Kiến thức và bài tập trắc nghiệm đường elip - THI247.com

(1)

CHUYÊN ĐỀ 5 ELIP

§5. ĐƯỜNG ELIP A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1)Định nghĩa: Cho hai điểm cố định F F₁, ₂ với F F_{1 2} 2c c 0 và hằng số a c. Elip(E) là tập hợp các điểm M thỏa mãn MF₁ MF₂ 2a.

Các điểm F F₁, ₂ là tiêu điểm của (E). Khoảng cách F F_{1 2} 2c là tiêu cự của (E). MF MF₁, ₂ được gọi là bán kính qua tiêu.

2) Phương trình chính tắc của elip:

Với F₁ c;0 ,F c₂ ;0 :

2 2

; x y 1 1

M x y E

a b trong đó b² a² c²

(1) được gọi là phương trình chính tắc của (E) 3) Hình dạng và tính chất của elip:

Elip có phương trình (1) nhận các trục tọa độ là trục đối xứng và gốc tọa độ làm tâm đối xứng.

+ Tiêu điểm: Tiêu điểm trái F₁ c;0 , tiêu điểm phải F c₂ ;0 + Các đỉnh : A₁ a;0 ,A a₂ ;0 , B₁ 0; b , B₂ 0;b

+ Trục lớn : AA_{1 2} 2a, nằm trên trục Ox; trục nhỏ :B B_{1 2} 2b, nằm trên trục Oy + Hình chữ nhật tạo bởi các đường thẳng x a y, b gọi là hình chữ nhật cơ sở.

+ Tâm sai : c 1 e a

+ Bán kính qua tiêu điểm của điểm M x y_M; _M thuộc (E) là:

₁ _M c _M, ₂ _M c _M

MF a ex a x MF a ex a x

a a

Câu 1. Khái niệm nào sau đây định nghĩa về elip?

A. Cho điểm F cố định và một đường thẳng  cố định không đi qua F. Elip

( )

^E là tập hợp các điểm M sao cho khoảng cách từ M đến F bằng khoảng cách từ M đến .

B. Cho F F₁, ₂ cố định với F F1 2=2 , c

(

c0

)

. Elip

( )

^E là tập hợp điểm M sao cho

1 2 2

MF −MF = a với a là một số không đổi và ac.

C.Cho F F₁, ₂ cố định với F F1 2=2 , c

(

c0

)

và một độ dài 2akhông đổi

(

^a^c

)

. Elip

( )

^E ^là

tập hợp các điểm M sao cho M

( )

P MF1+MF2=2a. D. Cả ba định nghĩa trên đều không đúng định nghĩa của Elip.

Lời giải Chọn C

Chương 3

x y

A

1

B

1

F

1

O F

2

B

2

A

2

M

Hình 3.3

(2)

Định nghĩa về Elip là: Cho F F₁, ₂ cố định với F F1 2=2 , c

(

c0

)

và một độ dài 2akhông đổi

(

^a^^c

)

^{. Elip}

( )

^E là tập hợp các điểm M sao cho M

( )

P MF1+MF2=2a. Câu 2. Dạng chính tắc của Elip là

A.

2 2

2 2 1

x y

a +b = . B.

2 2

2 2 1

x y

a −b = . C.y²=2px. D.y=px². Lời giải

Chọn A

Dạng chính tắc của Elip là

2 2

2 2 1

x y

a +b = . (Các bạn xem lại trong SGK).

Câu 3. Cho Elip

( )

^E có phương trình chính tắc là

2 2

2 2 1

x y

a +b = , với a b 0. Khi đó khẳng định nào sau đây đúng?

A. Nếu c² =a²+b² thì

( )

^E có các tiêu điểm là F c1

( )

;0 , F2

(

−c;0

)

. B. Nếu c² =a² +b² thì

( )

^E có các tiêu điểm là F1

( )

0;c , F2

(

0;−c

)

. C. Nếu c² =a²−b² thì

( )

^E có các tiêu điểm là F c1

( )

;0 , F2

(

−c;0

)

. D. Nếu c² =a²−b² thì

( )

^E có các tiêu điểm là F₁

( )

0;c , F₂

(

0;−c

)

.

Lời giải Chọn C.

Xem lại sách giáo khoA.

( )

2 2

2 2 1

x y

a +b = , với a b 0. Khi đó khẳng định nào sau đây đúng?

A. Với c² =a²−b²

(

^c^⁰

)

, tâm sai của elip là e ^c

= a. B. Với c² =a²−b²

(

c0

)

, tâm sai của elip là e ^a

= c. C. Với c² =a²−b²

(

^c^⁰

)

, tâm sai của elip là e ^c

= −a. D. Với c² =a²−b²

(

c0

)

= −c. Lời giải Chọn A

Xem kiến thức sách giáo khoA.

( )

2 2

2 2 1

x y

a +b = , với a b 0. Khi đó khẳng định nào sau đây sai?

A. Tọa độ các đỉnh nằm trên trục lớn là A a₁

( )

;0 , A₁

(

−a;0

)

. B. Tọa độ các đỉnh nằm trên trục nhỏ là B₁

( )

0;b , A₁

(

0;−b

)

. C. Với c² =a²−b²

(

c0

)

, độ dài tiêu cự là 2c.

D. Với c² =a²−b²

(

^c^⁰

)

= c. Lời giải Chọn D.

Với c² =a²−b²

(

c0

)

= c.

(3)

( )

2 2

2 2 1

x y

a +b = , với a b 0 và c² =a²−b²

(

^c^⁰

)

^.

Khi đó khẳng định nào sau đây đúng?

A. Với M x

(

M^;yM

) ( )

 E và các tiêu điểm là F1

(

−c;0 ,

) ( )

F c2 ;0 thì MF₁ a ^{c x}^. ^M

= + a ,

2

. _M MF a c x

= + a .

B. Với M x

(

M^;yM

) ( )

(

−c;0 ,

) ( )

F c2 ;0 thì MF₁ a ^{c x}^. ^M

= − a ,

2

. _M MF a c x

= + a .

C. Với M x

(

M^;yM

) ( )

(

−c;0 ,

) ( )

F c2 ;0 thì MF₁ a ^{c x}^. ^M

= − a ,

2

. _M MF a c x

= − a .

D. Với M x

(

M^;yM

) ( )

(

−c;0 ,

) ( )

F c2 ;0 thì MF₁ a ^{c x}^. ^M

= + a ,

2

. _M MF a c x

= − a .

Lời giải Chọn B

Xem lại kiến thức sách giáo khoA.

( )

2 2

2 2 1

x y

a +b = , với a b 0 và c² =a²−b²

(

c0

)

. Khi đó khẳng định nào sau đây đúng?

A. Các đường chuẩn của

( )

^E ^là 1: a 0 x e

 + = và ₂: a 0 x e

 − = , với (e là tâm sai của

( )

^E ^).

B. Elip

( )

^E có các đường chuẩn là ₁: a 0 x e

 + = , ₂: a 0 x e

 − = và có các tiêu điểm là

( ) ( )

1 ;0 , 2 ;0

F −c F c thì

( 1) ( 2)

1 2

; ;

1

M M

MF MF

d _ = d _  .

C. Elip

( )

 + = , ₂: a 0 x e

 − = và có các tiêu điểm là

( ) ( )

1 ;0 , 2 ;0

F −c F c thì

( 1) ( 2)

1 2

; ;

M M

MF MF a

d _ =d _ = c .

D. Elip

( )

 + = , ₂: a 0 x e

 − = , các tiêu điểm là

( ) ( )

1 ;0 , 2 ;0

F −c F c và

( 1) ( 2)

1 2

; ;

1

M M

MF MF

d _ =d _ = .

Lời giải Chọn A.

Xem lại sách giáo khoA.

Câu 8. Cho elíp

( )

:x²2 y2² 1

E a +b = và đường thẳng :Ax+By C+ =0.Điều kiện cần và đủ để đường thẳng  tiếp xúc với elíp

( )

^E ^là

A.a A² ²+b B² ² =C². B.a A² ²−b B² ² =C². C.−a A² ²+b B² ² =C² D.^{b B}² ² ⁼^{a A}² ²⁺^C²

Lời giải

(4)

Chọn A.

Lý thuyết.

Câu 9. Elip (E):

2 2

25 9 1 x y

+ = có tâm sai bằng bao nhiêu?

A.4

5. B.5

4. C.5

3. D.3

5. Lời giải

Chọn A.

Phương trình chính tắc của elip có dạng

( )

: x²2 y2² 1

(

, 0

)

E a b

a +b =  .

2 2

2 2 2

25 9 a b

c a b

 =

 =

 = −



5 3 4 a b c

 =

 =

 = Vậy tâm sai của Elip 4

5 e c

= =a Câu 10. Đường Elip

2 2

16 7 1 x y

+ = có tiêu cự bằng :

A.3 . B.6 . C. 9

16. D.6

7. Lời giải

Chọn B.

( )

: x²2 y2² 1

(

, 0

)

E a b

a +b =  .

2 2

2 2 2

16 7 a b

c a b

 =

 =

 = −



4 7 3 a b c

 =

 =

 = .

Vậy: Tiêu cự của Elip F F_{1 2}=2c=2.3 6= .

Câu 11. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho elip

( )

^E có độ dài trục lớn bằng 12 và độ dài trục bé bằng 6. Phương trình nào sau đây là phương trình của elip

( )

^E

A.

2 2

144 36 1

x + y = . B.

2 2

9 36 1

x + y = . C.

2 2

36 9 1

x + y = . D.

2 2

144 36 0 x + y = . Lời giải

Chọn C.

( )

: x²2 y2² 1

(

, 0

)

E a b

a +b =  . Ta có a=6, b=3, vậy phương trình của Elip là:

2 2

36 9 1 x + y = . Câu 12. Tìm phương trình chính tắc của Elip có tâm sai bằng 1

3 và trục lớn bằng 6 . A.

2 2

9 + 3 =1 x y

. B.

2 2

9 + 8 =1 x y

. C.

2 2

9 + 5 =1 x y

. D.

2 2

6 + 5 =1 x y

. Lời giải

Chọn B.

Phương trình chính tắc của Elip có dạng x²2 + y²2 =1

(

 0

)

a b

a b .

(5)

Theo giả thiết: 1 1

3 3

e c

=  =a  =a 3c và 2a=  =6 a 3 =c 1 Khi đó: a² =b²+c² 3² =b²+1b² =8 =b 2 2

Vậy phương trình chính tắc của Elip là:

2 2

9 + 8 =1 x y

.

Câu 13. Tìm phương trình chính tắc của Elip có một đường chuẩn là x+ =4 0 và một tiêu điểm là

(

⁻^1;0

)

^.

A.

2 2

4 + 3 =1 x y

. B.

2 2

16x +15y =1

. C.

2 2

16x + y9 =0

. D.

2 2

9 + 8 =1 x y

. Lời giải

Chọn B.

Phương trình chính tắc của Elip có dạng x²2 + y²2 =1

(

 0

)

a b

a b .

Theo giả thiết: Elip có một đường chuẩn là x+ =4 0 nên a=4 và một tiêu điểm là điểm

(

⁻^1;0

)

^nên^c⁼¹^{. Do đó:}^b⁼ ^a²⁻^c² ⁼ ¹⁵^.

2 2

16x +15y =1 .

Câu 14. Tìm phương trình chính tắc của Elip có tiêu cự bằng 6 và đi qua điểm ^A

( )

^0;5 ^.

A.

2 2

100x +81y =1

. B.

2 2

34x +25y =1

. C.

2 2

25x + y9 =1

. D.

2 2

25x −16y =1 . Lời giải

Chọn B.

Phương trình chính tắc của elip có dạng x²2 y2² 1

(

, 0

)

a +b = a b .

Theo giả thiết:2c=  =6 c 3. Vì ^A

( ) ( )

^0;5 ^ ^E nên ta có phương trình: 0²₂ 5²₂

1 5

+ =  =b

a b .

Khi đó: a² =b² + c² a² = +5² 3² a²=34 =a 34. Vậy phương trình chính tắc của Elip là:

2 2

34x +25y =1 .

Câu 15. Cho Elip có phương trình : 9x²+25y²=225. Lúc đó hình chữ nhật cơ sở có diện tích bằng

A.15. B.40. C.60. D.30.

2 2

9 25 225 1

25 9 x y x + y =  + = .

Từ đây, ta được a=5, b=3. Diện tích hình chữ nhật cơ sở là S=2 .2a b=60.

( )

^: ² ² ¹

16 9

x y

E + = . Với M là điểm bất kì nằm trên

( )

^E , khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng ?

A.4OM 5. B.OM 5. C.OM 3. D.3OM4.

Lời giải Chọn D.

Từ

( )

^: ² ² ¹

16 9

x y

E + = , suy ra a=4,b=3.

Với một điểm bất kì trên

( )

^E , ta luôn có bOM   a 3 OM 4.

Câu 17. Tìm phương trình chính tắc của Elip có trục lớn gấp đôi trục bé và có tiêu cự bằng 4 3

(6)

A.

2 2

36x + y9 =1

. B.

2 2

36x +24y =1

. C.

2 2

24x + y6 =1

. D.

2 2

16x + y4 =1 . Lời giải

Chọn D.

Phương trình chính tắc của Elip có dạng ^x²₂ ⁺ ^y²₂ ⁼¹

(

^a^{ }^b ⁰

)

a b .

Theo giả thiết: 2a=2.2b =a 2bvà 2c=4 3 =c 2 3

Khi đó: ^a² ⁼^b²⁺^c² ^

( )

²^b ² ⁼^b²⁺¹² ^³^b²⁻¹²⁼⁰ ^{ =}^b ²^{ =}^a ⁴^.

2 2

16x + y4 =1 . Câu 18. Cho elip

( )

^E ^:^x² ⁺⁴^y² ⁼¹ và cho các mệnh đề:

( )

^I

( )

^E có trục lớn bằng 4

( )

^II

( )

^E có trục nhỏ bằng 1

( )

^III

( )

^E có tiêu điểm ₁ 3 0; 2 F  

 

 

( )

^IV

( )

^E có tiêu cự bằng 3 Trong các mệnh đề trên, tìm mệnh đề đúng?

A.

( )

^I ^. ^B.

( )

^II ^và

( )

^IV ^. ^C.

( )

^I ^và

( )

^III ^. ^D.

( )

^IV ^.

Lời giải Chọn B.

( )

^: ² ⁴ ² ¹ ² ₁² ¹

1 4 E x + y =  x + y =

2

1 1 4 a b

 =

  =

1 1 2 a b

 =

 

 =

2 2 3

c a b 2

 = − = .

Vậy,

( )

^E có trục lớn bằng 2a=2, có trục nhỏ bằng 2b=1, có tiêu điểm ₁ 3 2 ;0 F 

− 

 

 , có tiêu cự bằng 2c= 3.

Câu 19. Phương trình chính tắc của Elip có trục lớn gấp đôi trục bé và đi qua điểm ^A

(

^{2; 2}⁻

)

^là

A.

2 2

24 6 1.

x y

+ = B.

2 2

36 9 1.

x y

+ = C.

2 2

16 4 1.

x y

+ = D.

2 2

20 5 1.

x y + = Lời giải

Chọn D.

Phương trình chính tắc của elip có dạngx²2 y2² 1

(

, 0

)

a +b = a b . Theo đề bài, ta được hệ

2 2

2

4 4

1 a b a b

 =

 + =



2 2

4

4 4

1

a b

 =

  + =

2 2

2

4

5 1

a b

b

 =

  =

2 2

20 5 a b

 =

  = . Suy ra:

( )

^: ² ² ^1.

20 5

x y

E + =

Câu 20. Đường thẳng nào dưới đây là 1 đường chuẩn của Elip

2 2

20 15 1 x y

+ =

A.x+4 5=0. B.x− =4 0. C.x+ =2 0. D.x+ =4 0. Lời giải

Chọn A.

Ta có:

2 2

20 15 1 x + y = .

(7)

2 2

2 2 2

20 15 a b

c a b

 =

 =

 = −



2 5 15 5 a b c

 =

 =

 =

Vậy đường chuẩn của Elip

2 2

20 15 1 x y

+ = là

2 20

4 5 4 5 0

5

a a a

x x

e c c

a

=  =  =  =  =    =

( )

^: ² ² ¹

16 12 x y

E + = và điểm M nằm trên

( )

^E Nếu điểm M có hoành độ bằng 1 thì các khoảng cách từ M tới 2 tiêu điểm của

( )

^E ^{bằng :}

A.4 2. B.3 và 5 . C.3,5 và 4,5. D.4 ²

 2 . Lời giải

Chọn C.

Ta có:a=4;b= 12 =c 2.

Sử dụng công thức bán kính qua tiêu ₁ 1.2

4 3.5

MF = − 4 = , ₂ 1.2

4 4,5.

MF = + 4 = Câu 22. Cho elip

( )

^E ^: ² ² ¹

25 9

x + y = và cho các mệnh đề : (I)

( )

^E có tiêu điểm F1

(

– 3;0

)

và F2

(

3; 0

)

. (II)

( )

^E ^{có tỉ số} ⁴

5 c a = . (III)

( )

^E ^{có đỉnh}A1

(

–5; 0

)

.

(IV)

( )

^E có độ dài trục nhỏ bằng 3 .

Trong các mệnh đề trên, mệnh đề nào sai ?

A. I và II . B. II và III . C. I và III. D. IV và I.

Từ phương trình của elip, ta có a=5, b=3, c=4 suy ra các mệnh đề sai là (I) và (IV).

Câu 23. Đường thẳng qua ^M

( )

^{1 ;1} và cắt elíp

( )

^E ^{: 4}^x²⁺⁹^y² ⁼³⁶ tại hai điểm M M₁, ₂ sao cho

1 2

MM = MM có phương trình là:

A.2 4 – 5 0x + y = . B.4 9 – 13 0x + y = . C.x 5 0+ y + = . D.16 – 15 100 0x y + = .

Gọi M x y M x y1

(

1; 1

) (

; 2 2; 2

)

. Ta có M là trung điểm của M M₂ ₁ ¹ ²

1 2

2 2 x x y y

 + =

  + = .

Ta có  + =

 + =



2 2

1 1

2 2

1 1

4 9 36

x y

x y ^4

(

x2⁻x1

) (

⁺9 y2⁻y1

)

⁼0 Vậy ⁿ

( )

^4;9 là vectơ pháp tuyên của M M₁ ₂.

Vậy phương trình M M₁ ₂ là : 4 9 – 13 0x + y = . Câu 24. Một elip có trục lớn bằng 26 , tâm sai 12

=13

e . Trục nhỏ của elip có độ dài bằng bao nhiêu?

A.10. B.12. C.24. D.5.

Lời giải

(8)

Chọn A.

( )

: x²2 y2² 1

(

, 0

)

E a b

a +b =  . Độ dài trục lớn 2a=26 =a 13, tâm sai 12

13 12

=  =

e c . Trục nhỏ 2b=2 a c²− ² =10. Câu 25. Đường Elip

2 2

5 4 1 x y

+ = có tiêu cự bằng :

A.2. B.4. C.9. D.1.

Ta có c= 2 2c=4. Câu 26. Cho Elip

( )

^: ² ² ¹

169 144

x y

E + = và điểm M nằm trên

( )

^E . Nếu điểm M có hoành độ bằng −13 thì các khoảng cách từ M tới 2 tiêu điểm của

( )

^E ^{bằng :}

A.8; 18. B.13 5. C.10;16. D.13 10.

Ta có a=13, b=12 =c 5 Vậy MF a₁= +cx_M =18

a ; MF a₂ = −cx_M =8 a .

Câu 27. Cho elíp có phương trình 16x²+ 25y²=100. Tính tổng khoảng cách từ điểm thuộc elíp có hoành độ x=2 đến hai tiêu điểm.

A.10 B.2 2 C.5 D.4 3

( )

^E ^: ^x²₂ ^y₂² ¹

(

^{a b}^, ⁰

)

a +b =  . Ta có : 5

a=2, b=2, c= 6.

sử dụng công thức bán kính qua tiêu ₁ ⁵ ⁶.2

2 2

MF = − , ₂ 5 6 2 2 .2 MF = +

1 2 5

MF +MF = .

Câu 28. Tìm phương trình chính tắc của Elip có một đỉnh của hình chữ nhật cơ sở là ^M

( )

^4;3 ^.

A.

2 2

16 9 1.

x + y = B.

2 2

16 9 1.

x − y = C.

2 2

16 4 1.

x + y = D.

2 2

4 3 1.

x + y = Lời giải

Chọn B.

( )

^E ^: ^x²₂ ^y₂² ¹

(

^{a b}^, ⁰

)

a +b =  . Một đỉnh của hình chữ nhật cơ sở là M

( )

4;3 , suy ra a=4, b=3. Phương trình

( )

^: ² ² ¹

16 9

x y E + = . Câu 29. Đường thẳng y=kxcắt Elip

2 2

2 2 1

x y

a +b = tại hai điểm

A.Đối xứng nhau qua trục Oy. B.Đối xứng nhau qua trục Ox.

C.Đối xứng nhau qua gốc toạ độ O. D.Đối xứng nhau qua đường thẳng y=1. Lời giải

(9)

Chọn C.

Đường thẳng y=kx là đường thẳng đi qua gốc toạ độ nên giao điểm của đường y=kx với Elip đối xứng nhau qua gốc toạ độ.

( )

^: ² ² ¹

25+ y9 = E x

. Đường thẳng

( )

^d ^:^x^{= −}⁴^cắt

( )

^E tại hai điểmM N, . Khi đó:

A. 9

=25

MN . B. 18

=25

MN . C. 18

= 5

MN . D. 9

=5 MN . Lời giải

Chọn C.

Theo giả thiết: x= −4 nên ta có phương trình:

( )

⁴ ² ² ² ⁹

25 9 1 9 25

y y

− + =  = ² ⁸¹

y 25

 =

9 9

5 4;5

9 9

5 4; 5

y M

y N

 =  − 

  



 = −  − − 

  



Khi đó:

( )

² ⁹ ⁹ ²

5 5

4 18

4 5

 

= − + + +  =

MN .

Câu 31. Trong các phương trình sau, phương trình nào biểu diễn một Elip có khoảng cách giữa các đường chuẩn là ⁵⁰

3 và tiêu cự bằng 6 ? A.

2 2

64 25 1

x + y = . B.

2 2

89 64 1

x + y = . C.

2 2

25 16 1

x + y = . D.

2 2

16 7 1 x + y = . Lời giải

Chọn C.

( )

: x²2 y2² 1

(

, 0

)

E a b

a +b =  . Tiêu cự bằng 6 2c=  =  Loại A và B. 6 c 3

Đường chuẩn của Elip có dạng a 0

x =e , mà c e= a nên đường chuẩn của Elip còn được viết dưới dạng

2

a 0 x c = Từ đáp án C suy ra: a= 5 các đường chuẩn là: 25

3 0

x = . Dễ thấy khoảng cách giữa 2 đường chuẩn này là 50

3 .

Câu 32. Tìm phương trình chính tắc của Elip có một đường chuẩn là x+ =5 0 và đi qua điểm

(

^{0; 2}⁻

)

A.

2 2

16 12 1 x y

+ = . B.

2 2

20 4 1 x y

+ = . C.

2 2

16 10 1 x y

+ = . D.

2 2

20 16 1 x y

+ = . Lời giải

Chọn B.

( )

: x²2 y2² 1

(

, 0

)

E a b

a +b =  . Elip có một đường chuẩn là x+ =5 0nên

2

5 5 2 5

a a

a c

e =  c =  = Mặt khác Elip đi qua điểm

(

^{0; 2}⁻

)

^nên 2 ²

4 1 b 4

b =  =

Ta có: c² =a²−b² c² =5c−4c²−5c+ =4 0 ²

2

1 5

4 20

c a

 =  =

  =  = .

(10)

Phương trình chính tắc của Elip

2 2

20 4 1 x + y = .

Câu 33. Đường tròn và elip có phương trình sau đây có bao nhiêu giao điểm:

( )

^C ^:^x²⁺^y²^{– 9 0}⁼ ^,

( )

^E ^:

2 2

9 4 1 x + y = .

A. 4. B. 1. C. 2. D. 3.

Lời giải Chọn D.

Xét hệ

2 2

2

2 2

2

9 9

0 9 4 1

x y

x x y

y

 + =  =

 

 

+ =  =

 



3 0 x y

 = 

  = .

Câu 34. Viết phương trình chính tắc của elip nếu nó đi qua điểm là A

(

0; 2−

)

và một đường chuẩn

5 0

x+ = ? A.

2 2

+ 1

29 4

x y = . B.

2 2

16 12 1

x + y = . C.

2 2

20 16 1

x + y = . D.

2 2

+ 1

16 10 x y = . Lời giải

Chọn A.

( )

^E ^: ^x²₂ ^y₂² ¹

(

^{a b}^, ⁰

)

a +b =  .

Do

( )

^E đi qua điểm là A(0;−2) và có một đường chuẩn x+ =5 0 nên ta có

2 2

4 1

5 b a c

 =



 =



2 2

4 5 b

a c

 =

  = .

Câu 35. Cho elip có phương trình:

2 2

16 4 1 x y

+ = . M là điểm thuộc

( )

^E ^{sao cho}MF1=MF2. Khi đó tọa độ điểm M là:

A.M1

( )

0;1 ,M2

(

0; 1−

)

. B.M₁(0;2) ,M₂(0; 2)− . C.M₁( 4;0) ,− M₂(4;0). D.M₁(0;4) ,M₂(0; 4)− .

( )

^E ^: ^x²₂ ^y₂² ¹

(

^{a b}^, ⁰

)

a +b =  . Nên a=4; b=2

Vì MF₁=MF₂ nên M thuộc đường trung trực của F F₁ ₂ chính là trục Oy M là điểm thuộc

( )

^E ^nên^M là giao điểm của elip và trục Oy

Vậy M₁(0;2) ,M₂(0; 2)− .

Câu 36. Dây cung của elip

( )

:x²2 y2² 1 0

( )

E b a

a +b =   . vuông góc với trục lớn tại tiêu điểm có độ dài là A.

2c2

a . B.

2b2

a . C.

2a2

c . D.

a2

c . Lời giải

Chọn B.

Gọi dây cung đó là M M₁ ₂ như hình vẽ. ^M¹

M2

(11)

Giả sử M c y1

( )(

; y0

)

, 1

( )

c²2 y2² 1

M E

a b

  + = ² ² a² ₂c² b⁴₂ y b

a a

 =  − = b²

y a

 = Khi đó,

2 1 ;b M c

a

 

 

 ,

2

2 ; b

M c a

 

 − 

 

2

1 2

M M 2b

 = a . Câu 37. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho

( )

^: ² ² ¹

16 5

x y

E + = và hai điểm ^A

(

^{− −}^{5; 1 ,}

) (

^B ⁻^1;1

)

^{. Điểm}^M

bất kì thuộc

( )

^E , diện tích lớn nhất của tam giác MAB là:

A.12. B.9. C.^{9 2}

2 . D.4 2.

Lời giải Chọn B

Ta có: ^AB⁼

( )

^{4; 2} ^,^AB⁼^{2 5}^.

Phương trình đường thẳng  đi qua A, B:x−2y+ =3 0.

(

4 cos ; 5 sin

) ( )(

0 2

)

M    E    .

( )

1 . ,

MAB 2

S_ = AB d M  . Diện tích lớn nhất khi và chỉ khi ^{d M}

(

^,^

)

lớn nhất.

Ta có: ₍ _, ₎ 4cos 2 5 sin 3 4cos 2 5 sin 3

5 5

dM    



− + − +

= 

( )

⁴²

(

^{2 5}

)

² ³ 9 ,

5 5

d M

+ − +

   = . Vậy ¹ .

(

,

)

9

MAB 2

S_ = AB d M  = .

Câu 38. Lập phương trình chính tắc của elip

( )

^E ^, biếtđi qua điểm 3 4 5; 5

M 

 

  và MF F_{1 2} vuông tại M. A.

2 2

9 4 1

x + y = . B.

2 2

9 36 1

x + y = . C.

2 2

4 9 1

x + y = . D.

2 2

36 9 1 x + y = . Lời giải

Chọn A.

( )

^E ^: ^x²₂ ^y₂² ¹

(

^{a b}^, ⁰

)

a +b =  . Do Elip đi qua M nên 9₂ 16₂

5a +5b =1. Lại có ₁ ₂ ^o 1 ₁ ₂

90 2

F MF = OM = F F =c  =c 5 Như vậy ta có hệ điều kiện ² ²

2 2

9 16

5 5 1 5

a b

 + =



 − =



. Giải hệ ta được a²=9;b²=4

( )

^: ² ² ¹

9 4

x y

 E + = .

Câu 39. Lập phương trình chính tắc của elip

( )

^E ^,Hình chữ nhật cơ sở của

( )

^E có một cạnh nằm trên đường thẳng x− =2 0 và có độ dài đường chéo bằng 6.

A.

2 2

4 16 1 x y

+ = . B.

2 2

4 32 1 x y

+ = . C.

2 2

32 4 1 x y

+ = . D.

2 2

9 36 1 x y

+ = . Lời giải

Chọn B.

( )

: x²2 y2² 1

(

, 0

)

E a b

a +b =  .

(12)

Do một cạnh của hình chữ nhật cơ sở thuộc đường thẳng x− =2 0 nên có a=2. Mặt khác

2 2 2 2

6 36 4 32

a + = b b = − =  =b 4 2 Vậy phương trình Elip là

2 2

4 32 1 x + y = .

Câu 40. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho elíp

( )

^: ² ² ¹

4

E x +y = và điểm ^C

( )

^2;0 .Tìm tọa độ

các điểm A B, trên

( )

^E , biết rằng hai điểm đối xứng nhau qua trục hoành và ABClà tam giác đều và điểm A có tung độ dương .

A. 2 4 3

7; 7

A 

 

  và 2 4 3 7; 7

B 

 − 

 

 . B. 2 4 3

7; - 7

A 

 

  và 2 4 3 7; 7

B 

 

 . C.^A

(

^{2; 4 3}

)

^và^A

(

^2;⁻^{4 3}

)

^. ^D.^A^^_⁻²₇^;^{4 3}₇ ^^_

  và 2 4 3

7; 7

B 

− −

 

 .

Lời giải Chọn A.

Giả sử A x y

(

₀; ₀

)

., Do A B, đối xứng nhau qua Ox nên B x

(

₀;−y₀

)

. Ta có: AB²=4y₀² và AC² =

(

x0−2

)

² +y0².

Vì A

( )

E nên ⁰² 0² 1 0² 1 ⁰² 1

( )

4 4

x x

y y

+ =  = − .

Vì AB=ACnên

(

x0−2

)

²+y0² =4y0² 2 .

( )

Thay

( )

^{1 vào}

( )

2 ta được 7x₀²−16x₀+ = 4 0 ⁰ ⁰

0 0

2 0

2 4 3

7 7

x y

=  =



 =  = 



.

Vì điểm A khác Cvà Acó tung độ dương nên 2 4 3 7; 7

A 

 

 và 2 4 3 7; 7

B 

 − 

 

 .

Câu 41. Cho elíp

( )

^: ² ² ¹

16 9

x y

E + = và đường thẳng d: 3x+4y−12=0. Biết rằng d luôn cắt

( )

^E ^tại

hai điểm phân biệt A,B . Tính độ dài đoạnAB .

A.AB=5. B.AB=3. C.AB=4. D.AB=10. Lời giải

Chọn A.

Ta có : 3 4 12 0 3 ³

4

d x+ y− =  = −y x, thay vào phương trình

( )

^: ² ² ¹

16 9

x y

E + = ta được

( )

2

2 2 2

3 3 4 4

1 1

16 9 16 16

x

x x x

 − 

  −

 

+ =  + = 2x²−8x=0  0 3

4 0

x y

=  =

 =  =



Vậy d luôn cắt

( )

^E tại hai điểm phân biệt ^A

( )

^0;3 ^,^B

( )

^4;0 ^{và độ dài}^AB⁼⁵^.

Câu 42. N đối xứng với 7;⁹ M− 4

  qua gốc toạ độ nên 7; ⁹ N −4

  .Cho Elip

( )

^E có các tiêu điểm

( ) ( )

1 4;0 , 2 4;0

F − F và một điểm M nằm trên

( )

^E biết rằng chu vi của tam giác MF F_{1 2} bằng 18 . Lúc đó tâm sai của

( )

^E ^là:

A. 4

e= −5. B. 4

e=9 . C. 4

e=18. D. 4 e=5. Lời giải

Chọn D.

(13)

( )

^E ^: ^x²₂ ^y₂² ¹

(

^{a b}^, ⁰

)

a +b =  .

Theo giải thiết ta có c=4, chu vi của tam giác MF F_{1 2} bằng 18 nên

1 2 1 2 2 2

MF+MF +F F = a+ c2a+2c=18 =a 5 ⁴ 5 e c

 = =a . Câu 43. Cho elíp

( )

^: ² ² ¹

25 9

x y

E + = và đường thẳng d x: −2y+12=0. Tìm trên

( )

^E ^điểm^M^{sao cho}

khoảng cách từ điểm Mđến đường thẳng d là lớn nhất, nhỏ nhất.

A. ₁ 12 61 5

d +

= , ₂ 12 61

5

d −

= . B.d₁ =12+ 61, d₂=12− 61. C. ₁ 16

d = 5, ₂ 6

d = 5. D.d₁=16, d₂=6. Lời giải

Chọn A.

( )

^: ² ² ¹

25 9

x y

E + = có độ dài nửa trục lớn a=5và độ dài nửa trục bé b=3

Gọi là tiếp tuyến của

( )

^E ^mà^ song song với ^d^{ −}^x ²^{y C}^{+ =}^0,

(

^C^¹²

)

^.

Vì d x: −2y+12=0 tiếp xúc với

( )

^E nên ta có: ^1.5²^{+ −}

( )

^{2 .3}² ² ⁼^C² ^{ = }^C ⁶¹^.

Nên ta có hai tiếp tuyến của

( )

^E song song với d là: ₁:x−2y+ 61=0 và

1:x 2y 61 0

 − − = .

Vậy khoảng cách từ Mđến đường thẳng d là lớn nhất là: ₁ 12 61 5

d = + , khoảng cách từ Mđến đường thẳng d là bé nhất là: ₂ 12 61

5 d = − Câu 44. Cho hai elíp

( )

1 : ² ² 1

9 4

x y

E + = và

( )

2 : ² ² 1

16 1

x y

E + = . Gọi

( ) ( ) 

E1 E2 = A B C D, , ,



Lập phương trình đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD.

A.11x²+11y²−92 0.= B.11x²+11y²=1. C.11x²+11y²+92 0.= D.x²+y²−92=0.

Lời giải Chọn A.

(14)

Xét hệ

2 2

2

2 2

2

1 432

9 4 55

1 28 16 1 55

x y

x

x y y

 + =  =

 

 

 

 + =  =

 



.

Đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCDcó tâm O và bán kính

2 2 432 28 92

55 55 11. R= x +y = + =

Vậy phương trình đường tròn cần tìm là: ² ² ⁹² 11 ² 11 ² 92 0.

x +y =11  x + y − =

Câu 45. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho elip

( )

^E ^:^x²⁺⁴^y²^{− =}⁴ ⁰.Tìm tất cả những điểm N trên elip

( )

^E sao cho : F NF₁ ₂ =60⁰(F1, F2 là hai tiêu điểm của elip

( )

^E ⁾

A. 4 2 1

3 ; 3

N 

− −

 

  hoặc 4 2 1

3 ;3

N 

− 

 

  hoặc 4 2 1

3 ; 3

N 

 − 

 

  hoặc 4 2 1

3 ;3

N 

 

 .

B. 4 2 1

3 ; 3

N 

− −

 

  hoặc 4 2 1

3 ;3

N 

− 

 

  hoặc 4 2 1

3 ;3

N 

 

 .

C. 4 2 1

3 ;3

N 

− 

 

  hoặc 4 2 1

3 ; 3

N 

 − 

 

  hoặc 4 2 1

3 ;3

N 

 

 .

D. 4 2 1

3 ; 3

N 

− −

 

  hoặc 4 2 1

3 ;3

N 

 

 .

-

( )

^: ² ² ¹

4

E x +y = a²=4,b²=1c² =3 =c 3.

- Gọi

( ) ( )

2 2

0 0

0 0 1 0

1 2

4 4

; 2 3

2 2 3

x y

N x y E MF x

F F

 + =



  = +

 =



; ₂ 3 ₀

2 2

MF = − x . Xét tam giác F MF₁ ₂ theo hệ thức

lượng trong tam giác ta có:

(

F F1 2

)

² =MF1²+MF2²−2MF MF c1 2 os60⁰ 

( )

^{2 3} ² ^² ₂³^x⁰^² ^² ₂³^x⁰^² ^² ₂³ ^x⁰^² ₂³ ^x⁰^

 = +  + −  − +  − 

2 2

0 0

3 3

12 8 4

2x  4x 

 = + − − 

 

2 0

9 8

4x

 = ₀² 32 x 9

 = ⁰

0

4 2 3 4 2

3 x x

 = −





 =



2 0

1 y 9

 = ⁰

0

1 3 1 3 y y

 = −

 

 =

.

Vậy có tất cả 4 điểm thỏa

4 2 1

3 ; 3

N 

− −

 

  hoặc 4 2 1

3 ;3

N 

− 

 

  hoặc 4 2 1

3 ; 3

N 

 − 

 

  hoặc 4 2 1

3 ;3

N 

 

 . Câu 46. Viết phương trình tất cả các tiếp tuyến của elíp

( )

^E ^: ² ² ¹

16 9

x + y = , biết tiếp tuyến đi qua điểm^A

( )

^4;3 ^.

A.d y: − =3 0 và d x: − =4 0. B.d y: − =3 0 và d x: + =4 0.

(15)

C.d y: + =3 0 và d x: − =4 0. D.d y: + =3 0 và d x: + =4 0. Lời giải

Chọn A

- Giả sử đường thẳng d có véc tơ pháp tuyến ⁿ⁼

( )

^{a b}^; ^qua^A

( )

^4;3 ^thì^d có phương trình là:^{a x}

(

^{− +}⁴

) (

^{b y}^{− =}³

)

⁰

( )

^{* , hay:}^{ax by}⁺ ⁻⁴^a⁻³^b

( )

^{1 .}

- Để d là tiếp tuyến của

( )

^E thì điều kiện cần và đủ là : ^a²^.16⁺^b²^.9⁼

(

⁴^a⁺³^b

)

²

2 2 2 2

16a 9b 16a 24ab 9b

 + = + + 24ab= 0 0 : 3 0

0 : 4 0

a d y

b d x

=  − =

 =  − =

 .

Câu 47. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho elíp

( )

^: ² ² ¹

9 4

x y

E + = và hai điểm ^A

(

^{3; 2}⁻

)

^,

(

^{3; 2}

)

B − − Tìm trên

( )

^E ^điểm^C sao cho tam giác ABC có diện tích lớn nhất.

A.^C

( )

^0;3 ^. ^B.^C

( )

^{0; 2} ^. ^C.^C

( )

^3;0 ^. ^D.^C

( )

^2;0 ^.

- A,B có hoành độ là hoành độ của 2 đỉnh của 2 bán trục lớn của

( )

^E , chúng nằm trên đường thẳng y+ =2 0. C có hoành độ và tung độ dương thì C nằm trên cung phần tư thứ nhất - Tam giác ABC có AB=6 cố định. Vì thế tam giác có diện tích lớn nhất khi khoảng cách từ

C đến AB lớn nhất.

- Dễ nhận thấy C trùng với đỉnh của bán trục lớn

( )

^{0;3 .}

Câu 48. Trong mặt phẳng Oxy, cho hai điểm F1

(

−4;0

)

, F2

( )

4;0 và điểm ^A

( )

^0;3 ^{. Điểm} ^M^thuộc

( )

^E nào sau đây thỏaMF₁=3MF₂.

A. 25 551

8 ; 8

M 

− 

 

 . B. 25 551

8 ; 8

M 

 

 . C. 25 551

8 ; 8

M 

− −

 

 . D. 25 551 4 ; 4

M 

 