Công thức xét tính đồng biến, nghịch biến hay, chi tiết hay nhất | Toán lớp 9

Công thức xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số I. Lý thuyết

1. Khái niệm về tính đồng biến, nghịch biến

Cho hàm số y = f(x) xác định với mọi giá trị của x thuộc .

- Nếu giá trị của biến x tăng lên mà giá trị y = f(x) tương ứng cũng tăng thì hàm số y = f(x) là hàm số đồng biến trên .

- Nếu giá trị của biến x tăng lên mà giá trị của y = f(x) tương ứng giảm thì hàm số y = f(x) là hàm số nghịch biến trên .

2. Công thức xét tính đồng biến, nghịch biến Cách 1: Dựa vào khái nệm

Với x1, x2 bất kì thuộc :

- Nếu x₁x₂và f x

( ) ( )

( ) ( )

Để xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số y = f(x), ta xét dấu của T, với

( ) ( )

2 1

f x f x

T x x

= −

− và x , x_{1 2}

Nếu T < 0 thì hàm số nghịch biến trên . Nếu T > 0 thì hàm số đồng biến trên .

3. Công thức xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số bậc nhất.

a) Khái niệm về hàm số bậc nhất

Hàm số bậc nhất có dạng y = ax + b, trong đó a, b là hai số đã cho và a 0 . b) Công thức xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số bậc nhất

Ngoài hai cách ta đã nêu ở mục hai đối với hàm số bậc nhất ta còn cách xét hệ số a.

- Hàm số bậc nhất xác định bởi mọi x  . - Hàm số bậc nhất đồng biến trên khi a > 0.

- Hàm số bậc nhất nghịch biến trên khi a < 0.

II. Một số ví dụ

Ví dụ 1: Xét tính đồng biến nghịch biến của các hàm số sau:

a) y = 3x + 3 b) y = -2x – 3

Lời giải:

a) Cách 1:

Hàm số xác định với mọi giá trị x thuộc Ta có: y = f(x) = 3x + 3

Với x , x_{1 2} ta có:

( )

f x =3x +3

( )

f x =3x +3

Xét

( ) ( )

2 1

f x f x

T x x

= −

−

(

) (

)

2 1

3x 3 3x 3

x x

+ − +

= −

2 1

2 1

3x 3 3x 3

x x

+ − −

= − ²_{2 1}¹

3x 3x

x x

= −

−

(

)

2 1

3 x x

3 0

x x

= − = 

−

hàm số đồng biến trên . Cách 2:

Ta có hàm số y = 3x + 3 là hàm số bậc nhất có a = 3 > 0 nên hàm số đã cho đồng biến trên .

b) Cách 1:

Hàm số xác định với mọi giá trị x thuộc Với x , x_{1 2} ta có:

( )

f x = −2x −3

( )

f x = −2x −3 Xét

( ) ( )

2 1

f x f x

T x x

= −

−

(

) (

)

2 1

2x 3 2x 3

x x

− − − − −

= −

2 1

2 1

2x 3 2x 3

x x

− − + +

= − ₂² ₁ ¹

2x 2x

x x

− +

= −

(

)

2 1

2 x x

2 0

x x

− −

= = − 

−

Vậy hàm số đã xét nghịch biến trên . Cách 2:

Hàm số y = -2x – 3 là hàm số bậc nhất có a = -2 < 0 nên hàm số đã cho nghịch biến trên .

Ví dụ 2: Tìm m để

a) y = (2m + 1)x + 3 đồng biến trên . b) y = (-3m – 2) x + 5 nghịch biến trên

Lời giải:

a) Hàm số y = (2m + 1)x + 3 là hàm số bậc nhất có a = 2m + 1 và b = 3 Để hàm số đồng biến trên thì a > 0.

2m + 1 > 0

2m 1

  − m 1

2

  −

Vậy 1

m 2

 − thì hàm số đồng biến trên .

b) Hàm số y = (-3m – 2) x + 5 là hàm số bậc nhất có a = -3m – 2; b = -2 Để hàm số nghịch biến trên thì a < 0

-3m – 2 < 0 3m 2

 −  m 2

3

 −

Vậy 2

m 3

 − thì hàm số nghịch biến trên .