Sau đó tính v=
dv và du=u '.dx. Bước 2. Thay vào công thức( )
* và tính vdu
.+ Phương pháp này chủ yếu dùng cho các biểu thức dạng p(x)q(x)dx
trong các trường hợp sau:Chú ý: Với p(x) là đa thức của x, ta thường gặp các dạng sau:
Hàm dưới dấu nguyên hàm Cách đặt
( )
p x là đa thức, q x
( )
là hàm lượng giác( ) ( )
u p x dv q x dx
=
=
( )
p x là đa thức, q x
( )
=f ' e .e( )
x x( )
( )
u p x dv q x dx
=
=
( )
p x là đa thức, q x
( ) ( )
=f ln x( ) ( )
u q x dv p x dx
=
=
( )
p x là hàm lượng giác, q x
( )
=f e( )
x( )
( )
u q x dv p x dx
=
=
( )
p x là đa thức, q x
( )
f ' ln x( )
1= x
( )
( )
u p x dv q x dx
=
=
( )
p x là đa thức, q x
( )
=f ' u x . u x '( ( ) ) ( ( ) )
, u x( )
là cáchàm lượng giác
(
sin x,cos x, tan x,cot x)
( ) ( )
u p x dv q x dx
=
=
Lưu ý: Chọn u: Nhất log, nhì đa, tam lượng, tứ mũ.
- Mở rộng: Quy tắc đường chéo để tính tích phân từng phần
Bảng 1 Bảng 2
Áp dụng nhanh trong trường hợp u là một đa thức bậc cao.
Ở cột u, lấy đạo hàm liên tiếp đến khi được kết quả bằng 0, hoặc đến khi lấy đạo hàm phức tạp hơn, hoặc đến khi lặp lại thì dừng.
Ở cột v, tìm nguyên hàm tương ứng của v.
Ví dụ áp dụng: Tìm các nguyên hàm sau:
u"' u"
- ( )
v3
0
v2
v1
+ ( )
+ ( )
- ( ) v u'
u v'
Cột v (ng hàm) Cột u ( đạo hàm)
+ ( )
- ( )
+ ( )
v1
u'' u' v u v'
( Nguyên hàm ) ( Đạo hàm )u v
1.
(x+2)e dx2x 2.
(2x 1)cos xdx−3.
(3x2 −1)ln xdxGiải: Áp dụng quy tắc đường chéo:
1:
(x+2)e dx2xCăn cứ vào bảng ta được:
2x 2x 2x
(x C
1 1
(x 2)e dx 2 e
4
2 ) e
+ = + − +
2.
(2x 1)cos xdx−Căn cứ vào bảng ta được:
(2x 1)cos xdx−
=(
2x 1 sin x−)
+2cosx+C2 x +
e
2xu v
+ - +
e
2x1 0 4
e
2x1 1 2
-cosx - 1
2x
sinx u v
+ - +
0
cosx 2
3.
(3x2 −1)ln xdxCăn cứ vào bảng ta được:
(3x2 −1)ln xdx
(
x3 x ln x)
1x(
x3 x dx)
= − −
−(
x3 x ln x) (
x2 1 dx)
= − −
−(
x3 x ln x)
x3 x C= − − 3 + +
B. CÁC VÍ DỤ MINH HOẠ.
Ví dụ 1. Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f (x) 2x 12 (x 2)
= +
+ trên khoảng
(
− +2;)
là:A. 1
2ln(x 2) C.
x 2
+ + +
+ B. 1
2ln(x 2) C.
x 2
+ − +
+
C. 3
2ln(x 2) C.
x 2
+ − +
+ D. 3
2ln(x 2) C.
x 2
+ + +
+ Lời giải
Ta có: f (x) 2x 12 (x 2)
= + +
Đặt t= + =x 2 dt dx và x = t – 2. Thay vào đề bài ta được:
x
3x 1
x
1 - x
2lnx 3
- u v
+
-
2 2
2x 1 2(t 2) 1
f (x)dx dx dt
(x 2) t
+ − +
= =
+
2 2
2t 3 2 3
dt dt
t t t
−
=
=
− 2
1 1 3
2 dt 3 dt 2ln t C
t t t
=
−
= + + Thay t = x + 2, ta được:3 3
2ln t C 2ln x 2 C
t x 2
+ + = + + +
+
( )
32ln x 2 C
x 2
= + + +
+
(Do theo đề bài x − +( 2; ) nên x + 2 > 0) Chọn D.
Ví dụ 2. Hàm số nào sau đây là một nguyên hàm của
( )
( )
2g x ln x
x 1
= + ?
A. ln x ln x 1999
x 1 x 1
− + +
+ + . B. ln x ln x 1998
x 1 x 1
− − +
+ + .
C. ln x ln x 2016 x 1− x 1 +
+ + . D. ln x ln x 2017
x 1+ x 1 +
+ + .
Lời giải
Gọi nguyên hàm của hàm số đã cho là S, ta có : Đặt
( )
2u ln x du 1dx
1 x
dv dx 1
x 1 v
x 1
=
=
= −
+ =
+
( )
ln x 1
S dx
x 1 x x 1
= − +
+
+ln x (x 1) x
[ ]dx
x 1 x(x 1)
ln x 1 1
x 1 x x 1 dx
− + −
= +
+ +
−
= + + − +
lnx 1 dx
x 1 xdx x 1
= − + + −
+
+( )
S ln x ln x ln x 1 C x 1
ln x x
ln C
x 1 x 1
= − + − + +
+
= − + +
+ +
Chọn C = 1999
Khi đó S = ln x ln x 1999
x 1 x 1
− + +
+ +
Chọn A.
Ví dụ 3. Tìm một nguyên hàm của hàm sốf x
( )
x ln3 4 x224 x
−
= + ?
A.
2
4 2
2
4 x
x ln 2x
4 x
− −
+
. B.
4 2
2 2
x 16 4 x
ln 2x
4 4 x
− − −
+
.
C.
2
4 2
2
4 x
x ln 2x
4 x
− +
+
. D.
4 2
2 2
x 16 4 x
ln 2x
4 4 x
− − +
+
.
Lời giải
Đặt :
2
4 2
4 4
3
4 x du 16x dx
u ln x 16
4 x
x x 16
v 4
dv x dx
4 4
= − =
+ −
−
= = − =
2 4 2
4
2 2
4 x x 16 4 x
x ln dx ln 4xdx
4 x 4 4 x
− − −
+ = + −
4 2
2 2
x 16 4 x
ln 2x C
4 4 x
− −
= + − +
Chọn C = 0
Khi đó ta có một nguyên hàm của hàm số đã cho là x4 16 ln 4 x22 2x2
4 4 x
− − −
+
Chọn B.
C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN.
Câu 1. Nguyên hàm của 2x x +1dx
là:A. ln t +C, với t =x2 +1 B. −ln t +C, với t=x2 +1. C. 1
ln t C
2 + , với t =x2 +1. D. 1
ln t C
−2 + , với t =x2 +1. Câu 2. Với phương pháp đổi biến số
(
x →t)
, nguyên hàm ln 2xx dx
bằng:A. 1 2
t C
2 + . B. t2 +C. C. 2t2 +C. D. 4t2 +C. Câu 3. Nguyên hàm của I=
x ln xdx bằng:A.
x2
ln x xdx C
2 −
+ . B. x22 ln x−
12xdx+C.C. 2 1
x ln x xdx C
−
2 + . D. x ln x2 −
xdx+C.Câu 4. Họ nguyên hàm của
e 1 x dxx(
+)
là:A. I=ex +xex +C. B. x 1 x
I e xe C
= + 2 + .
C. 1 x x
I e xe C
= 2 + + . D. I=2ex +xex +C.
Câu 5.
(2x x2+ +1 x ln x dx) có dạng a3( x2 +1)3+ b6x ln x2 −14x2 +C, trong
đó a, b là hai số hữu tỉ. Giá trị a bằng:
A. 3 . B. 2.
C. 1. D. Không tồn tại
Câu 6. Tính dx
F(x)= x 2ln x 1
+A. F(x)=2 2ln x 1+ +C B. F(x)= 2ln x 1 C+ +
C. 1
F(x) 2ln x 1 C
= 4 + + D. 1
F(x) 2ln x 1 C
= 2 + +
Câu 7. Tính
3 4
F(x) x dx
x 1
=
− A. F(x)=ln x4 − +1 CB. 1 4
F(x) ln x 1 C
= 4 − +
C. 1 4
F(x) ln x 1 C
=2 − + D. F(x) 1ln x4 1 C
=3 − +
Câu 8. Họ nguyên hàm của hàm số f (x)=2x x2 +1 là:
A. 2
(
x2 1)
3 C3 + + B. −2
(
x2 +1)
3 +CC.
(
x2 +1)
3 +C D. 1(
x2 1)
3 C3
− + +
Câu 9. Họ nguyên hàm của hàm số
2
f (x) 2x
x 1
= + là:
A. x2 + +1 C B.
2
1 C
2 x 1 + +
C. 2 x2 + +1 C D. 4 x2 + +1 C
Câu 10. Họ nguyên hàm của hàm số 22x f (x)
x 4
= + là:
A. 2ln x2 + +4 C B.
ln x2 4 2 C
+ +
C. ln x2+ +4 C D. 4ln x2 + +4 C Câu 11. Họ nguyên hàm của hàm số
x x
f (x) e
e 3
= + là:
A. − − +ex 3 C B. 3ex + +9 C C. −2ln ex + +3 C D. ln ex + +3 C Câu 12. Họ nguyên hàm của hàm số ln x
f (x)
= x là:
A. ln x2 +C B. ln x+C C.
ln x2
2 +C D. ln x
2 +C Câu 13. Họ nguyên hàm của hàm số f (x)=2x.2x2 là:
A. 2
x
1 C
ln 2.2 + B. 1 x2
.2 C
ln 2 + C. 2
x
ln 2 C
2 + D. ln 2.2x2 +C Câu 14. Tính
(
x22x+9)
4 dx
ta được kết quả là:A. −5 x
(
21+9)
5 +C B. −3 x(
21+9)
3 +CC. −
(
x2 4+9)
5 +C D. −(
x21+9)
3 +CCâu 15. Một nguyên hàm của 2x f (x)
x 1
= + là:
A. 1
ln x 1
2 + B. 2ln x
(
2 +1)
C. 1ln(x2 1)2 + D. ln(x2 +1) Câu 16. Nguyên hàm của hàm số f x
( )
=xexlà:A. xex +ex +C B. ex +C C.
2
x x
e C
2 + D. xex −ex +C Câu 17. Kết quả của
ln xdx là:A. x ln x+ +x C B. Đáp án khác
C. x ln x+C D. x ln x− +x C Câu 18. Kết quả của x ln xdx
là:A. x ln x+ +x C B. Đáp án khác
C. x ln x+C D. x ln x− +x C
Câu 19. Họ nguyên hàm của hàm số 22x 1 f (x)
x x 4
= +
+ + là:
A. 2ln x2 + + +x 4 C B. ln x2 + + +x 4 C C.
ln x2 x 4 2 C
+ + + D. 4ln x2+ + +x 4 C
Câu 20. Họ nguyên hàm của hàm số 2 2 x f (x)
x 4x 4
= +
+ − là : A. 1 2
.ln x 4x 4 C
2 + − + B. ln x2 +4x− +4 C
C. 2ln x2 +4x− +4 C D. 4ln x2+4x− +4 C Câu 21. Họ nguyên hàm của hàm số ln 2x
f (x)
= x là : A. ln 2x+C B. ln x2 +C C.
ln 2x2
2 +C D. ln x
2 +C Câu 22. Câu nào sau đây sai?
A. Nếu F' t
( ) ( )
=f t thì F u x( ( ) )
=f u x( ( ) )
.B.
f t dt( )
=F t( )
+ C
f u x u ' x dx( ( ) ) ( )
=F u x( ( ) )
+C.C. Nếu G t
( )
là một nguyên hàm của hàm số g t( )
thì G u x( ( ) )
là một nguyên hàm của hàm số g u x .u x( ( ) )
( )
.D.
f t dt( )
=F t( )
+ C
f u du( )
=F u( )
+C với u =u x( )
.Câu 23. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
A. Nếu
f t dt( )
=F t( )
+C thì
f u x .u x dx( ( ) )
( )
=F u x( ( ) )
+C.B. Nếu F x
( )
và G x( )
đều là nguyên hàm của hàm số f x( )
thì( ) ( )
F x −G x dx
có dạng h x( )
=Cx+D (C,D là các hằng số và C0).C. F x
( )
= +7 sin x2 là một nguyên hàm của f x( )
=sin 2x.D.
( )
( ) ( )
u x dx u x C
u x
= +
.Câu 24. Để tính eln x
x dx
theo phương pháp đổi biến số, ta đặt:A. t=eln x. B. t=ln x. C. t=x. D. 1
t .
= x
Câu 25. F x
( )
là một nguyên hàm của hàm số y=xex2 . Hàm số nào sau đây không phải là F x( )
:A.F x
( )
1ex2 2= 2 + . B.F x
( )
= 12(
ex2 +5)
.C.F x
( )
1ex2 C= −2 + . D. F x
( )
= −12(
2 e− x2)
.Câu 26. Để tính
x ln 2(
+x dx)
theo phương pháp tính nguyên hàm từng phần, ta đặt:A.
( )
u x
dv ln 2 x dx.
=
= +
B. u ln 2
(
x)
dv xdx .
= +
=
C. u x ln 2
(
x)
dv dx .
= +
=
D. u ln 2
(
x)
dv dx .
= +
=
Câu 27. Hàm số f x
( ) (
= x 1 e−)
x có một nguyên hàm F x( )
là kết quả nào sau đây, biết nguyên hàm này bằng 1 khi x=0?A. F x
( ) (
= x 1 e−)
x. B. F x( ) (
= x−2 e)
x.C. F x
( ) (
= x 1 e+)
x +1. D. F x( ) (
= x−2 e)
x +3.Câu 28. Một nguyên hàm của f x
( )
=x ln x là kết quả nào sau đây, biết nguyên hàm này triệt tiêu khi x 1= ?A. F x
( )
1x ln x2 1(
x2 1)
2 4
= − + . B. F x
( )
1x ln x2 1x 12 4
= + + .
C. F x
( )
1x ln x 1(
x2 1)
2 2
= + + . D. Một kết quả khác.
Câu 29. Cho 12
F(x)= 2x là một nguyên hàm của hàm số f (x)
x . Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) ln x
A. f (x) ln xdx ln x2 12 C
x 2x
= − + +
B. ln x2 12
f (x)ln xdx C
x x
= + +
C. f (x) ln xdx ln x2 12 C
x x
= − + +
D. ln x2 12
f (x)ln xdx C
x 2x
= + +
Câu 30. Tính nguyên hàm ln ln x
( )
I dx
=
x được kết quả nào sau đây?A. I=ln x.ln ln x
( )
+C. B. I=ln x.ln ln x( )
+ln x+C.C. I=ln x.ln ln x
( )
−ln x+C. D. I=ln ln x( )
+ln x+C.Đáp án
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
C A B B B B B A C C D C B B C
16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
D D B B A C A D B C B D D A C
