Các kĩ thuật xử lý tích phân – Trần Đình Cư - Học Tập Trực Tuyến Cấp 1,2,3 - Hoc Online 247

(1)

CÁC K Ĩ

THU Ậ T

X Ử LÝ

TÍCH PHÂN

LỚP TOÁN THẦY CƯ- TP

HUẾ

SĐT: 0834 332133

TOÁN

12

BINH PHÁP LƯU HÀNH

NỘI BỘ

(2)

LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ. SĐT: 0834332133 Page 1

CÁC KĨ THUẬT XỬ LÝ TÍCH PHÂN

BÀI 2. TÍCH PHÂN ... 2

A. KIẾN THỨC SÁCH GIÁO KHOA CẦN NẮM ... 2

B. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN TRẮC NGHIỆM ... 3

Dang 1: Tích phân hữu tỉ ... 3

1. Phương pháp ... 3

2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng ... 4

3. Bài tập rèn luyện tốc độ ... 7

Dạng 2: Tích phân có chưa căn thức ... 10

Dạng 3: Tích phân lượng giác ... 18

Dạng 4: Tích phân từng phần ... 27

Dạng 5: Tích phân chứa dấu giá trị tuyệt đối ... 38

Dạng 6: Tích phân siêu việt ... 44

Dạng 7: Tích phân hàm ẩn ... 54

Dạng 8: Bất đẳng thức tích phân ... 67

3. Bài tập rèn luyên tốc độ ... 70

(3)

LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ. SĐT: 0834332133 Page 2 BÀI 2. TÍCH PHÂN

A. KIẾN THỨC SÁCH GIÁO KHOA CẦN NẮM I. KHÁI NIỆM TÍCH PHÂN

1. Định nghĩa tích phân

Cho ^{f x}

 

là hàm số liên tục trên đoạn a, b . Giả sử ^{F x}

 

là một nguyên hàm của ^{f x}

 

trên đoạn a, b . Hiệu số ^{F b}

   

^^{F a} được gọi là tích phân từ a đến b (hay tích phân xác định trên đoạn ^^{a, b}^



của hàm số

 

f x , kí hiệu là ^b

 

a

f x dx.



Ta còn dùng kí hiệu ^{F x}

 

_a^b để chỉ hiệu ^{F b}

   

^^{F a .}

Vậy

 

  



^{( )} ^{( )} ^{( ).}

b b

a a

f x dx F x F b F a

Ta gọi ^b

a



là dấu tích phân, a là cận dưới, b là cận trên, ^{f x dx}

 

là biểu thức dưới dấu tích phân và ^{f x}

 

^là

hàm số dưới dấu tích phân.

Chú ý:

Trong trường hợp ab hoặc a b, ta quy ước

  



^{( )} ^0;



^{( )}



^{( ) .}

a b a

a a b

f x dx f x dx f x dx

Nhận xét

 Tích phân của hàm số f từ a đến b có thể kí hiệu bới



^b ^{( )}

a

f x dx hoặc



^b ^(u)

a

f duhoặc



^b ^{(t) .}

a

f dt Tích phân chỉ phụ thuộc vào hàm số f và các cận a,b mà không phụ thuộc vào biến số x hay t.

 Ý nghĩa hình học của tích phân: Nếu hàm số ^{f x}

 

liên tục và không âm trên đoạn a, b , thì tích phân



^b ^{( )}

a

f x dx là diện tích S của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị của ^{f x ,}

 

^trục^Ox và hai đường thẳng x a,x b.  Vậy ^b

 

a

S



f x dx.

II. TÍNH CHẤT CỦA TÍCH PHÂN Tính chất 1:



^b ^{( )} 



^b ^{( ) .}

a a

kf x dx k f x dx (k: const)

Tính chất 2:



^b



^{( )}^ ^{( )}



^^b



^{( )} ^



^b ^{( ) .}

a a a

f x g x dx f x dx g x dx

Tính chất 3:



^b ^{( )} ^



^c ^{( )} ^



^b ^{( ) .}



^{ }



a a c

f x dx f x dx f x dx a c b III. PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN

1. Phương pháp đổi biến số

(4)

LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ. SĐT: 0834332133 Page 3 Định lý 1 (Đổi biến loại 1): Cho hàm số ^{f x}

 

liên tục trên đoạn a, b . Giả sử hàm số ^x^{ }

 

^t ^{có đạo}

hàm liên tục trên đoạn  ,  sao cho      

 

^a,

 

^b và ^a^{ }

 

^t ^^b^{với mọi}^t^{  }^_ ^; ^_^.^{Khi đó:}

       

b

' a

f x dx f t . t dt





  

 

Định lý 2 (Đổi biến loại 2): Cho hàm số ^{f x}

 

liên tục trên đoạn a, b . Giả sử hàm số ^{u x}

 

có đạo hàm liên tục và ^{u x}

 

^{  }^_ ^, ^_^. Giả sử ta có thể viết ^{f x}

 

g u x .u x , x

   

^'

 

  a, b với ^{g x}

 

liên tục trên đoạn

; .

 

  Khi đó ta có:

   

 

b u b

a u a

f x dx g u du.

 

2. Phương pháp tích phân từng phần

Nếu ^u^^{u x}

 

^và^v^^{v x}

 

là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn a, b thì ^b ^b ^b

a

a a

uvdx uv  vdu

 

B. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN TRẮC NGHIỆM Dang 1: Tích phân hữu tỉ

1. Phương pháp

1.1 Một số dạng cần nhớ

1) 1

ln , 0.

   



_{ax b}^dx _a ^{ax b C a}

2)

     

¹

1 1 1

. . , 0.

1 ^

  

   



_{ax b}^dx ⁿ _a _n _{ax b} ⁿ ^{C a}

3)

 

^ln

 

  



^{u x}_{u x} ^dx ^{u x} ^C

4) ₂ ₂



^b 

a

dx

x  ^{thì đặt}^x^^^tan^t^.

1.2 Dạng tổng quát

 

    

₂

 

^, ^, ² ⁴ ^0, ⁰



. .

    

   



^m ^{P x}ⁿ

I dx m n N b ac a

x  x  ax bx c

+) Trường hợp 1: Nếu bậc của đa thức ^{P x}

 

^{  }^{m n} ² ta chia tử cho mẫu để đưa về trường hợp 2 +) Trường hợp 2: Nếu bậc của đa thức ^{P x}

 

^{  }^{m n} ² ta sử dụng “phương pháp hệ số bất định”

Bước 1: Phân tích:

 

  

^.



^.



²



¹

 

¹

  

²²



m n

i k

m n i k

i k

P x A B M ax b N

ax bx c

x  x  ax bx c  x   x 

 

  

 

   









Bước 2: Quy đồng mẫu số và đồng nhất 2 vế để tìm các hệ số A B M N _i, _k, , Bước 3: Thực hiện các dạng cơ bản.

(5)

LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ. SĐT: 0834332133 Page 4 Chú ý: + Đôi khi ta dùng phương pháp thêm - bớt – tách sẽ gắn gọn hơn.

+ Một số trường hợp ta đổi biến số nhằm giảm bớt bậc để đưa về tích phân hàm hữu tỉ đơn giản hơn.

2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng Ví dụ 1: Cho

5

2

dx ln a.

x 



^{Tìm a.}

A. ⁵.

2 B. 2. C. 5 D. ².

5 Hướng dẫn giải

ĐÁP ÁN D Ta có:

5 5

2 2

dx 5 5

ln a ln x ln a ln 5 ln 2 ln a ln ln a a .

x        2  2



Ví dụ 2: Cho ² 2

 

0

x 1 dx a ln 5 b ln 3, a, b . x 4x 3

   

 



^ Giá trị của 3a 2b là

A. 0. B. 1. C. 8. D. 10.

Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN A

Khi thấy những bài tích phân có dạng

  

n

m

I ax b dx

x c x d

 

 



thì ta sẽ biến đổi



^{ax b}

 

^A ^B ^{ax b}



A B x Ad Bc



x c x d x c x d

        

   

A B a Ad Bc b

  

    ta sẽ tìm được A và B.

Khi đó: ^I



A ln x c Bln x d  



ⁿ_m

Áp dụng vào bài, ta có: ^{f x}

 

^ ^x²^^{x 1}^{4x 1}^ ^ ^



^{x 3 x 1}^^{x 1}



^ ^



^ ^{x 3 x 1}²^ ^ ¹^

 

²₀

I 2ln x 3 ln x 1   2ln 5 3ln 3.

VT VP a 2 .

b 3

 

    

Ví dụ 3: Tìm tất cả các số thực m dương thỏa mãn

2

0

d 1

ln 2 . 1 2





mx x

x

A. m3. B. m2. C. m1. D. m3.

Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN C

Ta có:

2

2 2

0 0 0

d 1 1 1

1 d ln 1 ln 1

1 1 2 2

m m m

x x x x x x x m m m

x x

   

             

     

 

Suy ra: ¹ ² ln 1 ln 2 ¹

2m  m m  2 (*) Ta thấy chỉ có m1 thỏa mãn (*).

(6)

Ví dụ 4: Biết ⁰ ²

 

1

3 5 1 2

ln , , .

2 3



 

   



^x ^x ^

I dx a b a b

x Tính giá trị của a4 .b

A. 50. B. 60. C. 59. D. 40.

0 2 0

1 1

2 0

1

3 5 1 21

3 11

2 2

3 19 2

11 21.ln 2 21.ln

2 2 3

 



   

       

 

      

 



^x ^x



I dx x dx

x x

x x x

Khi đó, 19

21, 4 59.

  2   

a b a b

Ví dụ 5: Biết

 

2 2 1

1 1

d ln

1 2

x a

x x   b



 ^với^{a b}^, là các số nguyên dương và a

b là phân số tối giản. Giá trị của a b bằng

A. 7. B. 5. C. 9. D. 4.

   

2 2 2 2 2 2

2 2 2

1 1 1 1

2

1

1 1 1 1 1 1

ln 1 ln

1 1 1

1 1 1 3

ln ln

2 4

x x

dx dx dx x x

x x x x x x x x

x

x x

     

          

      

  

    

 

  

Suy raa4;b3. Vậy a b 7.

Ví dụ 6: Cho

   

1 3 2

2 2 0

x 3x x 3

dx a ln b 1 . x 2x 3

  

 

 



^{Khi đó}^{6a 5b}^ ^bằng

A. 2. B. 3. C. 13. D. ².

ĐÁP ÁN C

Ta có: ^x³^^3x² ^{  }^{x 3}



^{x 1 x}^

 

²^^{2x 3 .}^



Đặt t x ²2x 3 ¹^dt



^{x 1 dx.}



2   Đổi cận: x  0 t 3; x  1 t 6.

Khi đó: ⁶ ₂ ⁶ ₂ ⁶

 

3

3 3

1 t 6 1 1 6 1 6 1

I dt dx ln t ln 2 1

2 t 2 t t 2 t 2

 

  

          

 

 

a 1, b 2 6a 5b 13.

  2    

Ví dụ 7: Cho ₁ ¹ ₄ ³₂

 

0

I x dx ln a b ln c, a, b,c .

x 3x 2

   

 



^ Khẳng định đúng là

A. a b c. B. b c a.  C. c a b. D. a c b.

(7)

LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ. SĐT: 0834332133 Page 6 Hướng dẫn giải

ĐÁP ÁN D

Đặt t x ²dt 2xdx hay xdx ^dt.

 2 Và x : 01 thì: t : 01.

   

  

1 2 1 1

1 4 2 2

0 0 0

1 1

0 0

2 t 1 t 2

x .xdx 1 tdt 1

I dt

2 2 t 1 t 2

x 3x 2 t 3t 2

1 2 1 1 3

dt ln t 2 ln t 1 ln 3 ln 2

2 t 2 t 1 2 2

a 3; b 3; c 2.

2

  

   

 

   

   

            

    

  



Ví dụ 8: Cho

   

2

3 2

1

1 a c 5 a c

dx ln , a, b,c,d ; ,

b d 8 b d

x 1 x

   



 ^ là các phân số tối giản. Giá trị của

   

S a 2b 3c 4d bằng

A. 16. B. 87. C. 34.. D. 30.

Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN D

 

     

 

2 2 2 2

2 2 2

3 3

3 2 2 2

1 1 1

2 2 2 2

3 2 3 2

1 1 1

2 2

2 1

1 x x 1 1 1 1 x x

I dx dx dx

x x

x 1 x x 1 x x 1 x

d 1 x

1 1 x 1 1 1

dx dx

x x 2

x 1 x x 1 x

1 1 3 1 5 3 1 5

ln x ln 1 x ln 2 ln ln

2 8 2 2 8 2 8

2x

a 3, b 8, c 1,d

   

       

           

    

         

     

 

          

 

   

  

2.

Ví dụ 9: Cho

1 3

4 2

0

I x dx ln 3 b ln 2 c.

x 3x 2

   

 



Chọn đáp án đúng.

A. b c ³

 2 B. 2b c .

C. abc 0. D. b, c là các số nguyên.

Ta có:

  

1 2

2 2

0

1 x .2xdx

I 2 x 1 x 2





  ^.

Đặt t x ²dt 2xdx .

Với x  0 t 0, với x 1  t 1. Khi đó:

  

1 1 1

0

0 0

1 tdt 1 2 1 1

I dt ln t 2 ln t 1

2 t 1 t 2 2 t 2 t 1 2

   





  



          ln 3 3ln 2

 2 .

(8)

LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ. SĐT: 0834332133 Page 7 a 3, b 3, c 0

  2  .

3. Bài tập rèn luyện tốc độ Câu 1: Biết

4 2 3

dx a ln 2 b ln 3 c ln 5

x x   



 với a, b, c là các số nguyên. Giá trị của S a b c   bằng

A. 6. B. 2. C. 2. D. 0.

Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN B

 

4 4 4 4

2

3 3 3 3

dx dx 1 1 x 16

I ln ln 4 ln 2 ln 3 ln 5.

x x x x 1 x x 1 x 1 15

 





 



 



         Do đó: S 4 1 1 2.   

Câu 2: Biết rằng

5

1

2 1 ln .

 



^dx

I a

x Giá trị a là

A. 3. B. 9. C. 8. D. 81.

5 5

1 1

dx 1

ln 2x 1 ln 3 ln a a 3.

2x 1 2     





Câu 3: Biết

1

0

2 3

d ln 2 2

I x x a b

x

   



 ^,



^{a b}^, ^^



^. Khi đó giá trị a2bbằng

A. 0. B. 2. C. 3. D. 7.

Ta có: ¹ ¹

 

0 0

2 3 7 1

d 2 d 2 7 ln 2 2 7 ln 2

0

2 2

I x x x x x

x x

  





 



           Nên a7 và b 2. Do đó: a2b3.

Câu 4: Giả sử

5

1

d ln

2 1

x K

x 



 . Giá trị của K là

A. 9. B. 3. C. 81. D. 8 .

Hướng dẫn giải Đáp án B

5 5

1 1

1ln 2 1 ln 3.

2 1 2  



_x^dx ^x

Câu 5: Tính tích phân

   

2 1 2

I 1 dx ln a b, a, b . x x 1

   



 ^ Giá trị a b bằng

A. ².

3 B. ⁷.

6 C. ².

3 D. ⁶ .

ĐÁP ÁN B

(9)

       

2 2 2 2

2 2 2

1 1 1 1

1 x 1 x 1 1

I dx dx dx dx

x x 1

x x 1 x x 1 x 1

     

   

   

^.

Suy ra

   

²

 

2 2 2 12

1 1

1 1 x 4 1

I dx x 1 d x 1 ln x 1 ln

x x 1 x 1 3 6

 

 





    



        ^.

4 1

a , b .

3 6

   

Câu 6: Cho

1 0

I xdx a b ln c.

 x 1 



 ^Biết^{b c 1,}^{ } ^với^{b, c}^^3.^{Khi đó}^{P abc}^ ^bằng

A. 0. B. 1. C. 2. D. ¹.

ĐÁP ÁN C

   

1 1 1

0 0 0

x 1 1 1

I dx 1 dx x ln x 1 1 ln 2

x 1 x 1

     





 



          a 1; b 1; c 2 P 2.

       

Câu 7: Cho

1 4 2

2 0

1ln .

1 2

  



^{x dx}

I a b

x Khi đó 24 11

  b3

S a bằng

A. 0. B. 1. C. 1. D. 25.

1 1 1

4 4

2 2 2

2

2 2 2

0 0 0

1

3 2

2 0

x dx x 1 1 1

I dx x 1 dx

x 1 x 1 x 1

x 13 1

x ln x 1 ln 3.

3 24 2

a 13, b 3 S 25.

24

 

        

    

 

      

 

 

    

  

Câu 8: Cho

2 2

1

1 ln .

1

   



^x _x^x ^{dx a} ^b Chọn mệnh đề đúng:

A. ab. B. 2a b b  ²0.

C. ab. D. ab.

(10)

2 2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1

x x 1 1 1 x

dx x dx xdx dx ln x 1

x 1 x 1 x 1 2

1 3 3

2 ln 3 ln 2 ln

2 2 2

3 3

a , b a b.

2 2

 

             

     

    

   

Câu 9: ¹



2



²

 

0

1 ln , , .

1

 

   



^x  ^

I dx a b a b

x Khi đó  

 S a b

a b bằng A. ¹.

3 B. ².

3 C. 3 D. 3.

     

1 2 1 1 1

4 2 2 2

0 0 0 0

1 1 2 1

2

2 0

0 0

x 1 2x 2x 2xdx

I dx 1 dx dx

x 1 x 1 x 1

d x 1

dx x ln x 1 1 ln 2.

x 1

 

        

    

       



   

 

a 1, b 2 S 3.

     

Câu 10: Cho ¹ ₂ ³

   

0

3 5 ln ln , , , .

2 3 2

      

 



^x ^c ^

I dx a b b c a b c

x x Khi đó 

  P abc

a b c bằng A. ²².

7 B. ²⁰.

7 C. ²⁴.

7 D. 26.

 

  

1 3 1 1

2 2

0 0 0

1 2 1

0 0

6 x 1 x 3

x 3 7x 3

I dx x 2 dx x 2 dx

x 1 x 3

x 2x 3 x 2x 3

6 1 x

x 2 dx 2x 6 ln x 3 ln x 1

x 3 x 1 2

5 7 ln 2 6 ln 3.

2

    

 

 

                

 

              

  

  



5 20

a , b 2, c 6 P .

2 7

     

Câu 11: Cho

2 2

2

0 0

2 3

4 3 1 3 .

  





^x  



 ^A  ^B 

I dx dx

x x x x Giá trị ^I^{. 2}



^A^⁴^B



^bằng

A. 2 ln¹²⁵.

 3 B. 2 ln¹²⁵.

3 C. ⁷ln¹²⁵.

2 9 D. ¹ln¹²⁵.

2 9

Ta có: x²^{2x 3}4x 3



^{x 1 x 3}^{2x 3}

 

^{x 1}^A ^{x 3}^B

 

  

 

  .

Từ đó ^{2x 3} 



A B x 3A B x



 



 1, x 3



.

(11)

LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ. SĐT: 0834332133 Page 10 Cân bằng các hệ số của các lũy thừa cùng bậc của x ta được: ^{A B} ² A ¹; B ³

3A B 3 2 2

  

  

  

 .

Suy ra:

 

²

2 2 2

2 0

0 0 0

2x 3 1 dx 3 dx 1 1 125

I dx ln x 1 3ln x 3 ln

2 x 1 2 x 3 2 2 9

x 4x 3

        

 

  

 

⁷ ¹²⁵

I. A B ln .

2 9

  

Câu 12: Cho

2 2

4 3 2

1

1 .

2 2 1 ln

 

   



_x _x^x _x _x ^dx ^a_b ^{c d}_e ^biết a b c d e N UCLN a b^{, , , ,} ^ ^;

 

^; ^¹ và c,d,e là các số nguyên tố. Giá trị của T a b c d e     bằng

A. 32. B. 24. C. 25. D. 31.

Hướng dẫn giải Ta có

2 2

4 3 2

2

1 1 1

2 1

2 2 1 2 1

1

1 1

2 3

  

       

  

 

 

       

 



x dx x dx

x x x x x x

x x

d x x dx

x x

Đặt t x ¹

  x ta có:

2

4 3 2 2

1 1 1

2 2 1 2 3 4ln 3

x dt t

dx C

x x x x t t t

    

      

 

Dạng 2: Tích phân có chưa căn thức 1. Phương pháp

Lớp bài toán 1:

 

. ax ;

ax

m p

p n k

k m n

x b dx x dx

b



 

 ^thỏa



^p^¹



^^k, khi đó ta đặt ^t ^ⁿ



^ax^k ^^b



^m

Lớp bài toán 2: Đổi biến dạng lượng giác

Ta chú ý các nhận biết một số dấu hiệu và cách đổi biến tương ứng sau

Dấu hiệu Cách đổi biến Chú ý

1. x² a² Đặt x a tant

2 2; t     2. a²x² Đặt x a sint

2 2; t    3. x² a² Đặt

sin x a

 t ;0 or 0;

2 2

t        

(12)

4. a x a x

a x or a x

 

  Đặt x a cos 2t

0;2 t  

  

Lớp bài toán 3:



^{R x ax}



^; ²^^{bx c dx}^



Hướng 1: theo dạng 2

Hướng 2: Hữu tỉ hoá. Sử dụng các phép biến đổi Euler - Với a0, đặt ax²   bx c t ax

- Với c0, đặt ax²   bx c tx c

- Nếu ax²bx c có hai nghiệm

x x

₁

,

₂ thì đặt ax² bx c t x x



 1



hoặc đặt

 

2

ax bx c t x x 2

Chú ý:

1) ax2

I mx n dx

bx c

 

 



ta biến đổi về dạng

2 2

2ax

2 ax 2 ax

m b mb dx

I dx n

a bx c a bx c

  





    



 

2) ^K ^

 

_{mx n}^



^dx^ax²^_{bx c}^ ngoài cách giải chung bằng phép thế lượng giác ta còn có thể giải bằng phép thế đại số. Đặt t ax²bx c hoặc 1 ²

 ax bx c

t hoặc t mx n hoặc   1

mx n t

3) Với dạng

ax2  



^dx_{bx c} ta thường nhóm biểu thức dưới dấu căn thành hằng đẳng thức rồi đưa về dạng:

2 2



_a^dx _x ^hoặc 2 ln  ² 



_x^dx_k ^x ^x ^k ^C

2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng

Ví dụ 1: Trong các tích phân sau, tích phân nào không cùng giá trị với

2

3 2

1

I



x x 1dx.

A. ²

1

1 t t 1dt.

2



 ^B. 1⁴

1 t t 1dt.

2



 ^C.



₀³



^t²^^{1 tdt.}



^D.



₀³



^x²^^{1 x dx.}



²

Đặt x² t xdx ^dt.

   2

Đổi cận x 1 thì t 1; x 2 thì t 4.

2 2

3 2 2 2 2

1 1 1

I x x 1dx x x 1.xdx 1 t t 1dt.





 



  2





(13)

LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ. SĐT: 0834332133 Page 12 Ví dụ 2: Tính tích phân

3

0

I



x x 1dx ^{ta được}^I^^a_b^{, a, b}



^^



^,^a_b là phân số tối giản. Giá trị  1 1 S a b bằng

A. ¹³¹

1740 B. ¹⁶.

15 C. ¹¹⁶.

5 D. ¹⁶.

ĐÁP ÁN A

Đặt ^u^ ^{x 1}^{  }^{x u}²^^{1; du}^



^{1 x 'dx}^



^ _{2 1 x}¹_ ^dx^^{dx 2udu}^

Đổi biến: ^{u 0}

 

^¹^;^{u 3}

 

^²

Khi đó ta có: ³ ²



²



² ²



⁴ ²



⁵ ³ ²

0 1 1 1

u u 116

x x 1dx 2 u 1 u du 2 u u du 2 .

5 3 15

 

         

 

  

Do đó: a 116, b 15.  Suy ra: S ¹ ¹ ¹³¹. a b 1740

  

Ví dụ 3: Kết quả của tích phân ² ² ³



^*



0

1d , , ,





 ^a ^ ^a

I x x x a b

b b là phân số tối giản. Giá trị

 ² ² P a b bằng

A. 2786. B. 2785. C. 2685. D. 2885.

Đặt t x³  1 t² x³1 2 d 3 d² ²d ² d .

    3t

t t x x x x t

Với x  0 t 1; x  0 t 3 Vậy

3 3 3

2

1 1

2 2 2 52

d 6 .

3 9 9 9

 

     

 



^t

I t t

Suy ra: a 52,b 9.  Do đó: _S_2785.

Ví dụ 4: Tính tích phân:

5

1

d

3 1

I x

x x





 được kết quả ^{I a}^ ^{ln 3}^^b^{ln 5, ,}



^{a b}^^



^.^Tổng^{a b}^ _là

A. 2. B. 3. C. 1. D. 1.

Đặt u 3x1 ² 1 3 x u 

  1

32 dx udu

 

Đổi cận: x  1 u 2 x  5 u 4

Vậy

 

  

4 4 4

2 2

1 1

2 1 3 1

ln ln ln 2 ln 3 ln 5

1 1 1 5 3

1

u u u

I du du

u u u

u

   

      

  







Do đó a2; b 1. Suy ra: a b 1.

Ví dụ 5: Giả sử tích phân ⁵

 

1

1 d ln 3 ln 5, , , .

1 3 1

    

 



^

I x a b c a b c

x Giá trị a b c  bằng

(14)

LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ. SĐT: 0834332133 Page 13 A. ⁴.

3 B. ⁵.

3 C. ⁷.

3 D. ⁸.

ĐÁP ÁN A

Đặt 1 3 1 3 1



1



² d ²



1 d .



 x  t x  t  x3 t t Đổi cận x  1 t 3;x  5 t 5.

Khi đó ⁵ ⁵

 

⁵

3 3 3

2 1 2 1 2 4 2 2

d 1 d ln ln 3 ln 5.

3 3 3 3 3 3

  





^t 



       

I t t t t

t t

Do đó ⁴ ²; ²

3; 3

a b c 3 Vậy ⁴. a b c  3

Ví dụ 6: Tập hợp các nghiệm của bất phương trình ^x

0 2

t dx 0,

t 1 



 ^với^x^{là ẩn là}

A.



^{;0 .}



B.



 ^;



^. C.



 ^;

  

^{\ 0 .} D.



^0;



^.



²



x x

2 2

0 0

d t 1 x

t 1 1

dt .2 t 1 x 1 1.

2 2 0

t 1 t 1

      

 

 

   

x

2 0 2

t dt 0 x 1 1 0 x ; \ 0 .

t 1         





Ví dụ 7: Cho

1

0

I f x dx 10.

x 1 x

 





     ^{Khi đó} ¹

0

1 1

  





  ^x 

J f dx

x x bằng

A. 10. B. 10. C. 9. D. 9.

Đặt t 1 x  ta có: dt dx Đổi cận x 0 t 1

x 1 t 0

  

   khi đó ⁰

 

¹

1 0

t t

J f dt f dt

1 t t t 1 t

   





     



   

1

0

J f x dx I 10.

x 1 x

 





      Ví dụ 8: Tính theo m tích phân

m 2 0

I



x x 1dx^là

A.



^m² ¹



^m² ^{1 1}_.

3

  

B.



^m² ¹



³² ¹_.

3

 

C.



^m² ¹



^m² ^{1 1}_.

3

  

D. m²1.

Đặt t x² 1 t² x² 1 tdt xdx và đổi cận x m t m² 1

x 0 t 1

    

   



(15)

Do đó ^m 2 ^{m 1}² 2 ³ ²



²



²

0 1

m 1 m 1 1

t m 1

I x x 1dx t dt I .

3 1 3

    





 



  

Ví dụ 9: Kết quả của ³ ²

 

0

2x x 1 a a

I dx , a, b ,

b b

x 1

  

  



 ^ là phân số tối giản. Giá trị S a b  bằng

A. 36. B. 45. C. 27. D. 59.

3 2

0

2x x 1

I dx

x 1

  





Đặt x 1 t     x t² 1 dx 2tdt

2 2 2 2 2 5 2

4 2 3

1 1 1

2(t 1) (t 1) 1 4t 54

I 2tdt 2 (2t 3t )dt 2t .

t 5 5

 

   

       

 

 

Suy ra: a 54,b 5.  Do đó: _{S a b}  _59.

Ví dụ 10: Cho tích phân

1 2

0

I x ax b 3x  1 dx 3,

 



^biết^{a b 1.}^{ } ^{Giá trị}^{S a}^ ³