Bài tập trắc nghiệm nguyên hàm có đáp án và lời giải - Học Tập Trực Tuyến Cấp 1,2,3 - Hoc Online 247

(1)

https://toanmath.com/

NGUYÊN HÀM CƠ BẢN A - KIẾN THỨC CƠ BẢN

1. Nguyên hàm

Định nghĩa: Cho hàm số ^{f x}

( )

xác định trên K (K là khoảng, đoạn hay nửa khoảng). Hàm số

( )

F x được gọi là nguyên hàm của hàm số ^{f x}

( )

^trên^Kⁿếu ^F^'

( )

^x ⁼ ^{f x}

( )

^với mọi x∈K. Định lí:

1) Nếu ^{F x}

( )

^{là m}ột nguyên hàm của hàm số ^{f x}

( )

^trên^K^{thì v}ới mỗi hằng số C, hàm số

( ) ( )

G x =F x +C cũng là một nguyên hàm của ^{f x}

( )

^trên^K^.

2) Nếu ^{F x}

( )

^trên^K^{thì m}ọi nguyên hàm của ^{f x}

( )

^trên

K đều có dạng ^{F x}

( )

⁺^C^{, v}ới C là một hằng số.

Do đó ^{F x}

( )

⁺^{C C}^, ^∈ là họ tất cả các nguyên hàm của ^{f x}

( )

^trên ^K^{. Ký hiệu}

( )

^x

( )

f x d =F x +C

∫

^.

2. Tính chất của nguyên hàm

Tính chất 1:

( ∫

^{f x d}

( )

^x

)

^{′ =} ^{f x}

( )

^và

∫

^f ^'

( )

^{x d}^x⁼ ^{f x}

( )

⁺^C

Tính chất 2:

∫

^{kf x d}

( )

^x⁼^{k f x d}

∫ ( )

^x^với^k là hằng số khác 0 . Tính chất 3:

∫

^_^{f x}

( )

^±^{g x}

( )

^_^d^x⁼

∫

^{f x d}

( )

^x^±

∫

^{g x d}

( )

^x

3. Sự tồn tại của nguyên hàm

Định lí: Mọi hàm số ^{f x}

( )

liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K. 4. Bảng nguyên hàm của một số hàm sốsơ cấp

Nguyên hàm của hàm sốsơ cấp Nguyên hàm của hàm số hợp

(

^u⁼^{u x}

( ) )

x

d = +x C

∫

^d^u^{= +}^u ^C

( )

1 1

x 1

x d^α 1x^α C α α

= + + ≠ −

∫

+

∫

^{u d}^α ^u⁼_α¹₊₁^u^α⁺¹⁺^C

(

^α ^{≠ −}¹

)

1dx ln x C

x = +

∫

¹_u^d^u⁼^ln^u ⁺^C

x x x

e d =e +C

∫

^{e d}û û⁼êû ⁺^C

( )

x 0, 1

ln

x

x a

a d C a a

= a+ > ≠

∫

^{a d}û û⁼_lnâû_a⁺^{C a}

(

^>^0,^a^≠¹

)

(2)

https://toanmath.com/

sin dxx = −cos x+C

∫

^{sin du}^u ^{= −}^{cos u}⁺^C

cos xdx=sinx C+

∫

^{cos udu}⁼^sin^u⁺^C

2

1 x tan

cos d x C

x = +

∫

_cos¹²_u^d^u⁼^tan^u⁺^C

2

1 x cot

sin d x C

x = − +

∫

_sin¹²_u^d^u^{= −}^cot^u⁺^C

B - BÀI TẬP

DẠNG 1:SỬ DỤNG LÍ THUYẾT

Câu 1. Trong các khẳng định dưới đây, có bao nhiêu khẳng định đúng?

(1): Mọi hàm số liên tục trên

[ ]

^{a b}^; đều có đạo hàm trên

[ ]

^{a b}^; ^.

[ ]

^{a b}^; đều có nguyên hàm trên

[ ]

^{a b}^; ^.

(3): Mọi hàm số đạo hàm trên

[ ]

^{a b}^; đều có nguyên hàm trên

[ ]

^{a b}^; ^.

[ ]

^{a b}^; đều có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên

[ ]

^{a b}^; ^.

A. 2. B. 3. C. 1. D. 4.

Câu 2. Cho hai hàm số ^{f x}

( )

^,^{g x}

( )

^{liên t}ục trên _. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

A.

∫

^_^{f x}

( )

⁺^{g x}

( )

^_^d^x⁼

∫

^{f x}

( )

^d^x⁺

∫

^{g x}

( )

^d^x^.

B.

∫

^_^{f x g x}

( ) ( )

^. ^_^d^x⁼

∫

^{f x}

( )

^{d .}^{x g x}

∫ ( )

^d^x^.

C.

∫

^_^{f x}

( ) ( )

⁻^{g x} ^_^d^x⁼

∫

^{f x}

( )

^d^x⁻

∫

^{g x}

( )

^d^x^.

D.

∫

^{kf x}

( )

^d^x⁼^{k f x}

∫ ( )

^d^x

(

^k^≠^0;^k^∈^

)

^.

Câu 3. Cho ^{f x}

( )

^,^{g x}

( )

là các hàm sốxác định và liên tục trên _. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

A.

∫

^{f x g x}

( ) ( )

^d^x⁼

∫

^{f x}

( )

^{d .}^{x g x}

∫ ( )

^d^x^. ^B.

∫

²^{f x}

( )

^d^x⁼²

∫

^{f x}

( )

^d^x^.

C.

∫

^_^{f x}

( )

⁺^{g x}

( )

^_^d^x⁼

∫

^{f x}

( )

^d^x⁺

∫

^{g x}

( )

^d^x^{. D.}

( ) ( )

^d

( )

^d

( )

^d

f x −g x x= f x x− g x x

 

 

∫ ∫ ∫

^.

Câu 4. Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?

A.

∫

^{kf x}

( )

^d^x⁼^{k f x}

∫ ( )

^d^x^v^ớⁱ^k^∈^^.

B.

∫

^_^{f x}

( )

⁺^{g x}

( )

^_^d^x⁼

∫

^{f x}

( )

^d^x⁺

∫

^{g x}

( )

^d^x^v^ớⁱ ^{f x}

( )

^;^{g x}

( )

^{liên t}^ụ^{c trên}^^.

C. d ¹ ¹

x^α x 1x^α

α ⁺

= +

∫

^với^α ^{≠ −}¹^.

D.

( ∫

^{f x}

( )

^d^x

)

^{′ =} ^{f x}

( )

^.

( )

^,^{g x}

( )

^{là hàm s}ố liên tục, có ^{F x}

( )

^,^{G x}

( )

^lần lượt là nguyên hàm của ^{f x}

( )

^,^{g x}

( )

. Xét các mệnh đề sau:

( )

^I ^.^{F x}

( )

⁺^{G x}

( )

^{là m}ột nguyên hàm của ^{f x}

( ) ( )

⁺^{g x} ^.

( )

^II ^.^{k F x}^.

( )

^{là m}ột nguyên hàm của ^{k f x}^.

( )

^với k∈.

( )

^III ^.^{F x G x}

( ) ( )

^. ^{là m}ột nguyên hàm của ^{f x g x}

( ) ( )

^. ^.

Các mệnh đềđúng là

(3)

https://toanmath.com/

A.

( )

^II ^và

( )

^III ^. B. Cả 3 mệnh đề. C.

( )

^I ^và

( )

^III ^. ^D.

( )

^I ^và

( )

^II ^.

Câu 6. Mệnh đề nào sau đây sai?

A.

∫

^_^{f x}

( ) ( )

⁻^{g x} ^_^dx⁼

∫

^{f x dx}

( )

⁻

∫

^{g x dx}

( )

, với mọi hàm số ^{f x}

( ) ( )

^, ^{g x} liên tục trên _. B.

∫

^f^′

( )

^{x dx}⁼ ^{f x}

( )

⁺^C với mọi hàm số ^{f x}

( )

có đạo hàm trên _.

C.

∫

^_^{f x}

( )

⁺^{g x}

( )

^_^dx⁼

∫

^{f x dx}

( )

⁺

∫

^{g x dx}

( )

( ) ( )

^, ^{g x} liên tục trên _. D.

∫

^{kf x dx}

( )

⁼^{k f x dx}

∫ ( )

với mọi hằng số k và với mọi hàm số ^{f x}

( )

liên tục trên _. Câu 7. Cho hàm số ^{f x}

( )

xác định trên K và ^{F x}

( )

^trên^K^{. Kh}ẳng

định nào dưới đây đúng?

A. ^f^′

( )

^x ⁼^{F x}

( )

^,^{∀ ∈}^x ^K ^. ^B.^{F x}^′

( )

⁼ ^{f x}

( )

^,^{∀ ∈}^x ^K ^.

C. ^{F x}

( )

⁼ ^{f x}

( )

^,^{∀ ∈}^x ^K^. ^D.^{F x}^′

( )

⁼ ^f^′

( )

^x ^,^{∀ ∈}^x ^K^.

Câu 8. Cho hàm số ^{f x}

( )

xác định trên K. Khẳng định nào sau đây sai?

A. Nếu hàm số ^{F x}

( )

là một nguyên hàm của ^{f x}

( )

^trên^K thì với mỗi hằng số C, hàm số

( ) ( )

( )

^trên^K^.

B. Nếu ^{f x}

( )

^{liên t}ục trên K thì nó có nguyên hàm trên K.

C. Hàm số ^{F x}

( )

được gọi là một nguyên hàm của ^{f x}

( )

^trên^K^nếu^{F x}^′

( )

⁼ ^{f x}

( )

^{với mọi}

x∈K.

D. Nếu hàm số ^{F x}

( )

^trên^K thì hàm số ^F

( )

⁻^x là một nguyên hàm của ^{f x}

( )

^trên^K^.

DẠNG 2: ÁP DỤNG TRỰC TIẾP BẢNG NGUYÊN HÀM.

Câu 9. Cho

( )

¹

f x 2

= x

+ , chọn mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:

A. Trên

(

^{− +∞}^2;

)

, nguyên hàm của hàm số ^{f x}

( )

^là F x

( )

=ln

(

x+2

)

+C1; trên khoảng

(

^{−∞ −}^{; 2}

)

( )

^làF x

( )

=ln

(

− − +x 2

)

C2 (C C₁, ₂ là các hằng số).

B. Trên khoảng

(

^{−∞ −}^{; 2}

)

, một nguyên hàm của hàm số ^{f x}

( )

^là^{G x}

( )

⁼^ln

(

^{− − −}^x ²

)

³^.

C. Trên

(

^{− +∞}^2;

)

^{, m}ột nguyên hàm của hàm số ^{f x}

( )

^là^{F x}

( )

⁼^ln

(

^x⁺²

)

^.

D. Nếu ^{F x}

( )

^và^{G x}

( )

là hai nguyên hàm của của ^{f x}

( )

thì chúng sai khác nhau một hằng số.

Câu 10. Khẳng định nào đây sai?

A.

∫

cos dx x= −sinx C+ ^. ^B.

∫

¹_x^d^x⁼^ln ^x ⁺^C^.

C.

∫

2 dx x=x²+C^. ^D.

∫

^{e d}^x ^x⁼^e^x⁺^C^.

Câu 11. Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau A.

4 3d

4 x C

x x +

∫

= ^. ^B.

∫

¹_x^d^x⁼^ln^{x C}⁺ ^.

C.

∫

sin dx x= −C cosx^. ^D.

∫

^{2e d}^x ^x⁼^{2 e}

(

^x⁺^C

)

^.

Câu 12. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

A.

∫

dx= +x 2C⁽^C^{là h}^ằ^{ng s}^ố^). ^B.

∫

^{x x}ⁿ^d ⁼_n^xⁿ₊⁺¹₁⁺^C⁽^C^{là h}^ằ^{ng s}^ố^;ⁿ^∈^^).

C.

∫

0dx=C⁽^C^{là h}^ằ^{ng s}^ố^). ^D.

∫

^{e d}^x ^x⁼^e^x⁻^C⁽^C^{là h}^ằ^{ng s}^ố^).

(4)

Câu 13. Tìm nguyên hàm ^{F x}

( )

⁼

∫

^π²^d^x^.

A. ^{F x}

( )

⁼^π²^{x C}⁺ ^. ^B.^{F x}

( )

⁼²^π^{x C}⁺ ^.

C.

( )

³

F x ₌π3 ₊C

. D.

( )

² ²

2 F x ₌π x ₊C

. Câu 14. Họ nguyên hàm của hàm số ^{f x}

( )

⁼^e^x⁺^cos^x⁺²⁰¹⁸^là

A. ^{F x}

( )

⁼^e^x⁺^sin^x⁺²⁰¹⁸^{x C}⁺ ^. ^B.^{F x}

( )

⁼^e^x⁻^sin^x⁺²⁰¹⁸^{x C}⁺ ^.

C. ^{F x}

( )

⁼^e^x⁺^sin^x⁺²⁰¹⁸^x^. ^D.^{F x}

( )

⁼^e^x⁺^sin^x⁺²⁰¹⁸⁺^C^.

Câu 15. Nguyên hàm của hàm số ^{f x}

( )

⁼²^x³⁻⁹^là:

A. ¹ ⁴ 9

2x − x C+ . B. 4x⁴−9x C+ . C. ¹ ⁴

4x +C. D. 4x³−9x C+ . Câu 16. Họ nguyên hàm của hàm số ^{f x}

( )

⁼^e.^x^e⁺⁴^là

A. 101376 . B. e .x² ^{e 1}⁻ +C. C.

e 1

e 1 4

x x C

+ + +

+ . D.

e. e 1

e 1 4

x x C

+ + +

+ .

Câu 17. Họ các nguyên hàm của hàm số ^{f x}

( )

⁼⁵^x⁴⁻⁶^x²⁺¹^là

A. 20x³−12x C+ . B. x⁵−2x³+ +x C. C. 20x⁵−12x³+ +x C. D.

4

2 2 2 4

x + x − x C+ . Câu 18. Khẳng định nào sau đây sai?

A.

∫

0 dx=C^. ^B.

∫

^x⁴^d^x⁼ ^x₅⁵ ⁺^C^. ^C.

∫

¹_x^d^x⁼^ln^{x C}⁺ ^. ^D.

∫

^{e d}^x ^x⁼^e^x⁺^C^.

Câu 19. Nguyên hàm của hàm số y x² 3x ¹

= − + xlà A.

3 2

3 ln

3 2

x x

x C

− − + . B.

3 2

2

3 1

3 2

x x

x C

− + + . C.

3 2

3 ln

3 2

x x

− + x C+ . D.

3 2

3 ln

3 2

x x

x C

− + + . Câu 20. Cho hàm số

( )

a2 b 2

f x = x + +x , với a, b là các số hữu tỉ thỏa điều kiện

1

( )

1 2

d 2 3ln 2 f x x= −

∫

^{. Tính T} ^{= +}^{a b}^.

A. T = −1. B. T =2. C. T = −2. D. T =0. Câu 21. Họ nguyên hàm của hàm số ^{f x}

( )

⁼³^x²⁺²^x⁺⁵^là

A. ^{F x}

( )

⁼^x³⁺^x²⁺⁵^. ^B.^{F x}

( )

⁼^x³^{+ +}^{x C}^.

C. ^{F x}

( )

⁼^x³⁺^x²⁺⁵^{x C}⁺ ^. ^D.^{F x}

( )

⁼^x³⁺^x²⁺^C^.

Câu 22. Hàm số nào sau đây không phải là một nguyên hàm của hàm số ^{f x}^{( )}⁼

(

³^x⁺¹

)

⁵^?

A.

( ) (

³ ¹

)

⁶

18 8 F x x+

= + . B.

( ) (

³ ¹

)

⁶

18 2 F x x+

= − .

C.

( ) (

³ ¹

)

⁶

18 F x x+

= . D.

( ) (

³ ¹

)

⁶

6 F x x+

= .

(5)

https://toanmath.com/

Câu 23. Họ nguyên hàm của hàm số

( )

¹₂ ² ¹

f x x 3

= x − − là A.

4 2

3 3 x x

x C

− + + + . B. 2₂ x 2x C

− − + . C.

4 2

3 3 x x

x C + +

− + . D.

3 1

3 3

x x

x C

− − − + .

Câu 24. Họ nguyên hàm của hàm số ^{f x}

( )

⁷^x⁶ ¹ ¹₂ ²

x x

= + + − là A. x⁷ ln x ¹ 2x

+ − −x . B. x⁷ ln x ¹ 2x C

+ + −x + .

C. ⁷ 1

ln 2

x x x C

+ + −x + . D. ⁷ 1

ln 2

x x x C

+ − −x + . Câu 25. Nguyên hàm của ^{f x}

( )

⁼^x³⁻^x²⁺² ^x^là:

A. ¹ ⁴ ³ ⁴ ³

4x −x +3 x +C. B. ¹ ⁴ ¹ ³ ⁴ ³

4x −3x +3 x +C. C. ¹ ⁴ ³ ² ³

4x −x +3 x +C. D. ¹ ⁴ ¹ ³ ² ³

4x −3x +3 x +C. Câu 26. Họ nguyên hàm của hàm số ^{f x}

( )

⁼³ ^x⁺^x²⁰¹⁸^là

A.

2019

673

x+x +C. B.

2019

2 3

2019 x + x +C. C.

1 2019

673

x C

x + + . D. 1 ²⁰¹⁷

2 6054x C

x + + .

Câu 27. Hàm số F x( )=e^x+tanx C+ là nguyên hàm của hàm số f(x) nào

A. 1₂

( ) sin

f x ex

= − x B. 1₂

( ) sin

f x ex

= + x

C. ( ) 1 ₂

cos

x

x e

f x e

x

 − 

=  + 

  D.

( )

2

1 cos f x ex

= + x Câu 28. Nếu ^{f x}

( )

^d^x ¹ ^{ln 2}^x ^C

= +x +

∫

^với^x^∈

(

^0;^+∞

)

thì hàm số ^{f x}

( )

^là

A. ^{f x}

( )

¹₂ ¹^.

x x

= − + B.

( )

¹ ^.

f x x 2

= + x

C.

( )

2

( )

1 ln 2 .

f x x

= x + D.

( )

2

1 1

2 . f x = −x + x Câu 29. Tìm họ nguyên hàm của hàm số

( )

² ¹

1 x x

f x x

= − +

− .

A. 1

x 1 C

+x +

− . B.

( )

²

1 1

1 C

x

+ +

− . C.

2

ln 1 2

x + x− +C. D. x²+ln x− +1 C.

Câu 30. Nguyên hàm ^{F x}

( )

của hàm số

( )

2

3 1 f x sin

= − x là

A. ^{F x}

( )

⁼³^x⁻^tan^{x C}⁺ ^. ^B.^{F x}

( )

⁼³^x⁺^tan^{x C}⁺ ^.

C. ^{F x}

( )

⁼³^x⁺^cot^{x C}⁺ ^. ^D.^{F x}

( )

⁼³^x⁻^cot^{x C}⁺ ^.

Câu 31. Tìm nguyên hàm của hàm số ^{f x}

( )

^3cos^x ¹₂

= +x trên

(

^0;^{+ ∞}

)

^.

A. 3sinx ¹ C

− + +x . B. 3sinx ¹ C

− +x . C. 3cosx ¹ C

+ +x . D. 3cosx+lnx C+ .

(6)

https://toanmath.com/

( )

⁼³^x² ⁺^sin^x^là

A. x³+cosx C+ . B. x³+sinx C+ . C. x³−cosx C+ . D. 3x³−sinx C+ . Câu 33. Tìm nguyên hàm của hàm số f x( )=3x²+8sinx.

A.

∫

^{f x}

( )

^d^x⁼⁶^x⁻^{8 cos}^{x C}⁺ ^. ^B.

∫

^{f x}

( )

^d^x⁼⁶^x⁺^{8 cos}^{x C}⁺ ^.

C.

∫

^{f x}

( )

^d^x⁼^x³⁻^{8 cos}^{x C}⁺ ^. ^D.

∫

^{f x}

( )

^d^x⁼^x³⁺^{8 cos}^{x C}⁺ ^.

Câu 34. Tìm nguyên hàm của hàm số

( )

^cos²

2 f x =   x

 

A.

∫

^{f x}

( )

^d^x^{= +}^x ^sin^{x C}⁺ ^. ^B.

∫

^{f x}

( )

^d^x^{= −}^x ^sin^{x C}⁺ ^.

C.

( )

^d ¹^sin

2 2

f x x= +x x C+

∫

^. ^D.

∫

^{f x}

( )

^d^x^{= −}₂^x ¹₂^sin^{x C}⁺ ^.

Câu 35. Tìm họ nguyên hàm của hàm số ^{f x}

( )

^{= +}^x ^cos^x^.

A.

( )

^d ² ^sin

2

f x x= x + x C+

∫

^. ^B.

∫

^{f x}

( )

^d^x^{= −}^{1 sin}^{x C}⁺ ^.

C.

∫

^{f x}

( )

^d^x⁼^x^sin^x⁺^cos^{x C}⁺ ^. ^D.

∫

^{f x}

( )

^d^x⁼ ^x₂² ⁻^sin^{x C}⁺ ^.

Câu 36.

∫ (

^x²⁺²^x³

)

^dx^{có dạng} ³ ⁴

3 4

a b

x + x +C, trong đó a b, là hai số hữu tỉ. Giá trị a bằng:

A. 2. B. 1. C. 9 . D. 32 .

Câu 37. ¹ ³ ¹ ³ ⁵

3x 5 x dx

 + 

 + 

 

 

∫

^{có d}^ạ^ng₁₂^a ^x⁴⁺₆^b^x⁶⁺^C, trong đó ^{a b}^, là hai số hữu tỉ. Giá trị a bằng:

A. 1. B. 12. C. ³⁶₅

(

¹⁺ ³

)

^. ^{D. Không t}^ồ^{n t}^ạ^i.

Câu 38.

∫ ( (

²^a⁺¹

)

^x³⁺^bx²

)

^dx, trong đó ^{a b}^, là hai số hữu tỉ. Biết rằng

( )

(

² ¹ ³ ²

)

³ ⁴ ³

a+ x +bx dx=4x +x +C

∫

^{. Giá tr}^ị ^{a b}^, ^l^{ần lượ}^{t b}^ằ^ng:

A. 1; 3. B. 3; 1. C. ¹; 1

−8 . D.

1 1

sin 2 cos 2

4x x−2 x

Câu 39. Tìm nguyên hàm của hàm số ^{f x}

( )

^thỏa mãn điều kiện:

( )

² ^{3cos , 3}

f x = x− x F   π2 = A.

2

( ) 2 3sin 6 F x ₌x ₋ x_{+ +}π4

B.

2

( ) 2 3sin F x ₌x ₋ x₋π4 C.

2

( ) 2 3sin F x ₌x ₋ x₊π4

D.

2

( ) 2 3sin 6

F x ₌x ₋ x_{+ −}π4 Câu 40. Một nguyên hàm F(x) của hàm số ^{( )} ² ¹₂

f x x sin

= + x thỏa mãn F( ) 1 4 π _{= −}

là:

A.

2

F( ) ot 2

x _{= −}c x₊x ₋16π

B.

2

F( ) ot 2

x ₌c x₋x ₊16π

C. F( )x = −c xot +x² D.

2

F( ) ot 2

x _{= −}c x₊x ₋π16

(7)

https://toanmath.com/

Câu 41. Nếu

∫

f x dx( ) =e^x+sin²x C+ ^thì ^{f x}^{( )} là hàm nào?

A. e^x+cos²x B. e^x−sin 2x C. e^x+cos 2x D. e^x+sin 2x Câu 42. Tìm một nguyên hàm F(x) của

3 2

( ) x 1 f x x

= − biết F(1) = 0

A.

2 1 1

( ) 2 2

F x x

= − +x B.

2 1 3

( ) 2 2

F x x

= + +x C.

2 1 1

( ) 2 2

F x x

= − −x D.

2 1 3

(x) 2 2

F x

= + −x Câu 43. Họ nguyên hàm của hàm số 2 3

( )

f x = x +x là :

A. 4 x+3ln x +C. B. 2 x+3ln x +C. C.

( )

⁴ ^x ⁻¹⁺^3ln ^x ⁺^C^. ^{D. 16} ^x⁻^3ln ^x ⁺^C^.

Câu 44. Tính

3 2 4

( x )dx + x

∫

A. ³³ ⁵ 4 ln

5 x x C

− + + . B. ³³ ⁵ 4 ln

5 x − x +C. C. ⁵³ ⁵ 4 ln

3 x + x +C. D. ³³ ⁵ 4 ln

5 x + x +C. Câu 45. Nguyên hàm F(x) của hàm số f x( )=4x³−3x²+2x−2 thỏa mãn F(1)=9 là:

A. F( )x =x⁴ − +x³ x²−2. B. F( )x =x⁴− +x³ x²+10. C. F( )x =x⁴ − +x³ x²−2x. D. F( )x =x⁴− +x³ x²−2x+10. Câu 46. Họ nguyên hàm của hàm số y=(2x+1)⁵ là:

A. ¹ (2 1)⁶

12 x+ +C. B. ¹(2 1)⁶

6 x+ +C. C. ¹(2 1)⁶

2 x+ +C. D. 10(2x+1)⁴+C.

Câu 47. Nguyên hàm ^{F x}

( )

của hàm số ^{f x}

( )

⁼²^x²⁺^x³⁻⁴ thỏa mãn điều kiện ^F

( )

⁰ ⁼⁰^là

A. 2x³−4x⁴. B.

4

2 3

3 4 4

x + x − x. C. x³−x⁴+2x. D. Đáp án khác.

Câu 48. Tìm hàm số F(x) biết rằng ^{F x}^’

( )

⁼⁴^x³ ^{– 3}^x²⁺²^và^F

( )

^{− =}¹ ³

A. ^{F x}

( )

⁼^x⁴^–^x³⁻²^x⁻³ ^B.^{F x}

( )

⁼^x⁴ ^–^x³⁺²^x⁺³

C. ^{F x}

( )

⁼^x⁴^–^x³⁻²^x⁺³ ^D.^{F x}

( )

⁼^x⁴⁺^x³⁺²^x⁺³

Câu 49. Hàm số ^{f x}

( )

xác định, liên tục trên  và có đạo hàm là ^f^′

( )

^x ^{= −}^x ¹^{. Bi}ết rằng

( )

⁰ ³

f = . Tính ^f

( )

² ⁺ ^f

( )

⁴ ^?

A. 10. B. 12. C. 4. D. 11.

( )

thỏa mãn đồng thời các điều kiện ^f^′

( )

^x ^{= +}^x ^sin^x^và ^f

( )

⁰ ⁼¹^{. Tìm}

( )

f x .

A.

( )

² ^cos ²

2

f x = x − x+ . B.

( )

² ^cos ²

2

f x = x − x− . C.

( )

² ^cos

2

f x = x + x. D.

( )

² ^cos ¹

2 2

f x = x + x+ .

(8)

( )

thỏa mãn ^f^′

( )

^x ^{= −}^{3 5 cos}^x^và ^f

( )

⁰ ⁼⁵. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. ^{f x}

( )

⁼³^x⁺^5sin^x⁺²^. ^B. ^{f x}

( )

⁼³^x⁻^5sin^x⁻⁵^.

C. ^{f x}

( )

⁼³^x⁻^5sin^x⁺⁵^. ^D. ^{f x}

( )

⁼³^x⁺^5sin^x⁺⁵^.

Câu 52. Biết ^{F x}

( )

là một nguyên hàm của của hàm số ^{f x}

( )

⁼^sin^x và đồ thị hàm số ^y⁼^{F x}

( )

đi qua điểm ^M

( )

^0;1 ^{. Tính} ^.

F π2

  

A. 2

F_{  =}π2

   . B. 1 F_{  = −}π2

   . C. 0 F_{  =}π2

   . D. 1 F_{  =}π2

   . Câu 53. Cho ^{F x}

( )

⁼^x²⁻²^x⁺³^thỏa mãn ^F

( )

⁰ ⁼²^{, giá tr}ị

của ^F

( )

¹ ^bằng

A. 4. B. ¹³

3 . C. 2. D. ¹¹

3 . Câu 54. Tìm một nguyên hàm^{F x}

( )

của hàm số

( )

b2

(

0

)

f x ax x

= +x ≠ , biết rằng ^F

( )

^{− =}¹ ¹^,

( )

¹ ⁴

F = , ^f

( )

¹ ⁼⁰_.

A.

( )

³ ² ³ ⁷

4 2 4

F x x

= + x+ . B.

( )

³ ² ³ ⁷

4 2 4

F x x

= − x− . C.

( )

³ ² ³ ⁷

2 4 4

F x x

= + x− . D.

( )

³ ² ³ ¹

2 2 2

F x x

= − x− .

Câu 55. Biết hàm số ^y⁼ ^{f x}

( )

^có ^f^′

( )

^x ⁼³^x²⁺²^{x m}^{− +}¹^, ^f

( )

² ⁼¹ và đồ thị của hàm số

( )

y= f x cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng −5. Hàm số ^{f x}

( )

^là

A. x³+x²−3x−5. B. x³+2x²−5x−5. C. 2x³+x²−7x−5. D. x³+x²+4x−5. Câu 56. Gọi ^{F x}

( )

là nguyên hàm của hàm số ^{f x}

( ) (

⁼ ²^x⁻³

)

²^thỏa mãn

( )

⁰ ¹

F =3. Giá trị của biểu thức log23F

( )

1 −2F

( )

2  bằng

A. 10 . B. −4. C. 4. D. 2.

Câu 57. Gọi ^{F x}

( )

là nguyên hàm của hàm số ^{f x}

( )

⁼⁴^x³⁺²

(

^m⁻¹

)

^x^{+ +}^m ⁵^{, v}ới m là tham số thực. Một nguyên hàm của ^{f x}

( )

^biết rằng ^F

( )

¹ ⁼⁸^và^F

( )

⁰ ⁼¹^là:

A. ^{F x}

( )

⁼^x⁴⁺²^x²⁺⁶^x⁺¹ ^B.^{F x}

( )

⁼^x⁴⁺⁶^x⁺¹^.

C. ^{F x}

( )

⁼^x⁴⁺²^x² ⁺¹^. ^D.Đáp án A và B

(9)

https://toanmath.com/

C – HƯỚNG DẪN GIẢI

DẠNG 1:SỬ DỤNG LÍ THUYẾT

Câu 1. Trong các khẳng định dưới đây, có bao nhiêu khẳng định đúng?

[ ]

^{a b}^; đều có đạo hàm trên

[ ]

^{a b}^; ^.

[ ]

^{a b}^; ^đều có nguyên hàm trên

[ ]

^{a b}^; ^.

(3): Mọi hàm sốđạo hàm trên

[ ]

^{a b}^; ^.

[ ]

^{a b}^; đều có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên

[ ]

^{a b}^; ^.

A. 2. B. 3. C. 1. D. 4.

Hướng dẫn giải Chọn B

Khẳng định (1): Sai, vì hàm số y= x liện tục trên

[

⁻^1;1

]

nhưng không có đạo hàm tại x=0 nên không thểcó đạo hàm trên

[

⁻^1;1

]

Khẳng định (2): đúng vì mọi hàm số liên tục trên

[ ]

^{a b}^; ^.

Khẳng định (3): Đúng vì mọi hàm số có đạo hàm trên

[ ]

^{a b}^; thì đều liên tục trên

[ ]

^{a b}^; ^nên

đều có nguyên hàm trên

[ ]

^{a b}^; ^.

Khẳng định (4): Đúng vì mọi hàm số liên tục trên

[ ]

^{a b}^; ^đều có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên

[ ]

^{a b}^; ^.

( )

^,^{g x}

( )

^{liên t}ục trên _. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

A.

∫

^_^{f x}

( )

⁺^{g x}

( )

^_^d^x⁼

∫

^{f x}

( )

^d^x⁺

∫

^{g x}

( )

^d^x^.

B.

∫

^_^{f x g x}

( ) ( )

^. ^_^d^x⁼

∫

^{f x}

( )

^{d .}^{x g x}

∫ ( )

^d^x^.

C.

∫

^_^{f x}

( ) ( )

⁻^{g x} ^_^d^x⁼

∫

^{f x}

( )

^d^x⁻

∫

^{g x}

( )

^d^x^.

D.

∫

^{kf x}

( )

^d^x⁼^{k f x}

∫ ( )

^d^x

(

^k^≠^0;^k^∈^

)

^.

Câu 3. Cho ^{f x}

( )

^,^{g x}

( )

là các hàm số xác định và liên tục trên _. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

A.

∫

^{f x g x}

( ) ( )

^d^x⁼

∫

^{f x}

( )

^{d .}^{x g x}

∫ ( )

^d^x^. ^B.

∫

²^{f x}

( )

^d^x⁼²

∫

^{f x}

( )

^d^x^.

C.

∫

^_^{f x}

( )

⁺^{g x}

( )

^_^d^x⁼

∫

^{f x}

( )

^d^x⁺

∫

^{g x}

( )

^d^x^{. D.}

( ) ( )

^d

( )

^d

( )

^d

f x −g x x= f x x− g x x

 

 

∫ ∫ ∫

^.

Hướng dẫn giải Chọn A

Nguyên hàm không có tính chất nguyên hàm của tích bằng tích các nguyên hàm.

Hoặc B, C, D đúng do đó là các tính chất cơ bản của nguyên hàm nên A sai.

Câu 4. Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?

A.

∫

^{kf x}

( )

^d^x⁼^{k f x}

∫ ( )

^d^x^với^k^∈^^.

B.

∫

^_^{f x}

( )

⁺^{g x}

( )

^_^d^x⁼

∫

^{f x}

( )

^d^x⁺

∫

^{g x}

( )

^d^x^với^{f x}

( )

^;^{g x}

( )

liên tục trên _.

C. d ¹ ¹

x^α x 1x^α

α ⁺

= +

∫

^v^ớⁱ^α ^{≠ −}¹^.

D.

( ∫

^{f x}

( )

^d^x

)

^{′ =} ^{f x}

( )

^.

(10)

https://toanmath.com/

Ta có

∫

^{kf x}

( )

^d^x⁼^{k f x}

∫ ( )

^d^x^v^ớⁱ^k^∈^ sai vì tính chất đúng khi ^k^∈^{\ 0}

{ }

.

( )

^,^{g x}

( )

^{là hàm s}ố liên tục, có ^{F x}

( )

^,^{G x}

( )

^lần lượt là nguyên hàm của ^{f x}

( )

^,^{g x}

( )

. Xét các mệnh đề sau:

( )

^I ^.^{F x}

( )

⁺^{G x}

( )

( ) ( )

⁺^{g x} ^.

( )

^II ^.^{k F x}^.

( )

^{là m}ột nguyên hàm của ^{k f x}^.

( )

^với k∈.

( )

^III ^.^{F x G x}

( ) ( )

^. ^{là m}ột nguyên hàm của ^{f x g x}

( ) ( )

^. ^.

Các mệnh đềđúng là

A.

( )

^II ^và

( )

^III ^. B. Cả 3 mệnh đề. C.

( )

^I ^và

( )

^III ^. ^D.

( )

^I ^và

( )

^II ^.

Hướng dẫn giải Chọn D

Theo tính chất nguyên hàm thì

( )

^I ^và

( )

^II là đúng,

( )

^III ^sai.

Câu 6. Mệnh đềnào sau đây sai?

A.

∫

^_^{f x}

( ) ( )

⁻^{g x} ^_^dx⁼

∫

^{f x dx}

( )

⁻

∫

^{g x dx}

( )

( ) ( )

^, ^{g x} liên tục trên . B.

∫

^f^′

( )

^{x dx}⁼ ^{f x}

( )

⁺^C với mọi hàm số ^{f x}

( )

có đạo hàm trên .

C.

∫

^_^{f x}

( )

⁺^{g x}

( )

^_^dx⁼

∫

^{f x dx}

( )

⁺

∫

^{g x dx}

( )

( ) ( )

^, ^{g x} liên tục trên . D.

∫

^{kf x dx}

( )

⁼^{k f x dx}

∫ ( )

( )

liên tục trên .

Mệnh đề:

∫

^{kf x dx}

( )

⁼^{k f x dx}

∫ ( )

( )

liên tục trên

 là mệnh đề sai vì khi k=0 thì

∫

^{kf x dx}

( )

^≠^{k f x dx}

∫ ( )

^.

( )

xác định trên K và ^{F x}

( )

^trên^K^{. Kh}ẳng định nào dưới đây đúng?

A. ^f^′

( )

^x ⁼^{F x}

( )

^,^{∀ ∈}^x ^K ^. ^B.^{F x}^′

( )

⁼ ^{f x}

( )

^,^{∀ ∈}^x ^K ^.

C. ^{F x}

( )

⁼ ^{f x}

( )

^,^{∀ ∈}^x ^K^. ^D.^{F x}^′

( )

⁼ ^f^′

( )

^x ^,^{∀ ∈}^x ^K^.

Ta có ^{F x}

( )

⁼

∫

^{f x}

( )

^d^x^,^{∀ ∈}^x ^K ^⇒^^^{F x}

( )

^^^′ ⁼ ^{f x}

( )

^,^{∀ ∈}^x ^K ^.

( )

xác định trên K. Khẳng định nào sau đây sai?

A. Nếu hàm số ^{F x}

( )

^trên^K^{thì v}ới mỗi hằng số C, hàm số

( ) ( )

( )

^trên^K^.

B. Nếu ^{f x}

( )

^{liên t}ục trên K thì nó có nguyên hàm trên K.

C. Hàm số ^{F x}

( )

được gọi là một nguyên hàm của ^{f x}

( )

^trên^Kⁿếu ^{F x}^′

( )

⁼ ^{f x}

( )

^với mọi x∈K.

D. Nếu hàm số ^{F x}

( )

^trên^K^{thì hàm s}ố ^F

( )

⁻^x ^{là m}ột nguyên hàm của ^{f x}

( )

^trên^K^.

Dựa theo định lí 1 trang 95 SGK 12 CB suy ra khẳng định A đúng.

(11)

https://toanmath.com/

Dựa theo định lí 3 Sự tồn tại nguyên hàm trang 97 SGK 12 CB kết luận B đúng.

Và C đúng dựa vào định nghĩa của nguyên hàm.

(12)

DẠNG 2: ÁP DỤNG TRỰC TIẾP BẢNG NGUYÊN HÀM.

Câu 9. Cho

( )

¹

f x 2

= x

+ , chọn mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:

A. Trên

(

^{− +∞}^2;

)

( )

^là F x

( )

=ln

(

x+2

)

+C1; trên khoảng

(

^{−∞ −}^{; 2}

)

( )

^làF x

( )

=ln

(

− − +x 2

)

C2 (C C₁, ₂ là các hằng số).

B. Trên khoảng

(

^{−∞ −}^{; 2}

)

( )

^là^{G x}

( )

⁼^ln

(

^{− − −}^x ²

)

³^.

C. Trên

(

^{− +∞}^2;

)

( )

^là^{F x}

( )

⁼^ln

(

^x⁺²

)

^.

D. Nếu ^{F x}

( )

^và^{G x}

( )

là hai nguyên hàm của của ^{f x}

( )

thì chúng sai khác nhau một hằng số.

D sai vì ^{F x}

( )

⁼^ln

(

^x⁺²

)

^và^{G x}

( )

⁼^ln

(

^{− − −}^x ²

)

³ đều là các nguyên hàm của hàm số ^{f x}

( )

nhưng trên các khoảng khác nhau thì khác nhau.

Câu 10. Khẳng định nào đây sai?

A.

∫

cos dx x= −sinx C+ ^. ^B.

∫

¹_x^d^x⁼^ln ^x ⁺^C^.

C.

∫

2 dx x=x²+C^. ^D.

∫

^{e d}^x ^x⁼^e^x⁺^C^.

Ta có

∫

cos dx x=sinx C+ ^⇒^{A sai.}

Câu 11. Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau A.

4 3d

4 x C x x= +

∫

^. ^B.

∫

¹_x^d^x⁼^ln^{x C}⁺ ^.

C.

∫

sin dx x= −C cosx^. ^D.

∫

^{2e d}^x ^x⁼^{2 e}

(

^x⁺^C

)

^.

Ta có ¹dx ln x C

x = +

∫

^.

Câu 12. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

A.

∫

dx= +x 2C⁽^C^{là h}^ằ^{ng s}^ố^). ^B.

∫

^{x x}ⁿ^d ⁼_n^xⁿ₊⁺¹₁⁺^C⁽^C^{là h}^ằ^{ng s}^ố^;ⁿ^∈^^).

C.

∫

0dx=C⁽^C^{là h}^ằ^{ng s}^ố^). ^D.

∫

^{e d}^x ^x⁼^e^x⁻^C⁽^C^{là h}^ằ^{ng s}^ố^).

Đáp án B sai vì công thức trên chỉđúng khi bổsung thêm điều kiện n≠ −1. Câu 13. Tìm nguyên hàm ^{F x}

( )

⁼

∫

^π²^d^x^.

A. ^{F x}

( )

⁼^π²^{x C}⁺ ^. ^B.^{F x}

( )

⁼²^π^{x C}⁺ ^.

C.

( )

³

F x ₌π3 ₊C

. D.

( )

² ²

2 F x ₌π x ₊C

. Hướng dẫn giải

Chọn A

Ta có ^{F x}

( )

⁼

∫

^π²^d^x⁼^π²^{x C}⁺ ^(vì^π²^{là h}^ằ^{ng s}^ố^).

( )

⁼^e^x⁺^cos^x⁺²⁰¹⁸^là

(13)

A. ^{F x}

( )

⁼^e^x⁺^sin^x⁺²⁰¹⁸^{x C}⁺ ^. ^B.^{F x}

( )

⁼^e^x⁻^sin^x⁺²⁰¹⁸^{x C}⁺ ^.

C. ^{F x}

( )

⁼^e^x⁺^sin^x⁺²⁰¹⁸^x^. ^D.^{F x}

( )

⁼^e^x⁺^sin^x⁺²⁰¹⁸⁺^C^.

Câu 15. Nguyên hàm của hàm số ^{f x}

( )

⁼²^x³⁻⁹^là:

A. ¹ ⁴ 9

2x − x C+ . B. 4x⁴−9x C+ . C. ¹ ⁴

4x +C. D. 4x³−9x C+ . Hướng dẫn giải

Chọn A

(

²^x³⁻^{9 d}

)

^x

∫

⁼^2.^x₄⁴ ⁻⁹^{x C}⁺ ⁼ ^x₂⁴ ⁻⁹^{x C}⁺ ^.

( )

⁼^e.^x<