Tóm tắt lý thuyết, các dạng toán và bài tập Toán 11 - Học Tập Trực Tuyến Cấp 1,2,3 - Hoc Online 247

(1)

PHẦN I Đại số - Giải tích 21

CHƯƠNG 1 Hàm số lượng giác - Phương trình lượng giác 23

1 Công thức lượng giác cần nắm 23

A Tóm tắt lý thuyết 23

2 Hàm số lượng giác 26

B Các dạng toán thường gặp 29

Dạng 2.1. Tìm tập xác định của hàm số lượng giác 29

1 Bài tập vận dụng 30

2 Bài tập tự luyện 32

Dạng 2.2. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số lượng giác 33

1 Ví dụ 33

2 Bài tập áp dụng 34

3 Bài tập rèn luyện 38

Dạng 2.3. Xét tính chẵn lẻ của hàm số lượng giác 39

1 Ví dụ 40

3 Phương trình lượng giác 41

A Phương trình lượng giác cơ bản 41

1 Ví dụ 42

1

(2)

B Một số kỹ năng giải phương trình lượng giác 44

Dạng 3.1. Sử dụng thành thạo cung liên kết 44

1 Ví dụ 44

Dạng 3.2. Ghép cung thích hợp để áp dụng công thức tích thành tổng 52

1 Ví dụ 52

Dạng 3.3. Hạ bậc khi gặp bậc chẵn của sin và cos 56

1 Ví dụ 57

Dạng 3.4. Xác định nhân tử chung để đưa về phương trình tích 61

1 Ví dụ 61

4 Phương trình lượng giác đưa về bậc hai và bậc cao cùng một hàm lượng giác 89

B Dạng toán và bài tập 89

1 Ví dụ 89

2 Bài tập vận dụng 92

(3)

5 Phương trình bậc nhất đối với sin và cos 108

B Ví dụ và bài tập 109

1 Ví dụ 109

6 Phương trình lượng giác đẳng cấp (bậc 2, bậc 3, bậc 4) 121

B Ví dụ 122

C Bài tập áp dụng 123

7 Phương trình lượng giác đối xứng 131

B Ví dụ 131

D Bài tập rèn luyện 138

8 Một số phương trình lượng giác khác 139

B Ví dụ 140

9 Phương trình lượng giác có cách giải đặc biệt 146

B Ví dụ 147

(4)

10 Bài tập ôn cuối chương I 156

CHƯƠNG 2 Tổ hợp và xác suất 169

1 Các quy tắc đếm cơ bản 169

1 Ví dụ 170

Dạng 1.1. Bài toán sử dụng quy tắc cộng 170

Dạng 1.2. Bài toán sử dụng quy tắc nhân 171

Dạng 1.3. Bài toán sử dụng quy tắc bù trừ 172

2 Hoán vị - Chỉnh hợp - Tổ hợp 187

B Ví dụ minh họa 189

C Dạng toán và bài tập 191

Dạng 2.1. Giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình 191

1 Ví dụ 191

Dạng 2.2. Các bài toán sử dụng hoán vị 199

1 Ví dụ 199

(5)

Dạng 2.3. Các bài toán sử dụng chỉnh hợp 204

1 Ví dụ 204

Dạng 2.4. Các bài toán sử dụng tổ hợp 209

1 Ví dụ 209

3 Nhị thức Newton 215

A Nhị thức Newton 215

B Tam giác Pascal 216

C Dạng toán và bài tập 216

Dạng 3.1. Tìm hệ số hoặc số hạng thỏa mãn điều kiện cho trước 216

1 Ví dụ minh họa 217

Dạng 3.2. Tìm hệ số trong khai triển nhị thức Niu-tơn (a+b)ⁿ 222

1 Ví dụ 223

Dạng 3.3. Chứng minh hoặc tính tổng 232

1 Ví dụ 233

(6)

4 Biến cố và xác suất của biến cố 237

A Phép thử 237

B Biến cố 238

C Xác suất 238

Dạng 4.1. Chọn hoặc sắp xếp đồ vật 241

D Lí thuyết 241

E Ví dụ 242

F Bài tập rèn luyện 244

G Bài tập tự luyện 247

Dạng 4.2. Chọn hoặc sắp xếp người 250

H Lí thuyết 250

I Ví dụ 251

J Bài tập rèn luyện 253

K Bài tập tự luyện 256

Dạng 4.3. Chọn hoặc sắp xếp số 262

L Lí thuyết 262

M Ví dụ 262

N Bài tập rèn luyện 266

O Bài tập tự luyện 269

5 Các quy tắc tính xác suất 277

1 Quy tắc cộng xác suất 277

2 Quy tắc nhân xác suất 280

B Bài tập áp dụng 282

(7)

6 Bài tập ôn chương 2 290

CHƯƠNG 3 Dãy số - Cấp số cộng - Cấp số nhân 301

1 Phương pháp quy nạp toán học 301

Dạng 1.1. Chứng minh mệnh đề P(n) đúng với mọi số tự nhiên n 301

1 Ví dụ 301

2 Dãy số 314

1 Định nghĩa 314

2 Cách cho một dãy số 314

3 Dãy số tăng, dãy số giảm 314

4 Dãy số bị chặn 315

Dạng 2.1. Tìm số hạng của dãy số cho trước 315

1 Ví dụ 315

Dạng 2.2. Xét tính tăng, giảm của dãy số 321

1 Ví dụ 321

(8)

Dạng 2.3. Tính bị chặn của dãy số 327

1 Ví dụ 327

3 Cấp số cộng 332

1 Ví dụ 333

4 Cấp số nhân 356

1 Ví dụ 357

CHƯƠNG 4 GIỚI HẠN 367

1 Giới hạn của dãy số 367

A Tóm tắt lí thuyết 367

1 Giới hạn của dãy số 367

2 Các định lý về giới hạn hữu hạn 367

3 Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn 367

4 Giới hạn vô cực 368

B Các dạng toán 368

Dạng 1.1. Dùng định nghĩa chứng minh giới hạn 368

(9)

Dạng 1.2. Tính giới hạn dãy số dạng phân thức 371 Dạng 1.3. Tính giới hạn dãy số dạng phân thức chứa aⁿ 371

Dạng 1.4. Dãy số dạng Lũy thừa - Mũ 377

Dạng 1.5. Giới hạn dãy số chứa căn thức 379

2 Giới hạn hàm số 389

1 Giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm 389

2 Giới hạn hữu hạn của hàm số tại vô cực 390

3 Giới hạn vô cực của hàm số 391

Dạng 2.1. Giới hạn của hàm số dạng vô định 0

0 393

Dạng 2.2. Giới hạn dạng vô định ∞

∞;∞−_{∞; 0}·_∞ 410 Dạng 2.3. Tính giới hạn hàm đa thức, hàm phân thức và giới hạn một bên. 414

3 Hàm số liên tục 421

1 Hàm số liên tục tại một điểm 421

2 Hàm số liên tục trên một khoảng 421

3 Một số định lí cơ bản 421

Dạng 3.1. Xét tính liên tục của hàm số tại một điểm 422

Dạng 3.2. Hàm số liên tục trên một tập hợp 428

Dạng 3.3. Dạng tìm tham số để hàm số liên tục - gián đoạn 431

Dạng 3.4. Chứng minh phương trình có nghiệm 434

(10)

4 Đề Kiểm tra Chương IV 440

A Đề số 1a 440

B Đề số 1b 442

C Đề số 2a 443

D Đề số 2b 445

E Đề số 3a 446

F Đề số 3b 450

G Đề số 4a 453

H Đề số 4b 454

I Đề số 5a 456

J Đề số 5b 458

K Đề số 6a 460

L Đề số 6b 462

CHƯƠNG 5 ĐẠO HÀM 465

1 Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm 465

1 Đạo hàm tại một điểm 465

2 Quan hệ giữa sự tồn tại của đạo hàm và tính liên tục của hàm số 465

3 Ý nghĩa hình học của đạo hàm 465

4 Ý nghĩa vật lí của đạo hàm 465

5 Đạo hàm trên một khoảng 466

6 Đạo hàm một bên 466

Dạng 1.1. Tính đạo hàm của hàm số bằng định nghĩa 466

(11)

Dạng 1.2. Ý nghĩa của đạo hàm vào một số bài toán 469 Dạng 1.3. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số 470 Dạng 1.4. Mối quan hệ giữa tính liên tục và đạo hàm của hàm số 474

2 Quy tắc tính đạo hàm 476

1 Quy tắc tính đạo hàm 476

2 Các công thức 476

B Ví dụ 476

C Các dạng toán 478

Dạng 2.1. Tính đạo hàm của hàm số chứa đa thức, chứa căn thức 478

Dạng 2.2. Một số ứng dụng của đạo hàm 483

3 Đạo hàm của các hàm số lượng giác 487

1 Giới hạn của sinx

x 487

2 Đạo hàm của các hàm số lượng giác 487

Dạng 3.1. Tính đạo hàm của các hàm số lượng giác 487 Dạng 3.2. Chứng minh đẳng thức hoặc giải phương trình 494 Dạng 3.3. Tính giới hạn của hàm số có chứa biểu thức lượng giác 500

4 Đạo hàm cấp hai 506

Dạng 4.1. Tính đạo hàm cấp hai - Ý nghĩa của đạo hàm cấp hai 506 Dạng 4.2. Chứng minh đẳng thức chứa đạo hàm cấp 2 510

(12)

Dạng 4.3. Vận dụng đạo hàm cấp hai chứng minh đẳng thức tổ hợp 513

5 Đề Kiểm tra Chương 5 518

A Đề số 1a 518

B Đề số 1b 519

C Đề số 2a 521

D Đề số 2b 522

E Đề số 3a 524

F Đề số 3b 525

PHẦN II Hình học 529

CHƯƠNG 1 Phép biến hình 531

1 Mở đầu về phép biến hình 531

2 Phép tịnh tiến 531

Dạng 2.1. Xác định ảnh của một hình qua phép tịnh tiến 532

1 Ví dụ 532

Dạng 2.2. Xác định phép tịnh tiến khi biết ảnh và tạo ảnh 536

1 Ví dụ 537

(13)

Dạng 2.3. Các bài toán ứng dụng của phép tịnh tiến 539

1 Ví dụ 539

3 Phép đối xứng trục (Bài đọc thêm) 542

A Định nghĩa 542

B Biểu thức tọa độ 542

C Tính chất 543

D Trục đối xứng của một hình 543

4 Phép quay 543

Dạng 4.1. Tìm tọa độ ảnh của một điểm qua phép quay 544

1 Ví dụ 544

Dạng 4.2. Tìm phương trình ảnh của một đường tròn qua phép quay 546

1 Ví dụ 546

5 Phép đối xứng tâm 552

6 Phép vị tự và phép đồng dạng 552

(14)

Dạng 6.1. Phép vị tự trong hệ tọa độ Oxy 554

1 Ví dụ 554

CHƯƠNG 2 Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian 561

1 Đại cương về đường thẳng và mặt phẳng 561

Dạng 1.1. Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng 563

1 Ví dụ 563

Dạng 1.2. Tìm giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (α) 568

1 Ví dụ 568

Dạng 1.3. Tìm thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng (α). 580

1 Ví dụ 580

Dạng 1.4. Chứng minh ba điểm thẳng hàng 591

1 Ví dụ 591

(15)

Dạng 1.5. Chứng minh ba đường thẳng đồng quy 603

1 Ví dụ 603

2 Hai đường thẳng song song. 608

Dạng 2.1. Chứng minh hai đường thẳng song song. 609

1 Ví dụ 610

Dạng 2.2. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng chứa hai đường thẳng song song.614

1 Ví dụ 614

3 Đường thẳng song song với mặt phẳng 623

Dạng 3.1. Chứng minh dường thẳng a song song với mặt phẳng (P) 624

1 Ví dụ 624

Dạng 3.2. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng 625

Dạng 3.3. Tìm thiết diện song song với một đường thẳng 626

(16)

4 Hai mặt phẳng song song 658

1 Vị trí tương đối của hai mặt phẳng phân biệt 658

2 Các định lí 658

3 Ví dụ 660

B Bài tập áp dụng 660

5 Bài tập ôn cuối chương 2 669

CHƯƠNG 3 QUAN HỆ VUÔNG GÓC 675

1 Vectơ trong không gian 675

1 Các định nghĩa 675

2 Các quy tắc tính toán với véctơ 675

3 Một số hệ thức véctơ trọng tâm, cần nhớ 676

4 Điều kiện đồng phẳng của ba véctơ 676

5 Phân tích một véctơ theo ba véctơ không đồng phẳng 676

6 Tích vô hướng của hai véctơ 676

Dạng 1.1. Xác định véctơ và các khái niệm có liên quan 677

Dạng 1.2. Chứng minh đẳng thức véctơ 678

Dạng 1.3. Tìm điểm thỏa mãn đẳng thức vecto 681

Dạng 1.4. Tích vô hướng của hai véctơ 684

Dạng 1.5. Chứng minh ba véctơ đồng phẳng 687

Dạng 1.6. Phân tích một vectơ theo 3 vectơ không đồng phẳng cho trước 688 Dạng 1.7. Ứng dụng véctơ chứng minh bài toán hình học 690

(17)

2 Hai đường thẳng vuông góc 697

1 Tích vô hướng của hai vec-tơ trong không gian 697

2 Góc giữa hai đường thẳng 697

Dạng 2.1. Xác định góc giữa hai vec-tơ 698

Dạng 2.2. Xác định góc giữa hai đường thẳng trong không gian 699 Dạng 2.3. Sử dụng tính chất vuông góc trong mặt phẳng. 703

Dạng 2.4. Hai đường thẳng song song cùng vuông góc với một đường thẳng

thứ ba 706

3 Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng 710

1 Định nghĩa 710

2 Điều kiện để đường thẳng vuông góc với mặt phẳng 710

3 Tính chất 710

4 Liên hệ giữa quan hệ song song và quan hệ vuông góc của đường thẳng và mặt

phẳng 711

5 Phép chiếu vuông góc và định lý ba đường vuông góc 712

Dạng 3.1. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng 713

Dạng 3.2. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng 720

Dạng 3.3. Xác định thiết diện của một khối đa diện cắt bởi mặt phẳng đi qua một điểm và vuông góc với một đường thẳng cho trước 726

C Bài tập tổng hợp 729

(18)

4 Hai mặt phẳng vuông góc 734

1 Định nghĩa góc giữa hai mặt phẳng 734

2 Cách xác định góc của hai mặt phẳng cắt nhau 734

3 Diện tích hình chiếu của một đa giác 734

4 Hai mặt phẳng vuông góc 734

5 Hình lăng trụ đứng, hình hộp chữ nhật, hình lập phương 735

6 Hình chóp đều và hình chóp cụt đều 735

Dạng 4.1. Tìm góc giữa hai mặt phẳng 736

Dạng 4.2. Tính diện tích hình chiếu của đa giác 740

Dạng 4.3. Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc 742

Dạng 4.4. Thiết diện chứa một đường thẳng và vuông góc với một mặt phẳng746

5 Khoảng cách 750

1 Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng 750

2 Khoảng cách từ một điểm tới một mặt phẳng 750

3 Khoảng cách từ một đường thẳng tới một mặt phẳng song song 750

4 Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song 750

5 Đường thẳng vuông góc chung và khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau751

Dạng 5.1. Khoảng cách từ một điểm tới một đường thẳng 751 Dạng 5.2. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng 752 Dạng 5.3. Khoảng cách giữa đường và mặt song song - Khoảng cách giữa hai

mặt song song 760

(19)

Dạng 5.4. Đoạn vuông góc chung, khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau764

6 Đề Kiểm tra Chương 3 778

A Đề số 1a 778

B Đề số 1b 780

C Đề số 2a 782

D Đề số 2b 783

E Đề số 3a 784

F Đề số 3b 785

(20)

(21)

I

ĐẠI SỐ - GIẢI TÍCH

21

(22)

(23)

1

TRÌNH LƯỢNG GIÁC

BÀI 1. CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC CẦN NẮM

A TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1 Đường tròn lượng giác và dấu của các giá trị lượng giác

cos sin

O

+

A(1; 0) A⁰(−1; 0)

B(_{0; 1})

B⁰(0;−1) (I) (II)

(III) (IV)

Góc phần tư Giá trị lượng giác I II III IV

sinα + + − −

cosα + − − +

tanα + − + −

cotα + − + −

2 Công thức lượng giác cơ bản

sin²x+cos²x =1 1+tan²x = ¹

cos²x 1+cot²x= ¹

sin²x tanxcotx =1 3 Cung góc liên kết

Cung đối nhau Cung bù nhau Cung hơn kémπ cos(−α) =cosα cos(π−α) = −cosα cos(α+π) = −cosα sin(−α) =−sinα sin(π−α) =sinα sin(α+π) = −sinα tan(−_α) =−tanα tan(_π−_α) = −tanα tan(_α+_π) = tanα cot(−_α) =−_cot_α _cot(π−_α) = −_cot_α _cot(α+π) = cotα

Cung phụ nhau Cung hơn kém π 2 cosπ

2 −α

=sinα cosπ 2 +α

=−sinα sinπ

2 −α

=cosα sinπ 2 +α

=cosα tanπ

2 −α

=cotα tanπ 2 +α

=−cotα cotπ

2 −_α=tanα cotπ 2 +α

=−_tan_α

23

(24)

4 Công thức cộng

sin(a+b) =sinacosb+sinbcosa cos(a+b) = cosacosb−sinasinb sin(a−b) =sinacosb−sinbcosa cos(a−b) = cosacosb+sinasinb

tan(a+b) = ^tan^a+tanb

1−_tanatanb tan(a−b) = ^tan^a−tanb 1+_tanatanb tanπ

4 +x

= ¹+_tanx

1−tanx tanπ

4 −x

= ¹−_tanx 1+tanx 5 Công thức nhân đôi, công thức hạ bậc

Công thức nhân đôi Công thức hạ bậc

sin 2α =_{2 sin}_α_cos_α _sin²_α = ¹−cos 2α 2 cos 2α =_cos²_α−_sin²_α =_{2 cos}²_α−₁=₁−_{2 sin}²_α _cos²_α = ¹+cos 2α

2 tan 2α = ^{2 tan}^α

1−_tan²_α ^tan

2α = ¹−cos 2α 1+cos 2α cot 2α = ^cot

2α−1

2 cotα cot²α = ¹+cos 2α

1−cos 2α Công thức nhân 3

"

sin 3α =3 sinα−4 sin³α

cos 3α =_{4 cos}³_α−_{3 cos}_α ^{tan 3α} = ^{3 tan}^α−tan³α 1−3 tan²α 6 Công thức biến đổi tổng thành tích

cosa+cosb=2 cos a+b

2 cos a−b

2 cosa−_cos_b =−_{2 sin} ^a+b

2 sin a−b 2 sina+_sinb=_{2 sin} ^a+b

2 cos a−b

2 sina−_sinb =_{2 cos}^a+b

2 sina−b 2 tana+_tanb= ^sin(a+b)

cosacosb tana−_tanb = ^sin(a−b) cosacosb cota+cotb = ^sin(a+b)

sinasinb cota−cotb = ^sin(b−a) sinasinb Đặt biệt

sinx+cosx =√ 2 sin

x+^π 4

=√

2 cos x−^π

4

sinx−cosx =√ 2 sin

x− ^π 4

=−√

2 cos x+ ^π

4

7 Công thức biến đổi tích thành tổng

(25)

cosa·cosb = ¹

2[cos(a−b) +cos(a+b)]

sina·sinb = ¹

2[cos(a−b)−cos(a+b)]

sina·cosb = ¹

2[sin(a−b) +sin(a+b)]

Bảng lượng giác của một số góc đặc biệt

độ 0^◦ 30^◦ 45^◦ 60^◦ 90^◦ 120^◦ 135^◦ 150^◦ 180^◦ 360^◦

rad 0 π

6

π 4

π 3

π 2

2π 3

3π 4

5π

6 π 2π

sinα 0 1

2

√2 2

√3

2 1

√3 2

√2 2

1

2 0 0

cosα 1

√3 2

√2 2

1

2 0 −¹

2 −

√2

2 −

√3

2 −1 1

tanα 0

√3

3 1 √

3 kxđ −√

3 −1 −

√3

3 0 0

cotα kxđ √

3 1

√3

3 0 −

√3

3 −1 −√

3 kxđ kxđ

Một điểm M thuộc đường tròn lượng giác sẽ có tọa độ M ( cos α, sin α )

x y

0^◦ 30^◦ 60^◦ 90^◦

120^◦ 150^◦ 180^◦

210^◦ 240^◦

270^◦ 300^◦ 330^◦

360^◦

π 6 π 4 π 3 π

2π 2 3π 3

4 5π

6

π

7π 6

5π 4 4π

3 3π

2

5π 3

7π 4

11π 6

2π ^√

3 2 ,¹₂ ^√

2 2 ,

√2 2

1

2,

√ 3 2

−

√3 2 ,¹₂ −

√2 2 ,

√2 2

−¹₂,

√ 3 2

−

√3 2 ,−¹₂ −

√2 2 ,−

√2 2

−¹₂,−

√ 3 2

^√

3 2 ,−¹₂ ^√

2 2 ,−

√2 2

1

2,−

√ 3 2

(−1, 0) (1, 0)

(0,−1) (_{0, 1})

(26)

BÀI 2. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

A TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1 Tính chất của hàm số a) Hàm số chẵn, hàm số lẻ

Hàm số y = f(x)có tập xác định làD gọi là hàm số chẵn nếu với mọi x ∈ _D thì−x ∈ _D và f(−x) = f(x). Đồ thị hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng.

Hàm số y = f(x) có tập xác định làD gọi là hàm số lẻ nếu với mọi x ∈ _D thì

−x ∈ _D và f(−x) = −f(x). Đồ thị hàm số lẻ nhận gốc tọa độOlàm tâm đối xứng.

b) Hàm số đơn điệu

Cho hàm sốy= f(x)xác định trên tập(a;b) ⊂_R.

Hàm sốy = f(x)gọi là đồng biến trên(a;b)nếu∀x1,x2 ∈ (a;b)cóx1 < x2 ⇒ f (x₁)< f (x₂).

Hàm sốy = f(x)gọi là nghịch biến trên(a;b)nếu∀x1,x2∈ (a;b)cóx1 <x2⇒ f (x₁)> f (x₂).

c) Hàm số tuần hoàn

Hàm số y = f(x) xác định trên tập hợpD, được gọi là hàm số tuần hoàn nếu có số T 6= 0 sao cho với mọi x ∈ _D ta có (x+T) ∈ _D và (x−T) ∈ _D và

f(x+T) = f(x).

Nếu có số dươngTnhỏ nhất thỏa mãn các điều kiện trên thìTgọi là chu kì của hàm tuần hoàn f.

2 Hàm sốy=sinx

Hàm sốy=sinxcó tập xác định làD =_R⇒y =sin[f(x)]xác định⇔ f(x)xác định.

Tập giá trịT = [−1; 1], nghĩa là−1≤sinx≤1⇒

◦ 0≤ |sinx| ≤ 1

◦ 0≤sin²x ≤1.

Hàm số y = f(x) = sinx là hàm số lẻ vì f(−x) = sin(−x) = −sinx = −f(x). Nên đồ thị hàm sốy=sinxnhận gốc tọa độOlàm tâm đối xứng.

Hàm số y = sinxtuần hoàn với chu kì T0 = 2π, nghĩa làsin(x+k2π) = sinx.

Hàm sốy=sin(ax+b)tuần hoàn với chu kìT0 = ^2π

|a|^. Hàm sốy = sinx đồng biến trên mỗi khoảng

−^π

2 +k2π;π

2 +k2π

và nghịch biến trên mỗi khoảng

π

2 +k2π;3π

2 +k2π

vớik ∈_Z.

Hàm số y = sinx nhận các giá trị đặc biệt

◦ _sinx=₁⇔ x= ^π

2 +k2π

◦ sinx=0⇔ x=kπ

◦ _sinx=−₁⇔ x=−^π

2 +k2π , k∈ _Z.

Đồ thị hàm số

(27)

x y

−_π π

−^π₂

π 2

3 Hàm sốy=cosx

Hàm sốy =cosxcó tập xác địnhD =_R⇒ y = cos[f(x)]xác định⇔ f(x)xác định.

Tập giá trịT = [−1; 1], nghĩa là−1≤cosx≤1⇒

®0≤ |_cosx| ≤₁ 0≤_cos²x ≤_1.

Hàm sốy =cosxlà hàm số chẵn vì f(−x) = cos(−x) = cosx = f(x)nên đồ thị của hàm số nhận trục tungOylàm trục đối xứng.

Hàm số y = _cosx tuần hoàn với chu kìT₀ = 2π, nghĩa làcos(x+_2π) = _cosx.

Hàm sốy=cos(ax+b)tuần hoàn với chu kì T₀ = ^2π

|a|^.

Hàm số y = cosxđồng biến trên các khoảng(−π+k2π;k2π),k ∈ _Zvà nghịch biến trên các khoảng(k2π;π+k2π),k ∈ _Z.

Hàm số y = cosx nhận các giá trị đặc biệt

◦ cosx=1⇔ x=k2π

◦ cosx=−1⇔ x=_π+k2π

◦ cosx=0⇔ x= ^π 2 +kπ

, k∈ _Z.

x y

−_π −^π₂ _π

π 2

4 Hàm sốy=tanx

Hàm sốy=tanxcó tập xác địnhD =_R\ⁿ^π

2 +kπ,k∈ _Z^o, nghĩa làx6= ^π 2 +kπ

⇒hàm sốy=tan[f(x)]xác định⇔ _f(x)6= ^π

2 +kπ; (k∈ _Z).

Tập giá trịT =_R.

Hàm số y = _tanx là hàm số lẻ vì f(−x) = _tan(−x) = −_tanx = −f(x) nên đồ thị của hàm số đối xứng qua gốc tọa độO.

Hàm sốy =tanxtuần hoàn với chu kìT₀ = _π ⇒ y =tan(ax+b) tuần hoàn với chu kìT0 = ^π

|a|^.

Hàm sốy=tanxđồng biến trên các khoảng

−^π

2 +kπ;π

2 +kπ

,k ∈Z.

(28)

Hàm số y = tanx nhận các giá trị đặc biệt

◦ tanx =1 ⇔x = ^π 4 +kπ

◦ tanx =−1 ⇔x =−^π 4 +kπ

◦ tanx =0 ⇔x =kπ

, k∈ _Z.

x y

O

−_π

π

−^π₂

π 2

5 Hàm sốy=cotx

Hàm số y = y = cotx có tập xác địnhD = R\ {_kπ,_k∈ _Z}, nghĩa là x 6= _kπ ⇒ hàm sốy =cot[f(x)]xác định⇔ f(x) 6=kπ; (k∈ _Z).

Tập giá trịT =_R.

Hàm sốy=_cotxlà hàm số lẻ vì f(−x) =_cot(−x) =−_cotx =−f(x)nên đồ thị của hàm số đối xứng qua gốc tọa độO.

Hàm sốy =y=cotxtuần hoàn với chu kìT₀ = _π ⇒y =cot(ax+b)tuần hoàn với chu kìT0= ^π

|a|^.

Hàm sốy=y=cotxnghịch biến trên các khoảng(kπ;π+kπ),k ∈_Z.

Hàm sốy =y=cotxnhận các giá trị đặc biệt

◦ cotx=1⇔x = ^π 4 +kπ

◦ cotx=−1⇔x =−^π 4 +kπ

◦ cotx=0⇔x = ^π 2kπ , k∈ _Z.

(29)

x y

O

−_π

π

−^π₂

π

−^3π₂ 2

3π 2

B CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP

{DẠNG 2.1. Tìm tập xác định của hàm số lượng giác

Phương pháp giải: Để tìm tập xác định của hàm số lượng giác ta cần nhớ:

1 y=tanf(x) = ^sin ^f(x)

cos f(x); Điều kiện xác định:cos f(x) 6=0⇔ f(x) 6= ^π

2 +kπ,(k∈ _Z). 2 y=cotf(x) = ^cos ^f(_x)

sin f(x); Điều kiện xác định:sin f(x)6=0 ⇔ f(x)6=kπ,(k ∈_Z). 3 Một số trường hợp tìm tập xác định thường gặp:

y = ¹

P(x), điều kiện xác định làP(x)6=0.

y = ²ⁿ^p_P(_x), điều kiện xác định làP(_x≥₀)_.

y = ¹

2np

P(x), điều kiện xác định làP(x) >0.

4 Lưu ý rằng:−1≤sin f(x); cosf(x) ≤1vàA·B6=0 ⇔

®A 6=0 B6=0.

5 Vớik∈ Z, ta cần nhớ những trường hợp đặc biệt:







sinx =₁ ⇔x = ^π

2 +k2π sinx =0 ⇔x =kπ sinx =−₁ ⇔x =−^π

2 +k2π







cosx =1⇔x =k2π cosx =0⇔x = ^π

2 +kπ cosx =−1 ⇔x =π+k2π







tanx=₁⇔ x= ^π 4 +kπ tanx=0⇔ x=kπ tanx=−₁⇔ x=−^π

4 +kπ







cotx =1⇔ x= ^π 4 +kπ cotx =0⇔ x= ^π

2 +kπ cotx =−1⇔ x=−^π

4 +kπ

(30)

VÍ DỤ 1. Tìm tập xác định của hàm số:y = f(x) = ^{sin 3x} tan²x−1 +

…2−cosx

1+_cosx. ĐS:

D =_R\ⁿ±^π

4 +kπ; π

2 +kπ;π+k2πo . L Lời giải

Điều kiện xác định của hàm số:











tan²x−1 6=0 cosx6=0 2−cosx 1+cosx ≥0 cosx6=−1.

Do−₁≤_cos_x≤₁nên ⇐

®1≤2−cosx≤3

0≤₁+_cosx≤₂. Từ đó suy ra:2−_cosx

1+cosx ≥_0,∀_x∈ _R.

Vậy hàm số xác định khi và chỉ khi











x6=±^π 4 +kπ x6= ^π

2 +kπ x6=π+k2π.

, nênD =_R\ⁿ±^π

4 +kπ; π

2 +kπ;π+k2πo .

VÍ DỤ 2. Tìm tập xác định của hàm số:y = f(x) =

√4π²−x²

cosx . ĐS:

D =ⁿ−_2π ≤_x ≤_2π;_x6= ^π

2 +kπo . L Lời giải

Điều kiện xác định của hàm số:

®4π²−_x² ≥₀ cosx6=0 ⇔







−2π ≤x ≤2π x 6= ^π

2 +kπ. . VậyD =ⁿ−2π ≤x≤2π;x 6= ^π

2 +kπo .

1

BÀI TẬP VẬN DỤNG

BÀI 1. Tìm tập xác định của các hàm số lượng giác sau:

y=cos 4

x. ĐS:D =R\ {₀}.

1 cos√

2x. ĐS:D = [0;+∞). 2

y= ¹+cosx

sinx ĐS:D =_R\ {kπ}.

3 y = ^{tan 2x}

1+cos²x. ĐS:D =_R\ ßπ

4 + ^kπ 2

™ . 4

y= ^{tan 2x}

sinx−1. ĐS:

D =_R\ ßπ

4 +^kπ 2 ; π

2 +k2π

™ .

5 y =

…cosx+4

sinx+1. ĐS:

D =_R\ⁿ−^π

2 +k2πo . 6

y=

…cosx−2

1−sinx. ĐS:D =∅^. 7

Lời giải.

1 Điều kiện xác định:x6=0.

(31)

2 Điều kiện xác định:2x≥0⇔x ≥0.

3 Điều kiện xác định:sinx6=0⇔x 6=kπ.

4 Điều kiện xác định:cos 2x6=0⇔2x 6= ^π

2 +kπ ⇔ x6= ^π 4 +^kπ

2 .

5 Điều kiện xác định:

®cos 2x 6=0 sinx 6=1 ⇔





 x6= ^π

4 +^kπ 2 x6= ^π

2 +_k2π.







cosx+4 sinx+1 ≥0 sinx+16=0.

Do−1≤sinx; cosx ≤1nên cosx+4

sinx+1 ≥0;∀x∈ _R.

Vậy hàm số xác định khix 6=−^π

2 +k2π.







cosx−2 1−sinx ≥0 1−sinx6=0.

Do−1≤sinx; cosx ≤1nên cosx−2

1−sinx ≤0;∀x∈ _R.

Vậy tập xác định của hàm số là:∅^.

y=

√

π²−x²

sin 2x . ĐS:D =

ß

−π ≤ x≤π;x 6= ^kπ 2

™ . 1

y=√

π²−4x²+tan 2x. ĐS:D =

ß

−^π

2 ≤x ≤ ^π

2;x 6= ^π 4 + ^kπ

2

™ . 2

tan

2x− ^π 4

…

1−sin x− ^π

8

. ĐS:D =_R\

ß3π 8 +^kπ

2 ; 5π

8 +k2π

™ . 3

y=

tan x− ^π

4 1−_cos_x+^π 3

. ĐS:D =_R\

ß3π

4 +kπ;−^π

3 +k2π

™ . 4

Lời giải.

®

π²−x² ≥0 sin 2x 6=0 ⇔







−_π ≤ x≤_π x6= ^kπ

2 .

®

π²−_4x² ≥₀ cos 2x 6=0 ⇔







−^π

2 ≤x ≤ ^π 2 x6= ^π

4 +^kπ 2 .

(32)





 cos

2x−^π 4

6=0 1−sin

x−^π 8

>0

⇔





 cos

2x−^π 4

6=0 1−sin

x−^π 8

6=0

⇔







x 6= ^3π 8 + ^kπ

2 x 6= ^5π

8 +k2π.





 cos

x−^π 4

6=₀ 1−cos

x+^π 3

6=0

⇔







x6= ^3π 4 +kπ x6=−^π

3 +k2π.

2

BÀI TẬP TỰ LUYỆN

y=

…2+sinx

cosx+1. ĐS:D =_R\ {_π+k2π}

1 y = √ ^{cot 2x}

1−cos²x. ĐS:D =_R\ ßkπ

2

™ 2

y=

…1−sinx

1+cosx. ĐS:D =_R\ {π+k2π}

3 y =

√x

sinπx. ĐS:D = [0;+_∞)\_Z 4

y= ^{cos 2x}

1−sinx +tanx. ĐS:

D =_R\ⁿ^π

2 +kπo

5 y = ^x

2+1

xcosx. ĐS:D =_R\ⁿ^π

2 +kπ; 0o 6

y= √^{tan 2x}

sinx+1. ĐS:

D =_R\ ßπ

4 +^kπ 2 ;−^π

2 +k2π

™ 7

y=

1+_tan^π 4 −x

cosx−2 . ĐS:D =_R\ⁿ−^π

4 +kπo . 1

y=

√3−sin 4x

cosx+1 . ĐS:D =_R\ {π+k2π}.

2

y= ³

cosx−cos 3x. ĐS:D =_R\

ß

kπ; kπ 4

™ . 3

y=cot

2x+ ^π 3

·tan 2x. ĐS:D =_R\

ß

−^π 6 + ^kπ

2 ;π 4 + ^kπ

2

™ . 4

y=√

2+sinx− ¹

tan²x−1. ĐS:D =_R\ⁿ±^π

4 +kπo . 5

y= ⁴

sin²x−cos²x. ĐS:D =_R\

ßπ 4 + ^kπ

2

™ . 6

y=cot x+ ^π

6

+

…1+cosx

1−_cosx. ĐS:D =_R\ⁿ−^π

6 +kπ;k2πo . 7

y=

1+cotπ 3 +x tan²

3x−^π 4

. ĐS:D =_R\ ß

−^π

3 +kπ; π 12+ ^kπ

3 ;π 4 + ^kπ

3

™ . 8

(33)

{DẠNG 2.2. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số lượng giác

Phương pháp giải:

Dựa vào tập giá trị của hàm số lượng giác, chẳng hạn

◦ −1≤sinx ≤1⇒

"

0≤ |_sinx| ≤ ₁

0≤sin²x≤1 hoặc−1≤cosx ≤1⇒

"

0≤ |_cosx| ≤₁ 0≤cos²x ≤1.

◦Biến đổi đưa về dạngm≤_y ≤_M.

Kết luận:maxy= Mvàminy=m.

1

VÍ DỤ

VÍ DỤ 1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) = 4

p5−_{2 cos}²xsin²x. ĐS:miny= ⁴

√5

5 ,maxy = ⁴

√2 3 L Lời giải

Ta có

y = f(x) = _p ⁴

5−2 cos²xsin²x = _… ⁴ 5−¹

2(2 cosxsinx)²

= _… ⁴ 5−¹

2sin²2x .

Do0≤_sin²_2x ≤₁nên5≥₅−¹

2sin²2x ≥ ⁹

2. Suy ra 4√ 5

5 ≤_y= _… ⁴

5−¹

2sin²2x

≤ ⁴

√2 3 .

◦y = ⁴

√5

5 khisin 2x =0, luôn tồn tạixthỏa mãn, chẳng hạn x=0.

◦y = ⁴

√2

3 khisin 2x =1hoặcsin 2x =−1, luôn tồn tạixthỏa mãn, chẳng hạnx= ^π 4. Vậyminy = ⁴

√5

5 vàmaxy= ⁴

√2

3 .

VÍ DỤ 2. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của f(x) = 3 sin²x+5 cos²x−4 cos 2x−2.

ĐS:miny=−1,maxy=5 L Lời giải

Ta có

f(x) = 3 sin²x+5 cos²x−4 cos 2x−2

= 3

sin²x+cos²x

+2 cos²x−4

2 cos²x−1

−2

= 5−6 cos²x.

Do0 ≤_cos²x≤₁nên5 ≥ f(x) = ₅−_{6 cos}²x≥ −1.

◦ f(x) =5khicosx=0, luôn tồn tạixthỏa mãn, chẳng hạnx = ^π 2.

◦ f(x) = −₁khicos²x =1, luôn tồn tạixthỏa mãn, chẳng hạnx=0.

Vậymaxf(x) =5vàmin f(x) = −1.

(34)

VÍ DỤ 3. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của f(_x) = _sin⁶_x+_cos⁶_x+2, ∀_x ∈ h−^π

2;π 2

i. ĐS:miny = ⁹

4,maxy=₃ L Lời giải

Ta có

f(x) = _sin⁶x+_cos⁶x+₂=_sin²x+_cos²x3

−_{3 sin}²xcos²x

sin²x+_cos²x +₂

= ₁−³

4(_{2 sin}xcosx)²+₂=₃−³

4sin²2x.

Do0 ≤sin²2x≤1nên3≥ f(x) ≥ ⁹ 4.

◦ f(x) =3khisin 2x=0⇔ x=±^π

2 hoặcx =0

dox ∈ ^h−^π 2; π

2 i

.

◦ f(x) = ⁹

4 khisin²2x=1⇔ x=±^π 4

dox∈ ^h−^π 2; π

2 i. Vậymaxf(x) =₃vàmin f(x) = ⁹

4.

2

BÀI TẬP ÁP DỤNG

BÀI 1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số lượng giác sau:

y=5√

3+cos 2x+4 ĐS:miny =5√

2+4,maxy=14 1

y=√

1−cos 4x ĐS:miny =0,maxy=√

2 2

y=3 sin²2x−4 ĐS:miny =−4,maxy=−1

3

y=4−5 sin²2xcos²2x ĐS:miny= ¹¹

4 ,maxy=4 4

y=3−2|sin 4x| ĐS:miny =1,maxy=3

5

Lời giải.

Do−1≤cos 2x ≤1nên2≤3+cos 2x≤4. Suy ra5√

2+4≤y=5√

3+cos 2x+4≤14.

◦y =5√

2+4khicos 2x=−1, luôn tồn tạixthỏa mãn, chẳng hạnx= ^π 2.

◦y =14khicos 2x=1, luôn tồn tạixthỏa mãn, chẳng hạnx=0.

Vậyminy =5√

2+4vàmaxy=14.

1

Do−₁≤cos 4x ≤₁nên√

2≥y =√

1−cos 4x ≥0.

◦y =√

2khicos 4x=−1, luôn tồn tạixthỏa mãn, chẳng hạnx= ^π 4.

◦y =0khicos 4x=1, luôn tồn tạixthỏa mãn, chẳng hạnx=0.

Vậymaxy=√

2vàminy =0.

2

(35)

Do0≤sin²2x≤1nên−4≤y=3 sin²2x−4≤ −1.

◦y =−4khisin 2x=0, luôn tồn tạixthỏa mãn, chẳng hạnx=0.

◦y =−1khisin²2x =1, luôn tồn tạixthỏa mãn, chẳng hạnx = ^π 4. Vậyminy =−4vàmaxy =−1.

3

Ta có

y=4−5 sin²2xcos²2x=4− ⁵

4(2 sin 2xcos 2x)² =4−⁵

4sin²2x.

Do0≤sin²2x≤1nên4≥y≥ ¹¹ 4 .

◦y =4khisin 2x=0, luôn tồn tạixthỏa mãn, chẳng hạnx=0.

◦y = ¹¹

4 khisin²2x=1, luôn tồn tạixthỏa mãn, chẳng hạnx= ^π 4. Vậymaxy=₄vàminy = ¹¹

4 . 4

Do0≤ |sin 4x| ≤1nên3 ≥y =3−2|sin 4x| ≥ 1.

◦_y =3khisin 4x=0, luôn tồn tạixthỏa mãn, chẳng hạnx=0.

◦y =1khi|sin 4x|=1, luôn tồn tạixthỏa mãn, chẳng hạnx = ^π 8. Vậymaxy=3vàminy =1.

5

BÀI 2. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số lượng giác sau:

y=−sin²x−cosx+2 ĐS:miny= ³ 4, maxy=3

1 y =sin⁴x−2 cos²x+1 ĐS:miny=−1,

maxy =2 2

y=cos²x+2 sinx+2 ĐS:miny=0, maxy=4

3 y =sin⁴x+cos⁴x+4 ĐS:miny = ⁹

2, maxy =5

4

y=^p2−cos 2x+sin²x ĐS:miny=1, maxy=₂

5 y =sin⁶x+cos⁶x ĐS:miny = ¹

4, maxy =1

6

y=sin 2x+√

3 cos 2x+4 ĐS:miny=2, maxy=6

7

Lời giải.

(36)

Ta có

y=−sin²x−cosx+2=−1−cos²x

−cosx+2=cos²x−cosx+1 =

cosx−¹ 2

2

+³ 4. Do−1≤cosx≤1nên−³

2 ≤cosx−¹ 2 ≤ ¹

2. Suy ra0≤

cosx−¹ 2

2

≤ ⁹ 4 ⇔ ³

4 ≤y ≤3.

◦y = ³

4 khicosx = ¹

2, luôn tồn tạixthỏa mãn, chẳng hạnx = ^π 3.

◦_y =3khicosx=−1, luôn tồn tạixthỏa mãn, chẳng hạnx=π.

Vậyminy = ³

4 vàmaxy=3.

1

Ta có

y=sin⁴x−2 cos²x+1=sin⁴x−2

1−sin²x

+1 =sin⁴x+2 sin²x−1 =sin²x+12

−2.

Do0≤sin²x≤1nên1≤sin²x+1≤2.

Suy ra1≤ _sin²x+₁² ≤₄⇔ −₁≤y≤2.

◦y =−1khisinx=0, luôn tồn tạixthỏa mãn, chẳng hạnx=0.

◦y =2khisin²x =1, luôn tồn tạixthỏa mãn, chẳng hạnx = ^π 2. Vậyminy =−1vàmaxy =2.

2

Ta có

y=cos²x+2 sinx+2=1−sin²x

+2 sinx+2 =−sin²x+2 sinx+3=4−(sinx−1)². Do−₁≤_sinx ≤₁nên−₂≤_sinx−₁≤0.

Suy ra0≤(sinx−1)² ≤4⇔4 ≥y ≥0.

◦y =4khisinx=1, luôn tồn tạixthỏa mãn, chẳng hạnx= ^π 2.

◦_y =0khisinx=−1, luôn tồn tạixthỏa mãn, chẳng hạnx=−^π 2. Vậymaxy=4vàminy =0.

3

Ta có

y=sin⁴x+cos⁴x+4=sin²x+cos²x2

−2 sin²xcos²x+4 =1−¹

2(2 sinxcosx)²+4=5−¹

2sin²2x.

Do0≤sin²2x≤1nên5≥y≥ ⁹ 2.

◦y =5khisin 2x=0, luôn tồn tạixthỏa mãn, chẳng hạnx=0.

◦y = ⁹

2 khisin²2x=1, luôn tồn tạixthỏa mãn, chẳng hạnx= ^π 4. Vậymaxy=5vàminy = ⁹

2. 4

(37)

Ta có

y² =2−cos 2x+sin²x =2−1−2 sin²x

+sin²x =3 sin²x+1⇒y =

»

3 sin²x+1.

Do0≤_sin²x≤₁nên1≤_{3 sin}²x+₁≤4.

Suy ra1≤y≤2.

◦y =1khisinx=0, luôn tồn tạixthỏa mãn, chẳng hạnx=0.

◦y =2khisin²x =1, luôn tồn tạixthỏa mãn, chẳng hạnx = ^π 2. Vậyminy =1vàmaxy =2.

5

Ta có

y = sin⁶x+cos⁶x =sin²x+cos²x3

−3 sin²xcos²x

sin²x+cos²x

= 1−³

4(2 sinxcosx)² =1−³

4sin²2x.

Do0≤sin²2x ≤1nên1≥y ≥ ¹ 4.

◦y =1khisin 2x=0⇔x =0hoặcx =±^π 2

dox ∈ ^h−^π 2;π

2 i

.

◦y = ¹

4 khisin²2x=1⇔x =±^π 4

dox ∈ ^h−^π 2; π

2 i. Vậymaxy=1vàminy = ¹

4. 6

Ta có y 2 = ¹

2sin 2x+

√3

2 cos 2x+2 =cosπ

3 −2x

+2⇒ y=2 cosπ

3 −2x +4.

Do−1≤cosπ

3 −2x

≤1nên2≥y ≥6.

◦y =2khicosπ

3 −2x

=−1, luôn tồn tạixthỏa mãn, chẳng hạnx= −π 3 .

◦y =6khicosπ

3 −2x

=1, luôn tồn tạixthỏa mãn, chẳng hạnx= ^π 6. Vậyminy =₂vàmaxy =6.

7

BÀI 3. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số lượng giác sau

y=sin 2x,∀x ∈ ^h0;π 2 i

ĐS:miny =0,maxy=1 1

y=cos x+^π

3

,∀x ∈

−^2π 3 ; 0

ĐS:miny= ¹

2,maxy=1 2

y=sin

2x+^π 4

,∀x ∈ ^h−^π 4; π

4 i

ĐS:miny=−

√2

2 ,maxy=1 3

Lời giải.

(38)

Dox ∈ ^h0; π 2 i

nên2x ∈ [0;π]. Suy ra0≤y =sin 2x ≤1

◦y =0khix =0hoặcx = ^π 2.

◦y =6khix = ^π 4.

Vậyminy =0vàmaxy =1.

1

Dox ∈

−^2π 3 ; 0

nênx+ ^π

3 ∈ ^h−^π 3;π

3

i. Suy ra 1

2 =_cos^π

3 ≤y =_cosx+ ^π 3

≤₁

◦y = ¹

2 khix=−^2π

3 hoặcx =0.

◦y =1khix =−^π 3. Vậyminy = ¹

2 vàmaxy=1.

2

Dox ∈ ^h−^π 4; π

4

i nên2x+^π 4 ∈

−^π 4; 3π

4

. Suy ra−

√2

2 ≤y=sin

2x+^π 4

≤1.

◦y =−

√2

2 khix=±^π 4.

◦y =1khix =−^π 8. Vậyminy =−

√2

2 vàmaxy=1.

3

BÀI TẬP RÈN LUYỆN

y=^p4−2 sin⁵2x−8 ĐS:miny =−8+√

2,maxy=−8+√ 6 1

y=y = ⁴

1+3 cos²x ĐS:miny =1,maxy=4

2

y= _p ⁴

5−_{2 cos}²xsin²x ĐS:miny =,maxy=

3

y=

√2

p4−2 sin²3x ĐS:miny= √¹

2,maxy=1 4

y= ³

3−√

1−cosx ĐS:miny=1,maxy= ⁹−3√

2 5 7

4

…

2−cos x− ^π

6

+3

ĐS:miny=−²

√6

3 ,maxy=₂ 6

y= √ ²

3 sin 2x+cos 2x ĐS:miny =−1,maxy=1

7

(39)

y=cos²x+2 cos 2x ĐS:miny =−2,maxy=3 1

y=2 sin²x−cos 2x ĐS:miny =−1,maxy=3

2

y=2 sin 2x(sin 2x−4 cos 2x) ĐS:miny =1−√

17,maxy=1+√ 17 3

y=3 sin²x+5 cos²x−4 cos 2x ĐS:miny =1,maxy=7 4

y=4 sin²x+√

5 sin 2x+3 ĐS:miny =2,maxy=8

5

y= (2 sinx+cosx)(3 sinx−cosx) ĐS:miny =5−⁵

√2

2 ,maxy=5+⁵

√2 6 2

y=sinx+cosx+2 sinxcosx−1 ĐS:miny=−⁹

4,maxy=√ 2 7

y=1−(sin 2x+cos 2x)³ ĐS:miny =1−2√

2,maxy=1+2√ 2 8

y=|5 sinx+12 cosx−10| ĐS:miny =0,maxy=23

9

y=2 sinx+√

2 sinπ 4 −x

−1 ĐS:miny =−1−√

2,maxy=−1+√ 2 10

y=2

cos 2x+cos

2x+^2π 3

+3 ĐS:miny =1,maxy=5 11

BÀI 6. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số lượng giác sau y=sin⁴x+cos⁴x,∀x∈ ^h0;π

6

i ĐS:miny= ⁵

8,maxy=1 1

y=2 sin²x−cos 2x,∀x ∈^h0; π 3 i

ĐS:miny =−1,maxy=2 2

y=cot x+ ^π

4

, ∀x∈

−^3π 4 ;−^π

4

ĐS:miny =−_∞,maxy=0 3

{DẠNG 2.3. Xét tính chẵn lẻ của hàm số lượng giác

Phương pháp giải

Bước 1.Tìm tập xác địnhDcủa hàm số lượng giác.

Nếu∀x∈ Dthì−x∈ D ⇒Dlà tập đối xứng và chuyển sang bước 2.

Bước 2.Tính f(−x), nghĩa là sẽ thayxbằng−x, sẽ có 2 kết quả thường gặp sau – Nếu f(−x) = f(x) ⇒ f(x)là hàm số chẵn.

– Nếu f(−x) =−f(x) ⇒ f(x)là hàm số lẻ.

!

Nếu không là tập đối xứng (∀x ∈ D ⇒ −x ∈/ D) hoặc f(−x)không bằng f(x) hoặc

−f(x)ta sẽ kết luận hàm số không chẵn, không lẻ.

Ta thường sử dụng cung góc liên kết dạng cung đối trong dạng toán này, cụ thể cos(−a) = cosa,sin(−a) =−sina,tan(−a) =−tana,cot(−a) = −cota.

(40)

1

VÍ DỤ

VÍ DỤ 1. Xét tính chẵn lẻ của hàm số

f(x) = _sin²2x+cos 3x ĐS: f(x)là hàm số chẵn

1 f(x) =_cos√

x²−₁₆ _ĐS: f(x)là hàm số chẵn

2

L Lời giải

Tập xác địnhD =_R.

∀x ∈R⇒ −x ∈ D =Rnên ta xét

f(−x) =sin²(−2x) +cos(−3x) = sin²2x+cos 3x = f(x). Vậy f(x)là hàm số chẵn.

1

Tập xác địnhD = (−_∞;−4]∪[4;+_∞).

∀x ∈(−_∞;−4]∪[4;+_∞)⇒

"

x∈ (−_∞;−4] x∈ [4;+_∞) ⇒

"

−x ∈ [4;+_∞)

−x ∈ (−_∞;−4] ⇒ −x∈ D Xét f(−x) =cosp

(−x)²−16=cos√

x²−16= f(x). Vậy f(_x)là hàm số chẵn.

2

BÀI TẬP ÁP DỤNG

BÀI 1. Xét tính chẵn lẻ của các hàm số sau

y= f(x) =tanx+cotx ĐS: f(x)là hàm số lẻ

1

y= f(x) =tan⁷2x·_{sin 5x} _ĐS: _f(x)là hàm số chẵn 2

y= f(x) =sin

2x+^9π 2

ĐS: f(x)là hàm số chẵn 3

Lời giải.

Tập xác địnhD =_R\ ßkπ

2 : k ∈_Z

™ .

∀x ∈_R\ ßkπ

2 : k ∈_Z

™

⇒x 6= ^kπ

2 ⇒ −x 6=−^kπ

2 ⇒ −x ∈ D Xét f(−x) =tan(−x) +cot(−x) = −tanx−cotx=−f(x). Vậy f(x)là hàm số lẻ.

1

Tập xác địnhD =_R\ ßπ

4 + ^kπ

2 : k∈ _Z

™ .

∀x ∈ _R\ ßπ

4 + ^kπ

2 : k∈ _Z

™

⇒ x 6= ^π 4 + ^kπ

2 ⇒ −x 6= −^π 4 − ^kπ

2 = ^π

4 + −(k+1)_π

2 ⇒

−x ∈ D

Xét f(−x) =tan⁷(−2x)·sin(−5x) = −tan⁷2x

·(−sin 5x) =tan⁷2x·sin 5x = f(x). Vậy f(x)là hàm số chẵn.

2

(41)

Tập xác địnhD =_R.

∀x ∈_R⇒ −x ∈ _Rnên ta xét f(−x) =_sin

−2x+^9π 2

=_sin

−2x−^9π 2 +_9π

=−_sin

−2x−^9π 2

=_sin

2x+^9π 2

= f(x)_. Vậy f(x)là hàm số chẵn.

3

BÀI TẬP RÈN LUYỆN

BÀI 2. Xét tính chẵn lẻ của các hàm số sau y= f(x) = −_{2 cos}³3x+^π

2

ĐS: f(x)là hàm số lẻ.

1

y= f(x) =sin³(3x+5π) +cot(2x−7π) ĐS: f(x)là hàm số lẻ.

2

y= f(x) =cot(4x+5π)tan(2x−3π) ĐS: f(x)là hàm số chẵn.

3

y= f(x) =sin√

9−x² ĐS: f(x)là hàm số chẵn.

4

y= f(x) =sin²2x+cos 3x ĐS: f(x)là hàm số chẵn.

5

BÀI 3. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

A PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN

Vớik∈ Z, ta có các phương trình lượng giác cơ bản sau sina =sinb ⇔

"

a=b+k2π a=π−b+k2π.

cosa=_cosb ⇔

"

a =b+k2π a =−b+k2π.

tanx=tanb ⇔a =b+kπ.

cotx =_cotb ⇔a =b+kπ.

Nếu đề bài cho dạng độ(_α^◦)thì ta sẽ chuyểnk2π →_k360^◦,kπ →_k180^◦, vớiπ =₁₈₀^◦. Những trường hợp đặc biệt

sinx =1⇔x = ^π

2 +k2π.

sinx =0⇔x =kπ.

sinx =−1⇔x =−^π

2 +k2π.

tanx =0⇔x =kπ.

tanx =1⇔x = ^π 4 +kπ.

tanx =−1⇔x =−^π 4 +kπ.

cosx=1⇔ x=k2π.

cosx=₀⇔ x= ^π 2 +kπ.

cosx=−₁⇔ x=_π+k2π.

cotx =₀⇔ x= ^π 2 +kπ.

cotx =1⇔ x= ^π 4 +kπ.

cotx =−1⇔ x=−^π 4 +kπ.

(42)

1

VÍ DỤ

VÍ DỤ 1. Giải các phương trình

1 sin 2x =−¹

2. ĐS:







x =−^π 12 +kπ x =−^7π

12 +kπ

(k∈ _Z)

2 cos x− ^π

3

=−1. ĐS:x = ^4π

3 +k2π(k∈ _Z) 3 tan(2x−30^◦) = √

3. ĐS: x=45^◦+k90^◦(k∈ _Z)

4 cot(x−^π

3) = 1. ĐS:x = ^7π

12 +kπ(k∈ _Z) L Lời giải

1 sin 2x =−¹ 2 ⇔







2x =−^π

6 +k2π 2x =−^7π

6 +k2π

⇔







x =−^π 12 +_kπ x =−^7π

12 +kπ

(k∈ _Z).

2 cos x−^π

3

=−₁⇔x− ^π

3 =_π+k2π ⇔x = ^4π

3 +k2π(k ∈_Z). 3 tan(2x−30^◦) =√

3⇔2x−30^◦ =60^◦+k180^◦ ⇔x =45^◦+k90^◦ (k ∈_Z). 4 cot

x−^π 3

=1⇔ x−^π<