MỤC LỤC

Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 1 CHUYÊN

ĐỀ 18

NGUYÊN HÀM & PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM

MỤC LỤC

PHẦN A. CÂU HỎI ... 2

Dạng 1. Nguyên hàm cơ bản (dùng bảng nguyên hàm) ... 2

Dạng 1.1 Tìm nguyên hàm cơ bản không có điều kiện ... 2

Dạng 1.2 Tìm nguyên hàm cơ bản có điều kiện ... 11

Dạng 2. Sử dụng phương pháp VI PHÂN để tìm nguyên hàm ... 16

Dạng 2.1 Tìm nguyên hàm không có điều kiện ... 16

Dạng 2.2 Tìm nguyên hàm có điều kiện... 17

Dạng 3. Sử dụng phương pháp ĐỔI BIẾN để tìm nguyên hàm ... 18

Dạng 3.1 Tìm nguyên hàm không có điều kiện ... 18

Dạng 3.2 Tìm nguyên hàm có điều kiện... 21

Dạng 4. Nguyên hàm từng phần ... 22

Dạng 4.1 Tìm nguyên hàm không có điều kiện ... 22

Dạng 4.2 Tìm nguyên hàm có điều kiện... 25

Dạng 5. Sử dụng nguyên hàm để giải toán ... 26

Dạng 6. Một số bài toán khác liên quan đến nguyên hàm ... 30

PHẦN B. ĐÁP ÁN THAM KHẢO ... 33

Dạng 1. Nguyên hàm cơ bản (dùng bảng nguyên hàm) ... 33

Dạng 1.1 Tìm nguyên hàm cơ bản không có điều kiện ... 33

Dạng 1.2 Tìm nguyên hàm cơ bản có điều kiện ... 38

Dạng 2. Sử dụng phương pháp VI PHÂN để tìm nguyên hàm ... 44

Dạng 2.1 Tìm nguyên hàm không có điều kiện ... 44

Dạng 2.2 Tìm nguyên hàm có điều kiện... 45

Dạng 3. Sử dụng phương pháp ĐỔI BIẾN để tìm nguyên hàm ... 47

Dạng 3.1 Tìm nguyên hàm không có điều kiện ... 47

Dạng 3.2 Tìm nguyên hàm có điều kiện... 51

Dạng 4. Nguyên hàm từng phần ... 53

Dạng 4.1 Tìm nguyên hàm không có điều kiện ... 53

Dạng 4.2 Tìm nguyên hàm có điều kiện... 57

Dạng 5. Sử dụng nguyên hàm để giải toán ... 60

Dạng 6. Một số bài toán khác liên quan đến nguyên hàm ... 69

Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 2 PHẦN A. CÂU HỎI

Dạng 1. Nguyên hàm cơ bản (dùng bảng nguyên hàm) Dạng 1.1 Tìm nguyên hàm cơ bản không có điều kiện

Câu 1. (MĐ 103 BGD&ĐT NĂM 2017-2018) Nguyên hàm của hàm số ^{f x}

 

^{x4x2 là}

A. ^{1 5 1 3}

5x 3x C B. x⁴x²C C. x⁵x³C. D. 4x³2xC Câu 2. (Mã đề 104 - BGD - 2019) Họ tất cả nguyên hàm của hàm số ^{f x}

 

^{2x4 là}

A. x²C. B. 2x² C. C. 2x²4xC. D. x² 4xC. Câu 3. (Mã 102 - BGD - 2019) Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số ^{f x}

 

^{2x6 là}

A. x²C. B. x²6x C . C. 2x²C. D. 2x²6x C . Câu 4. (MĐ 105 BGD&ĐT NĂM 2017) Tìm nguyên hàm của hàm số ^{f x}

 

^{2 sinx.}

A.



^{2 sinxdx} ^{2 cosx C} ^B.



^{2 sinxdx2 cosx C}

C.



^{2 sinxdx}^{sin2x C} ^D.



^{2 sinxdxsin 2x C}

Câu 5. (Mã đề 101 BGD&ĐT NĂM 2018) Nguyên hàm của hàm số ^{f x}

 

^{x3x là}

A. ^{1 4 1 2}

4x 2x C B. 3x² 1 C C. x³ x C D. x⁴x²C Câu 6. (Mã 103 - BGD - 2019) Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số ^{f x}

 

^{2x3 là}

A. x²3xC. B. 2x²3xC. C. x²C. D. 2x² C. Câu 7. (ĐỀ MINH HỌA GBD&ĐT NĂM 2017) Tìm nguyên hàm của hàm số ^{f x}

 

^{ 2x1.}

A.

 

²



^{2 1}



^{2 1 .}

f x dx 3 x x C



^B.



^{f x dx}

 

^1₃



^2x1



^{2x 1 C.}

C.

 

^{1 2 1 .}

f x dx 3 x C



^D.



^{f x dx}

 

^{ 1}₂ ^{2x 1 C.}

Câu 8. (ĐỀ THAM KHẢO BGD&ĐT NĂM 2017) Tìm nguyên hàm của hàm số ^{f x}

 

^{x2 2}₂

  x . A.

 

3 1

d 3

f x x x C

  x



^{. B.}

 

3 2

d 3

f x x x C

 x



^.

Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 3 C.

 

3 1

d 3

f x x x C

 x



^{. D.}

 

3 2

d 3

f x x x C

  x



^.

Câu 9. (MÃ ĐỀ 110 BGD&ĐT NĂM 2017) Tìm nguyên hàm của hàm số

 

¹

5 2

f x  x

 .

A. ^{d 1}ln 5 2

5 2 5

x x C

x   



 ^B.



_5x^d_^x₂^{ln 5x2 C}

C. ^{d 1}ln 5 2

5 2 2

x x C

x    



 ^D.



_5x^d_^x₂ ^{5 ln 5x2 C}

Câu 10. (MÃ ĐỀ 123 BGD&DT NĂM 2017) Tìm nguyên hàm của hàm số ^{f x}

 

^{cos 3x}

A.



^{cos 3xdx}^{3 sin 3x C} ^B.



^{cos 3xdxsin 3}₃ ^xC

C.



^{cos 3xdx}^{sin 3x C} ^D.



^{cos 3xdx sin 3}₃ ^xC

Câu 11. (Mã đề 104 BGD&ĐT NĂM 2018) Nguyên hàm của hàm số ^{f x}

 

^{x3x2 là}

A. ^{1 4 1 3}

4x 3x C B. 3x²2xC C. x³x²C D. x⁴x³C

Câu 12. (ĐỀ THAM KHẢO BGD&ĐT NĂM 2018-2019) Họ nguyên hàm của hàm số ^{f x}

 

^{exx là}

A. e^x 1 C B. e^xx²C C. ^{1 2} 2

ex x C D. ^{1 1 2}

1 2

ex x C

x  

 Câu 13. (Mã đề 101 - BGD - 2019) Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f x( )2x5 là

A. x²C. B. x²5x C . C. 2x²5x C . D. 2x²C. Câu 14. (MĐ 104 BGD&DT NĂM 2017) Tìm nguyên hàm của hàm số ^{f x}

 

^7x.

A. 7

7 d ln 7

x

x x C



^B.



^{7 dx x7x1C}

C.

7 1

7 d 1

x

x x C

x



 



 ^D.



^{7 dx x7 ln 7x C}

Câu 15. Tìm nguyên hàm của hàm số ^{f x}

 

^{cos 2x.}

A.



^{f x}

 

^{dx2 sin 2xC B.}



^{f x}

 

^{dx 2 sin 2xC}

C.

 

^{d 1sin 2}

2 



^{f x x x C D.}



^{f x}

 

^{dx 1}₂^{sin 2x C}

Câu 16. (Mã đề 102 BGD&ĐT NĂM 2018) Nguyên hàm của hàm số ^{f x}

 

^{x4x là}

Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 4 A. 4x³ 1 C B. x⁵x²C C. 1 ⁵ 1 ²

5x 2x C D. x⁴  x C Câu 17. (ĐỀ THAM KHẢO BGD & ĐT 2018) Họ nguyên hàm của hàm số f x( )3x²1 là

A. x³C B.

3

3

x  x C C. 6xC D. x³ x C

Câu 18. (THPT AN LÃO HẢI PHÒNG NĂM 2018-2019 LẦN 02) Tìm nguyên hàm



^{x x}



^{2 7}



^15dx?

A. ¹



^{2 7}



¹⁶

2 x  C B. ¹



^{2 7}



¹⁶

32 x C

   C. ¹



^{2 7}



¹⁶

16 x  C D. ¹



^{2 7}



¹⁶

32 x  C

Câu 19. (THPT BA ĐÌNH NĂM 2018-2019 LẦN 02) Họ nguyên hàm của hàm số f(x)e^3xlà hàm số nào sau đây?

A. 3e^xC. B. ^{1 3}

3e ^xC. C. ¹

3e^xC. D. 3e^3xC. Câu 20. (THPT CẨM GIÀNG 2 NĂM 2018-2019) Tính

 

^{xsin 2 dx x}



_.

A.

2

2 sin

x  x C . B.

2

cos 2 2

x  x C . C. ^{2 cos 2} 2

x  xC. D.

2 cos 2

2 2

x x

C

  .

Câu 21. (TRƯỜNG THPT HOÀNG HOA THÁM HƯNG YÊN NĂM 2018-2019) Nguyên hàm của hàm số

2 1

e ^x y ^ là

A. 2e^2x1C. B. e^2x1C. C. 1 ^{2 1} 2e

x^ C. D. 1

2e

xC.

Câu 22. (THPT HÙNG VƯƠNG BÌNH PHƯỚC NĂM 2018-2019 LẦN 01) Tìm họ nguyên hàm của hàm

số

 

¹

2 3

f x  x



A. ln 2x3 C. B. 1

ln 2 3

2 x C. C. 1

ln 2 3

ln 2 x C. D. ^{1lg 2}



³



2 x C. Câu 23. (THPT HÙNG VƯƠNG BÌNH PHƯỚC NĂM 2018-2019 LẦN 01) Tìm họ nguyên hàm của hàm số y x² 3^{x 1}

   x. A.

3

2

3 1

3 ln 3 , x x

x C C

   . B.

3

2

3 1 ,

3 x x

x C C

   .

C.

3 3

ln , 3 ln 3

x x

x C C

   . D.

3 3

ln , 3 ln 3

x x

x C C

   .

Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 5 Câu 24. (THPT HÙNG VƯƠNG BÌNH PHƯỚC NĂM 2018-2019 LẦN 01) Tìm họ nguyên hàm của hàm số f x

 

sin 3x

A. 3cos3xC. B. 3cos3xC. C. ¹cos3

3 xC. D. ¹cos3

3 x C

  .

Câu 25. (CHUYÊN KHTN NĂM 2018-2019 LẦN 01) Họ nguyên hàm của hàm số ^{f x}

 

^{3x2sinx là}

A. x³cosxC. B. 6xcosx C . C. x³cosxC. D. 6xcosx C . Câu 26. (CHUYÊN BẮC NINH NĂM 2018-2019 LẦN 03) Công thức nào sau đây là sai?

A. 1

ln dx x C

 x



^{. B.}



_cos¹²_x^{dxtanx C .}

C.



sin dx x cosx C ^{. D.}



^{e dx xexC.}

Câu 27. (CHUYÊN BẮC NINH NĂM 2018-2019 LẦN 03) Nếu



^{f x}

 

^{dx4x3x2C} thì hàm số ^{f x}

 

bằng

A.

 

3 4

3

f x x  x Cx. B. ^{f x}

 

^{12x22x C .}

C. ^{f x}

 

^{12x22x. D.}

 

3 4

3 f x x x .

Câu 28. (THPT LƯƠNG THẾ VINH HÀ NỘI NĂM 2018-2019 LẦN 1) Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

A. cos 2 ¹sin 2 d 2

x x x C



^{. B.}

e e

1

d 1 e

x x x C



 



 ^.

C. ¹dx ln x C

x  



^{. D.}

e 1

e d 1

x

x x C

x



 



 ^.

Câu 29. (THPT LƯƠNG THẾ VINH HÀ NỘI NĂM 2018-2019 LẦN 1) Nguyên hàm của hàm số y2^x là A.



2^xdxln 2.2^xC^{. B.}



^{2xdx2xC. C. 2 d} _ln²₂

x

x x C



^{. D. 2 d 2} ₁

x

x x C

 x 



 ^.

Câu 30. (HỌC MÃI NĂM 2018-2019-LẦN 02) Họ nguyên hàm của hàm số ^{f x}

 

^{x2 là}

A. ^{F x}

 

^{2x C . B.}

 

3

3

F x  x C. C. ^{F x}

 

^{x3C. D. F x}

 

^{x C .}

Câu 31. (LIÊN TRƯỜNG THPT TP VINH NGHỆ AN NĂM 2018-2019) Tìm họ nguyên hàm của hàm số

 

^{3 sin}

f x  x x.

Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 6 A.



^{f x x}

 

^{d 3x2cosx C . B.}

 

3 2

d cos

2

f x x x  x C



^.

C.

 

3 2

d cos

2

f x x x  x C



^{. D.}



^{f x x}

 

^{d  3 cosx C .}

Câu 32. (SỞ GD&ĐT BÌNH PHƯỚC NĂM 2018-2019 LẦN 01) Họ nguyên hàm của hàm số ( ) s inx

f x x là

A. x²cos x+C B. x²cos x+C C.

2

cos x+C 2

x  D.

2

cos x+C 2

x 

Câu 33. (THPT MINH KHAI HÀ TĨNH NĂM 2018-2019) Họ nguyên hàm của hàm số f x( )cosx là:

A. cosx C . B. cosx C . C. sinx C . D. sinx C .

Câu 34. (THPT ĐOÀN THƯỢNG - HẢI DƯƠNG - 2018 2019) Họ các nguyên hàm của hàm số

 

^{4 2}

f x x x là

A. 4x³2x C . B. x⁴x²C. C. ^{1 5 1 3}

5x 3x C. D. x⁵x³C.

Câu 35. (THPT CÙ HUY CẬN NĂM 2018-2019 LẦN 01) Họ nguyên hàm của hàm số ^{f x}

 

^{ex2x là.}

A. e^xx² C. B. e^xx²C. C. 1 ² 1

ex x C

x  

 . D. e^x 2 C.

Câu 36. (CHUYÊN HÙNG VƯƠNG GIA LAI NĂM 2018-2019 LẦN 01) Họ các nguyên hàm của hàm số cos

y x x là

A. sin ^{1 2}

x2x C. B. sinxx²C. C. sin ^{1 2} x 2x C

   . D. sinxx²C. Câu 37. (CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN ĐIỆN BIÊN NĂM 2018-2019 LẦN 02) Họ nguyên hàm của hàm số

2 1

3

y x x

  xlà A.

3 2

3 ln .

3 2

x x

x C

   B.

3 2

3 ln .

3 2

x x

x C

  

C.

3 2

3 ln .

3 2

x x

x C

   D.

3 2

2

3 1

3 2 .

x x

x C

  

Câu 38. (CHUYEN PHAN BỘI CHÂU NGHỆ AN NĂM 2018-2019 LẦN 02) Họ nguyên hàm của hàm số

 

^{1 sin}

f x x

 x là

A. lnxcosxC. B. ¹₂ cosx C

x   . C. ln x cosx C . D. ln x cosx C .

Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 7 Câu 39. (THPT YÊN PHONG 1 BẮC NINH NĂM HỌC 2018-2019 LẦN 2) Hàm số

 

^{1 3}

F x 3x là một nguyên hàm của hàm số nào sau đây trên



^{ ;}



^?

A. ^{f x}

 

^{3x2. B. f x}

 

^{ x3. C. f x}

 

^{ x2. D.}

 

^{1 4}

f x  4x .

Câu 40. (THPT YÊN PHONG 1 BẮC NINH NĂM HỌC 2018-2019 LẦN 2) Tìm họ nguyên hàm của hàm số ^{f x}

 

^2x.

A.



^{f x}

 

^{dx2xC. B.}

 

^d _{ln 2}²

x

f x x C



^.

C.



^{f x}

 

^{dx2 ln 2x C. D.}

 

2 1

d 1

x

f x x C

x



 



 ^.

Câu 41. (THPT - YÊN ĐỊNH THANH HÓA 2018 2019- LẦN 2) Tìm nguyên hàm của hàm số

 

4 2

2 f x x

x

  .

A.

 

3 1

d 3

f x x x C

 x



^{. B.}

 

3 2

d 3

f x x x C

 x



^.

C.

 

3 1

d 3

f x x x C

 x



^{. D.}

 

3 2

d 3

f x x x C

  x



^.

Câu 42. (SỞ GD&ĐT HÀ NỘI NĂM 2018-2019) Hàm số nào trong các hàm số sau đây là một nguyên hàm của hàm số ye^x?

A. y ¹

 x. B. ye^x. C. ye^x. D. ylnx.

Câu 43. (CHUYÊN LƯƠNG THẾ VINH ĐỒNG NAI NĂM 2018-2019 LẦN 01) Tính F x( )



e dx^{2 , trong} đó e là hằng số và ^{e2, 718}.

A.

2 2

( ) 2

F x  e x C. B.

3

( ) 3

F x e C. C. F x( )e x C²  . D. F x( )2ex C .

Câu 44. (CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN QUẢNG TRỊ NĂM 2018-2019 LẦN 01) Tìm nguyên hàm của hàm số

 

¹

f x 1 2

 x

 trên ;¹ 2

 

 

 . A. ¹ln 2 1

2 x C. B. ^{1ln 1 2}

 

2  x C. C. ¹ln 2 1

2 x C

   . D. ln 2x 1 C. Câu 45. (ĐỀ 04 VTED NĂM 2018-2019) Nguyên hàm của hàm số x³x²?

Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 8 A. 3x²2xC. B. 1 ⁴ 1 ³

4x 3x C. C. x⁴x³C. D. 4x⁴3x³C. Câu 46. (CHUYÊN HƯNG YÊN NĂM 2018-2019 LẦN 03) Nguyên hàm của hàm số ^{f x}

 

^{2xx là}

A.

2 2

ln 2 2

x x

C

  . B. 2^x  x²C . C. 2 ² ln 2

x

x C

  . D.

2

2 2

x x

C

  .

Câu 47. (THPT CHUYÊN SƠN LA NĂM 2018-2019 LẦN 01) Họ nguyên hàm của hàm số ^{f x}

 

^{ 1 sinx}

A. 1 cos x C . B. 1 cos x C . C. xcosxC. D. xcosxC.

Câu 48. (THPT ĐÔNG SƠN THANH HÓA NĂM 2018-2019 LẦN 02) Nguyên hàm của hàm số f(x)

3 2

1 2 2019

3x  x  x là

A. x C

x

x   

2 3

2 12

1 _{4 3} ²

. B.

2

4 3

1 2

9 3 2 2019

x  x x  x C .

C.

2

4 3

1 2

12 3 2 2019

x  x  x  x C . D.

2

4 3

1 2

9 3 2 2019

x  x x  x C .

Câu 49. (THPT LÊ QUÝ ĐÔN ĐÀ NẴNG NĂM 2018-2019) Họ nguyên hàm của hàm số t x( )2^xx² là A.

2 3

ln 2 3

x x

C

  . B. 2^x2x C . C.

3

2 ln 2 3

x x

C

  . D. 2 ln 2 2

x

x C

  .

Câu 50. (THPT YÊN KHÁNH - NINH BÌNH - 2018 - 2019) Họ nguyên hàm của hàm số 1

( ) 3 1

f x  x

 trên

khoảng 1

;3

 

 

  là:

A. 1

ln(3 1)

3 x C B. ln(1 3 ) x C C. 1

ln(1 3 )

3  x C D. ln(3x 1) C

Câu 51. (THPT CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG NAM ĐỊNH NĂM 2018-2019 LẦN 01) Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

A.



2 d^x x2 ln 2^x C^{. B.}

2

2 e

e d 2

x

x x C



^.

C. 1

cos 2 d sin 2 x x 2 x C



^{. D.}



_x¹_1^{dxln x 1 C}



^{  x 1}



^.

Câu 52. (THPT CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG NAM ĐỊNH NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho hàm số

4 2

2 3

( ) x

f x x

  . Khẳng định nào sau đây là đúng?

Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 9 A.

2 3 3

( ) 3 2

f x dx x C

  x



^{. B.}

2 3 3

( ) 3

f x dx x C

 x



^.

C.

2 3 3

( ) 3

f x dx x C

  x



^{. D.}



^{f x dx( ) 2x33}_x^C.

Câu 53. (SỞ GD&ĐT THANH HÓA NĂM 2018 - 2019) Cho hàm số ^{f x}

 

^{2x x 1. Tìm}



^{f x}

  d x

^.

A.



^{f x}

  d x 

^{2xx2 x C. B.}



^{f x}

  d x  ln 2 1

^2x

1 2

^{x2 x C.}

C.

  d

²

1

²

2

f x

x 

x x  x C



^{. D.}



^{f x}

  d x  x 1  1

^{2x }

1 2

^{x2 x C.}

Câu 54. (LIÊN TRƯỜNG THPT TP VINH NGHỆ AN NĂM 2018-2019) Tìm họ nguyên hàm của hàm số

 

^{3 sin}

f x  x x.

A.



^{f x x}

 

^{d 3x2cosx C . B.}

 

3 2

d cos

2

f x x x  x C

 ^.

C.

 

3 2

d cos

2

f x x x  x C

 ^{. D.}



^{f x x}

 

^{d  3 cosx C .}

Câu 55. (CHUYÊN BẮC GIANG NĂM 2018-2019 LẦN 02) Hàm số ^{F x}

 

^ex2 là nguyên hàm của hàm số nào trong các hàm số sau:

A. f x( )2xe^x2. B. f x( )x e^{2 x2} 1. C. f x( )e^2x. D.

2

( ) 2 ex

f x  x .

Câu 56. (THPT CHUYÊN ĐẠI HỌC VINH NĂM 2018-2019 LẦN 01) Tất cả các nguyên hàm của hàm số ( ) 3 ^x

f x  ^ là A. 3

ln 3

x

C



  B. 3^xC C. 3^xln 3C D. 3 ln 3

x

C





Câu 57. (SỞ GD&ĐT PHÚ THỌ NĂM 2018-2019 LẦN 01) Họ nguyên hàm của hàm số ^{f x}

 

^{x3x2 là}

A.

4 3

4  3  x x

C. B. x⁴x³C. C. 3x²2xC. D.

4 3

3  4  x x

C

Câu 58. (CHUYÊN ĐHSP HÀ NỘI NĂM 2018-2019 LẦN 01) Hàm số nào trong các hàm số sau đây không là nguyên hàm của hàm số yx²⁰¹⁹?

A.

2020

2020 1

x  . B.

2020

2020

x . C. y2019x²⁰¹⁸. D.

2020

2020 1 x  .

Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 10 Câu 59. (CHUYÊN QUỐC HỌC HUẾ NĂM 2018-2019 LẦN 1) Tìm họ nguyên hàm của hàm số

2 1

3

  ^x y x

x. A.

3 3

ln ,

3 ln 3 x x

x C C R

    B.

3 3

ln ,

3 ln 3 x x

x C C R

   

C.

3

2

3 1 ,

3 x x

C C R

  x   D.

3

2

3 1

3 ln 3 , x x

C C R

 x  

Câu 60. (SỞ GD&ĐT QUẢNG NINH NĂM 2018-2019 LẦN 01) Tìm nguyên hàm của hàm số

 

^{2017 2018}₅

x

x e

f x e

x

  

   

 

.

A. ^{f x}

 

^{dx 2017ex 2018}₄ ^C

  x 



^{. B.}



^{f x}

 

^{dx2017ex2018}_x^{4 C.}

C. ^{f x}

 

^{dx 2017ex 504, 5}₄ ^C

  x 



^{. D.}



^{f x}

 

^{dx2017ex504,5}_x^{4 C.}

Câu 61. (HSG BẮC NINH NĂM 2018-2019) Họ nguyên hàm của hàm số 2 ₂ cos

x

x e

y e

x

  

   

 

là

A. 2e^xtanx C B. 2e^xtanx C C. 1

2 cos

ex C

 x D. 1

2 cos

ex C

 x Câu 62. (ĐỀ 15 LOVE BOOK NĂM 2018-2019) Nguyên hàm của hàm số

 

¹

2 2 1

f x  x

 có dạng:

A.

 

^{d 1 2 1}

f x x2 x C



^{. B.}



^{f x}

 

^{dx 2x 1 C.}

C.



^{f x}

 

^{dx2 2x 1 C. D.}



^{f x}

 

^dx



_2x1



¹ _2x1^C.

Câu 63. (CHUYÊN HẠ LONG NĂM 2018-2019 LẦN 02) Tìm nguyên ^{F x}

 

của hàm số

  

¹

 

²

 

^{3 ?}



f x  x x x A.

 

4

3 11 2

6 6

4 2

F x x  x  x  x C . B. ^{F x}

 

^{x46x311x26x C .}

C.

 

4

3 11 2

2 6

4 2

F x x  x  x  x C . D. ^{F x}

 

^{x36x211x26x C .}

Câu 64. (Mã đề 104 - BGD - 2019) Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số

 

 

²

3 2

2 f x x

x

 



trên khoảng



^2;



^là

Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 11 A. ^3ln



²



²

x 2 C

  x 

 B. ^3ln



²



²

x 2 C

 x 

 C. ^3ln



²



⁴

x 2 C

 x 

 D. ^3ln



²



⁴

x 2 C

  x 

 . Câu 65. (Mã đề 101 - BGD - 2019) Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số

 

 

²

2 1

1

 

 f x x

x trên khoảng



^{  1;}



^là

A. ^{2 ln}



¹



²

  1

x  C

x . B. ^{2 ln}



¹



³

  1

x  C

x .

C. ^{2 ln}



¹



²

  1

x  C

x . D. ^{2 ln}



¹



³

  1

x  C

x .

Câu 66. (MÃ ĐỀ 123 BGD&DT NĂM 2017) Cho ^{F x}

 

^x2 là một nguyên hàm của hàm số ^{f x e}

 

^{. 2x. Tìm}

nguyên hàm của hàm số ^{f x e'}

 

^{. 2x.}

A.



^{f x e dx'}

 

^{. 2x  x2 x C B.}



^{f x e dx'}

 

^{. 2x  x22x C}

C.



^{f x e dx'}

 

^{. 2x 2x22x C D.}



^f'

 

^{x e dx. 2x  2x22x C}

Dạng 1.2 Tìm nguyên hàm cơ bản có điều kiện

Câu 67. (MĐ 104 BGD&DT NĂM 2017) Tìm nguyên hàm ^{F x}

 

của hàm số ^{f x}

 

^{sinxcosx thoả mãn}

2 2 F 

 

  .

A. ^{F x}

 

^{ cosxsinx3 B. F x}

 

^{ cosxsinx1}

C. ^{F x}

 

^{ cosxsinx1 D. F x}

 

^{cosxsinx3}

Câu 68. (MĐ 105 BGD&ĐT NĂM 2017) Cho _{F x}  là một nguyên hàm của hàm số f x( )e^x2x thỏa mãn  _{0 } ³

F 2. Tìm _{F x} _. A.  _{ } ²_¹

2

F x ex x B.  _{ } ²_⁵ 2 F x ex x

C.  _{ } ²_³ 2

F x ex x D.  _{2 } ²_¹ 2 F x ex x

Câu 69. (MÃ ĐỀ 123 BGD&DT NĂM 2017) Cho hàm số ^{f x}

 

^{thỏa mãn f x'}

 

^{3 5 sin x và f}

 

^{0 10}

. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 12 A. ^{f x}

 

^{3x5 cosx15 B. f x}

 

^{3x5 cosx2}

C. ^{f x}

 

^{3x5 cosx5 D. f x}

 

^{3x5 cosx2}

Câu 70. (ĐỀ THAM KHẢO BGD & ĐT 2018) Cho hàm số f x( ) xác định trên \ ¹ 2

  

 

 thỏa mãn

 

^{2 ,}

 

^{0 1,}

 

^{1 2}

2 1

f x f f

  x  

 . Giá trị của biểu thức ^f

 

^{1  f}

 

^{3 bằng}

A. 2 ln15 B. 3 ln15 C. ln15 D. 4 ln15

Câu 71. (SỞ GD&ĐT PHÚ THỌ NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho ^{F x}

 

là một nguyên hàm của

 

¹

 1 f x 

x trên khoảng



^1;



^{thỏa mãn F e}



^1



^{4Tìm F x}

 

^.

A. ^{2 ln}



^x1



^{2 B. ln}



^x1



^{3 C. 4 ln}



^x1



^{D. ln}



^x1



^3

Câu 72. (ĐỀ GK2 VIỆT ĐỨC HÀ NỘI NĂM 2018-2019) Cho hàm số ^{f x}

 

_{thỏa mãn} ^f

 

^{x  2 5sinx}

và ^f

 

^{0 10}. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. ^{f x}

 

^{2x5 cosx3. B. f x}

 

^{2x5 cosx15.}

C. ^{f x}

 

^{2x5 cosx5. D. f x}

 

^{2x5 cosx10.}

Câu 73. (THCS - THPT NGUYỄN KHUYẾN NĂM 2018-2019 LẦN 01) Biết ^{F x}

 

là một nguyên hàm của hàm số ^{f x}

 

^{e2x và F}

 

^{0 0}. Giá trị của ^F



^{ln 3}



^bằng

A. 2. B. 6. C. 8. D. 4.

Câu 74. (THPT ĐÔNG SƠN THANH HÓA NĂM 2018-2019 LẦN 02) Hàm số ^{F x}

 

^{x2ln sin}



^xcosx



là nguyên hàm của hàm số nào dưới đây?

A.

 

2

sin cos . f x x

x x

  B.

   

²



^{cos sin}



2 ln sin cos

sin cos

x x x

f x x x x

x x

   

 .

C.

 

²



^{sin cos}



sin cos

x x x

f x x x

 

 . D.

   

2

2 ln sin cos

sin cos

f x x x x x

x x

  

 . Câu 75. (LIÊN TRƯỜNG THPT TP VINH NGHỆ AN NĂM 2018-2019) Biết ^{F x}

 

là một nguyên hàm của hàm ^{f x}

 

^{cos 3x và 2}

2 3

F 

 

  . Tính F9

 

 .

A. 3 2

9 6

F  

 

  B. 3 2

9 6

F  

 

  C. 3 6

9 6

F  

 

  D. 3 6

9 6

F  

 

 

Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 13 Câu 76. (TOÁN HỌC TUỔI TRẺ NĂM 2018 - 2019 LẦN 01) Nguyên hàm của hàm số ^{f x} ^2x



^2x5



là

A. 2

5 ln 2

x

x  C. B. x5.2 ln 2^x C.

C. 2 2

ln 2 ln 2 5

x x

x x C

 

  

 

 

  . D. 2

1 5 ln 2

x

  C

 

   .

Câu 77. (SỞ GD&ĐT BÌNH PHƯỚC NĂM 2018-2019 LẦN 01) Biết ^{F x}

 

là một nguyên hàm của hàm số

2x

e và

 

^{0 201}

F  2  Giá trị 1 F 2

   là

A. 1

2e200 B. 2e100 C. 1

2e50 D. 1

2e100

Câu 78. (SỞ GD&ĐT BÌNH PHƯỚC NĂM 2018-2019 LẦN 01) Hàm số ^{F x}

 

nào sau đây là một nguyên hàm của hàm số ^{f x g x}

   

^{. , biết F}

 

^{1 3,}

 

d 1

f x xx C



^và



^{g x}

 

^{dxx2C2.}

A. ^{F x}

 

^{x21 B. F x}

 

^{x23 C. F x}

 

^{x22 D. F x}

 

^x24

Câu 79. (THPT MINH KHAI HÀ TĨNH NĂM 2018-2019) Cho ^{F x}

 

là một nguyên hàm của hàm số

 

^{1 ,}

f x 2

 x

 biết ^F

 

^{1 2.} Giá trị của ^F

 

⁰ _bằng

A. 2 ln 2. B. ln 2. C. ^{2 ln}



^{2 .}



^{D. ln}

 

^{2 .}

Câu 80. (CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN ĐIỆN BIÊN NĂM 2018-2019 LẦN 02) Tìm một nguyên hàm ^{F x}

 

^của

hàm số

 

b2



0 ,



f x ax x

  x  biết rằng ^F

 

^{1 1,F}

 

^{1 4, f}

 

^{1 0}

A.

 

^{3 2 3 7}

2 4 4

F x x

  x . B.

 

^{3 2 3 7}

4 2 4

F x x

  x . C.

 

^{3 2 3 7}

4 2 4

F x x

  x . D.

 

^{3 2 3 1}

2 2 2

F x x

  x .

Câu 81. (KTNL GV THUẬN THÀNH 2 BẮC NINH NĂM 2018-2019) Cho ^{F x}

 

là một nguyên hàm của

hàm

 

¹

2 1

f x  x

 ; biết ^F

 

^{0 2. Tính F}

 

^{1 .}

Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 14 A. ^F

 

^{1 } ₂^{1ln32. B. F}

 

^{1 ln32. C. F}

 

^{1 2 3 2ln  . D. F}

 

^{1  1}₂^ln32.

Câu 82. (THPT YÊN PHONG SỐ 1 BẮC NINH NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho hàm số thỏa mãn và . Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. . B. .

C. . D. .

Câu 83. (LIÊN TRƯỜNG THPT TP VINH NGHỆ AN NĂM 2018-2019) Biết ^{F x}

 

là một nguyên hàm của hàm ^{f x}

 

^{cos 3x và 2}

2 3

F 

 

  . Tính F9

 

 .

A. 3 2

9 6

F  

 

  B. 3 2

9 6

F  

 

  C. 3 6

9 6

F  

 

  D. 3 6

9 6

F  

 

 

Câu 84. (CHUYÊN ĐHSP HÀ NỘI NĂM 2018-2019 LẦN 01) Hàm số ^{F x}

 

là một nguyên hàm của hàm số y ¹

 x trên



^;0



^{thỏa mãn F}

 

^{2 0}. Khẳng định nào sau đây đúng?

A.

 

^ln



^;0



2 F x x x

     

 

B. ^{F x}

 

^{ln x C   x}



^{; 0}



^{với C} là một số thực bất kì.

C. ^{F x}

 

^{ln x ln 2  x}



^;0



.

D. ^{F x}

 

^ln



^x



^{C   x}



^{; 0}



^{với C} là một số thực bất kì.

Câu 85. (CHUYÊN NGUYỄN TRÃI HẢI DƯƠNG NĂM 2018-2019 LẦN 01) Hàm số ^{f x}

 

có đạo hàm liên tục trên  và: ^f

 

^{x 2e2x1,x f,}

 

^{0 2. Hàm f x}

 

^là

A. y2e^x2x. B. y2e^x2. C. ye^2x x 2. D. ye^2x x 1.

Câu 86. (SỞ GD&ĐT BẮC NINH NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho hàm số ^{f x}

 

^{2x e x}. Tìm một nguyên hàm ^{F x}

 

của hàm số ^{f x}

 

^{thỏa mãn F}

 

^{0 2019.}

A. ^{F x}

 

^{x2ex2018. B. F x}

 

^{x2ex2018.}

C. ^{F x}

 

^{x2ex2017. D. F x}

 

^{ex2019.}

 

f x

 

^cos

f x   x ^f

 

^{0 2019}

 

^{s inx 2019}

f x    ^{f x}

 

^{2019 cos x}

 

^{s inx 2019}

f x   ^{f x}

 

^{2019 cos x}

Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 15 Câu 87. (THPT MINH KHAI HÀ TĨNH NĂM 2018-2019) Cho hàm số ^{f x}

 

xác định trên ^{R\ 1}

 

_{thỏa mãn}

 

¹

f x 1

  x

 , ^f

 

^{0 2017}_, ^f

 

^{2 2018}_{. Tính} ^{S f}

 

^{3  f}

 

^1 _.

A. S ln 4035. B. S 4. C. S ln 2. D. S 1. Câu 88. (THPT NĂM 2018-2019 LẦN 04) Cho biết

  

2 13

dx ln 1 ln 2

1 2

x a x b x C

x x

     

 



^.

Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. a2b8. B. a b 8. C. 2a b 8. D. a b 8. Câu 89. (THPT NĂM 2018-2019 LẦN 04) Cho biết ₃^{1 dx aln}



^{x 1}



^{x 1}



^{bln x C}

x x     



 . Tính giá trị

biểu thức: P2ab.

A. 0. B. -1. C. 1

2. D. 1.

Câu 90. (THPT NĂM 2018-2019 LẦN 04) Cho biết ₂4 11

dx ln 2 ln 3

5 6

x a x b x C

x x

     

 



. Tính giá trị

biểu thức: Pa²ab b ².

A. 12. B. 13. C. 14. D. 15.

Câu 91. Cho hàm số f x

 

thỏa mãn f

 

x ax^{2 b}₃ x

   , f

 

1 3, f

 

1 2, ^{1 1}

2 12

f     . Khi đó 2ab bằng

A. ³

2. B. 0. C. 5. D. ³

2 .

Câu 92. (THPT NĂM 2018-2019 LẦN 04) Gọi ^{F x}

 

là một nguyên hàm của hàm số ^{f x}

 

^2x, thỏa mãn

 

^{0 1}

F ln 2. Tính giá trị biểu thức ^{T F}

 

^{0 F}

 

^{1 ...F}



²⁰¹⁸



^F



²⁰¹⁹



^.

A.

22019 1 1009.

T ln 2

 . B. T 2^2019.2020.

C.

22019 1 T ln 2

 . D.

22020 1 T ln 2

 .

Câu 93. (CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN QUẢNG TRỊ NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho ^{F x}

 

là một nguyên hàm của hàm số

 

¹₂

f x cos

 x. Biết

F 4 k k

 

 

 

  với mọi k. Tính ^F

 

^{0 F}

 

^{ F}



^



^...F



^10



^.

A. 55. B. 44. C. 45. D. 0.

Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 16 Dạng 2. Sử dụng phương pháp VI PHÂN để tìm nguyên hàm

Dạng 2.1 Tìm nguyên hàm không có điều kiện

Câu 94. (THCS - THPT NGUYỄN KHUYẾN NĂM 2018-2019 LẦN 01) Nguyên hàm của hàm số ( ) 3sin2 cos

f x  x x là

A. sin³xC. B. sin³x C . C. cos³x C . D. cos³x C . Câu 95. (CHUYÊN BẮC NINH NĂM 2018-2019 LẦN 03) Tìm nguyên hàm của hàm số sin

( ) 1 3cos f x x

 x

 .

A. 1

( ) d ln 1 3cos f x x3  x C



^{. B.}



^{f x( ) dxln 1 3cos x C.}

C.



f x( ) dx3ln 1 3cos x C^{. D.}



^{f x( ) dx 1}₃^{ln 1 3cos x C.}

Câu 96. (CHUYÊN LƯƠNG VĂN CHÁNH PHÚ YÊN NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho

 

d 4 ³ 2 0

f x x x  xC



_{. Tính}

I  

^{xf x}

 

²

d x

_.

A. I 2x⁶ x²C. B.

10 6

10 6

x x

I   C_.

C. I 4x⁶ 2x²C. D. I 12x² 2.

Câu 97. (SỞ GD&ĐT THANH HÓA NĂM 2018 - 2019) Tìm các hàm số (