MỘT VÀI KẾT QUẢ VỀ ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRONG KHÔNG GIAN B-MÊTRIC

MỘT VÀI KẾT QUẢ VỀ ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRONG KHÔNG GIAN B-MÊTRIC

Đinh Huy Hoàng¹, Đỗ Thị Thủy²

TÓM TẮT 

Trong bài báo này, chúng tôi đưa ra một vài kết quả mới về sự tồn tại điểm bất động của các ánh xạ T-co yếu suy rộng kiểu Chatterjea và T-co yếu suy rộng kiểu Kannan trong không gian b-mêtric. Các kết quả trong bài báo là mở rộng thực sự của các kết quả chính trong các tài liệu [9,10].

Từ khóa: Điểm bất động, không gian mêtric đầy đủ, không gian b-mêtric, T-co yếu.

1. ĐẶT VẤN ĐỀ 

Các khái niệm về ánh xạ T-co yếu suy rộng kiểu Kannan, kiểu Chatterjea trong không  gian mêtric đã được giới thiệu và nghiên cứu bởi A. Razani, V. Paraneh [10] vào năm 2013. 

Sau đó (2014), Z.Mustaja và các cộng sự [9] đã mở rộng kết quả của Razami, Parvaneh [10] 

về sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ T-co yếu suy rộng kiểu Kannan, Chatterjea trong  không gian mêtric cho không gian b-mêtric. Trong bài báo, chúng tôi đã chứng minh được  một định lý về sự tồn tại điểm bất động trong không gian b-mêtric.  

2. NỘI DUNG NGHIÊN CỨU  2.1. Một số khái niệm cơ bản

Mục này trình bày một số định nghĩa về các loại ánh xạ co, T-co, T-co yếu suy rộng  trong không gian mêtric cùng một vài định nghĩa trong không gian b-mêtric mà chúng ta cần  dùng trong bài báo. 

2.1.1. Định nghĩa 1

Giả sử   là không gian mêtric và  . 

1) ([5]). Ánh xạ   được gọi là co kiểu Kannan nếu tồn tại   sao cho 

,   

2) ([1]). Ánh xạ   được gọi là co kiểu Chatterjea nếu tồn tại   sao cho 

,   

1 Giảng viên khoa Sư phạm Toán, Trường Đại học Vinh

2 Giáo viên Trường Trung học phố thông Quảng Xương 2, Thanh Hóa 

( , )X d f X: X

f 0,¹

^ 2^

 

( , ) [ ( , ) ( , )]

d fx fy  d x fx d y fy x y, X

f 0,¹

^ 2^

 

( , ) [ ( , ) ( , )]

d fx fy  d x fy d y fx x y, X

2.1.2. Định nghĩa 2

Giả  sử   là  không  gian  mêtric,     là  hàm  liên  tục  sao  cho   khi và chỉ khi   và   là ánh xạ.  

1) ([2]). Ánh xạ   được gọi là co yếu kiểu Chatterjea nếu 

,   

2) ([10]). Ánh xạ   được gọi là co yếu kiểu Kannan nếu 

,   

2.1.3. Định nghĩa 3

Giả sử   là không gian mêtric,   và   là hai ánh xạ từ X vào X. 

1) ([8]). Ánh xạ   được gọi là T-co kiểu Kannan nếu tồn tại   sao cho 

,   

2) ([10]). Ánh xạ   được gọi là T-co kiểu Chatterjea nếu tồn tại   sao cho 

,   

2.1.4. Định nghĩa 4 ([6])

Hàm   được  gọi  là hàm chuyển đổi khoảng cách nếu   liên tục,  tăng ngặt và    

Trong định nghĩa sau,   là hàm chuyển đổi khoảng cách, còn      là hàm liên tục và   khi và chỉ khi  .  

2.1.5. Định nghĩa 5 ([10])

Giả sử   là không gian mêtric,   và   là hai ánh xạ từ X vào X. 

1) Ánh xạ   được gọi là T-co yếu suy rộng kiểu Chatterjea nếu 

,   

2) Ánh xạ   được gọi là T-co yếu suy rộng kiểu Kannan nếu 

,   

Khi lấy   là ánh xạ đồng nhất, ta thấy rằng các khái niệm ánh xạ T- co yếu kiểu Chatterjea và T-co yếu kiểu Kannan là trường hợp đặc biệt của khái niệm ánh  xạ T-co yếu suy rộng kiểu Chatterjea và T-co yếu suy rộng kiểu Kannan tương ứng.  

( , )X d

  :



( , )x y 0

  x y0 f X: X f

( , ) 1[ ( , ) ( , )]- ( ( , ), ( , ))

d fx fy 2 d x fy d y fx  d x fy d y fx x y, X f

( , ) 1[ ( , ) ( , )]- ( ( , ), ( , ))

d fx fy 2 d x fx d y fy  d x fx d y fy x y, X

( , )X d T f

f 0,¹

_{ }^ 2^_

 

( , ) [ ( , ) ( , )]

d Tfx Tfy  d Tx Tfx d Ty Tfy x y, X

f 0,¹

_{ }^ 2^_

 

( , ) [ ( , ) ( , )]

d Tfx Tfy  d Tx Tfy d Ty Tfx x y, X

   

: 0, 0,

    

(0) 0.

 

 ^{: 0,}









( , )x y 0

  xy0

( , )X d T f

f

( , ) ( , )

( ( , )) ( )- ( ( , ), ( , ))

2

d Tx Tfy d Ty Tfx

d Tfx Tfy d Tx Tfy d Ty Tfx

  ^  x y, X

f

( , ) ( , )

( ( , )) ( )- ( ( , ), ( , ))

2

d Tx Tfx d Ty Tfy

d Tfx Tfy d Tx Tfx d Ty Tfy

  ^  x y, X

   

: 0, 0,

   

2.1.6. Định nghĩa 6 ([3])

Giả sử   là tập khác rỗng và số thực  . Hàm     được gọi là b- mêtric nếu với mọi  , ta có 

1)  ;  

2)  ;  

3)   (bất đẳng thức tam giác). 

Tập   cùng với một b-mêtric trên nó được gọi là không gian b-mêtric với tham số s,  nói gọn là không gian b-mêtric và kí hiệu bởi   hoặc  .  

Chú ý:

1) Từ đây về sau, khi nói tới không gian b-mêtric ta luôn hiểu tham số của nó là s1. 

2) Từ định nghĩa không gian mêtric và không gian b-mêtric ta thấy rằng, không gian  mêtric là trường hợp đặc biệt của không gian b-mêtric khi  .  

2.1.7. Định nghĩa 7 ([3])

Giả sử   là dãy trong không gian b-mêtric . 

Dãy   được  gọi  là b-hội tụ (nói  gọn  là hội tụ)  tới   và  được  kí  hiệu  bởi   hoặc   nếu  với  mọi  ,  tồn  tại  số  tự  nhiên   sao  cho   

với mọi  . Nói cách khác,   khi và chỉ khi   khi  .  

Dãy   được gọi là dãy Cauchy nếu với mọi  , tồn tại số tự nhiên   sao cho 

 với mọi  . 

Không gian b-mêtric được gọi là đầy đủ nếu mọi dãy Cauchy trong nó đều hội tụ. 

2.1.8. Bổ đề 1

Giả sử là dãy trong không gian b-mêtric và . Khi đó, 1) là dãy Cauchy;

2) là duy nhất;

3)

2.1.9. Định nghĩa 8

Giả sử   là không gian b-mêtric, ánh xạ   được gọi là liên tục nếu 

mọi dãy   trong   mà   ta có  . 

2.2. Một vài kết quả về sự tồn tại điểm bất động của các ánh xạ T-co Suy rộng trong không gian b-mêtric  

X s1 d X: X 





, , x y zX ( , ) 0

d x y  xy ( , ) ( , ) d x y d y x

 

( , ) ( , ) ( , ) d x y s d x z d z y

X

( , )X d X

1 s

 

 

xn x lim _n

n x x

   0 n₀ d x x( , )_n 

nn0 x_n x d x x( _n, )0 n 

 

( _n, _m)

d x x  n m, n₀

 

 

x

1 ( , ) lim inf ( , )_n limsup ( , )_n ( , ), .

n n

d x y d x y d x y sd x y y X

s ^ 

    

( , )X d f X: X

 

Ta kí hiệu 

= {  là hàm chuyển đổi khoảng cách}. 

 và    2.2.1. Định lý 1

Giả sử là không gian b-mêtric đầy đủ,   và   là  hai  ánh  xạ  từ  X  vào  X thỏa mãn:

i) đơn ánh và liên tục;

ii) Tồn tại , và các hằng số sao cho

(2.2.1)

với mọi .

Khi đó, các khẳng định sau đây là đúng hoặc:

Với mỗi , dãy hội tụ.

2) Nếu là ánh xạ hội tụ dãy con thì có duy nhất điểm bất động trong .

3) Nếu là ánh xạ hội tụ dãy thì với mỗi , dãy hội tụ tới điểm bất động của .

Chứng minh.  

1) Lấy bất kỳ  . Ta xây dựng dãy   bởi     

Đặt    

Đầu tiên, ta chứng minh   khi  . Từ điều kiện (2.2.1), với mọi   ta có: 

     (2.2.2) 

Đặt   thì  .  Từ   là  hàm  không  âm  và   là  hàm 

tăng cùng (2.2.2) suy ra   với mọi   

 ^{ : 0,}



 



 







        



(lim inf _n, lim inf _n) lim inf ( ,_{n n}) .

n x n y n x y

 

   

( , )X d T f

T

    _{1 2 3 4 2}1

, , , 0,

1

    _{ }^ s ^_

  





( (d Tfx Tfy, )) (max sd Tx Ty( , ), d Tx Tfy( , ) d Ty Tfx( , ), s d Tx Tfx[ ( , ) d Ty Tfy( , )] )

      

2 4 3 4

( d Tx Tfy( , ) d Tx Tfx( , ), d Ty Tfx( , ) d Ty Tfy( , ))

    

  

, x yX

x0X





T f X

T x₀X





f

x0X

 

, 0,1,...

n n

y Tx n

( _n, _n 1) 0

d y y _  n 

1, 2,...

n

1 1

( (d y y_n, _n )) ( (d Tfx_n ,Tfx_n))

 _  _





(max sd y y( _n, _n ), d y y( _n, _n) d y( _n ,y_n ), s d y y( ( _n, _n ) d y( _n ,y_n)) )

  _   _{ }  _{ }

  

4 1 3 1 1 4 1

( d y y( _n, _n ), d y( _n ,y_n ) d y( _n ,y_n))

  _  _{ }  _

 





(max , , s d y( ( _n ,y_n) d y y( _n, _n )))

    _{ }

 

4 1 3 1 1 4 1

( d y y( _n, _n ), d y( _n ,y_n ) d y( _n ,y_n)).

  _  _{ }  _

 





max , ,

     0, ₂¹ 1

_{ }^ s ^_

    

1 1 1

( _n , _n) ( ( _n , _n) ( _n, _n ))

d y _ y s d y _ y d y y _ n1, 2,...

Do đó,     

Từ   suy  ra   nên   với  mọi   Như 

vậy   là  dãy  các  số  thực  không  âm  và  giảm.  Do  đó,  nó  hội  tụ.  Giả  sử   Từ (2.2.2) và tính chất của ánh xạ  , cho  , ta được  

Từ đó   Kết hợp với tính chất của   suy ra  

      (2.2.3) 

Nếu   thì   Giả sử  . Khi đó, nếu   thì theo điều kiện (2.2.1)  suy ra  

Do  đó,   Do   tăng  ngặt  nên  .  Mà   nên 

 Nếu   và   thì từ (2.2.3) ta có  . Từ (2.2.1) và   

là hàm tăng nên: 

Cho   ta có  . Tương tự như trên ta có 

được  . Như vậy ta luôn có  

  (2.2.4) 

Tiếp theo, ta chứng minh   là dãy Cauchy. Giả sử   không là dãy Cauchy. Khi  đó, tồn tại   sao cho có thể tìm được hai dãy con   và   của dãy   thỏa  mãn   là chỉ số bé nhất để cho   và: 

  (2.2.5) 

Từ đó suy ra  

,    (2.2.6) 

Từ (2.2.5), (2.2.6) và bất đẳng thức tam giác ta có  

,   

Lấy   hai vế ta được  

1 1

( , ) ( , )

n n 1 n n

d y y s d y y

s



   

  n 1, 2,...

1 s 2

  1

1 s

s



 ^

 ^{d y( n1,yn)d y( n1,yn)} n1, 2,...





lim ( _n 1, _n) r 0.

n d y _ y

    n 

4 4 3 1 1

(r) (2 r) ( r, r lim inf ( _n , _n ))

s n d y y

       _{ }

   

4 4 3 1 1

(r) ( r, r lim inf ( _n , _n ))

n d y y

     _{ }



  

4 4 3 1 1

( r, r lim inf ( _n , _n )) 0.

n d y y

    _{ }



  

4r 3lim inf ( _n 1, _n 1) 0.

n d y y

  _{ }



 

4 0

  r0. ₄ 0 ₃0

1 1 1

( (d y_n ,y_n)) ( sd y y( _n, _n ))

 _   _  n 1, 2,...

(r) ( 1sr).

    r₁sr _{1 2}1 1

1

s s

  



r0. ₄ 0 ₃ 0 lim inf ( _{n 1}, _{n 1}) 0

n d y _ y _

  

1 1 1 3 1 1

( _n , _n) ( ( _n, _n ) ( _n , _n )

d y _ y  s d y y _  d y _ y _  n 1, 2,...

n  r ₁ r ₃lim inf ( _n1, _{n 1}) ₁ r

n

s d y y s

  _{ } 



  

r0

lim ( _n, _n 1) r 0

n d y y_

  

 

 

 0

 

 

 

nk n_k m_k k

( , )

k k

n m

d y y 

( 1, )

k k

n m

d y _ y   k 1, 2,...

1 1 1

( , ) [ ( , ) ( , )] ( , )

k k k k k k k k

m n m n n n n n

d y y s d y y d y y s sd y y

   _  _   _  k 1, 2,...

limsup

k

  (2.2.7) 

Từ   cùng với (2.2.6) suy ra  

  (2.2.8) 

Mặt khác, từ   và  

  cùng (2.2.4) và (2.2.7) suy ra 

  (2.2.9) 

Tương tự như trên, ta chứng minh được rằng  

  (2.2.10) 

Và 

  (2.2.11) 

Từ   cùng (2.2.4) và (2.2.8) ta có  

  (2.2.12) 

Áp dụng (2.2.5) và điều kiện (2.2.1) ta có    

  Từ (2.2.4), (2.2.10), (2.2.11), (2.2.12) và sử dụng tính chất của   suy ra  

  (2.2.13) 

Mặt  khác,   nên  . 

Kết hợp với (2.2.13) và tính chất của   ta có: 

limsup ( _mk, _nk)

k

d y y s

 



 

1 1

( , ) [ ( , ) ( , )]

k k k k k k

m n m n n n

d y y s d y y d y y

   _  _

limsup ( , 1)

k k

m n

k

d y y s

 _ 



 

1 1

( , ) [ ( , ) ( , )]

k k k k k k

m n m m m n

d y y s d y y d y y

   _  _

1 1

( , ) [ ( , ) ( , )]

k k k k k k

m n m m m n

d y _ y s d y _ y d y y

2

limsup ( 1, )

k k

m n

k

d y y s

s

 _ 



 

lim inf ( , 1)

k k

m n

k d y y

s

 _ 

  

2

lim inf ( 1, )

k k

m n

k d y y s

s

 _ 



 

1 1 1 1

( , ) [ ( , ) ( , )]

k k k k k k

m n m m m n

d y _ y _ s d y _ y d y y _

1 1

limsup ( , )

k k

m n

k

d y _ y _ s





1 1

( ) ( ( , )) ( ( , ))

k k k k

m n m n

d y y d Tfx Tfx

    _{ }

1 1 1 2 1 3 1

(max{ ( , ), ( , ) ( , ),

k k k k k k

m n m n n m

sd y y d y y d y y

  _{ }  _  _

 

4 ( ( 1, ) ( 1, ))})

k k k k

m m n n

s d y y d y y

 _  _

2 1 4 1 3 1 4 1

( ( , ) ( , ), ( , ) ( , )).

k k k k k k k k

m n m m n m n n

d y y d y y d y y d y y

  _  _  _  _

  

 ,

1 1 1 2 1 3 1

( ) (limsup(max{ ( , ), ( , ) ( , ),

k k k k k k

m n m n n m

k

sd y y d y y d y y

    _{ }  _  _



 

4 ( ( 1, ) ( 1, ))}))

k k k k

m m n n

s d y y d y y

 _  _

2 1 4 1 3 1 4 1

(liminf ( ( , ) ( , )), liminf ( ( , ) ( , )))

k k k k k k k k

m n m m n m n n

k d y y d y y k d y y d y y

  _  _  _  _

 

  

2 2

1 2 3 2 1

(max{ , , 0}) (lim inf ( , ),

k k

m n

k

s s d y y

         _



  

3 1

lim inf ( , ))

k k

n m

k  d y _ y



2 2

1 2 3

max{ s , s  } 1  ( )(max{₁s² , ₂s²   ₃ , 0})



  (2.2.14) 

và  

  (2.2.15) 

Từ  (2.2.10),  (2.2.11),  (2.2.14)  và  (2.2.15)  suy  ra  .  Từ  (2.2.13)  ta  có  .  Do  đó,   hay  .  Điều  này  mâu  thuẫn  với  giả  thiết  . Mâu thuẫn này chứng tỏ   là dãy Cauchy. Vì   đầy đủ nên tồn 

tại   sao cho   khi  , tức là  

  (2.2.16) 

2) Bây giờ, giả sử   là ánh xạ hội tụ dãy con. Ta chứng minh   có điểm bất động. 

Vì   hội  tụ  dãy  con  và   là  dãy  hội  tụ  nên   có  dãy  con   sao  cho   khi  .  Do   liên  tục  nên  .  Kết  hợp  với  (2.2.16)  suy  ra  . Sử dụng điều kiện (2.2.1) ta có 

    . 

Vì   là hàm tăng ngặt nên từ bất đẳng thức trên ta có:   hay  .  Vì   đơn ánh nên   hay   là điểm bất động của  f. 

Cuối cùng, giả sử   và   là hai điểm bất động của  . Theo điều kiện (2.2.1) ta có  

  (2.2.17) 

Vì  ,   là hàm tăng ngặt nên: 

  Do đó, 

  (2.2.18) 

2lim inf ( 1, ) 0

k k

m n

k d y y

 _

 

3lim inf ( 1, ) 0

k k

n m

k d y y

 _

 

2 3 0

  

2

( ) ( 1s )

      ₁s² ₁ 1₂

  s

1 2

0, 1 1

 _{ }^ s ^_

  

 

yX y_n  y n 

1

0 1

lim ⁿ lim _n lim _n

n Tf ^ x n Tfx n y _ y

     

T f

T



 

  

ni

fx  x X n_i   T

ni

Tfx Tx yTx

1 ( , ) (lim inf ( , _n)) lim inf ( ( , _n))

n n

d Tfx Ty d Tfx Tfx d Tfx Tfx

 s  

 

 

 

 

 

1 2 1 3 4 1

limsup( (max{ ( , _n), ( , _n ) ( ,_n ), ( ( , ) ( ,_{n n} ))}))

n

sd y y d y y d y Tfx s d y Tfx d y y

   _   _



   

1 2 1 3 4 1

(limsup(max{ ( , _n), ( , _n ) ( ,_n ), ( ( , ) ( ,_{n n} ))}))

n

sd y y d y y d y Tfx s d y Tfx d y y

   _   _



   

3 4 2

(max{ ( , ), ( , )}) ( , )

1

sd y Tfx sd y Tfx s d y Tfx

    ^s ^

   

  

 d y Tfx( , )0 TxTfx

T x fx x

x x f

1 2 3

( (d Tx Tx, )) ( (d Tfx Tfx, )) (max{ sd Tx Tx( , ), d Tx Tx( , ) d Tx Tx( , )

          

4s d Tx Tx( ( , ) d Tx Tx( , )}) ( 2d Tx Tx( , ), 3d Tx Tx( , ))

       

  

1 2 3 2 3

(max{ s, } (d Tx Tx, )) ( d Tx Tx( , ), d Tx Tx( , ))

         

  

1 2 3

max{ s,  } 1 

2 3

( d Tx Tx( , ), d Tx Tx( , )) 0

     

2d Tx Tx( , ) 3d Tx Tx( , )) 0

    

Nếu   hoặc   thì từ (2.2.18) ta có  . Nếu   thì từ  (2.2.17), kết hợp với   và tính chất của hàm   ta có  . Như vậy, ta luôn 

có  , tức  . Do   đơn ánh nên  . Vậy điểm bất động của   là 

duy nhất.  

3) Giả sử   là ánh xạ hội tụ dãy. Khi đó, trong chứng minh 2) ở trên thay   bởi   

ta có  . 

Sau đây là vài hệ quả của Định lý 2.2.1. 

2.2.2. Hệ quả 1 ([9], Định lý 4)

Giả sử là không gian b-mêtric đầy đủ, và : là hai ánh xạ thỏa mãn:

i) đơn ánh và liên tục;

ii) Tồn tại , sao cho với mọi ta có

  (2.2.19) 

Khi đó, các khẳng định sau đây là đúng:

1) Với mỗi , dãy hội tụ.

2) Nếu là ánh xạ hội tụ dãy con thì có duy nhất điểm bất động trong .

3) Nếu là ánh xạ hội tụ dãy thì với mỗi , dãy hội tụ tới điểm bất động của .

Chứng minh.

Ta xác định các hàm   bởi các công thức: 

,   

,  . 

Khi  đó,  từ  ,  và  suy  ra  , . Mặt  khác,  từ  điều  kiện  (2.2.19) ta có 

với mọi  , trong đó  . Từ đó suy ra 

2 0

  ₃ 0 d Tx Tx ( , ) 0 ₂ ₃ 0

1

1

  s  d Tx Tx ( , ) 0

( , ) 0

d Tx Tx  TxTx T xx f

T n_i n

0 1

lim ⁿ lim _n

n f x n fx _ x

   

( , )X d T f X X

T

    x y, X

( , ) ( , )

( ( , )) ( ( , ), ( , ))

1

d Tx Tfy d Ty Tfx

sd Tfx Tfy d Tx Tfy d Ty Tfx

  ^ s^{ }

  

x0X





T f X

T x₀X





f

     

 

1: 0, 0, , 1: 0, 0,

       

1( )t ( )st

  ^{ t}





1( , )t u ( (s s 1) , (t s s 1) )u

    ^{( , )t u }





1

s     ₁  ₁ 

1

( , ) ( , )

( ( , )) ( ( , )) ( ( , ), ( , ))

1

d Tx Tfy d Ty Tfx

d Tfx Tfy sd Tfx Tfy d Tx Tfy d Ty Tfx

   ^ s^{ }

  

1( [ (d Tx Tfy, ) d Ty Tfx( , )]) 1( d Tx Tfy( , ), d Ty Tfx( , ))

    

  

,

x yX ¹

( 1)

 s s







( (d Tfx Tfy, )) (max sd Tx Ty( , ), d Tx Tfy( , ) d Ty Tfx( , ), s d Tx Tfx[ ( , ) d Ty Tfy( , )] )

      

1( 2d Tx Tfy( , ) 4d Tx Tfx( , ), 3d Ty Tfx( , ) 4d Ty Tfy( , ))

    

  

Với mọi  , trong đó   Như vậy các điều  kiện của Định lý 2.2.1 được thỏa mãn. Do đó, các khẳng định của Hệ quả 2.2.2 được suy ra  từ Định lý 2.2.1.  

2.2.3. Hệ quả 2 ([9], Định lý 5)

Giả sử là không gian b-mêtric đầy đủ, và là hai ánh xạ thỏa mãn:

i) đơn ánh và liên tục;

ii) Tồn tại , sao cho với mọi ta có

  (2.2.20) 

Khi đó, các khẳng định sau đây là đúng:

1) Với mỗi , dãy hội tụ.

2) Nếu là ánh xạ hội tụ dãy con thì có duy nhất điểm bất động trong .

3) Nếu là ánh xạ hội tụ dãy thì với mỗi , dãy hội tụ tới điểm bất động của .

Chứng minh.  

Ta xác định các hàm   bởi các công thức 

,   

,  . 

Khi đó, từ   và  suy ra  , . Tương tự như chứng minh Hệ quả  2.2.2  ta  chứng  minh  được  các  điều  kiện  của Định  lý  2.2.1  được  thỏa  mãn  với     Do đó, các khẳng định của Hệ quả 2.2.3 được suy ra từ Định lý 2.2.1. 

Trong các Hệ quả 2.2.2 và Hệ quả 2.2.3 lấy   ta được hệ quả sau: 

2.2.4. Hệ quả 3 ([10])

Giả sử là không gian mêtric đầy đủ, và là hai ánh xạ sao cho đơn ánh và liên tục. Khi đó, nếu là ánh xạ T-co yếu suy rộng kiểu Chatterjea hoặc kiểu Kannan thì các khẳng định sau đây là đúng: 

1) Với mỗi , dãy hội tụ.

2) Nếu là ánh xạ hội tụ dãy con thì có duy nhất điểm bất động trong .

3) Nếu là ánh xạ hội tụ dãy thì với mỗi , dãy hội tụ tới điểm bất động của .

,

x yX ₁ 0, _{2 3} ¹ , ₄ 0.

( 1)

      s s  



( , )X d T f X: X

T

    x y, X

( , ) ( , )

( ( , )) ( ( , ), ( , ))

1

d Tx Tfx d Ty Tfy

d Tfx Tfy d Tx Tfx d Ty Tfy

 ^ s^{ }

  

x0X





T f X

T x₀X





f

     

 

1: 0, 0, , 1: 0, 0,

       

1( )t ( )t

  ^{ t}





1( , )t u ( (s s 1) , (t s s 1) )u

    ^{( , )t u }





    ₁  ₁ 

1 2

 

3 4

0, 1 .

( 1)

  s s

  



1 s

( , )X d T f X: X

T f

x0X





T f X

T x₀X





f

Ví dụ sau đây chứng tỏ Định lý 2.2.1 thực sự tổng quát hơn Định lý 4 và Định lý 5  trong [9]. 

2.2.5. Ví dụ

Giả sử   và   là hàm được cho bởi 

  ; 

; 

;  . 

Khi đó,   là b-mêtric trên   với   và   là không gian b-mêtric đầy đủ. 

Giả sử   và   là hai ánh xạ được cho bởi   

Ta thấy T đơn ánh và liên tục, tức là điều kiện i) của Định lý 2.2.1 được thỏa mãn. 

Lấy  . Khi đó  . Ta có  

. 

Vì thế   và   thỏa mãn điều kiện co trong Định lý 2.2.1 với mọi  , ,  . Do vậy, Định lý 2.2.1 được áp dụng cho   và  . Bây giờ, ta chỉ ra rằng Định lý 4  và Định lý 5 trong [9] không thể áp dụng được cho   và  . Thật vậy, 

Chọn   thì từ điều kiện co trong Định lý 4 [9] ta có 

.  Điều này mâu thuẫn với giả thiết   là hàm tăng ngặt. 

Chọn   thì từ điều kiện co trong Định lý 5 [9] ta có 

  Đây là một điều vô lý.  





X  d X: X 

( , ) ( , )

d x y d y x x y, X ( , ) 0

d x y  x y (1, 2) (1, 4) 1, (2, 4) 5

d d  d 2

(1, 3) (2,3) (3, 4) 9

d d d 4

d X 5

s4 ( , )X d T f X: X

1 2 3 1, 4 3,

f  f  f  f  1 1, 2 2, 3 4, 4 3.

T  T  T  T 

1 2 3 4

16, 0

  45     ₁ ¹ ( 1)

 s s



( 1, 2) ( 1, 3) ( 2, 3) 0.

d Tf Tf d Tf Tf d Tf Tf 

16 5 9

( 1, 4) ( 2, 4) ( 3, 4) 1

45 4 4 d Tf Tf d Tf Tf d Tf Tf    

T f x y, X 

  T f

T f

3, 4

x y

9

5 4 9 9

( ( 3, 4)) 0, (1) 0, (1)

4 9 4 4

4 sd Tf Tf

      

 

 

     

         

       

 



1, 4

x y

 

9

9 9

( ( 1, 4)) 1 4 0, (1) 0, (1)

9 4 4

4 d Tf Tf

      

 

     

        

   

 

 

3. KẾT LUẬN 

Bài báo đưa ra được kết quả mới đó là Định lý 2.2.1 về sự tồn tại điểm bất động của  các ánh xạ T-co suy rộng trong không gian b-mêtric và một số Hệ quả của nó (Hệ quả 2.2.3,  2.2.4), các hệ quả này chính là nội dung các Định lý 4 và Định lý 5 trong tài liệu tham khảo  [9]. Đồng thời đưa ra Ví dụ 2.2.5 chứng tỏ Định lý 2.2.1 là mở rộng thực sự của Định lý 4  và Định lý 5 trong tài liệu tham khảo [9]. 

TÀI LIỆU THAM KHẢO 

[1]  K. Chatterjea (1972), Fixed point theorems, C. R. Acad. Bulgare Sci. 25, 727-730.  

[2]  S. Choudhury (2009), Unique fixed point theorems for weak C-contractive   mappings,  Kathamandu Univ. J. Sci. Eng. Technol. 5(1), 6-13. 

[3]  S.  Czerwik  (1993), Contraction mappings in b-mêtric spaces,  Acta  Math.  Inform  Univ. Ostrav. 1, 5-11. 

[4]  N.  Hussain,  V.  Parvaneh,  R.  Roshan,  Z.  Kadelburg  (2013), Fixed points of cyclic weakly ( , , , ,L A B) - Contractive mappings in ordered b-metric with applicatons, Fixed Point Theory Apply, 256.

[5]  Kannan (1968), Some results on fixed points, Bull. Calcutta Math. Soc. 60, 71-76.  

[6]  M. S. Khan, M. Sessa (1984), Fixed point theorems by altering distances bet ween the points, Bull. Aust. Math. Soc. 30, 1-9.

[7]  M. Kir, H.Kiziltunc (2013), On some well known fixed point theorems in b-metric,Turkish  Journal of Analysis and Number Theory, Vol. 1, No. 1, 13-16.  

[8]  S.  Moradi  (2011), Kannan fixed point theorem on complete metric spaces and On generalized metric spaces depended on another function, arXiv: 0903. 577vl [math.FA].

[9]  Z. Mustafa, J.R. Roshan, V. Parvaneh and Z. Kadelburg (2014), Fixed poin theorems for weakly T-Chatterjea and weakly T-Kannan contractions in b-metric spaces, Journal of Inequalities and Applications, Vol. 1, No. 46 (2014), 1-14. 

[10]  A. Razani, V. Paraneh (2013), Some fixed point theorems for weakly T-Chatterjea nd weakly T-Kannan contractive mappings in complete metric spaces, Russ. Math. 

(Izv. VUZ) 57(3), 38-45.  

SOME FIXED POINT RESULTS IN B -METRIC SPACE

Dinh Huy Hoang, Do Thi Thuy

ABSTRACT 

In this paper, we obtain some fixed point results for generalized weakly T-Kannan contractive and generalized weakly T-Chatterjea contractive mappings in b-metric spaces.

The results of this paper extend and generalize well-known comparable results in the literature [9,10].

Keywords: Fixed point, complete metric spaces, b-metric space, weak T-contraction.