Chuyên đề lũy thừa, mũ và logarit – Lư Sĩ Pháp - Học Tập Trực Tuyến Cấp 1,2,3 - Hoc Online 247

(1)

GIẢI TÍCH 12

HÀM SỐ

LŨY THỪA

MŨ VÀ LƠGARIT

PHƯƠNG TRÌNH - BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LƠGARIT

Giáo Viên Trường THPT Tuy Phong

(2)

(3)

Quý đọc giả, quý thầy cô và các em học sinh thân mến!

Nhằm giúp các em học sinh có tài liệu tự học môn Toán, tôi biên soạn cuốn tài liệu TRỌNG TÂM GIẢI TÍCH 12.

Nội dung của cuốn tài liệu bám sát chương trình chuẩn và chương trình nâng cao về môn Toán đã được Bộ Giáo dục và Đào tạo quy định.

Bài tập Giải tích 12 gồm 2 phần Phần 1. Phần tự luận

Ở phần này tôi trình bày đầy đủ lí thuyết và bài tập có hướng dẫn giải ở từng bài học. Với mong muốn mong các em nắm được phương pháp giải bài tập trước khi chuyển sang giải Toán trắc nghiệm.

Phần 2. Phần trắc nghiệm có đáp án

Ở phần này tôi trình bày tóm tắt các lý thuyết cần nắm, kĩ năng làm bài trắc nghiệm, hướng dẫn sử dụng máy tính cầm tay cần thiết trong quá trình làm bài trắc nghiệm.

Cuốn tài liệu được xây dựng sẽ còn có những khiếm khuyết. Rất mong nhận được sự góp ý, đóng góp của quý đồng nghiệp và các em học sinh để lần sau cuốn bài tập hoàn chỉnh hơn.

Mọi góp ý xin gọi về số 0939 98 99 66 – 0916 620 899 Email: lsp02071980@gmail.com

Chân thành cảm ơn.

Lư Sĩ Pháp

GV_ Trường THPT Tuy Phong

LỜI NÓI ĐẦU

(4)

MỤC LỤC

Phần 1 . Hàm số Lũy Thừa – Mũ – Lôgari t

Bài 1. Lũy Thừa ... 01 – 08 Bài 2. Hàm Số Lũy Thừa ... 09 – 13 Bài 3. Lôgarit ... 14 – 24 Bài 4. Hàm Số Mũ – Hàm Số Lôgarit ... 25 – 34 Ôn Tập Hàm Số Lũy Thừa – Mũ – Lôgarit ... 35 – 41

Phần 2 . Phương Trình – Hệ Phương Trình – Bất Phương Trình Mũ – Lôgarit

Bài 1. Phương Trình Mũ ... 42 – 52 Bài 2. Phương Trình Lôgarit ... 53 – 64 Bài 3. Hệ Phương Trình Mũ – Lôgarit ... 65 – 71 Bài 4. Bất Phương Trình Mũ ... 72 – 77 Bài 5. Hệ Phương Trình Lôgarit ... 78 – 83 Ôn tập Phương Trình – Hệ Phương Trình – Bất Phương Trình

Mũ – Lôgarit ... 84 – 98

TRẮC NGHIỆM CHƯƠNG II

Bài 1. Lũy thừa – Hàm số lũy thừa ... 99 – 104 Bài 2. Lôgarit ... 105 – 108 Bài 3. Hàm Số Mũ – Hàm Số Lôgarit ... 109 – 119 Bài 4. Phương Trình – Hệ Phương Trình – Bất Phương Trình

Mũ – Lôgarit ... 120 – 126 Ôn tập chương II ... 127 – 153

Một số câu trong kì thi THPT ... 154 – 169

(5)

CHƯƠNG II PHẦN I

HÀM SỐ LŨY THỪA

HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LƠGARIT

---o0o---

§1. LŨY THỪA

A. KIẾN THỨC CẦN NẮM

I. KHÁI NIỆM LŨY THỪA 1. Lũy thừa với số mũ nguyên Cho a∈ℝ,n∈ℕ^*. Khi đĩ:

thừa số

. ...

n n

a =a a a .

Trong biểu thức: aⁿ, ta gọi a là cơ số, n là số mũ

2. Lũy thừa với số mũ nguyên âm, lũy thừa với số mũ 0 Cho a≠0,n∈ℕ^*, quy ước: a ⁿ 1 , 1a⁰

a

− = =

Chú ý:

00 và 0⁻ⁿ khơng cĩ nghĩa

Người ta thường dùng các lũy thừa của 10 với số mũ nguyên để biểu thị những số rất lớn và những số rất bé. Chẳng hạn: Khối lượng của Trái Đất là 5,97.10²⁴kg ; khối lượng nguyên tử của hiđrơ là 1,66.10⁻24kg.

3. Căn bậc n a) Khái niệm

Cho số thực b và số nguyên dương n≥2. Số ađược gọi là căn bậc n của số b nếu aⁿ =b Khi n lẻ và b∈ℝ: Tồn tại duy nhất căn bậc n của b, kí hiệu ⁿb

Khi nchẵn:

0

b< : Khơng tồn tại căn bậc n của b 0

b= : Cĩ một căn bậc n của b, kí hiệu ⁿ0 0= 0

b> : Cĩ hai căn bậc n của btrái dấu, kí hiệu giá trị dương là ⁿb, cịn giá trị âm là −ⁿb b) Tính chất của căn bậc n

Với hai số khơng âm a b, , hai số nguyên dương m n, , ta cĩ:

. ⁿa b.ⁿ = ⁿa b. . ⁿ ^a_b ⁿ_n^a^,

(

^b ⁰

)

= b > .

( )

ⁿ^a ^m ⁼ⁿ^a^m

. ^{m n}a =^m^.na . , khi lẻ , khi chẵn

n n a n

a a n

=



4. Lũy thừa với số mũ hữu tỉ Cho số thực a>0 và số hữu tỉ m

r= n , trong đĩ m∈ℤ,n∈ℕ,n≥2. Lũy thừa của avới số mũ r là số a^r xác định bởi:

m n

r n m

a =a = a 5. Lũy thừa với số mũ vơ tỉ

Giả sử alà một số dương, αlà một số vơ tỉ và

( )

^rⁿ là một dãy số hữu tỉ sao cho lim _n

n r α

→+∞ = .

Khi đĩ: lim ^rⁿ a^α n a

= →+∞

(6)

II. Tính chất của lũy thừa với số mũ thực

Cho a b, là những số thực dương; α β, là những số thực tùy ý. Khi đó, ta có:

1) a a^α. ^β =a^{α β}⁺ 2) a

a a

α α β

β = ⁻ 3)

( )

^a^α ^β ⁼^a^{α β}^. ⁴⁾

( )

^{a b}^. ^α ⁼^{a b}^α^. ^α

5) a a

b b

α α

α

  =

   6) a^α >0 7) Nếu a>1 thì a^α >a^β ⇔ >α β

8) Nếu 0< <a 1 thì a^α >a^β ⇔ <α β

B. BÀI TẬP

ẠNG 1. Tính các giá trị của một biểu thức.

Rút gọn biểu thức.

Bài 1.1. Tính các biểu thức sau:

a)

2 2

5 5

9 .27 A= b)

3 3

4 4

144 : 9

B= c)

0,75 5

1 0,25 2

C 16

− −

 

=  +

  d) ^D⁼

( ) (

^0,04 ⁻^1,5⁻ ^0,125

)

⁻²³

HD Giải a) ^A⁼^{9 .27}²⁵ ²⁵ ⁼

( ) ( )

³² ²⁵^{. 3}³ ²⁵ ⁼^{3 .3}⁴⁵ ⁶⁵ ⁼³^{4 6}^{5 5}⁺ ⁼³² ⁼⁹

b)

3 3 3 3 3 3 3

4 4 2 2 2 2 2 3

144 : 9 12 : 3 4 .3 : 3 2 8

B= = = = =

c)

0,75 5 3 5

3 5

2 4 2

1 0,25 16 4 2 2 40

C 16

− −

 

=  + = + = + =

 

d)

( ) ( )

3 2

2 2 3

1,5 3 1 1 3 2

0,04 0,125 5 2 121

25 8

D

− −

− −    

= − =  −  = − =

   

Bài 1.2. Tính các biểu thức sau:

a) ^A⁼^{ }^{ }_{ }¹₃ ⁻¹⁰^.27⁻³⁺

( )

^{0,2 .25}⁻⁴ ⁻²⁺^{128 .}⁻¹^{ }^{ }_{ }¹₂ ⁻⁹ ^b)^B⁼⁴³⁺ ²^.2^{1 2}⁻ ^.2^{− −}⁴ ²

c) ^C⁼

(

²⁵^{1 2}⁺ ⁻⁵^{2 2}

)

^.5^{− −}^{1 2 2} ^d)^D=₂²+⁶³⁵⁺_.3⁵^{1 5}+ HD Giải

a) ¹⁰ ³

( )

⁴ ² ¹ ⁹ ¹⁰ 3 4 2 ⁹

1 .27 0,2 .25 128 . 1 3 . 1 1 . 1 1 .2 3 1 4 8

3 2 27 0,2 25 128

A

− −

− − − −

   

=  + +   = + + = + + =

   

b) B=4³⁺ ².2^{1 2}⁻ .2^{− −}⁴ ² =26 2 2 1 2 4⁺ ^{+ −} ^{− −} 2 =23 =8

c)

(

25^{1 2} 5^{2 2}

)

.5^{1 2 2}

(

5^{2 2 2} 5^{2 2}

)

.5^{1 2 2} 52 2 2 1 2 2 52 2 1 2 2 5 5 1 24 C= ⁺ − ^{− −} = ⁺ − ^{− −} = ⁺ ^{− −} − ^{− −} = − ⁻ = 5 d)

3 5 3 5 3 5

3 5 2 5 3 5 1 5 2

2 5 1 5 2 5 1 5

6 2 .3 2 .3 2.3 18

2 .3 2 .3

D

+ + +

+ − − + − −

+ + + +

= = = = =

Bài 1.3. Tính các biểu thức sau:

a)

1 3

3 5

0,75 1 1

81 125 32

A

− −

−    

= +  − 

    b) ^B⁼^0,001⁻¹³^{− −}

( )

^{2 .64}⁻² ²³ ⁻⁸⁻¹¹³⁺

( )

⁹⁰ ²

D

(7)

c)

2 0,75 3 1 0,5

27 25

C 16

 −

= +  −

  d)

( ) ( )

11

4 0,25 1 2 3

0,5 625 2 19 3

D 4

−  − −

= − − −  + −

 

HD Giải

a) A ⁸¹^0,75 125¹ ¹³ 32¹ ³⁵

( ) ( )

³ ⁴ ³⁴ ¹5 ³ ¹³ ¹2 ⁵ ³⁵

( )

³ ³ ¹5 ¹ ¹2 ³ ⁸⁰27

− −

− − − − − −

−              

   

= +  −  = +    −    = +   −   = −

b) ^B⁼^0,001⁻¹³^{− −}

( )

^{2 .64}⁻² ²³⁻⁸⁻¹¹³⁺

( ) ( )

⁹⁰ ² ⁼ ¹⁰⁻³ ⁻¹³⁻^{2 2}⁻²

( ) ( )

⁶ ²³ ⁻ ²³ ⁻⁴³^{+ =}^{1 10 2}^{− −}² ²⁻⁴^{+ =}¹ ¹¹¹₁₆

c) C ²⁷²³ 16¹ ^0,75 ²⁵^0,5

( ) ( )

³ ³ ²³

( ) ( )

² ⁴ ³⁴

( )

⁵² ¹² ³² ^{2 5 12}³

− − −

 

= +  − = + − = + − =

 

d) D

( )

^0,5 ⁴ ⁶²⁵^0,25 ²¹4 ¹¹² ^{19 3}

( )

³

( ) ( )

² ¹ ⁴

( )

⁵^{4 4}¹ ³2 ² ²³ ¹⁹27

− − −

−   − −   

 

= − − −  + − = − − −    −

3

4 3 19 8 19

2 5 11 10

2 27 27 27

 −

= − −  − = − − =

  Bài 1.4. Tính các biểu thức sau:

a) A= ⁵4. 8⁵− b) B= ³3 3 c) ⁴5 1

C= 16 d) D= ³ 729 HD Giải

a) ^A⁼ ⁵^{4. 8}⁵^{− = −}⁵ ³² ^{= −}⁵

( )

² ⁵ ^{= −}² ^b)^B⁼³^{3 3} ⁼³

( )

³ ³ ⁼ ³

c)

4

4 4

4

1 81 81 3

516 16 16 2

C= = = = d) D=³ 729 =⁶729 3=

Bài 1.5. Cho a b, là những số thực dương. Rút gọn các biểu thức sau:

a)

( )

7 1 2 7 2 2 2 2

a .a A

a

+ −

− +

= b)

( )

^{3 1} ^{3 1}

5 3. 4 5

a

B a a

− +

− −

= c)

( )

⁴ ^{3 2} ⁴

3 12 6

a b C

a b

= d)

1 7 1 5

3 3 3 3

1 4 2 1

3 3 3 3

a a a a

D

a a a a

−

− −

= −

− +

HD Giải

a)

( ) ( )( )

7 1 2 7 7 1 2 7 3

5

2 2 2 2 2 2 2

2 2

.

a a a a

A a

a a a

+ − + + −

+ − + −

−

= = = = b)

( )

^{3 1} ^{3 1}

( )( )

^{3 1} ^{3 1} ²

5 3. 4 5 5 3 4 5

a a a

B a

a a a a

− + − +

− − − + −

= = = =

c)

( )

⁴ ^{3 2} ⁴ ^{3 2} ^{3 2}

6 12 6 2

3 12 6

a b a b a b

C ab

a b a b a b

= = = = d)

( )

( ) ( ) ( )

−

− −

= − = + − − =

− +

a a a a

D a a a

a a a a

1 1

2 2

3 3

1 1

3 3

1 1

1 1 2

1 1

a)

4 1 2

3 3 3

1 3 1

4 4 4

a a a

A

a a a

−

 

+

 

 

=  

+

 

 

b)

( )

1 5 4 5 1

5

2 3 3 2

3

b b b

B

b b b

−

= −

−

(8)

c)

1 1 1 1

3 3 3 3

3 2 3 2

a b a b C

a b

− −

= −

− d)

1 1

3 3

6 6

a a b b D

a b

= +

+

HD Giải

a)

( )

4 1 2

3 3 3 4 1 4 2

3 3 3 3 2

1 3 1 1

1 3 1

4 4 4 4

4 4 4

, 1

1

a a a

a a a a

A a a

a a a

−

− +

+ −

−

 

+

 

  + +

 

= = = = ≠ −

+

 

+ +

 

 

b)

( )

1 4 1

1 5 4 5 1 5 5 5 1 4 1 1

5 5 5 5 5

2 2 1 2 2 1 2 2

3 2

3 3 3 3 3 3 3 3 3

1 1,( 1) 1

b b b

b b b b b b

B b

b b b b b b b b b

−

− + −

+ −

− −

 

−

 

−   − −

= = = = = ≠

−

 

−  −  −

 

c)

( )

1 1 2 2

3 3 3 3

1 1 1 1

1 1

3 3 3 3

3 3

2 2 3

3 2 3 2

3 3

a b a b 1 , a b a b

C a b a b

a b a b ab

− −

 

−

 

−  

= = = = ≠

− −

d)

1 1 1 1

3 3 6 6

1 1

3 3

3 3 3

1 1

6 6

.

. a b a b

a b b a

D a b ab

a b a b

 

+

 

+  

= = = =

+ +

a)

1 1 2

2 2

1 2 b b :

A a b

a a

   

= − +    − 

b)

1 9 1 3

4 4 2 2

1 5 1 1

4 4 2 2

a a b b

B

a a b b

−

− −

= −

− +

c)

1 1

3 3 : 2 3 a 3 b

C a b

b a

 

= +    + + 

d) ^D⁼

(

³^a⁺³ ^b

)

^^^_^a²³⁺^b²³⁻³^ab^^^_

HD Giải

a) ^A^{= −}^^^_^{1 2} ^b_a ⁺^b_a^^^_^:^^^_^a¹² ⁻^b¹²^^^_² ^{= −}^^^_¹ ^b_a^^^_²^:

(

^a⁻ ^b

)

² ⁼^^^_ ^a⁻_a ^b^^^_²^:

(

^a⁻ ^b

)

²⁼ ¹_a

b)

( )

( ) ( ) ( )

1 1

1 9 1 3

2 2

4 2

4 4 2 2

1 5 1 1 1 1

4 4 2 2 4 2

1 1

a a b b

B a b a b

a a b b a a b b

− −

= − = − = + − − = +

− + − +

c)

( )

1 1 3 3 3

3 3 3 3

3 3 3 3 3 2 3 3

3

: 2 2

a a ab

a b a b ab

C a b

b a ab a b a b a b

ab

+

 

  +

= +    + + = + + = + = +

d) ^D⁼

(

³^a⁺³^b

)

^^^_â²³ ⁺^b²³⁻³âb^{ }^{ }^{ }_{ }⁼ â¹³⁺^b¹³^^^_â²³⁻^{a b}^{1 1}^{3 3}⁺^b²³^{ }^{ }^{ }_{ }⁼ â¹³^^^_³⁺^^^_^b¹³^^^_³^{= +}^{a b}

ạng 2. Chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức So sánh giá trị của biểu thức Chú ý: Nếu a>1 thì α β< ⇔a^α <a^β

Nếu 0< <a 1 thì α β< ⇔a^α >a^β

D

(9)

Bài 1.8. Hãy so sánh các cặp số sau:

a) 5^{2 3} và 5^{3 2} b) 7^{6 3} và 7^{3 6} c) 1 2 5

3

  

  và 1 3 2

3

  

  d)

3 8

4

  

  và 3 3

4

  

  HD Giải

a) Ta có: 2 3= 12,3 2 = 18.Do 12 18< nên 2 3 3 2<

Vì cơ số a= >5 1 nên 5^{2 3} <5^{3 2}

b) Ta có: 6 3 108 54 3 6 7^{6 3} 7^{3 6} a 7 1

 = > = ⇒ >

 = >



c) Ta có:

2 5 3 2

2 5 20 18 3 2 1 1

1 3 3

0 1

a 3

 = > = _{ } _{ }

 ⇒ <

    

< = < ^{ } ^{ }



d) Ta có:

8 3

8 9 3 3 3

1 4 4

0 1

a 2

 < = _{ } _{ }

 ⇒ >

    

< = < ^{ } ^{ }



Bài 1.9. Hãy so sánh các cặp số sau:

a) ³10 và ⁵20 b) ⁴5 và ³7 c) ⁴13 và ⁵23 d) 1 3

3

  

  và 1 2

3

  

  HD Giải

a) Đưa hai căn đã cho về cùng căn bậc 15, ta được:

15 5

3 15

15 3

5 15

10 10 100000

20 20 8000

 = =



= =

 . Do 100000 8000> nên ³10> ⁵20 b) Ta có:

12 3

4 12

12 4

3 12

5 5 125

7 7 2401

 = =



= =



. Do 125 2401< nên ⁴5<³7

c) Ta có:

20 5 20

4

20 4

5 20

13 13 371293 23 23 279841

 = =



= =



. Do 371293 279841> nên ⁴13> ⁵23

d) Ta có:

3 2

3 2 1 1

1 3 3

0 1

a 3

 > _{ } _{ }

 ⇒ <

    

< = < ^{ } ^{ }



Bài 1.10. Hãy so sánh các cặp số sau:

a) 2 và ³3 b) 3+³30 và ³63

c) ³7+ 15 và 10+³28 d)

( )

³ ⁻⁵⁶^và³³⁻¹⁴ ¹₃

HD Giải

a) Ta có:

( )

6 3

6 2

3

2 2 2 8

3 3 9

 = = =



 = =



. Do 8 9< nên 2<³3

b) Ta có:

3

3 3

3 1 3 30 4

3 30 64

30 27 3 63 64 4

 >

 ⇒ + >

 ⇒ + >

 > =

 < =



(10)

c) Ta có:

3 3

3

3 3

3

3 3

7 8 2 7 15 6

15 16 4

7 15 10 28

10 9 3 10 28 6

28 27 3

 < =

 ⇒ + <

 < =

 ⇒ + < +

 > =

 ⇒ + >

 > =



d) Ta có:

( )

5 5

6 12

5

6 3 14

1 5 5

3 3

1 1 1 4 4 12

3 4

3 1

4

3 3

3 3 1

1 1 3

3 3 . 3 .3 3 3

3 3

− −

− − −

 =



 ⇒ =

 = = = =



Bài 1.11. Không dùng máy tính và bảng số. Chứng minh:

a) ³7 5 2+ +³7 5 2 2− = b) ³6 847 ³6 847 3

27 27

+ + − =

c) 4 2 3+ − 4 2 3 2− = d) ³9+ 80 +³9− 80 3= HD Giải

a) ³7 5 2+ +³7 5 2 2− =

Cách 1. Ta có: 7 5 2 1 3 2 6 2 2+ = + + + = +

( )

1 2 ³.Tương tự: ^{7 5 2}⁻ ^{= −}

( )

¹ ² ³

Suy ra: ³7 5 2+ +³ 7 5 2 1− = + 2 1+ − 2 2=

Cách 2. Đặt x= ³7 5 2+ +³7 5 2− . Ta cần chứng minh x=2 Ta có:

3 3 3 3 3 3 3

3 7 5 2 7 5 2 7 5 2 7 5 2 3 7 5 2 . 7 5 2 7 5 2 7 5 2

x    

= + + −  = + + − + + −  + + −

   

14 3³7 5 2 ³7 5 2 14 3x

= −  + + − = −

 

Từ đó ta có: ^x³⁺³^x⁻^{14 0}^{= ⇔}

(

^x⁻²

) (

^x²⁺²^x^{+ = ⇔ =}⁷

)

⁰ ^x ²^(vì^x²⁺²^x^{+ >}^{7 0}⁾

Cách 3. Ta có: ³7 5 2 . 7 5 2+ ³ − = −1. Do đó ³7 5 2+ +³7 5 2 2− = nếu ³7 5 2+ và

37 5 2− là nghiệm của phương trình X²−2X− =1 0 , tức là:

3

7 5 2 1 2 (1) 7 5 2 1 2 (2)

 + = +



 − = −



Ta chứng minh đẳng thức (1). Ta có:

( )

¹+ ² ³= +1 3 2 6 2 2 7 5 2+ + = + . Từ đó suy ra (1).

Đẳng thức (2) chứng minh tương tự. Từ (1) và (2) suy ra điều phải chứng minh.

b) ³6 847 ³6 847 3

27 27

+ + − = . Đặt ³6 847 ³6 847

27 27

x= + + − . Ta cần chứng minh x=3

Ta có:

 

 

= + + −

 

 

3

3 36 847 36 847

27 27

x

 

 

⇔ = + + − + + −  + + − 

 

3 6 847 6 847 3 63 847. 63 847 36 847 36 847

27 27 27 27 27 27

x

( ) ( )

3 12 3 363 847. 3 12 3.5 3 5 12 0 3 2 3 4 0 3

27 3

x x x x x x x x x x

⇔ = + − ⇔ = + ⇔ − − = ⇔ − + + = ⇔ =

(11)

(vì x²₊3x_{+ >}4 0)

c) 4 2 3+ − 4 2 3 2− = Cách 1. Ta có:

( )( )

2

4 2 3 4 2 3 4 2 3 4 2 3 2 4 2 3 4 2 3 8 2 16 12 4

 + − −  = + + − − + − = − − =

 

 

Vì 4 2 3+ − 4 2 3 0− > nên 4 2 3+ − 4 2 3 2− = . Cách 2. Ta có: ^{4 2 3}^± ⁼

( )

³ ²^±^{2 3 1}^{+ =}

( )

^{3 1}^± ²

Nên: ^{4 2 3}⁺ ⁻ ^{4 2 3}⁻ ⁼

( ) ( )

^{3 1}^{+ −} ^{3 1}^{− =}²

d) ³9+ 80 +³9− 80 3= . Có thể giải bằng ba cách như câu a) Đặt x= ³9+ 80 +³9− 80. Ta cần chứng minh x=3

Ta có: ^x³⁼^^_³⁹⁺ ⁸⁰ ⁺³⁹⁻ ⁸⁰^^_³ ^⇔^x³⁻³^x^{− = ⇔}^{18 0}

( )

^x⁻³

(

^x²⁺³^x^{+ = ⇔ =}⁶

)

⁰ ^x ³^(vì

2 3 6 0

x + x+ > )

C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1.12. Hãy tính:

a) ^A⁼^^_

( )

³ ³^^_ ³^b)^B⁼⁴^{1 2 3}⁻ ^.16^{1 3}⁺ ^c)^C⁼^{27 : 3}² ^{3 2} ^d)^D⁼

( )

²⁵⁸ ⁵⁴

Bài 1.13. Đơn giản các biểu thức sau:

a)

4

4 4 4 4

a b a ab

A

a b a b

− +

= −

− + b)

3 3 3 3

a b a b

B

a b a b

− +

= −

− +

c) ^C⁼^^_³_a^{a b}⁺₊³_b ⁻³^ab^^_^:

(

³^a⁻³^b

)

² ^d) ³ ¹ ⁴ ¹⁴

4 2

1 . . 1

1

a a a

D a

a a a

− +

= +

+ +

a)

2 1 2. 1 A a

a

  −

=  

  b) B=a^π.⁴a²:a⁴^π c) ^C⁼

( )

â ³ ³ ^d)^D⁼â ²^.â¹³^:³â^{3 2}

a)

( )

2 2 2 3

2 3 2 1

a b

A

a b

= − +

−

b)

(

^{2 3}

)(

^{2 3} ³ ^{3 3}

)

4 3 3

a 1 a a a

B a a

− + +

= −

c)

5 7

2 5 5 7 2 7

3 3 . 3 3

a b

C

a a b b

= −

+ +

d) ^D⁼

(

^a^π ⁺^b^π

)

²⁻^^^_⁴^π¹^ab^^^_^π

Bài 1.16. So sánh các số:

a) 3⁶⁰⁰ và 5⁴⁰⁰ b)

5

1 7

2

 −

   và

3

2.214 c) 7³⁰ và 4⁴⁰ d) 1 9

 π

   và 1 3,14

9

  

  Bài 1.17. Chứng minh rằng: ^^_₁₆¹ ^^_⁻^0,75⁺

( )

^0,25 ⁻²⁵ ⁼⁴⁰

Bài 1.18. Rút gọn các biểu thức sau:

(12)

a) b a

a b

2 3

2 2

.

− −

   

   

    ⁽a≠0,b≠0⁾ ^b)

(

^a² ⁺^b²

)(

^a⁻²⁺^b⁻²

)

⁻¹^,(^a^≠^0,^b^≠⁰⁾

c)

a a a

a

a a a

4 1 2

3 3 3

1 3 1

4 4 4

,( 0)

−

 

+

 

  >

 

+

 

 

d) ^^_²^x⁺^y₂^^_⁻¹^^_

( )

²^x ⁻¹⁺^{ }^{ }_{ }₂^y ⁻¹^^_

 

e)

n n n

n

1 1 4

3 3 3

1 3

2 3 4

2 ⁻

 

−

 

 

f)

( )

^a

a

3 2

6

4 4 Kết quả:

Bài 1.12. A=3 3, B=64 , C=1, D=4 Bài 1.13. A=⁴b , B=2³ ab, C=1, D= a Bài 1.14. A=a , B= a, C =a³, D=a^1,3 Bài 1.15.

2

2 3

A 2a

a b

= − , B=a ³+1,

5 7

3 3

C=a −b , D= a^π −b^π

Bài 1.16. a) 3⁶⁰⁰>5⁴⁰⁰, b)

5 3

7 14

1 2.2

2

 −

  =

  , c) 7³⁰>4⁴⁰, d)

1 1 3,14

9 9

 π  

  < 

    Bài 1.18. a)

a b⁴

1 b) a b^{2 2} c) a d) xy

1 e) 3n−4n²^f)2 a

(13)

§2. HÀM SỐ LŨY THỪA

A. KIẾN THỨC CẦN NẮM

1. Định nghĩa

Hàm số y=x^α, với α∈ℝ, được gọi là hàm số lũy thừa.

2. Tập xác định

Tập xác định của hàm số lũy thừa y=x^α tùy thuộc vào giá trị của α^: Với α nguyên dương, tập xác định là D=ℝ.

Với α nguyên âm hoặc bằng 0, tập xác định là ^D⁼^ℝ^{\ 0 .}

{ }

Với α không nguyên, tập xác định là ^D⁼

(

^0;^+∞

)

^.

Lưu ý: 1

, ,

y x n

n

α α

= = là số chẵn. Tập xác định: D₌[0;_+∞).

3. Đạo hàm

Hàm số y=x^α(α∈ℝ) có đạo hàm với mọi x>0 và

( )

^x^α ^/ ⁼^α^x^α⁻¹

Công thức tính đạo hàm của hàm hợp đối với hàm số lũy thừa có dạng:

( )

û^α ^/ ⁼^αû^α⁻¹^.û^/

4. Tính chất của hàm số lũy thừa trên khoảng

(

^0;+∞

)

α>0 α<0

Đạo hàm y^/ =αx^α⁻¹ y^/ =αx^α⁻¹

Chiều biến thiên Hàm số luôn đồng biến Hàm số luôn nghịch biến

Tiệm cận Không có Tiệm cận ngang là trục Ox ,

tiệm cận đứng là trục Oy

Đồ thị

Đồ thị luôn đi qua điểm

( )

^1;1

Hình dạng đồ thị ứng với các giá trị khác nhau của α

B. BÀI TẬP

ẠNG 1. Tìm tập xác định của hàm số lũy thừa y=x^α

Tập xác định của hàm số lũy thừa y=x^α tùy thuộc vào giá trị của α: Với α nguyên dương, tập xác định là ℝ

Với α nguyên âm hoặc bằng 0, tập xác định là ^ℝ^{\ 0}

{ }

Với α không nguyên, tập xác định là

(

^0;^+∞

)

Bài 2.1. Tìm tập xác định các hàm số sau:

a) ^y^{= −}

( )

¹ ^x ⁻¹³ ^b)^y^{= −}

(

² ^x^{2 5}

)

³ ^c)^y⁼

(

^x²⁻¹

)

⁻² ^d)^y⁼

(

^x²^{− −}^x ²

)

²

HD Giải a) Hàm số xác định khi và chỉ khi 1− > ⇔ <x 0 x 1 Vậy tâp xác định là: ^D^{= −∞}

(

^;1

)

D

(14)

b) Hàm số xác định khi và chỉ khi 2−x² > ⇔ −0 2< <x 2 Vậy tâp xác định là: ^D^{= −}

(

^{2; 2}

)

c)

( )

2 2

1 1 y x 1

x

= − − =

− . Hàm số xác định khi và chỉ khi x²− ≠ ⇔ ≠ ±1 0 x 1 Vậy tâp xác định là: ^D⁼^ℝ^{\ 1;1}

{ }

⁻

d) Hàm số xác định khi và chỉ khi x²− − > ⇔ < −x 2 0 x 1 hoặc x>2 Vậy tâp xác định là: ^D^{= −∞ − ∪}

(

^{; 1}

) (

^2;^+∞

)

Bài 2.2. Tìm tập xác định các hàm số sau:

a) ^y⁼³

( )

^x⁻¹ ⁻³ ^b)^y⁼⁴ ^x²⁻³^x⁻⁴ ^c)^y⁼

(

^x³⁻⁸

)

^π³ ^d)^y⁼

(

^x³⁻³^x²⁺²^x

)

¹⁴

HD Giải

a)

( )

3

3 1 3 y x 1

x

= − − =

− . Hàm số xác định khi và chỉ khi

( )

^x⁻¹³^{≠ ⇔ ≠}⁰ ^x ¹

Vậy tâp xác định là: ^D⁼^ℝ^{\ 1}

{ }

b) Hàm số xác định khi và chỉ khi x²−3x− ≥ ⇔ ≤ −4 0 x 1 hoặc x≥4 Vậy tâp xác định là: ^D^{= −∞ − ∪}

(

^{; 1}^^ ^^^4;^+∞

)

c) Hàm số xác định khi và chỉ khi x³− > ⇔ >8 0 x 2 Vậy tâp xác định là: ^D⁼

(

^2;^+∞

)

d) Hàm số xác định khi và chỉ khi x³−3x²+2x> ⇔ < <0 0 x 1 hoặc x>2 Vậy tâp xác định là: ^D⁼

( ) (

^0;1 ^∪ ^2;^+∞

)

ẠNG 2. Đạo hàm của hàm số lũy thừa Cho hàm số y=x^αcó tập xác định D;α∈ℝ

( )

^x^α ^/ ⁼^α^.^x^α⁻¹

( )

û^α ^/ ⁼^αû^α⁻¹^.û^/^v^ớⁱû⁼^{u x y}^{( ),} ⁼^{u x}^α^{( )}

Lưu ý:

( )

^x ^/ ⁼₂¹_x

( )

^u ^/ ⁼ ₂^u^/_u

( )

ⁿ ^x ^/ = _{n x}ⁿ¹ⁿ−¹

( )

ⁿ ^{( )} ^/ n ^/ⁿ^{( )}¹_{( )}

u x u x

n u⁻ x

= Bài 2.3. Tính đạo hàm các hàm số sau:

a) ^y⁼

(

²^x²^{− +}^x ¹

)

¹³ ^b)^y⁼

(

³^x⁺¹

)

^π² ^c)^y^{= − −}

(

⁴ ^{x x}^{2 4}

)

¹ ^d)^y^{= −}

( )

⁵ ^x ³

HD Giải

a) ^y^/ ⁼^^

(

²^x²^{− +}^x ¹

)

¹³^^^/ ⁼¹₃

(

²^x²^{− +}^x ^{1 2}

) (

^/ ^x²^{− +}^x ¹

)

¹³⁻¹⁼¹₃

(

⁴^x⁻^{1 2}

) (

^x²^{− +}^x ¹

)

⁻²³

 

b) ^y^/ ⁼^^

(

³^x⁺¹

)

^π²^^^/ ⁼^π₂

(

³^x⁺^{1 3}

) (

^/ ^x⁺¹

)

^π²⁻¹⁼³₂^π

(

³^x⁺¹

)

^π²⁻¹

 

c) ^y^/ ⁼ ¹₄

(

⁴^{− −}^{x x}²

) (

^/ ⁴^{− −}^{x x}²

)

¹⁴⁻¹⁼ ¹₄

(

^{− −}^{1 2}^x

) (

⁴^{− −}^{x x}²

)

⁻³⁴

d) ^y^/ ⁼^

(

⁵⁻^x

)

³^^/ ⁼ ^{3 5}

(

⁻^x

) (

^/ ⁵⁻^x

)

^{3 1}⁻ ^{= −} ^{3 5}

(

⁻^x

)

^{3 1}⁻

D

(15)

Bài 2.4. Tính đạo hàm các hàm số sau:

a) ^y⁼

(

²^x⁺¹

)

^π ^b)^y⁼³¹₁⁺₋_x^x³³ ^c)^y⁼^{   }^{   }_{   }^x_b â â_x ^b^,(â^>^{0,b 0)}^> ^d)^y⁼

(

^x³⁻⁸

)

^π³

HD Giải a) ^y^/ ⁼^

(

²^x⁺¹

)

^π^^/ ⁼^π

(

²^x⁺^{1 2}

) (

^/ ^x⁺¹

)

^π⁻¹⁼^{2 2}^π

(

^x⁺¹

)

^π⁻¹

b)

( )

/ 2 3

/ 3 3 2

3 2

/ 3

3 3 3 2 3 3 2 3 23 3 2

3 3 3

1 6 1 1

1 2

1 3 1 3 1 1 1

1 1 1

x x x x

x x

y x x x x

x x x x

 + 

 

 +   −  −

=  = = =

−

       

   +   +  −  + 

− − −

     

c)

/ / /

/

a b a b a b

x a x a x a

y b x b x b x

              

     

=     =     +   

              

     

1 1

2

a b a b a b

a x a x a a x a a b

b b x b b x x b x x

− −

              −

=     +    −     =

             

d) ^y^/ ⁼^^_

(

^x³⁻⁸

)

^π³^^_^/ ⁼^π₃

(

^x³⁻⁸

) (

^/ ^x³⁻⁸

)

^π³⁻¹⁼^π^x²

(

^x³⁻⁸

)

^π³⁻¹

 

ẠNG 3. Khảo sát hàm số lũy thừa y=x^α

Khảo sát hàm số lũy thừa với số mũ cụ thểm ta phải xét hàm số đó trên toàn tập xác định của nó Tập xác định

Tập xác định của hàm số lũy thừa y=x^α tùy thuộc vào giá trị của α Sự biến thiên

Tìm đạo hàm y^/. Xét dấu y^/ và kết luận chiều biến thiên của hàm số Tìm tiệm cận (nếu có)

Lập bảng biến thiên Đồ thị

Lưu ý: Đồ thị hàm số luôn đi qua điểm

( )

^1;1

Bài 2.5. Khảo sát sự