[PTMH TOAN 2021] DẠNG-03-XÉT-TÍNH-ĐƠN-ĐIỆU-CỦA-HS-BIẾT-BBT-GV.docx

(1)

KIẾN THỨC CẦN NHỚ: Điều kiện để hàm số đơn điệu trên khoảng K. 1. Định lí 1.

Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng K. Khi đó:

a) Nếu hàm số đồng biến trên khoảng K thì ^{f x}^'

 

^{  }^0, ^{x K}_.

b) Nếu hàm số nghịch biến trên khoảng K thì ^{f x}^'

 

^{  }^0, ^{x K}_.

2. Định lí 2.

a) Nếu ^{f x}^'

 

^{  }^0, ^{x K} thì hàm số f đồng biến trên K. b) Nếu ^{f x}^'

 

^{  }^0, ^{x K} thì hàm số f nghịch biến trên K. c) Nếu ^{f x}^'

 

^{  }^0, ^{x K} thì hàm số f không đổi trên K.

Chú ý: Khoảng K trong định lí trên ta có thể thay thế bởi đoạn hoặc một nửa khoảng. Khi đó phải có thêm giả thiết “ Hàm số liên tục trên đoạn hoặc nửa khoảng đó’. Chẳng hạn:

Nếu hàm số f liên tục trên đoạn

 

^{a b}^; _và ^{f x}^'

 

^{  }^0, ^x



^{a b}^;



thì hàm số f đồng biến trên đoạn

 

^{a b}^; _.

Ta thường biểu diễn qua bảng biến thiên như sau:

+ a b

f(b)

f(a) f(x)

f'(x) x

3. Định lí 3. (mở rộng của định lí 2)

a) Nếu ^{f x}^'

 

^{  }^0, ^{x K}_và ^{f x}^'

 

^⁰ chỉ tại hữu hạn điểm thuộc K thì hàm số f đồng biến trên K. b) Nếu ^{f x}^'

 

^{  }^0, ^{x K}_và ^{f x}^'

 

^⁰ chỉ tại hữu hạn điểm thuộc Kthì hàm số f đồng biến trên K.

Quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số ^y^ ^{f x}^{( )} trên tập xác định Bước 1: Tìm tập xác định D.

Bước 2: Tính đạo hàm ^y^^ ^{f x}^^{( )}.

Bước 3: Tìm nghiệm của ^{f x}^^{( )} hoặc những giá trị x làm cho ^{f x}^^{( )} không xác định.

Bước 4: Lập bảng biến thiên.

Bước 5: Nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

BÀI TẬP MẪU Cho hàm số ^{f x}

 

có bảng biến thiên như sau:

DẠNG TOÁN 3: XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ DỰA VÀO BẢNG BIẾN THIÊN

(2)

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào, trong các khoảng dưới đây?

A.



^^{2;2 .}



_B.

 

^{0;2 .} _C.



^^{2;0 .}



_D.



^2;^



^.

Phân tích hướng dẫn giải

1. DẠNG TOÁN: Đây là dạng toán xét sự đơn điệu của hàm số khi biết bảng biến thiên.

2. HƯỚNG GIẢI: Dựa vào định lý về sự đơn điệu

- Nếu ( ) 0, f x   x K thì hàm số đồng biến trên khoảng .K - Nếu ( ) 0, f x   x K thì hàm số nghịch biến trên khoảng .K Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau:

Lời giải Chọn D

Vì ^{f x}^'

 

     ^0, ^x



^{; 2}

  

^0;2 nên hàm số đã cho đồng biến trên mỗi khoảng



^{ }^{; 2}



_và



^0;2



_.

Bài tập tương tự và phát triển:

 Mức độ 1

Câu 1. Cho hàm số ^{f x}

 

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A.



^1;^{ }



_. _B.



^^1;0



_. _C.



^^1;1



_. _D.

 

^0;1 _.

Vì ^{f x}^'

 

     ^0, ^x



^{; 1}

  

^0;1 nên hàm số đã cho đồng biến trên mỗi khoảng



^{ }^{; 1}



_và

 

^0;1 _.

Câu 2: Cho hàm số ^y^ ^{f x}

 

Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. Hàm số nghịch biến trên khoảng



^{ }^{; 1}



_.

B. Hàm số đồng biến trên khoảng



^{   }^{; 1}



^(1; ⁾_.

C. Hàm số nghịch biến trên khoảng



^^{1; 3}



_.

D. Hàm số đồng biến trên khoảng



^1;^{ }



_.

Lời giải Chọn D

Từ BBT ta có :

(3)

Hàm số đồng biến trên



^{  }^{; 1}



_{A sai.}



^{ }^{; 1}



_và



^1;^{ }



_{B sai.}

Hàm số nghịch biến trên



^^1;1



^_{C sai.}



^1;^{  }



_{D đúng .}

Câu 3: Cho hàm số ^y^ ^{f x}

 

có bảng biến thiên như hình dưới đây. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. Hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng

; 1 2

  

 

  và



^3;^



^.

B. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng

1; . 2

 

 

 

C. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng



^3;^



^.

D. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng



^^;3



_.

Lời giải Chọn C

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số

● Đồng biến trên các khoảng

; 1 2

  

 

  và

1;3 2

 

 

 .

● Nghịch biến trên khoảng



^3;^



_.

 

xác định trên  ^{\ 1}

 

^ , liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến thiên như hình sau. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. Hàm số nghịch biến trên khoảng



^{ }^{; 1}



_. B. Hàm số nghịch biến trên khoảng



^{ }^;



_.

C. Hàm số đồng biến trên khoảng



^{ }^1;



_. D. Hàm số đồng biến trên khoảng



^^;1



_.

Lời giải Chọn A

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy trên khoảng



^{ }^{; 1}



_{đạo hàm}y 0 nên hàm số nghịch biến.

Câu 5: Cho hàm số ^y^ ^{f x}^{( )} có bảng xét dấu đạo hàm như sau:

(4)

Hàm số ^y^ ^{f x}^{( )} đồng biến trên khoảng nào dưới đây ?

A.



^^2;0



_. _B.



^^3;1



_. _C.



^0;^



_. _D.



^{ }^{; 2}



_.

Nhìn bảng xét dấu của đạo hàm ta thấy ^y^{ }^0, ^{  }^x



^2;0



_.

Suy ra hàm số ^y^ ^{f x}^{( )} đồng biến trên khoảng



^^2;0



_.

 

có bảng biến thiên như sau

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A.



^^;0



_. _B.



^^1;1



_. _C.



^^1;0



_. _D.



^1;^{ }



_.

Dựa vào bảng biến thiên hàm số ^y^ ^{f x}

 

đồng biến trên các khoảng



^{ }^{; 1}



_và



^^1;0



_.

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng



^^1;0



_.

 

liên tục trên  và có bảng biến thiên như sau

Trong các mệnh đề sau, có bao nhiêu mệnh đề sai?

i) Hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng



^{ }^{; 5}



_và



^{ }^{3; 2 .}



ii) Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng



;5 .



iii) Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng



^{ }^2;



^.

iv) Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng



 ; 2 .



A. ^1. B. ^2. C. ^3. D. ^4.

Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy đồ thị hàm số đã cho đồng biến trên khoảng



^{ }^{; 2 ;}



_nghịch

biến trên khoảng



 2;



.

Suy ra: ii) Sai; iii) Đúng; iv) Đúng.

Ta thấy khoảng



^{ }^{; 3}



chứa khoảng



^{ }^{; 5}



nên i) Đúng.

Vậy chỉ có ii) sai..

(5)

Câu 8: Cho hàm số ^{f x}

 

có đồ thị như hình bên. Hàm số ^{f x}

 

nghịch biến trong khoảng nào dưới đây?

A.



^^2;0



_. _B.



^{ }^{; 2}



_. _C.



^{ }^2;



_. _D.



^0;^



_.

Nhìn vào đồ thị hàm số ^{f x}

 

ta thấy hàm số nghịch biến trên khoảng



^^2;0



_.

Câu 9: Cho hàm số ^{f x}

 

đồng biến trong khoảng nào dưới đây?

A. ( ; ). B.



^2;^



_. _C.

 

^{1; 2} _. _D.



^^1;2



_.

Lời giải Chọn B

 

ta thấy hàm số đồng biến trên khoảng



^2;^



_.

Câu 10: Cho hàm số ^{f x}

 

nghịch biến trong khoảng nào dưới đây?

(6)

A.

 

^2;3 _. _B.



^^{; 2}



_. _C.

 

^{1; 2} _. _D.



^3;^



_.

 

ta thấy hàm số nghịch biến trên khoảng

 

^2;3 _.

Câu 11: Cho hàm số ^{f x}

 

đồng biến trong khoảng nào dưới đây?

A.

 

^2;3 _. _B.



^^{; 2}



_. _C.

 

^{1; 2} _. _D.



^2;^



_.

 

ta thấy hàm số đồng biến trên khoảng

 

^{1; 2} _.

Đ Mức độ 2

Câu 1: Cho hàm số ^{f x}

 

có đạo hàm là ^{f x}^

  

^ ^x^²

 

^x^⁵

 

^x^¹



_{. Hàm số} ^{f x}

 

đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A.



^{2; }



_. _B.



^^2;0



_. _C.

 

^0;1 _. _D.



^{ }^{6; 1}



_.

Cho

 

5

0 1

2 x

f x x

x

  

    

  .

Ta có bảng xét dấu của ^{f x}^

 

_{như sau:}

(7)

Nhìn vào bảng xét dấu của ^{f x}^

 

ta thấy hàm số ^{f x}

 



^{ }^{5; 1}



_và



^{2; }



_.

Vậy hàm số ^{f x}

 

đồng biến trên khoảng



^2;^{ }



_.

 

có đạo hàm là ^{f x}^

 

^^{x x}³



^¹

 

² ^x^²



. Khoảng nghịch biến của hàm số là A.



^{ }^{; 2 ; 0;1}

  

_. _B.



^^{2;0 ; 1;}

 

^



_.

C.



^{ }^{; 2 ; 0;}

 

^



_. _D.



^^2;0



_.

Bảng biến thiên:

Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng



^^2;0



Câu 3: Đường cong ở hình bên là đồ thị của hàm số

 

 y ax b

cx d với a b c d, , , là các số thực. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. ^y^{   }^0, ^x ¹. B. ^y^{   }^0, ^x ^¡ . C. ^y^{   }^0, ^x ^¡ . D. ^y^{   }^0, ^x ¹. Lời giải

Chọn A Ta có:

(8)

Dựa vào hình dáng của đồ thị ta được:

+ Điều kiện ^x^¹

+ Đây là đồ thị của hàm nghịch biến Từ đó ta được ^y^{   }^0, ^x ^1.

 

có đạo hàm ^{f x}^'

 

xác định, liên tục trên  và ^{f x}^'

 

có đồ thị như hình vẽ.

Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Hàm số đồng biến trên khoảng



^{ }^2;



_.

B. Hàm số nghịch biến trên khoảng



^{ }^{2; 1}



_.

C. Hàm số nghịch biến trên khoảng



^^1;1



_.



^{ }^{; 2}



_.

Dựa vào đồ thị hàm số ( )f x có bảng biến thiên sau:

Suy ra hàm số đồng biến trên khoảng



^{ }^2;



_.

 

Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Hàm số đồng biến trên khoảng



^1;^



_.

(9)

B. Hàm số đồng biến trên khoảng



^{ }^{; 1}



_.

C. Hàm số đồng biến trên khoảng



^^1;1



_.



^2;^



_.

Dựa vào đồ thị hàm số ( )f x ta thấy

-Trên



^^{; 2}



_{: ( ) 0}f x  nên hàm số nghịch biến trên



^^;2



_.

- Trên



^2;^



_{: ( ) 0}f x  nên hàm số đồng biến trên



^2;^



_.

Câu 6: Cho hàm bậc ba ^{y f x}^

 

có đồ thị đạo hàm ^y^ ^{f x}^

 

như hình sau:

Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng

A.

 

^{1; 2} _. _B.



^^1;0



_. _C.



^3;4



_. _D.



^2;3



_.

Lời giải Từ đồ thị hàm số ^y^ ^{f x}^

 

ta có bảng xét dấu ^{f x}^

 

_sau:

Căn cứ vào bảng xét dấu đạo hàm ta có hàm số nghịch biến trên khoảng



^{0; 2}



_.

Vậy hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng

 

^1;2 _.

 

Hàm số nghịch biến trên khoảng nào?

A.

 

^1;3 . B.



^^;3



. C.



^^1;1



_. _D.



^3;^



_.

(10)

Dựa vào đồ thị hàm số ( )f x ta có bảng biến thiên sau:

Suy ra hàm số nghịch biến trên khoảng

 

^1;3 _.

Câu 8: Hàm số ^{f x}

 

có đạo hàm ^{f x}^

 

_trên_ . Hình vẽ bên dưới là đồ thị của hàm số ^{f x}^

 

_trên_ _.

Chọn đáp án đúng.

A. Hàm số đồng biến trên khoảng



^{ }^2;



_.

B. Hàm số đồng biến trên khoảng



^{ }^{; 1}



_.

C. Hàm số đồng biến trên khoảng



^{ }^1;



_.



^^;2



_.

Dựa vào đồ thị hàm số ( )f x ta có bảng biến thiên sau:

Suy ra hàm số đồng biến trên khoảng



^{ }^1;



_.

 

có đạo hàm ^{f x}^

 

liên tục trên  . Hàm ^{f x}^

 

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng

(11)

A. ^f

 

^{ }³ ^f

 

^² _. _{B. Hàm số}^{f x}

 



^{ }^{; 1}



_.

C. ^f

 

⁰ ^ ^f

 

¹ _. _{D. Hàm số} ^{f x}

 

đạt cực đại tại x0. Lời giải

Chọn C

Từ đồ thị hàm số ^{f x}^

 

_{ta có}

 

1

2

0 1

x x

f x x

x x

 

   

  với    1 x¹ 1 x² 2. Từ đó suy ra bảng biến thiên của hàm số ^{f x}

 

_là:

Hàm số ^{f x}

 

nghịch biến trên khoảng



;x1



,    3 2 x¹ ^ ^f

 

^{ }³ ^f

 

^²

. Nên A sai.

Hàm số ^{f x}

 



;x1



,



   ; 1

 

;x1



_{hàm số}^{f x}

 

_đồng

biến trên khoảng



^{ }^{; 1}



. Nên B sai.

Qua x0 đạo hàm ^{f x}^

 

không đổi dấu nên x0 không là điểm cực trị. Nên D sai.

Hàm số ^{f x}

 



x1;1



, x¹ 0 1 ^ ^f

 

⁰ ^ ^f

 

¹

. Vậy C đúng.

Câu 10: Cho hàm số ^y^ ^{f x}

 

có đồ thị như hình vẽ. Hàm số ^y^²⁰¹⁹^ ^{f x}

 

A.

 

^0;1 _. _B.



^^2;1



_. _C.



^^3;0



_. _D.

 

^{1; 2} _.

Xét hàm số ^y^²⁰¹⁹^ ^{f x}

 

_{Ta có}^y^^{ }^{f x}^

 

0 0

y  f x  .

Dựa vào đồ thị ta thấy trên khoảng

 

^0;1 _thì ^{f x}^

 

^⁰_.

(12)

Vậy trên khoảng

 

^0;1 _{hàm số}^y^²⁰¹⁹^ ^{f x}

 

đồng biến.

Câu 11: Cho hàm số ^y^ ^{f x}^{( )} xác định và liên tục trên  và có đồ thị của đạo hàm ^y^ ^{f x}^{'( )} như hình bên dưới. Chọn phát biểu đúng khi nói về hàm số ^y^ ^{f x}^{( ).}

A. Hàm số ^y^ ^{f x}^{( )} có hai điểm cực trị. B. Hàm số nghịch biến trên khoảng ^{( 3;0).}^ C. ^f⁽⁰⁾^ ^f^(3). D. ^x^{lim ( )}^ ^{f x} ^{ } và ^x^lim ^{ }^.

Ta thấy trên khoảng ^(0;3) đạo hàm mang dấu âm nên hàm số nghịch biến trên ^(0;3). Vì thế ^f⁽⁰⁾^ ^f^(3).

Câu 12: Cho hàm số ^y^ ^{f x}

 

có bảng xét dấu ^{f x}^'

 

như hình vẽ.

Hàm số ^{g x}

 

^{ }^{f x}

 

đồng biến trên khoảng nào sau đây ?

A.

 

^{1;3 .} _B.

 

^{3;4 .} _C.

 

^{2;4 .} _D.



^4;^{ }



^.

Ta có ^{g x}

 

^{ }^{f x}

 

^^{g x}^'

 

^{ }^{f x}^'

 

_.

   

' 0 ' 0

g x   f x 

. Theo bảng biến thiên ta có trên khoảng

 

^{3; 4} _thì^{f x}^'

 

^⁰

Câu 13: Cho hàm số ^y^ ^{f x}

 

Hàm số ^{g x}

 

^{ }^{f x}

 

nghịch biến trên khoảng nào?

A.



^{ }^{; 1}



_. _B.



^^1;0



_. _C.



^1;^{ }



_. _D.



^0;^{ }



_.

Ta có ^{g x}

 

^{ }^{f x}

 

^^{g x}^'

 

^{ }^{f x}^'

 

_.

(13)

   

' 0 ' 0

g x   f x 

. Theo bảng biến thiên ta có trên khoảng



^{ }^{; 1}



_thì ^{f x}^'

 

^⁰

 Mức độ 3

Câu 1: Cho hàm số y x ³3x²2 có bảng biến thiên như sau:

x y' y

- ∞

+ ∞ + ∞

- ∞

0 2

2

+ 0 - 0 +

-2 Khi đó hàm số

3 3 2 2

y x  x  nghịch biến trên khoảng nào sau đây?

A.

 

^0;2 _. _B.



^^;0



_. _C.

 

^0;1 _. _D.



^^2;2



_.

Lời giải Chọn C.

Ta có

3 2 1

3 2 0

1 3

x x x

x

 

    

  

Nên ta có bảng biến thiên của hàm số

3 2

y x  x  như sau:

0 + -

0

1 + 3 1 - 3

0 2

0 +

2

+ 0

1 2

- -

+ ∞ x

y' y

- ∞ + ∞

+ ∞

0

Từ bảng biến thiên suy ra hàm số nghịch biến thên các khoảng



 ^;1 3 ; 0;1 ; 2;1

   

 3



. Vậy đáp án C đúng.

Câu 2: Cho hàm số ^y^ ^{f x}

 

xác định trên ^{\ 1}

 

, liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến thiên sau:

1

- -

+ ∞ x

y' y

- ∞ + ∞

- ∞ 1

1 Khi đó hàm số ^y^ ^{f x}

 

nghịch biến trên khoảng nào sau đây?

A.



^{ }^{; 1}



_. _B.



^^;1



_. _C.



^1;^



_. _D. ^{\ 1}

 

. Lời giải

Chọn C

(14)

Từ bảng biến thiên ta suy ra, hàm số ^y^ ^{f x}

 



^1;^



_.

Vậy chọn đáp án C.

 

Trong các mệnh đề sau, có bao nhiêu mệnh đề sai?

i) Hàm số ^y^ ^{f x}

 



^{ }^{; 2}



_và

 

^0;1 _.

ii) Hàm số ^y^ ^{f x}

 



^3;^



_.

iii) Hàm số ^y^ ^{f x}

 



^^;0



_.

iv) Hàm số ^y^ ^{f x}

 

^0;1 _.

A. 4_. _B.2_. _C.3_. _D.1_.

Từ bảng biến thiên của hàm số ^y^ ^{f x}

 

, ta có bảng biến thiên của hàm số ^y^ ^{f x}

 

_như

sau:

+ ∞ + ∞

1 1

+ -

- 1

+ 0

1 -

+ ∞ x

y' y

- ∞ + ∞

+ ∞

0

Từ bảng biến thiên của hàm số ^y^ ^{f x}

 

, ta suy ra:

- Hàm số ^y^ ^{f x}

 



^{ }^{; 1}



_và

 

^0;1 suy ra khẳng định i) đúng - Hàm số ^y^ ^{f x}

 

nghịch biến trên các khoảng



^^1;0



_và



^1;^



suy ra khẳng định ii) đúng - Khẳng định iii) và khẳng định iv) sai

Vậy có 2 khẳng định sai trong 4 khẳng định trên.

 

có bảng xét dấu đạo hàm như sau

Hàm số ^{g x}

 

^ ^f



³^x^²



đồng biến trên khoảng nào dưới đây

A.



^{2; 4}



_. _B.



^^{1; 1}



_. _C.

 

^{1; 2} _. _D.

 

^{0; 1} _.

(15)

Lời giải + Xét hàm số ^{y g x}^

 

^ ^f



³^x^²



_.

+ ^{g x}^

 

^³^f^



³^x^²



_;

   

3 2 2

0 3 2 0 3 2 0

3 2 2

  



       





 

 x

g x f x x

x

0 2 3 4 3 x x x

 



 



  . + Bảng xét dấu ^{g x}^

 

_:

Từ bảng xét dấu của ^{g x}^

 

ta thấy hàm số ^{y g x}^

 

đồng biến trên các khoảng 0; 2

3

 

 

  và 4;

3

  

 

 . Đối chiếu đáp án ta chọn A.

 

có đồ thị ^y^ ^f ^'

 

^x như hình sau. Hàm số ^y^ ^f



^{3 2}^ ^x



^²⁰¹⁹_đồng

biến trên khoảng nào.

A.



^1;^



_. _B. ¹2^;1

 

 

 . C.

0;1 2

 

 

 . D.

;1 2

 

 

 . Lời giải

Chọn B

Đặt ^{g x}

 

^ ^f



^{3 2}^ ^x



^²⁰¹⁹^^{g x}^'

 

^{ }^{2 ' 3 2}^f



^ ^x



   

^{3 2} ¹ ¹

' 0 ' 3 2 0 1

3 2 2

2 x x

g x f x

x x

 

 

 

          .

Dựa vào đồ thị của hàm số ^y^ ^f ^'

 

^x ta có bảng xét dấu của ^{g x}^'

 

(16)

Từ bảng xét dấu của ^{g x}^'

 

suy ra hàm số ^y^ ^f



^{3 2}^ ^x



^²⁰¹⁹ đồng biến trên 1;1 2

 

 

 . Câu 6: Cho hàm số ^y⁼ ^{f x}

( )

liên tục trên ¡ _{. Hàm số}^y⁼ ^{f x}^'

( )

Hàm số ^y=^{g x}

( )

= ^{f x}

( )

+²^x+¹ . Hỏi đẳng thức nào sau đây đúng?

A. ^g

( )

⁶ ^>^g

( )

⁷ _. _B.^g

( )

³ ^>^g

( )

⁴ _.

C.

5 3

2 2

gæ öçççè- ÷÷÷ø>gæ öçççè- ÷÷÷ø_. _D.

1 1

2 2

gæ öçççè- ÷÷÷ø>gæöçççè ø÷÷÷_. Lời giải

Chọn D

Ta có ^{g x}^¢

( )

⁼ ^{f x}^¢

( )

^{+ =}² ^{f x}^¢

( ) (

^{- -} ²

)

Dựa vào đồ thị ^y⁼ ^{f x}^'

( )

và đường thẳng y=- 2 (hình vẽ sau)

Suy ra

+) Hàm số ^y=^{g x}

( )

giảm



^^1;1



+) Hàm số ^y⁼^{g x}

( )

_tăng



^{ }^{; 1 ; 1;}

 

^{ }



Do hàm số ^y⁼^{g x}

( )

_giảm



^^1;1



_{suy ra:}g2¹g   ¹2 .

Câu 7: Cho hàm số bậc bốn ^y^ ^{f x}

 

và đồ thị hàm số ^y^ ^f^



^{3 2}^ ^x



như hình vẽ.

(17)

Hàm số ^y^ ^{f x}

 

nghịch biến trên khoảng nào sau?

A.



^{ }^{; 1}



_. _B.



^0;^{ }



_. _C.



^3;^{ }



_. _D.

 

^0;2 _.

Đặt 3 2 3

2

t x t x

   

.

 

⁰



^{3 2}



⁰ ¹ ⁰

2

f x f t t

t

  

        

3 2

3 1

2

1 0 3 5

2 x

x

x x

  

   

 





   

 

 .

Suy ra hàm số ^y^ ^{f x}

 

nghịch biến trên từng khoảng



^{ }^{; 1}



_và

 

^3;5 _.

 

_{. Hàm số}^y^ ^{f x}^

 

có đồ thị như hình vẽ:

Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m_{thỏa mãn}^m^{ }



^10;10



sao cho hàm số ^y^ ^{f x m}



^





^^2;0



. Số phần tử của tậpS_là

A.6_. _B.5_. _C._{7 .} _D.9_.

Đặt ^{g x}

 

^ ^{f x m}



^



_ ^{g x}^

 

^ ^{f x m}^⁽ ^ ⁾_.

 

⁰

g x 

1 2 x m x m

  

   

1 2 x m x m

  

    . Bảng biến thiên:

(18)

Để hàm số ^{y g x}^

 

đồng biến trên



^^2;0



_ _m_{  }₂ ₂ _{  }_m ₄_.

Suy ra S       



9; 8; 7; 6; 5; 4



. Vậy số phần tử của S_{là 6.}

 

có đạo hàm trên  . Hàm số ^y^ ^f ^{' 3}



^x^¹



có đồ thị như hình vẽ

Hàm số ^{f x}

 

đồng biến trên khoảng nào sau đây?

A.

 

^2;6 _. _B.



^{ }^{; 7}



_. _C.



^{ }^{; 6}



_. _D.

 

^1;5 _.

Đặt t3x1_{, khi đó} ^f ^{' 3}



^x^{ }¹



⁰ khi và chỉ khi ^x^{  }



^{; 2}



_hoặc^x^

 

^1;2 _.

Tức là ^{f t}^'

 

^⁰ khi và chỉ khi ^t^{  }



^{; 7}



_hoặc^t^

 

^2;5 _.

Suy ra ^{f t}

 

đồng biến trên mỗi khoảng



^{ }^{; 7}



_và

 

^2;5 _.

Câu 10: Cho hàm số ^y^ ^{f x}

 

xác định trên  và có bảng biến thiên như hình vẽ.

Hàm số ^y^ ^f



³^^x



nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

A.

 

^2;3 _. _B.



^^5;3



_. _C.

 

^1;3 _. _D.



^^2;0



_.

Đặt ^{g x}

 

^ ^f



³^^x



^^{g x}^

 

^ ^f^



³^^x



_.

 

⁰



³



⁰

g x   f x  .

 

⁰ ^x ¹₃

f x x

 

     ^ ^f^



³^^x



^{ }⁰ ^_³₃^{ }_{ }^x_x ¹₃^^_^x_x^{ }_₀²

  .

Ta có bảng biến thiên

(19)

Từ bảng biến thiên suy ra hàm số ^y^ ^f



³^^x





^^2;0



_.

 Mức độ 4

 

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số ^m để hàm số ^y^ ^f



¹²^x^{ }¹ ^m



có đúng ba điểm cực trị?

A. 1_. _B._{3 .} _C.2_. _D.4_.

Lời giải

Ta có: ^y^ ^f



¹²^x^{ }¹ ^m



^ ^f ^



¹²^x^¹



² ^^m^. Suy ra

   

²

   

2. 12 1 .12 12 12 1

. 12 1 . 12 1

2 12 1 12 1

x x

y f x m f x m

x x

   

          .

+) ^y^ không xác định tại 1 x12

và đổi dấu qua

1 x12

; hàm số ^y^ ^f



¹²^x^{ }¹ ^m



_{xác định}

tại

1 x 12

 nên hàm số đã cho có một điểm cực trị tại 1 x 12

 .

+)

 

¹² ¹ ¹ ¹² ¹ ¹

0 12 1 0

12 1 1 12 1 1

x m x m

y f x m

x m x m

         

       

     

 

  .

Hàm số đã cho có đúng ba điểm cực trị khi và chỉ khi

1 0 1

1 1

1 0 1

m m

m m m

    

     

    

  .

Do ^m nguyên nên ^m^{ }



^1;0



_.

 

xác định và liên tục trên  . Biết rằng hàm số ^y^ ^{f x}^

 

có đồ thị như hình vẽ bên dưới:

(20)

Hàm số ^{y g x}^ ^{( )}^ ^{f x}



²^⁵



đồng biến trên khoảng nào sau đây?

A.



^^{1; 0}



_. _B.



^^{2 2; 1}^



_. _C.

 

^0;1 _. _D.



^{1; 2 2}



_.

Xét hàm số ^{y g x}^ ^{( )}^ ^{f x}



²^⁵



_{. Ta có}^y^^^{g x}^^{( ) 2 .}^ ^{x f x}^



²^⁵





²



²2

2

0

5 5

( ) 0 . 5 0

5 2

5 3 x

g x x f x x

x x

 

   

          

  



0 3 2 2 x

x x

 

  

  

 .

Bảng biến thiên

Do đó hàm số đồng biến trên khoảng



^{0; 3}



nên cũng đồng biến trên khoảng

 

^0;1 _.

 

có đạo hàm liên tục trên  . Đồ thị của hàm số ^y^ ^{f x}^

 

như hình vẽ

(21)

Hàm số ^{g x}

 

^ ^f



^{   }²^x ¹

 

^x ¹

 

^{ }²^x ⁴



A.

2; 1 2

  

 

 . B.



^{ }^{; 2}



_. _C. ¹2^;

 

 

 . D.

1;2 2

 

 

 . Lời giải

Chọn A

Ta có ^{y g x}^

 

^ ^f



^{   }²^x ¹

 

^x ¹

 

^{ }²^x ⁴



^ ^f



^{  }²^x ¹



²^x²^²^x^⁴

 

2 2 1 4 2

      

y f x x

Đặt t      2x 1 2x t 1. Khi đó ^y^^{ }²^f^



^{  }²^x ¹



⁴^x^²_{trở thành}

     

2 2 2

      

y f t t t f t

Xét ^y^^{ }²^{f t}^

 

^{ }²^t ²



^{t f t}^ ^

  

^{  }⁰ ^t ^{f t}^

 

3 2 1 3 2

2 5 2 2 1 5 2 1

2

 

     

  

           

t x x

Vậy hàm số ^{g x}

 

^ ^f



^{   }²^x ¹

 

^x ¹

 

^{ }²^x ⁴





^2;



^, ^2; ¹

2

 

    .

 

là hàm đa thức có đồ thị hàm số ^y^ ^{f x}^

 

như hình vẽ.

(22)

Hàm số ^{g x}

 

^ ^f



³^x^{ }¹



^{3 2}



^x³^²^x²^³^x^⁵



A.



^{ }^{; 2 , 1;}

 

^



_. _B.



^^3;0



_.

C.



^{ }^{; 1}



_. _D.



^^1;2



_.

Ta có, ^{g x}^

 

^³^f^



³^x^{ }¹

 

¹⁸^x²^¹²^x^{ }⁹



⁰



³ ¹



⁶ ² ⁴ ³ ²₃



⁹ ² ⁶ ¹



^{11 2}₃ ₃



³ ¹



² ¹¹₃^.

f x x x x x x

           

Đặt t3x1, ta được

 

² ² ¹¹

3 3

f t  t  . Vẽ Parabol

 

^: ² ² ¹¹

3 3

P y t 

trên cùng hệ trục tọa độ Otyvới đồ thị hàm số y f t( ) như hình vẽ sau (đường Parabol là đường nét đứt) .

Ta thấy,

 

² ² ¹¹

3 3

f t  t 

với mọi ^t    



^{; 2}

 

^1;



.

3 1 2 1

3 1 1 0 .

x x

    

 

    

 

_{. Hàm số}^{y f x}^ ^'

 

có đồ thị như hình bên.

(23)

Hàm số ^{g x}

 

^ ^f



³^x² ^{ }¹



⁹₂^x⁴ ^³^x²

A.

2 3 3

3 ; 3

  

 

 . B.

3 3

3 ; 3

 

 

 

 . C.

0;2 3 3

 

 

 . D.

 

^{1; 2} _.

Ta có: ^{g x}

 

^ ^f



³^x²^{ }¹



⁹₂^x⁴ ^³^x²

 

⁶



³ ² ^{1 18}



³ ⁶ ⁶

 3 2 1 3 2 1

g x xf x x x x f x x

        

.

  

²



²

0 0

3 1 3 1

g x x

f x x

 

        .

Xét sự tương giao của đồ thị hàm số ^y^ ^{f t}^

 

_vày t .

Từ đồ thị ta có:

 

4

' 0

3 t f t t t t

  

  

  .

2 2 2

3 1 4 1

3 1 0 3 3 1 3 2

3

x x

x x x

 

     

 

       .

Vì ^g^{' 3}

 

^¹⁸



^f^

 

²⁶ ^²⁶



từ đồ thị ta có ^f^

 

²⁶ ^²⁶. Ta có bảng xét dấu:

Từ BBT suy ra đáp án A.

Câu 6: Cho hàm số ^{f x}  có bảng xét dấu của đạo hàm như sau

Hàm số ^y^³^{f x} ^² ^^x³ ^³^x đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A.

 

^0;2 _. _B.



^{ }^{; 1}



_. _C.



^^1;0



_. _D.



^1;^{ }



_.

Lời giải

Xét hàm số ^y^³^{f x} ^² ^^x³^³^x_{, ta có}^y^^³^f^^x^² ^³^x² ^³_.

Đặt ^{t x}^{ }², ta có ^y^^^{g t}

 

^³^{f t}^

 

^³



^t^²



² ^{ }^{3 3}^_^{f t}^

 

^



^t² ^⁴^t^³



^__.

(24)

Với ^t^^1;3 _thì^{f t}^  ^⁰_và_t² _{  }₄_t _{3 0}_nên^{g t}  ^^{0 ,}^{ }^t  ^1;3 _. Suy ra ^{y }⁰ với ¹      ^x ^{2 3} ¹ ^x ¹.

Vậy hàm số đã cho đồng biến trên khoảng ^^1;1 , do đó hàm số cũng đồng biến trên khoảng



^^1;0



_.

 

_{. Hàm số}^{y f x}^ ^

 

có đồ thị như hình bên. Hàm số

 

² ¹ ^2ln

g x  f x 2 x nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

A.

; 2 2

 

 

 

 _. _B.

0; 2 2

 

 

 _. _C.

2;1 2

 

 

 _. _D.



^1;^{ }



_.

Tập xác định của hàm số ^{g x}

 

_làDg 



^0; 



.

Ta có

 

^{2 .} ² ¹ ²

g x x f x 2

x

 

     .

Hàm số ^{g x}

 

nghịch biến

 

² 2

1 1

0 2

g x f x

x

 

 

      (vì x0). (1)

Đặt

2 1 1

2 2

t x    thì

2 1

x  t 2 .

(1) trở thành

 

¹₁

2 f t

t

 

 hay

 

²

f t 2 1

  t

 . (2) Vẽ đồ thị

 

^C của hàm số

2 2 1 y x

 với 1 x 2

. (Đồ thị

 

^C có TCĐ là 1 x 2

)

(25)

Dựa vào đồ thị ta thấy

 

²

2

1 2

0,5 0 0 0

2 2 2

0,5 1,5

2 1 1 2 1 2

t x x

f t t t

x x

 

      

  

            .

 

có đồ thị của đạo hàm ^y^ ^{f x}^

 

như hình vẽ bên. Hàm số

  

² ²



³



^{2 2}



¹

g x  f x   f  x 

A.

 

^{0;1 .} _B.



^{ }^{2; 1}



_C.

 

^{1;2 .} _D.



^^{1;0 .}



Ta có:

 

²



² ²



⁶



^{2 2}

    

g x  xf x   f  x k x q x

Đặt

  

²



²2

2

0 0

2 3

2 2 0 2

2 0 2

2 2

x x

k x xf x x x

x x

x

   

    

 

           

Đặt

   

5

2 2 3 2

6 2 2 0 2 2 0 1

2 2 2 0

x x

q x f x x x

x x

 

  

 

 

        

    

 

 Ta có bảng xét dấu

 

có đạo hàm liên tục trên  và có đồ thị hàm số ^y^ ^{f x}^



²^²^x



_{như hình}

vẽ bên. Hỏi hàm số ^y^ ^{f x}



²^{ }¹



²₃^x³^¹

đồng biến trên khoảng nào?

(26)

A.



^{ }^{3; 2}



_. _B.

 

^{1; 2} _. _C.



^{ }^{2; 1}



_. _D.



^^1;0



_.

Lời giải

Đặt t x    1 t 1 x_.

Khi đó ^{y t}

 

^ ^{f t}



²^²^t



^²₃

�