60 câu Hình học 12 Chương 3 mức độ 3 có lời giải file word

(1)

Câu 1. [2H3-6.0-3] (THPT CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU - NGHỆ AN - LẦN 2- NĂM 2018) Trong không gian với hệ trục tọa độ ^Oxyz, cho và mặt phẳng . Hình chiếu vuông góc của ^M lên mặt phẳng là

A. B. C. D.

Lời giải Đáp án B

Phương trình đường thẳng qua ^M và vuông góc với là:

Cho

Câu 2. [2H3-6.0-3] (THPT ĐẶNG THÚC HỨA - NGHỆ AN L1) Trong không gian ^Oxyz, cho hai đường thẳng

1

x 4 y 1 z 5

: 3 2 1

  

  

  và ²

x 2 y 3 z

: 1 3 1

 

  

. Giả sử M ¹, N ² sao cho MN là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng ¹và ².Tính MN

A. ^M^{}^N



⁵^{; 5;10}^



_. _B.^M^{}^N



^{2; 2;}^ ⁴



_. _C.^M^{}^N



^{3; 3;}^ ⁶



_. _D.^M^{}^N



^{1; 1;}^ ²



Gọi M 4 3t;1 t; 5 2t ; N 2 u; 3 3u; u



   

 

  



^MN   



2 u 3t; 4 3u t; u 2t 5    



Suy ra ^M^{}^N



^{2; 2;}^ ⁴



Câu 3. [2H3-6.0-3] (THPTQG MEGABOOK L2 2018) Trong không gian với hệ trục tọa độ ^Oxyz, cho mặt phẳng

 

P : x y z 1 0.    Một phần tử chuyển động thẳng với vận tốc không đổi từ ^{A l; 3;0}



^



đến gặp mặt

phẳng

 

^P _tại_M , sau đó phần tử tiếp tục chuyển động thẳng từ ^M đến ^{B 2;l; 6}



^



cùng với vận tốc như lúc trước. Tìm hoành độ của ^M sao cho thời gian phần tử chuyển động từ ^A qua ^M đến ^B là ít nhất

A.

4

3 B.

5

3 C.

16

9 D. ^¹

Lời giải Đáp án C

Ta có ^{A B}^, nằm cùng phía so với mặt phẳng

 

^P

 

M 3;4;5

 

P : x y 2z 3 0   

 

^P

 

H 1;2; 2 ^{H 2;5;3}

 

^{H 6;7;8}

 

^{H 2; 3; 1}



^{ }



 

P : x y 2z 3 0   

 

x 3 t

y 4 t H 3 t;4 t;5 2t , z 5 2t

  

      

  

 ^H

 

^d      3 t t 4 10 4t 3    t 1 H 2;5;3

 

(2)

Gọi ^A là điểm đối xứng với ^A qua mặt phẳng

 

^P

Thời gian phần tử chuyển động từ ^A qua ^M đến ^B là ít nhất khi và chỉ khi ^M ^^{A B}^ ^

 

^P

Phương trình tham số

1

: 3

x t

AA y t

z t

  

    

 

Gọi ^H là hình chiếu vuông góc của ^A lên

 

^P

Tọa độ ^H là nghiệm của phương trình 1

3

1 0

x t

y t

z t x y z

  

   

 

    





¹

 

³



^{1 0} ¹ ⁴^; ^{8 1}^;

3 3 3 3

t t t t H 

             

Phương trình tham số

2 : 1 10

6 20

x t

A B y t

z t

  

   

   



 

M A B  P

suy ra tọa độ điểm ^M là nghiệm của hệ phương trình 2 1 10

6 20 1 0

x t

y t

z t

x y z

  

  

   

    

 9 2 0 2

t t 9

       Vậy

16 x 9

Câu 4. [2H3-6.0-3] (THPT CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU - NGHỆ AN - LẦN 2- NĂM 2018) Trong không gian với hệ tọa độ

Oxyz, cho đường thẳng và mặt cầu . Hai mặt phẳng

và chứa d và tiếp xúc với .Gọi ^M và N là tiếp điểm. Độ dài đoạn MN bằng

A. B. C. D.

x 2 y z

d : 2 1 4

  



  

^{S : x 1}^

 

²^ ^{y 2}^

 

²^{ }^{z 1}



² ^²

 

^P

 

^Q

 

^S

2 2

4 3 3

2 3

3 4

(3)

Mặt cầu có tâm

Xét mặt phẳng thiết diện đi qua tâm ^I , hai tiếp điểm ^M , N và cắt d tại ^H. Khi đó ^IH chính là khoảng cách từ điểm đến d.

Điểm

Suy ra Gọi O là trung điểm của MN

Ta có

Câu 5. [2H3-6.0-3] (THPT CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU - NGHỆ AN - LẦN 2- NĂM 2018) Trong không gian với hệ tọa độ

Oxyz cho điểm . Gọi là mặt phẳng đi qua điểm ^M và cách gốc tọa độ O một khoảng cách

lớn nhất, mặt phẳng cắt các trục tọa độ tại các điểm ^A, ^B, C. Thể tích khối chóp O ABC. bằng

A. B. C. D.

Gọi ^H là hình chiếu của O trên Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi

Mặt phẳng cắt các trục tọa độ lần lượt tại

Vậy thể tích khối chóp OABC là

Câu 6. [2H3-6.0-3] (THPTQG BÁO THTT - LẦN 2 - 2018) Trong không gian với hệ tọa độ ^Oxy, cho hai đường thẳng chéo nhau

1 2

4 2 1

: , : ' .

3 '

x t x

d y t d y t

z z t

  

 

   

 

    

  Phương trình mặt cầu có bán kính nhỏ nhất tiếp xúc với cả hai đường thẳng trên là:

A. ³ ² ²



²



² ⁹

2 4

x y z

      

 

  B. ³ ² ²



²



² ⁹

2 4

x y z

      

 

 

C. ³ ² ²



²



² ³

2 2

x y z

      

 

  D. ³ ² ²



²



² ³

2 2

x y z

      

 

 

Gọi ^{A, B} là ²điểm nút của đoạn thẳng vuông góc chung với A d , B d . ¹  ² Có:A 4 2a;a;3 , B 1; b; b





 

 



AB



2a 3; b a; b 3 .   



Ta có hệ phương trình sau:

     

1 1

2 2

2 2a 3 1 b a 0 b 3 0

AB d AB.d 0 a 1

AB d AB.d 0 0 2a 3 1 b a 1 b 3 0 b 1

        

  

   

              

  

Vậy A 2;1;3 , B 1; 1;1 .

  





  

^{S : x 1}^

 

²^ ^{y 2}^

 

²^{ }^{z 1}



² ^² I 1; 2;1 , R

 

 2

 

I 1; 2;1

       

^d

d

IK; u

K 2;0;0 d IK 1; 2; 1 f I; d 6

u

 

 

       

 

IH 6, IM IN R   2.

MH.MI 2 4 3

MO MN 2 x MO .

IH 3 3

    

 

M 1; 2;3

 

^P

 

^P

1372 9

686 9

524 3

343 9

 

^P ^^{d O; P}

   

^^{OH OM}^

 ^P

   

H M n  1; 2;3  P : x 2y 3z 14 0   

 

^P A 14;0;0 , B 0;7;0 ,C 0;0;

   

¹⁴ 3

 

 

 

OABC

14.714

OA.OB.OC 3 686

V  6 6  9

(4)

Khi đó tâm ^I của mặt cầu là trung điểm

AB I 3;0; 2 . 2

 

   Bán kính mặt cầu là

R IA IB 3.

  2

Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là: ^x ³ ² ^y²



^{z 2}



² ⁹

2 4

      

 

 

Câu 7. [2H3-6.1-3] (THPTQG BÁO TOÁN HỌC VÀ TUỔI TRẺ THÁNG 10/2017) Trong không gian với hệ tọa độ ^Oxyz, cho mặt phẳng

 

P : 2x y x 10 0   

và đường thẳng

x 2 y 1 z 1

d : 2 1 1

  

 

 . Đường thẳng Δ cắt ^{( )}^P và d lần lượt tại ^M và N sao cho A^{(1;3; 2)} là trung điểm MN. Tính độ dài đoạn MN.

A. MN 4 33 B. ^{MN 2 26,5}^ C. ^{MN 4 16,5}^ D. MN 2 33 Lời giải

Đáp án C

Vì nên , do đó

Mà là trung điểm MN nên

Vì nên , do đó

Suy ra và

Vậy

Câu 8. [2H3-6.1-3] (THPT CHUYEN THÁI BÌNH-LÀN 3) Cho hình chóp S ABCD. , đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA vuông góc với mặt phẳng ⁽^ABCD⁾; ^M , N là hai điểm nằm trên hai cạnh BC, CD. Đặt

 

BM x, DN y 0 x, y a .    Hệ thức liên hệ giữa x và ^y để hai mặt phẳng ⁽^SAM⁾ và ⁽^SMN⁾ vuông góc với nhau là:

A. ^x²^^a² ^^{a x 2y .}



^



_B.^x²^^a² ^^{a x y .}



^



_C.^x²^^2a² ^^{a x y .}



^



_D.^2x²^^a² ^^{a x y .}



^



Chọn hệ trục tọa độ ^Axyz như hình vẽ.

N  d N d N 2 2t;1 t;1 t



   



 

A 1;3; 2

M A N M

M

M A N

x 2x x x 4 2t

y 2y y y 5 t

z 3 t

z 2z z

   

 

     

 

     



 

M   P ^M^

 

^P ^{2 4 2t}



^

 

^{    }^{5 t}

 

^{3 t}



^{10 0}^{   }^t ²

 

M 8;7;1 ^{N 6; 1;3}



^{ }



M 2 66 4 16,5 

(5)

Ta có: A 0;0;0 ,S 0;0; b , M x;a;0 , N a; y;0

       

AM x;a;0 , AS 0;0; b

 



 

 vtpt của ⁽^SAM⁾ là:

   

n1AM; AS  ab; bx;0 b a; x;0

 

MS x; a; b 



, ^{NS a; y; b}^



^{ }



__{vtpt của}(SMN) là:



²



n2 MS; NS  by ab; bx ab; xy a  

Để hai mặt phẳng



^SAM



_và_SMN vuông góc với nhau thì n .n ¹ ² 0

    

²



a by ab x bx ab 0 xy a 0

       ^^x²^^a² ^^{a x y .}



^



Câu 9. [2H3-6.1-3] (THPTQG ĐẶNG VIỆT HÙNG SO9 2018) Cho điểm gọi ^A,B, C lần lượt là hình chiếu của ^M trên trục Ox, Oy, Oz. Trong các mặt phẳng sau, tìm mặt phẳng song song với mặt phẳng

(ABC)

A. B. C. D.

Lời giải Đáp án D

Ta có

Câu 10. [2H3-6.1-3] (THPTQG BÁO TOÁN HỌC VÀ TUỔI TRẺ THÁNG 10/2017) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm A 1;2; 4 , B 1; 3;1 , C 2; 2;3





 



  

. Tính đường kính l của mặt cầu ^{( )}^S đi qua ba điểm trên và có tâm nằm trên mặt phẳng ⁽^Oxy⁾

A. l 2 13 B. l 2 41 C. l 2 26 D. l 2 11 Lời giải

Đáp án C

Gọi tâm mặt cầu là

Câu 11. [2H3-6.1-3] (THPTQG BÁO TOÁN HỌC TUỔI TRẺ 10/2017) Trong không gian với hệ tọa độ ^Oxyz^, cho điểm ^M



^{3; 2;1 .}



Mặt phẳng

 

^P đi qua điểm ^M và cắt các trục tọa độ ^{Ox Oy Oz}^, ^, lần lượt tại các điểm ^{A B C}^{, ,} không trùng với điểm gốc tọa độ sao cho ^M là trực tâm tam giác ABC. Trong các mặt phẳng sau, tìm mặt phẳng song song với mặt phẳng

 

^P ^.

A. ³^x^²^{y z}^{ }^{14 0}^ . B. ²^{x y}^{ }³^z^{ }^{9 0}. C. ³^x^²^{y z}^{ }^{14 0}^ . D. ²^{x y z}^{   }^{9 0} Lời giải

Đáp án D

Gọi ^{A a}



^{;0;0 ;}

 

^B ^{0; ;0 ;}^b

 

^C ^0;0;^c



Phương trình mặt phẳng ^{( )}^P có dạng: ^x^{  }^y ^z ^{1 . .}



^{a b c}^⁰



a b c

 

A 3; 2; 4 ,

6x 4y 3z 12 0.    3x 6y 4z 12 0.    4x 6y 3z 12 0.    4x 6y 3z 12 0.   

 

A 3;0;0 , ^{B 0; 2;0 ,}

 

^{C 0;0;4}

  

^{ABC :}



^x ^{y z} ¹ 4x 6y 3z 12 0.

3 2 4

        



 

I x; y;0

       

2 2 2 2 2 2

x 1 y 2 4 x 1 y 3 1

IA IB

IA IC x 1 y 2 4 x 2 y 1 3

         

  

  

          

 

² ²

 

² ²

2 2

y 2 4 y 3 1

x 2x 1 16 x 4x 4 9

     

 

      



   

² ² ²

10y 10 x 2

l 2R 2 3 1 4 2 26

2x 4 y 1

  

 

            

(6)

Vì ^{( )}^P qua ^M nên ^{3 2 1}^{  }¹

 

¹

a b c

Ta có ^^MA^



^a^{  }^{3; 2; 1 ;}



^^MB^{ }



^3;^b^{ }^{2; 1 ;}



^^BC ^



^0;^^{b c}^{; ;}



^^AC^{ }



^a^;0;^c



Vì ^M là trực tâm của tam giác ABC nên

. 0 2

 

3 2

. 0

   

 

   



 

MA BC b c

MB AC a c

Từ ⁽¹⁾ và ⁽²⁾ suy ra

14 14

; ; 14

3 2

  

a b c

. Khi đó phương trình

 

^P ^{: 3}^x^²^{y z}^{ }^{14 0}^

Vậy mặt phẳng song song với ^{( )}^P là: ³^x^²^{y z}^{ }^{14 0}^ .

Câu 12. [2H3-6.1-3] (THPTQG BÁO TOÁN HỌC VÀ TUỔI TRẺ THÁNG 10/2017) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt cầu

 

^{S : x}²^y²^z²ax by cz d 0   

có bán kính R 19, đường thẳng x 5 t

d : y 2 4t z 1 4t

  

   

   

 và mặt phẳng

 

P : 3x y 3z 1 0    . Trong các số



^a;b;c;d



theo thứ tự dưới đây, số nào thỏa mãn a b c d 43    , đồng thời tâm ^I của ^{( )}^S thuộc đường thẳng d và ^{( )}^S tiếp xúc với mặt phẳng

( )P ?

A.



 6; 12; 14;75



B.



^6;10;20;7



_C.



10; 4; 2; 47



D.



^3;5;6;29



Lời giải Đáp án A

Ta có

Do ^{( )}^S tiếp xúc với ^{( )}^P nên

Mặt khác có tâm ; bán kính

Xét khi

Do nên ta loại trường hợp này

Xét khi

Do nên thỏa

Câu 13. [2H3-6.10-3] (SGD BÀ RỊA VT - 2018 - LẦN 2) Trong không gian ^Oxyz cho mặt phẳng

( ) : 2P x2y z 12 0 và hai điểm ^A^(1;3;16), ^B^{(5;10; 21)}. Gọi ^ là đường thẳng đi qua điểm ^A và ^ vuông góc với mặt phẳng ^{( ).}^P Khoảng cách từ điểm ^B đến đường thẳng ^ bằng

A. 3. B. 4. C. 13. D. 9.

+ Ta có phương trình của

1 2

: 3 2

16

x t

y t

z t

  

   

  

 , đường thẳng có chỉ phương ^u^^^(2;2;1) và qua ^A^(1;3;16).

+ Vectơ AB(4;7;5), ,u AB (3; 6;6)

do đó

( , ) u AB, 3

d B u

 

 

  

 



 

I d I 5 t;2 4t; 1 4t   

   

^{t 0}

d I; P R 19 19 19t 19

t 2

 

        

 

^S ^I ^a2^; ^b2^; ^c2

   

 

 

2 2 2

a b c

R d 19

4

 

  

     

t 0 I 5; 2; 1   a; b;c;d  10; 4;2;47

2 2 2

a b c

4 d 19

   

   

t 2  a; b;c;d   6; 12; 14;75

2 2 2

a b c

4 d 19

 

 

(7)

Câu 14. [2H3-6.12-3] (TRƯỜNG THPT LÝ THAI TỔ- BẮC NINH) Cho hình hộp chữ nhật ABCD A B C D.     có

AA ' 2a, AD 4a.  Gọi ^M là trung điểm của cạnh ^AD. Tính khoảng cách d từ giữa hai đường thẳng ^{A B}^{ } và C'M

A. d 2a 2 B. d a 2 C. d 2a D. d 3a

Giả sử AB x

'(0;0;0), '( ;0;0), '(0; 4 ;0), ( ; 2 ; 2 ) ' '( ;0;0), ' ( ; 2 ; 2 ), ' '(0; 4 ;0) [ ' ', ' ] (0; 2 ; 2 )

[ ' ', ' ] ' ' ( ' '; ' )

[ ' ', ' ]

B A x C a M x a a

A B x C M x a a B C a A B C M ax ax

A B C M B C d A B C M

A B C M



  

 

  

 

  

 

2 2 2

8 2 2

8

a x a

a x

 

Câu 15. [2H3-6.15-3] (THPTQG BÁO TOÁN HỌC TUỔI TRẺ 10/2017) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt cầu

 

^{S x}^: ²^^y²^^z²^^{ax by cz d}^ ^{  }⁰ có bán kính ^R^ ^19, đường thẳng

5

: 2 4

1 4

  

   

   



x t

d y t

z t và mặt phẳng

 

^P ^{: 3}^{x y}^{ }³^z^{ }^{1 0.} Trong các số



a b c d; ; ;



theo thứ tự dưới đây, số nào thỏa mãn ^{a b c d}^{   }^43, đồng thời tâm ^I của

 

^S thuộc đường thẳng d và

 

^S tiếp xúc mặt phẳng

 

^P ^?

A.



 6; 12; 14; 75



. B.



6;10; 20; 7



. C.



10; 4; 2; 47



. D.



3; 5; 6; 29



Ta có ^{I d}^{ }^I



⁵^^t^{;2 4 ; 1 4}^ ^t ^{ } ^t



Do

 

^S tiếp xúc với

 

^P _nên



^;

  

^{ } ¹⁹ ^^{19 19}^ ^¹⁹ ^ ^ ⁰₂

d I P R t t

t

Mặt khác

 

^S _{có tâm}^I^^_^₂^a^;^₂^b^;^₂^c^^_; bán kính

2 2 2

4 19

 

 a b c  

R d

Xét khi ^t^{ }⁰ ^I



^{5; 2; 1}^{  }

 

^{a b c d}^{; ; ;}

 

^{ }^{10;4;2; 47}



(8)

Do

2 2 2

4 19

    a b c

d nên ta loại trường hợp này Xét khi t ²



a b c d^{; ; ;}

 

  6; 12; 14;75



Do

2 2 2

4 19

    a b c

d nên thỏa.

Câu 16. [2H3-6.16-3] (THPT CHUYEN THÁI BÌNH-LÀN 3) Trong không gian với hệ tọa độ ^Oxyz, gọi ^H hình chiếu vuông góc của ^{M 2;0;1}

 

lên đường thẳng

x 1 y z 2

: .

1 2 1

 

  

Tìm tọa độ điểm ^H .

A. ^{H 2;2;3 .}

 

_B.^{H 0; 2;1 .}



^



_C.^{H 1;0; 2 .}

 

_D.^{H 1; 4;0 .}



^{ }



Vtcp của ^ là: ^{u 1; 2;1 .}^

 

Phương trình mặt phẳng qua ^M và nhận u

làm vtpt là:

  

^{P :1 x 2}^{ }

 

^{2 y 0}^{ }

 

^{1 z 1}^{ }



⁰_hay

 

P : x 2y z 3 0.   

Khi đó:

 

^P ^{   }^H tọa độ của ^H là nghiệm của hệ phương trình

 

x 1 y z 2

x 1, y 0, z 2 H 1;0; 2 .

1 2 1

x 2y z 3 0

 

  

     

    



Câu 17. [2H3-6.16-3] (THPT PHAN CHU TRINH ĐAKLAK LẦN 2 - 2018) Trong không gian với hệ tọa độ ^Oxyz, cho ba điểm ^A



^{2; 3;7 ,}^



^B



^{0;4; 3}^



_và^C



^4;2;5



. Biết điểm M x y z



0; ;0 0



nằm trên mp



^Oxy



_{sao cho}

MA MB MC 

  

có giá trị nhỏ nhất. Khi đó tổng P x ⁰ y⁰z⁰ bằng:

A. P0 B. P6 C. P3 D. P 3

Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC ^^G^(2;1;3). Khi đó: MA MB MC     3MG 3MG

. Để MA MB MC   

nhỏ nhất MG nhỏ nhất

M là hình chiếu vuông góc của G trên mp



^Oxy



_.

(2;1;0)

M .

Suy ra:

0 0 0

2

1 3.

0 x

y P

z

 

   

 



Câu 18. [2H3-6.16-3] (THPT CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG - NAM ĐỊNH - 8 TUẦN KỲ 1) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ABC biết A



2;0;0 ,

 

B 0;2;0 ,

 

C 1;1;3 .

 

H x y z0, ,0 0



là chân đường vuông góc hạ từ ^A xuống BC. Khi đó x⁰ y⁰z⁰bằng

(9)

A.

38

9 B.

34

11 C.

30

11 D.

11 34

Có AH x( _o2; ; );y z_o _o BC(1; 1;3); BH x y( ;_o _o2; )z_o

Theo đề bài, có

. 0

AH BC BH t BC

 



 

 

2 3 0

2 3

o o o

x y z

x t

y t

z t

   

 

    

 

4 11

4 11 18 11 12 11

o

t x y z

 

 

 

 

 



34

o o o 11 x y z

   

Câu 19. [2H3-6.16-3] (THPT CHUYÊN THÁI BÌNH-2018-LẦN 4) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz_{, cho}^M



^{3; 4;5}



và mặt phẳng

 

^{P x y}^: ^{ }²^z^{ }^{3 0}. Hình chiếu vuông góc của M lên mặt phẳng

 

^P _là

A. ^H



^2;5;3



_. _B.^H



^{2; 3; 1}^{ }



_. _C.^H



^6;7;8



_. _D.^H



^{1; 2; 2}



_.

Phương trình đường thẳng d đi qua ^M và vuông góc với mặt phẳng

 

^P _là:

3 4 5 2

x t

y t

z t

  

  

  

 .

Hình chiếu vuông góc ^H của ^M lên mặt phẳng

 

^P có tọa độ là nghiệm



^{x y z}^{; ;}



của hệ phương trình:

3 4 5 2

2 3 0

x t

y t

z t

x y z

  

  

  

    



2 5 3 1 x y z t

 

 

  

  

 .

Suy ra ^H



^2;5;3



_.

Câu 20. [2H3-6.17-3] (CHUYÊN VĨNH PHÚC-L3-2018) Trong không gian với hệ tọa độ ^Oxyz, cho bốn điểm



^{1;0;0 ,}

 

^{0;1;0 ,}



A B ^C



^{0;0;1 ,}

 

^D ^{0;0;0 .}



Hỏi có bao nhiêu điểm cách đều bốn mặt phẳng



^ABC

 

^, ^BCD



^,



^CDA

 

^, ^DAB



^?

A. ⁴ B. 5 C. ¹ D. 8

Lời giải Đáp án D

Gọi ^{I a b c}



^{; ;}



là điểm cách đều bốn mặt phẳng



^ABC

 

^, ^BCD

 

^, ^CDA

 

^, ^DAB



^.

Khi đó, ta có ¹

 

^*

3 a b c a b c   

  

. Suy ra có 8 cặp



^{a b c}^{; ;}



thỏa mãn (*).

Câu 21. [2H3-6.17-3] (THPTQG ĐỀ 05 - THẦY LÊ BÁ TRẦN PHƯƠNG) Trong không gian ^Oxyz, cho ^A

(

^{4;3; 1}^-

)

_và

đường thẳng

1 2

: 2 1 2

x y z

d - = = -

. Tìm điểm ^H thuộc đường thẳng ^d sao cho ^AH ngắn nhất.

(10)

A. ^H

(

^3;4;1

)

_. _B.^H

(

^3;1;4

)

_. _C.^H^ỉ^ç^ç^ççè^- ^{5 1}^{3 3}^{; ;}^- ⁸³^ư^÷^÷^÷^÷ø. D.

5 1 8; ; 3 3 3 Hỉççççè ừ÷÷÷÷. Lời giải

Đáp án D

AHmin Û AH ^d

Gọi ^{( )}^P là mặt phẳng đi qua ^A và vuơng gĩc với d ( ) : 2( 4) ( 3) 2( 1) 0

( ) : 2 2 9 0 ( )

(1 2 ; ;2 2 )

1 5 1 8 ( ) 2(1 2 ) 2(2 2 ) 9 0 ( ; ; )

3 3 3 3

P x y z

P x y z

H d P

H d H t t t

H P t t t t H

Þ - + - + + =

+ + - =

= Ç

Ỵ Þ + +

Ỵ Þ + + + + - = Þ = Þ

Câu 22. [2H3-6.18-3] (THPT CHUYÊN LÊ KHIẾT - QUẢNG NGÃI - LẦN 1) Trong khơng gian với hệ trục tọa độ ^Oxyz, cho mặt cầu ^{( )}^S cĩ phương trình và điểm Mặt phẳng ^{( )}^P đi qua ^M và cắt ^{( )}^S theo giao tuyến là đường trịn cĩ chu vi nhỏ nhất cĩ phương trình là:

A. . B. . C. . D.

Phương pháp:

Kiểm tra ^M nằm trong hay ngồi mặt cầu.

Để giao tuyến là đường trịn cĩ chu vi nhỏ nhất thì bán kính của đường trịn đĩ là nhỏ nhất là lớn nhất

Cách giải:

cĩ tâm

Nhận xét: Dễ dàng kiểm tra điểm ^M nằm trong ^{( )}^S , do đĩ, mọi mặt phẳng đi qua ^M luơn cắt ^{( )}^S với giao tuyến là 1 đường trịn.

Để giao tuyến là đường trịn cĩ chu vi nhỏ nhất thì bán kính của đường trịn đĩ là nhỏ nhất.

là lớn nhất.

Mà lớn nhất khi ^M trùng ^I hay OM vuơng gĩc với ^{( )}^P

2 2 2

x y z 9 M 1;-1;1 .

 

x y z 1 0    2x y 3z 0   x y z 3 0    x y z 1 0   

   

d O; P OI

  M I

2 2 2

x y z 9 ^{O 0;0;0 .}

 

   

d O; P OI

 

IO OM Vì OI ( IM)IO

(11)

Vậy, ^{( )}^P là mặt phẳng qua ^M và có VTPT là

Phương trình mặt phẳng ^{( )}^P là: .

Câu 23. [2H3-6.18-3] (THPTQG BÁO TOÁN HỌC TUỔI TRẺ 10/2017) Trong không gian với hệ tọa độ ^Oxyz^, cho đường thẳng ^: ¹ ² ¹, 2;1; 4 .

 

1 1 2

    

x y z

d A

Gọi ^{H a b c}



^{; ;}



là điểm thuộc d sao cho ^AH có độ dài nhỏ nhất. Tính ^T ^^a³^{ }^b³ ^c³^.

A. T 8. B. T 62. C. T 13. D. T  5

Phương trình tham số của đường thẳng

 

1

: 2

1 2

  

   

  





x t

d y t t

z t



^{1 ;2} ^{;1 2}



    

H d H t t t

Độ dài ^AH ^



^t^¹

 

²^{ }^t ¹

 

²^ ²^t^³



² ^ ⁶^t²^^{12 11}^t^ ^ ⁶



^t^¹



²^{ }⁵ ⁵

Độ dài ^AH nhỏ nhất bằng 5 khi ^t^{ }¹ ^H



^2;3;3



Vậy a2,b3,c 3 a³ b³ c³62.

Câu 24. [2H3-6.18-3] (THPTQG MEGABOOK-ĐỀ 4) Cho mặt phẳng

 

^P ^{: 2x 2}^ ^y^^{2z 15 0}^ ^ và mặt cầu

 

^{S x}^: ²^^y²^^z²^²^y^^{2z 1 0.}^{ } Khoảng cách nhỏ nhất từ một điểm thuộc mặt phẳng

 

^P đến một điểm thuộc mặt cầu

 

^S _là

A.

3 3

2 B. 3 C.

3

2 D.

3 3 Lời giải

Đáp án A

Mặt cầu

 

^S _{có tâm}^I



^0;1;1



và bán kính R 3.Gọi ^H là hình chiếu của ^I trên

 

^P _và_A là giao điểm của ^IH với

 

^S ^. Khoảng cách nhỏ nhất từ một điểm thuộc mặt phẳng

 

^P đến một điểm thuộc mặtcầu

 

^S

là đoạn ^{AH AH}^, ^^{d I P}



^,

  

^{ }^R ^{3 3}₂

Câu 25. [2H3-6.18-3] (THPTQG MEGABOOK-ĐỀ 5) Cho hai mặt phẳng

 

^ ^:^x^²^{y z}^{  }^{4 0,}

 

^ ^:^x^²^y^^{2z 4 0}^{ } và hai điểm ^M



^^{2;5; 1 ,}^

 

^N ^{6;1;7 .}



_{Tìm điểm}_I trên giao tuyến hai mặt phẳng

   

^ ^, ^ _{sao cho} ^{IM IN}^{ }^ _{nhỏ nhất.}

A.

62 35 124

; ; 29 29 29

I 

 

  B. ^I



^2;3;3



_C.^I



^{0; 2;0}



D. Điểm khác Lời giải

Đáp án A

Vecto pháp tuyến của

 

 ^:ⁿ 



^{1; 2;1 ,}



của

 

 ^:ⁿ 



^{1; 2; 2} 



VTCP của

   

^  ^ là

 

, 2;3; 4 u n n _ _

Một điểm trên giao tuyến là ^K



^{0; 2;0}^



OM 1; 1 .(  ;1)



     

1 x 1 -1 y 1 +1. z 1 =0       x y z 3 0

(12)

Phương trình tham số của

   

2

: 2 3

4 x t

y t

z t

 

 

    

  Gọi ^I là trung điểm củaMN, ta có ^I



^2;3;3



2 2 .

AM AN  AI AMAN  AI

    

vậy  AM AN

nhỏ nhất khi ^AI nhỏ nhất Mà ^A

   

^  ^ nên ^AI nhỏ nhất khi ^AI 

   

^  ^

    

2 ; 2 3 ; 4

 

2 2;3 5; 4 3



A    A t   t t IA t t t Vậy ⁰ ^{2 2}



²

 

^{3 3} ⁵



^{4 4}



³



⁰ ³¹

IAu  t  t  t   t 29



62 35 124

; ; 29 29 29

A 

  

Câu 26. [2H3-6.18-3] (THPT CHUYÊN LAM SƠN-THANH HÓA LẦN 1 NĂM 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu

 

^S ^{: (}^x^¹⁾²^⁽^y^²⁾²^{ }⁽^z ³⁾² ^⁹ tâm _I và mặt phẳng

 

^P ^{: 2}^x^²^y^{ }^z ^{24 0}^ . Gọi H là hình chiếu vuông góc của _Itrên

 

^P _{. Điểm}_M_thuộc

 

^S sao cho đoạn _MH có độ dài lớn nhất.Tìm tọa độ điểm ^M :

A. ^M



^^{1;0; 4}



. B. ^M



^{3; 4; 2}



. C. ^M



^{4;1; 2}



. D. ^M



^{0;1; 2}



. Lời giải

Ta có: mặt cầu ^{( )}^S có tâm ^I^(1;2;3), bán kính R3. Khoảng cách từ ^I đến ^{( )}^P là d  9 R

Suy ra: mặt cầu ^{( )}^S và mặt phẳng ^{( )}^P không có điểm chung. Gọi^H là hình chiếu của Î trên ^{( )}^P . Gọi Mô là giao điểm của đường thẳng ÎHvới ^{( )}^P (Înằm giữa ^Hvà Mô).

Ta có: MH MI IH IM⁰IH M H⁰ . Vậy ^MHcó độ dài lớn nhất khi và chỉ khi

0

1 M M IM  3IH

Tính được ^H^{( 5; 4;6)}^{ } ^^IH^^{    }^{( 6; 6; 3)} ^M^(3;4;2). Đáp án B

Câu 27. [2H3-6.18-3] (TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN - QUẢNG TRỊ LẦN 2) Trong không gian với hệ tọa độ

Oxyz, cho hai điểm ^A



^{3; 2;3 ,}^

 

^B ^1;0;5



và đường thẳng

 

^: ¹ ² ³^.

1 2 2

x y z

d     

 Tìm tọa độ điểm ^M

trên đường thẳng

 

^d _để_MA²__MB²đạt giá trị nhỏ nhất.

A. ^M



^2;0;5



_. _B.^M



^1;2;3



_. _C.^M



^{3; 2;7}^



_. _D.^M



^3;0;4



_.

Lời giải Chọn A

Phương pháp giải:

(13)

Vì điểm ^M thuộc d nên tham số hóa tọa độ điểm ^M , tính tổng MA²MB² đưa về khảo sát hàm số để tìm

giá trị nhỏ nhất Vì ^M^

 

^d ^^{M t}



^^{1;2 2 ;2}^ ^{t t}^³



_{suy ra}

 

2;4 2 ;2

;2 2 ;2 2

AM t t t

BM t t t

   



  





Khi đó ^T ^^MA²^^MB² ^{ }



^t ²

 

² ^ ^{4 2}^ ^t



²^{  }⁴^{t t}²



^{2 2}^ ^t

 

²^ ²^t^²



² ^¹⁸^t²^³⁶^t^²⁸

Dễ thấy ¹⁸^t²^³⁶^t^^{28 18}^



^t²^{  }²^t ¹



^{10 18}^



^t^¹



²^^{10 10}^ ^^MA²^^MB²^¹⁰

Vậy T^min 10. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi ^t^{ }¹ ^M



^2;0;5



_.

Câu 28. [2H3-6.18-3] (CHUYÊN THÁI BÌNH LẦN 3-2018) Trong không gian với hệ tọa độ^Oxyz, cho điểm

 

M 1;2;3 .

Gọi

 

^P là mặt phẳng đi qua điểm ^M và cách gốc tọa độ O một khoảng lớn nhất, mặt phẳng

 

^P cắt các trục tọa độ tại các điểm^{A B C}^{, ,} . Tính thể tích khối chópO ABC. .

A.

1372.

9 B.

686.

9 C.

524.

3 D.

343. 9 Lời giải

Đáp án B

Ta có: ^{d O; P}

   

^^OM

Dấu bằng xảy ra ^^OM^

    

^P ^ ^{P :1 x 1}^{ }

 

^{2 y 2}^{ }

 

^{3 z 3}^{ }



⁰

Hay

 

P : x 2y 3z 14 0    A 14;0;0 ; B 0;7;0 ;C 0;0;

   

¹⁴

3

 

   ^O.ABC

1 686

V OA.OB.OC .

6 9

  

Câu 29. [2H3-6.18-3] (CHUYÊN THÁI BÌNH-2018-LẦN 5) Trong không gian với hệ tọa độ ^Oxyz, cho ba điểm



^1;4;5



A , ^B



^3;4;0



_,^C



^{2; 1;0}^



và mặt phẳng

 

^P ^{: 3}^x^³^y^²^z^^{12 0}^ _{. Gọi}^{M a b c}



^{; ;}



_thuộc

 

^P _sao

cho ^MA² ^^MB²^³^MC² đạt giá trị nhỏ nhất. Tính tổng a b c  .

A. 3. B. 2. C. 2. D. 3. Lời giải

Đáp án A

Gọi ^{I x y z}



^{; ;}



là điểm thỏa mãn ^{IA IB}^{ }^ ^³^IC^{ }^⁰ ^(*).

Ta có: ^IA^^{ }



¹ ^x^{; 4}^^y^;5^^z



_,^IB^^{ }



³ ^x^{; 4}^{ }^y^; ^z



_và³IC



6 3 ; 3 3 ; 3 x   y  z



.

Từ ^(*) ta có hệ phương trình:

1 3 6 3 0 2

4 4 3 3 0 1

5 3 0 1

x x x x

y y y y

z z z z

      

 

        

 

      

  ^I



^2;1;1



.

Khi đó: ^MA² ^^MA^² ^



^{MI IA}^{ }^



² ^^MI² ^²^{MI IA IA}^{ }^. ^ ²_.

 

²

2 2 2 2 . 2

MB MB  MI IB  MI  MI IB IB 

  

² .



2 2 2 2

3MC 3MC 3 MI IC  3 MI 2MI IC IC .  . Do đó: ^S^^MA²^^MB²^³^MC² ^⁵^MI²^ÎA²^ÎB²^³ÎC².

Do ÎA²^ÎB²^³ÎC² không đổi nên S đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi MI đạt giá trị nhỏ nhất. Tức là M là hình chiếu của I lên mặt phẳng

 

^P ^{: 3}^x^³^y^²^z^^{12 0}^ _.

Vectơ chỉ phương của IM là ⁿ^ ^



^{3; 3; 2}^{ }



_.

(14)

Phương trình tham số của IM là:

2 3 1 3 1 2

x t

y t

z t

  

  

  

 ,



^t^



. Gọi M



2 3 ;1 3 ;1 2 t  t  t

  

 P

là hình chiếu của I lên mặt phẳng

 

^P _.

Khi đó: ^{3 2 3}

  

^{3 1 3}

 

^{2 1 2}



^{12 0} ^{22 11 0} ¹

t t t t t 2

            . Suy ra:

7 1

; ;0 2 2

M  . Vậy

7 1 3 a b c    2 2

.

Câu 30. [2H3-6.18-3] (THPT CHUYÊN_LAM_SƠN) Trong không gian với hệ tọa độ ^Oxyz, cho mặt cầu

  

^S ^: ^x^¹

 

² ^ ^y^²

 

²^{ }^z ³



² ^¹⁶ và các điểm ^A



^{1;0;2 ,}

 

^B ^^{1;2;2 .}



_Gọi( )P là mặt phẳng đi qua hai điểm ^A, ^B sao cho thiết diện của mặt phẳng ^{( )}^P với mặt cầu ^{( )}^S có diện tích nhỏ nhất. Khi viết phương trình ^{( )}^P dưới dạng ^{ax by cx}^ ^ ^{ }^{3 0.} Tính tổng T a b c   .

A. 3 B. 3 C. 0 D. ^²

Xét

  

^S ^: ^x^¹

 

²^ ^y^²

 

²^{ }^z ³



² ^¹⁶_{có tâm}^I



^1;2;3



, bán kính ^R^⁴

Gọi O là hình chiếu của ^I trên ^{mp P}

 

^._{Ta có} min



;

  

_max

S d I P max IO Khi và chỉ khi IO IH với ^H là hình chiếu của ^I trên ^AB.

IH

là véc tơ pháp tuyến của mp

 

^P _mà_{IA IB}_ __H là trung điểm của AB



^0;1;2

 

^{1; 1; 1}

  

H IH mp P

     

là ^{    }^{x y z} ^{3 0}

Câu 31. [2H3-6.18-3] (THPTQG ĐỀ SỐ 3 - THẦY TRẦN MINH TIẾN) Trong không gian Oxyz cho đường thẳng

1 1

: 1 2 2

x y z

  

và mặt phẳng ( ) : aP x by cz   3 0chứa ^ và cách Omột khoảng lớn nhất. Tính chính xác a b c  ?

A. ^². B. 3. C. 1. D. ^¹

Gọi ^K là hình chiếu vuông góc của O lên ^, suy ra ^K



^{1 ;1 2 ; 2}^^t ^ ^{t t}



_,^OK^^{ }



^{1 ;1 2 ; 2}^t ^ ^{t t}



Vì OK  nên

2 1 2 3 3; ; 3 . 0 1

3 2 1 2

3 3; ; 3 K

OK u t

OK



   

  

     

 

   

  



 



Gọi ^H là hình chiếu của O lên

 

^P _{, ta có:}^{d O P}



^;

  

^^OH^^OK ^¹

Đẳng thức xảy ra khi ^H ≡ K.

Do đó

 

^P _cách_O một khoảng lớn nhất khi và chỉ khi

 

^P _{đi qua}_K và vuông góc với OK. Từ đó ta dễ dàng suy ra phương trình của

 

P là: 2x y 2z     3 0 a b c 1

(15)

* Bổ trợ kiến thức: Một số kiến thức toán học mà học sinh cần nắm vững. Đường thẳng d đi qua



0; ;0 0



M x y z và có Vectơ chỉ phương ^{u a}^



^;b;c



có phương trình tham số

 

0 0 0

:

x x at d y y bt t R

z z ct

 

   

  

 và phương trình chính tắc ^d^:^{x x}⁰ ^{y y}⁰ ^{z z}⁰



^abc ⁰



a b c

  

  

.

Câu 32. [2H3-6.18-3] (THPTQG MEGABOOK-SỐ 06) Trong không gian hệ tọa độ ^Oxyzcho tứ diện ABCD với



^{2;3; 2 ,}

 

^B ^{6; 1; 2 ,}



A   ^{C l}



^{ }^{; 4;3}

 

^,^{D l}^{;6; 5 .}^



Tìm tọa độ điểm ^M thuộc đường thẳng CD sao cho tam giác ^ABM có chu vi nhỏ nhất.

A. ^M



^1;1;0



_B.^M



^{0;1; 1}



C. ^M



^{1;1; 1}^



_D.^M



^{1;1; 1}



Ta có:

2 2 2 2 2 2

3 7 1 59, 3 7 1 59

AC    AD     ACDcân tại A

2 2 2 2 2 2

3 7 5 83, 3 7 5 83

BC    BD     BCDcân tại B

Từ đó gọi ^M là trung điểm của CD ta có ^AM ^^{CD BM}^, ^^CD^.Do đó chu vi ^^ABM là

 

_min

 

_min

p AB AM BM   AM BM

(vì ^AB không thay đổi), tức là khi ^M là trung điểm cuả CD hay ^M



^{0;1; 1}^



Câu 33. [2H3-6.18-3] (CHUYÊN THÁI BÌNH-2018-LẦN 5) Trong không gian với hệ tọa độ ^Oxyz, cho hai điểm



^3;0;1



A  , ^B



^{1; 1;3}^



và mặt phẳng

 

^{P x}^: ^²^y^²^z^{ }^{5 0}. Viết phương trình chính tắc của đường thẳng d đi qua A, song song với mặt phẳng

 

^P sao cho khoảng cách từ B đến d nhỏ nhất.

A.

3 1

: 26 11 2

x y z

d    

 . B.

3 1

: 26 11 2

x y z

d    

 .C.

3 1

: 26 11 2

x y z

d    

. D.

3 1

: 26 11 2

x y z

d    

  .

Gọi mặt phẳng

 

^Q là mặt phẳng đi qua A và song song với mặt phẳng

 

^P . Khi đó phương trình của mặt phẳng

 

^Q _là¹



^x^{ }³



²



^y^⁰



^²



^z^{ }¹



⁰ x 2y2z 1 0.

(16)

Gọi H là hình chiếu của điểm B lên mặt phẳng

 

^Q , khi đó đường thẳng BH đi qua ^B



^{1; 1;3}^



_{và nhận}

 _Q



^{1; 2;2}



n  

làm vectơ chỉ phương có phương trình tham số là 1

1 2 3 2

x t

y t

z t

  

   

  

 .

Vì ^H ^^BH ^

 

^Q __H__BH ^^H



¹^{  }^t^{; 1 2 ;3 2}^t ^ ^t



_và ^H^

 

^Q nên ta có



¹^{   }^t



^{2 1 2}



^t



^^{2 3 2}



^ ^t



^{ }^{1 0}^{  }^t ¹⁰₉ H^{1 11 7}9 9 9^{; ;} . 26 11 2

9 9 9; ;

AH   

   

 

 ¹



^{26;11; 2}



9  .

Gọi K là hình chiếu của B lên đường thẳng d, khi đó

Ta có ^{d B d}



^;



^^BK ^^BH nên khoảng cách từ B đến d nhỏ nhất khi BK BH, do đó đường thẳng d đi qua A và có vectơ chỉ phương ^u^^



^{26;11; 2}^



có phương trình chính tắc:

3 1

: 26 11 2

x y z

d    

 . Câu 34. [2H3-6.18-3] (THPTQG ĐỀ SỐ 3 - THẦY TRẦN MINH TIẾN) Trong không gian Oxyz cho đường thẳng

1 1

: 1 2 2

x y z

  

và mặt phẳng ( ) : x2y2z 5 0. Mặt phẳng (Q) : ax by cz�